Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích những sai lầm của học sinh lớp 12 khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Hướng khắc phục35449

Tr ng THPT Tr n H ng o- k Mil - k Nơng PHÂN TÍCH NH NG SAI L M C A H C SINH L P 12 KHI H C CH NG NG D NG O HÀM KH O SÁT VÀ V TH C A HÀM S -H NG KH C PH C I Lý ch n đ tài - Trong ch ng trình gi i tích 12, n i dung ng d ng đ o hàm đ kh o sát v đ th c a hàm s có m t v trí đ c bi t quan tr ng, chi m h u h t s ti t có ch ng trình Là m t công c r t “m nh” đ gi i quy t h u h t nh ng toán đ thi t t nghi p THPT c ng nh đ thi n sinh - u m c a ph i h c, Cao đ ng ng pháp r t hi u qu d s d ng gi i toán liên quan đ n hàm s - Trong trình gi ng d y nh n th y em h c sinh hay g p khó kh n gi i toán liên quan đ n vi c v n d ng đ o hàm đ kh o sát v đ th c a hàm s Các em th em s khơng t kh c ph c đ ng i th y ng m c nh ng sai l m mà c n u khơng có s h ng d n c a - C th , v i t p “Tìm t t c giá tr c a tham s m đ hàm s y x  mx  (m  m  1) x  đ t c c đ i t i x = 1” d ng ph ng pháp sai đ gi i, đ a s em s c th ng kê qua hai b ng sau đây: L p 12A3 (s s 42) S l Không gi i đ Gi i sai ph Gi i ph c ng pháp ng pháp ng Ph n tr m 17% 30 71% 12% L p 12A8 (s s 40) S l Không gi i đ Gi i sai ph Gi i ph c ng pháp ng pháp GV T Ng c B o – T: 0983972303 DeThiMau.vn ng Ph n tr m 16 40% 21 53% 7% Tr ng THPT Tr n H ng o- k Mil - k Nông Nh m giúp h c sinh n m ch c ki n th c v đ o hàm, có k n ng ng d ng đ o hàm đ gi i tốn liên quan đ n hàm s , tơi ch n đ tài “phân tích nh ng sai l m c a h c sinh l p 12 h c ch d ng đ o hàm đ kh o sát v đ th c a hàm s - h ng ng ng kh c ph c” II Phân tích nh ng sai l m thơng qua m t s ví d minh ho 1) Sai l m xét tính đ n u c a hàm s  Các em m c ph i sai l m không n m v ng đ nh ngh a tính đ n u c a hàm s Ví d minh ho 1: Xét tính đ n u c a hàm s : y  x2  x  x 1 M t s h c sinh trình bày nh sau: TX : D = R\{-1} Ta có y '  x2  2x , y'   ( x  1)2 x   x  2  B ng bi n thiên: x - + y' y -1 -2 - - + -2 - - + + + Suy ra: Hàm s ngh ch bi n  2; 1   1;0  , đ ng bi n  ; 2    0;   Phân tích: l i gi i có v nh r i, n u ta khơng ý đ n k t lu n c a toán! Chú ý r ng: n u hàm s y  f ( x ) ngh ch bi n t p D x1 , x2  D mà x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Trong k t lu n c a toán 2 n u ta l y x1   < x2     2; 1   1;0  , GV T Ng c B o – T: 0983972303 DeThiMau.vn Tr ng THPT Tr n H ng o- nh ng f        2 k Mil - k Nông  1 f     ???  2 L i gi i là: TX : D = R\{-1} Ta có y '  x   x  2  x2  2x , y'   ( x  1)2 B ng bi n thiên: x - + y' y -1 -2 - - + + + -2 - - + Suy ra: Hàm s ngh ch bi n t ng kho ng  2; 1  1;0  , ng bi n t ng kho ng  ; 2   0;    Nhi u em không ý đ n m t i h n c a hàm s v y vi c xét d u c a hàm y’ s b sai! Ví d minh ho 2: Xét tính đ n u c a hàm s f ( x)  x    x M t s h c sinh trình bày nh sau: T p xác đ nh là: D = [-2; 2] Ta có f '( x)   f '( x)   x  x2  x2  x  x2 , x      x2  x   x2  x2    x  Trên t ng kho ng gi a hai m t i h n liên ti p nhau, f’(x) gi nguyên m t d u, f’(0) > nên ta có b ng bi n thiên nh sau: GV T Ng c B o – T: 0983972303 DeThiMau.vn Tr ng THPT Tr n H ng o- k Mil - k Nông B ng bi n thiên: x - -2 - y' y + -3 - 2 -1 -1 Suy ra: Hàm s đ ng bi n kho ng   2;  ngh ch bi n kho ng  2;     2; Phân tích: N u đ ý b ng bi n thiên ta th y m t u vô lý đo n  2;   giá tr c a hàm s gi m t -3 xu ng -1??? Th c  không ph i m t i h n c a hàm s L i gi i là: T p xác đ nh là: D = [-2; 2] x Ta có f '( x)   f '( x)    x2  x2  x  x2 , x     x2  x   x 2 4  x  x Trên t ng kho ng gi a hai m t i h n liên ti p nhau, f’(x) gi nguyên m t d u, f’(0) > nên ta có b ng bi n thiên nh sau: B ng bi n thiên: x -2 y' + - 2 -1 y -3 Suy ra, hàm s đ ng bi n kho ng  2;  , ngh ch bi n kho ng   2; 2) Sai l m ch ng minh b t đ ng th c GV T Ng c B o – T: 0983972303 DeThiMau.vn Tr ng THPT Tr n H ng o- k Mil - k Nơng  Khi dùng tính đ n u c a hàm s đ ch ng minh b t đ ng th c h c sinh th ng m c ph i sai l m không nh xác đ nh ngh a tính đ n u c a hàm s đ v n d ng: Ví d minh ho 3: (Bài t p 5, trang 10, sách gi i tích 12, ban c b n)  Ch ng minh r ng: tan x  x, x   0;   2 M t s h c sinh trình bày nh sau:  Xét f ( x )  tan x - x, x   0;  Ta có: f '( x)   2     0, x   0;  , suy cos x  2  f(x) đ ng bi n kho ng  0;   2  T x   f ( x)  f (0)  tan x - x  tan - hay tan x  x, x   0;   Phân tích: L i gi i có v đúng, nh ng sai l m 2 tinh vi (?!) Sau  k t lu n f(x) đ ng bi n kho ng  0;  t  2 x   f ( x)  f (0) ??? Sai l m    0;   2 Nh r ng: n u f(x) đ ng bi n đo n  a; b  x1 , x2   a; b  , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) L i gi i là:   Xét f (t )  tan t - t , t  0;  Ta có: f (t ) đ ng bi n  0;  2     Suy t x   f ( x)  f (0)  tan x - x  tan -  ( pcm)  Các em c ng hay m c nh ng sai l m v n d ng sai tích ch t c a hàm đ ng bi n, ngh ch bi n Ví d minh ho : Ch ng minh r ng n u x  1 x.e x  GV T Ng c B o – T: 0983972303 1 e DeThiMau.vn Tr ng THPT Tr n H ng o- k Mil - k Nơng M t s h c sinh trình bày nh sau: Xét hàm s f1 ( x)  x f ( x )  e x đ ng bi n R Suy hàm s f ( x )  x.e x tích c a hai hàm đ ng bi n nên c ng đ ng bi n R Suy ra, t x  1  f ( x)  f (1) hay x.e x  1 e Phân tích: L i gi i sai l m ch : Tích c a hai hàm đ ng bi n m t hàm đ ng bi n ch hai hàm d ng (!) L i gi i là: Xét hàm s f ( x )  x.e x , ta có f '( x)  e x ( x  1)  0, x  1 Suy hàm s đ ng bi n  1;   T x  1  f ( x)  f (1) hay x.e x  1 v i x >-1 e ( pcm) 3) Sai l m gi i toán liên quan t i đ o hàm  Sai l m v n d ng cơng th c tính đ o hàm Ví d minh ho 4: Tính đ o hàm c a hàm s y   x  1 x M t s h c sinh trình bày nh sau: Ta có y '  x (2 x  1) x 1 (2 x  1) '  x(2 x  1) x 1 Phân tích: L i gi i v n d ng công th c (u  ) '   u 1 u ' V n d ng nh v y sai, cơng th c ch áp d ng cho s m  m t h ng s L i gi i là: T y   x  1  ln y  x.ln  x  1  x y' 2x  ln(2 x  1)  y 2x  2x    y '  (2 x  1) x  ln(2 x  1)   2x     Sai l m tính đ o hàm c a hàm s t i m t m Các em hay m c ph i sai l m d ng áp d ng công th c (u ) '   u 1 u ',   R , nh ng quên r ng n u nh công th c ch u nh n giá tr d GV T Ng c B o – T: 0983972303 DeThiMau.vn ng  khơng ngun Tr ng THPT Tr n H ng o- k Mil - k Nơng Ví d minh ho 5: y  x có đ th (C) Vi t ph Cho hàm s ng trình ti p n c a (C) t i m có hồnh đ x = -1 M t s h c sinh trình bày nh sau: V i x = -1, ta có y = (1)2  1 Ta có y  x , Suy y '  x , 1 2 1 1 2 2 2 6   y '(1)  (1)  (1)   (1)     3 3 3 V y ph ng trình ti p n c n tìm là: y  ( x  1)   x  Phân tích: Sai l m em không ý đ n u ki n lu 1 ng Vì v y vi t  1 th a v i s m khơng ngun c s ph i d không đúng! L i gi i là: Ta có y  x  y y '  x  y '  Suy ph 2x 2x 2   V y y '(1)   3y 3 x4 x 3 ng trình ti p n c n tìm là: y   ( x  1)    x  4) Sai l m gi i toán liên quan đ n c c tr c a hàm s  Khi s d ng quy t c đ xét tính đ n u c a hàm s em quên r ng u ki n đ ch không ph i u ki n c n! Quy t c: y '  0, x  (a; b)  Hàm s đ ng bi n kho ng (a;b) y '  0, x  (a; b)  Hàm s ngh ch bi n kho ng (a;b) i u ng c l i nói chung khơng đúng! Ví d minh ho 6: Tìm t t c giá tr c a tham s m đ hàm s bi n R M t s h c sinh trình bày nh sau: GV T Ng c B o – T: 0983972303 DeThiMau.vn y  x  mx  x  đ ng Tr ng THPT Tr n H ng o- k Mil - k Nông TX : D =R y '  x  2mx  Hàm s a   '  đ ng bi n R  y '  0, x  R   3    3m m    Phân tích: Ch ng h n hàm s y  x đ ng bi n R, nh ng y  x   x  ! Nh r ng: N u hàm s y  f ( x) xác đ nh kho ng  a; b  , f '( x)  0, x   a; b  f’(x) ch b ng t i h u h n m thu c kho ng (a;b) hàm s y=f(x) đ ng bi n kho ng (a;b) L i gi i là: Hàm s đ ng bi n R  y '  0, x  R 3  a    3m  m    '    Khi s d ng quy t c đ xác đ nh c c tr c a hàm s em c ng quên r ng ch u ki n đ ch không ph i u ki n c n Quy t c:  f '( x0 )   x0 m c c ti u   f "( x0 )   f '( x0 )   x0 m c c đ i   f "( x0 )  i u ng c l i nói chung khơng đúng! Ví d minh ho 7: Cho hàm s y  mx Tìm t t c giá tr c a tham s m đ hàm s đ t c c đ i t i x = 0? M t s h c sinh trình bày nh sau:  f '(0)  4m.0  Vô   f "(0)  12m.0  i u ki n đ hàm s đ t c c đ i t i x = là:  nghi m m V y không t n t i giá tr m đ hàm s cho đ t c c đ i t i x = GV T Ng c B o – T: 0983972303 DeThiMau.vn Tr ng THPT Tr n H ng o- k Mil - k Nơng Phân tích: Ta th y, hàm s y =  x có y’ = 4x3 , y’ =  x = B ng bi n thiên: - x y' + + - y - - Suy hàm s đ t c c đ i t i x = 0! V y l i gi i sai ch nào???  f '( x0 )   x0 m c c đ i c a hàm s ,  f "( x0 )  Nh r ng, n u x0 tho mãn  cịn u ng c l i ch a ch c đúng! Vì n u x0 m c c đ i f”(x0) có th b ng Lý u ki n f”(x0) < ch u ki n đ đ hàm s g(x) = f’(x) ngh ch bi n lân c n  x0   ; x0    ,  f '( x)  f '( x0 )  0, x  ( x0   ; x0 ) Suy x0 m cu c đ i   f '( x)  f '( x0 )  0, x  ( x0 ; x0   ) L i gi i là: Ta có y '  4mx hàm s đ t c c đ i t i x = y '( x )  0, x  (h; o) , v i h > Suy m < Th l i, ta th y v i m < u ki n c n tìm Ví d minh ho 8: Cho hàm s y  x  mx  Tìm t t c giá tr c a tham s m đ hàm s đ t c c ti u x = 0? M t s h c sinh trình bày nh sau: i u ki n đ hàm s  f '(0)   f "(0)  đ t c c ti u t i x = là:  4.03  3m.02   Vô nghi m m 12m.0  6.m.0  V y không t n t i giá tr m đ hàm s cho đ t c c ti u t i x = GV T Ng c B o – T: 0983972303 DeThiMau.vn Tr ng THPT Tr n H ng o- k Mil - Phân tích: Ta th y, v i m = hàm s k Nơng y = y  x  có y’ = 4x3 , y’ =  x = B ng bi n thiên: x - y' y + + + + Suy hàm s đ t c c ti u t i x = 0! L i gi i là:  y '( x )  x  (1)  y '( x )  x  (2) hàm s đ t c c ti u t i x =  x  T (1) ta có    y '( x )  x  x     3m  m  (3) x  x mx     x  x  T (2) ta có     y '( x )  4 x  3mx  x    3m  m  (4)  x  T (3) (4) suy m = V y v i m = hàm s cho đ t c c ti u t i x = 5) Sai l m gi i tốn tìm GTLN GTNN c a hàm s Các em th ng m c sai l m không n m v ng đ nh ngh a GTLN GTNN c a hàm s m t t p Ví d minh ho 9: Tìm giá tr nh nh t c a hàm s y  f ( x )  cos x  1     cosx+   cos x cosx   M t s h c sinh trình bày nh sau: t t = cosx+ Ta đ 1  t2   cos x  cosx cos x c hàm s g (t )  t  2t    t  1   4, t GV T Ng c B o – T: 0983972303 10 DeThiMau.vn Tr ng THPT Tr n H ng o- k Mil - k Nông V y Min f(x) = -4, t = -1 Phân tích: Sai l m chuy n tốn khơng t ng đ ng Giá tr nh nh t c a hàm f(x) không trùng v i giá tr nh nh t c a hàm g(t), t  R Có th th y t = -1 khơng t n t i giá tr x  f ( x)  m, x  D x0  D : f ( x0 )  m Nh r ng, s m  Min f ( x)   D L i gi i là: t t = cosx+  , x   k   t  cosx Suy cos2 x   t  Khi f(x) tr thành g(t) = g (t )  t  2t  cos x Ta có Min f ( x)  Min g (t )  x   k t 2 L p b ng bi n thiên c a hàm g(t), v i t  t - - g'(t) g(t) -2 -1 - + + + + + -3 D a vào b ng bi n thiên ta suy Min f ( x)  Min g (t ) = -3  x   k Khi t = -2  cosx+ t 2  2  cosx  1  x    k 2 cosx 6) Sai l m vi t ph ng trình ti p n c a đ th hàm s Ví d minh ho 10: Cho hàm s y   x  3x , có đ th (C) Vi t ph ng trình ti p n c a (C), bi t r ng ti p n qua m A(-1;4) M t s h c sinh trình bày nh sau: Ta có m A(-1,4)  (C) Suy ph ng trình ti p n là: y  y '(1)( x  1)  = -9(x+1) + hay y = -9x - GV T Ng c B o – T: 0983972303 11 DeThiMau.vn Tr ng THPT Tr n H ng o- k Mil - k Nơng Phân tích: Ph ng trình ti p n y = -9x - ti p n t i A (nh n A làm ti p m) t t nhiên k t A Nh ng v n có th có ti p n c a (C) qua A mà không nh n A làm ti p m L i gi i là: Ph ng trình đ ng th ng d qua A(-1;4) có h s góc k là: y = k(x+1)+4 u ki n đ đ ng th ng d ti p n c a (C) là: k  3x  x   x  3x  k ( x  1)    x  1  PTTT y  9 x     k    x    PTTT y   k  III K t lu n Polya vi t “con ng i ph i bi t h c nh ng sai l m nh ng thi u sót c a mình” thơng qua nh ng sai l m n u ta bi t cách nhìn nh n k p th i u n n n s a ch a s giúp ta nh lâu h n tri th c đ c h c đ ng th i s giúp ta tránh đ c nh ng sai l m t ng t Trong khuôn kh c a vi t tơi khơng có tham v ng s phân tích đ c h t nh ng sai l m c a h c sinh s không tránh kh i nh ng sai sót Vì v y tơi r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a quý th y cô Tôi xin chân thành c m n GV T Ng c B o – T: 0983972303 12 DeThiMau.vn Tr ng THPT Tr n H ng o- k Mil - k Nông TÀI LI U THAM KH O Gi i tích 12 (ch ng trình chu n): Nhóm tác gi Tr n V n H o, NXB GD Gi i tích 12 (ch ng trình nâng cao): Nhóm tác gi Bài t p gi i tích 12 (ch Bài t p gi i tích 12 (ch ồn Qu nh, NXB GD ng trình chu n): Nhóm tác gi V Tu n, NXB GD ng trình nâng cao): Nhóm tác gi Nguy n Huy oan, NXB GD, 2008 Sai l m ph bi n gi i toán: Nguy n V nh C n, Lê Th ng Nh t, Phan Thanh Quang, NXB GD, 2008 Lu n v n th c s giáo d c h c: T Ng c B o, HSP Hu - 2007 GV T Ng c B o – T: 0983972303 13 DeThiMau.vn ... giúp h c sinh n m ch c ki n th c v đ o hàm, có k n ng ng d ng đ o hàm đ gi i toán liên quan đ n hàm s , ch n đ tài ? ?phân tích nh ng sai l m c a h c sinh l p 12 h c ch d ng đ o hàm đ kh o sát v đ... e Phân tích: L i gi i sai l m ch : Tích c a hai hàm đ ng bi n m t hàm đ ng bi n ch hai hàm d ng (!) L i gi i là: Xét hàm s f ( x )  x.e x , ta có f '( x)  e x ( x  1)  0, x  1 Suy hàm. .. a hàm s - h ng ng ng kh c ph c” II Phân tích nh ng sai l m thơng qua m t s ví d minh ho 1) Sai l m xét tính đ n u c a hàm s  Các em m c ph i sai l m không n m v ng đ nh ngh a tính đ n u c a hàm