(SKKN HAY NHẤT) những sai lầm của học sinh khi học chương ứng dụng đạo hàm vào khảo sát hàm số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ" LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHẦN 1: MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình giải tích 12, nội dung ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số có vị trí đặc biệt quan trọng, chiếm hầu hết số tiết có chương trình Là cơng cụ "mạnh" để giải hầu hết toán đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Ưu điểm phương pháp hiệu dễ sử dụng giải toán liên quan đến khảo sát hàm số Trong q trình giảng dạy năm học 2011-2012 tơi nhận thấy em học sinh hay gặp khó khăn giải toán liên quan đến việc vận dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Các em thường mắc sai lầm mà em khơng tự khắc phục khơng có hướng dẫn người thầy Chẳng hạn, với tập Tìm tất giá trị tham số m để hàm số sau đạt cực đại Đa số em giải thường mắc sai lầm sau: +) Tập xác định: +) Ta có: +) Điều kiện để hàm số đạt cực đại +) Vậy để hàm số đạt cực đại là: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sai lầm : hàm số đạt cực đại Điều ngược lại nói chung khơng Vì kết luận chưa hẳn xác Đây sai lầm số nhiều sai lầm mà học sinh thường mắc phải, việc khắc phục sai lầm kỳ ôn thi tốt nghiệp năm học 2011-2012 diễn nhiều thời gian Sang năm học 2012-2013 này, nhằm giúp học sinh nắm kiến thức đạo hàm, có kỹ ứng dụng đạo hàm để giải toán liên quan đến khảo sát hàm số, tơi đầu tư thời gian để phân tích kỹ sai lầm mà học sinh thường gặp kỳ ôn thi tốt nghiệp vừa qua vấn đề tồn năm học trước khắc phục cách có hiệu Vì tơi viết sáng kiến kinh nghiệm " NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ" với hy vọng giúp em học sinh học tập tốt giáo viên dạy môn tốn có kinh nghiệm bổ ích II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Chỉ cho học sinh thấy sai lầm thường mắc phải Qua đó, học sinh hiểu chất vấn đề Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo III NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Về nhiệm vụ: Đánh giá thực tế trình vận dụng giải tập toán lên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, tốn liên quan để có giải tốn hồn chỉnh xác LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Về phương pháp: - Phương pháp điều tra - Phương pháp đối chứng - Phương pháp nghiên cứu tài liệu IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Các toán liên quan đến đạo hàm ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số - chương I, giải tích lớp 12 PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI Học sinh cần nắm số vấn đề sau (liên quan đến nội dung phạm vi nghiên cứu đề tài) Định nghĩa tính đơn điệu hàm số Tính chất hàm số đồng biến, nghịch biến Cơng thức tính đạo hàm Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số hàm số Quy tắc tìm điểm cực trị hàm số Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D Về phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x) CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trong thực tế, học sinh học ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị thường gặp phải khó khăn sau: Khơng nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số khoảng, khơng hiểu xác định nghĩa điểm tới hạn hàm số Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị điểm x0 Không nắm vững định nghĩa giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D Không nắm vững chất khác tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị số với tiếp tuyến kẻ từ điểm đến đồ thị hàm số cho CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI I BIỆN PHÁP THỰC HIỆN Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, nghiên cứu đề tài đưa biện pháp sau: Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt - Phân tích, mổ xẻ khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm chất khái niệm, định nghĩa, định lí - Đưa ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lí - So sánh khái niệm, quy tắc để học sinh thấy giống khác chúng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Chỉ sai lầm mà học sinh dễ mắc phải Rèn luyện cho học sinh mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải vấn đề - Phương pháp: phương pháp giải toán Đổi phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm ) - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích mơn học cho học sinh - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho giảng sinh động hơn, bớt khô khan học sinh không cảm thấy nhàm chán Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, có điều kiện sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới giảng II NGHIÊN CỨU THỰC TẾ Sai lầm xét tính đơn điệu hàm số  Các em thường mắc phải sai lầm khơng nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số Ví dụ minh họa 1: Xét tính đơn điệu hàm số Một số học sinh trình bày sau: +) Tập xác định: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com +) Ta có: +) Bảng biến thiên: x -∞ +∞ + f'(x) + +∞ f(x) -∞ +) Hàm số đồng biến Phân tích: Lời giải rồi, ta không ý đến kết luận toán Chú ý rằng: hàm số đồng biến tập với ta có Trong kết luận tốn, ta lấy và Lời giải đúng: Qua phân tích ta thấy để có lời giải ta phải kết luận: Hàm số đồng biến khoảng  Nhiều em không ý đến điểm tới hạn hàm số, việc xét dấu đạo hàm y' bị sai LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ minh họa 2: Xét tính đơn điệu hàm số Một số học sinh trình bày sau: +) Tập xác định: +) Ta có: Cho +) Bảng biến thiên x - -2 - f'(x) -3 + - 2-1 f(x) -1 +) Hàm số đồng biến khoảng nghịch biến khoảng Nếu để ý bảng biến thiên ta thấy điều vô lý đoạn giá trị Phân tích: hàm số giảm từ -3 xuống - ??? Thực - điểm tới hạn hàm số Mặt khác , đạo hàm không xác định Lời giải là: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com +) Tập xác định: +) Ta có: Đạo hàm khơng xác định Cho +) Bảng biến thiên x -2 + f'(x) - 2-1 f(x) -3 +) Hàm số đồng biến nửa khoảng nghịch biến nửa khoảng Sai lầm chứng minh bất đẳng thức  Khi sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm khơng nhớ xác định nghĩa tính đơn điệu hàm số để vận dụng Ví dụ minh họa 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban bản) Chứng minh rằng: , với Một số học sinh trình bày sau: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com +) Xét hàm số , với +) Ta có: , suy hàm số đồng biến khoảng +) Từ hay Phân tích: Lời giải đúng, sai lầm tinh vi (?!) Sau kết luận đồng biến khoảng Sai lầm từ ? Nhớ rằng: đồng biến đoạn (tức liên tục ) Lời giải là: +) Xét hàm số , với +) Ta có: suy hàm số +) Khi , dấu “=” sảy đồng biến khoảng hay LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số học sinh trình bày sau: +) Với +) Ta có +) Hệ số góc tiếp tuyến +) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: hay Phân tích: Sai lầm em không ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ khơng ngun số phải dương Vì vậy, viết không (!) Lời giải là: +) Với +) Ta có +) Hệ số góc tiếp tuyến +) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: hay Sai lầm giải toán liên quan tới cực trị hàm số  Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu hàm số em quên điều kiện đủ khơng phải điều kiện cần Quy tắc:  hàm số đồng biến khoảng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  hàm số nghịch biến khoảng Điều ngược lại nói chung khơng (!) Ví dụ minh họa 7: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đồng biến Một số học sinh trình bày sau: +) Tập xác định: +) Ta có : +) Hàm số đồng biến hay Phân tích: Chẳng hạn, hàm số "=" xảy đồng biến , dấu Nhớ rằng: hàm số xác định khoảng "=" xảy hữu hạn điểm thuộc khoảng khoảng , , dấu hàm số đồng biến Lời giải là: +) Tập xác định: +) Ta có : +) Hàm số đồng biến hay LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị hàm số em qn điều kiện đủ khơng phải điều kiện cần Quy tắc:  điểm cực tiểu  điểm cực đại Điều ngược lại nói chung khơng (!) Ví dụ minh họa 8: Cho hàm số Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực đại ? Một số học sinh trình bày sau: +) Ta có: +) Điều kiện để hàm số đạt cực đại là: hệ vô nghiệm +) Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực đại Phân tích: Chẳng hạn, với , hàm số có dạng Ta có: Bảng biến thiên: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com + - Suy hàm số đạt cực đại x = Vậy lời giải sai đâu ? Nhớ rằng, thỏa mãn chưa (!) Vì kiện điểm cực đại hàm số, điều ngược lại điểm cực đại điều kiện đủ để hàm số , đó: Lí điều nghịch biến lân cận điểm cực đại hàm số Lời giải là: +) Ta có: +) Nếu Khi hàm số cho hàm nên khơng cực trị +) Nếu  Với ta có bảng biến thiên: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com -  Với + ta có bảng biến thiên: + +) Vậy với - hàm số đạt cực đại Ví dụ minh họa 9: Cho hàm số Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu Một số học sinh trình bày sau: +) Tập xác định: +) Ta có: +) Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu x = là: hệ vô nghiệm m +) Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực tiểu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phân tích: Chẳng hạn , với , hàm số có dạng Ta có Bảng biến thiên: - + Suy hàm số đạt cực tiểu Lời giải là: +) Tập xác định: +) Ta có: +) Cho  Nếu - nghiệm bội bậc chẵn trở thành nghiệm bội bậc lẻ nên ta có bảng biến thiên: + LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  Với -∞ x f'(x) 3m +∞ - +∞ f(x) - - nên ta có bảng biến thiên: + +∞ CT  Với x - -∞ f'(x) f(x) - nên ta có bảng biến thiên: 3m +∞ + +∞ + +∞ CT +) Vậy với hàm số đạt cực tiểu Sai lầm giải tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số  Các em thường mắc sai lầm không nắm vững định nghĩa giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số miền D Ví dụ minh họa 10: Tìm giá trị nhỏ hàm số Một số học sinh trình bày sau: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com +) Đặt +) Ta hàm số: +) Vậy hay Phân tích: Sai lầm chuyển tốn khơng tương đương Giá trị nhỏ hàm khơng trùng với giá trị nhỏ hàm Có thể thấy khơng tồn giá trị để (!) Nhớ rằng, số Lời giải là: +) Đặt với +) Ta có Dấu "=" xảy +) Mặt khác +) Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số với +) Ta có +) Bảng biến thiên: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com t g'(t) -1 -2 -∞ - - +∞ + + +∞ +∞ g(t) -3 +) Vậy hay Sai lầm viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Ví dụ minh họa 11: Cho hàm số , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm Một số học sinh trình bày sau: +) Ta có: +) Vì điểm nên suy phương trình tiếp tuyến là: hay A O Phân tích: Phương trình tiếp tuyến tiếp tuyến A (nhận A làm tiếp điểm) tất nhiên kẻ từ A Nhưng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com có tiếp tuyến đồ thị (C) qua A mà không nhận A làm tiếp điểm Lời giải là: +) Phương trình đường thẳng qua điểm +) Điều kiện để đường thẳng tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau có nghiệm: +) Giải hệ phương pháp ta : +) Từ ta có hai tiếp tuyến có phương trình: có hệ số góc là: và  Trên số ví dụ minh họa cho sáng kiến Cịn nhiều tập mà qua học sinh luyện tập để khắc phục sai lầm đáng tiếc, khuôn khổ sáng kiến tơi khơng hết Vì vậy, phần đưa số dạng tập để em học sinh luyện tập giáo viên làm tài liệu dạy học… Bài tập tương tự Bài tập 1: Xét tính đơn điệu hàm số sau: a b c Bài tập 2: Xác định m để hàm số sau khơng có cực trị: Bài tập 3: Tìm cực trị hàm số sau: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a b c Bài tập 4: Xác định m để hàm số sau đạt cực trị : Bài tập 5: Xác định a để hàm số sau ln đồng biến : Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: a đoạn b đoạn Bài tập 7: Cho hàm số , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm Bài tập 8: Chứng minh bất đẳng thức sau: a Bài tập 9: Cho hàm số thị hàm số cắt đường thẳng b (m tham số) Xác định m để đồ điểm phân biệt Bài tập 10: Với giá trị tham số m phương trình: có nghiệm thực phân biệt III KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tơi nhận thấy kết đạt có khả quan Cụ thể qua số kết thu hoạch khảo sát tình hình giải tập toán lớp 12C1, 12C2 năm học 2011-2012 lớp 12C3, 12C9 năm học 2012-2013 sau: Các tập khảo sát: Bài số 1: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu Bài số 2: Xét tính đơn điệu hàm số Kết khảo việc giải tập năm học 2011-2012 hai lớp 12C1 12C2 Lớp 12 C1 (sĩ số 50) Mức độ Số lượng Phần trăm Không giải 06 12 % Giải sai phương pháp 32 64 % Giải phương pháp 12 24 % Mức độ Số lượng Phần trăm Không giải 13 28 % Giải sai phương pháp 29 63 % Lớp 12 C2 (sĩ số 46) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giải phương pháp 04 9% Kết khảo việc giải tập năm học 2012-2013 hai lớp 12C3 12C9 Lớp 12 C3 (sĩ số 50) Mức độ Số lượng Phần trăm Không giải 4% Giải sai phương pháp 10 % Giải phương pháp 43 86 % Mức độ Số lượng Phần trăm Không giải 7% Giải sai phương pháp 11 % Giải phương pháp 38 82 % Lớp 12 C9 (sĩ số 46) Như vậy, bước đầu đề tài khắc phục sai lầm học sinh thường mắc phải giải tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, toán liên quan ; đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập học sinh đem lại hiệu rõ rệt Trong thời gian tới, đề tài tiếp tục LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com áp dụng vào thực tiễn giảng dạy nhà trường mong đạt hiệu tốt đẹp đạt trình thực nghiệm PHẦN 3: KẾT LUẬN Polya viết "con người phải biết học sai lầm thiếu sót mình" Thơng qua sai lầm, ta biết cách nhìn nhận nó, kịp thời uốn nắn sửa chữa giúp ta ghi nhớ lâu tri thức học, đồng thời giúp ta tránh sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm mặt tư Trước hết, đề tài nhằm cung cấp cho thầy cô giáo em học sinh tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức định đạo hàm ứng dụng đạo hàm, với kiến thức liên quan, người học có nhìn sâu sắc sai lầm thường mắc phải giải toán Đồng thời, qua sai lầm mà rút cho kinh nghiệm phương pháp giải tốn cho riêng ; người học quay trở lại để kiểm chứng lí thuyết trang bị để làm tốn Từ thấy lơgic tốn học nói chung chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy đạo hàm công cụ "mạnh" để giải nhiều toán ; nữa, toán giải cơng cụ đạo hàm lời giải tỏ ngắn gọn hơn, đẹp Nói riêng, với học sinh kiến thức đạo hàm tương đối khó, em có lực học trung bình trở xuống Các em thường quen với việc vận dụng hiểu rõ chất khái niệm, định nghĩa, định lí kiến thức liên quan học Đó chưa kể sách giáo khoa giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng chí mang tính hàn lâm ; nội dung học sinh tiếp cận thêm có hội học sâu (chủ yếu bậc Đại học) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ở cấp độ trường trung học phổ thông Đặng Thai Mai, đề tài áp dụng để cải thiện phần chất lượng mơn, củng cố phương pháp giải tốn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học ; giúp học sinh hiểu rõ chất khái niệm, định nghĩa, định lí kiến thức liên quan học, giúp em tránh khỏi lúng túng trước toán đặt không mắc phải sai lầm thường gặp Trong khuôn khổ viết này, tơi khơng có tham vọng phân tích hết sai lầm học sinh khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến Hội đồng khoa học trường Trung học phổ thông Đặng Thai Mai, Hội đồng khoa học Sở Giáo dục Đào tạo Thanh Hóa quý thầy cô Tài liệu tham khảo: Sách giáo khoa, sách tập giải tích lớp 12 nâng cao Tuyển tập đề thi đại học LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... sai lầm mà học sinh thường gặp kỳ ôn thi tốt nghiệp vừa qua vấn đề tồn năm học trước khắc phục cách có hiệu Vì tơi viết sáng kiến kinh nghiệm " NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG... Xét hàm số +) Ta có , dấu "=" xảy số đồng biến nửa khoảng +) Từ hay Suy ra, hàm Sai lầm giải toán liên quan tới đạo hàm  Sai lầm vận dụng cơng thức tính đạo hàm Ví dụ minh họa 5: Tính đạo hàm. .. CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ" với hy vọng giúp em học sinh học tập tốt giáo viên dạy mơn tốn có kinh nghiệm bổ ích II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Chỉ cho học sinh thấy sai lầm thường mắc