(SKKN HAY NHẤT) phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN ” LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Liên hệ với khái niệm hàm Tư hàm ,một loại hình tư hàng loạt cơng trình nghiên cứu đánh giá cao kiến nghị phải phát triển mạnh mẽ hoạt động giảng dạy môn nhà trường đặc biệt mơn tốn Ngày chương trình mơn tốn trường phổ thơng khái niệm hàm ,đang thể rõ vai trò chủ đạo việc ứng dụng xây dựng khái niệm khác Trong kỳ thi cấp quốc gia câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư hàm số công cụ đắc lực để giải tốn như: Giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị , Các câu hỏi thường gây khó khăn cho thày trò lên lớp Trong giảng em thường bị động nghe giảng lúng túng vận dụng vào việc giải toán Nguyên nhân em chưa hiểu chất vấn đề ,chưa có kỹ kinh nghiệm việc vận dụng hàm số vào giải tốn ,các em ln đặt câu hỏi “ Tại nghĩ làm vậy’’ Để trả lời câu hỏi dạy ,việc bồi dưỡng lực tư hàm cho học sinh thơng qua tốn điều cần thiết Muốn làm tốt điều người thầy khơng có phương pháp truyền thụ tốt mà cịn phải có kiến thức vừa chun ,vừa sâu,dẫn dắt học sinh tìm hiểu cách logíc chất tốn học.Từ giúp em có say mê việc học mơn Tốn-mơn học coi ơng vua mơn tự nhiên Khi cịn học sinh, suy tư toán nhỏ ,nhờ tư người Thầy giúp tơi có tốn , lời giải Và giúp tơi có phân tích hay , sâu sắc bục giảng , có thêm kinh nghiệm , sáng tạo ,có niềm tin vào Vì song song với việc giảng dạy kiến thức cho học sinh lên lớp ,tôi luôn coi việc bồi dưỡng lực tư GV:Ngơ Quang Nghiệp – Tổ Tốn – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN tốn cho học sinh cách trực tiếp gián tiếp thông qua giải toán Đặc biệt bồi dưỡng lực tư hàm cho học sinh nhiệm vụ quan trọng việc giảng dạy toán Qua nhiều năm đứng bục giảng, dạy tới chuyên đề này, băn khoăn làm dạy đạt kết cao ,các em chủ động việc chiếm lĩnh kiến thức Thầy đóng vai trị người điều khiến để em tìm đến đích lời giải.Chính lẽ hai năm học 2012-2013 2013-2014 Tôi đầu tư thời gian nghiên cứu Chuyên đề Một mặt giúp học sinh hiểu chất vấn đề ,các em khơng cịn lúng túng việc giải tốn liên quan đến hàm số ,hơn tạo cho em hứng thú giải tốn nói chung liên quan đến Hàm số nói riêng.Mặt khác sau nghiên cứu tơi có phương pháp giảng dạy có hiệu cao lên lớp,trả lời thoả đáng Câu hỏi “Vì nghĩ làm vậy” Viết tài liệu khó ,để viết cho hay ,cho tâm đắc lại địi hỏi phải có đẳng cấp thực Cũng may tơi khơng có tư tưởng lớn nhà viết sách,tôi không kỳ vọng điều lớn lao tơi biết có cịn ,khi tơi có ý tưởng viêt điều mà tơi gom nhặt ,Tơi mong qua ngày lĩnh hội nhiều toán sơ cấp Qua tiết học , học trị tơi băn khoăn, ngơ ngác hơn,thay vào hưởng ứng ,có niềm tin vào logic,chặt chẽ ,sáng taọ tốn học Khi người thày lại có thêm người bạn chung niềm đam mê trước kỳ diệu toán học mang lại Mặc dù tham khảo số lượng lớn tài liệu để vừa viết, vừa giảng dạy lớp để kiểm nghiệm thực tế, song lực thời gian có hạn ,rất mong Đóng góp bạn đồng nghiệp người u thích mơn tốn để đề tài có ý nghĩa thiết thực nhà trường Góp phần nâng cao chất lượng Giáo dục phổ thông.Giúp em có phương pháp - kỹ giải toán liên quan đến hàm số kỳ thi cuối cấp, đồng thời bước đầu trang bị cho em kiến thức toán _ Trang1 GV:Ngơ Quang Nghiệp – Tổ Tốn – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN cao cấp năm đầu học đại học Năm học 2013-2014 Tôi xin giới thiệu đến bạn đồng nghiệp , học sinh người yêu tốn đề tài : "Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN " Tác giả Ngô Quang Nghiệp _ Trang2 GV:Ngơ Quang Nghiệp – Tổ Tốn – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN NỘI DUNG SKKN 2.1Cơ sở lý luận vấn đề 2.1.1 Bất đẳng thức AM-GM − Nếu x1,x2,x3,…,xn số khơng âm thì: Dấu “=” xảy khi: − Chú ý: Các trường hợp riêng bất đẳng thức AM-GM +) ab  ab , bất đẳng thức viết dạng khác là: 2 (a  b  )  ab  2 a  b  ab ab   a  b    , ,    +) a  b2  c  ab  bc  ca ( a  b  c  )  3( ab  bc  ca  ) +) (ab  bc  ca  )  3abc(a  b  c  ) 1 (a,b>0)   a b ab 1    (a,b,c>0) a b c abc 2.1.2.Các bất đẳng thức phụ quen thuộc: a  b3  a 2b  ab (với a  b  ) 1 (với   a, b  0, ab  )  a  b  ab 1 a  1 b   ab (với  ab  (Với (Với ) ) ) _ Trang3 GV:Ngơ Quang Nghiệp – Tổ Tốn – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN Chú ý : - Hàm số xác định đạt GTLN M - Hàm số xác định đạt GTLN m 2.2 Thực trạng vấn đề Khi học phần em bị động , ỷ lại học tập , ý thức chép nặng nề ,chưa độc lập tư Chưa có kỹ việc giải tốn ,cịn lúng túng việc áp dụng hàm số vào giải Toán Các em coi phương pháp sử dụng hàm số vào giải tốn cịn xa lạ.Vì việc hình thành học sinh hướng tư điều khó khăn,bởi phương pháp cũ hình thành sâu vào tư em 2.3 Các biện pháp tiến hành giải vấn Ví dụ 1:Cho số thực khơng âm thoả mãn lớn biểu thức Tìm giá trị HƯỚNG DẪN GIẢI : Đặt Ta có nên Khi Xét hàm số Ta có Suy Dấu đẳng thức xảy đồng biến Do Vậy GTLN A , đạt Ví dụ 2: Cho thỏa mãn Tìm giá trị lớn _ Trang4 GV:Ngơ Quang Nghiệp – Tổ Tốn – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN HƯỚNG DẪN GIẢI : Theo giả thiết, ta có Đặt Ta có , Xét suy Ví dụ 3: (Trích HSG NGHE AN 2011) Cho số thực thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: HƯỚNG DẪN GIẢI : Điều kiện : Suy log (x -4y )=1 Ta có : log (x+2y)+log (x-2y)=1 x -4y =4 Suy : (do x > 0) Đặt: Xét : (do , với ) Bảng biến thiên: t f’(t) + - + + f(t) _ Trang5 GV:Ngơ Quang Nghiệp – Tổ Tốn – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN Từ bảng biến thiên suy P= Giá trị nhỏ P= Dấu đẳng thức xảy Ví dụ 4: (Trích đề ĐH B2009)Cho số thực x, y thay đổi thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + HƯỚNG DẪN GIẢI : dấu “=” xảy : Ta có : Đặt t = x2 + y2 , đk t ≥ 1/2 Vậy : Ví dụ 5: Cho x , y số thực không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện: Tìm giá trị lớn biểu thức : HƯỚNG DẪN GIẢI : Từ , x ; y khơng âm nên ta có Ta có : P = _ Trang6 GV:Ngơ Quang Nghiệp – Tổ Tốn – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN (vì ) Đặt t = x + y ; ta có :  t  , và P ; có = maxP = , với , dấu = xảy x=y= Ví dụ 6: Cho x,y,z số thực khơng âm Tìm giá trị lớn HƯỚNG DẪN GIẢI : Đặt t = x + y + z, , xét hàm số , Lập bảng biến thiên .Ta có MaxP = Max Ví dụ 7: Cho = f(3) = Đạt x = y =1 số thực thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: HƯỚNG DẪN GIẢI : Từ giả thiết ta có: _ Trang7 GV:Ngơ Quang Nghiệp – Tổ Tốn – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN Ta có Đặt nên với Khi ta P Hay P = Hàm số Ta có KL: Ví dụ 9: Với số thực x, y thỏa điều kiện giá trị nhỏ biểu thức Tìm giá trị lớn HƯỚNG DẪN GIẢI : Đặt Ta có: Và ĐK: Suy : Do đó: , KL: GTLN GTNN _ Trang8 GV:Ngơ Quang Nghiệp – Tổ Tốn – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN Ví dụ 10: Cho x,y  R x, y > Tìm giá trị nhỏ HƯỚNG DẪN GIẢI : Đặt t = x + y ; t > Áp dụng BĐT 4xy  (x + y)2 ta có Do 3t - > f’(t) =  t = v t = Xét hàm số t nên ta có f’(t) - + + + + f(t) Do P = = f(4) = đạt Ví dụ 11: Cho a, b, c số thực khơng âm thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức HƯỚNG DẪN GIẢI : Ta có Đặt t= bc ta có Xét hs f(t) = a(1- a) + (1 – 2a)t đoạn Có f(0) = a(1 – a) _ Trang9 GV:Ngơ Quang Nghiệp – Tổ Tốn – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN với a GTNN đạt a = b = c = 1/3 Ví dụ 12: (Trích ĐH A2010) Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1;4] Tìm giá trị nhỏ biểu thức HƯỚNG DẪN GIẢI : P= Lấy đạo hàm theo z ta có : P’ (z) = = + Nếu x = y P = + Ta xét x > y P ³ P( )= Khảo sát hàm P theo z, ta có P nhỏ z = Đặt t = Þ P thnh f(t) = (t ẻ (1; 2]) ị f(t) = x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức HƯỚNG DẪN GIẢI : Theo BĐT Cơsi ta có _ Trang10 GV:Ngô Quang Nghiệp – Tổ Toán – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN Ta có Bảng biến thiên : t P’ - P Từ BBT ta có Ví dụ 14: Cho Tìm giá trị nhỏ biểu thức : HƯỚNG DẪN GIẢI : Ta có (dấu "=" xẩy a=b) Theo Cô-si Đặt t = ab ta có Do Vậy đạt Ví dụ 15: Cho Tìm giá trị nhỏ biểu thức HƯỚNG DẪN GIẢI : _ Trang11 GV:Ngơ Quang Nghiệp – Tổ Tốn – Trường THPT Số Bảo Thắng- Lào cai LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương pháp hàm số tìm GTLN GTNN Đặt Đặt Với Khi ; Vậy Hay Ví dụ 16: Cho x,y,z ba số thực dương có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức HƯỚNG DẪN GIẢI : Xét hàm số , x y’ - với 0