(SKKN HAY NHẤT) ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ln tốn có mặt hầu hết kỳ thi học sinh giỏi tuyển sinh đại học Khơng cịn tốn hay khó đề thi Trong chương trình giảng dạy học tập bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ chủ đề hấp dẫn người dạy lẫn người học Việc giảng dạy để học sinh học tốt chủ đề vấn đề khó Chủ đề thường dành cho học sinh giỏi nên toán đưa thường hay khó Để chứng minh Bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ có nhiều phương pháp, khơng có phương pháp vạn để giải toán mà có phương pháp giải nhóm tốn mà thơi Một phương pháp hiệu sử dụng đạo hàm cho hàm nhiều biến, tư tưởng khảo sát biến, cách xem biến lại tham số cố định Khơng có thuật giải chi tiết cho phương pháp mà thơng qua ví dụ để học sinh rèn luyện để tự tìm cách giải tốn cụ thể từ tìm thấy sơ đồ giải riêng cho Vì lí tơi viết chuyên đề nhằm giúp học sinh có nhìn rộng phương pháp sử dụng đạo hàm toán chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: - Trang bị cho học sinh phương pháp giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mang lại hiệu rõ nét - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư sáng tạo III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: - Các dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa nhiều biến - Phân dạng dạng toán thường gặp phương pháp giải dạng IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHẦN 2: NỘI DUNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ: 1) Phương pháp giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f(x) tập số D Phương pháp chung - Lập bảng biến thiên hàm số tập số D Căn vào bảng biến thiên để kết luận Lưu ý 1: Nếu D đoạn [a; b] làm sau: - Tính đạo hàm y’ - Tìm nghiệm y’ đoạn [a; b], giả sử nghiệm x1, x2 - Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2) - KL: Số lớn (nhỏ nhất) số GTLN, (NN) f(x) [a; b] Lưu ý 2: Khi KL GTLN, GTNN tìm phải nêu rõ đạt x nhận giá trị 2) Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến phép đổi biến số Bước Biểu diễn biến số biểu thức ban đầu theo biến số Bước Tìm điều kiện cho biến số (dựa điều kiện biến số ban đầu) Bước Tìm GTNN, GTLN hàm số theo biến số tương ứng với điều kiện 3) Một số bất đẳng thức sở thường sử dụng: 1/ Với a, b, c bất kỳ, ta có: 2/ BĐT Côsi - Với a, b, c không âm, ta có: II PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM NHIỀU BIẾN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương pháp đưa biến toán hai, ba biến Biến đổi giả thiết biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan hệ chúng tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức cho hàm biến để khảo sát Ví dụ Cho x, y, z số dương Tìm GTNN biểu thức: Nhận xét hướng dẫn giải Dễ thấy , đặt số t là: ta biểu thức theo biến Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có: Do tốn quy tìm GTNN hàm số Vì khoảng nên hàm số P(t) đồng biến khoảng Từ có , GTNN biểu thức P Ví dụ 2.Tìm GTLN, GTNN H = Biết x, y thoả mãn điều kiện Nhận xét hướng dẫn giải Ta có H = Vì đặt ta có hàm số theo biến số t sau: Từ điều kiện ràng buộc ta suy ra: , Bài tốn trở thành: Tìm GTLN GTNN hàm số đoạn Vì nên H(t) hàm số nghịch biến đoạn Từ có GTLN H(t) đoạn khi: t = , GTNN đoạn H(t) khi: t = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đáp số: max(H) = ; min(H) = (với Ví dụ ( CĐ Khối A, B – 2008 ) Cho số thực thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: Hoạt động khám phá: - Từ giả thiết Có thể đưa tốn ẩn khơng? - Ta nghĩ tới đẳng thức - Khai triển biểu thức P cố gắng làm xuất để sử dụng giả thiết - Biến đổi biểu thức P vào ta có : - Từ giả thiết Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa P hàm biến số ta đặt : Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức: Lời giải Ta có : Ta có : , sau đặt Ta có thì: Xét hàm số với Ta có Ta có bảng biến thiên sau  -2 t P’(t) + 13/2 - P(t) -7 Vậy : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ ( ĐH Khối D – 2009 )Cho giá trị nhỏ biểu thức sau : Tìm giá trị lớn nhất, Hoạt động khám phá : - Từ giả thiết đưa tốn ẩn không ? - Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất để sử dụng giả thiết - Chú ý đẳng thức : Sau khai triển vào , ta có : - Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa S hàm biến số ta đặt : - Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức : Lời giải Ta có : Đặt Do nên Xét hàm số Ta có với Bảng biến thiên t f(t) 1/16 - 1/4 + 12 f(t) 25/2 191/16 Vậy : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ (ĐH Khối B – 2009) Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ biểu thức : Với số thỏa mãn điều kiện : Hoạt động khám phá : - Vì giả thiết biểu thức phức tạp nên ta khai thác trước cho gọn để sử dụng dễ dàng Chú ý đẳng thức : Và Khi điều kiện tốn trở thành : Ta biến đổi A sau : ( Hay ) - Vì ta nghĩ đến việc đưa A hàm biến cách đặt - Tìm điều kiện biến t ta sử dụng bất đẳng thức Lời giải Ta ln có kết quả : , từ ta có : Do Bài tốn đưa tìm max, của : Với thỏa mãn Ta biến đổi biểu thức A sau : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ( Hay ) Vì ( Đặt ) nên Ta có hàm số với Ta có bảng biến thiên sau : 4/9 1/2 + Vậy đạt Suy Kết luận : Mặt khác, ta dễ thấy khơng có giá trị lớn Ví dụ (ĐH Khối A- 2006) Cho hai số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn biểu thức: Hướng dẫn: Đặt Từ giả thiết ta có: Do Từ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét hàm số Lập bảng biến thiên ta tìm GTLN A là: 16 đạt Ví dụ (ĐH Khối B- 2011) Cho a, b số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức: Hướng dẫn: - Biến đổi giả thiết: - Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được: Suy ra: Đặt , Ta : Xét hàm số: Suy Vậy đạt đươc và Ví dụ Cho x, y hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: Hướng dẫn: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Đặt t=xy từ giả thiết suy Vậy Chú ý: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số - Biến đổi biểu diễn theo biến t ta được: - Xét hàm số , ta - Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên ta tìm Từ kết luận giá trị lớn giá trị nho T Ví dụ Cho x, y , z > x + y + z Tìm giá tri nhỏ biểu thức: Nhận xét hướng dẫn giải Rõ ràng khơng có dấu hiệu để biểu diễn biến số biểu thức cho tốn theo biến số mới, ta tìm GTNN biểu thức M ban đầu thơng qua việc tìm GTNN biểu thức trung gian T, biểu thức xác định qua lập luận sau: + Trước hết theo BĐT Cơ si ta có M=x+y+z , đẳng thức xảy x = y = z (a) + Để tìm GTNN biểu thức M ta tìm GTNN biểu thức Đặt việc tìm GTNN biểu thức T quy việc tìm GTNN hàm số khoảng (vì ) Dễ thấy hàm số T(u) nghịch biến khoảng Suy GTNN biểu thức trung gian T Tức , đẳng thức xảy , nên (đạt ) (b) + Từ kết (a) (b) suy GTNN biểu thức M ban đầu đạt Phương pháp khảo sát biến toán ba biến  Đối với bất đẳng thức nhiều biến, ta khảo sát biến cách chọn biến làm tham số biến thiên cố định biến lại, LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com toán lúc trở thành bất đẳng thức biến Ln có tâm nhìn biểu thức nhiều biến mà ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dạng hàm số để ta sử dụng công cụ hiệu toán đạo hàm  Sơ đồ tổng quát Giả sử tìm cực trị biểu thức ba biến với điều kiện T  Bước Xem hàm theo biến , số Khảo sát hàm tìm cực trị với điều kiện T Ta được:  Bước Xem hàm biến , số Khảo sát hàm với điều kiện T Ta được :  Bước Cuối khảo sát hàm số biến với điều kiện T ta tìm min, max hàm Ta đến kết luận : Ví dụ 10 (ĐH Khối A-2011) Cho ba số thực Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Hoạt động khám phá: - Khảo sát biến nào ? - Xem P hàm theo biến z, x, y số Khảo sát hàm số với điều kiện cho suy giá trị nhỏ P, tức là : - Khảo sát hàm , đưa hàm số biến không ? - Bằng cách đặt ẩn phụ để đưa hàm biến Tìm GTLN hàm số biến - Vậy Lời giải Ta có : Xem hàm theo biến  ; cịn Theo giả thiết số nên (do ) z - + 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ bảng biến thiên: Đặt , Xét hàm nên Ta có Suy giảm , Đẳng thức xảy : Vậy Ví dụ 11 Cho ba số thực Tìm giá trị lớn biểu thức: Hoạt động khám phá: - Khảo sát biến nào? - Xem P hàm theo biến a, b, c số Khảo sát hàm số với điều kiện cho suy giá trị lớn P, tức là : - Khảo sát hàm hàm theo biến c, b số Khảo sát hàm số với điều kiện cho, suy GTLN , tức - Tiếp theo khảo sát hàm suy - Vậy Lời giải: Đặt Xem hàm số theo biến , số Trường hợp 1: Suy nên Do tăng 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (xem hàm theo biến c) Do Suy ra: giảm (xem Ta có: hàm số theo biến ) Ta có bảng biến thiên 1/3 + Suy - Vậy Trường hợp 2 : Từ kết trường hợp 1, ta có: Mặt khác : Vậy , đạt Ví dụ 12 Cho ba số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn biểu thức : Hoạt động khám phá: - Từ giả thiết đưa tốn ẩn khơng ? - Biến đổi giả thiết đưa P biến ( - Khi ) - Xem P hàm theo biến a c số - Khảo sát hàm biến a với suy - Tiếp tục khảo sát hàm g(c) với suy Lời giải : 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Theo giả thiết ta có Thay vào biểu thức P ta được : Xét hàm số : với coi tham số Ta có : Ta có bảng biến thiên 1/c + - Từ bảng biến thiên ta có : Ta có : Bảng biến thiên : c + - Từ bảng biến thiên suy ra : Vậy với Ví dụ 13 Cho ba số dương trị nhỏ biểu thức: thỏa mãn điều kiện Tìm giá Hoạt động khám phá: - Hãy suy nghĩ để chuyển toán ẩn mới? - Có thể biểu diễn để biểu thức S giả thiết đơn giản hay không? - Nếu đặt : tồn nào? - Có thể chuyển tốn cho ẩn khơng? 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Từ giả thiết : - Khi đó: - Khảo sát hàm số xem y tham số cố định Ta - Tiếp tục khảo sát hàm biến g(y) - Ta đến kết luận : Lời giải : Đặt Từ Từ biểu thức S suy được: Bảng biến thiên: 7/4y f’(x) - + Khi từ bảng biến thiên , ta có: Đặt phương trình Ta có bảng biến thiên: g’(y) - 5/4 + 15/2 Từ bảng biến thiên suy : 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vậy với : Ví dụ 14 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Hoạt động khám phá: - Bài tốn cần làm có chứa ẩn nghĩ biến đổi chúng thỏa mãn cho ẩn hơn? - Từ giả thiết , mà - Khi : - Tích tổng suy gợi cho nghĩ đến bất đẳng thức nào? - Khi - Khảo sát hàm biến f(c) ta đến kết Lời giải: Do vai trị bình đẳng a, b, c nên ta giả sử : Vì chu vi nên nên mà Ta biến đổi : Mặt khác : ( ) Do : Xét hàm số : , đoạn Ta có bảng biến thiên f’(c) + 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 13 Khi từ bảng biến thiên suy ra: Suy Vậy Ví dụ 15 Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng: Hướng dẫn Biểu thức theo - Ta có đối xứng với ba ẩn nào? Biến đổi P - Với mối quan hệ chuyển P biến nào? Đặt từ giả thiết ta có - Tìm điều kiện cho ẩn nào? Từ điều kiện x, y, z ta - tìm điều kiện ẩn x chuyển điều kiện theo ẩn t áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương y, z ta có: Xét hàm số đoạn , ta có: Từ việc xét dấu Khảo sát hàm số đoạn ta suy ra : Ví dụ 16.(Khối B - 2010) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hướng dẫn Ta có Đặt , ta có : Xét hàm số : với Ta có  ; Dấu xảy Xét đoạn ; suy nghịch biến ta có : Do , suy đồng biến Vì , số sau: Do giá trị nhỏ M BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện biểu thức : Tìm GTLN Đáp số : đạt Bài Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện Tìm GTLN, GTNN biểu thức : Đáp số : đạt đạt Bài Cho thỏa mãn điều kiện Đáp số : Tìm GTLN biểu thức : đạt Bài Tìm GTNN biểu thức : 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đáp số : đạt KÕt luËn Với đề tài: “ Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm nhiều biến ” cố gắng hệ thống số dạng Trong dạy có đưa sở lí thuyết ví dụ có hoạt động khám phá cụ thể nhằm giúp học sinh tự tìm lời giải cho mình, từ hình thành cho phương pháp giải tốn nói chung để giải tốn Các tập đưa từ dễ đến khó, có tập có lời giải chi tiết có tập có hướng dẫn học sinh phải biết chiếm lĩnh tri thức, phát triển khả tư cho học sinh Hệ thống tập đề tài chủ yếu tập đề thi Đại hoc Cao đẳng năm gần nên học sinh hiểu làm tạo nên hứng thú động lực học tập rt tt cho cỏc em Tuy nhiên trình giảng dạy có nhiều học sinh bỡ ngỡ qúa trình giải toán cực trị, lập luận cha có cứ, suy diễn cha hợp logic đặc biệt số dạng cha phù hợp với học sinh trung bình, yếu Sỏng kin kinh nghiệm triển khai chuyên đề để bồi dưỡng học sinh giỏi ; dùng để giảng dạy cho em học sinh ôn tập thi đại học, nhằm giúp em học sinh vượt qua trở ngại tâm lí từ trước tới cho loại toán XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Hướng Hóa, ngày 05 tháng 06 năm 2020 Tơi xin cam đoan SKKN (hoặc đề tài NCKH) viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Trương Văn Đức 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM NHIỀU BIẾN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương pháp đưa biến toán hai, ba biến Biến đổi... đạt x nhận giá trị 2) Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến phép đổi biến số Bước Biểu diễn biến số biểu thức ban đầu theo biến số Bước Tìm điều kiện cho biến số... thức biến Ln có tâm nhìn biểu thức nhiều biến mà ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dạng hàm số để ta sử dụng công cụ hiệu toán đạo hàm  Sơ đồ tổng quát Giả sử tìm cực trị biểu thức ba biến