Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI oOo PHƢƠNG PHÁP ĐƢA VỀ XÉT HÀM MỘT BIẾN SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Họ tên tác giả: Đào Văn Lương Chức vụ: Tổ trưởng chun mơn Tổ chun mơn: Tốn – tin học Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên tỉnh Lào Cai CHỨC VỤ: TỔ TRƢỞNG CHUYÊN MÔN TỔ : TOÁN TIN HỌC ĐƠN VỊ: TRƢỜNG THPT CHUYÊN TỈNH LÀO CAI Lào Cai, tháng năm 2014 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Nội dung Trang Đặt vấn đề Giải vấn đề Cơ sở lý luận vấn đề Thực trạng vấn đề Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Các kiến thức chuẩn bị Phương pháp đưa xét hàm số biến số để tìm giá trị lớn nhỏ Phương pháp khảo sát biến để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 15 Bài tập áp dụng Hiệu SKKN Kết luận Tài liệu tham khảo 20 22 22 23 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Danh mục chữ viết tắt Chữ viết tắt Giải nghĩa SKKN Sáng kiến kinh nghiệm GTLN Giá trị lớn GTNN Giá trị nhỏ SGK Sách giáo khoa VMO Kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia Việt Nam môn Toán (Vietnamese Mathematical Olympiad ) BĐT Bất đẳng thức ĐH –B2013 Đề thi đại học khối B năm 2013 IMO Kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán quốc tế (International Mathematical Olympiad) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com T VN Trong ch-ơng trình bồi d-ỡng học sinh khiếu toán trung học phổ thông, chuyờn đề bất đẳng thức, cực trị lµ mét néi dung thiếu, toán bt ng thc v tỡm cc tr luôn chiếm vị trí quan träng cÊu tróc ®Ị thi häc sinh giái tØnh, häc sinh giái Quèc gia đề thi tuyển sinh đại học bất đẳng thức, cực trị thường câu dùng để phân loại học sinh Chuyên đề bất đẳng thức cực trị học sinh học từ sớm, thị trường có nhiều tài liệu tham khảo cung cấp nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức hay tìm cực trị biểu thức Tuy nhiên q trình dạy học tơi nhận thấy xu hướng đề thi đại học học sinh giỏi nhiều năm gần phương pháp hàm số lên phương pháp hiệu để giải tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Vì tơi lựa chọn đề tài: “PHƢƠNG PHÁP ĐƢA VỀ XÉT HÀM MỘT BIẾN SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Cơ sở lý luận Nghiên cứu trình bày chuyên đề PHNG PHÁP ĐƢA VỀ XÉT HÀM MỘT BIẾN SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ” nh»m cung cấp cho học sinh cách suy nghĩ để giải tốn tìm GTLN GTNN cách đưa khảo sát hàm số có biến số Trong SKKN ta xét ý tưởng để chuyển hóa tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức có chứa nhiều biến xét với hàm số biến số SKKN cung cấp nhận xét quan trọng phương pháp, từ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp có cơng cụ hiệu để giải lớp toán 2.2 Thực trạng vấn đề Chuyờn bt ng thc, cc tr phần kiến thức quan trọng ch-ơng trình toán THPT Xuất nhiều đề thi chọn học sinh giỏi toỏn cấp kỳ thi tuyển sinh vào đị học, cao đẳng hàng năm Tuy nhiªn viƯc giải tốn tìm GTLN GTNN khụng n gin Nó đòi hỏi ng-ời làm toán việc hiểu rõ kiến thức, có kỹ cần thiết cần phải có t- sáng tạo, s¾c bÐn 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Trong phần SKKN trình bày nội dung là: § Các kiến thức chuẩn bị LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com § Phƣơng pháp đƣa xét hàm số biến số để tìm giá trị lớn nhỏ § Tìm giá trị lớn nhỏ phƣơng pháp khảo sát lần lƣợt biến số Trong nội dung trình bày nêu rõ sở phương pháp, đưa phân tích, định hướng lời nhận xét cần thiết Cuối đề xuất số tập tương tự để người đọc tự rèn luyện LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com § Các kiến thức chuẩn bị I Khái niệm giá trị ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xác định D Số M đ-ợc gọi giá trị lớn hàm số f(x) D : f ( x) M , x D x D cho : f(x ) M KÝ hiÖu : M max f ( x) xD Số m đ-ợc gọi giá trị nhỏ hàm số f(x) D nÕu : f ( x) m, x D x D cho : f(x ) m KÝ hiÖu : m f ( x) xD II Phƣơng pháp chuẩn hóa Một số định nghĩa Định nghĩa 2: Ta bảo H(x,y,z) đa thức đẳng cấp bậc k (k nguyên dương) H(tx, ty, tz) = tk H(x, y, z) Định nghĩa 3: Ta bảo, f(x, y, z) g(x, y, z) l hai a thc đồng bậc m (nguyên d-ơng) f( x, y, z) = m f(x, y, z) g( x, y, z) = mg(x, y, z) 2) Phƣơng pháp chuẩn hóa a) Bài tốn 1: Cho H(x, y, z) đa thức đẳng cấp bậc k hm số F(x, y, z) tháa m·n F(x, y, z) = F( x, y, z) Khi giá trị F(x, y, z) miền {(x, y, z)| H(x, y, z) = a, a > 0} kh«ng thay ®ỉi a thay ®ỉi Chứng minh ThËt vËy, gi¶ sö M(x, y, z): H (x, y, z) = a1 M’(x’, y’, z’): H(x’, y’, z’) = a2; a1 a2; a1, a2 > Ta cã H x, y, z = a1 a2 H(x, y, z) = a a1 k a a k H(x, y, z) = a H k x, a1 a1 đặt x' = k a2 x, y' = a1 k a2 y, z' = a1 k k a2 y, a1 k a2 z = a2 a1 a2 z a1 Ta cã: H(x', y', z') = a F(x', y', z') = F(x, y, z) Mặt khác : M H(x, y, z) = a1 M' H(x', y', z') = a LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com b) Phƣơng pháp chuẩn hóa Từ việc chứng minh tốn trên, ta nhn c kt qu l: ể tìm giá trị F(x, y, z) trªn miỊn H(x, y, z) ta chØ cần tìm giá trị F(x, y, z) miền H(x, y, z) = a, cố định thích hợp Trong ú H(x, y, z) đa thức đẳng cấp bËc k Cách làm ta gọi phương pháp chuẩn hóa 3) Mở rộng Bài tốn 2: Cho bÊt ®¼ng thøc: f(x, y, z) g(x, y, z) (*) Với f, g đồng bậc H(x, y, z) đa thức đẳng cấp bậc k Nu bt ng thc (*) miền H(x, y, z) = a1 miền H(x,, y,, z,) = a2 víi a1, a2 > Chứng minh H(x, y, z) = a1 H(x',y',z') = a ; x' = k a2 a x; k y; a1 a1 k a2 z a1 m a f(x', y', z') = k f(x, y, z) a 1 T-¬ng tù: m a g(x', y', z') = k g(x, y, z) a 1 Khi ®ã: f(x, y, z) g(x, y, z) f(x', y', z') g(x', y', z') Nhận xột: Nh vy để chứng minh (*) miền H(x,y,z) cần chứng (*) miền H(x, y, z) = a > cố định Việc chọn giá trị a quan trọng, bi vỡ thay cho việc nghiên cứu tính đắn (*) miền H(x,y,z) ta chuyển việc nghiên cứu tính đắn (*) xét miền H(x,y,z) = a LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com § Phƣơng pháp đƣa xét hàm số biến số để tìm giá trị lớn nhỏ Bài toán mở đầu: Trước hết ta xét toán sau: Bài toán 1: (Câu V Khối D-2009) Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn: x+y=1 Tìm GTLN, GTNN biểu thức: S=(4x2+3y)(4y2+3x)+25xy Hƣớng dẫn giải Để tận dụng giả thiết x+y=1 ta biến đổi sau: S=16x2y2+12(x3+y3)+34xy = 16x2y2+12[(x+y)3-3xy(x+y)+34xy = 16x2y2-2xy+12 Đặt t=xy, biểu thức: S=f(xy) = f(t) = 16t2-2t+12 Tiếp theo ta đánh giá xem với x,y khơng âm x+y=1 miền giá trị biến t nào? Dễ thấy: xy ( x y)2 1 t [0; ] 4 Như toán trở toán đơn giản: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ f(t)= 16t2-2t+12 với t [0; ] Bằng phương pháp lập bảng biến thiên hà f(t) t [0; ] , sử dụng qui tắc trang 21 SGK – Giải tích 12, ta dễ dàng nhận Smax 25 191 ; Smin 16 Nhận xét 1: 10) Ở toán ta từ giả thiết x+y=1 rút y=1-x thay vào biểu thức S đưa S hàm bậc ẩn x, x [0;1] , sau tiến hành tương tự, nhiên cách thực dài biểu thức S không thuận lợi cách làm 20) Trong cách làm ta chuyển biểu thức S hàm f(xy), sử dụng phép đặt ẩn số phụ Cần lưu ý tới giả thiết toán dạng toán đổi biến thiết phải đặt xác điều kiện cho biến Áp dụng Bài toán 2: Cho x, y số thực thỏa mãn điều kiện x2+y2=2 Tìm GTLN, GTNN biểu thức: P=2(x3+y3) – 3xy LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hƣớng dẫn giải: So sánh với toán 1, rõ ràng việc xuất phát từ giả thiết toán để rút biến x theo y vào biểu thức P khó thực được, suy nghĩ tự nhiên ta tìm cách biểu diễn biểu thức P theo ẩn số có chứa x y sử dụng phép đặt ẩn số phụ Ta có: P 2( x y)( x y xy) 3xy 2( x y)(2 xy) 3xy Mặt khác, ta ln có đẳng thức hiển nhiên sau: xy ( x y)2 , sau đặt t=x +y, t2 t2 P f (t ) 2t (2 )3 t t 6t 2 Vấn đề lại với giả thiết ban đầu biến t nào? Lại có: ( x y)2 Bunhiacopsky 2( x y ) t [-2;2] Đến tốn trở tốn tìm GTLN GTNN hàm số f (t ) t t 6t , với t [-2;2] (Đây tập quen thuộc SGK giải tích 12) Bài tốn (Đại học khối B-2012) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z x2 y z Tìm giá trị lớn biểu thức P x5 y5 z Hƣớng dẫn giải *) Đưa P hàm ẩn x? Ta có: P x5 ( y z )( y3 z ) y z ( y z ) P x5 (1 x )[( y z )( y z ) yz ( y z )]+( x )2 x = (2 x x) *) Tìm miền giá trị x? Do x+y+z=0 x2+y2+z2=1 Nên ta có: ( x y z)2 x2 y z x( y z ) yz x yz Suy ra: yz x ; yz y2 z x 1 x2 6 x2 x 2 2 3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com *) Bài tốn trở thành: Tìm giá trị lớn hàm P=f(x)= 6 (2 x x) , với x 3 Bài toán (Đại học khối B-2011) Cho số thực a, b, số thực dương thỏa mãn điều kiện : 2(a2 b2 ) ab (a b)(ab 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức a b3 a b P 4 9 a b a b Hƣớng dẫn giải Lƣu ý rằng: a b3 a b a b a b f ( ) = f(t)=4t3-9t2-12t+18, với t b a b a b a b a *) P *) Tìm miền giá trị cho biến t? Từ giả thiết: 2(a b2 ) ab (a b)(ab 2) 2(a b2 ) ab a 2b ab2 2(a b) a b 1 1 a b 2( ) (a b) 2( ) 2(a b).( ) = 2( 2) b a a b a b b a a b b a Giải bất phương trình này, tìm điều kiện: t Bài tốn trở thành: Tìm giá trị nhỏ hàm: f(t)=4t3-9t2-12t+18, với t Bài toán (VMO-2003- bảng A) Cho hàm số f xác định tập hợp số thực R, lấy giá trị R thoả mãn điều kiện: f(cotx) = sin2x+cos2x, với x (0; ) Hãy tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số g(x) = f(x).f(1-x) [-1;1] Hƣớng dẫn giải Ta có: f(cotx) = sin2x+cos2x, với x (0; ) Đặt t=cotx, x (0; ) t thuộc R Hàm f (t ) t 2t ;t t2 1 Dẫn đến : g(x) = f(x).f(1-x) = x (1 x)2 x(1 x) ;xR x (1 x)2 x(1 x) Đặt u=x(1-x) Khi x thc [-1 ;1] u thuộc [-2 ;1/4] Bài toán trở thành : 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tìm GTLN, GTNN hàm h(u ) u 8u , u [-2; ] (đến tập SGK) u 2u Bài toán (VMO-2004 bảng B): x y z Hãy tìm GTNN GTLN xyz Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện biểu thức : P x y z Hƣớng dẫn giải Đặt t=xy+yz+zx, đưa Q dạng Q= 2(t2-32t+144) *) Tìm điều kiện t? Từ giả thiết, suy y+z=4-x yz=2/x nên t=x(4-x)+2/x(*) Sử dụng BĐT hiển nhiên: ( y z )2 yz (4 x)2 x 2(do x (0;4)) x Khảo sát hàm t(x) miền x suy điều kiện t Khi tốn trở tốn SGK Bài toán (Đề thi đại học khối B-2010) Cho số thực a ,b ,c không âm thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = 3(a 2b2 b2c2 c2 a ) 3(ab bc ca) a b2 c2 Hƣớng dẫn giải Nhận xét toán tìm GTNN biểu thức đối xứng ba biến, việc suy nghĩ theo hướng rút để giảm dần số biến qui hàm biến khó thực Hơn nữa, ta có: M 3(a 2b b 2c c a ) 3(ab bc ca) a b c =3(a 2b b 2c c a ) 3(ab bc ca) (a b c) 2(ab bc ca) =3(a 2b b 2c c a ) 3(ab bc ca) 2(ab bc ca) Như vậy, qua cách biểu diễn ta đưa M dạng chứa biểu thức ab, bc, ca Làm để biểu thị M thông qua biểu thức hàm chứa biến số, ta nghĩ đến đánh giá trung gian, tự nhiên là: 3(a 2b2 b2c c a ) Bunhiacopssky (ab bc ca)2 , M (ab bc ca)2 3(ab bc ca) (a b c)2 2(ab bc ca) Đặt t=ab+bc+ca thì: M f (t ) t 3t 2t 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mặt khác: (a b c)2 3(ab bc ca) (BĐT hiển nhiên) Nên t [0; ] đến toán đưa đưa tốn SGK Tìm GTNN f (t ) t 3t 2t với t [0; ] Nhận xét 2: 30) Trong nhiều trường hợp ta phải sử dụng đánh giá trung gian để làm trội biểu thức cần tìm GTLN GTNN, sử dụng đánh giá trung gian cần phải lưu ý đến việc dấu xảy đồng thời bất đẳng thức trung gian mà ta sử dụng Bài toán (HSG tỉnh phú Thọ 2013-2014) Cho số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a b c Tìm giá trị lớn biểu thức 2a b c 2b c a a b S 2 9c 2a b c 2b2 c a c2 Hƣớng dẫn giải 2a b c 2 a2 b c Vì a b c nên ta có 2a b c 2 a2 b c Suy 2b c a 2b2 c a a2 a 8a 3a2 6a a 12 4a Đẳng thức xảy a Tương tự 4b Đẳng thức xảy b a b c2 Do S a b 8 9c c c2 52 4c 8 c2 c 8 9c 3c 3c 52 4c 8 c2 Xét hàm số f c với c 3c 3c Chứng minh max f c f 1 c 3 16 16 Vậy max S 9 Bài toán 9: Cho x, y, z số thực thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 9, tìm giá trị lớn biểu thức: F = 2(x + y + z) – xyz Hƣớng dẫn giải 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do vai trị a, b, c bình đẳng giả sử x y z z2 Ta có F = 2(x + y) + (2 – xy)z Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có: 2 2 x y xy z 22 xy x y z x y xy z xy x y Theo ta suy ra: F 2 x xy y z 8 xy x y 9 xy (1) 2 Đặt xy = t, x2 + y2 + z2 = x2 + y2 = – z2 , mà: xy x2 + y2 – z2 nên -3 t 3, từ bất đẳng thức (1) trở thành: F 8 4t t 2t F 2t t 20t 72 Xét hàm số f(t) = 2t3 + t2 - 20t + 72 với t [-3, 3], ta chứng minh: f(t) = 2t3 + t2 - 20t + 72 100 (2) 2t + t – 20t – 28 (t + 2)(2t2 – 3t - 14) (t + 2) (2t – 7) Do t [-3, 3] nên bất đẳng thức đúng, dấu ‘=’ xảy t = - Suy ra: F 10 (3) xy 0 x y z xy 0 z Dấu ‘=” bđt (1) xảy x y Xét hệ: x y z xy 2 x2 y z (x, y, z) = (2, -1, 2), (-1, 2, 2) Vậy GTLN F = 10 đạt (x, y, z) = (2, -1, 2) hoán vị chúng Nhận xét : 40) Trong nhiều trường hợp để tìm giá trị lớn biểu thức ta kết hợp với phương pháp chuẩn hóa, để chuyển biểu thức cần tìm GTLN GTNN biểu thức có dạng đơn giản đồng thời tạo cỏc iu kin liờn h gia cỏc bin Bài toán 10: Cho a, b, c > Tìm GTLN F = 7(ab + bc + ca) 9abc (a + b + c)2 (a + b + c)3 Hƣớng dẫn giải 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com F(a, b, c) = 7(ab + bc + ca) 9abc (a + b + c) (a + b + c)3 Do F(a , b, c) = F(ta, tb, tc) Ta cã thÓ xem a + b + c = Suy ra: F(a, b, c) = 7(ab + bc + ca) - 9abc = 7a(1 - a) + bc(7 - 9a) Gi¶ sư: 0 0; bc = 4 0 < a b c Khi ®ã: (1- a)2 F(a, b, c) 7a(1- a) + (7- 9a); < a 1 F(a, b, c) f(a) = (- 9a - 3a + 5a + 7) 4 Khảo sát hàm số f(a), ta có: max F(a, b, c) = đạt a=b=c Bài toán 11: Cho a, b, c > Tìm GTNN (a + b + c)2 a + b + c3 a + b + c Q= 2 + (1) 2 abc ab + bc + ca a +b +c Hƣớng dẫn giải Do F(a, b, c) = F(ta, tb, tc) Ta tìm giá trị Q miền a2+b2+c2=3 Khi đó: (a + b + c)2 = a + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca (a + b + c)2 = + 2(ab + bc + ca) a + b3 + c3 = 3abc + (a + b + c)3 - (ab + bc + ca) a + b + c3 1 =3+( + + )3 - (ab + bc + ca) abc ab bc ca = ab + bc + ca 3; = Đặt 1 + + Suy ra: ab bc ca Q 2 2 12 (3 ) 2 2 2( ) 2 2 3( ) 1/ 3 Q 2 4 Suy ra: minQ = , a = b = c > 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com § Phƣơng pháp khảo sát lần lƣợt biến để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Nhận xét : Để tìm cực trị biểu thức cú chứa nhiều biến số dùng phương pháp khảo sát biến, nghĩa Tìm GTLN (hoặc GTLN) hàm số với biến thứ biến lại coi tham số Rồi tìm GTLN(GTNN) hàm số với biến thứ hai ứng với giá trị xác định biến số thứ mà biến số lại coi tham số Ví dụ minh họa Bài toán 12: Xét hàm số : f(x;y) = (1-x)(2-y)(4x-2y) miền D = {(x,y)/ x 1, y 2} Tìm giá trị nhỏ hàm số f miền D Hƣớng dẫn giải Biến đổi hàm số cho trở thành: f(x,y) = 2(1-x)(2-y)[(2-y)-2(1-x)] Đặt v = 1-x u = 2- y, ta chuyển tìm giá trị nhỏ hàm số: F(u,v) = uv(u-2v) = -2uv2+u2v, miền : E = {(u,v)| u , v 1} Nghĩa là: Tìm F (u, v) [min F (u, v)] [min (2uv2 u 2v)] E u v 1 u v 1 Xét hàm : g(v) = -2uv2+u2v với v ta coi u tham số thoả mãn u Ta có: g'(v) = -4uv+u2 = u(u-4v) ta thấy g'(v) = v0= u u mà v0 [0;1] qua v0 4 g'(v) đổi dấu từ dương sang âm, suy ra: g (v) min{ g (0); g (1)} ¦ = min{0;-2u+u2}=u2-2u 0v1 (vì u2-2u = u(u-2) 0) Vậy: F (u, v) (2u u ) = -1 u = 1; v = 0u 2 E u x v y Từ f ( x, y) F (u, v) 2 đạt D E Bài toán 13: Xét số thực dương a, b,c thoả mãn điều kiện: abc+a+c = b Tìm giá trị lớn biểu thức: P = 2 (VMO-1999-bảng A) a 1 b 1 c 1 Hƣớng dẫn giải Từ giả thiết: abc+a+c = b a+c = b(1-ac) > ac < 0 g'(c) = c0 = 2 g(c0) giá trị cực đại, suy P g( a = c c = 2c dễ thấy qua c0 g'(c) đổi dấu từ dương sang âm nên 2 )= 10 Giá trị P đạt c = 2 b = 2 Bài toán 14: Xét số thực dương x, y, z thoả mãn hệ điều kiện sau : 2 z min{ x, y} (1) (2) Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P(x;y;z) = xz x y z 15 (3) yz 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (VMO-2001-bảng B) Hƣớng dẫn giải x z y z Ta viết lại : P(x,y,z) = ( ) 2( ) Từ điều kiện (1) suy ra: x z từ (2) suy ra: x a) Xét hàm số : f(x) = 4 } (4) x max {z, 15 z 15 z 1 Xảy hai trường hợp sau với x > tham số z x z đây: (Rõ ràng ta nghĩ tới việc xét giá trị mà làm cho z = Nếu z Nếu 15 x z z 15 Xét hàm số g(z) = x ) z= 15 z 15 1 1 theo (4) nên: f(x) = 15 (5) x z 15 z z z z 1 15 z = g(z) z theo (4) nên: f(x) = x z 15 z z 15 z với z z 15 Ta có: g'(z) = = 15 2 ] < z [ ; z 15 Từ g(z) hàm giảm f(x) g(z) g( ) = (6) So sánh (5) (6) kết luận: f(x) = = 1 1 x = z = Dấu "=" xảy x z x z (7) b Xét hàm số h(y) = 1 Từ điều kiện (1) (3) suy y max{z; } (8) 5z y z Lập luận hoàn toàn tương tự câu a) ta Nếu z Nếu h(y) (9) 9 1 h(y) (10) So sánh (9) (10) rút : đồng thời : z 2 y z 1 = y z z= y= x z y z Từ kết a) b) ta có: P(x;y;z) = ( ) 2( ) 4+2 = 13 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com x Vậy MaxP(x,y,z) = 13 đạt y z Bài toán 15: Xét số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện: 21ab+2bc+8ca 12 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P(a,b,c) = a b c (VMO- 2001) Hƣớng dẫn giải Đặt x = 1 ; y = ; z = , đề chuyển toán sau: a b c Xét số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: 2x+8y+21z 12xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P(x,y,z) = x+2y+3z x y Xuất phát từ giả thiết : 2x+8y+21z 12xyz z(12xy-21) 2x+8y > (1) z 2x y 12 xy 21 Suy : P(x,y,z) x+2y+ Xét hàm số: f(x) = x+ 2x y (2) xy x y x y 5x y = với biến x > y tham số y >0 xy xy 4y 16 x y 56 xy 32 y 35 Ta có: f'(x) = ( ;+ ) f'(x) = 16x2y2-56xy-32y2+35 4y (4 xy 7) 32 y 14 4y 4y = có nghiệm x0 = qua x0 f'(x) đổi dấu từ âm sang dương nên f(x) đạt cực tiểu x0 Từ f(x) f(x0) = 32 y 14 (4 x y x y )' | x0 5 (theo định lý ) = 2x0 - =2( )(4 xy 7)'| x0 4y 4y 4y 4y 32 y 14 = 4y 2y Suy ra: P(x,y,z) f(x)+2y 2y+ 32 y 14 = g(y) (3) 4y 2y 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét hàm số g(y) = 2y+ 32 y 14 với y > Sau tính g'(y) ta có: g'(y) = 4y 2y (8y -9) 32 y 14 -28 = đặt t = 32 y 14 (Điều kiện t > 0) phương trình trở thành : t - 50t -112 = (t-8)(t +8t+14) = t = y = Với y > qua y0 = 5 từ g'( ) = 4 5 g'(y) đổi dấu từ âm sang dương nên g(y) đạt cực tiểu y0 = 4 lúc đó: g( ) = 15 15 Từ theo (3) suy ra: P(x,y,z) g(y) g( ) = (Theo tính chất bắc cầu) y a 32 y 14 Dấu đẳng thức xảy x b 4y 2y z c Vậy : MinP(a,b,c) = 15 Nhận xét 5: Phương pháp khảo sát biến cho thấy đường lối giải rõ ràng so với cách vận dụng bất đẳng thức, đồng thời dùng để giải loạt tốn tìm cực trị hàm nhiều biến 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com § BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1: Tìm GTLN, GTNN biểu thức: P 2( xy y ) xy x Bài tập 2: (A-2006) Cho hai số thực x 0, y thay đổi thỏa mãn điều kiện: ( x y) xy x y xy Tìm giá trị lớn biểu thức A 1 x3 y Bài tập (ĐH B-2009) Cho số thực x, y thay đổi thoả mãn: (x + y)3 + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + Bài tập (ĐH B-2007) Cho x , y , z ba số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu x thức : P x( y z ) y( ) z ( ) yz zx xy Bài tập (ĐH A2011) Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1; 4] x y, x z Tìm giá trị nhỏ biểu biểu thức P x y z 2x 3y y z z x Bài tập (ĐH A2012) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y y z z x x2 y z Bài tập (ĐH A2013) Cho số thực dương a, b, c (a c)(b c) 4c2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P thỏa mãn điều kiện 32a 32b3 a b2 (b 3c)3 (a 3c)3 c Bài tập (ĐH B2013) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức : P a b c 4 2 (a b) (a 2c)(b 2c) x, y Tìm GTLN P x2 y ( x y ) x y Bài tập (Ireland 2000) Cho Bài tập 10 Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện (x+y+z)3=32xyz Hãy tìm GTNN GTLN biểu thức : P x4 y z (VMO-A-2004) ( x y z )4 Bài tập 11 (IMO 1984/1) Cho x, y,z số thực không âm cho: x+y+z=1 CMR: xy yz zx xyz Dấu ‘=’ xảy ? 27 Bài tập 12 (VMO-2001-bảng A) XÐt số thực d-ơng x, y, z thoả mÃn điều kiÖn 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com z min{ x , y 3} x z y z 10 Tìm giá trị lớn biÓu thøc: P(x,y,z) = 2 x y z Bài tập 13 Cho hµm sè: f(x,y,z) =xy+yz+zx - 2xyz trªn miỊn : D = {(x,y,z):0 x,y,z x+y+z = } Tìm f ( x, y, z ) vµ max f ( x, y, z ) D D Bài tập 14 Chøng minh x, y, z số thực đôi khác : | x y| x2 1 y2 | yz| 1 x2 1 z | xz| 1 x2 1 z2 Bài tập 15: Cho x, y, z R thoả mÃn ba điều kiện : z y x 3 1 xy y 18 3 x y y z z x (1) (2) (3) H·y t×m giá trị lớn biểu thức: F(x,y,z) = xyz 80 x y 27 - 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.4 Hiệu SKKN S¸ng kiÕn kinh nghiƯm đ-ợc ỏp dng dy cho i tuyn thi chn HSG cấp tỉnh cấp Quốc gia năm học 2013-2014 đạt hiệu tốt, có học sinh đạt giải học sinh giỏi Quốc gia mơn Tốn học Sáng kiến kinh nghiệm chuyên đề tốt sử dung việc bồi dưỡng học sinh khiếu Kết lun Bt ng thc, cc tr phần kiến thức quan trọng ch-ơng trình toán THPT Xuất nhiều đề thi chọn học sinh giỏi toỏn cỏc cấp, đề thi tuyển sinh vào đại học cao đẳng năm Tuy nhiªn viƯc giải toán bất đẳng thức, cực trị l khụng n gin Nó đòi hỏi ng-ời làm toán việc hiểu rõ kiến thức, có kỹ cần thiết cần phải có t- sáng tạo, sắc bén Sáng kiến kinh nghiệm đ-ợc ỏp dụng dạy cho đội tuyển thi chọn HSG cấp tỉnh cấp Quốc gia có hiệu Sáng kiến cú th c sử dụng thành chuyên đề để giúp học sinh THPT phát triển kỹ năng, kỹ xảo t- trình giải toán Sáng kiến đ-ợc sử dụng nh- tài liệu tham khảo cho bạn học sinh yêu thích môn toán chuẩn bị thi vào tr-ờng đại học cao đẳng, thi học sinh giỏi Sáng kiến phát triển thành đề tài nghiên cứu, gắn liền với ch-ơng trình THPT nhằm giúp cho học sinh tiếp thu t- cách nhanh Sáng kiến kinh nghiệm đà đạt đ-ợc mục đích nhiệm vụ nghiên cứu đà đề Tuy nhiên thời gian nghiên cứu hạn chế, nên sáng kiến không tránh khỏi thiếu xót Rất mong nhận đ-ợc ý kiến đóng góp quý báu thầy cô giáo em học sinh sử dụng tài liệu Lào Cai tháng năm 2014 Giáo viên o Vn Lƣơng 22 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tài liệu tham khảo Gii thiu thi i học cao đẳng từ 2002 đến 2013 tác giả: Trần Tuấn Điệp – Ngô Long Hậu- Nguyễn Phú Trường Tuyển tập đề thi chọn HSGQG mơn Tốn T¹p chí toán học tuổi trẻ Địa Webside. Mathscope.org” 23 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... vấn đề Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Các kiến thức chuẩn bị Phương pháp đưa xét hàm số biến số để tìm giá trị lớn nhỏ Phương pháp khảo sát biến để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 15 Bài tập... lên phương pháp hiệu để giải tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Vì tơi lựa chọn đề tài: “PHƢƠNG PHÁP ĐƢA VỀ XÉT HÀM MỘT BIẾN SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ” làm đề tài sáng... HM MỘT BIẾN SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ” nh»m cung cấp cho học sinh cách suy nghĩ để giải toán tìm GTLN GTNN cách đưa khảo sát hàm số có biến số Trong SKKN ta xét ý tưởng để
Ngày đăng: 19/10/2022, 22:04
Xem thêm:
