(Sáng kiến kinh nghiệm) phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất(GTLN), giá trị nhỏ nhất(GTNN) trong chương trình toán THCS

MỤC LỤC Trang A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ……………………………………………………….… Lời nói đầu …………………………………………………… ………….……… Lý chọn đề tài………………………………………………… ……… …… II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU……………………… …… Đối tượng nghiên cứu…………………………………………… ……… …… Phạm vi nghiên cứu…………………………………………… …….…… …… III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU……………………………………….…….……… IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU…………………………………… .………… V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU…………………………… …… ….…… Phương pháp nghiên cứu tài liệu……………………………………….….…… Phương pháp điều tra khảo sát……………………………………….….……… Phương pháp thử nghiệm………………………………………….……… …… Phương pháp tổng kết kinh nghiệm…………………………….……… …… VI GIẢ THUYẾT KHOA HỌC………………………………… ……………… 2 3 3 4 4 4 B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN………………….…………… Cơ sở lý luận……………………………………………………………… ….… … Cơ sở thực tiễn…………………………………………………………… ………… II MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI III KHẢO SÁT BAN ĐẦU…………………………………………….…………… IV THỰC TRẠNG VÀ NGUYÊN NHÂN…………………….…… ………… Thực trạng………………………………………………………….………………… Nguyên nhân…………………………………………………….…………………… V GIẢI PHÁP CHỦ YẾU…………………………………….….….……………… VI MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO………………………….…… ………… VII HIỆU QUẢ MANG LẠI CỦA SÁNG KIẾN………….……….……… 5 5 7 7 18 19 C KẾT LUẬN I NHỮNG BÀI HỌC KINH NGHIỆM…………………….……….………… II MỘT SỐ KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT……………………….…… … ………… 20 20 D TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lời nói đầu: Víi xu phát triển xà hội nói chung phát triển khoa học nói riêng, ngời cần phải có tri thức, t nhạy bén để nắm bắt sử dụng tri thức sống hàng ngày Muốn có tri thức ngời cần phải học, nhà trờng nơi cung cấp hành trang Bộ môn toán trờng trung học sở, môn đại số môn rèn lun tÝnh t nh¹y bÐn cđa häc sinh, nã đòi hỏi ngời học phải nhìn nhận vấn đề dới góc độ phải liên hệ toán đà giải, kiến thức đà biết để giải Vì ngời thầy phải cho học sinh nắm đợc dạng toán hớng mở rộng toán Từ để học sinh phát triển t hình thành kĩ giải toán Muốn đạt đợc điều phải đòi hỏi tính tích cực, tính t ngời học nhng phơng pháp ngời thầy quan trọng, làm cho học sinh học nhng làm đợc hai ba Từ toán đơn giản mở rộng lên khó Vỡ việc nghiên cứu tìm tịi “Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất(GTLN), giá trị nhỏ nhất(GTNN) chương trình Tốn THCS” thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung xác định phương pháp giảng dạy phần đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đặc biệt chất lượng học sinh giỏi giáo viên giỏi trường THCS Lý chọn đề tài: Từ sở nhận thức để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập giáo viên nhiều học sinh trình bồi dưỡng học sinh giỏi Phương pháp giải dạng tốn khó xây dựng Một dạng tốn là: phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ toán Trung học sở Tuy nhiên việc biên soạn toán sách chưa hồn chỉnh cịn hạn chế phương pháp giải Bài tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ có ý nghĩa quan trọng chương trình tốn phổ thơng Chun đề trình bày số phương pháp thường gặp để tìm giá trị lớn nhỏ phương pháp quan trọng đưa tổng bình phương, phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc … Do q trình dạy học thân ln cố gắng tìm tịi nghiên cứu tài liệu, tích lũy kinh nghiệm nhiều năm để viết nên sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ chương trình Tốn THCS” II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 7; 8; bậc THCS Phạm vi nghiên cứu: - Các tiết dạy lớp, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6; 7; 8; qua năm - Tham khảo tài liệu, chuẩn kiến thức GD&ĐT, tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, loại sách tham khảo - Các tiết sinh hoạt chuyên đề tổ chun mơn III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề tài có nhiều tài liệu đề cập đến theo chưa phù hợp với phát triển nhận thức học sinh Nên viết sáng kiến cố gắng hệ thống xây dựng theo dạng tập có tập tổng quát, phát triển tập tử dễ đến phức tạp hơn, đặc biệt đề tài tơi có đưa số sai lầm học sinh thường mắc phải cách khắc phục Từ rèn luyện cho học sinh khả tư duy, phân tích tốn, tránh sai lầm, ngộ nhận suy luận logic Tạo cho học sinh hứng thú học Nghiên cứu “Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ chương trình Tốn THCS” Giúp giáo viên nâng cao lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp tri thức học, mở rộng, đào sâu hoàn thiện hiểu biết Từ có phương pháp giảng dạy phần có hiệu Nghiên cứu vấn đề để nắm thuận lợi, khó khăn dạy học phần chứng minh đẳng thức rút gọn biểu thức bồi dưỡng học sinh giỏi, từ định hướng nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn Nghiên cứu vấn đề cịn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo dạy thành cơng tìm GTLN, GTNN biểu thức IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Nghiên cứu tình hình dạy học học vấn đề nhà trường Hệ thống hóa kiến thức phương pháp giải tốn tìm GTLN, GTNN Đưa kó cần thiết biến đổi tìm GTLN, GTNN Tạo đam mê tìm hiểu, nghiên cứu, sáng tạo việc dạy học tốn Tìm hiểu mức độ kết đạt triển khai đề tài Phân tích rút học kinh nghiệm V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu tài liệu Trong nhiều năm qua với mục đích xác định tơi tìm tịi tài liệu có liên quan đến tìm GTLN, GTNN ghi chép phân dạng loại toán Phương pháp điều tra, khảo sát Ban đầu điều tra khảo sát hai vấn đề Thứ học sinh tiếp cận dạng tốn tìm GTLN, GTNN em có hứng thú khơng, giải gặp khó khăn nào? Có nhiều học sinh biết giải không? Thứ hai giáo viên giảng dạy vấn đề nào? gặp khó khăn chổ nào? Khi dạy sử dụng tài liệu nào? Phương pháp thử nghiệm Trước thực đề tài chọn số học sinh lớp khá, giỏi làm kiểm tra với số tập tìm GTLN, GTNN Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Sau thử nghiệm tơi phân tích, đánh giá ngun nhân tồn từ tìm giải pháp khác phục tồn Qua tổng kết đúc rút kinh nghiệm để thực đề tài VI GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nâng cao chất lượng dạy học sau nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu cao hơn, học sinh ham thích học dạng toán B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận: -Với mục tiêu phát hiện, bồi dưỡng phát triển học sinh có lực Tốn, từ xây dựng cho học sinh kĩ nhận dạng giải Toán -Thúc đẩy việc tìm hiểu mở rộng kiến thức thêm giáo viên học sinh -Xây dựng tài liệu hồn chỉnh số dạng Tốn khó cấp học THCS -Với nội dung đề tài học sinh tự học, tự nghiên cứu nội dung khơng giới hạn cấp THCS mà cịn vận dụng nhiều cấp học cao Cơ sở thực tiễn: - Tìm giá trị lớn nhỏ loại toán mà học sinh THCS coi loại tốn khó, nhiều học sinh khơng biết giải nào? có phương pháp giải nào? - Thực tế chương trình Tốn THCS chưa xây dựng hồn chỉnh nội dung phương pháp số dạng Tốn khó, thường mang tính chất giới thiệu Trong có dạng tìm GTLN, GTNN - Học sinh muốn tìm tìm tịi nghiên cứu việc tìm tài liệu cịn gặp khó khăn -Về giáo viên chưa có tài liệu đầy đủ nên trình nghiên cứu, giảng dạy phải tổng hợp nhiều tài liệu khác nhau, làm nhiều thời gian - Cần phải phát triển cao hơn, đầy đủ số dạng Toán để xây dựng chuyên đề Toán học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy học tốt - Việc viết sáng kiến kinh nghiệm định hướng ngành II MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI Định nghĩa giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN):  Cho biểu thức f(x) xác định miền D Ta nói M giá trị lớn f(x) D Kí hiệu M = max f(x), hai điều kiện sau thỏa mãn + Với x thuộc D f(x) ≤ M, M số + Tồn xo thuộc D cho f(xo) = M  Cho biểu thức f(x) xác định miền D Ta nói m giá trị nhỏ f(x) D, kí hiệu m = f(x), hai điều kiện sau thỏa mãn: + Với x thuộc D f(x) ≥ m, m số + Tồn xo thuộc D cho f(xo) = m Mở rộng khái niệm biểu thức f(x,y…), xác định miền D sau:  Cho biểu thức f(x ; y …) Ta nói M giá trị lớn (GTLN) biểu thức f(x ; y …) ký hiệu Max f = M hai điều kiện sau thõa mãn : - Với x , y … để f(x ; y …) xác định f(x ; y …) ≤ M (1) - Tồn xo , yo … cho f(xo ; yo … ) = M (M số) (2)  Cho biểu thức f(x ; y …) Ta nói m giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức f(x ; y …) ký hiệu Min f = m hai điều kiện sau thõa mãn : - Với x , y … để f(x ; y …) xác định f(x ; y …) ≥ m (1)’ - Tồn xo , yo … cho f(xo ; yo … ) = m (m số) (2)’  Chú ý : Nếu có điều kiện (1) hay (1)’ chưa thể nói cực trị biểu thức Ví dụ : Xét biểu thức A = (x – 1)2 + (x – 3)2 Mặc dù ta có A ≥ chưa thể kết luận Min A = khơng tồn giá trị x để A = Cách giải sau : A = x2 – 2x + + x2 – 6x + = 2(x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + ≥ A = ⇔ x – = ⇔ x = Vậy Min A = x = Định nghóa tính chất giá trị tuyệt đối số a Định nghĩa: a = a a ≥ a = - a a < b Tính chất: 1) a ≥ 2) a+b ≤ a + b 3) a − b ≥ a - b ( đẳng thức xảy a ≥ b ≥ a ≤ b ≤ ) 4) 5) | a | + | b | ≥ | a + b |, | a | – | b | ≥ | a – b | 6) a b + ≥ với a > 0, b> b a đẳng thức xảy ab > Định lý dấu nhị thức bậc Nhị thức ax + b (a ≠ 0) dấu với a với giá trị x lớn nghiệm nhị thức, trái dấu với a với giá trị x nhỏ nghiệm nhị thức x -b/a ax + b Trái dấu với a Cùng dấu với a Việc xét dấu nhị thức bậc có nhiều ứng dụng như: giải bất phương trình tích cách xét dấu nhân tử tích Nếu số nhân tử âm mà chẳn tích dương, ngược lại tích âm Khử dấu giá trị tuyệt đối nhờ xét khoảng giá trị biến Các đẳng thức đáng nhớ, bất đẳng thức học, quy tắc so sánh phân số… Sử dụng mệnh đề tương đương: * A nhỏ ⇔ – A lớn * B lớn ⇔ B2 lớn (B > 0) * C nhỏ ⇔ lớn (C > 0) C Trong đẳng thức cần ý đến mệnh đề sau cho ta GTLN tích, GTNN tổng a) Nếu hai số có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số nhau: Chứng minh: Nếu a, b có a + b = k ( k số ) (a + b) ≥ 4ab ta có a.b ≤ k2 k2 max(a.b) = a = b 4 b)Nếu hai số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số nhau: Chứng minh: Nếu hai số dương a b có a.b = h (hằng số) (a + b) nhỏ (a + b)2 nhỏ Mà (a + b)2 ≥ 4ab ⇒ Min (a + b)2 = 4h, (khi a = b) ⇒ Min (a + b) = h , (khi a = b) III KHẢO SÁT BAN ĐẦU: Đơn vị Lớp khối 8;9 Tổng số Tỷ số% 60 HS 100% Hứng thú với dạng toán 19 31,7% Biết cách tiếp cận dạng toán 11,7% IV THỰC TRẠNG VÀ NGUYÊN NHÂN: Thực trạng: - Qua kết khảo sát chất lượng ban đầu phản ánh học sinh không hứng thú với dạng tốn đặc biệt học sinh biết tiếp cận dạng toán cách thực - Chất lượng làm học sinh thấp - Tiềm học sinh mơn tốn chưa khai thác hết - Chất lượng học sinh giỏi cấp trường năm gần có tăng số lượng chất lượng chưa tương xứng với tiềm thực tế Nguyên nhân: - Học sinh chưa nắm vững kiến thức kĩ giải tập tìm GTLN,GTNN nên tiến hành bước giải thường mắc phải sai lầm khơng có tính sáng tạo cách giải - Đây dạng tốn khó, chủ yếu dạng tốn nâng cao dành cho học sinh giỏi - Trong sách giáo khoa sách tập có dạng tốn Vì lớp có hội tiếp cận dạng tốn này, thường phổ biến cho số em đội tuyển học sinh giỏi học sinh lớp chọn - Chưa có hệ thống hoàn chỉnh đề tài phương pháp giải dạng tốn khó phục vụ cho việc dạy học đăc biệt việc bồi dưỡng học sinh giỏi - Học sinh khơng có tài liệu để tự học, tự nghiên cứu phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ V GIẢI PHÁP CHỦ YẾU: Thực tế q trình giải tốn nói chung dạng tốn nói riêng khơng có đường thực cụ thể mà việc giải tốn đặc biệt tốn khó địi hỏi người dạy, người học phải tìm tịi sáng tạo cho phương pháp tiếp cận tốn dựa sở học Từ tìm quy luật cách giải cho dạng tốn Vì đề tài tơi xin đưa phương pháp tìm GTLN, GTNN Dạng 1: Tìm GTLN GTNN biểu thức đại số ( bật dạng biểu thức cho dạng f(x) = ax2 + bx + c (a, b, c số, a ≠ ).) Để giải dạng toán ta hướng dẫn học sinh đưa biểu thức cho dạng: f(x)=k(X)2 + C C số từ ta tìm GTLN GTNN Đây dạng toán đơn giản loại tốn này(dạng có đề cập sách tập), để giải học sinh thường sử dụng phương pháp thêm bớt hạng tử thêm bớt hạng tử để đưa dạng (a + b) + c (c số) Nhưng học sinh trung bình thực gặp nhiều khó khăn, cịn đa thức có hệ số khơng ngun hệ số lớn nhiều em học sinh cảm thất khó khăn Nên tơi đưa giải pháp cung cấp cho em tốn tổng qt, từ em giải dạng toán cách đơn giản kể học sinh trung bình 1.1 Bài tốn tổng qt: Cho tam thức: P(x) = ax2 + bx + c (a, b, c số, a ≠ ) a) Tìm GTLN, GTNN P a > b) Tìm GTLN, GTNN P a < Giải: Ta có: P(x) = ax2 + bx + c = a ( x2 + = a (x + Đặt b b2 b2 x+ )+c a 4a 4a b − (b − 4ac ) ) + 2a 4a − (b − 4ac ) =k 4a a) Nếu a > b b ) ≥ ⇒ a (x + ) ≥0 2a 2a −b Do đó: P(x) ≥ k ⇒ MinP = k ⇔ x = khơng có GTLN 2a Vì (x + b) Nếu a < b b ) ≥ ⇒ a (x + ) ≤0 2a 2a −b Do đó: P(x) ≤ k ⇒ MaxP = k ⇔ x = khơng có GTNN 2a Vì (x + 1.2 Ví dụ: Bài tốn 1: Tìm GTNN A = x2 – 6x + Giải: Ta có: A = x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3)2 – ≥ - Nên minA = - x – = hay x = Vậy minA = -1 x = Bài tốn 2: Tìm GTLN B = - 3x2 + 2x + Giải: 1 16 16 ≤ x + ) + + = - 3(x - )2 + 3 3 16 1 Nên maxB = x - = hay x = 3 16 Vậy maxB = x = 3 Ta có:B = - 3x2 + 2x + = - (x2 - Với dạng toán ta hướng dẫn học sinh phân tích để xuất đẳng thức đối tượng học sinh trung bình ta vận dụng tốn tổng qt học sinh thực dễ dàng từ em tự tin thân từ em có hứng thú dạng tốn 10 Khi em làm quen dạng ta tiếp tục giới thiệu em dạng thực chất em tiến hành giống dạng Dạng 2: Biểu thức cần tìm GTLN, GTNN có dạng phân thức: 2.1 Phân thức có tử số mẩu tam thức bậc hai: Đối với dạng toán ta cần ý đến biểu thức mẩu mà biểu thức mẩu biểu thức học sinh tiếp cận dạng Bài tốn 1: Tìm GTNN C = −5 2x − 8x + Giải: −5 −5 Ta có: C = 2x − 8x + = x − 2 − ( ) −5 Ta thấy ( x − ) − ≥ −7 ⇒ x − 2 − ≥ ( ) Vậy MinC = x = Bài tốn 2: Tìm GTLN D = 9x − 6x + Giải: 3 Ta có: D = 9x − 6x + = 3x − + ( ) 3 Ta thấy ( 3x − 1) + ≥ 3x − + ≤ (theo quy tắc so sánh hai phân ( ) thức tử, tử mẩu dương) Do D ≤ Vậy MaxD = x= Chú ý: Sẽ khơng xác lập luận D có tử số nên D lớn mẩu nhỏ x −3 1 Mẩu thức x2 – có GTNN -3 x = với x = = − x −3 Lập luận dẫn tới sai lầm, chẳng hạn với phân thức giá trị lớn phân thức ( chẳng hạn x = lớn − = 1, x −3 ) 11 2.2 Phân thức có tử mẩu chứa biến: Bài tốn 1: Tìm GTLN biểu thức D = 3x + 6x + 10 x + 2x+3 Giải: 3x + 6x + 10 ( x + 2x+3) + 1 = = 3+ = 3+ Ta có: D = 2 x + 2x+3 x + 2x+3 x + 2x+3 ( x+1) + (bài toán lại quay dạng trên) 1 1 Vì x+1 + ≤ nên + x+1 + ≤ + = ( ) ( ) Vậy MaxD = x = -1 3x − 8x + Bài tốn 2: Tìm GTNN biểu thức E = x − 2x+1 Giải: 3x − 8x + ( x − 2x+1) − ( x − 1) + = = − + Ta có E = 2 x − 2x+1 ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ⇒ E = − y + y = ( y − 1) + ≥ Đặt y = ( x − 1) =1⇔ x = x −1 Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Bài toán dạng cần cung cấp cho học sinh số kiến thức sau: Vậy MinE = y = ⇔ 1) a ≥ với giá trị a 2) a+b ≤ a + b 3) a − b ≥ a - b ( dấu xảy a ≥ b ≥ a ≤ b ≤ ) (dấu xảy ab > 0.) 4) a − b = b + a 3.1 Dạng: f(x) = M - A(x) Cách giải: Vì A(x) ≥ nên f(x) ≤ M Do maxf = M Khi A(x) = Bài toán: Với giá trị x biểu thức A = 100 - x + có giá trị lớn Tìm GTLN Giải: Với x ta có x + ≥ nên 100 - x + ≤ 100 Do maxA = 100 x + = hay x = - 12 Vậy maxA = 100 x= -5 3.2 Dạng f(x) = A(x) + m Cách giải: Vì A(x) nên f(x) ≥ m Do minf = m Khi A(x) = Với biểu thức nhiều biến x, y áp dụng tương tự Bài tốn : Tìm GTNN biểu thức B = 3x − - Giải: Với x, ta có 3x − ≥ Suy 3x − ≥ nên 3x − - ≥ - Do B = - 3x – = ⇔ x = Vậy minB = - x = 3.3 Dạng f(x) = mx − a + mx − b Cách giải: Áp dụng tính chất ta có mx − a + mx − b = mx − a + b − mx ≥ mx − a + b − mx = b − a Suy minf = b − a (mx – a) (b – mx) ≥ Bài toán : Với giá trị x, y biểu thức C = x − 100 + y + 20 - có giá trị nhỏ Tìm GTNN Giải: Với x, y ta có x − 100 ≥ 0, y + 20 ≥ Nên x − 100 + y + 20 - ≥ - Do C = - x = 100, y = - 20 Vậy minC = - x = 100, y = -2 Bài tốn 2: Tìm x ∈ Z để biểu thức D = x − + x − đạt GTNN Giải: Ta có D = x − + x − = x − + − x ≥ x − + − x = Dấu “=” xảy (x-2) (8-x) ≥ Lập bảng xét dấu: x x-2 + 8-x + + (x-2)(8-x) + + 13 Dựa vào bảng xét dấu ta có(x-2) (8-x) ≥ ⇔ ≤ x ≤ Vậy minD = ≤ x ≤ Bài tốn 3: Tìm giá trị lớn biểu thức N = x − 2016 − x + 2015 Giải: Ta có N = x − 2016 − x + 2015 ≤ x − 2016 − x − 2015 = 4031 Vậy maxN = 4031 x ≤ - 2015 Bài toán 4: Tìm giá trị lớn biểu thức E = ( x − 2015) + ( x − 2016 ) Giải: Ta có E= ( x − 2015) + ( x − 2016 ) = x − 2015 + x − 2016 = x − 2015 + 2016 − x ≥ x − 2015 − x + 2016 = ⇒ MinE = 2015 ≤ x ≤ 2016 Bài tốn 5: Tìm giá trị lớn biểu thức D = x − + x − + x − + x − Giải: Ta có x − + x − ≥ x − + − x = Dấu “=” xảy ( x − 1) ( − x ) ≥ ⇔ ≤ x ≤ Và x − + x − ≥ x − + − x = Dấu “=” xảy ( x − ) ( − x ) ≥ ⇔ ≤ x ≤ Do D ≥3+1=4 Dấu “=” xảy ≤ x ≤ Vậy minD = ≤ x ≤ M ( x) 3.4 Dạng f(x) = A( x) + b , f(x) = A(x) + B(x) Cách giải: Ta nên xét khoảng giá trị biến, sau so sánh giá trị biểu thức khoản để tìm GTLN, GTNN Bài tốn : Tìm GTLN biểu thức C = x+2 x≠0 x Với Giải: 14 x+2 ≤ =-1+ −x −x −1+ Nếu x = -1 C = = 1 x+2 2 Nếu x ≥ C = = + Ta thấy C lớn ⇔ lớn Vì x x x Nếu x ≥ - 2, C = x ≥ nên lớn ⇔ x nhỏ ⇔ x = 1, C = x So sánh trường hợp suy GTLN C = x = Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN biểu thức đa thức nhiều biến Dạng nhìn thấy đề học sinh thường thấy khó khăn đa thức có nhiều biến khơng biết tiến hành Do giáo viên cần hướng dẫn học 2 sinh cách chọn biến vận dụng đẳng thức ( a + b ) ( a − b ) Bài toán tổng quát: f(x,y) = ax2 + by2+cxy + dx + ey + f (a,b,c,e,f số a.b ≠ ) Ta có f(x) = ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = ax2 + (cy + d)x + by2 + ey + f  = a  x + (cy + d ) x +  a 1  (cy + d )  (cy + d ) + by + ey + f 4a  4a   = …… = a  x + (cy + d ) + m( y + q) + p 2a   Suy GTNN, GTLN f(x,y) = p ( x = − (cy + d ) y = - q.) Bài tốn 1: Tìm GTNN biểu thức A = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15 A = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15 = x2 + 2(2 – y)x + 2y2 – 2y + 15 = x2 + 2(2 – y)x + (4 – 4y + y2) + (y2 + 2y + 1) + 10 = x2 + 2(2 – y)x + (2 – y)2 + (y + 1)2 + 10 = (x + – y)2 + (y + 1)2 + 10 ≥ 10  x + − y =  x = −3 ⇔ Nên minA = 10  y +1 =  y = −1 Giải: Vậy minA = 10 x = -3, y = -1 Bài tốn 2: Tìm GTNN biểu thức B = x + y + 3z − 2xy + 2xz − 2x − y − 8z + 2016 Giải: 15 B = x + y + 3z − 2xy + 2xz − 2x − y − 8z + 2016 = x − 2xy + 2xz − 2x + y − y + 3z − 8z + 2016 2 =  x − 2x ( y − z + 1) + ( y − z + 1)  + y − y + 3z − 8z + 2016 − ( y − z + 1)   =  x − ( y − z + 1)  + y − y + 3z − 8z + 2016 − y − z − + yz − y + z =  x − ( y − z + 1)  + y − y + 2z − 6z + yz + 2015 2 2 =  x − ( y − z + 1)  +  y − y ( − z ) + ( − z )  + 2z − 6z + 2015 − ( − z )   =  x − ( y − z + 1)  +  y − ( − z )  + 2z − 6z + 2015 − − z + 4z 2 =  x − ( y − z + 1)  +  y − ( − z )  + z − 2z + + 2010 2 =  x − ( y − z + 1)  +  y − ( − z )  + ( z − 1) + 2010 ≥ 2010 Vậy minB = 2010 x = y = z = 2 Bài tốn 3: Tìm GTNN biểu thức C = 5x + y + 8xy − 2x − y + 2016 Ta phát thấy toán chưa xuất đại lượng bình phương ta phải tạo đại lượng se quay toán toán 2 Thật vây 5C = ( 5x ) + ( y ) + 40xy − 10x − 10 y + 10080 2 2 = ( 5x ) + 10x ( y − 1) + ( y − 1)  + ( y ) − 10 y + 10080 − ( y − 1)   = [ 5x + y − 1] + 25 y − 10 y + 10080 − 16 y + y − = [ 5x + y − 1] + y − y + 10079 2 1  = [ 5x + y − 1] +  y − y + ÷+ 10079 − 81  81   90710  = [ 5x + y − 1] +  y − ÷ + 9  90710 18142 ⇒ 5C ≥ ⇒C≥ 9 18142 x = y = Vậy C = 9 Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN biểu thức thỏa mãn điều kiện Dạng ta nên cho học sinh tiếp cận toán từ giả thiết cho tốn Bài tốn 1:Tìm GTNN biểu thức A = x3 + y + x + y x, y thỏa mãn điều kiện x+y = Giải: 16 A = x3 + y + x + y Do ( x + y ) = x + y + 3xy ( x + y ) ⇔ x + y = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) 3 ( x + y ) = x + y + 2xy ⇔ x + y = ( x + y ) − 2xy Thay (*) (**) vào A ta có: A = x3 + y + x + y 2 (*) (**) = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) + ( x + y ) − 2xy = 13 − 3xy.1 + 12 − 2xy = − 5xy = − 5x ( − x ) = − 5x+5x 1  =  x − x + ÷+ 4  1 3  = 5 x − ÷ + ≥ 2 4  1 =0⇔ x= 2 Vậy A = x = Dấu “=” xảy x − Bài tốn 2:Tìm GTNN biểu thức B = xy + yz + zx x, y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z = Giải: Ta có B = xy + yz + zx = xy + z ( y + x ) = xy + 3 − ( y + x )  ( y + x ) = xy + ( x + y ) − ( x + y ) = xy + 3x + y − x − y − 2xy = − x − xy + 3x − y + y 2  y − 3)  y − 3) ( ( = −  x + x ( y − 3) +  − y + 3y +   y −  −3 ( y − 1)  = − x − + +3≤3   Vậy maxB = x = y = z =1 2 Chú ý: Khi giải tìm GTLN, GTNN f(x,y…) ta cần biến đổi f(x,y…) ≤ M f(x,y…) ≥ M với M số với giá trị biến trường hợp xẩy đẳng thức Ví dụ ta xét tốn tìm GTNN biểu thức A = x2 + y2 biết x + y = 17 Lời giải sai: ta có A = x2 + y2 ≥ 2xy Do A nhỏ ⇔ x2 + y2 = 2xy ⇔ x = y = Khi minA = 22 + 22 = Phân tích sai lầm: đáp số khơng sai lập luận mắc sai lầm, ta chứng minh f(x,y) ≥ g(x,y) chưa chứng minh f(x,y) ≥ M với M số Chẳng hạn với lập luận trên, từ bất đẳng thức x ≥ 4x – suy x2 nhỏ ⇔ x2 = 4x – ⇔ (x – 2)2 = 0, min(x2 )= ⇔ x = 2, dễ thấy kết phải min(x2 )= ⇔ x = Cách giải đúng: x + y = suy x2 + 2xy + y2 = 16 (1) 2 Ta lại có (x – y) = x – 2xy + y ≥ (2) 2 2 Từ (1) (2) ta có (x + 2xy + y )+(x – 2xy + y ) ≥ 16 ⇔ 2(x2 + y2) ≥ 16 ⇔ x2 + y2 ≥ Nên minA = x = y = 18 VI MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO Dạng 1: Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau: a) 3x2 – 5x – b) 2x2 + 4y2 – 4xy – 4x – 4y + 2007 c) 12(x – 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) d) (x + 2)2 + (y + ) – 10 Bài 2: Tìm GTLN biểu thức sau: a) - 2x2 + x – b) - 5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y – e) x2 + 2y2 – 2xy – 4y + f) (x – 2) (x – 5) (x2 – 7x + 10) g) x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + h) (2x + 4 ) –1 d) - x2 – y2 + xy + 2x + 2y e) - x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y –  f) -  x − 9 c) 11 – 10x2 – x2 2  +3 15  Dạng 2: Bài Tìm GTLN biểu thức sau: 4x + a) x +5 x2 + x +1 b) x − x +1 x4 +1 d) x + 2x + 1 c) x + x +1 Bài Tìm GTNN biểu thức sau: x − x + 2004 a) x2 5x − x + f) x2 , x≠0 x2 + x +1 b) x − x +1 6x − 2x + g) x2 , x≠0 x + 2x + c) x2 + x − 4x + h) x2 x4 + x2 + x +1 d) x − x + 2x − x + x − x + 1995 m) , x≠0 x2 e) , x≠0 2002 x − x + x2 n) , x≠0 x + 2x + x − 4x + Dạng 3: Bài 1: Tìm GTNN biểu thức: a) 3x − - b) x + c) 15 19 −x + d) x − + x − e) x2 + y − - f) x − g) 2009 2010 + x+ 2010 2011 h) x − + x − + x − Bài 2: Tìm GTLN cácbiểu thức 19 a) - x − e) x + b) x − + c) - x − d) f) - 10 - x− −x g) - x − 3 2011 - x− 2010 h) x − + -x Dạng 4: d) - 5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y – e) - x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y – Dạng 5: Bài 1.Cho x + 2y = Tìm GTNN x2 + 2y2 Bài 2.Cho 4x – 3y = Tìm GTNN 2x2 + 5y2 Bài 3.Cho a + b = Tìm GTNN a4 + b4 Bài 4.Cho a + b = Tìm GTNN a3 + b3 Bài 5.Cho x.y = Tìm GTNN x + y Bài 6.Tìm GTNN, GTLN A = x3 + y3 Biết x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 = Bài 7.Tìm GTLN A = a2 + b2 + c2 Biết – ≤ a, b, c ≤ 3, a + b +c = VII HIỆU QUẢ MANG LẠI CỦA SÁNG KIẾN Sau áp dụng đề tài giảng dạy cho học sinh, khảo sát thu lại kết sau: Đơn vị Lớp khối 8;9 Hứng thú với dạng Biết cách tiếp toán cận dạng toán Tổng số 60 HS 52 41 Tỷ số% 100% 86,7% 68,3% Qua bảng bảng khảo sát ban đầu ta thấy chất lượng học sinh tăng lên cách rõ rệt: - Hứng thú với dạng toán: tăng từ 19 HS lên 52 HS ( 31,7% lên 86,7%) - Biết cách tiếp cận dạng toán: tăng từ 7HS lên 41HS ( 11,7% lên 68,3%) Thông qua bảng số liệu cho thấy sáng kiến có tính ứng dụng mang lại hiệu rõ rệt cho việc học tập học sinh 20 C KẾT LUẬN I Những học kinh nghiệm Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dạng tốn thường gặp chương trình tốn 8; bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Nếu dừng lại yêu cầu sách giáo khoa chưa đủ, địi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tịi sáng tạo thường xuyên bổ sung kiến thức tích luỹ kinh nghiệm vấn đề Để dạy học cho học sinh hiểu vận dụng tốt phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thân giáo viên phải phân dạng toán biết cách giải cụ thể dạng toán Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho thân nâng cao kiến thức, nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngồi cịn giúp thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để tiếp tục nghiên cứu vấn đề khác tốt suốt trình dạy học Quá trình giảng dạy cần động viên khuyến khích học sinh cố gắng học tập tăng cường thời gian luyện tập thực hành Sau nội dung thực đề tài phải tổ chức kiểm đánh giá học sinh II Một số kiến nghị, đề xuất Đối với giáo viên: Cần nghiên cứu kĩ đề tài, nắm phương pháp giải dạng toán; chuẩn bị kĩ giáo án; tích cực nghiên cứu tài liệu bắt tay giải toán học sinh Đối với học sinh: Sáng kiến áp dụng với học sinh khối 8; cho kết tốt học sinh cần nắm phương pháp giải dạng tốn phát huy tính chủ động sáng tạo, chăm rèn luyện, làm nhiều tập luyện để nâng cao kĩ giải toán Mặc dù sáng kiến kinh nghiệm “Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ chương trình Tốn THCS” khẳng định tính khả thi giá trị áp dụng song với thời gian trải nghiệm chưa nhiều lực cá nhân hạn chế nên tính bao qt tồn diện định cịn chưa hết 21 Tôi mong muốn thân đồng nghiệp tiếp tục có tập bổ sung, đóng góp để sáng kiến ln giữ tính khả thi giá trị năm học, với việc dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh việc dạy học theo chủ đề ngày quan tâm Tôi xin chân thành cảm ơn ! 22 D TÀI LIỆU THAM KHẢO Toán nâng cao chuyên đề đại số NXB Giáo Dục Một số vấn đề phát triển toán NXB Giáo Dục Một số vấn đề phát triển toán NXB Giáo Dục 225 toán chọn lọc Đại số NXB Đại học quốc gia Một số tạp chí tốn học tuổi thơ NXB Giáo Dục Tuyển chọn theo chuyên đề toán học tuổi trẻ NXB Giáo Dục Thực hành giải toán NXB Giáo Dục Một số đề thi học sinh giỏi 23 ... Một dạng tốn là: phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ toán Trung học sở Tuy nhiên việc biên soạn toán sách chưa hồn chỉnh cịn hạn chế phương pháp giải Bài tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ. .. cao kĩ giải toán Mặc dù sáng kiến kinh nghiệm ? ?Phương pháp giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ chương trình Tốn THCS? ?? khẳng định tính khả thi giá trị áp dụng song với thời gian... trọng chương trình tốn phổ thơng Chun đề trình bày số phương pháp thường gặp để tìm giá trị lớn nhỏ phương pháp quan trọng đưa tổng bình phương, phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình