(SKKN HAY NHẤT) dạy học áp dụng phương pháp hàm số để giải bài toán cực trị

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “DẠY HỌC ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ” LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com I ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình tốn THPT nói chung lớp 12 nói riêng, học sinh trang bị kiến thức hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, nhiên kỹ áp dụng phương pháp vào giải tốn tìm cực trị biểu thức có nhiều biến số, chứng minh bất đẳng thức đa số học sinh nhiều hạn chế Nguyên nhân toán chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị dạng tốn khó mà thời lượng chương trình lại cịn Kiến thức dàn trải suốt ba năm học THPT gây khó khăn cho học sinh việc xâu chuỗi, hệ thống hoá kiền thức để hình thành phương pháp cho thân Thơng thường , gặp tốn học sinh thường hoang mang, lựa chọn phương pháp phù hợp Vì vậy, việc làm phong phú thêm phương pháp giải dạng toán việc làm cần thiết, góp phần rèn luyện tư duy, kỹ thay đổi thái độ học sinh tiếp cận dạng tốn trên, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục mơn Tốn THPT Xuất phát từ suy nghĩ trên, chọn viết sáng kiến kinh nghiệm: “Dạy học áp dụng phương pháp hàm số để giải toán cực trị” Đó kinh nghiệm thân đúc rút q trình giảng dạy mơn Tốn lớp thuộc Ban Khoa học tự nhiên II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận vấn đề: 1.1 GTLN, GTNN hàm số - Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định miền D + + - Định lý: Nếu hàm số GTLN hàm số liên tục đoạn ln tìm GTNN, 1.2 Sử dụng khảo sát hàm số tìm GTLN,GTNN hàm số Bài tốn: Tìm GTLN, GTNN ( có ) hàm số y=f(x) với Phương pháp: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Quy tắc 1:Trường hợp tổng quát ( Khi D không đoạn)Tiến hành theo bước + Tính đạo hàm hàm số + Lập bảng biến thiên hàm số tập D + Căn vào bảng biền thiên để kết luận GTLN,GTNN Quy tắc 2: Trường hợp đặc biệt: , tiến hành theo bước: +Tính đạo hàm hàm số, + Tìm điểm tới hạn hàm số thuộc ( điểm thuộc TXĐ mà đó, đạo hàm triệt tiêu khơng xác định) + Tính GT hàm số điểm tới hạn điểm a,b + So sánh GT tìm để kết luận 1.2 Các bất đẳng thức bổ trợ cho phương pháp: + Bất đẳng thức Cô-si: Với a1;…an số thực khơng âm, ta có: ; đẳmg thức + Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Với hai số thực , ta có Đẳng thức có hai số tương ứng tỷ lệ + Tập giá trị hàm số: Cho hàm số hàm số : Hay : T={ với tập xác định D, tập giá trị : phương trình f(x)=y ẩn x có nghiệm Thực trạng vấn đề: Khi giải tốn tìm cực trị biểu thức phương pháp sử dụng biến thiên hàm số, thực chất xác định tập giá trị biểu thức, hàm số với điều kiện cho trước Căn vào đặc trưng biểu thức ( Tính đối xứng biến, điều kiện biến có tính đẳng cấp với biến…) để tiến hành đổi biến, học sinh thường gặp khó khăn hay mắc sai lầm sau: Sai lầm: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Lập BBT không chuẩn xác: Tính sai giá trị đầu mút D ( D đoạn, thường không thông qua giới hạn để xác định miền GT hàm số) - Khi áp dụng quy tắc 2, học sinh thường tính thừa giá trị hàm số điểm tới hạn, không loại điểm tới hạn không thuộc ,dẫn đến kết sai Khó khăn : - Khơng linh hoạt chuyển biểu thức cần tìm cực trị dạng hàm biến qua phép đặt biến phụ - Khi đặt biến phụ, thường không định miền GT biến phụ theo điều kiện ban đầu, dẫn đến sai kết Các biện pháp tiến hành để giải 3.1 Hình thành phương pháp sử dụng khảo sát hàm số để tìm GTLN, GTNN - Yêu cầu học sinh hiểu thấu đáo định nghĩa, nhấn mạnh GTLN, GTNN hàm số đạt tập D phải GT hàm số điểm tập D Do đó, tìm GTLN, GTNN hàm sô, thiết phải giả trị đạt điểm tập hợp D - Hình thành cho học sinh quy tắc rõ ràng theo bước, áp dụng TH cụ thể tập D hay không đoạn - Rèn luyện kỹ cho học sinh kỹ lập bảng BT hàm số, xác định TGT hàm số dựa BBT - Hình thành rèn luyện kỹ vận dụng vào tốn tìm cực trị biểu thức hai biến, ba biến: + Kỹ đổi biến số: + Kỹ tìm điều kiện biến thơng qua đường: Đánh giá nhờ bất đẳng thức, phương pháp miền giá trị, phương pháp dùng BBT… + Kỹ sử dụng công cụ hàm số để xác định tập giá trị hàm - Đưa ví dụ mẫu điển hình có phân tích lời giải, hệ thống tập đa dạng hình thức, phong phú nội dung, phù hợp mức độ , giúp học sinh tự rèn luyện kỹ từ dễ đến khó 3.2 Hệ thống ví dụ tập a Tìm cực trị hàm biến GV cần lưu ý cho học sinh: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Xác định tập xác định: Tìm GTLN, GTNN tập nào? ( Xác định D) - Chọn cách giải phù hợp D đoạn, D khơng đoạn Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số Lời giải: Điều kiện ( D đoạn) Tính đạo hàm: Tìm điểm tới hạn thuộc : Tính giá trị hàm điểm đầu mút, điểm tới hạn: So sánh, kết luận: x =2; f = x =-1 Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số : y = Lời giải: TXĐ: D = R Ta có : y’= ; y’= BBT: thiên hàm số: x f’ f + - -1 Dựa vào BBT, GTLN cña hàm số đạt x=1 Khơng có giá trị nhỏ hàm số /D NHẬN XÉT: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sai lầm: Lập BBT không chuẩn xác: Tính sai giá trị đầu mút D ( D đoạn, thường không thông qua giới hạn để xác định miền GT hàm số) Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số : y= Lời giải: Cách 1: +) Đánh giá y Dấu xảy x =1 x =2 thuộc đoạn Vậy GTNN hàm số x =1 x =2 +) Lập BBT hàm số y = Từ kết luận GTLN hàm số 132 x =-10 Cách 2: Lập BBT hàm số y = x -10 f’ f / - + - 132 10 + 72 0 Kết luận giá trị LN, NN cách NHẬN XÉT: Sai lầm: Lập BBT không chuẩn xác: Điểm đạo hàm không tồn x =1, x =2 Hoặc kết luận giá trị nhỏ sai b Tìm cực trị hàm biến phức tạp biểu thức có nhiều biến Giáo viên lưu ý cho học sinh, tìm cách đổi biến để có hàm số với biến dạng đơn giản Chú ý: -Nếu biểu thức có dạng đối xứng với biến ln biểu diễn qua tổng hai biến tích biến LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com -Nếu điều kiện biểu thức đẳng cấp theo vế ( Tốt chênh bậc) Thì phép đặt ẩn phụ x=ty ta ln tính x,y theot Ví dụ 4: Tìm GTLN, GTNN hàm số Ta có: Đặt Để tìm điều kiện t, sử dụng cơng cụ bất đẳng thức, hoac phương pháp miền giá trị sau: Cách1: Dùng BĐT Cơ-si + Với x=0 t=0 + Với , xét Cách2: t GT biểu thức Phương trình ẩn x có nghiệm có nghiệm Bài tốn trở thành: Tìm GTLN,GTNN hàm Hàm đạt cực tiểu tại: Ví dụ 5: Tìm GTLN, GTNN hàm số Điều kiện: Đặt Tìm điều kiện t: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cách1: Dùng BĐT Theo Bunhia ta có: Cũng có: Vậy Cách2: Khảo sát hàm Bài tốn trở thành: Tìm GTLN, GTNN hàm số Kết quả: Maxy= x=0; Miny= , với x=1 Ví dụ 6: Cho x,y hai số thực dương thoả mãn 4x+9y=6 Tìm GTLN Hướng dẫn Cách 1: Rút xy theo x vào P, thu hàm biến số Cách 2: Coi xy biến số, phải tìm điều kiện cho xy : - Có thể thơng qua đánh giá: Vậy đk xy là: - Có thể sử dụng phương pháp miền giá trị: Tìm điều kiện t để hệ sau có 2nghiệm dương : Khảo sát hàm số : tìm Với Ví dụ 7: Cho ; Tìm GTNN biểu thức Lời giải: Biến đổi biểu thức A để sử dụng điều kiện: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Điều kiện cho biến đổi thành: Đặt , điều kiện: Xét hàm số : với Bảng biến thiên hàm số: t f’ - + f Dùa vµo BBT, GTNN cđa A b»ng đạt Ví dụ 8: Cho a, b dương t/m:a2+b2=1 Tìm GTLN biểu thức Cách1: Theo Cơ- si ta có: Đặt Dấu’=’ Khi a=b Do đó: Ta có: GTLN M GTLN hàm Khảo sát hàm số với ; Là hàm đồng biến liên tục Đáp số: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cách2: Lại theo Bunhia: Đặt ; Với : : g(t) ln đồng biến Vậy Ví dụ 9: Cho x;y số thực thoả : HD: Từ GT suy Tìm GTLN, GTNN biểu thức Thế vào ta có = = Đặt t=xy Để tìm điều kiện M ta có hai cách sau: Cách1: Tìm t cho hệ sau có nghiệm : Cách 2: Từ điều kiện đầu ta có: Vậy Bài tốn trở thành tìm GTLN; GTNN hàm số: Khảo sát hàm số ta có kết Ví dụ 10( Khối D- 2009) Cho x,y hai số thực khơng âm thoả mãn : x+y=1 Tìm GTLN, GTNN biểu thức LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có: Thay x+y=1, Ta có Đặt t=xy Dễ thấy Xét hàm số với có kết GTNN ; GTLN Ví dụ 11: Cho hai số thực x, y thay đổi cho : 2(x2 + y2) - xy = Tìm GTNN GTLN biểu thức :  Nhận xét : = 2(x2 + y2) - xy ≥ 2.2xy - xy = 3xy  xy ≤ = 2(x2 + y2) - xy = 2.(x + y)2 - 5xy ≥ -5xy  xy ≥ Và :  Khi đó, đặt : t = xy , đk : Bài tốn đưa tìm GTNN GTLN hàm số : với  Vậy : 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 12 Cho x2 + xy + y2 = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: S = x2  xy + y2 Giải Xét y =  x2 =  S = giá trị hàm số Xét y  0, biến đổi biểu thức dạng sau với  u(t2 + t + 1) = t2  t +  (u  1)t2 + (u + 1)t + (u  1) = (*) + Nếu u = 1, t =  x = 0, y =  u = giá trị hàm số + Nếu u  1, u thuộc tập giá trị hàm số  phương trình (*) có nghiệm t   = (3u  1)(3  u)    Vậy tập giá trị u Min S =  ; Max u = t=1 Max S =  Maxu =  t = 1  Ví dụ13(ĐHA-2006) Cho x,y thoả mãn Tìm GTLN BG : Đặt x=ty, từ Vậy , suy 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Thay vào A ta có: Ví dụ 14 Cho x,y khác thoả mãn: Tìm GTLN,GTNN Hướng dấn: đặt y=tx, Từ giả thiết ta có Suy ra: Vậy KSHS ,Đ/s: MaxS=9/2; minS=-1/2 Ví dụ 15: Các số dương x,y,z thoả mãn: Tìm GTNN của: Lời giải: Từ BĐT: Thay : Đặt Ta có ta có: sử dụng Cơsi ta có: Dễ thấy t>0 Từ điều kiện ban đầu, ta tìm điều kiện cho t: Hay : Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử sử dụng phương pháp KSHS ta có: Bài tốn trở thành: Tìm GTNN hàm số 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đáp số: Min S= Đạt x=y=z=1/4 BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài CMR: HD: Vì Đặt x=cosC, Khảo sát hàm số ta có ĐPCM Bài (ĐH Lâm nghiệp) : Cho HD: Đặt Bài (An ninhA-2000): Cho n số tự nhiên lớn HD: Cách1: ; xét hàm f(x)=1/x Bài4(QGA-2000): Choa,b,c số thực t/m a+b+c=0 CMR HD : Xet hàm f(x)=x3-x với Chứng minh hàm lõm Bài 5: CMR : HD : KSHS có ĐPCM Bài 6: Cho x,y số thực thoả mãn : Tìm GTLN, GTNN 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com HD : Vậy: ĐK KSHS Với Bài7:Cho x,y hai số thực thay đổi thoả mãn điều kiện x2+y2=2 Tìm GTLN,GTNN ( CĐ A-2008) Bài 8: Cho ( ĐH khối D-2007)  Ta có : (đpcm)   Xét hàm số : với x >   f(x) hàm số nghịch biến khoảng (0; + )  Khi : a ≥ b >  f(a) ≤ f(b) Bài tốn trở thành Tìm GTLN, GTNN Bài 9:(B-2010) Cho a;b;c khơng âm thỏa a+b+c=1 Tìm Min HD: Đặt Có Với Min M=2 Bài10 : Cho a, b số thực thỏa mãn : < a < b < Chứng minh : (TSCĐ - Khối A, B, D - Năm 2009) 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài11 : Cho a > b > Chứng minh : Bài12: Cho a.b hai số không âm Chứng ming Bài 13: Cho x,y số thực thay đổi Tìm GT nhỏ biểu thức HD: Xét Từ BĐT , ta có Do Khảo sát hàm số f(y) ta có kết Bai 14 Cho số dương, thoả mãn Tìm GTNN Bài 15 : a,b,c,d số nguyên thay đổi thoả thức , chúng minh bất đẳng tìm GTNN Hiệu SKKN Trong trình dạy học kiến thức toán cực trị cho học sinh lớp 12, bên cạnh phương pháp mà em biết lớp như: Sử dụng bất đẳng thức kinh điển ( Cô-si, Bunhiacôpxki ), phương pháp miền giá trị hàm số ( đưa tốn tìm cực trị tốn tìm điều kiện tham số để phương trình hệ phương trình có nghiệm), tơi thường cố gẳng hướng em đến lời giải sử dụng phương pháp hàm số Việc giúp học sinh có sở lý thuyết vững vàng, có kỹ việc đổi biến, điều kiện biến mới… thông qua số ví dụ tiêu biểu hệ thống tập phù hợp giúp học sinh vận dụng kiến thức hàm số vào giải tốt số toán cực trị Giúp cho học sinh thấy tầm quan trọng tư hàm số, thấy kiến thức hàm số em học áp dụng cách hiệu vào dạng tốn có liên quan, giúp học 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com sinh thêm u mơn tốn Học sinh lớp tơi dạy khố từ 2006-2009; 2009-2012: 2012-2013 có hứng thú tiếp cận toán cực trị III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Bài tốn tìm cực trị biểu thức tốn khó đa số học sinh, nên việc cung cấp thêm cho em công cụ hàm số để giải toán việc làm cần thiết, giúp học sinh giải số toán cự trị cách dễ dàng, cho học sinh thấy khả năng, phạm vi áp dụng kiến thức hàm số học chương trình Trong trình giảng dạy, nhờ vận dụng kinh nghiệm trình bày, phần không nhỏ em học sinh giải tốn cực trị uyển chuyển thơng qua lựa chọn phương pháp phù hợp cho toán, giúp học sinh thấy đỡ “sợ” gặp dạng toán cực trị Mặc dù cố gắng, sáng kiến kinh nghiệm nhiều hạn chế nội dung, thể loại ví dụ tập chưa phong phú, mong hợp tác thầy cô em học sinh, với hy vọng mở rộng viết thành đề tài đầy đủ hơn, bao quát toàn phương pháp sử dụng hàm số vào toán cực trị, chứng minh bất đẳng thức 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Một số đề tuyển sinh đại học- cao đẳng từ năm 2006 Sách giáo khoa giải tích lớp 12 nâng cao Giải toán đạo hàm khảo sát hàm số ( T.s Nguyến Cam- NXB ĐHQG) Phương pháp giải tốn tìm GTLN,GTNN( Nguyễn Văn Nho-Lê Hồnh Phị) DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TT Viết tắt Đọc BBT Bảng biến thiên HD Hướng dẫn GT Giá trị GTLN Giá trị lớn GTNN Giá trị nhỏ THPT Trung học phổ thông 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... riêng, học sinh trang bị kiến thức hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, nhiên kỹ áp dụng phương pháp vào giải tốn tìm cực trị biểu thức có nhiều biến số, chứng minh bất đẳng thức đa số. .. cụ hàm số để giải toán việc làm cần thiết, giúp học sinh giải số toán cự trị cách dễ dàng, cho học sinh thấy khả năng, phạm vi áp dụng kiến thức hàm số học chương trình Trong trình giảng dạy, ... dụng kiến thức hàm số vào giải tốt số toán cực trị Giúp cho học sinh thấy tầm quan trọng tư hàm số, thấy kiến thức hàm số em học áp dụng cách hiệu vào dạng tốn có liên quan, giúp học 15 LUAN VAN