(SKKN CHẤT 2020) giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình giải tích

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc TÊN ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN, GIẢI PHÁP: GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Họ tên: Nguyễn Hữu Tình Chức vụ: Giáo viên Đơn vị cơng tác: Trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp Quảng Bình, tháng 11 năm 2018 download by : skknchat@gmail.com CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc TÊN ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN, GIẢI PHÁP: GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Quảng Bình, tháng 11 năm 2018 download by : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Phần mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Điểm đề tài Phần nội dung 2.1 Thực trạng vấn đề tìm cực trị số phức 2.1 Nơi dung giải pháp Một số kiến thức, kí hiệu ban đầu Các toán Phần kết luận 3.1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng đề tài 3.2 Kiến nghị, đề xuất Tài liệu tham khảo download by : skknchat@gmail.com PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Kể từ năm học 2016 – 2017, Bộ Giáo dục – Đào tạo đưa vào việc thi hình thức thi trắc nghiệm Để giải toán trắc nghiệm cách nhanh chóng, ngồi việc học sinh cần nắm kiến thức cần phải có số thủ thuật định Trong q trình giảng dạy, tơi thấy để giải tốn Số phức nói chung, đặc biệt tốn: Tìm cực trị số phức, có nhiều phương pháp có phương pháp sử dụng Hình học giải tích Nhiều toán đặc biệt toán trắc nghiệm cho ta kết nhanh tuyệt vời Vì vậy, tơi chọn để tài “Giải toán cực trị số phức phương pháp hình giải tích” để đề tài sáng kiến 1.2 Điểm đề tài - Sử dụng phương pháp hình học giải tích để mơ tả tốn số phức Bằng việc mơ tả tốn số phức hình học giải tích, giúp ta đưa lời giải ngắn gọn việc chọn đáp án (trong câu hỏi trắc nghiệm) cách nhanh chóng trực quan Trang download by : skknchat@gmail.com PHẦN NỘI DUNG 2.1 Thực trạng vấn đề tìm cực trị số phức Trong chương trình Tốn THPT, phần Đại số mà cụ thể phần Số học, chương trình lớp 12, học sinh hồn thiện hiểu biết tập hợp số thơng qua việc cung cấp tập hợp số, gọi Số phức Trong chương này, học sinh bước đầu làm quen với phép toán cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, lũy thừa; lấy mô đun, …các số phức Bằng cách đặt tương ứng số phức điểm mặt phẳng tọa độ với , ta thấy Đại số Hình học có mối liên hệ với “gần gũi” Hơn nữa, nhiều toán Đại số bên Số phức, chuyển sang Hình học, từ số trừu tượng, toán minh họa cách trực quan, sinh động giải Hình học với phương pháp đẹp Đặc biệt, kỳ thi Đại học, Cao đẳng THPT Quốc gia năm gần đây, việc sử dụng phương pháp Hình học để giải toán Số phức phương pháp hay hiệu quả, đặc biệt toán Cực trị số phức Hơn nữa, với tốn Hình học theo phương pháp trắc nghiệm, biểu diễn giấy qua hình ảnh minh họa, ta lựa chọn đáp án cách dễ dàng Tuy nhiên, thực tế giảng dạy, việc chuyển từ tốn Đại số nói chung Số phức nói riêng sang tốn Hình học nhiều học sinh nói chung cịn nhiều lúng túng, việc giải tốn Số phức gây nhiều khó khăn cho học sinh Bài tốn Cực trị Số phức thơng thường có nhiều cách lựa chọn để giải dùng Bất đẳng thức, dùng Khảo sát hàm số, … Qua chuyên đề này, muốn gợi ý cho học sinh lối tư vận dụng linh hoạt phương pháp chuyển đổi từ tốn Đại số sang Hình học cho học sinh, giúp em có nhìn cụ thể việc chuyển đổi vận tư cho toán khác.Với mục tiêu đó, chun đề này, tơi tập trung giải tốn theo hướng Hình học Khơng đặt nặng việc so sánh phương pháp nhanh hơn, tối ưu phương pháp Trang download by : skknchat@gmail.com 2.1 Nội dung giải pháp Một số kiến thức, kí hiệu ban đầu 1.1 Các định nghĩa kí hiệu a) Số i:Ta thừa nhận có số mà bình phương Như vậy, b) Số phức: Cho biểu thức Phần thực; Phần ảo c) Với số phức Kí hiệu: Kí hiệu: gọi (dạng đại số) số phức giá trị biểu thức gọi mô đun Như vậy, d) Với số phức liên Số phức gọi số phức hợp số phức Kí hiệu Như vậy, e) Với số phức Xác định điểm Điểm mặt phẳng tọa độ gọi biểu diễn hình học số phức Để cho tiện, tập tài liệu này, tơi kí hiệu để điểm biểu diễn cho số phức 1.2 Các phép toán tập hợp số phức hay đơn giản Cho hai số phức + Phép cộng: + Phép trừ: + Phép nhân: + Phép chia: với 1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxyquen thuộc + Với + Với + Với trước tập hợp điểm đoạn + Với đường trịn tâm thỏa mãn hệ thức , tập hợp điểm bán kính R hai số phức khác cho đường trung trực thỏa mãn hệ thức Trang download by : skknchat@gmail.com Các tốn BÀI TỐN 1:Cho số phức tập hợp số phức thỏa mãn hệ thức: a) Tìm giá trị nhỏ b) Tìm để nhỏ Nhận xét: + Gọi , + Từ đẳng thức Bài tốn chuyển thành: a) Tìm giá trị nhỏ Suy ra, thuộctrung trực đoạn AB b) Tìm cho + Ta thấy, với điểm H hình chiếu M0 lên Do đó, hình chiếu M0 lên Lời giải - Từ hệ thức , suy phương trình đường thẳng + Với câu a), ta tính khoảng cách Và kết luận, + Với câu b), Viết phương trình đường thẳng d qua M0, vng góc với với - Giải hệ gồm hai phương trình: cần tìm Đặc biệt: tức tìm số phức Ví dụ 1.1 Trong tất số phức mô đun A Lời giải B C d suy nghiệm cho mô đun thỏa mãn (hoặc song song Kết luận, số phức nhỏ Tìm giá trị nhỏ D Trang download by : skknchat@gmail.com Đặt Ta hay có: Khoảng cách từ Vậy, đến là: Chọn đáp án A y (-3;4) Δ I(-1;1) M |z| x O (1;-2) Bình luận: Hãythể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 1.2 Trong tất số phức z thỏa mãn hệ thức Tìm giá trị nhỏ A Lời giải B Đặt Ta C D có: hay + (Ở đây, Chọn đáp án C Trang download by : skknchat@gmail.com y (3;5) M Δ x d O M0(-2;-1) (1;-3) Bình luận: Hãythể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 1.3 Trong tất số phức Biết rằng, A B thỏa mãn hệ thức nhỏ Tính C D Lời giải: Đặt Từ hệ thức Đặt , ta M0(-1;1) B(0;1) x d H A(2;-5) Gọi đường thẳng qua vng góc với Dẫn đến tốn: Tìm đường thẳng Tính giá trị cho trước điểm cho lớn A M0 A, B phía so với - Với A, B cố định + Nếu phía so với với điểm , ta ln có Dấu xảy thẳng hàng hay + Với khác phía so với , gọi điểm đối xứng với A qua điểm , ta ln có thẳng hàng hay Cách giải: với Dấu xảy - Từ hệ thức Suy phương trình đường thẳng - Thay tọa độ điểm vào phương trình để kiểm tra xem phía hay khác phía so với + Nếu phía với Với câu a) giá trị lớn Với câu b): Viết phương trình đường thẳng AB Giải hệ gồm phương trình đường thẳng AB ta nghiệm x,y phần thực phần ảo z + Nếu khác phía với Viết phương trình đường thẳng d qua , vng góc với Giải hệ phương trình gồm phương trình ta nghiệm tọa độ điểm H Lấy điểm cho trung điểm Với câu a) giá trị lớn Với câu b): Viết phương trình đường thẳng A’B Giải hệ gồm phương trình đường thẳng A’B ta nghiệm x,y phần thực phần ảo z Ví dụ5.1 Cho số phức biểu thức A B thỏa mãn hệ thức C Tìm giá trị lớn D Trang 18 download by : skknchat@gmail.com Lời giải Đặt Từ hệ thức , ta được: Thế tọa độ điểm vào phương trình , ta được: Thếtọa độ điểm vào phương trình , ta được: Vậy, phía với Chọn đáp án A Bình luận: Hãythể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 5.2 Cho số phức thỏa mãn A Lời giải B thỏa mãn hệ thức C Biết rằng, số phức đạt giá trị lớn Giá trị biểu thức C Đặt Từ hệ thức , ta được: Thế tọa độ điểm vào phương trình , ta được: Thếtọa độ điểm vào phương trình , ta được: Vậy, khác phía so với Theo phần lý thuyết trên.Gọi điểm đối xứng ta Đường thẳng qua đường thẳng hay Trang 19 download by : skknchat@gmail.com Giao điểm Vậy, số phức Bình luận: Hãythể tốn giấy kẻ ơ, BÀI TOÁN Cho số phức z thỏa mãn hệ thức a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức b) Tìm số phức z để Nhận xét: - Đặt - Từ Dẫn đến toán: Với A, B cố định Tìm - Gọi H Trang 20 M2 Do A, B cố định nên AB không đổi Vậy + nhỏ MH nhỏ (hình minh họa) = + lớn Lời giải MH lớn (hình minh họa) giá trị lớn - Từ hệ thức Suy phương trình đường trịn (C), tâm I bán kính (C) Tìm tọa độ trung điểm H đoạn AB - Nếu yêu cầu tìm min{ } min{ }= - Nếu yêu cầu tìm z viết phương trình đường thẳng IH Giải hệ gồm phương trình đường thẳng IH (C), suy hai nghiệm (x; y) hệ Thử lại để chọn kết phù hợp với đáp án - Nếu yêu cầu tìm giá trị lớn { } giá trị lớn { } - Nếu yêu cầu tìm z viết phương trình đường thẳng IH Giải hệ gồm phương trình đường thẳng IH (C), suy hai nghiệm (x; y) hệ Thử lại để chọn kết phù hợp với đáp án Ví dụ 6.1 Cho số phức thức A Lời giải Đặt B thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu là: C Từ hệ thức Suy ra, D thuộc đường trịn tâm bán kính Đặt Gọi trung điểm Trang 21 download by : skknchat@gmail.com y B(4;10) H(6;8) (C) M1(3;4) x O M2(-3;-4) Theo lý thuyết Giá trị nhỏ Giá trị lớn Chọn đáp án A Ví dụ 6.2 Trong tất số phức thỏa mãn , tìm số phức cho nhỏ A Lời giải Đặt B C Từ hệ thức Tâm Đặt D thuộc đường trịn bán kính Gọi Tọa độ giao điểm Suy ra, điểm trung điểm Đường thẳng nghiệm hệ: Giải ta được, Trang 22 download by : skknchat@gmail.com Với Với với với B(-3;9) y I(-1;7) d (C) M1(- 3;4)A(1;5) x I(-5;1) O M2(-7;-2) Theo phần lý thuyết trên, nhỏ Vậy số phức cần tìm là: Chọn đáp án A BÀI TOÁN 7: Cho hai số phức z, z’ thỏ mãn hệ thức Trong đó, Nhận xét: số phức cho trước Tìm giá trị nhỏ - Đặt Từ hệ thức Suy ra, M’ thuộc đường thẳng Dẫn đến tốn Tìm điểm M2 Trang 23 download by : skknchat@gmail.com + Trường hợp giá trị nhỏ + Trường hợp Lời giải giá trị nhỏ - Từ hệ thức + Suy ra, đường tròn (C), tâm I, bán kính R (C) Từ hệ thức Tính khoảng cách Nếu + Nếu Suy ra, đường thẳng từ I đến giá trị nhỏ giá trị nhỏ nhất là hình chiếu lên a đường thẳng qua I vng góc với (Chú ý: Chọn M’ điểm nằm I,M) Ví dụ 7.1 Cho số phức thỏa mãn giá trị nhỏ biểu thức A B C Lời giải Tìm gần số số sau D Đặt Từ hệ thức tâm , suy thuộc đường tròn: với bán kính Trang 24 download by : skknchat@gmail.com Khoảng cách từ biểu thức Chọn đáp án D đến Vậy, giá trị nhỏ Trang 25 download by : skknchat@gmail.com PHẦN KẾT LUẬN 3.1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng đề tài Thông qua đề tài này, thấy rằng, với số toán nhìn ta thấy việc giải tốn theo cách thơng thường đơi gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên, linh hoạt, sáng tạo hiểu chất vấn đề giải cách nhanh chóng kết bất ngờ Với đề tài này, thân vận dụng q trình dạy học sinh ơn thi THPT Quốc gia năm học 2017– 2018 nhận thấy rằng, đa số học sinh hào hứng tiếp nhận phương pháp thực tốt tập có dạng liên quan Vì vậy, tơi cho rằng, với đề tài này, đồng nghiệp vận dụng trình giảng dạy học sinh học tập chương trình Giải tích lớp 12, chương 4, phần Số phức cách có hiệu 3.2 Kiến nghị, đề xuất Trong trình thực hiện, chắn không tránh khỏi sơ suất Rất mong qđồng nghiệp học sinh gópý đề tài thực tài liệu tham khảo có giá trị cho giáo viên học sinh giải toán Trang 26 download by : skknchat@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Đồn Quỳnh (tổng chủ biên), Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục, 2012 Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Giải tích 12, NXB Giáo dục, 2012 Các đề thi: Đề minh họa THPT Quốc gia 2017, 2018; Đề thi THPT Quốc gia 2017, 2018 https://www.luyenthithukhoa.vn/tap-chi-thtt-online https://vi.wikipedia.org/wiki/S%E1%BB%91_ph%E1%BB%A9c https://toanmath.com/so-phuc Trang 27 download by : skknchat@gmail.com ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ CHUYÊN MÔN …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Trang 28 download by : skknchat@gmail.com Ý KIẾN CỦA SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Trang 29 download by : skknchat@gmail.com ... phương pháp hình giải tích? ?? để đề tài sáng kiến 1.2 Điểm đề tài - Sử dụng phương pháp hình học giải tích để mơ tả tốn số phức Bằng việc mơ tả tốn số phức hình học giải tích, giúp ta đưa lời giải. .. việc sử dụng phương pháp Hình học để giải toán Số phức phương pháp hay hiệu quả, đặc biệt toán Cực trị số phức Hơn nữa, với tốn Hình học theo phương pháp trắc nghiệm, biểu diễn giấy qua hình ảnh... Tìm cực trị số phức, có nhiều phương pháp có phương pháp sử dụng Hình học giải tích Nhiều tốn đặc biệt tốn trắc nghiệm cho ta kết nhanh tuyệt vời Vì vậy, tơi chọn để tài ? ?Giải tốn cực trị số phức