Skkn giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO AN GIANG TRƯỜNG THCS&THPT PHÚ TÂN Họ và tên: Lê Thiện Mỹ Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: THCS&THPT Phú Tân Chuyên ngành: Sư phạm Toán 2018 - 2019 skkn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG TRƯỜNG THCS&THPT PHÚ TÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHUONG PHÁP HÌNH HỌC” Họ tên: Lê Thiện Mỹ Chức vụ: giáo viên Chuyên ngành: Toán Đơn vị: THCS&THPT Phú Tân skkn MỤC LỤC Trang A PHẦN MỞ ĐẦU B PHẦN NỘI DUNG I Cơ sở lý thuyết I.1 Các khái niệm I.2 Các phép tốn I.3 Tính chất II Giải tốn cực trị số phức phương pháp hình học II.1 Một số phương pháp giải toán cực trị số phức II.2 Phương pháp hình học II.2.1 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang hệ tọa độ Oxy II.2.2 Các bài toán thường gặp 10 III Hiệu đạt 34 IV Mức độ ảnh hưởng 36 V Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 skkn DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT THCS&THPT Trung học sở Trung học phổ thông TN THPT Tốt nghiệp Trung học phổ thông SKKN Sáng kiến kinh nghiệm SGK Sách Giáo Khoa BGH Ban giám hiệu skkn SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM A PHẦN MỞ ĐẦU I Sơ lược lý lịch tác giả - Họ tên: LÊ THIỆN MỸ - Ngày tháng năm sinh: 1985 - Đơn vị công tác: THCS&THPT Phú Tân - Chức vụ nay: giáo viên mơn - Trình độ chun mơn: đại học sư phạm Tốn - Lĩnh vực cơng tác: giáo dục II Sơ lược đặc điểm tình hình đơn vị - Tình hình đơn vị: Trường đóng địa bàn nông thôn huyện Phú Tân tỉnh An Giang, sở vật chất phục vụ giảng dạy hạn chế, đa số gia đình làm ăn xa quan tâm đến việc học học sinh, phận học sinh có hồn cảnh khó khăn ảnh hưởng đến việc học tập - Thuận lợi: Được quan tâm đạo BGH nhà trường, giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm đồng nghiệp cơng tác giảng dạy, đa số học sinh u thích học tốn - Khó khăn: Học sinh thuộc địa bàn nơng thơn kinh tế cịn khó khăn nên việc quan tâm đầu tư cho học sinh gia đình cịn hạn chế Hơn trình độ tuyển sinh đầu vào trường thấp nên khó khăn cho việc giảng dạy nâng cao để học sinh đỗ vào trường Đại học tốp đầu nước - Tên đề tài: “Giải toán cực trị số phức phương pháp hình học” - Lĩnh vực: “Phương pháp dạy học toán” Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang skkn SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học III Mục đích u cầu đề tài III.1 Thực trạng ban đầu trước áp dụng sáng kiến Trong lĩnh vực Tốn học số phức đời muộn kể từ kỉ XVI sau nhà toán học nghiên cứu phương trình đại số Tuy sinh sau số phức có nhiều đóng góp cho ngành tốn học như: đại số, lượng giác, hình học Ở trường phổ thơng học sinh tiếp xúc số phức cuối chương trình giải tích lớp 12 Số phức nội dung mẻ, thời lượng không nhiều, học sinh biết kiến thức số phức, toán cực trị số phức tốn tương đối khó đặc biệt với hình thức thi trắc nghiệm học sinh khơng có nhiều thời gian để tư tìm lời giải Từ dẫn đến việc ôn tập TN THPT Quốc gia gặp khó khăn III.2 Sự cần thiết áp dụng sáng kiến Để làm tốt tốn kì thi TN THPT Quốc gia học sinh phải tìm cách giải nhanh chóng, xác khoảng thời gian ngắn Vì sáng kiến “giải toán cực trị số phức phương pháp hình học” đưa cách giải ngắn gọn trực quan học sinh cần vẽ hình áp dụng tính chất hình học có đáp số Sáng kiến đáp ứng u cầu xác nhanh chóng khơng địi hỏi tư nhiều việc giải thi trắc nghiệm III.3 Nội dung sáng kiến III.3.1 Tiến trình thực  Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến số phức, nội dung thi TN THPT Quốc gia môn Tốn có liên quan đến cực trị số phức  Hướng dẫn học sinh áp dụng sáng kiến giải tập trắc nghiệm cực trị số phức  Tiến hành kiểm tra đánh giá mức độ tiếp thu học sinh  Điều chỉnh sáng kiến, phương pháp giảng dạy Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang skkn SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học III.3.2 Thời gian thực Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng học kì năm học 2017 – 2018 trường THCS&THPT Phú Tân III.3.3 Biện pháp tổ chức  Nghiên cứu lý thuyết hoàn chỉnh sáng kiến  Áp dụng giảng dạy thực tế lớp  Đưa phương pháp để học sinh áp dụng giải tập  Sửa làm học sinh đối chiếu với phương pháp giải khác  Tìm ưu điểm khuyết điểm phương pháp  Điều chỉnh sáng kiến, phương pháp giảng dạy  Kiểm tra mức độ tiếp thu học sinh Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang skkn SKKN giải tốn cực trị số phức phương pháp hình học B PHẦN NỘI DUNG Chương I CƠ SỞ LÝ THUYẾT I.1 CÁC KHÁI NIỆM I.1.1 Định nghĩa số phức ,i2 Mỗi biểu thức dạng a bi , a,b Đối với số phức z bi , ta nói a phần thực, b phần ảo z a Tập hợp số phức kí hiệu gọi số phức Chú ý:  Mỗi số thực a coi số phức với phần ảo bằng 0: a  Như ta có a 0i  Số phức bi với b gọi số ảo ( số ảo)  Số gọi số vừa thực vừa ảo; số i gọi đơn vị ảo I.1.2 Số phức bằng Hai số phức bằng phần thực phần ảo tương ứng chúng bằng nhau: a bi c a b di c d I.1.3 Số phức đối số phức liên hợp Cho số phức z a bi , a, b , i2  Số phức đối z kí hiệu z z  Số phức liên hợp z kí hiệu z z a a bi bi I.1.4 Biểu diễn hình học sớ phức Điểm M (a; b) hệ trục tọa độ vng góc mặt phẳng gọi điểm biểu diễn số phức z  a  bi Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang skkn SKKN giải tốn cực trị số phức phương pháp hình học I.1.5 Môđun số phức Giả sử số phức z bi biểu diễn M (a;b) mặt phẳng tọa độ Độ dài a vectơ OM gọi mơđun sớ phức z kí hiệu | z | a2 Vậy: | z | | OM | hay | z | b2 Nhận xét: | z | | z | | z | I.2 CÁC PHÉP TOÁN I.2.1 Phép cộng phép trừ Phép cộng phép trừ hai số phức thực theo quy tắc cộng, trừ hai đa thức Tổng quát: (a (a bi ) bi ) (c (c di ) di ) (a (a c) (b c) (b d )i d )i I.2.2 Phép nhân Phép nhân hai số phức thực theo quy tắc nhân đa thức thay i2 kết nhận Tổng quát: (a bi).(c di) (ac bd ) (ad bc)i Chú ý:  Phép cộng phép nhân số phức có đầy đủ tính chất phép cộng phép nhân số thực  Cho số phức z a bi , a, b , i2 Ta có: z Giáo viên: Lê Thiện Mỹ z 2a ; z z | z |2 Trang skkn SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học I.2.3 Phép chia hai sớ phức Với a bi Cụ thể: c a , để tính thương di bi (c (a di)(a bi)(a c a bi) bi) di , ta nhân tử mẫu với số phức liên hợp a bi ac bd ad bc 2 2 a b a b bi i I.3 TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC Cho số phức z a , i2 bi , a, b  Tính chất 1: Số phức z số thực z z  Tính chất 2: Số phức z số ảo z Cho hai số phức z1 a1 b2i; a1,b1, a2,b2  Tính chất 3: z1 z2  Tính chất 4: z1.z2  Tính chất 5: b1i; z z1 a2 z ta có: z2 z1.z2 z1 z1 z2 z2 ; z2  Tính chất 6: | z1.z | | z1 | | z |  Tính chất 7: z1 | z1 | z2 | z2 | ; z2  Tính chất 8: | z1 z | | z1 | | z | dấu “=” xảy z1 kz2 với k  Tính chất 9: | z1 z | | z1 | | z | dấu “=” xảy z1 kz2 với k Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang skkn SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học Với A B z4 , gọi I trung điểm AB Khi A z3 , B M MA2 P MB2 AB2 2 MI a Vì AB khơng đổi nên MA2 b Tìm z x MI AB2 2 M0 I Vậy Smin I MB2 M AB2 2 2d I ; M0 với M0 hình chiếu yi viết phương trình đường thẳng d qua I vng góc với x; y nghiệm hệ gồm phương trình d Ví dụ áp dụng Ví dụ 13: Cho số phức z thỏa mãn z 2i S z i z i Tìm giá trị nhỏ z i A Smin 305 34 441 68 B Smin C Smin 169 34 D Smin Lời giải Đặt M S z M z : z 2i i z i z z i i M z : 8x 2y i A 0; , B 2; trung điểm I AB I 1; Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 23 skkn SKKN giải tốn cực trị số phức phương pháp hình học Nhận Smin xét: M Bằng 0.53; 0.38 cách thể MA2 MB2 13 Kiểm tra dự đoán: d I ; 68 A P z giấy Vậy Smin a bi thỏa mãn z 3i B P 2d I ; i đạt giá trị nhỏ Tính P kẻ ta đốn dự , 9706 gần với đáp án A , AB Ví dụ 14: Trong số phức z Biết z i z AB2 305 chọn A 34 i a b C P D P Lời giải Đặt M z i M z : z 3i z i z z i i M z :x i y A 1; , B 3; trung điểm I AB I 1; Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 24 skkn SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học Nhận xét: Vẽ hình giấy kẻ ta dự đốn z i z i H 2; M P Kiểm tra dự đoán: Đường thẳng d qua I vng góc Giải hệ: x x y y 0 x y 2 z y d:x chọn C P Bài toán Cho số phức z thỏa điều kiện z z0 z0 , zA , zB số phức cho R R trước a Tìm giá trị nhỏ – giá trị lớn S b Tìm số phức z để S z zA z zB z zA z zB đạt giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) Nhận xét  Với M M z ,I I z0 điều kiện z z0 R R suy M thuộc đường tròn C tâm I bán kính R  Với A A zA , B B zB z zA MA , z Giáo viên: Lê Thiện Mỹ zB MB Trang 25 skkn SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học Bài tốn trở thành Cho đường trịn C hai điểm A , B Tìm điểm M C để S MA2 MB2 đạt giá trị nhỏ Tính Smin Trường hợp AB MH MA2 C MB2 AB2 gọi H trung điểm AB S MA2 MB2 MH AB2 Do A , B cố định nên S MA2 Smin S MA2 MB2 đạt giá trị nhỏ IH R M M1 M M2 Smax AB2 MB2 đạt giá trị lớn IH R AB2 Lời giải  Với M M z ,I I z0 điều kiện z z0 R R suy M thuộc đường tròn C tâm I bán kính R  Giải hệ C AB vơ nghiệm  Tìm tọa độ trung điểm H AB  Smin IH R AB2 ; Smax 2 IH R AB2  Tìm z ta viết phương trình đường thẳng IH Giải hệ phương trình gồm phương trình IH C suy nghiệm hệ x; y thử lại chọn M phù hợp u cầu tốn Ví dụ áp dụng Ví dụ 15 Cho số phức z thỏa z Đặt S z 6i Giáo viên: Lê Thiện Mỹ 2 z 10i tính P Smin Smax Trang 26 skkn SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học A P 532 20 B P C P 564 D P 282 Lời giải M M z ,z z 6i C tâm O 0; , R M z 10i z 6i 10i z A 8; , B 4; 10 gọi H trung điểm AB suy H 6; Nhận xét: vẽ hình giấy kẻ dự đốn Smin Smin AM12 BM12 66; Smax AM22 BM22 M1 3; , Smax M 466 P M M2 3; 532 Kiểm tra dự đoán Smin OH R AB2 2 66; Smax OH R Ví dụ 16 Trong số phức thỏa mãn z i S z 5i z AB2 P 532 chọn A a bi a , b 13 gọi z 9i đạt giá trị nhỏ Tính P Giáo viên: Lê Thiện Mỹ 466 R số phức để a b Trang 27 skkn SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học A P 1 B P C P D P Lời giải M i M z ,z z 5i 13 9i z z 5i z gọi H trung điểm AB suy H i 13 z 9i M Kiểm tra dự đoán: đường thẳng IH : x y 17 3x y 17 x Thử lại: x 3; y y Theo lý thuyết Smin 13 M1H M 3; 3; M1 P a b 3; 7; y x x 13 ; x M1 A 1; , B 13 1; Nhận xét: vẽ hình giấy kẻ dự đốn Smin Xét hệ: 5; , R C tâm I M 7; y P a b Giáo viên: Lê Thiện Mỹ M2 H 14 chọn A Trang 28 skkn SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học Ví dụ 17: (Câu 46 – Đề minh họa THPT Quốc Gia 2018) Xét z số z phức a bi thỏa z 3i mãn Tính P a b z i đạt giá trị lớn 3i 10 A P B P C P D P Lời giải Đặt M M z : z 3i z 3i z i 3i z C : x M i z y A Với I trung điểm AB suy I 0; Ta có: MA2 Vậy MA MB MI max max M 1; , B 1; MB2 MI AB2 K Nhận xét: toán cần vẽ hình giấy kẻ ta đoán đáp số Đường thẳng d qua I vng góc với AB Hệ x 2y x 2 Chọn K 6; y P x x 2; y 6; y d : x 2y H 2; , K 6; 10 Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 29 skkn SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học Ví dụ 18: Xét số phức z thỏa mãn z 2i z i P z 2i A Pmin Tìm giá trị nhỏ biểu thức 10 B Pmin 17 C Pmin D Pmin Lời giải M M z điều kiện z 2i P z i z 2i M C : x A 1; , B 5; AB : x Nhận xét: vẽ hình giấy kẻ ô ta thấy AB C y 4y Pmin AB 17 Ay I A O B x B Kiểm tra: MA MB 17 Đẳng thức xảy M AB AB C với Tọa độ giao điểm đường thẳng AB đường tròn C nghiệm hệ với x x 4y y 4y x y 2 y 4y Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 30 skkn SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học Ta có y y 2 17 y2 22 y 44 y 25 17 22 y 17 z Vậy P 37 59 17 22 59 17 Bài toán Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa z1 59 59 17 i z0 ; z2 R R z3 với z0 , z3 , z4 số phức cho trước Tìm giá trị nhỏ S z2 z1 z4 z2 Nhận xét  Với M M z1 , I I z0 điều kiện z z0 suy M thuộc đường tròn R R C tâm I bán kính R  N N z2 , A A z3 , B điều kiện z2 B z4 z3 z2 z4 M trung trực đoạn AB  S z1 z2 đường thẳng N MN I Bài toán trở thành B Tìm giá trị nhỏ MN với M C ,N N Trường hợp C dựa vào hình vẽ ta thấy: A  MN d I; Trường hợp R MN C MN M N N Lời giải A  Với M M z1 , I I z0 điều kiện z z0 R R M B suy M thuộc đường tròn Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 31 skkn SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học C tâm I bán kính R  N N z2 , A thẳng B z4 điều kiện z2 A z3 , B z3 z2 z4 viết phương trình đường  Tính MN d I; R Ví dụ áp dụng Ví dụ 18 Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa z1 T z1 5, z2 3i z2 6i Tìm giá trị nhỏ C Tmin D Tmin z2 A Tmin 25 B Tmin Lời giải M M z1 , z1 N N z2 , z2 5 3i z2 y A C tâm I M 6i N 5; , R : 8x 6y 35 Tmin d I; R 15 N M x I O B BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu Cho z thỏa mãn z i A w B w z Tìm GTNN w với w Giáo viên: Lê Thiện Mỹ C w z 2i D w Trang 32 skkn SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học Câu Tìm giá trị nhỏ z , biết rằng số phức z thỏa mãn điều kiện z i A z Câu Cho số phức z thỏa z z tính giá trị S A S Câu Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z B Smax Xét số phức z a C Smax B a b z z 5i Tính a C a b B 10 b D a b Giá trị nhỏ biểu thức z C Câu Xét số phức z thỏa mãn z P i D 74 Tìm giá trị lớn biểu thức i B Pmax z 6i đạt giá trị nhỏ z a B P C Pmax z Xét số phức z thỏa mãn z z 4i D Smax 9i A 70 z 7i đạt giá trị nhỏ z 2i A P D S thỏa mãn z 3i bi a , b P P i , biết rằng số phức z thỏa mãn điều kiện Cho số phức z thỏa mãn : z 2i Câu C S Câu A Pmax 2 D z m B S A a b z z 2i z C z z Tìm giá trị lớn S A Smax P M z 2i Câu B z 2i 1333 272 C P Giáo viên: Lê Thiện Mỹ D Pmax 2i Tính P bi a , b 691 272 a 4b biết biểu thức R D P Trang 33 skkn SKKN giải tốn cực trị số phức phương pháp hình học III Hiệu đạt Sau áp dụng phương pháp hình học vào giảng dạy tốn cực trị số phức lớp 12C5 đa số học sinh giỏi tiếp thu áp dụng tốt Tuy nhiên học sinh trung bình áp dụng tương đối khó khăn Cụ thể kết sau: Loại Giỏi Sĩ số 39 Khá 5,1% 20 Trung bình 51,3% 16 Yếu 41,1% 2,5% Bài toán khảo sát Cho số phức z thỏa z  3i  z   i số phức z có mơ đun bé là: Câu A z   2i C z    i 5 B z  1  2i D z   i 5 Lời giải  M  M  z  , z  3i  z   i  tập hợp số phức z đường thẳng x  y    z OM y x O M 5 Nhận xét: vẽ hình giấy kẻ ô ta thấy số phức z thỏa đề z   i Câu Gọi m , M giá trị lớn giá trị nhỏ z mãn điều kiện z 2i A S 68 Tính S B S m2 i , biết rằng số phức z thỏa M2 36 C S Giáo viên: Lê Thiện Mỹ 34 D S 82 Trang 34 skkn SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học Lời giải  M  z M z , z 2i i i z C tâm I 1; , R A 2; Nhận xét: Vẽ hình giấy kẻ ô ta thấy: m S 4 AI R 4; M AI R 68 y M A M' I x O A(-2;-1) B Kết đạt Câu Đạt Không đạt 25 (64,1%) 14 (35,9%) 19 (48,7%) 20 (51,3%) Ưu điểm  Phương pháp hình học có tính trực quan, khơng địi hỏi vận dụng nhiều kiến thức, dễ đoán đáp số toán trắc nghiệm, học sinh dễ áp dụng Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 35 skkn SII{N !i;i tu61 bni ! ni si thtc biq furdq phnp hi,h noc Khuydidiam D6ildi o'op "0i'htr lim bri dri ;T r il ts d l rdn giiy kh6ng rc o l o nI siirl nen qud sip kh6 khan dr.r dorn k6r -i.'' ning.o d 10 I \ -e| e I i u o c6 hec S6ng tjdn SAng kidn E or sd \r' I a \: dnqc ep dung dng di tons viqc d0, Iac torn d cec tuong lG c6 tii o.l Iicu lnam khio cho giio liCn day an UF thi THP] Trcnr c6ne rec 6n L!! thi I.IIIT Qu6c Gia ddi h6i gieo vien drlhg ptudg lbrp gini toan oo.o'h; -1 o dC ki6n da dm E phrp nhanh ch6ng, cna hinn hoc hid! qnd nha.h chdnC da loin cuc tri I r ciri da doin doen nu' ii6! 6n vE hnfi vd ip duns 6t cac phii dug ba! rlo lddunest nhihe lhi than chi \ O da\ sJns dep riDs tiau chi tinh.hit.d l;Lt kii lrl skkn c6 biLi bii totn X,ic nhin cin rtotu r!,ip dto'gsdhg @> 16? ct._t s6 phnc m6t crdh k]1n chinhxnc, ir lu dnt.lloc sinnchicin phi.g C rmT Qu60 Cia vA noc huoB din hoc sinh linr ti,t g.h clor drc drr dr no ach no,nh.no Cini quy6r bdi lp dung d oM-",, ortr d.o' r " d q l\i tl u JddxP; 1! ror uo,orcnott "\*dadiJ' \i \'y0a lin r vihs cic (inh chit hi.n hoc phans hoc sinh lrnns binh.hua nim bdn SKKN giải tốn cực trị số phức phương pháp hình học Tài liệu tham khảo [1] Bộ Giáo Dục Đào Tạo - “Giải Tích 12 Nâng Cao”, NXBGD - 2012 [2] Đoàn Quỳnh - “Ứng dụng số phức hình học phẳng”, NXBGD - 2008 [3] Nguyễn Văn Mậu - Trần Nam Dũng - Nguyễn Đăng Phất - Nguyễn Thủy Thanh “ Chuyên đề chọn lọc - Số Phức Áp Dụng”, NXBGD - 2009 [4] Bộ Giáo dục Đào tạo – “Tạp chí Tốn học tuổi trẻ”, NXBGD [5] Tài liệu internet Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 37 skkn ... Trang skkn SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học CHƯƠNG II GIẢI BÀI TỐN CỰC TRỊ SỚ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC II.1 Một sớ phương pháp giải tốn cực trị sớ phức Có nhiều phương. .. thức R D P Trang 33 skkn SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học III Hiệu đạt Sau áp dụng phương pháp hình học vào giảng dạy toán cực trị số phức lớp 12C5 đa số học sinh giỏi tiếp... suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang skkn SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học II.2.2 Các toán thường gặp Bài toán Cho số phức z0 tập hợp số phức z thỏa