SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

B PHẦN NỘI DUNG Chương I CƠ SỞ LÝ THUYẾT I.1 CÁC KHÁI NIỆM I.1.1 Định nghĩa số phức bi , a, b Mỗi biểu thức dạng a Đối với số phức z a , i2 gọi sớ phức bi , ta nói a phần thực, b phần ảo z Tập hợp số phức kí hiệu Chú ý:  Mỗi số thực a coi số phức với phần ảo bằng 0: a  Như ta có   a 0i Số phức bi với bđược gọi số ảo ( số ảo) Số gọi số vừa thực vừa ảo; số i gọi đơn vị ảo I.1.2 Số phức bằng Hai số phức bằng phần thực phần ảo tương ứng chúng bằng nhau: a bi c di a b c d I.1.3 Số phức đối số phức liên hợp Cho số phức z a   bi ,a, b ,i Số phức đối z kí hiệu z Số phức liên hợp z z kí hiệu z z I.1.4 Biểu diễn hình học số phức a a bi bi Điểm M ( a; b) hệ trục tọa độ vng góc mặt phẳng gọi điểm biểu diễn số phức z a bi Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học I.1.5 Mơđun số phức Giả sử số phức z bi biểu diễn M (a ; b ) mặt phẳng tọa độ Độ dài a vectơ OM gọi mơđun sớ phức z kí hiệu | z | a Vậy: | z | | OM | hay | z | 2 b Nhận xét: | z | | z | |z | I.2 CÁC PHÉP TOÁN I.2.1 Phép cộng phép trư Phép cộng phép trừ hai số phức thực theo quy tắc cộng, trừ hai đa thức Tổng quát: ( a ( a bi ) ( c bi ) di ) ( a c) ( b d )i di ) ( a c) ( b d )i (c I.2.2 Phép nhân Phép nhân hai số phức thực theo quy tắc nhân đa thức thay i2 nhận kết Tổng quát: (a bi ) (c di ) (a c bd ) bc )i (ad Chú ý:  Phép cộng phép nhân số phức có đầy đủ tính chất phép cộng phép nhân số thực  Cho số phức z Giáo viên: Lê Thiện Mỹ a bi ,a , b ,i 2 Ta có: z z 2a ; z z | z | Trang SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học I.2.3 Phép chia hai sớ phức Với a bi di b i c , để tính thương a Cụ thể: c di a bi (c di )(a bi ) (a bi )(a bi) , ta nhân tử mẫu với số phức liên hợp a bi ac bd ad a2 b2 a2 b c i b2 I.3 TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC Cho số phức z a bi ,a , b ,i Tính chất 1: Số phức z số thực  Tính chất 2: Số phức z số ảo  Cho hai số phức z Tính chất 3:  Tính chất 4:     Tính chất 5: a1 z z z z1 z z2 b1 i ; z z z z z z a b2i ; a1, b1, a ,b2 ta có: z2 z z2 z1 ; z z2 Tính chất 6: | z z | | z | | z2 | Tính chất 7: z z2 Tính chất 8: | z  Tính chất 9: | z  Giáo viên: Lê Thiện Mỹ ; | z1 | z | z2 | kz 1 z 2| |z 1| | z2 | dấu “=” xảy z1 z 2| |z | z2 | dấu “=” xảy z1 | với k với k kz Trang SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học CHƯƠNG II GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỚ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC II.1 Một sớ phương pháp giải tốn cực trị sớ phức Có nhiều phương pháp để giải tốn cực trị số phức tơi xin trình bày số phương pháp quen thuộc như: phương pháp khảo sát hàm số, phương pháp lượng giác, phương pháp sử dụng bất đẳng thức Sau xét số ví dụ minh họa Gọi Ví dụ (Phương pháp sử dụng bất đẳng thức) Cho số phức z thỏa mãn z 2i M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z i Tính S M A S34 B S82 m2 C S36 D S68 Lời giải Ta có: z 2i z i M m2 3i z i i Tìm giá trị nhỏ S S B Smin 3 x yi y z 2i x, C Smin Ta có: x2 x 2 y y 2 y x z 2i x2 y 2 z i 2i ? z Smin Lời giải Gọi z z 4i 68 Chọn D Ví dụ (Phương pháp khảo sát hàm số) Cho số phức z thỏa mãn z A Vậy M ; m4 z i S z i 3i x2 x 2 x2 12 x 36 D Smin Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học Xét f x x 12 x 36f x4 x 12 x 3f f 318 Vậy Smin Chọn C z 2i Tìm giá trị z 2i Ví dụ (Phương pháp lượng giác hóa) Cho số phức z thỏa mãn lớn P A Pmax 26 17 B Pmax 26 17 C Pmax 26 17 D Pmax 26 17 Lời giải Gọi z x yi ; x Ta có: z 2i z 2i 26  ;y x 12 sin t 26 17 sin 17 z i y 2i z 2i x y sin t ; Đặt x y cos t 26 sin t t ; 26 17 cos t ; t 0; 2 cos t Pmax 26 17 Chọn A Nhận xét: phương pháp giải toán cực trị số phức hiệu Tuy nhiên địi hỏi người học phải có vốn kiến thức rộng tư nhạy bén, việc phát lời giải vịng khoảng phút tương đối khó khăn Vì để giúp học sinh phát nhanh cách giải đáp số tốn trắc nghiệm tơi xin đề cập đến phương pháp hình học trình bày phần II.2 đây, học sinh cần áp dụng tính chất hình học quen thuộc vẽ hình giấy kẻ dự đốn đáp số toán trắc nghiệm Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học II.2 Phương pháp hình học II.2.1 Một sớ kí hiệu chuyển tư số phức sang hệ tọa độ Oxy  Với M OM z z  Với M M z;M z M MM z z  Với A Az , B B zB A z A ; zB hai số phức khác cho trước tập hợp M M z thỏa z z z đường trung trực đoạn thẳng AB A zB  Với M z M z z R đường , R tập hợp điểm M M z thỏa trịn tâm M0 bán kính R  Với M z z1 z1 , M1 M2 z z M2 z2khi tập hợp điểm M M z thỏa hai tiêu điểm độ dài k k đường elip có nhận M1 , M2 trục lớn k 2a Các bước áp dụng phương pháp hình học tốn cực trị số phức  Đặt M M z từ điều kiện tốn ta tìm tập hợp biểu diễn số phức z thông thường tập hợp là: đường thẳng, đường trịn, elip  Từ biểu thức P chứa mơ-đun số phức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ta biểu thị sang yếu tố hình học tương ứng thơng thường P tổng độ dài đoạn thẳng, tổng bình phương độ dài đoạn thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Từ ta chuyển tốn số phức sang tốn hình học  Vẽ hình biểu diễn tập hợp số phức z , biểu diễn biểu thức P hệ trục tọa độ Oxy áp dụng tính chất hình học như: AB BC AC A, B,C , tính chất đường trung tuyến, tính chất tam giác vng suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang ... Trang SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học CHƯƠNG II GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỚ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC II.1 Một sớ phương pháp giải tốn cực trị sớ phức Có nhiều phương pháp. .. vuông suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học II.2.2 Các tốn thường gặp z Bài toán Cho số phức z0 tập hợp số phức z thỏa... 32 SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học Câu Tìm giá trị nhỏ z , biết rằng số phức z thỏa mãn điều kiện A z B z Câu Cho số phức z thỏa z z tính giá trị S M A.S P C.S Xét số phức