Skkn hướng dẫn học sinh lớp 12trường thpt nông cống 3 giải một số bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Trong cơng đổi tồn diện giáo dục Bộ giáo dục đặt mục tiêu nhiệm vụ đổi phương pháp giảng dạy then chốt Vì để có giảng thu hút học trò, giúp học trò phát triển tư mơn tốn dẫn dắt học trị tới niềm say mê tìm tịi sáng tạo, tơi khơng ngừng suy nghĩ, đặt vào vị trí học trị để tìm tịi, suy nghĩ Trong q trình giảng dạy ơn thi THPT mơn Tốn, thân tơi thấy câu hỏi vận dụng, vận dụng cao phần Số phức thuộc chương trình Giả tích lớp12 nhiều học sinh cịn lúng túng việc suy luận tìm phương pháp giải, đặc biệt câu hỏi liên quan đến giá trị lớn giá trị nhỏ Hiện số câu hỏi liên quan đến số phức chiếm 10% đề thi THPT Quốc gia câu vận dụng, vận dụng cao số phức thường mặc định mức từ câu 40 trở đề trắc nghiệm 50 câu hỏi Thực trạng cho thấy toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến số phức, gây nhiều khó khăn cho HS đặc biệt HS khá, trung bình, yếu Nhận thấy khó khăn học trị gặp phải nghiên cứu áp dụng đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Nông Cống giải số toán cực trị số phức phương pháp hình học” nhằm cung cấp cho học sinh phương pháp dễ hiểu, dễ áp dụng để em dễ tiếp thu, tìm tịi, có động lực nghiên cứu tốn học Từ trang bị cho học sinh tảng kiến thức nâng cao từ rút số kỹ giúp em học sinh nắm bắt cách nhận dạng cách giải giải toán trắc nghiệm nhanh kiến thức học nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học, tạo tự tin cho học sinh kỳ thi Nội dung đề tài bổ ích thiết thực, giúp em học tốt, thi tốt 1.2 Mục đích nghiên cứu - Tạo cho học sinh say mê, hứng thú môn học; - Giúp học sinh nâng cao tư duy, kĩ tính tốn Từ cung cấp cho học sinh dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào kì thi tốt nghiệp THPT Quốc gia; - Giúp cho thân đồng nghiệp có thêm tư liệu để ơn tập cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu toán cực trị số phức thử nghiệm học sinh lớp 12A1, 12A2 năm học 2020 – 2021 tiếp tục áp dụng HS lớp 12B3, 12B5 năm học 2021-2022 Trong phạm vi sáng kiến, đưa số ví dụ điển hình cho số tốn mà học sinh thường khó khăn hướng tiếp cận q trình giải tốn 1.4 Phương pháp nghiên cứu skkn - Nghiên cứu tài liệu Toán lớp lớp 12 - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết; - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp đối thoại với người học skkn Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Mơđun số phức:  Số phức biểu diễn điểm M mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ  Tính chất gọi mơđun số phức z Kí hiệu        Chú ý: 2.1.2 Một số quỹ tích nên nhớ Quỹ tích điểm M Biểu thức liên hệ Đường thẳng Đường trung trực đoạn AB với Đường trịn tâm Hình trịn tâm , bán kính , bán kính Hình vành khăn giới hạn hai đường trịn đồn tâm , bán kính Parabol Elip Elip Đoạn AB skkn Hypebol 2.1.3 Một số kết biết a Cho hai điểm cố định Với điểm ln có bất đẳng thức tam giác: +) , dấu “=” xảy nằm hai điểm +) , dấu “=” xảy nằm hai điểm b Cho hai điểm nằm phía đường thẳng động Ta có: điểm di +) +) Gọi , dấu “=” xảy Ba điểm thẳng hàng điểm đối xứng với qua , ta có , dấu “=” xảy Ba điểm thẳng hàng c Cho hai điểm nằm khác phía đường thẳng điểm di động Ta có: +) , dấu “=” xảy nằm hai điểm +) Gọi điểm đối xứng với qua , ta có d Cho đoạn thẳng , dấu “=” xảy Ba điểm điểm không thuộc , đoạn thẳng , ta xét trường hợp sau: +) Nếu hình chiếu vng góc +) Nếu hình chiếu vng góc thẳng hàng điểm di động Để tìm giá trị nhỏ của đường thẳng đường thẳng nằm đoạn khơng nằm đoạn e Cho đường thẳng điểm không nằm Điểm có khoảng cách đến nhỏ hình chiếu vng góc f Cho tọa độ điểm thuộc miền đa giác Khi giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức ( hai số thực cho không đồng thời ) đạt đỉnh miền đa giác 2.2 Thực trạng vấn đề Trong kỳ thi tốt nghiệp, ĐH- CĐ thi TN THPT Quốc gia chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm toán khoảng cách không gian xuất Trong toán trắc nghiệm với mức độ VD, VDC đa số em học sinh lúng túng tư duy, phương pháp giải trình giải toán Nguyên nhân em chưa nắm vững lý thuyết tâm lý mặc định “khó bỏ qua” Đặc biệt thi trắc skkn nghiệm có phương án nhiễu học sinh dễ mắc sai lầm Do đó, hướng dẫn em học sinh có kĩ năng, phương pháp, cách giải kể trình giải việc cần thiết Từ HS giải nhanh tập dạng trắc nghiệm 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ giải tốn thơng qua (hay nhiều) buổi học có hướng dẫn giáo viên - Tổ chức rèn luyện khả định hướng giải toán học sinh Trong yêu cầu khả lựa chọn hướng giải sở phân tích tốn khoảng cách không gian - Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin khả nắm vững kiến thức học sinh - Trong toán yêu cầu học sinh thực phân tích chất đưa hướng khai thác mở rộng cho toán - Cung cấp hệ thống tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện * Cụ thể: 2.3.1 Các dạng tốn ví dụ sử dụng phương pháp  Dạng 1: Cho số phức nhỏ Phương pháp: Đặt điểm biểu diễn số phức thỏa mãn Tìm số phức thỏa mãn Khi từ giả thiết suy , tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trung trực ∆ AB Gọi điểm biểu diễn số phức Ta có nhỏ khi M hình chiếu vng góc N d Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn Gọi nhỏ Giá trị biểu thức B C Lời giải Đặt điểm biểu diễn số phức giả thiết suy , tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trung trực AB qua có VTPT là số phức thỏa mãn A là: D Khi từ skkn Gọi Ta có suy điểm biểu diễn số phức nhỏ khi M hình chiếu vng góc N ∆, Giải hệ Chọn C Ví dụ 2: Cho số phức mãn thỏa mãn Gọi số phức thỏa nhỏ Khi đó : A B C D Lời giải điểm biểu diễn số phức trung trực AB có phương trình Gọi Từ giả thiết Lại có: số phức suy Ta có P nhỏ phương trình , gọi điểm biểu diễn M hình chiếu vng góc N ∆, suy Giải hệ Chọn A  Dạng 2: Cho số phức thỏa mãn Tìm số phức thỏa mãn đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Phương pháp: Đặt điểm biểu diễn số phức Khi từ giả thiết thuộc đường trịn tâm I bán kính R Ta có: lớn P nhỏ Khi đó: (Điểm E nằm ngồi đường trịn) Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A B C Lời giải D skkn Ta có: số phức đường trịn tâm Gọi tập hợp điểm M biểu diễn bán kính điểm biểu diễn số phức Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn phức làm cho biểu thức A Gọi số đạt giá trị nhỏ lớn Tính B C D Lời giải Ta có: tập hợp điểm M biểu diễn số phức bán kính Gọi Phương trình đường thẳng đường trịn tâm Dựa vào hình vẽ ta có Giải hệ Do Chọn C  Dạng 3: Cho số phức thỏa mãn đạt giá trị nhỏ Phương pháp: Đặt Tìm số phức thỏa mãn điểm biểu diễn số phức Khi từ giả thiết biểu diễn số phức suy , tập hợp điểm đường trung trực ∆ AB; TH1: H, K nằm khác phía so với đường thẳng ∆ Ta có: Dấu xảy Khi TH2: H, K nằm phía so với đường thẳng ∆ Gọi H’ điểm đối xứng ∆ Khi đó: Dấu xảy Khi skkn Ví dụ 1: Cho số phức cho A thỏa mãn B Gọi đạt giá trị nhỏ Khi C là: D Lời giải Đặt tử giả thiết suy nên M thuộc đường thẳng trung trực AB có phương trình , gọi điểm biểu diễn số phức Ta có điểm H, K phía so với đường thẳng ∆ Gọi H’ điểm đối xứng Ta có: tọa độ trung điểm HH’ nghiệm hệ phương trình Suy Lại có: Dấu xảy Phương trình đường thẳng H’K là: Suy Ví dụ 2: Cho số phức cho A Khi thỏa mãn Chọn A Gọi đạt giá trị nhỏ Giá trị nhỏ B C Lời giải D Ta có: Gọi từ giả thiết suy nên M thuộc đường thẳng trung trực AB có phương trình , gọi điểm biểu diễn số phức Ta có: điểm H, K phía so với đường thẳng ∆ Gọi H’ điểm đối xứng Ta có: tọa độ trung điểm HH’ nghiệm hệ phương trình skkn Suy Lại có: Chọn B  Dạng 4: Cho số phức thỏa mãn Tìm số phức thỏa mãn đạt giá trị nhỏ Phương pháp: Đặt điểm biểu diễn số phức Khi từ giả thiết suy , tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trung trực ∆ AB; Gọi I trung điểm nhỏ hình chiếu vng góc I xuống Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn biểu thức A Gọi số phức Gọi z số phức thoả mãn đạt giá trị nhỏ Tính B Lời giải điểm biểu diễn C D Khi thuộc trung trực AB có phương trình Gọi (với Do trung điểm HK) hay M hình chiếu vng góc I xuống , Chọn B Ví dụ 2: Cho số phức thức A thỏa mãn Giá trị nhỏ biểu là: B C D skkn Lời giải điểm biểu Gọi diễn số phức Khi trung trực AB có phương trình thuộc Gọi (với Do trung điểm HK) hay M hình chiếu vng góc I xuống , Chọn A  Dạng 5: Cho số phức thỏa mãn Tìm số phức thỏa mãn đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Phương pháp: Đặt điểm biểu diễn số phức Khi từ giả thiết đường trịn tâm I bán kính R thuộc Gọi E trung điểm AB ta có: lớn P nhỏ Khi Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn biểu thức A Gọi thỏa mãn B Gọi đạt giá trị lớn Tính C Lời giải số thức D thuộc đường trịn tâm bán kính Đặt Gọi trung điểm AB ta có : lớn Do skkn Ta có: Giải hệ Do Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn Gọi thức thỏa mãn biểu thức A Chọn D số đạt giá trị nhỏ Tính B C D Lời giải Gọi thuộc đường trịn tâm bán kính Đặt Gọi trung điểm AB ta có : nhỏ Do Ta có: Giải hệ Do Chọn A  Dạng 6: Cho hai số phức thỏa mãn ; số phức biết Tìm giá trị nhỏ biểu thức Phương pháp: Đặt điểm biểu diễn số phức Điểm M thuộc đường tròn tâm thuộc trung trực bán kính , AB với Lại có: 1 skkn Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ A B C D Lời giải Gọi điểm biểu diễn số phức Gọi điểm biểu diễn số phức Khi Khi Hay tập hợp điểm N mặt phẳng Oxy đường trịn Ta có khơng cắt đường trịn Lại có dựa vào hình vẽ ta thấy Hay Chọn D Bài tốn hỏi thêm tìm số phức để ta cần viết phương trình đường thẳng tìm giao điểm sau Ví dụ 2: Cho hai số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức A B C D Lời giải Gọi điểm biểu diễn số phức Điểm M thuộc đường thẳng trịn tâm bán kính Điểm N thuộc đường thẳng trung trực AB với Lại có: Chọn A skkn  Dạng 7: Cho hai số phức thỏa mãn số phức biết Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Phương pháp: Đặt điểm biểu diễn số phức Điểm M thuộc đường trịn tâm trịn tâm đường trịn để tìm tâm bán kính Ví dụ 1: Cho hai số phức bán kính và thuộc đường Dựa vào vị trí tương đối thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức A B C D Lời giải Ta có: Gọi điểm biểu diễn số phức Điểm M thuộc đường trịn tâm bán kính trịn tâm tâm thuộc đường bán kính Dễ thấy nên nằm ngồi suy Chọn B Ví dụ 2: [Đề tham khảo Bộ GD & ĐT 2018] Xét số phức A thỏa mãn điều kiện giá trị biểu thức B Tính đạt giá trị lớn C D Lời giải Gọi điểm biểu diễn số phức Từ giả thiết, ta có tâm , bán kính thuộc đường trịn Khi , với Ta có skkn Gọi trung điểm Do mà suy Với C giao điểm đường thẳng EI với đường tròn Vậy Dấu xảy Chọn A Ví dụ 3: [Đề tham khảo Bộ GD & ĐT 2017] Xét số phức thỏa mãn điều kiện: Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ A Đặt Tính B C Lời giải D gọi suy Ta có phương trình đường thẳng AB Từ giả thiết, ta có suy M thuộc đoạn thẳng AB Gọi  Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ M hình chiếu N AB Hay  Độ dài đoạn thẳng MN lớn Ta có Vậy giá trị biểu thức Chọn B Ví dụ 4: Xét số phức thỏa mãn điều kiện: Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ A B C Tính D skkn Lời giải Đặt suy gọi Ta có trình đường thẳng AB Từ giả thiết, ta có phương suy M thuộc đoạn thẳng AB Gọi  Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ M hình chiếu N AB Hay  Độ dài đoạn thẳng MN lớn Ta có Vậy giá trị biểu thức Ví dụ 5: Biết số phức Chọn C thỏa mãn đồng thời hai điều kiện biểu thức đạt giá trị lớn Tính mơđun số phức A B C D Lời giải Gọi Ta có: dường trịn tập hợp điểm biểu diễn số phức tâm Mặt khác: Do số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d có điểm chung Chọn D Ví dụ 6: Cho hai số phức thỏa mãn Tìm skkn giá trị lớn A B C D Lời giải Đặt theo giả thiết ta có: Chọn C Ví dụ 7: [Đề thi thử chuyên Đại học Vinh 2018] Giả sử số phức A thỏa mãn hai Giá trị lớn B C D Lời giải Ta có: (với ) biểu diễn thuộc đường trịn tâm kính bán Giả sử nên đường kính đường trịn Lại có: Mặt khác theo cơng thức trung tuyến ta có: Theo BĐT Bunhiascopky ta có: Chọn D Ví dụ 8: Cho A hai số phức Giá trị nhỏ biểu thức B Lời giải thỏa mãn điều kiện là: C D Giả sử Đặt Mà Vậy suy mà thuộc đường trịn tâm , bán kính skkn Cách 2: Gọi biểu diễn số phức Ta có: tập hợp đường trịn tâm bán kính Gọi H trung điểm Mặt khác tập hợp điểm H đường trịn Giả sử Do tập hợp điểm biểu diễn w thuộc đường trịn tâm Ta có: , bán kính Chọn B Ví dụ 9: Cho hai nghiệm phương trình mãn điều kiện Giá trị lớn A B , thỏa C D Lời giải Đặt suy Khi đó, giả thiết Tập hợp đường trịn tâm Đặt bán kính gọi H trung điểm Mặt khác tập hợp điểm H đường trịn Giả sử Do tập hợp điểm biểu diễn w thuộc đường tròn tâm Ta có: , bán kính Chọn B Ví dụ 10: [Đề thi thử chuyên Đại học Vinh 2018] Cho số phức thỏa mãn skkn số thực số thực Giá trị lớn biểu thức A B C D Lời giải Ta có Vì w số thực nên Từ (1), (2) suy (vì khơng số thực nên Đặt Chọn B nên Cách 2: Ta có w số thực nên Đặt ) số thực số thực Tập hợp điểm biểu diễn z đường trịn Đặt Chọn B Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A Tính giá trị M.m B C D Lời giải Gọi Đặt Ta có: ta có Ta có Suy Xét hàm số Bằng cách dùng đạo hàm, suy Chọn A skkn Ví dụ 12: Cho số phức z thỏa mãn A B Tìm giá trị lớn biểu thức C Lời giải D (BĐT Cauchy- Swart) Chú ý: Cách 2: Đặt với Ta có : Lại có Ta có: Chọn A Ví dụ 13: Cho số phức z thỏa mãn nhỏ A 10 Giá trị lớn giá trị là : B C D Lời giải Đặt biểu diễn Ta có: Gọi Khi điểm biểu diễn Elip có trục lớn Do Chọn D 2.3.2 tập tự luyện Câu 1: Gọi giá trị lớn nhất, nhỏ môđun số phức thỏa mãn Giá trị A B C Câu 2: Cho số phức thỏa mãn nhất, giá trị nhỏ Gọi Giá trị D , giá trị lớn skkn A B C D Khi đó, nhỏ Câu 3: Cho số phức thỏa A B C Câu 4: Cho số phức thỏa A C C D Giá trị lớn B C B C D Gọi giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn B Giá trị Câu 9: Cho số phức thỏa mãn biểu thức C B D Biết đạt giá trị lớn Giá trị A Giá trị nhỏ biểu Câu 8: Cho số phức thỏa mãn A D Câu 7: Cho số phức thỏa mãn A Câu 6: Cho số phức thỏa thức D biết chúng thỏa mãn hai điều kiện B A Giá trị lớn A D Giá trị lớn B Câu 5: Cho số phức C Câu 10: Cho số phức thỏa mãn D Gọi skkn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ A B Giá trị C D Câu 11: Xét số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ A B C Câu 12: Cho số phức thỏa mãn B Câu 13: Gọi C D điểm biểu diễn số phức B Câu 14: Cho hai số phức ( với B A Câu 16: Gọi Độ dài C D C thỏa mãn D Giá trị lớn B C tập hợp số phức thỏa mãn (trong lớn nhất, giá trị A số thực thỏa mãn Câu 15: Cho hai số phức biểu thức biết Giá trị nhỏ A Giá trị thay đổi) điểm biểu diễn số phức ngắn đoạn A D Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ A ) Gọi D hai số phức thuộc cho B 10 C D skkn Câu 17: Cho hai số phức A thỏa mãn Giá trị nhỏ B C Câu 18: Cho số phức thỏa mãn Gọi lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A B Câu 19: Gọi D giá trị Giá trị C D số phức thỏa mãn điều kiện có mơđun nhỏ Giá trị A B C Câu 20: Cho số phức D thỏa mãn Gọi giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức Giá trị A B C D 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Đối với thân, sáng kiến kinh nghiệm hội để tơi tiếp tục hồn thiện nữa, làm sở cho trình đổi phương pháp giảng dạy nhằm đem lại hiệu cao cho học sinh Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh hứng thú học tập mơn tốn, em bước đầu biết gắn học lý thuyết với thực tế, em chủ động, linh hoạt, sáng tạo khơng cịn bị động, em cởi bỏ tâm lý e ngại, lười hoạt động Từ nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Đây tiền đề để phụ huynh học sinh quyền địa phương yên tâm gửi gắm em vào nhà trường Trong năm học 2021 – 2022 áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho lớp 12A1, 12A2 không áp dụng cho lớp 12A3 Sau kết thúc kỳ thi THPT Quốc gia năm 2021 kết làm cho thấy lớp 12A2 có 76% học sinh giải tốn cực trị số phức, lớp 12A1 có 68% học sinh giải toán cực trị số phức lớp 12A3 có 15,33% Năm học 2021 – 2 skkn 2022 tiếp tục áp dụng vào lớp 12B3 12B5 kết bước đầu kỳ thi thử Sở GD&ĐT Thanh Hóa đề học sinh lớp làm tốt phần cực trị Số phức skkn Kết luận – Kiến nghị 3.1 Kết luận Sau thời gian giảng dạy thực tế nhiều năm, thông qua tài liệu tham khảo học hỏi đồng nghiệp; tơi áp dụng phương pháp hình học để giải tốn cực trị số phức Từ phân tích khắc sâu cho học sinh q trình giảng dạy, giúp em nhanh chóng tìm lời giải đáp số toán Với kết đối chiếu cho thấy kinh nghiệm nêu bước đầu có hiệu Do đó, tơi tổng hợp, trình bày lại với mong muốn góp phần nâng cao kết thi THPT hàng năm Trong năm học tiếp tục áp dụng cho số lớp khối 12, đồng thời tìm tịi, thu thập thêm ví dụ, dạng tốn khác bổ sung để sáng kiến ngày hồn thiện Thông qua sáng kiến kinh nghiệm mong muốn đóng góp phần cơng sức nhỏ bé việc hướng dẫn học sinh khai thác tốt phương pháp hình học tốn cực trị số phức Đồng thời hình thành khả tư duy, sáng tạo, kỹ giải nhanh toán trắc nghiệm, từ tạo hứng thú cho em học tốn Tuy nhiên trình độ thân cịn hạn chế nên tơi mong đóng góp bổ sung Hội đồng khoa học cấp bạn đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị - Đối với nhà trường : Cần đầu tư nhiều trang thiết bị dạy học; Tích cự tổ chức buổi thảo luận, hội thảo chuyên môn - Đối với Sở giáo dục : Chúng mong muốn tham dự nhiều buổi tập huấn chuyên môn, buổi hội thảo khoa học để trao đổi kinh nghiệm ; Ngồi sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng đề nghị Sở phổ biến rộng rãi trường để chúng tơi áp dụng q trình dạy học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN mình, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Xuân Thông skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Châu Văn Điệp nhóm tác giả, Cơng phá tốn 3, Nxb ĐHQG Hà Nội [2] Đồn Quỳnh, Hướng dẫn ôn tập kỳ thi THPT Quốc Gia năm học 2017-2018, Nxb Giáo dục Việt Nam [3] Lê Hồnh Phị, 10 trọng điểm bồi dưỡng HSG, Nxb ĐHQG Hà Nội [4] Nguyễn Bá Tuấn, Tuyển tập đề thi phương pháp giải nhanh toán trắc nghiệm, ĐHQG Hà Nội [5] Trần Phương, Bài giảng trọng tâm ôn luyện mơn tốn tập 2, Nxb ĐH Quốc Gia Hà Nội skkn ... cho thấy lớp 12A2 có 76% học sinh giải toán cực trị số phức, lớp 12A1 có 68% học sinh giải tốn cực trị số phức lớp 12A3 có 15 ,33 % Năm học 2021 – 2 skkn 2022 tiếp tục áp dụng vào lớp 12B3 12B5 kết... nhỏ bé việc hướng dẫn học sinh khai thác tốt phương pháp hình học tốn cực trị số phức Đồng thời hình thành khả tư duy, sáng tạo, kỹ giải nhanh tốn trắc nghiệm, từ tạo hứng thú cho em học tốn Tuy... môđun số phức thỏa mãn Giá trị A B C Câu 2: Cho số phức thỏa mãn nhất, giá trị nhỏ Gọi Giá trị D , giá trị lớn skkn A B C D Khi đó, nhỏ Câu 3: Cho số phức thỏa A B C Câu 4: Cho số phức