Skkn hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán tìm min, max của môđun số phức bằng phương pháp hình học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN (*Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock; ** Font Times New Roman, cỡ 16, CapsLock, đậm) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM (Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock) HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI BÀI TỐN TÌM MIN, MAX CỦA MÔ ĐUN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC (Font Times New Roman, cỡ 16-18, CapsLock, đậm) Người thực hiện: Vũ Đoàn Kết Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học (Font Times New Roman, cỡ 15, đậm, đứng; mục Đơn vị công tác ghi SKKN thuộc bậc MN, cấp TH THCS, cấp/bậc khác khơng ghi) THANH HỐ NĂM 2022 skkn MỤC LỤC Mục 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.2.1 2.3.2.2 2.3.2.3 2.4 3.1 3.2 Nội dung TTrang MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Các sáng kiến áp dụng để giải vấn đề Hướng dẫn học sinh ôn lại kiến thức Hướng dẫn học sinh giải tốn min, max mơ đun số phức Bài tốn 1: Giả thiết cho quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng Bài tốn 2: Giả thiết cho quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường trịn Bài tốn 3: Giả thiết cho quỹ tích điểm biểu diễn số phức 13 Elip Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động 17 giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 18 Kết luận 18 Kiến nghị 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC SỞ GD&ĐT CÔNG NHẬN skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Từ năm 2017 đến nay, có năm mơn Tốn Bộ Giáo dục Đào tạo tổ chức thi THPT Quốc gia thi Tốt nghiệp THPT hình thức trắc nghiệm Trong năm qua, thầy trò nước dần làm quen thích nghi với đề thi trắc nghiệm mơn Tốn Trong q trình học tập giảng dạy, thầy cô em học sinh gặp nhiều khó khăn gặp phải nhiều toán trắc nghiệm hay, lạ khó, đa dạng hình thức, phong phú nội dung, khai thác sâu nhiều khía cạnh tốn học phổ thơng Một tốn khó xuất gần tốn tìm min, max mơđun số phức, tốn có vai trị bất đẳng thức đề thi tự luận trước Rất hứng thú u thích tốn này, hơm tơi xin trao đổi đồng nghiệp qua đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải tốn tìm min, max mơđun số phức phương pháp hình học” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài tìm tòi đúc rút kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 12 giải tốn tìm min, max mơđun số phức đề thi thức Bộ Giáo dục đào tạo đề thi thử Sở Giáo dục trường THPT nước 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung vào nghiên cứu dạng toán lời giải số tốn tìm min, max môđun số phức 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong q trình nghiên cứu đề tài, tơi chủ yếu sử dụng phương pháp khảo sát thực tế, thu thập thông tin phương pháp thống kê, xử lý số liệu Cụ thể bước nghiên cứu tiến hành sau: Bước 1: Tìm hiểu, thu thập thơng tin tốn tìm min, max mơđun số phức có đề thi Bộ Giáo dục Đào tạo đề thi thử Sở Giáo dục trường THPT toàn quốc Bước 2: Hướng dẫn cho học sinh phương pháp giải Bước 3: Xây dựng nguồn đề cho học sinh lớp 12 luyện tập Bước 4: Tổ chức thực nghiệm kết luận tính hiệu đề tài NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Khái niệm “số phức” “môđun số phức” học chương trình Đại số Giải tích lớp 12, em học sinh lớp 12 tính mơđun số phức, hiểu mơđun số phức khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm biểu diễn số phức hệ trục tọa độ Bên cạnh đó, kiến thức hệ trục tọa độ , véc tơ, phương trình đường thẳng, đường trịn, Elip học sinh trang bị từ lớp 10 Vì sở lý thuyết, em học sinh lớp 12 có đủ kiến thức để giải tốn tìm min, max mơđun số phức phương pháp hình học skkn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Sau khảo sát học sinh lớp 12 mơđun số phức tốn liên quan kết thu đáng báo động Nhiều em không hiểu khái niệm môđun số phức, nhầm lẫn môđun trị tuyệt đối, hầu hết gặp khó khăn giải tốn mức độ vận dụng vận dụng cao tìm min, max môđun số phức Kết khảo sát 42 học sinh lớp 12B1 44 học sinh lớp 12 B9 trường THPT Triệu Sơn sau: Số học sinh Nội dung câu hỏi trả lời 84 Câu Tính mơđun số phức 28 Câu Nêu ý nghĩa hình học mơđun số phức 34 Câu Tìm biết Câu 4.(Câu 46 Mã 119 đề thi THPT Quốc gia năm học 20202021) 03 Cho đạt giá trị nhỏ nhất, bao nhiêu? A B C Câu 5.(Đề thi thử diễn đàn toán học) Xét số phức thỏa mãn Khi A D đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị 01 B C D Qua cho thấy việc hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập lại lý thuyết luyện tập kỹ giải toán tìm min, max mơđun số phức cần thiết cấp bách Chính tơi đề xuất với tổ chuyên môn thân người tiên phong việc biên soạn sưu tầm số dạng tốn tìm min, max mơđun số phức phương pháp hình học để giảng dạy cho học sinh lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp trung học phổ thông 2.3 Các sáng kiến áp dụng để giải vấn đề 2.3.1 Hướng dẫn học sinh ôn lại kiến thức môđun số phức *> Khái niệm môđun số phức Môđun số phức kí hiệu là số thực khơng âm [1] *> Ý nghĩa hình học mơđun số phức skkn Cho số phức Suy , ta có điểm biểu diễn số phức cho = [2] *> Một số tính chất môđun số phức         dấu xảy  dấu xảy  dấu xảy  dấu xảy   *> Một số quỹ tích điểm biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ [3] Quỹ tích điểm M Biểu thức liên hệ (1) (1) Đường thẳng (2) Đường trung trực đoạn (2) với Đường trịn tâm Hình trịn tâm skkn , bán kính , bán kính Hình vành khăn giới hạn hai đường trịn đồng tâm kính , bán Parabol Elip Elip đoạn AB 2.3.2 Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải tốn tìm min, max mơđun số phức phương pháp hình học 2.3.2.1 Bài tốn 1: Giả thiết cho quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng Dạng 1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện Cách giải: Tìm -Bước 1: Từ phương trình biểu diễn số phức - Bước 2: Suy chân đường cao hạ từ ta có quỹ tích điểm đường trung trực đoạn với xuống đường thẳng Dạng 2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện Cách giải: Ta biến đổi đưa dạng tìm Ta có Dạng 3: Cho số phức thỏa mãn điều kiện Cách giải: Ta biến đổi đưa dạng Ta có tìm Dạng 4: Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ Cách giải: -Bước 1: Từ phương trình biểu diễn số phức ta có quỹ tích điểm đường trung trực skkn đoạn với - Bước 2: Suy chiếu với lên đường thẳng , hình Dạng 5: Cho số phức thỏa mãn điều kiện nhỏ Cách giải: Tìm giá trị -Bước 1: Từ phương trình ta có quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường trung trực đoạn - Bước 2: Suy với với -Bước 3: +)Nếu nằm khác phía so với giao điểm đường thẳng đoạn thẳng +) Nếu nằm phía so với qua , lúc ta có: giao điểm đường thẳng Ví dụ Cho số phức ta lấy đối xứng với đoạn thẳng thoả mãn Tìm giá trị nhỏ A B C D Lời giải: Đặt Khi Do tập hợp điểm biểu diễn đường thẳng Ta có Chọn A Ví dụ Số phức có mơđun nhỏ thoả mãn A B C D Lời giải: Đặt Khi skkn Do tập hợp điểm biểu diễn Ta có Gọi đường thẳng đường thẳng qua vng góc với Gọi Khi có mơđun nhỏ thoả mãn có điểm biểu diễn , tức Chọn C Ví dụ Cho số phức thỏa mãn : Giá trị nhỏ biểu thức A B Lời giải :Gọi đường C D điểm biểu diễn số phức thẳng tức biểu diễn hình học số phức thỏa mãn giả thiết Xét điểm Dễ thấy nên qua đường thẳng Ta có phía với đường thẳng nhỏ đối xứng với B A M' M A' Do nhỏ Ví dụ 4: Trong số phức nhỏ A Chọn A thỏa mãn Tìm giá trị B C D Lời giải: Điều kiện: skkn Phương trình cho Gọi điểm biểu diễn số phức Vì nên Khi đó, Ta thấy đường thẳng hợp điểm đường thẳng Ngồi ra, khơng qua điểm nên tập nên nhỏ nhỏ nhất, tức Vậy Bài tập dạng: Bài Trong số phức thỏa mãn đun nhỏ có phần ảo A B Bài Cho số phức , số phức C thỏa mãn : D có mô Giá trị nhỏ biểu thức A Bài Cho B C số phức thỏa mãn D Giá trị nhỏ A B C Bài (Đề Tham Khảo 2017) Xét số phức Gọi lớn Tính A B C D D thỏa mãn: giá trị nhỏ giá trị [4] skkn Bài Cho số phức z thỏa mãn Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ sau đúng? A B Đặt Mệnh đề C D 2.3.2.2 Bài toán 2: Giả thiết cho quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn Dạng 1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tìm Cách giải: - Bước 1: Đặt Từ trịn ta có quỹ tích điểm có tâm bán kính biểu diễn số phức Với đường gốc tọa độ - Bước 2: Từ suy Dạng 2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tìm Cách giải: - Bước 1: Đặt Từ tròn - ta có quỹ tích điểm có tâm Bước Dạng Cho số phức bán kính Gọi 2: Từ biểu diễn số phức đường thỏa mãn điều kiện suy Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Cách giải: Biến đổi đưa Dạng 1, Dạng sau: ( Lấy liên hợp hai vế) Đến ta áp dụng cách giải Dạng 1, Dạng skkn Dạng Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Cách giải: Biến đổi đưa Dạng 1, Dạng sau: (Chia hai vế cho ) Đến ta áp dụng cách giải Dạng 1, Dạng Dạng Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Cách giải: Biến đổi đưa Dạng 1, Dạng sau: (Chia hai vế cho ) Đến ta áp dụng cách giải Dạng 1, Dạng Ví dụ 1: Cho số phức thoả mãn Giá trị lớn A Lời giải B Đặt Gọi phức Suy C D từ điều kiện ta có: điểm biểu diễn cho , bán kính Dễ thấy với điểm biểu diễn cho số thuộc đường tròn tâm , , đẳng thức xảy skkn Ví dụ 2: Cho số phức A B Lời giải: Gọi Từ thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ C D điểm biểu diễn hình học số phức giả thiết ta được: Suy tập hợp điểm có tâm biểu diễn cho số phức bán kính Gọi , suy Vậy nhỏ đường tròn giao điểm đoạn thẳng Gọi lớn giá trị nhỏ Lời giải: Gọi giá trị Giá trị biểu thức B C D điểm biểu diễn số phức Ta có phức Ví dụ 3: Cho số phức thỏa mãn A đường tròn với tập hợp điểm biểu diễn số đường trịn có tâm Kẻ đường thẳng qua bán kính điểm hình vẽ Ta có cắt đường trịn ; Từ hình vẽ ta thấy điểm skkn 10 Vậy Ví dụ 4: (Đề Tham Khảo năm 2018 Bộ GD&ĐT) Xét số phức thỏa mãn đạt giá trị lớn A B Lời giải: Gọi Tính [5] C D điểm biểu diễn số phức z Theo giả thiết ta có: điểm biểu diễn số phức Tập hợp đường trịn tâm bán kính Gọi: Gọi E trung điểm AB, kéo dài EI cắt đường tròn D Ta có: Vì trung tuyến skkn 11 Mặt khác Ví dụ 5: Xét số phức thức thỏa mãn Giá trị nhỏ biểu A B C D Lời giải Gọi điểm điểm biểu diễn số phức đường trịn Các điểm đó, Nhận thấy, điểm trịn , Do nên tập hợp điểm biểu diễn số phức Khi nằm đường tròn , mà điểm Đẳng thức xảy đoạn với Ta có, phương trình đường thẳng Tọa độ giao điểm đường thẳng với skkn nằm ngồi đường giao điểm đường trịn nghiệm hệ 12 Ta có Vậy Bài tập dạng: Bài Cho hai số phức thỏa mãn Giá trị lớn A B C Bài Xét số phức D thỏa mãn A Tính đạt giá trị lớn C B Bài Cho số phức D thay đổi thỏa mãn điều kiện sau: , phần thực nhỏ biểu thức A 2, phần ảo Tìm giá trị B C D Bài Cho số thực thay đổi số phức thỏa mãn Trên mặt phẳng tọa độ, gọi điểm biểu diễn số phức Khoảng cách nhỏ hai điểm A (khi B Bài Cho số phức D thỏa mãn Tính A Bài Xét số phức thay đổi) C B , đạt giá trị nhỏ C thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức A B D C D 2.3.2.3 Bài toán 3: Giả thiết cho quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường Elip skkn 13 Dạng 1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện giá trị lớn nhỏ Cách giải: Tìm - Bước 1: Đặt Từ ta có quỹ tích điểm Elip: biểu diễn số phức - Bước 2: Suy Dạng 2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện: , thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhỏ Cách giải: Từ giả thiết ta suy quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip có phương trình khơng tắc Vì ta phải thực phép biến đổi để đưa phương trình Elip dạng tắc Cụ thể sau: Đặt Nếu (dạng tắc) Nếu Nếu Nếu Ví dụ 1: Cho số phức lớn Tính A thỏa mãn B skkn C D 14 Lời giải: Trong mp tọa độ , Ta gọi điểm biểu diễn số phức: ; ; Ta có: (1) (2) Từ (1) (2), suy Mặt khác Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn Elip có phương trình Theo đề, ta cần tìm điểm thuộc Ta gọi ; Dựa, sau cho lớn điểm biểu diễn số phức: Do đó, là hình vẽ ; lớn vào lớn ta thấy để lớn Ví dụ 2: Cho hai số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ A Lời giải: Đặt diễn số B , ; , skkn C nên tập hợp điểm D biểu 15 phức thuộc elip có Tập hợp điểm suy biểu diễn số phức Yêu cầu tốn trở thành tìm điểm Đường thẳng tiếp xúc với song song với có dạng thuộc đường thẳng cho , nhỏ Với Với Vậy Ví dụ 3: Cho số phức nhỏ biểu thức A Lời giải: thỏa mãn Tìm giá trị B skkn C D 16 Gọi , phức , , , , điểm biểu diễn cho số Có , có Suy chạy có tiêu cự , độ dài trục nhỏ , độ dài trục lớn phương trình tắc Có Có (Bất đẳng thức tam giác) Đặt , với Có , Có Có , Suy Đẳng thức xảy Thử lại: Khi có Vậy Bài tập dạng: skkn 17 Bài Cho số phức thỏa mãn Tìm tổng giá tị lớn giá trị nhỏ A B Bài 2: Cho số phức A thỏa mãn B C ? B D D C D thỏa mãn Giá trị nhỏ C thỏa mãn lớn Tính A A Tìm giá trị lớn Bài Cho số phức Bài Cho hai số phức B ; C D 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sau sáng kiến kinh nghiệm đưa thảo luận tổ chun mơn, đồng chí tổ Tốn đón nhận thảo luận sôi Tổ đề xuất áp dụng vào số lớp mũi nhọn nhà trường; tổ trưởng đề nghị đồng chí tổ viên tiếp tục nghiên cứu mở rộng đề tài theo hướng khác để giúp học sinh tiếp cận toán số phức cách đa dạng Về phía học sinh em học sinh giỏi, đa số em hứng thú với chuyên đề này; nội dung khó đề cập sách giáo khoa lại xuất nhiều đề thi thử đề thi thức Bộ Giáo dục Đào tạo Sau áp dụng đề tài cho 86 học sinh lớp thực nghiệm 12B1, 12B9, cho em làm kiểm tra 90 phút với 30 câu dạng toán đề cập đến đề tài với cấu trúc mức độ đề 5-3-2-1 thang điểm 10 kết thu sau: Mức điểm đạt Số lượng học sinh đạt Phần trăm Dưới 0% Từ đến 3,4% Từ đến 10,2% Từ đến 41 49,0% Từ đến 27 30,6% Từ đến 10 6,8% skkn 18 Sau lần nhà trường tổ chức khảo sát điểm mơn Tốn lớp 12B1, 12B9 sau: Lớp Lần Lần Lần Lần Nhận xét 12 B1 8.03 8.23 8.61 8.65 Tăng dần 12 B9 7.14 7.80 8.09 8.16 Tăng dần (Số liệu thư ký hội đồng nhà trường cung cấp) KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1- Kết luận Mỗi thầy (cô) giáo phải phấn đấu gương tự học sáng tạo để học trị noi theo, trình giảng dạy đặc biệt giai đoạn đổi giáo dục người thầy phải nỗ lực việc học hỏi, đổi phương pháp, tìm tịi hay để truyền thụ cho học trị Đây có lẽ tiêu chí người thầy mà xã hội mong muốn Ý thức điều nên thân đồng nghiệp trường THPT Triệu Sơn phấn đấu không ngừng để ngày điểm tựa vững trãi cho học trò vươn xa hơn; ngày giảng dạy cho em nhiều toán hay, giúp em tự tin bước vào kì thi quan trọng đời học sinh 3.2- Kiến nghị Trên sáng kiến áp dụng cho lớp chủ nhiệm 12B1, 12B9 trường THPT Triệu Sơn năm học 2021-2022 bước đầu có kết khả quan, mong quan tâm đồng nghiệp Rất mong cấp lãnh đạo nhà trường, ngành tổ chức thêm buổi chuyên đề để giáo viên trao đổi phương pháp giảng dạy hay nhằm nâng cao chất lượng giáo dục học sinh thời gian tới Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Vũ Đoàn Kết skkn 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]- Đại số Giải tích lớp 12 – Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [2]- Đại số Giải tích lớp 12 – Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [3]- Đại số lớp 10 – Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [4], [5]- Nguồn đề thi Bộ GD&ĐT DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Vũ Đồn Kết Chức vụ đơn vị cơng tác: Giáo viên Toán– trường THPT Triệu Sơn Cấp đánh Kết Năm học giá xếp loại đánh TT Tên đề tài SKKN đánh giá (Phòng, Sở, giá xếp xếp loại Tỉnh ) loại Kinh nghiệm dạy học sinh Sở GD&ĐT C 2008 yếu mơn Tốn Tạo hứng thú cho học sinh Sở GD&ĐT học giới hạn đạo C 2011 hàm Tạo hứng thú cho học sinh Sở GD&ĐT lớp 10 học phương pháp C 2014 tọa độ phẳng Một số kỹ thuật giúp học sinh lớp 12 giải nhanh trắc Sở GD&ĐT C 2017 nghiệm mơn Tốn Giáo dục kỹ sống cho học sinh lớp chủ nhiệm Sở GD&ĐT C 2020 11A2 thông qua hoạt động trải nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng đồ thị bảng Sở GD&ĐT C 2021 biến thiên để giải tốn nghiệm phương trình chứa hàm số hợp skkn ... Khái niệm ? ?số phức? ?? ? ?môđun số phức? ?? học chương trình Đại số Giải tích lớp 12, em học sinh lớp 12 tính môđun số phức, hiểu mơđun số phức khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm biểu diễn số phức hệ trục... tìm min, max mơđun số phức phương pháp hình học? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài tìm tịi đúc rút kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 12 giải tốn tìm min, max mơđun số phức đề... vận dụng cao tìm min, max môđun số phức Kết khảo sát 42 học sinh lớp 12B1 44 học sinh lớp 12 B9 trường THPT Triệu Sơn sau: Số học sinh Nội dung câu hỏi trả lời 84 Câu Tính môđun số phức 28 Câu