(SKKN mới NHẤT) SKKN giúp học sinh lớp 9 giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số nhằm nâng cao chất lượng thi vào THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD&ĐT YÊN ĐỊNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH LỚP GIẢI BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG THI VÀO THPT Người thực hiện: Lê Thị Hùng Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Định Công SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Tốn THANH HĨA, NĂM 2018 download by : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng 2.3 Các giải pháp biện pháp thực Phần I: Ôn tập bổ sung số kiến thức Phần II: Các phương pháp giải tốn tìm GTLN(Max), GTNN(Min) biểu thức Phần III: Phân loại số dạng tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức 10 Phần IV: Những sai lầm học sinh thường mắc phải 19 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 20 KẾT LUẬN * Bài học kinh nghiệm 21 3.1 Kết luận 22 3.2.Kiến nghị 22 download by : skknchat@gmail.com ĐỀ TÀI: GIÚP HỌC SINH LỚP GIẢI BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG THI VÀO THPT MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Như biết: Với xu phát triển xã hội nói chung phát triển khoa học nói riêng, người cần phải có tri thức, tư nhạy bén để nắm bắt sử dụng tri thức sống ngày Muốn có tri thức người cần phải học, nhà trường nơi cung cấp hành trang Tốn học mơn học Thơng qua việc học tốn, học sinh nắm vững nội dung toán học phương pháp giải toán mà từ vận dụng vào mơn khoa học khác, đặc biệt mơn khoa học tự nhiên Tốn học sở cho ngành khoa học khác có vai trị quan trọng dạy học trường phổ thơng, địi hỏi người thầy phải có nghệ thuật sáng tạo, đổi phương pháp dạy học để đáp ứng nhu cầu học học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường trung học sở nhiệm vụ xuyên suốt giáo viên nói riêng nhà trường nói chung, chất lượng lớp sở đánh giá trình giáo dục cấp trung học sở Là giáo viên dạy toán lâu năm trường THCS thân trăn trở làm để nâng cao chất lượng môn Để làm điều giáo viên cần đổi phương pháp giảng dạy, tích cực kiểm tra, theo dõi sát việc học tập học sinh Qua đó, cần phải uốn nắn giải đáp vướng mắc cho em, điều chỉnh phương pháp giảng dạy cho học sinh dễ học, dễ nhớ, khắc sâu kiến thức Trong chương trình tốn học trường THCS khơng có học “Giúp học sinh lớp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số nhằm nâng cao chất lượng thi vào THPT” Tuy nhiên hệ thống tập đặc biệt đề thi học sinh giỏi, học sinh thi tuyển sinh vào lớp 10 lại bắt gặp nhiều dạng toán Trong năm học 2017 – 2018 phân công nhà trường, trực tiếp giảng dạy mơn tốn thấy việc tiếp cận tốn dạng em cịn lúng túng, chí em cịn chưa hiểu rõ phải làm trước câu hỏi đặt đề Vì tơi cố gắng tìm tòi phát từ lớp em không làm quen với khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ Để giúp học sinh có cơng cụ để giải vấn đề tồn trên, mạnh dạn đưa “Giúp học sinh lớp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số nhằm nâng cao chất lượng thi vào THPT” với mong muốn giúp em trút bỏ nỗi băn khoan, lo lắng tiếp cận với hệ thống tập dạng Trong trình thực đề tài với kiến thức kinh nghiệm khiêm tốn nội dung sáng kiến chưa phong phú khơng thể tránh khỏi sai sót Rất mong nhận đóng góp chân thành đồng nghiệp để sáng kiến hồn thiện giúp ích cho việc dạy học toán download by : skknchat@gmail.com 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm củng cố cho học sinh, đặc biệt học sinh khá, giỏi môn toán lớp số kiến thức để giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số Cũng từ mà phát triển tư lơgic cho học sinh, phát triển lực giải toán cho em, giúp em nhận biết tránh sai lầm giải tốn để giải em hồn thiện hơn, xác hơn, khơng mà cịn giúp em tự tin học toán Đề tài nhằm giúp cho giáo viên có thêm tư liệu, cẩm nang bổ ích để thực nhiệm vụ dạy học sáng tạo, có hiệu 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (cực trị) - Một số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số chương trình đại số lớp lớp - Phân tích, nhận xét, đánh giá sai lầm mà học sinh thường mắc phải rút học kinh nghiệm Trong phạm vi giới hạn sâu vào nghiên cứu số phương pháp chung nhất, nhằm cung cấp cho em kiến thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số Các phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu: Tìm hiểu nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tài liệu bồi dưỡng, … - Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm lớp học sinh trước để rút kinh nghiệm cho lớp học sinh sau NỘI DUNG 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN Năm học 2017 - 2018 năm học mà toàn ngành tổ chức phong trào thi đua với chủ đề “Đổi mới, sáng tạo dạy học” nhằm tiếp tục triển khai có hiệu Nghị 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 Ban Chấp hành Trung ương khóa XI đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo Động viên cán quản lý, nhà giáo, người lao động toàn Ngành thể việc làm cụ thể, thiết thực để đổi mới, sáng tạo công tác, hoạt động dạy học nhà giáo học sinh, sinh viên, tạo bước chuyển biến nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo - thực nhiệm vụ phát triển nguồn nhân lực, nguồn nhân lực chất lượng cao Trường THCS sở giáo dục bậc trung học, bậc nối tiếp bậc tiểu học hệ thống giáo dục quốc dân Trường THCS có vai trị, vị trí lớn lao việc thực mục tiêu, nhiệm vụ giáo dục thời đại - thời đại công nghiệp hóa, đại hóa Trường THCS tạo sở ban đầu quan trọng bền vững cho trẻ em, em trang bị kiến thức lĩnh vực nói chung lĩnh vực khoa học tự nhiên nói riêng có tốn học - tốn học giữ vai trị quan trọng, hành trang xuyên suốt đời người Tốn học hình thành phát triển em từ bậc tiểu học phát triển sâu download by : skknchat@gmail.com hơn, cao bậc trung học, trường THCS lại tiền đề để em hồn thiện cấp học Trong trường THCS em hình thành ngày hồn thiện khái niệm, tiên đề, định nghĩa, tính chất, mệnh đề toán học Các kiến thức toán học tiếp tục theo em tiến bước lên cấp học, bậc học Trong phạm vi đề tài đề cập “Giúp học sinh lớp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số nhằm nâng cao chất lượng thi vào THPT” nhằm trang bị cho em khái niệm toán cực trị để tạo tiền đề cho em bước vào trường THPT bậc học cao 2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG a Thực trạng dạy học trường THCS Việc truyền thụ kiến thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức cho học sinh vấn đề nhiều giáo viên quan tâm, song lý nội dung chương trình nên phần lớn đưa vào dạy học nội dung buổi học ngoại khóa bồi dưỡng Mặt khác tốn cực trị lại tốn khó đa dạng, học sinh không dễ dàng tiếp cận được, mà phải có thời lượng định đặc biệt người giáo viên phải biết truyền đạt nội dung để thời lượng định học sinh tiếp nhận b Thực trạng học sinh Qua kiểm tra cho thấy khả giải tốn tìm cực trị em không cao, em thường nghĩ giải xong tốn xong cơng việc mà khơng nghĩ tốn có ý nghĩa gặp toán có phương pháp giải tương tự em lại lúng túng khơng biết tháo gỡ sao.… Bên cạnh cịn có giáo viên chưa trọng sâu vào nội dung cách lơgíc, hệ thống, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nên việc tiếp nhận kiến thức học sinh gặp nhiều khó khăn chí học sinh cịn mơ màng, lúng túng, khơng đưa lời giải hợp lí tính xác tốn học Vì kết học sinh lớp năm học 2016-2017 sau: Năm học 2016-2017 Tổng số HS 36 Giỏi Khá Trung bình Yếu SL % SL % SL % SL 5.5 22.2 18 50 Kém % SL 16.7 % 5.5 2.3 CÁC GIẢI PHÁP VÀ BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN PHẦN I ÔN TẬP VÀ BỔ SUNG MỘT SỐ KIẾN THỨC Đây yêu cầu quan trọng lời giải toán cực trị, việc nắm bắt kiến thức giúp học sinh đánh giá, nhận xét toán từ tìm tịi lời giải cách hợp lý Cụ thể là: người thầy phải cho học sinh hệ thống lại số đẳng thức a2 với a  R: Tổng quát a2k với a  R (k z+) Dấu đẳng thức xảy a = download by : skknchat@gmail.com - a2 với a  R: Tổng quát - a2k với a  R (k thức xảy a = = Đẳng thức xảy a = z+) Dấu đẳng a2 + b2 a Đẳng thức xảy a = Đẳng thức xảy ab 2ab Đẳng thức xảy a = b b; ab Đẳng thức xảy a = b 10 Bất đẳng thức côsi (Cauchy) Với hai số thực khơng âm a b ta có: Đẳng thức xảy a = b Với n số thực khơng âm a1, a2, an ta có: Đẳng thức xảy a1 = a2 = = an 11 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cho hai số thực (a1, a2 , an); (b1, b2, bn) ta có : (a1b1 + a2b2+ + anbn)2 (a12 + a22 + + an2)(b12 + b22 + + bn2) Đẳng thức xảy 12 Sử dụng mệnh đề tương đương: * A nhỏ  – A lớn * B lớn  B2 lớn (B > 0) * C nhỏ  lớn (C > 0) C 13 Định lý dấu nhị thức bậc Nhị thức ax + b (a  0) dấu với a với giá trị x lớn nghiệm nhị thức, trái dấu với a với giá trị x nhỏ nghiệm nhị thức x -b/a ax + b Trái dấu với a Cùng dấu với a Việc xét dấu nhị thức bậc có nhiều ứng dụng như: giải bất phương trình tích cách xét dấu nhân tử tích Nếu số nhân tử âm mà chẳn tích dương, ngược lại tích âm Khử dấu giá trị tuyệt đối nhờ xét khoảng giá trị biến PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN TÌM GTLN(MAX), GTNN(MIN) CỦA MỘT BIỂU THỨC download by : skknchat@gmail.com * Định nghĩa 1: Cho biểu thức f(x;y;…) xác định miền D ta nói M giá trị lớn nhất(GTLN) f(x;y;…) D thỏa mãn hai điều kiện: - Với x; y; … thuộc D f(x;y;…) M với M số - Tồn x0; y0; … thuộc D cho f(x;y;…) = M * Định nghĩa 2: Cho biểu thức f(x;y;…) xác định miền D Ta nói m giá trị nhỏ nhất(GTNN) f(x;y;…) D thỏa mãn hai điều kiện: - Với x; y; … thuộc D f(x;y;…) m với m số - Tồn x0; y0; … thuộc D cho f(x;y;…) = m Như tìm GTLN, GTNN biểu thức, giáo viên phải lưu ý cho học sinh giải hai điều kiện, thiếu hai điều kiện chưa kết luận cực trị biểu thức Để học sinh tiếp cận cách dễ dàng, giáo viên nên cho học sinh nắm bắt vấn đề từ dễ đến khó, từ phương pháp đơn giản với toán đưa đơn giản nhằm thu hút ý học sinh đặc biệt tạo hứng thú học tập cho học sinh Chính lẽ đó, đưa số phương pháp sau: Phương pháp sử dụng đẳng thức a Phương pháp đưa lũy thừa bậc chẵn Cho biểu thức y = f(x) ta phải biến đổi y = f(x) sau: * y = f(x) = M (k z+) M số Khi ta có: y M GTLN y M g(x) = Giải phương trình g(x) = ta tìm giá trị x0 * y = f(x) = m + (k z+) m số Khi ta có: y m GNLN y m g(x) = Giải phương trình g(x) = ta tìm giá trị x0 Sau học sinh nắm vấn đề cần giải quyết, giáo viên đưa ví dụ minh họa cho việc làm VD 1: Tìm GTNN biểu thức A = x2 – 5x + HD giải Ta có A = x2 – 5x + = (x MinA = Vậy MinA = xx= )2 + =0 x= VD 2: Tìm GTLN biểu thức B = + 6x – x2 HD Giải Ta có B = 10 – (x – 6x +9) = 10 – (x- 3)2 10 Max B = 10 Dạng tổng quát: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c Tìm GTNN P a > Tìm GTLN P a < x=3 VD Tìm GTNN biểu thức C = HD Giải Ta có C = = download by : skknchat@gmail.com = MinC = x = 2017 (Chú ý: Có thể giải theo phương pháp miền giá trị) b Phương pháp đưa dạng m (k z); m số Việc tìm GTLN, GTNN biểu thức phương pháp đòi hỏi phải tách, thêm bớt cách khéo léo làm xuất dạng tổng quát Chẳng hạn như: VD 1: Tìm GTNN C  5 2x  8x  Giải: 5 5 Ta có: C  2x  8x   x  2    5 Ta thấy  x     7  x  2     Vậy MinD  x=2 VD 2: Tìm GTLN D  9x  6x  Giải: 3 Ta có: D  9x  6x   3x     3 Ta thấy  3x  1   3x    (theo quy tắc so sánh hai   phân thức tử, tử mẩu dương) Do D  Vậy MaxD  x= Chú ý: Sẽ khơng xác lập luận D có tử số nên D lớn mẩu nhỏ Lập luận dẫn tới sai lầm, chẳng hạn với phân thức x 3 download by : skknchat@gmail.com 1  x 3 Mẩu thức x2 – có GTNN -3 x = với x = giá trị lớn phân thức ( chẳng hạn x =   , lớn x 3 ) VD : Tìm GTLN, GTNN biểu thức A = HD Giải * Tìm GTLN Ta viết A dạng A = = = =4- Max A = Vậy GTN A x = x= *Tìm GTNN Ta viết A dạng: A = = = = MinA = -1 x = Vậy GTNN A – x = (Chú ý: Có thể giải theo phương pháp miền giá trị) Với phương pháp này, tùy vào cụ thể giáo viên cho học sinh nhận xét tìm cách thêm bớt, tách hạng tử cách thích hợp, nhằm xuất dạng tổng quát Chẳng hạn với ví dụ trên, x2 + > Nên để tìm GTLN ta tìm cách biến đổi A = m (g(x) > 0) Cịn để tìm GTNN ta tìm cách biến đổi A = m (g(x) > 0) c Phương pháp sử dụng bất đẳng thức côsi bất đẳng thức Bunhiacôpxki Việc sử dụng bất đẳng thức côsi bất đẳng thức Bunhiacopxki vào giải tốn tìm GTLN, GTNN tiện lợi Song muốn đạt điều đòi hỏi giáo viên phải cho học sinh nắm phần chứng minh bất đẳng thức khai thác điều kiện toán, phải biết nhìn nhận, đánh giá nội dung đề cách linh hoạt khéo léo VD 1: Tìm GTLN biểu thức A = (với ) HD Giải Nhận thấy: x + – x = Nên với ta áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số khơng âm x – x ta có: Đẳng thức sảy Vậy MaxA = x=1 VD 2: Tìm GTLN biểu thức B = 3x(3 – 2x) (với x=2–x x = ) download by : skknchat@gmail.com HD Giải Ta có B = với áp dụng bất đẳng thức cơsi cho hai số khơng âm 2x – 2x ta có: 2x(3 – 2x) MaxB = B Vậy MaxB = VD 3: Tìm GTLN biểu thức C = (với ) HD Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai số thực (1;1) ( ta có: C = = 2.8 = 16 Do C nên MaxC = x=2 d Phương pháp sử dụng bất đẳng thức VD 1: Tìm GTNN biểu thức A = HD Giải Với áp dụng bất đẳng thức Ta có: A= MinA = x(1 – x) Vậy MinA = VD 2: Tìm GTNN biểu thức B = HD giải Áp dụng bất đẳng thức ta có B= MinB = MinB = VD 3: Tìm GTNN biểu thức C = ; HD Giải Tương tự ví dụ ta có: Mặt khác ta lại có C = Min C = (x - 1)(9 - x) x = Vậy Min C = Ở ví dụ cần ý học sinh thấy trường hợp ta xét khơng tìm giá trị x thỏa mãn để biểu thức đạt GTNN Ngoài phương pháp sử dụng đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối trên, em sử dụng phương pháp xét khoảng giá trị biến Chẳng hạn ví dụ ta có: + x < C = - x + - x + - x + = -3x + 17 14 + C = x - - x + - x + = - x + 15 + C = x - + x - - x + = x + > + x > C = x - + x - + x - = 3x - 17 10 Kết hợp ba trường hợp ta có: Min C = download by : skknchat@gmail.com Max B = Từ hai ví dụ ta thấy phương pháp hiệu quả, lúc tìm đồng thời GTLN, GTNN Tuy nhiên để sử dụng phương pháp này, giáo viên phải cho học sinh nắm vững dấu nhị thức dấu tam thức bậc hai (giải bất phương trinh tích) Trên hai phương pháp để tìm cực trị biểu thức đại số mà em biết trước chúng em dùng đạo hàm PHẦN III PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TỐN TÌM GTLN, GTNN CỦA MỘT SỐ BIỂU THỨC THƯỜNG GẶP Trước cho học sinh giải toán cực trị khơng mẫu mực nên cho học sinh tiếp cận với số toán thường gặp sau Dạng 1:Tìm GTLN, GTNN tam thức bậc hai f(x) = ax2+ bx+ c Phương pháp chung để giải loại toán : Biến đổi dạng lũy thừa bậc chẵn: m (k ) cụ thể + Nếu a > f(x) = aX2 + m + Nếu a < f(x) = aX2 + m VD 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) = (x - 1)2+(x-3)2 HDGiải: 2 Ta có A(x) = (x - 1) + (x - 3) = x2 - 2x + + x2 - 6x + = 2(x2 - 4x + 5) = 2(x - 2)2 + 2 Vì (x - 2)2 với x Vậy Min A(x) = x = VD 2: Tìm giá trị lớn biểu thức B(x) = - 5x2 - 4x + HD Giải: Từ B(x) = - 5x2 - 4x + ta có B(x)= - 5(x2 + x) + = Vì với nên Max B(x) = Dng 2: Tỡm GTLN, GTNN biểu thức bậc cao Đối với dạng tập hướng dẫn học sinh đổi biến để đưa dạng tam thức bậc hai, biến đổi trực tiếp lũy thừa bậc chẵn VD 1: Tìm GTNN biểu thức A = x4 - 4x3 + 5x2 - 4x + HD Giải 2 Ta có : A = x (x - 4x + 4) + (x - 4x +4) = (x - 2)2(x2 +1) Min A = x = VD 2: Tìm GTLN, GTNN biểu thức B = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) 11 download by : skknchat@gmail.com HD Giải * Cách Ta có: B = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x + 4) = (x2 + 5x + 4)2 + (x2 + 5x + 4)2 + - = (x2 + 5x + + 1)2 - - B=-1 x2 + 5x + = Vậy Min B = - * Cách Từ B = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) Đặt x2 + 5x + = y B = (y - 1)(y + 1) = y2 - B=-1 -1 y = hay x2 + 5x + = Vậy Min B = - Dạng Tìm GTLN, GTNN biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối VD 1: Tìm GTNN biểu thức A = HD Giải Ta có: A = = (Xem VD mục IIId) VD 2: Tìm GTNN biểu thức B = HD Giải Ta có: B = (Đến ta giải tương tự VD mục IIId) VD 3: Tìm GTLN biểu thức C = 2(1 + ) - (x - 1)2 HD Giải Ta có: C = - (x - 1) + )+2 Đặt y = (y > 0) Ta có: C = - y2 + 2y + = -(y - 1)2 + 3 Max C = y = hay = x - = x = hoăc x = Vậy Max C = x = hoăc x = Dạng Tìm GTLN, GTNN phân thức Trong dạng phân loại cho học sinh thấy phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai, phân thức có mẫu bình phương, vào cụ thể mà lựa chọn cách phù hợp với mục đích biến đổi dàng hc VD 1: Tìm GTLN biểu thức HD Giải: 12 download by : skknchat@gmail.com Ta có: = Vì (x+1)2 với Do đó: x nên (x+1)2+2 với x A(x) = (x+1)2 = Max A(x) = x = -1 VD 2: Tìm GTNN biểu thức B(x) = với HD Giải: Ta có: B(x) = Vì (x- 4)2 với Min B(x) = nên (x- 4)2+6 nên (x- 4)2 = x=4 VD 3: Tìm GTNN biểu thức C = HD Giải Ta có: C = =2+ C=2 x - 2= x = Vậy Min C = x=2 Tuy nhiên hướng dẫn học sinh dùng phương pháp đổi biến chẳng hạn như: Đặt x - = y x= y + Do ta có: C= = C=2 Vậy Min C = x - 1= x = x=2 VD 4: Tìm GTLN, GTNN phân thức D = HD Giải: * Tìm GTNN 13 download by : skknchat@gmail.com Ta viết D dạng D = = = D= Vậy Min D = x+2=0 x = - x=-2 * Tìm GTLN Ta viết D dạng D = = =1 D=1 x - 1= x = Vậy Max D = x=1 Với ví dụ ta thấy việc biến đổi biểu thức dạng biểu thức thích hợp địi hỏi phải biết đánh giá, nhận xét cách khéo léo làm xuất dạng tổng quát m m để đánh giá kết luận Song sử dụng phương pháp miền giá trị tốn lại giải theo quy tắc định mà việc giải vấn đề xét điều kiện có nghiệm phương trình Chẳng hạn với tốn VD ta làm sau: Vì D có nghĩa với x nên gọi m giá trị biểu thức ứng với giá trị x Như tồn giá trị x cho = m ( nghĩa phương trình = m có nghiệm) + TH 1: m= phương trình (*) trở thành - 2x = + TH 2: m + Với m = x= để phương trình (*) có nghiệm phương trình (*) có dạng x2 - 2x -2 = + Với m = phương trình (*) có dạng x2 - 2x + = Kết hợp hai trường hợp ta có: : Vậy Min D = Max D = x=-2 x=1 Dạng Biểu thức chứa nhiều biến Dạng nhìn thấy đề học sinh thường thấy khó khăn đa thức có nhiều biến khơng biết tiến hành Do giáo viên cần hướng dẫn học 2 sinh cách chọn biến vận dụng đẳng thức  a  b   a  b  14 download by : skknchat@gmail.com Dạng tổng quát: f(x,y) = ax2 + by2+cxy + dx + ey + f (a,b,c,e,f số a.b  ) 2 Ta có f(x) = ax + by + cxy + dx + ey + f = ax2 + (cy + d)x + by2 + ey + f  = a  x  (cy  d ) x   a  = …… = a  x   1  (cy  d )  (cy  d )  by  ey  f 4a  4a  (cy  d )  m( y  q)  p 2a  Suy GTNN, GTLN f(x,y) ( x =  (cy  d ) y = - q.) VD 1: Tìm giá trị m p cho: A = m - 4mp + 5p2 + 10m - 22p + 28 đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ HD Giải: 2 Ta có: A = (m - 4mp + 4p ) + (p2 - 2p + 1) + 27 + 10m - 20p = (m - 2p)2 + (p - 1)2 + 27 + 10(m - 2p) Đặt X = m - 2p Ta có A = x2 + 10X + 27 + (p - 1)2 = (X2 + 10X + 25) + (p - 1)2 + = (X + 5)2 + (p - 1)2 + Ta thấy: (X + 5)2 với m, p; (p - 1)2 p Do đó: A đạt giá trị nhỏ khi: Vậy Min A=2 m=-3; p=1 VD 2: Tìm giá trị x, y, z cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ P(x, y, z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 - 16xz - 24yz + 36xy + HD Giải: Khi gặp biểu thức chứa nhiều biến số, ta cấn biến đổi biểu thức cho tổng biểu thức khơng âm Ta có: P (x, y, z) = (9x2 + 36xy + 36y2) + (18y2 - 24yz + 8z2) +(8x2 -16xy+8z2) + 2x2 + = 9(x+2y)2 + 2(3y - 2z)2 + 8(x - z)2 + 2x2 + Ta thấy: (x + 2y)2 với x, y (3y-2z)2 với y,z (x-z)2 với x, z x2 với x Biểu thức P (x,y,z) đạt giá trị nhỏ hạng tử (x+2y) 2, (3y-2z)2; (x-z)2, x2 đạt giá trị nhỏ lúc hay nói cách khác chúng phải có giá trị đồng thời 0, nghĩa hệ phương trình sau có nghiệm Vậy Min P(x,y,z) = x = 0, y = 0, z = VD 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 15 download by : skknchat@gmail.com A= số hữu tỉ Trong x; y; z; t HD Giải: Ta có : A= Vì nên A Dấu đẳng thức xảy Từ (1) ta có: y = Từ (2) ta có: Thay vào (3) ta được: x2 = 400 - Với x = 20 ta có y = 28; z = 30 - Với x = -20 ta có y = -28; z = -30 x= 20 Ngồi ra, từ (4) ta có: t = Vậy giá trị nhỏ A 2004 , đạt (x; y; z; t) = (20; 28; 30; ) Hoặc (x; y; z; t) = (-20; -28; -30; ) Dạng Biểu thức chứa thức bậc hai VD 1:: Tìm giá trị lớn A = x + HD Giải: Điều kiện x Đặt = y Ta có y2 = - x A = 2- y2 + y = Max A = VD 2: Tìm GTLN, GTNN biểu thức B = HD Giải: * Tìm GTLN Ta có 16 download by : skknchat@gmail.com * Tìm GTNN: Ta có: Min B = Vậy Max B = Min B = VD 3: Tìm GTLN, GTNN biểu thức C = HD Giải: * Tìm GTLN Ta có: C Min C = - x2 + 4x + = x = - x = * Tìm GTLN Do C C2 = - x2 + 4x + = = - (x2 + 4x + 4) + = - (x - 2)2 + 9 Max C2 = x=2 Max C = x = Vậy Min C = x = - x = Max C = x=2 Tìm GTLN, GTNN biểu thức thỏa mãn điều kiện VD 1: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình: x2 - 2(m - 1)x + m - = Tìm GTNN biểu thức P = x21 + x12 HD Giải: Ta có = (m - 1)2 - (m - 3) = m2 - 3m + = phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 P = x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = = với m = 4m2 - 10m + 10 Min P = VD 2: Tìm GTLN biểu thức A = HD Giải: biết x + y = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có A2 = Max A Vậy Max A = x + y = x= 3,5 y = 4,5 x= 3,5 y = 4,5 VD 3: Tìm GTLN biểu thức HD Giải: 17 download by : skknchat@gmail.com Với điều kiện c 2; a 3; b Ta có B = Áp dụng bất đẳng thức cơsi cho hai số khơng âm ta có: (1) Tương tự ta có: (2) ; (3) Cộng vế bất đẳng thức (1) ; (2) ; (3) ta có: B Max B = c - 2= 2; a - = 3; b - 4=4 c = 4; a = 6; b = Vậy Max B = c = 4; a = b = VD Tìm GTLN biểu thức M = HD Giải: biết a + b + c = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki ta có: M2 = ( )2 Max M = ( N 0) Vậy Max M = Dạng toán tổng hợp (Sử dụng kết hợp nhiều phương pháp toán ) Đa số kỳ thi học kỳ vào THPT tốn tìm GTLN, GTNN sử dụng nhiều phương pháp 8a  b  b với a+ b  a > VD 1:Tìm GTNN A = 4a Giải: Từ x+ y   y  - x ta có: 8a  b 1 A  b  2a    (1  a ) 4a 4a 2 a  4a  a  4a  4a   a  4a a (2a  1)  (2a  1)   4a 2 (2a  1) (a  1) 3    4a 2 VD 2: Cho số a, b, c lớn 18 download by : skknchat@gmail.com Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Giải: Do a, b, c > (*) nên suy ra: a   , b   , c   Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương, ta có: a  b   a (1) b 5 b  c   b (2) c 5 c  a   c (3) a 5 Cộng vế theo vế (1),(2) (3), ta có: Q  5.3  15 Dấu “=” xẩy  a  b  c  25 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy Min Q = 15  a  b  c  25 VD 3: Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = Giải: Ta có: Þ = Þ Tương tự: Þ P£ = = Dấu “=” xảy Từ giá trị lớn P đạt PHẦN IV NHỮNG SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI 19 download by : skknchat@gmail.com Khi cho học sinh giải tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức, giáo viên cần cho học sinh thực toán thỏa mãn hai điều kiện Song nhiều trường hợp học sinh chưa hiểu rõ chất nên thường vướng sai lầm đáng tiếc, thầy giáo cần cho phải cho học sinh thấy rõ số toán giải tưởng chừng lại sai chưa thõa mãn hai điều kiện (như định nghĩa nêu) chưa thỏa mãn quy tắc, tính chất tiên đề hay định nghĩa tốn học có liên quan Chẳng hạn ta xét số ví dụ sau: VD 1: Tìm GTNN biểu thức A = x2 + (x - 2)2 Một học sinh giải sau: 2 Ta có x ; (x - 2) A Vậy Min A = Học sinh làm không Sai lầm học sinh chứng tỏ A chưa điều kiện thứ trường hợp xảy dấu đẳng thức Thực ví dụ dấu đẳng thức khơng xảy khơng thể có đồng thời x2 = (x - 2)2 = người thầy phải cho học sinh phát sai lầm cho học sinh tìm lời giải Lời giải là: 2 Ta có: A = x + (x - 2) = x + x2 - 2x +4 = 2(x- 1)2 + 2 Min A = x=1 VD 2: Tìm GTNN biểu thức B = x2 + y2 biết x + y = Một học sinh giải sau: 2 Ta có: B = x + y 2xy B nhỏ 2xy x = y = 2( x + y = 4) Khi Min B = 22 + 22 = Ở ví dụ đáp án không sai lập luận mắc sai lầm chứng tỏ f(x;y) g(x;y) mà chưa f(x;y) m với m số Ta đưa ví dụ với cách lập luận trên: Từ bất đẳng thức x 4x - x nhỏ x2 = 4x - x=2 Min x2 = x = ta thấy kết sai dễ thấy Min x = x=0 Lời giải là: 2 Ta có: x + y = x + y + 2xy = 16 (1) 2 Ta lại có: x + y - 2xy (2) Cộng vế hai bất đẳng thức (1) (2) ta có: 2(x2 + y2) 16 (x2 + y2) Min B = x = y = VD 3: Tìm GTNN biểu thức C = ( với x > 0) Một học sinh giải sau: Ta có: C = x > Min C = Mặc dù trình bày đủ hai điều kiện song với x = - khơng thõa mãn điều kiện tốn x > Lời giải là: Do x > nên ta có C = 20 download by : skknchat@gmail.com Min C = x > Min C = VD : Tìm GTLN biểu thức D = xyz(x + y)(y + z)(x + z) biết x, y, z x + y +z = Một học sinh giải sau: Áp dụng bất dẳng thức 4ab (a + b)2 ta có: 4(x + y)z (x + y + z)2 = 1; 4(y + z)x (y + z + x)2 = ; 4(x + z)y (x + z+ y)2 = Do hai vế không âm nên nhân vế bất đẳng thức chiều ta có: 64xyz(x + y)(y + z)(x + z) xyz(x + y)(y + z)(x + z) Max D = Sai lầm học sinh chưa trường hợp xảy dấu đẳng thức Nếu tiếp tục giải ta có điều kiện để D = là: điều vô lý Lời giải là: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho số khơng âm ta có: 1=x+y+z (1) (2) Hai vế bất đẳng thức không âm nên nhân vế (1) với (2) ta có: Max D = 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đối với giáo viên: Từ kết phân tích, đánh giá toán giúp giáo viên nâng cao lực tự nghiên cứu, tìm tịi nâng cao kiến thức, nghiệp vụ đồng thời vận dụng tổng hợp tri thức học, mở rộng, đào sâu hoàn thiện hiểu biết Từ giúp thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu sáng tạo để tiếp tục nghiên cứu vấn đề khác tốt suốt trình giảng dạy Nghiên cứu vấn đề giúp giáo viên nắm thuận lợi, khó khăn dạy cho học sinh đại trà, học sinh giỏi, ôn thi vào lớp 10, từ định hướng nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn Nghiên cứu đề tài cịn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo dạy thành cơng dạy mơn tự chọn tốn Đối với học sinh Khi chưa áp dụng phương pháp dạy nhiều em chưa biết cách nhìn nhận, định hướng giải nào, chưa bao quát hết đặc điểm đề 21 download by : skknchat@gmail.com bài, chưa nắm phương pháp phân tích, nhìn nhận tốn từ nhiều góc độ khác Cho nên em làm cịn mơ hồ, khơng tự tin, kĩ biến đổi cịn hạn chế, khơng biết hay sai Sau áp dụng đề tài nhược điểm em nêu giảm nhiều tỉ lệ học sinh hiểu làm tăng lên rõ dệt từ em có hứng thú tích cực học tập Năm học 2017-2018 sau dạy học nội dung kết học tập em học sinh bước đầu có nhiều chuyển biến, cụ thể là: Kết khảo sát T.Bình Yếu SL % SL % Năm học Đề tài 20162017 Khi chưa áp dụng cho 36 HS 5.5 22.2 18 20172018 Áp dụng cho 30 HS 16.7 12 40 10 Giỏi SL % Khá SL % 50 33.3 Kém SL % 16.7 5.5 10 0 KẾT LUẬN * BÀI HỌC KINH NGHIỆM Qua việc áp dụng đề tài thân rút số kinh nghiệm định là: Phương pháp giải tập có hệ thống yếu tố giúp học sinh nắm vững kiến thức, giải linh hoạt tập tốn đạt kết cao học tập mơn toán Điều quan trọng cần đề cập toán theo nhiều cách khác nhau, nghiên cứu kỹ, khảo sát kỹ chi tiết kết hợp chi tiết toán theo nhiều cách để mở rộng, phát triển cho tốn khác Đồng thời qua khai thác ứng dụng tốn vào giải toán loại Thực tế cho thấy có vấn đề chủ quan giáo viên cho đơn giản nhiều học sinh việc tiếp thu, lĩnh hội kiến thức lại gặp nhiều khó khăn Vì giáo viên cần phải kiên trì, bền bỉ, gần gũi học sinh, nhiệt tình giảng dạy Từ cảm hố em, giúp em mạnh dạn trao đổi ý kiến với giáo viên, hứng thú, tích cực học tập kính trọng biết ơn thầy giáo Trong trình giải tập giúp em rèn luyện khả tư duy, phân tích, suy ngẫm, khái quát vấn đề cách chặt chẽ, em khơng cịn ngại khó mà tự tin vào khả học tập Nhiều em giỏi tìm cách giải hay, ngắn gọn, phù hợp hiểu chất toán Đối với em học yếu, việc thực khó khăn giáo viên Một phần khả học toán em cịn hạn chế, mặt khác dạng tốn đa dạng, phức tạp Do giáo viên cần có biện pháp 22 download by : skknchat@gmail.com khuyến khích, động viên làm cho em có lịng tự tin để tư duy, sáng tạo học tập 3.1 KẾT LUẬN Những biện pháp việc làm tơi nói trên, bước đầu kết chưa thật mỹ mãn mong muốn thân Tuy nhiên, thực tốt đề tài tơi nghĩ góp phần đổi phương pháp giảng dạy đáp ứng nhu cầu học tập phát triển học sinh Mặt khác, với cách trình bày tơi thiết nghĩ áp dụng cho mơn học Tự chọn tốn mà lâu chưa có tài liệu riêng để dạy phần Đề tài tích luỹ, thực thời gian ngắn (2016 - 2018) nên hẳn cịn có hạn chế Bản thân cho kinh nghiệm kinh nghiệm nhỏ bé muôn vàn kinh nghiệm đúc kết, kinh nghiệm bao lớp thầy Vì thân mong góp ý xây dựng đồng nghiệp nhằm giúp tơi bước hồn thiện phương pháp giảng dạy 3.2 KIẾN NGHỊ Đối với giáo viên Có thể nói tốn "Tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số" chuyên đề hay khó nên từ lớp 6, lớp giáo viên cần cho học sinh làm quen với tốn chun đề Có em bước vào lớp 8, lớp giáo viên đưa nội dung chuyên đề dạy cho em em khơng cịn cảm thấy bở ngỡ hay lạ lẫm việc thực chuyên đề trở nên thành công hơn, mang lại hiệu cao Đối với phòng GD&ĐT, sở GD&ĐT Do nội dung kiến thức tốn "Tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số" khơng có sách giáo khoa nên việc truyền tải nội dung cho học sinh trở nên không đồng bộ, khơng rộng rãi Vì nên tổ chức lớp chuyên đề sinh hoạt chuyên môn cấp sở, cấp phòng nội dung chuyên đề để giáo viên có hội trao đổi, thảo luận, học hỏi kinh nghiệm việc giảng dạy nội dung kiến thức chuyên đề tương tự có nội dung kiến rộng khó Từ giáo viên mạnh dạn đưa nội dung kiến thức chuyên đề vào dạy cho em cách hệ thống, đồng hơn, thống nhân rộng Tôi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 27 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Thị Hùng 23 download by : skknchat@gmail.com D TÀI LIỆU THAM KHẢO Toán nâng cao chuyên đề đại số NXB Giáo Dục Một số vấn đề phát triển toán NXB Giáo Dục Một số vấn đề phát triển toán NXB Giáo Dục 225 toán chọn lọc Đại số NXB Đại học quốc gia Một số tạp chí toán học tuổi thơ NXB Giáo Dục Tuyển chọn theo chuyên đề toán học tuổi trẻ NXB Giáo Dục Thực hành giải toán NXB Giáo Dục Một số đề thi học sinh giỏi 24 download by : skknchat@gmail.com DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Thị Hùng Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Định Công TT Tên đề tài SKKN Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Thông qua việc tổ chức số trị chơi tạo hứng thú học tập mơn tốn giúp học sinh lớp nắm vững dấu hiệu chia hết Thơng qua việc tổ chức số trị chơi tạo hứng thú học tập mơn tốn giúp học sinh lớp nắm vững dấu hiệu chia hết Kết Cấp đánh đánh giá giá xếp loại xếp loại (Phòng, Sở, (A, B, Tỉnh ) C) Phòng GD B Phòng GD A Sở GD C Năm học đánh giá xếp loại 2011-2012 2015-2016 2015-2016 25 download by : skknchat@gmail.com ... 22 download by : skknchat@gmail.com ĐỀ TÀI: GIÚP HỌC SINH LỚP GIẢI BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG THI VÀO THPT MỞ ĐẦU 1.1 Lý... dễ học, dễ nhớ, khắc sâu kiến thức Trong chương trình tốn học trường THCS khơng có học ? ?Giúp học sinh lớp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số nhằm nâng cao chất lượng thi vào THPT? ??... giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (cực trị) - Một số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số chương trình đại số lớp lớp - Phân tích, nhận xét, đánh giá sai lầm mà học sinh thường