LÝ THUYẾT cần NHỚ TOÁN 10 THPT

LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT MỤC LỤC PHẦN ĐẠI SỐ 10 Chương Mệnh đề - tập hợp Vấn đề Mệnh đề mệnh đề chứa biến  Mệnh đề  Mệnh đề là một câu khẳng định một câu khẳng định sai  Một mệnh đề vừa đúng, vừa sai  Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề Nguyễn Bảo Vương P Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT  Mệnh đề "không phải P" được gọi là mệnh đề phủ định P và kí hiệu là  Nếu P P sai, P sai P P  Mệnh đề kéo theo: Cho mệnh đề P và Q  Mệnh đề "Nếu P Q" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là: P ⇒ Q , (P Q) suy P⇒Q  Mệnh đề sai P và Q sai  Lưu ý rằng: Các định lí tốn học thường có dạng P ⇒ Q Khi đó: • P là giả thiết, Q là kết luận • P là điều kiện đủ để có Q • Q là điều kiện cần để có P  Mệnh đề đảo P ⇒ Q Cho mệnh đề kéo theo Q⇒P Mệnh đề P ⇒ Q được gọi là mệnh đề đảo mệnh đề  Mệnh đề tương đương: Cho mệnh đề P và Q  Mệnh đề "P và Q" được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là P⇔Q  Mệnh đề P⇒Q và hai mệnh để P ⇔ Q Q⇒P và đều  Lưu ý rằng: Nếu mệnh đề P ⇔ Q là định lí ta nói P là điều kiện cần đủ để có Q  Mệnh đề chứa biến: Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị mợt tập X nào mà với giá trị biến thuộc X ta được một mệnh đề P(x)  Kí hiệu ∀ ∃: Cho mệnh đề chứa biến  "Với mọi  "Tồn x thuộc x thuộc X X Nguyễn Bảo Vương với x∈ X Khi đó: "∀x ∈ X , P(x)" P(x) để đúng" được ký hiệu là: "∃x ∈ X , P(x)" P(x) để "∀x ∈ X : P(x)" đúng" được ký hiệu là: "∃x ∈ X : P(x)" Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT  Mệnh đề phủ định mệnh đề  Mệnh đề phủ định mệnh đề "∃x∈ X , P(x)" "∀x∈ X , P(x)" là "∀x ∈ X , P(x)" "∃x ∈ X , P(x)" là  Phép chứng minh phản chứng: Giả sử ta cần chứng minh định lí: A ⇒ B  Cách Giả sử A Dùng suy luận và kiến thức toán học biết chứng minh B  Cách (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ chứng minh A sai Do A khơng thể vừa vừa sai nên kết là B phải  Lưu y: • Sớ ngun tớ là sớ tự nhiên chia hết cho và Ngoài khơng chia hết cho số nào khác Số và không được coi là số nguyên tố 2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47;53;59; 100 Các số nguyên tụ t n ã la a,b Ơ c bội: Cho o b, a Nếu chia hết b a ta gọi là bợi b và a là ước Ước chung lớn (ƯCLN) hay nhiều số tự nhiên là số lớn tập hợp ước chung sớ o Bội chung nhỏ (BCNN) hay nhiều số tự nhiên là số nhỏ tập hợp ước chung sớ Vấn đề Tập hợp  Tập hợp  Tập hợp là một khái niệm tốn học, khơng định nghĩa  Có cách xác định tập hợp: + Liệt kê phần tử: viết phần tử tập hợp hai dấu móc + Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp Nguyễn Bảo Vương { ; ;} × Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT  Tập rỗng: là tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu ∅  Tập hợp – Tập hợp bằng  Tập hợp con: A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A ⇒ x ∈ B) B A A A ⊂ A , ∀A + ∅ ⊂ A , ∀A + A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C +  Tập hợp bằng nhau: A ⊂ B A = B⇔  B ⊂ A Nếu tập hợp có n phần tử ⇒ 2n tập hợp  Một số tập hợp của tập hợp số thực R  Tập hp ca Ă Ơ* Ơ Â ¤ ⊂ ¡ : Trong đó: ¥∗ : ¥ là tập hợp sớ tự nhiên khơng có sớ Â : la hp sụ t nhiờn Ô : là tập hợp số nguyên : là tập hợp số hữu tỷ ¡ = (−∞; +∞) : là tập hợp số thực  Khoảng: –∞ { ////////// ( } (a;b) = x ∈ ¡ a < x < b : + – { } (a; +∞) = x ∈ ¡ a < x : + – { a } ////////// b + ) /////////// + ////////// + (−∞ ; b) = x ∈ ¡ x < b : + Nguyễn Bảo Vương – ////////// é ê ë ù////////// ú û + Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT  Đoạn: { }  a; b = x ∈ ¡ a ≤ x ≤ b : a  Nửa khoảng: + + + + { – ////////// éêë – ////////// ( }  a;b) = x ∈ ¡ a ≤ x < b : ( a;b = { x∈ ¡ b ù////////// + úû + ////////// é ê ë } a< x ≤ b : ) ////////// + –∞ { }  a; +∞ ) = x ∈ ¡ a ≤ x : ////////// – ( −∞;b = { x∈ ¡ + } x≤ b : A B  Các phép toán tập hợp { x∈ B} × A ∩ B ⇔ x x∈ A  Giao hai tập hợp: và A { x ∈ B} × A ∪ B ⇔ x x∈ A  Hợp hai tập hợp: { x ∉ B} × A \ B ⇔ x x∈ A  Hiệu hai tập hợp: B⊂ A Phần bù: Cho B và A B CA B = A\ B Vấn đề Sai sớ- số gần  Số gần Trong đo đạc, tính tốn ta thường nhận được sớ gần  Sai số tuyệt đối ∆a = a − a a Nếu a là số gần số Nguyễn Bảo Vương gọi là sai sớ tụt đối số gần a Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT  Đợ xác của mợt số gần ∆a = a − a ≤ d Nếu a− d ≤ a ≤ a+ d a Ta nói a là sớ gần với đợ xác d và qui ước viết gọn là a = a± d  Sai số tương đối δa = a, Sai số tương đối số gần a là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và  ∆a a × kí hiệu δa càng nhỏ đợ xác phép đo đạc tính tốn càng lớn  Ta thường viết δa dạng phần trăm  Qui trịn sớ gần  Nếu chữ sớ sau hàng qui trịn nhỏ ta việc thay chữ sớ và chữ sớ bên phải sớ  Nếu chữ sớ sau hàng qui trịn lớn hay bằng ta thay chữ sớ và chữ sớ bên phải sớ và cợng thêm một đơn vị vào chữ số hàng qui trịn  Nhận xét: Khi thay sớ sớ qui trịn đến mợt hàng nào sai sớ tụt đới sớ qui trịn khơng vượt q nửa đơn vị hàng qui trịn Như vậy, đợ xác sớ qui trịn bằng nửa đơn vị hàng qui trịn  Chữ sớ a Cho sớ gần a sớ với đợ xác d Trong số a, một chữ số được gọi là chữ số (hay đáng tin) d không vượt nửa đơn vị hàng có chữ sớ  Nhận xét: Tất chữ số đứng bên trái chữ số đều là chữ số Tất chữ số đứng bên phải chữ số không đều là chữ số không Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Chương Hàm số bậc bậc hai Vấn đề Đại cương hàm số  Định nghĩa D ⊂ ¡ , D ≠ ∅ Cho Hàm số f xác định D là một qui tắc đặt tương ứng số x∈ D với một và một số y∈ ¡ Trong đó: x  được gọi là biến số (đối số), y được gọi là giá trị hàm sớ f x Kí hiệu:  D được gọi là tập xác định hàm số { y = f (x) } T = y = f (x) x∈ D  được gọi là tập giá trị hàm số y = f (x)  Cách cho hàm số: cho bằng bảng, biểu đồ, công thức y = f (x) Tập xác định hàm f (x) là tập hợp tất số thực x cho biểu thức y = f (x)  Chiều biến thiên của hàm số: Giả sử hàm số  Hàm số  Hàm sớ D có tập xác định là D ⇔ ∀x1 , x2 ∈ D y = f (x) được gọi là đờng biến Khi đó: x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2 ) và D ⇔ ∀x1 , x2 ∈ D y = f (x) có nghĩa x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2 ) được gọi là nghịch biến và  Tính chẵn lẻ của hàm sớ y = f (x) Cho hàm sớ có tập xác định D  Hàm số f được gọi là hàm số chẵn ∀x ∈ D ∀x ∈ D − x∈ D − x∈ D f (− x) = f (x) và f (− x) = − f (x)  Hàm số f được gọi là hàm số le và  Tính chất đờ thị hàm sớ chẵn và hàm số lẻ: + Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng + Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng  Đồ thị của hàm số Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT  Đồ thị hàm số Oxy với mọi M ( x; f (x)) y = f (x) xác định tập D là tập hợp tất điểm mặt phẳng toạ độ x ∈ D y = f (x) Chú y: Ta thường gặp đồ thị hàm số y = f (x) là một đường Khi ta nói là phương trình đường Vấn đề Hàm số bậc Hàm số TX Tính chất Bảng biến thiên Điểm đặc biệt Đ x a> 0: Hàm số bậc y = ax + b số đồng ¡ hàm +∞ A(0;b) +∞  b  B − ;0÷  a  −∞ x a< 0: (a≠ 0) y biến −∞ y +∞ số nghịch ¡ O A (a< 0) y = ax + b O B y A O Hàm chẵn x y −∞ biến Hàm số hằng y (a> 0) y = ax + A b B +∞ hàm −∞ Đồ thi x y = bx A(0;b) Không đổi y= b Hàm số y Hàm chẵn Đồng biến y= x = ¡  x x ≥  − x x < (−∞;0) −∞ +∞ O(0;0) A(−1;1) y +∞ và nghịch biến Nguyễn Bảo Vương x y= x 1B x O −1 A B(1;1) +∞ Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT (0; +∞) y = ax + b , (a ≠ 0) Đối với hàm sớ ta có:  b ax + b x ≥ − a y = ax + b =  × −(ax + b) x < − b  a y = ax + b , Do để vẽ hàm số y = ax + b ta sẽ vẽ hai đường thẳng y = − ax − b, và rời xóa hai Ox phần đường thẳng nằm phía trục hoành ′ + b′ d′ : y = ax d : y = ax + b  Lưu y: Cho hai đường thẳng • d // d′ ⇔ a = a′ • d ≡ d′ ⇔ a = a′ • và và và Khi đó: b ≠ b′ ′ = −1 • d ⊥ d′ ⇔ aa b = b′ • d ∩ d′ ⇔ a ≠ a′ A(xA ; yA ) d Phương trình đường thẳng qua d : y = k.(x − xA ) + yA k và có hệ sớ góc dạng Vấn đề Hàm sớ bậc Hàm số TXĐ Tính chất y = ax2 , (a ≠ 0) Đồ thị Bảng biến thiên a> 0: là Khi −∞ x (P ) y = ax2 parabol ¡ (a≠ 0) • • y O(0;0) x Trục đới xứng: • a> 0: • a< 0: O O Khi Oy (a> 0) y (P ) (a< 0) y a< 0: Đỉnh y Nguyễn Bảo Vương +∞ có: Đờ thi −∞ x x (P ) −∞ bề lõm quay lên bề lõm quay Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT x́ng y a> 0: Khi Đờ thị x − −∞ là ¡ x 2a O +∞ y = ax2 + bx + c,(a ≠ 0) y = ax2 + bx + c (a> 0) (P ) b I y (P ) parabol (a≠ 0) • • có: a< 0: (a< 0) Khi  b ∆ I  ; ữì 2a 4a x nh b 2a I O x (P ) y Trục đối xứng: • a< 0: − −∞ b x= − × 2a • a> 0: y −∞ bề lõm quay lên bề lõm quay xuống ( ) Vẽ đồ thị hàm số y = f x = ax2 + b x + c, (a ≠ 0) Vẽ đồ thị hàm y = f (x) = ax2 + bx + c , (a ≠ 0) • Bước Vẽ parabol (P ) : y = ax2 + bx + c • Bước Do • • (P ) : y = ax2 + bx + c Bước Vẽ parabol ( ) y= f x Bước Do xứng qua Oy và vẽ sau: o Nguyễn Bảo Vương là hàm chẵn nên đồ thị đối (P ) Giữ nguyên phần bên phải Oy Trang 10 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT 6) Cơng thức hình chiếu : uuur r uuu r r OA = a, OB = b Cho với Tích vơ hướng hai vectơ uuuu r uu r OB ' = b' r r r uu r a.b = a.b' hay r b r a r b là hình chiếu bằng tích vơ hướng r a lên uuur uuu r uuur uuuu r OA.OB = OA.OB ' và r a : B • Chú y: Cho đường trịn (O) và mợt điểm M O A Dựng cát tuyến MAB với (O), ta định nghĩa: M Phương tích điểm M đới với đường trịn (O), d R T PM/ ( O) kí hiệu là là số được xác định biểu thức: uuur uuur PM/ ( O) = MA.MB = d2 - R ( d = MO) ; Nếu M nằm ngoài đường tròn (O) và MT là tiếp tuyến (O) uuur PM/ ( O) = MT = MT Biểu thức tọa độ tích vô hướng r a = (x;y) Trong mặt phẳng Oxy, cho r b = (x';y') và Khi : rr a.b = xx'+ yy' (1) ; r a = x2 + y2 (2) ; r r (a,b) = xx'+ yy' 2 x +y r x' + y' (3) cos Nguyễn Bảo Vương (a ¹ r r r 0, b ¹ ) ; Trang 46 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT M ( xM ;yM ) (4) Khoảng cách giữa hai điểm N ( xN ;yN ) và : uuur MN = (xN - xM )2 + (yN - yM )2 MN = ; r r a ^ b Û xx '+ yy' = (5) Vấn đề Các hệ thức lượng tam giác I) HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG 1) Các định lí: b2 = a.b' c2 = ac' a2 = b2 + c2 (định lí Py – ta – go) 2) Các hệ quả: b'.c' = h2 b' b2 = c' c h = b + c2 a.h = b.c II) HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG: 1) Định lí cơsin a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA b2 = c2 + a2 - 2ca.cosB Nguyễn Bảo Vương Trang 47 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC Định lí sin a b c = = = 2R sinA sinB sinC Cơng thức tính diện tích: 1 S = aha = bhb = chc 2 1 S = bcsinA = casinB = absinC 2 S= abc 4R S = p( p - a) ( p - b) ( p - c) p= a+b+c ; (Hê – rông) S = pr = ( p - a) = ( p - b) rb = ( p - c) rc Bán kính đường trịn nợi tiếp, đường trịn bàng tiếp: r = ( p - a) tan = ptan A rb = ptan B rc = ptan C A B C = ( p - b) tan = ( p - c) tan 2 5) Cơng thức tính đợ dài đường trung tuyến m2a = ( ) b2 + c2 - a2 Nguyễn Bảo Vương Trang 48 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT m2b = c m = ( ) c2 + a2 - b2 ( ) a2 + b2 - c2 6) Cơng thức tính đợ dài đường phân giác l 2a = l 2b = l 2c = 4bc ( b + c) p( p - a) p( p - b) p( p - c) 4ca ( c + a) 4ab ( a + b) Chương Phương pháp tọa độ mặt phẳng Vấn đề Đường thẳng I PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ CHÍNH TẮC Vectơ r a gọi là vectơ phương đường thẳng ∆ r r a≠ và giá r a ∆ song song trùng với Nhận xét: * * Nếu r a là một vectơ phương đường thẳng ∆ r ka k ≠ ( ) ∆ là một vectơ phương Một đường thẳng hoàn toàn xác định được biết một điểm đường thẳng và mợt vectơ phương Oxy Định lí: Trong mặt phẳng , đường thẳng ∆ ( M x0;y0 qua điểm r a = a1;a2 , a12 + a22 ≠ ) ( và nhận )( ) làm vec tơ phương có phương trình là: x = x0 + ta1 ∆: y = y0 + ta2 (t∈¡ ) Nguyễn Bảo Vương ( 1) Trang 49 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT ( 1) ∆ Ta gọi là phương trình tham sớ đường thẳng a1 Nếu ∆: ( 1) a2 và x − x0 = a1 đều khác 0, bằng cách khử tham sớ y − y0 là phương trình tắc đường thẳng a1 ≠ Nếu , từ phương trình tham số  x − x0 a t = ⇒ y − y0 = x − x0 aa  a1 y − y = ta  ( Gọi A là giao điểm k = tan α Hệ sớ k hai phương trình ta có: ( 2) a2 ( 2) Ta gọi t ∆ ) ∆ k= ta có: a2 ( ∆ : y − y0 = k x − x0 a1 , đặt Ox,Az với ∆ là tia ) ( 3) , ta được ∆ về phía ∆ là hệ sớ góc đường thẳng Ox , gọi α là góc giữa hai tia Ax và Az , ta thấy ( 3) mà ta biết Phương trình được gọi là phương trình đường thẳng theo hệ sớ góc Chú ý: * * II k∆ = kd; ∆ / /d Nếu Nếu ∆⊥d k∆ kd = −1 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT Vectơ r n được gọi là vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ r r n≠0 ∆ và có giá vng góc với đường thẳng Nhận xét: * * Nếu r n là một vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ r kn k ≠ ( ) là một vectơ pháp tuyến ∆ Một đường thẳng được xác định biết một điểm đường thẳng và mợt vectơ pháp tuyến Nguyễn Bảo Vương Trang 50 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT * Nếu r n = A;B ( ∆ ) có vectơ pháp tuyến là ∆ r a = −B;A ( có vectơ phương là Oxy Định lí 1: Trong mặt phẳng , cho đường thẳng ( M x;y A,B với ( ) ( ) ( M x0;y0 ∆ r n = A;B ) ( qua điểm thuộc đường thẳng ∆ và khi: ( 4) A x − x0 + B y − y0 = ( 4) ⇔ Ax + By + c = Chú y: C = −Ax0 − By0 ( M x;y Oxy, Định lí 2: Trong mặt phẳng tọa đợ ) Ax + By + C = tập hợp điểm • • ∗ ∗ ∗ ∗ khơng đờng thời bằng là mợt đường thẳng ( kí hiệu đường thẳng ( 5) Phương trình dạng ( 5) thỏa mãn phương trình: A,B Với ) và nhận vectơ pháp tuyến ) không đồng thời bằng Điểm ) ∆ ) A,B với không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tởng qt đường thẳng Nhận xét: Nếu Nếu Nếu ( 5) ⇔ By + C = ⇔ y = − CB A=0 ( 5) ⇔ Ax + C = ⇔ x = − AC B=0 C=0 Khi Khi ( 5) ⇔ Ax + By = Khi A,B,C Nếu ∆ đờng thời khác Khi phương trình ∆ ∆ cắt ∆ Ox ∆  C M  0; − ÷ B  Oy vng góc với vng góc với Ox  C  M  − ;0÷  A  qua gốc tọa độ  C  M  − ;0÷  A  Oy và hai điểm x y + =1 a b  C M  0; − ÷ B  và ( 6) viết dạng sau: Nguyễn Bảo Vương Trang 51 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT a= − C C ,b = − A B ( 6) Với III Phương trình được gọi là phương trình theo đoạn chắn đường thẳng ∆ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG ∆1 Xét hai đường thẳng ∆2 và ∆1 : A 1x + B1y + C1 = có phương trình tởng qt ∆2 : A 2x + B2y + C2 = và ∆1 Giả sử ( M x;y ∆2 và có điểm chung Theo phương pháp D= cramer ) ( x;y) , lúc là nghiệm hệ phương trình ìï A x + B y + C = 1 : ïí ïï A 2x + B2y + C2 = ỵ đặt: A B1 = A 1B2 - A 2B1; A B2 Dx = B1 C1 = B1C2 - B2C1; B2 C2 Dy = C1 A = C1A - C 2A 1; C2 A Ta có: a) ∆1 ∆2 ⇔ D ≠ 0; cắt b) ∆1 ∆2 ⇔ D = song song Dy ≠ Dx ≠ và ( hay ) D Û D = Dx = Dy = 0; c) ∆1 trùng A 2, B2,C2 ≠ Cách 2: Nếu ∆2 ⇔ a) ∆1 ta có: A1 A2 ≠ B1 B2 ; cắt Nguyễn Bảo Vương Trang 52 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT ∆2 ⇔ b) ∆1 A1 A2 = B1 B2 ≠ C1 C2 ; song song c) ∆1 ≡ ∆2 ⇔ A1 A2 = B1 B2 = C1 C2 Vấn đề Đường tròn I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN ( C) Oxy Trong mặt phẳng tọa độ ( C) : ( x - a) , cho đường tròn + ( y - b) = R Trường hợp đặc biệt , ( ) I a;b có tâm và bán kính a=0 và b=0 ( 1) phương trình trở thành Là phương trình đường trịn có tâm là gớc tọa đợ Với III O và bán kính R ( 2) x2 + y2 − 2ax − 2by + c = Oxy a2 + b2 − c > có phương trình: ( 1) x2 + y2 = R Trong mặt phẳng R , phương trình ( ) I a;b là phương trình đường trịn có tâm bán kính R = a2 + b2 − c Phương trình tiếp tuyến của đường tròn: Oxy Trong mặt phẳng tọa dộ ( d) : ( x )( ) ( , tiếp tiếp )( d ( M x0;;y0 điểm ) ( ) I a;b đường tròn tâm có phương trình là: ) − a x − x0 + y0 − b y − y0 = Đường thẳng ∆ ( I;R ) ⇔ d ( I; ∆ ) = R tiếp xúc đường tròn Nguyễn Bảo Vương Trang 53 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Vấn đề Elip A I ∗ ∗ ∗ ∗ TÓM TẮT GIÁO KHOA Định nghĩa Cho hai điểm cố định với F1,F2 Tập hợp điểm Hai điểm và F1 cho và một độ dài 2a không đổi ( a > c) được gọi là một elip F1M + F2M = 2a gọi là hai tiêu điểm cặp elip F2 Khoảng cách II M F1F2 = 2c gọi là tiêu cự F1F2 = 2c và F1M gọi là bán kính qua tiêu điểm F2M M PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP Trong mặt phẳng Xét elip ( ) { ( Oxy , cho hai điểm ( ) và F1 −c;0 ( )( ) F2 c;0 < c < a } ) : E : M x;y ;F1M + F2M = 2a Điều kiện cần và đủ để ( M x;y Phương trình () ) ( ) E là với x2 a2 + y2 b2 =1 ( 1) được gọi là phương trình tắc elip III thuộc b2 = a2 − c2 ( E) HÌNH DẠNG CỦA ELIP Nguyễn Bảo Vương Trang 54 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Xét elip với x2 ( E) : a • Với ( + y2 b2 ) ( ) =1 b2 = a2 − c2 ta có M x;y ∈ E và c F1M = a + x a • ( E) • ( E) F2M = a − c x a có trục đối xứng là cắt trục Ox hai điểm Ox,Oy ( và có tâm đới xứng là ) được gọi là đỉnh elip A 1,A 2,B1,B2 là trục nhỏ • ( E) ( ) A −a;0 , A a;0 ( E) và ( E) cắt Đoạn thẳng O Oy điểm A 1A = 2a ( ) ( Các điểm ) B1 0; −b , B2 0;b gọi là trục lớn elip ( E) và B1B2 = 2b gọi Các điểm elip nằm trọn hình chữ nhật có phương trình cạnh là x = ±a, y = ± b Hình chữ nhật gọi là hình chữ nhật sở elip IV TÂM SAI ELIP Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn được gọi là tâm sai elip Kí hiệu là e= V c < a ELIP VÀ PHÉP CO ĐƯỜNG TRÒN Nguyễn Bảo Vương Trang 55 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Hệ thức b2 = a2 − c2 cho thấy tiêu cự elip càng nhỏ b càng gần bằng a nên elip có hình dạng gần đường trịn Trong mặt phẳng ( ) cho đường trịn Oxy M ' x';y' Ta nói đường trịn ( C) : x x ' = x   b y' = y  a ( C) Với điểm + y2 = a2 tập hợp điểm M' ( M x;y ) tḥc đường trịn ta xét điểm có tọa đợ thỏa phương trình là mợt elip x '2 a2 được co thành elip + y'2 b2 =1 ( E) ( E) Vấn đề Hypebol I ĐỊNH NGHĨA Cho hai điểm cố định với F1, F2 cho ∗ ∗ F1F2 = 2c và một độ dài 2a không đổi ( a < c) Hypebol là tập hợp điểm M F1M − F2M = 2a Hai điểm và F1 Khoảng cách ∗ F M,F M gọi là hai tiêu điểm hypebol F2 F1F2 = 2c gọi là tiêu cự gọi là bán kính qua tiêu điểm Nguyễn Bảo Vương M Trang 56 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA HYPEBOL II Định lí: Trong mặt phẳng ( ) Oxy, hypebol ( ( H) ) M ∈ H ⇔ F1M − F2M = 2a < a < c x2 − a2 Với III y2 b2 = c2 − a2 Phương trình ( ) • • ( H) x − a2 y =1 b2 có trục đới xứng là Các điểm ( H) ( ) có phương trình là: được gọi là phương trình tắc hypebol ( H) ( ) b2 = c2 − a2 Ox,Oy và có tâm đới xứng là gọi là đỉnh ( ) A −a;0 , A a;0 Đặt ( ) ( ) , đoạn thẳng B1 0; −b , B2 0;b Ta có ( ) ( ) M x;y ∈ H Do + ( 1) với H : • ) F1 −c;0 , F2 c;0 HÌNH DẠNG CỦA HYPEBOL Xét hypebol • ( và điểm ( 1) =1 b2 có hai tiêu điểm là ( H) x ≤ −a hay B1B2 = 2b ( H) O ; đoạn thẳng gọi là trục ảo A 1A = 2a ( ) gọi là trục thực ( H) H x ≥ a gồm hai phần: Phần gồm điểm ( M x;y Nguyễn Bảo Vương ) cho x≥a gọi là nhánh phải ( H) ; Trang 57 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT + • • • Phần gồm điểm ( M x;y Tỉ số c e= a cho ) x ≤ −a ( H) được gọi là tâm sai hypebol Mọi hypebol đều có tâm sai Hình chữ nhật tạo đường thẳng x = ±a và y = ±b e > gọi là hình chữ nhật sở hypebol Hai đường thẳng chứa hai đường chéo hình chữ nhật sở gọi là hai đường tiệm cận Phương trình hai đường tiệm cận là y=± • gọi là nhánh trái Bán kính qua tiêu điểm: Với điểm ( H) ( H) b x a ( ) ( ) , ta có: M x;y ∈ H + x >0 M + x ) và đường chuẩn p ∆:x+ = có được gọi là phương trình tắc parabol ( P) HÌNH DẠNG CỦA PARABOL Xét parabol ( ) ( P) ( có trục đới xứng là − Điểm ( ) Ox; gọi là đỉnh O 0;0 ( ) M∈ P ) : y2 = 2px p > − P − ( với ( ∗) ∗ p  F  ;0÷ 2  ( P) ; xM ≥ Vấn đề đường conic I.ĐƯỜNG CHUẨN CỦA ELIP VÀ HYPABOL Nguyễn Bảo Vương Trang 59 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT ( E ) : ax Cho elip y2 + 2 b ( ) =1 a>b>0 ( H ) : xa và − y2 ( ) = a, b > b2 Ta gọi : − − ∆1 : x = − ( E) Đường thẳng a x Đường thẳng MF1 d  M; ∆1  = M ( E) ( E) nằm elip MF2 d  M; ∆2  ) ứng với tiêu điểm ( H) ( hay ) ( ) F2 c;0 ) ứng với tiêu điểm ( ) hypebol H hay , ta có: = e đường thẳng ∆ cố định không qua được gọi là đường cônic Điểm − ( F1 −c;0 ĐỊNH NGHĨA BA ĐƯỜNG CÔNIC Cho điểm − ( hay là đường chuẩn F, − ( H) là đường chuẩn ∆2 : x = Với mọi điểm II a e Khi Khi Khi e< e> e= F F gọi là tiêu điểm, và số dương ∆ e Tập hợp điểm gọi là đường chuẩn và e M cho tỉ số FM =e  d M; ∆  gọi là tâm sai đường cô nic nic là đường elip; nic là đường hypebol; nic là đường parabol TÀI LIỆU ĐƯỢC TRÍCH TỪ TÀI LIỆU CỦA THẦY LÊ VĂN ĐỒN, THẦY NGUYỄN PHÚ KHÁNH VÀ MỘT SỐ TÀI LIỆU KHÁC TRÊN MẠNG MÌNH CHỈ SẮP XẾP LẠI ĐỂ CHO BẠN ĐỌC TIỆN THEO DÕI KIẾN THỨC CHƯA KIỂM ĐỊNH NÊN BẠN ĐỌC CHÚ Ý NHÉ Nguyễn Bảo Vương Trang 60 ... Bảo Vương là hàm chẵn nên đồ thị đối (P ) Giữ nguyên phần bên phải Oy Trang 10 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT o  f (x) f (x) ≥ y = f (x) =   − f (x) f (x) < nên đồ o Lấy đối xứng phần... + c + k2 Cần vế phải có dạng bình phương 2k + a > ⇒ ⇒ k= ? 2 ∆ VP = b − 4(2k + a)(c + k ) = x4 + ax3 = bx2 + cx + d  Loại Nguyễn Bảo Vương (2) Trang 17 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT  →... giác ta cần chọn điểm ći M cung này Điểm cuối M Ð AM = a được xác định hệ thức sđ Vấn đề Giá trị lượng giác của cung Định nghĩa Nguyễn Bảo Vương Trang 29 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT þ