Lý thuyết đầy đủ Toán 10

Tơ Thị Kiều Oanh Tốn 10 PHẦN I: ĐẠI SỐ CHƢƠNG 1: MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP  Mệnh đề Mệnh đề câu khẳng định câu khẳng định sai Một mệnh đề vùa vừa sai   Mệnh đề phủ định mệnh đề P kí hiệu P Mệnh đề “ Nếu P Q ” Kí hiệu “ P  Q ”, gọi mệnh đề kéo theo  Mệnh đề “ P Q ” Kí hiệu “ P  Q ”, gọi mệnh đề tương đương  Phủ định mệnh đề “ x  X , P( x) ” mệnh đề “ x  X , P( x) ” Ngược lại tương tự I II  Tập hợp Phép giao: A  B  {x | x  A x  B}  Phép hợp : A  B  {x | x  A x  B}  Hiệu tập hợp : A \ B  {x | x  A x  B}  Phép lấy bù: Nếu A  E CE A  E \ A  {x | x  E x  A} CHƢƠNG 2: HÀM SỐ I Hàm số Thể qua đồ thị Điểm ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số Tính chất hàm số y0  f ( x0 ) Hàm số đồng biến K : y x1; x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số nghịch biến K : a b a b x y x1; x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) x Tơ Thị Kiều Oanh Tốn 10 Hàm số f khơng đổi K : y  m y  f ( x) hàm số chẵn: x  D :  x  D f ( x)  f ( x) y  f ( x) hàm số lẻ: x  D :  x  D f ( x)   f ( x) II   Hàm số bậc Hàm số cho biểu thức y  a.x  b(a  0) Tập xác định : D  Bảng biến thiên : x y  a.x  b (a  0)    x   y  a.x  b (a  0)   Đồ thị hàm số y  a.x  b (a  0) đường thẳng có hệ số góc a , cắt Ox đểm  b    ;0  cắt Oy điểm  0;b   a   Nếu  d1  ;  d  đường thẳng phân biệt có hệ số góc a1; a2 :   Tơ Thị Kiều Oanh Toán 10 a  a2 d1 d   b1  b2 a  a2 d1  d   b1  b2 d1 cắt d  a1  a2 d1  d2  a1.a2  1 III Hàm số bậc hai  Hàm số cho biểu thức y  ax2  bx  c(a  0) Tập xác định : D   Bảng biến thiên: x  y  ax  bx  c (a  0)   b 2a   x  y  ax  bx  c (a  0)  4a   b 2a    4a     b ;   ; có trục  2a 4a  Đồ thị hàm số y  ax  bx  c(a  0) parabol có đỉnh điểm   đối xứng x   IV  b ; hướng bề lõm lên a  xuống a  2a Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Cho hàm số y  f ( x) xác định miền D Đồ thị hàm số Hàm số y  f ( x) Phần 1: Đồ thị hàm số y  f ( x) phía trục Ox Phần 2: Lấy đối xứng phần trục Ox đths y  f ( x) qua trục Ox Tô Thị Kiều Oanh Toán 10 y f x y  f ( x) bê phải trục Oy Phần 1: Đths Phần 2: Lấy đối xứng phần qua trục Oy CHƢƠNG 3: PHƢƠNG TRÌNH HỆ PHƢƠNG TRÌNH Phương trình bậc ax  b  I Xét phương trình bậc ax  b  Hệ số Kết luận a0 b Pt có nghiệm x   a Pt vô số nghiệm a0 b0 Pt vơ nghiệm b0 II Phương trình bậc hai ax  bx  c  Cách giải 0   b2  4ac Kết luận Pt có hai nghiệm phân biệt x1,2  0 Pt có nghiệm kép : x1;2   0 Định lý Vi-ét  b   2a b 2a Pt vô nghiệm b  S    a Thuận : Khi phương trình ax2  bx  c  có nghiệm x1; x2 ta có  P  c  a S  x  y Đảo : Nếu x; y hai số thỏa  x; y nghiệm phương trình:  P  x y X  SX  P  Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai  Tơ Thị Kiều Oanh Tốn 10 b c Cho phương trình ax2  bx  c  (1) (a  0) Đặt S   ; P  a a   Phương trình (1) có nghiệm trái dấu  P    Phương trình (1) có nghiệm dấu   P      Phương trình (1) có nghiệm âm   P  S       Phương trình (1) có nghiệm dương   P  S      P  0; S   x1  0; x2    Phương trình (1) có nghiệm dương   x1   x2   P   0  x1  x2 b 0    0;  2a    x1  0; x2   P  0; S   Phương trình (1) có nghiệm dương   x1   x2   P  0  x1  x2    0; P  0; S    III   P  0; S   x1  0; x2    Phương trình (1) có nghiệm âm   x1   x2   P    x1  x2  b 0    0;  2a   x1  0; x2   P  0; S   Phương trình (1) có nghiệm âm   x1   x2   P   x1  x2     0; P  0; S  Phương trình quy phương trình bậc nhất, bậc hai A  B Dạng 1: A  B    A  B B   Dạng 2: A  B    A  B  A   B  Tô Thị Kiều Oanh Toán 10 Dạng 3: B  AB A  B Dạng 4: A  A B  A  B Dạng : aX  b X  c  X  t (t  0) Đặt Phương trình trở thành : at  bt  c  Dạng 6: m A  n B  k với aA  bB  c ( c số ) u  m A Đặt  ( Đk: u; v  m; n chẵn) n v  B  u  v  k Đưa phương trình hệ phương trình :  m n au  bv  c  A  B  A.B  C Dạng 7: Đặt t  A  B ; t   t  A  B  AB  t  A  B  AB  t2  A  B  AB Khi ta có phương trình: t  Dạng 8: A3 B  C   C  A   A  B  A  B   B  C   t2  A  B 0 A3 B 3 3 3 Tơ Thị Kiều Oanh Tốn 10  A  B  3 AB   A B C  A  B  3 ABC  C  3 ABC  C  A  B Dạng :  f ( x )  h( x )  g ( x )  k ( x ) f ( x)  g ( x)  h( x)  k ( x) với   f ( x).h( x)  g ( x).k ( x) f ( x)  h( x)  k ( x)  g ( x)  Biến đổi dạng :  Bình phương giải phương trình hệ Nhân lượng liên hợp Sử dụng cách giải pt Phƣơng trình chứa Thêm bớt để nhân lượng liên hợp Đặt ẩn phụ IV Một số phương trình dùng ẩn phụ để đưa phương trình bậc hai Dạng 1: Phương trình trùng phương ax4  bx2  c  (1) Đặt x  t (t  0) Khi phương trình trở thành : at  bt  c  (2) Chú ý : Số nghiệm phương trình trùng phương (1) Vơ nghiệm (2) Vơ nghiệm (2) có nghiệm kép âm (2) có nghiệm âm (2) có nghiệm kép (2) có nghiệm 0, nghiệm âm (2) có nghiệm kép dương (2) có nghiệm âm , nghiệm dương (2) có nghiệm nghiệm dương (2) có nghiệm phân biệt dương (1) có nghiệm (1) có nghiệm (1) có nghiệm (1) có nghiệm Tơ Thị Kiều Oanh Tốn 10 Dạng 2: ( x  a)( x  b)( x  c)( x  d )  m (với a  b  c  d ) Đặt t  ( x  a)(t  b) ta phương trình bậc hai với ẩn t Giả phương trình ta ẩn t từ x Dạng : ( x  a)4  ( x  b)4  m (1)  Nếu m  phương trình vơ nghiệm  Nếu m  :  a  b (1) vơ nghiệm  a  b (1) có nghiệm bội x1  x2  x3  x4  a  Nếu m  Đặt t  x  ab đưa (1) phương trình trùng phương theo t Dạng 4: ax4  bx3  cx2  dx  a  0(a  0) (4) Vì x  không nghiệm (4) nên ta chia vế cho x ta : 1  1  a  x2    b  x    c  x   x  Đặt t  x  1  t  x2    x2   t  x x x Ta đưa phương trình bậc hai theo ẩn t Dạng 5:  x  a  x  b  x  c  x  d   ex2 (5)(ad  bc) (5)   x  a  x  d   x  b  x  c   ex Xét x  Xét x  , chia vế cho x , ta được: x   a  d  x  ad x   b  c  x  bc  e x x ad  bc   xad   x  b  c    e x  x   (1)  Tô Thị Kiều Oanh Đặt t  x  V Tốn 10 ad phương trình theo t Tính t suy x x Phương trình hệ phương trình bậc nhiều ẩn Hệ phương trình bậc hai ẩn ax  by  c (a  b2  0; a '2  b '2  0)  a ' x  b ' y  c '  D Dx  Dy  a b  ab ' a ' b a' b' c b c' b'  cb ' c ' b a c  ac ' a ' c a' c' D Dx ;y  y D D  D  : Hpt có nghiệm ( x; y ) , x   D  0, Dx  Dy  hpt vơ nghiệm  D  Dx  Dy  hpt có vơ số nghiêm ( x; y) tính theo cơng thức : by  c  x  a  a   y  Hệ phương trình bậc hai hai ẩn x   ax  c b    y  b  f ( x; y )  Dạng 1: Hệ đối xứng loại I  với f ( x; y)  f ( y; x), g ( x; y)  g ( y; x)  g ( x; y )  Dấu hiệu nhận biết : Khi ta đổi chỗ x y f ( x; y) g ( x; y) không thay đổi Phương pháp giải :  Đặt S  x  y P  x y   Đưa hpt ban đầu hệ với ẩn S P Giải hệ ta tìm S P  Tìm nghiệm ( x; y ) cách giải phương trình X  SX  P   f ( x; y )  0(1) Dạng 2: Hệ đối xứng loại II   f ( y; x)  0(2) Tô Thị Kiều Oanh Toán 10 Dấu hiệu nhận biết : Khi hốn vị x y phương trình (1) trở thành phương trình (2) ngược lại Phương pháp giải :  f ( x; y )  f ( y; x)  0(3)  f ( x; y )  0(1)  Trừ vế với vế (1) cho (2) ta hệ   Biến đổi phường trình (3) phương trình tích : ( x  y ).g ( x; y )       f ( x; y )   x  y Lúc hpt ban đầu tương đương :    f ( x; y )     g ( x; y )   Gải hệ ta nghiệm x  y  g ( x; y )  a1 x  b1xy  c1 y  d1  Dạng 3: Hệ đẳng cấp :   a2 x  b2 xy  c2 y  d   Giải hệ x  Khi x  ta đặt y  xt Thế vào hệ cho ta hệ với ẩn x t Khử x , ta tìm phương trình bậc hai theo t Tìm t từ suy x; y CHUƠNG 4: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH I Nhị thức bậc a Dạng a.x  b b Bảng xét dấu x   Trái dấu với a a.x  b II Tam thức bậc ba b a  Cùng dấu với a a Dạng a.x2  b.x  c b Bảng xét dấu TH1:   : Tam thức bậc hai có nghiệm phân biệt x1 ; x2 x a.x  b.x  c  Cùng dấu với a x1 Trái dấu với a 10 x2  Cùng dấu với a Tô Thị Kiều Oanh Toán 10 TH2:   : Tam thức bậc hai có nghiệm kép x0  x a.x  b.x  c  x0 Cùng dấu với a Cùng dấu với a TH3:   : Tam thức bậc hai vô nghiệm   x a.x  b.x  c Cùng dấu với a Các bước giải bất phương trình: Bước 1: Chuyển hết sang vế trái, vế phải Bước 2: Quy đồng rút gọn vế trái thành tích ( thương) nhị thức bậc tam thức bậc hai Bước 3: Lập bảng xét dấu trái kết luận III Bất phương trình chứa trị chứa Bất phương trình chứa AB  B   A    B     A  B 2 AB B    A   A  B2  A B Bất phương trình chứa trị A B A  B   A  B A B B   2 A  B A B  A2  B B   A  B 11 Tô Thị Kiều Oanh Tốn 10 CHƢƠNG 6: GĨC LƢỢNG GIÁC VÀ CƠNG THỨC LƢỢNG GIÁC Sơ lược góc lượng giác I Đơn vị đo góc a Độ b Radian(rad) c Công thức liên hệ độ radian 1800   (rad ) 0    1800 (rad) Khi số đo góc khơng ghi đơn vị đơn vị rad Bảng đổi số góc thường gặp: Độ Rad 00 300 450   Góc cung lượng giác 600  900  1200 2 1350 3 1500 5 1800  a Đường tròn lượng giác    Tâm gốc tạo độ Bán kính đơn vị Chiều dương ngược chiều kim đồng hồ b Cách xác định điểm cuối góc/ cung lượng giác đường tròn lượng giác Bước 1: Biến đổi số đo dạng:     k.3600 hay     k 2 Bước 2: Xác định điểm cuối góc/ cung lượng giác theo  Các hàm số lượng giác: tan   sin  cos  , cot   cos  sin  12 3600 2 Tô Thị Kiều Oanh Toán 10 Lưu ý: Nhất ; nhì sin; tam tan;cot ,tứ cos II Cơng thức lượng giác Hệ thức tan x.cot x  sin x2  cos x2  sin x tan x  cos x cos x cot x  sin x Công thức nhân đôi cos x cot x   sin x tan x   sin x  2.sin x.cosx cos 2x  cos x2  sin x2  2cos x2 1   2sin x2 tan x  tan x sin x   tan x cos x Công thức nhân ba sin3x  3sin x  4sin x2 cos3x  4cos x3  3cos x Công thức hạ bậc, nâng cung cos x   cos x sin x   cos x Công thức cộng sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cosa cos(a  b)  cosa.cosb sina.sinb tan(a  b)  tan a  tan b tan a.tan b 6.Cơng thức biến đổi tổng  tích 13 Tơ Thị Kiều Oanh Tốn 10 a Tổng thành tích cosa  cosb  2cos ab a b cos 2 cosa  cosb  2sin ab a b sin 2 sina  sinb  2sin ab a b sin 2 sina  sinb  2cos ab a b sin 2 b Tích thành tổng cosa.cosb  [cos(a  b)  cos(a  b)] sina.sinb  [cos(a  b)  cos(a  b)] sina.cosb  [sin(a  b)  sin(a  b)] PHẦN II: HÌNH HỌC CHƢƠNG 1: VECTO I Vecto, tổng hiệu hai vecto Các định nghĩa: Vecto, hai vecto phương, vecto hướng, vecto- không , độ dài veto , hai veto Tổng hai vecto a; b nối đuôi a; b điểm gốc Quy tắc điểm Quy tắc hình bình hành  Quy tắc điểm : AB  BC  AC 14 a; b vecto Tơ Thị Kiều Oanh Tốn 10 Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD hình bình hành AB  AD  AC  Tính chất :  Giao hoán : a  b  b  a  Kết hợp : a  b  c  a  b  c  Cộng với vecto đối : a  a         Cộng với vecto không : a    a  a Hiệu vecto AB  AC  CB Tích số vecto II Định nghĩa : Tích k a vecto : Cùng hướng với a k   Ngược hướng với a k  Tính chất    k a  b  ka  kb (h  k )a   ka h(ka)  (h.k )a (1)a  a 1.a  a 0.a  Điều kiện để vecto phương Điều kiện cần đủ để hai vecto a; b (b  0) phương tồn số k để a  kb III Những điểm đặc biệt Trung điểm đoạn thẳng:  IA  IB   Cho I trung điểm AB ta có :    MA  MB  2MI Trọng tâm tam giác  GA  GB  GC  Cho G trọng tâm ABC ta có :    MA  MB  MC  3MG A 15 Tơ Thị Kiều Oanh Tốn 10 Chân đường phân giác tam giác Cho D chân đường phân giác góc A : DB c  b DC IV B Tọa độ Tọa độ vecto D C Trong hệ trục tọa độ cho a  a1i  a2 j (i  1;0  ; j   0;1) Khi  a1; a2  gọi tọa độ vecto a Kí hiệu a   a1; a2  Định lý Cho hai vecto a   a1; a2  ; b   b1; b2  số thực k Khi đó:  a1  b1 ab a2  b2  a  b   a1  b1; a2  b2  a  b   a1  b1; a2  b2   ka   ka1; ka2   a phương với b b   k    a  kb1 a b /  1 a2 b2 a2  kb2 Cơng thức tính tọa độ vecto Cho A( xA ; y A ); B( xB ; yB ) ta có AB   xB  xA ; yB  y A  Tọa độ trung điểm đoạn thẳng x A  xB   xI  Cho I trung điểm AB   y  y A  yB  I Tọa độ trọng tâm tam giác x A  xB  xC   xG  Cho G trọng tâm ABC  y  y  y A B C y   G 16 Tơ Thị Kiều Oanh Tốn 10 CHƢƠNG 2: TÍCH VƠ HƢỚNG CỦA VECTO VÀ ỨNG DỤNG Tích vô hướng vecto I   Định nghĩa: a.b  a b cos a; b Đặc biệt : a.a  a  a  a; b   0.a  a.0  0, a AB  AB  a; b hướng : a.b  a b  a; b  180  a; b ngược hướng : a.b   a b Tính chất : a; b; c k  , ta có:  a.b  b.a  k a  b  k  a.b   a(kb)  a  b   a  2a.b  b a  b   a  b  a  b  a.b   90   a; b   180 2 II  a b  c  a.b  a.c 2 a  0; a   a  a  b 2   a.b    a; b   90 Biểu thức tọa độ tích vơ hường Độ dài vecto u  x2  y IV Góc vecto   cos u; v  V a.b    a; b  90 Nếu u   x; y  ; v   x '; y ' ta có u.v  x.x ' y y ' III  a  2a.b  b x.x ' y y ' x  y x '2  y '2 Trong tam giác Cho ABC Khi ta có : 17 Tơ Thị Kiều Oanh Toán 10 BC  AB  AC  AB AC.cos A AC  BA2  BC  BA.BC.cos B AB  CA2  CB  2CA.CB.cos C CHƢƠNG 3: PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Đường thẳng I Vecto pháp tuyến đường thẳng vecto có giá vng góc với đường thẳng Vecto phương đường thẳng vecto có giá song song trùng với đường thẳng Phương trình tổng quát đường thẳng a Đường thẳng (d) qua M ( x0 ; y0 ) có vtpt n  (a; b) có phương trình tổng qt : a( x  x0 )  b( y  y0 )  b Đường thẳng (d) : A.x  B.y C  có vecto pháp tuyến n  ( A; B) Phương trình tắc phương trình tham số đường thẳng Đường thẳng (d) qua M ( x0 ; y0 ) có vtcp u  (a; b) có   x  x0 y  y0  a b  x  x0  at Phương trình tham số :   y  y0  bt Phương trình tắc : Lưu ý :  (d) có vtpt n  (a; b) đường thẳng có vtcp u  (b; a)  Phương trình (d) qua M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k có phương trình : y  y0  k ( x  x0 ) Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho (d1 ) : a1.x  b1 y  c1  (d2 ) : a2 x  b2 y  c2  18 Tơ Thị Kiều Oanh Tốn 10 a1 b1  a2 b2  (d1 ) cắt (d )   (d1 ) (d )  a1 b1 c1   a2 b2 c2  (d1 )  (d )  a1 b1 c1   a2 b2 c2 Góc hai đường thẳng Cho (d1 ) : a1.x  b1 y  c1  (d2 ) : a2 x  b2 y  c2  Gọi  góc (d1 ) (d )  cos   a1.a2  b1.b2 a  b12 a2  b2 2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho () : a.x  b.y c  M ( x0 ; y0 ) d [M ;()]  II  a.x0  b y0  c a  b2 Đường tròn Phương trình tổng qt đường trịn ( C ) tâm I(a;b) bán kính R>0 : (C ) : ( x  a)2  ( y  b)2  R2 hay x2  y  2ax  2by  c  R  a  b2  c  Tiếp tuyến A  (C ) tâm I đường thẳng qua A có vecto pháp tuyến AI  Tiếp tuyến (C ) tâm I bán kính R kẻ từ B  (C ) đường thẳng qua B cách I khoảng R d ( I , Ox) | y0 |   III  d ( I , Oy) | x0 | Đƣờng elip Elip (E) đường cong khéo kín dạng bầu dục có phương trình tổng quát : (E) : x2 y   1; a  b  a b2 19 Tơ Thị Kiều Oanh Tốn 10  Trục lớn elip trục hồnh có độ dài 2a trục nhỏ elip trục tungcos dộ dài 2b (vì quy ước a>b>0)  Hai tiêu điểm elip F1 (c;0) F2  (c;0) với c  a  b2  Tiêu cự elip khoảng cách tiêu điểm 2c  a  b2 c Tâm sai elip tỉ số e  a Với M  ( E ) bán kính qua tiêu MF1  a  e.xM ,MF2  a  e.xM   20 ... nghiệm phân biệt x1 ; x2 x a.x  b.x  c  Cùng dấu với a x1 Trái dấu với a 10 x2  Cùng dấu với a Tô Thị Kiều Oanh Toán 10 TH2:   : Tam thức bậc hai có nghiệm kép x0  x a.x  b.x  c  x0... x) phía trục Ox Phần 2: Lấy đối xứng phần trục Ox đths y  f ( x) qua trục Ox Tô Thị Kiều Oanh Toán 10 y f x y  f ( x) bê phải trục Oy Phần 1: Đths Phần 2: Lấy đối xứng phần qua trục Oy CHƢƠNG... B Dạng 1: A  B    A  B B   Dạng 2: A  B    A  B  A   B  Tô Thị Kiều Oanh Toán 10 Dạng 3: B  AB A  B Dạng 4: A  A B  A  B Dạng : aX  b X  c  X  t (t  0)