Skkn giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình giải tích

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc TÊN ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN, GIẢI PHÁP: GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Họ tên: Nguyễn Hữu Tình Chức vụ: Giáo viên Đơn vị cơng tác: Trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp Quảng Bình, tháng 11 năm 2018 skkn CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc TÊN ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN, GIẢI PHÁP: GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Quảng Bình, tháng 11 năm 2018 skkn MỤC LỤC Phần mở đầu Trang 1.1 Lý chọn đề tài Trang 1.2 Điểm đề tài Trang Phần nội dung Trang 2.1 Thực trạng vấn đề tìm cực trị số phức Trang 2.1 Nôi dung giải pháp Trang Một số kiến thức, kí hiệu ban đầu Trang Các toán Trang Phần kết luận Trang 26 3.1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng đề tài Trang 26 3.2 Kiến nghị, đề xuất Trang 26 Tài liệu tham khảo Trang 27 skkn PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Kể từ năm học 2016 – 2017, Bộ Giáo dục – Đào tạo đưa vào việc thi hình thức thi trắc nghiệm Để giải tốn trắc nghiệm cách nhanh chóng, ngồi việc học sinh cần nắm kiến thức cần phải có số thủ thuật định Trong q trình giảng dạy, tơi thấy để giải tốn Số phức nói chung, đặc biệt tốn: Tìm cực trị số phức, có nhiều phương pháp có phương pháp sử dụng Hình học giải tích Nhiều tốn đặc biệt toán trắc nghiệm cho ta kết nhanh tuyệt vời Vì vậy, tơi chọn để tài “Giải tốn cực trị số phức phương pháp hình giải tích” để đề tài sáng kiến 1.2 Điểm đề tài - Sử dụng phương pháp hình học giải tích để mơ tả tốn số phức - Bằng việc mơ tả tốn số phức hình học giải tích, giúp ta đưa lời giải ngắn gọn việc chọn đáp án (trong câu hỏi trắc nghiệm) cách nhanh chóng trực quan Trang skkn PHẦN NỘI DUNG 2.1 Thực trạng vấn đề tìm cực trị số phức Trong chương trình Tốn THPT, phần Đại số mà cụ thể phần Số học, chương trình lớp 12, học sinh hồn thiện hiểu biết tập hợp số thông qua việc cung cấp tập hợp số, gọi Số phức Trong chương này, học sinh bước đầu làm quen với phép toán cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, lũy thừa; lấy mô đun, …các số phức Bằng cách đặt tương ứng số phức điểm mặt phẳng tọa độ với , ta thấy Đại số Hình học có mối liên hệ với “gần gũi” Hơn nữa, nhiều toán Đại số bên Số phức, chuyển sang Hình học, từ số trừu tượng, toán minh họa cách trực quan, sinh động giải Hình học với phương pháp đẹp Đặc biệt, kỳ thi Đại học, Cao đẳng THPT Quốc gia năm gần đây, việc sử dụng phương pháp Hình học để giải toán Số phức phương pháp hay hiệu quả, đặc biệt toán Cực trị số phức Hơn nữa, với tốn Hình học theo phương pháp trắc nghiệm, biểu diễn giấy qua hình ảnh minh họa, ta lựa chọn đáp án cách dễ dàng Tuy nhiên, thực tế giảng dạy, việc chuyển từ toán Đại số nói chung Số phức nói riêng sang tốn Hình học nhiều học sinh nói chung cịn nhiều lúng túng, việc giải tốn Số phức gây nhiều khó khăn cho học sinh Bài toán Cực trị Số phức thơng thường có nhiều cách lựa chọn để giải dùng Bất đẳng thức, dùng Khảo sát hàm số, … Qua chuyên đề này, muốn gợi ý cho học sinh lối tư vận dụng linh hoạt phương pháp chuyển đổi từ toán Đại số sang Hình học cho học sinh, giúp em có nhìn cụ thể việc chuyển đổi vận tư cho tốn khác.Với mục tiêu đó, chun đề này, tơi tập trung giải tốn theo hướng Hình học Không đặt nặng việc so sánh phương pháp nhanh hơn, tối ưu phương pháp Trang skkn 2.1 Nội dung giải pháp Một số kiến thức, kí hiệu ban đầu 1.1 Các định nghĩa kí hiệu a) Số i:Ta thừa nhận có số mà bình phương Kí hiệu: Như vậy, b) Số phức: Cho biểu thức gọi (dạng đại số) số phức Phần thực; Phần ảo c) Với số phức hiệu: giá trị biểu thức gọi mơ đun Kí Như vậy, d) Với số phức hợp số phức Số phức Kí hiệu Như vậy, e) Với số phức gọi số phức liên Xác định điểm mặt phẳng tọa độ Điểm gọi biểu diễn hình học số phức Để cho tiện, tập tài liệu này, tơi kí hiệu hay đơn giản để điểm biểu diễn cho số phức 1.2 Các phép toán tập hợp số phức Cho hai số phức + Phép cộng: + Phép trừ: + Phép nhân: + Phép chia: với 1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxyquen thuộc + Với + Với + Với tập hợp điểm đoạn + Với đường trịn tâm hai số phức khác cho trước thỏa mãn hệ thức , tập hợp điểm đường trung trực thỏa mãn hệ thức bán kính R Trang skkn Các tốn BÀI TỐN 1:Cho số phức tập hợp số phức thỏa mãn hệ thức: a) Tìm giá trị nhỏ b) Tìm Nhận xét: + Gọi để nhỏ , + Từ đẳng thức Bài tốn chuyển thành: a) Tìm giá trị nhỏ b) Tìm cho Suy ra, thuộctrung trực đoạn AB M0 với A(z1) nhỏ M + Ta thấy, với điểm B(z2) H hình chiếu M0 lên Do đó, Và để nhỏ với hình chiếu M0 lên Lời giải - Từ hệ thức , suy phương trình đường thẳng + Với câu a), ta tính khoảng cách Và kết luận, + Với câu b), - Viết phương trình đường thẳng d qua M0, vng góc với - Giải hệ gồm hai phương trình: d suy nghiệm Đặc biệt: cho mô đun tức tìm số phức Ví dụ 1.1 Trong tất số phức mô đun A B Δ hay M (hoặc song song với Kết luận, số phức cần tìm nhỏ thỏa mãn C H Tìm giá trị nhỏ D Lời giải Trang skkn Đặt Ta có: Khoảng cách từ Vậy, hay đến là: Chọn đáp án A y (-3;4) Δ I(-1;1) M |z| O x (1;-2) Bình luận: Hãythể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 1.2 Trong tất số phức z thỏa mãn hệ thức Tìm giá trị nhỏ A B C D Lời giải Đặt Ta có: hay + (Ở đây, Chọn đáp án C Trang skkn y (3;5) M Δ d O x M0(-2;-1) (1;-3) Bình luận: Hãythể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 1.3 Trong tất số phức A thỏa mãn hệ thức Biết rằng, nhỏ Tính B C D Lời giải: Đặt Từ hệ thức Đặt , ta y M0(-1;1) B(0;1) O x d H I(1;-2) Δ A(2;-5) Gọi đường thẳng qua vng góc với hay Trang skkn Xét hệ phương trình: Vậy, hình chiếu vng góc lên Vậy, nhỏ Chọn đáp án A Bình luận: Hãythể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án BÀI TỐN 2: Cho số phức thỏa mãn hệ thức Trong đó, cho trước a) Tìm giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) , trước b) Tìm số phức để đặt giá trị lớn (hay nhỏ nhất) Nhận xét: + Đặt , số phức cho + Từ đẳng thức Suy ra, thuộc đường tròn (C) tâm , bán kính R Bài tốn chuyển thành: M a) Tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) với R b) Tìm cho lớn (hay nhỏ nhất) + Gọi giao điểm đường thẳng (hình minh họa) với điểm (C) M2 I=z0 M1 A=z1 , ta ln có Do đó: Lời giải a) b) Tìm + Từ hệ thức Suy phương trình đường trịn (C) + Viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm Trang skkn z1 B=zB I A=zA M M0 z2 - Gọi trung điểm Khi đó, với điểm , ta có: Suy ra, Do A, B, cố định nên AB khơng đổi, nhỏ nhỏ hình chiếu lên đường thẳng Và giá trị nhỏ làm Lời giải - Từ Suy phương trình đường thẳng - Tìm trung điểm I đoạn thẳng AB + Với câu a): Tính khoảng cách từ I đến độ dài đoạn thẳng AB Kết luận: + Với câu b): Viết phương trình đường thẳng qua I vng góc với Nghiệm hệ hai phương trình phần thực phần ảo z Ví dụ 4.1 Cho số phức A B Lời giải Đặt Từ Đặt thỏa mãn hệ thức Tìm giá trị nhỏ C D Ta được, gọi trung điểm Khoảng cách từ đến , Trang 15 skkn Chọn đáp án A M: (–0.53, 0.38) y B(2;1) M O (-3;-1) x I(1;0) A(0;-1) (1;-2) Bình luận: Hãythể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 4.2 Trong tất số phức z thỏa mãn hệ thức phức z cho A Lời giải Đặt Đặt Tìm số đạt giá trị nhỏ B C Từ hệ thức D Ta được, Gọi I trung điểm AB Đường thẳng qua I, vng góc với Xét hệ phương trình: có phương trình: hay Vậy, số phức thỏa mãn yêu cầu tốn Trang 16 skkn Chọn đáp án B Bình luận: Hãythể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 4.3 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức Biết rằng, số phức thỏa mãn đạt giá trị nhỏ Giá trị biểu thức A Lời giải B C y D (1;11) Δ A(2;8) I(4;7) B(6;6) (-7;5) M(0;4) x O Đặt Từ hệ thức Ta được, Đặt trung điểm Đường thẳng d qua I vng góc với có phương trình: Xét hệ phương trình: Vậy, Chọn đáp án A BÀI TOÁN Cho số phức z thỏa mãn hệ thức a) Tìm giá trị lớn b) Tìm để đạt giá trị lớn Nhận xét - Đặt - Từ Suy ra, đường thẳng Trang 17 skkn Dẫn đến tốn: Tìm đường thẳng Tính giá trị cho trước điểm cho B M0 B z1 A lớn z1 A' M0 H M z2 M A z2 A, B khác phía so với A, B phía so với - Với A, B cố định + Nếu phía so với với điểm , ta ln có Dấu xảy thẳng hàng hay + Với khác phía so với , gọi điểm đối xứng với A qua với điểm , ta ln có Dấu xảy thẳng hàng hay Cách giải: - Từ hệ thức Suy phương trình đường thẳng - Thay tọa độ điểm vào phương trình để kiểm tra xem phía hay khác phía so với + Nếu phía với Với câu a) giá trị lớn Với câu b): Viết phương trình đường thẳng AB Giải hệ gồm phương trình đường thẳng AB ta nghiệm x,y phần thực phần ảo z + Nếu khác phía với - Viết phương trình đường thẳng d qua , vng góc với Giải hệ phương trình gồm phương trình ta nghiệm tọa độ điểm H - Lấy điểm cho trung điểm Với câu a) giá trị lớn Với câu b): Viết phương trình đường thẳng A’B Giải hệ gồm phương trình đường thẳng A’B ta nghiệm x,y phần thực phần ảo z Ví dụ5.1 Cho số phức thỏa mãn hệ thức Tìm giá trị lớn biểu thức A B C D Trang 18 skkn Lời giải Đặt Từ hệ thức , ta được: Thế tọa độ điểm vào phương trình , ta được: Thếtọa độ điểm vào phương trình , ta được: Vậy, phía với y (-1;7) Δ B(2;4) (-5;1) A(4;1) x O Theo phần lý thuyết trên, ta M(7;2) được: Giá trị lớn Chọn đáp án A Bình luận: Hãythể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 5.2 Cho số phức thỏa mãn thỏa mãn hệ thức Biết rằng, số phức đạt giá trị lớn Giá trị biểu thức A Lời giải Đặt B C C Từ hệ thức , ta được: Thế tọa độ điểm vào phương trình , ta được: Thếtọa độ điểm vào phương trình , ta được: Vậy, khác phía so với Theo phần lý thuyết trên.Gọi điểm đối xứng ta Đường thẳng qua đường thẳng hay Trang 19 skkn y B(2;6) d Δ A'(1;3) (0;1) A(3;1) M=O Giao điểm Vậy, số phức (1;0) x nghiệm hệ thỏa mãn lớn nên Bình luận: Hãythể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án BÀI TỐN Cho số phức z thỏa mãn hệ thức a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức b) Tìm số phức z để đạt giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) Nhận xét: - Đặt - Từ Suy ra, đường trịn (C) tâm Dẫn đến tốn: Với A, B cố định Tìm bán kính R để nhỏ Tìm giá trị - Gọi H trung điểm AB Ta có: A=zA H Suy ra, B=zB M1 M I=z0 Trang 20 skkn M2 Do A, B cố định nên AB không đổi Vậy nhỏ MH nhỏ + (hình minh họa) = + lớn MH lớn (hình minh họa) giá trị lớn Lời giải - Từ hệ thức Suy phương trình đường trịn (C), tâm I bán kính (C) - Tìm tọa độ trung điểm H đoạn AB - Nếu yêu cầu tìm min{ } min{ }= - Nếu yêu cầu tìm z viết phương trình đường thẳng IH Giải hệ gồm phương trình đường thẳng IH (C), suy hai nghiệm (x; y) hệ Thử lại để chọn kết phù hợp với đáp án - Nếu yêu cầu tìm giá trị lớn { } giá trị lớn { } - Nếu yêu cầu tìm z viết phương trình đường thẳng IH Giải hệ gồm phương trình đường thẳng IH (C), suy hai nghiệm (x; y) hệ Thử lại để chọn kết phù hợp với đáp án Ví dụ 6.1 Cho số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức A Lời giải Đặt kính Đặt là: B C .Từ hệ thức Gọi Suy ra, trung D thuộc đường trịn tâm điểm bán Trang 21 skkn y B(4;10) H(6;8) (C) A(8;6) M1(3;4) O x M2(-3;-4) Theo lý thuyết Giá trị nhỏ Giá trị lớn Chọn đáp án A Ví dụ 6.2 Trong tất số phức thỏa mãn , tìm số phức cho nhỏ A Lời giải B Đặt C Từ hệ thức Tâm Đặt D Suy ra, điểm thuộc đường trịn bán kính Gọi trung điểm Đường thẳng hay Tọa độ giao điểm nghiệm hệ: Giải ta được, Trang 22 skkn Với Với với với B(-3;9) y I(-1;7) d (C) M1(-3;4) A(1;5) I(-5;1) O x M2(-7;-2) Theo phần lý thuyết trên, nhỏ Vậy số phức cần tìm là: Chọn đáp án A BÀI TOÁN 7: Cho hai số phức z, z’ thỏ mãn hệ thức Trong đó, số phức cho trước Tìm giá trị nhỏ Nhận xét: - Đặt Từ hệ thức Suy ra, M thuộc đường tròn (C) Từ hệ thức Suy ra, M’ thuộc đường thẳng Dẫn đến tốn Tìm điểm cho nhỏ M'=M M' M2 I=z1 M2 I=z1 M1 Δ A=z1 Δ B=z2 A=z1 d(I,Δ) ≤ R M B=z2 d(I,Δ) > R Trang 23 skkn + Trường hợp giá trị nhỏ + Trường hợp giá trị nhỏ Lời giải - Từ hệ thức Suy ra, đường trịn (C), tâm I, bán kính R (C) - Từ hệ thức - Tính khoảng cách + Nếu + Nếu Suy ra, đường thẳng từ I đến giá trị nhỏ giá trị nhỏ chiếu lên vng góc với hình a đường thẳng qua I (Chú ý: Chọn M’ điểm nằm I,M) Ví dụ 7.1 Cho số phức thỏa mãn giá trị nhỏ biểu thức A B Lời giải Đặt Từ hệ thức tâm Tìm gần số số sau C D , suy thuộc đường trịn: với bán kính y (1;9) Δ d (C) M (-5;3) M' I(-2;1) O Từ hệ thức , suy x thuộc đường thẳng Trang 24 skkn Khoảng cách từ biểu thức đến Vậy, giá trị nhỏ Chọn đáp án D Trang 25 skkn PHẦN KẾT LUẬN 3.1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng đề tài Thông qua đề tài này, thấy rằng, với số toán nhìn ta thấy việc giải tốn theo cách thơng thường đơi gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên, linh hoạt, sáng tạo hiểu chất vấn đề giải cách nhanh chóng kết bất ngờ Với đề tài này, thân tơi vận dụng q trình dạy học sinh ôn thi THPT Quốc gia năm học 2017– 2018 nhận thấy rằng, đa số học sinh hào hứng tiếp nhận phương pháp thực tốt tập có dạng liên quan Vì vậy, tơi cho rằng, với đề tài này, đồng nghiệp vận dụng trình giảng dạy học sinh học tập chương trình Giải tích lớp 12, chương 4, phần Số phức cách có hiệu 3.2 Kiến nghị, đề xuất Trong trình thực hiện, chắn không tránh khỏi sơ suất Rất mong qđồng nghiệp học sinh gópý đề tài thực tài liệu tham khảo có giá trị cho giáo viên học sinh giải toán Trang 26 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO Đồn Quỳnh (tổng chủ biên), Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục, 2012 Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Giải tích 12, NXB Giáo dục, 2012 Các đề thi: Đề minh họa THPT Quốc gia 2017, 2018; Đề thi THPT Quốc gia 2017, 2018 https://www.luyenthithukhoa.vn/tap-chi-thtt-online https://vi.wikipedia.org/wiki/S%E1%BB%91_ph%E1%BB%A9c https://toanmath.com/so-phuc Trang 27 skkn ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ CHUYÊN MÔN …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Trang 28 skkn Ý KIẾN CỦA SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Trang 29 skkn ... việc sử dụng phương pháp Hình học để giải toán Số phức phương pháp hay hiệu quả, đặc biệt toán Cực trị số phức Hơn nữa, với tốn Hình học theo phương pháp trắc nghiệm, biểu diễn giấy qua hình ảnh... có số thủ thuật định Trong trình giảng dạy, tơi thấy để giải tốn Số phức nói chung, đặc biệt tốn: Tìm cực trị số phức, có nhiều phương pháp có phương pháp sử dụng Hình học giải tích Nhiều toán. .. lập - Tự - Hạnh phúc TÊN ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN, GIẢI PHÁP: GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Quảng Bình, tháng 11 năm 2018 skkn MỤC LỤC Phần mở đầu Trang 1.1 Lý chọn