(Sáng kiến kinh nghiệm) hướng dẫn học sinh lớp 9 giải bài toán cực trị trong hình học

A - ĐẶT VẤN ĐỀ Trong trường phổ thông môn Tốn có vị trí quan trọng Các kiến thức phương pháp Tốn học cơng cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt môn học khác, hoạt động có hiệu lĩnh vực Đồng thời mơn Tốn cịn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả tư tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức thẩm mỹ người công dân Ở trường THCS, dạy học Tốn, với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững khái niệm, định lí; việc dạy học giải tốn có tầm quan trọng đặc biệt vấn đề trung tâm phương pháp dạy học Tốn trường phổ thơng Đối với học sinh THCS, coi việc giải tốn hình thức chủ yếu việc học tốn Trong chương trình Tốn THCS tốn cực trị hình học đa dạng, phong phú có ý nghĩa quan trọng em học sinh bậc học Để giải tốn cực trị hình học, người ta phải cách giải thơng minh nhất, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức bậc học THCS để giải quết tốn loại Do đó, địi hỏi người học phải có cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách logic có hệ thống Trong đa số học sinh trường THCS n Lâm khơng có hứng thú với loại toán này, hầu hết em học sinh cảm thấy khó khăn gặp tốn cực trị hình học khơng biết vận dụng để giải tập khác Vì để giúp em khắc phục khó khăn đó, tơi chọn nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm: "Hướng dẫn học sinh lớp giải tốn cực trị hình học" B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I - CƠ SỞ LÝ LUẬN Các tốn cực trị hình học đa dạng, phong phú có ý nghĩa quan trọng em học sinh bậc học Để giải tập toán cực trị người ta phải cách giải thông minh nhất, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức bậc học THCS để giải quết tập toán loại Đây dạng tốn hình học sử dụng chương trình hình học THCS Tuy nhiên sách giáo khoa lại khơng hướng dẫn phương pháp giải tốn cách cụ thể, học sinh thường lúng túng gặp dạng toán Các toán cực trị gắn tốn học với thực tiễn việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ việc tìm tối ưu thường đặt đời sống kỹ thuật Do đó, việc giải tập tốn cực trị hình học THCS địi hỏi người học phải có cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ cách logic có hệ thống Trong đa số học sinh trường THCS n Lâm khơng có hứng thú với loại toán lẽ, hầu hết em học sinh cảm thấy khó khăn gặp tập tốn cực trị hình học vận dụng để giải tập khác II - THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Tại trường THCS n Lâm phân cơng dạy tốn 9AB tiết cảm thấy băn khoăn trước cách học học sinh, tơi dùng nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút tượng, học sinh trả lời rõ ràng, mạch lạc mang tính chất học vẹt, chấp hành nguyên bản, trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng học sinh đưa số ví dụ đa số học sinh khơng biết làm Trong trình dạy bồi dưỡng học sinh lớp 9, thân tơi tìm hiểu nhiều tài liệu nhận thấy dạng toán tương đối khó, nhiên phần nhiều tài liệu đưa tập giải đề cập đến lý thuyết học sinh giải dạng tốn khơng hiểu đề, khơng tìm lời giải có đơn giản khơng trình bày giải Qua nhiều biện pháp điều tra việc giải toán cực trị hình học hai lớp 9A 9B, kết cụ thể thu sau: Lớp 9AB Tổng số 72 Giỏi Khá Yếu- TB SL % SL % SL % SL % 03 4,2 08 11,1 37 51,4 24 33,3 III - CÁC BIỆN PHÁP VÀ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN AIII - Phương pháp giải toán cực trị hình học: - Dạng chung tốn cực trị hình học: “Trong tất hình có chung tính chất, tìm hình mà đại lượng (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích…) có giá trị lớn giá trị nhỏ nhất.” cho dạng: a) Bài tốn dựng hình Ví dụ: Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường trịn, xác định vị trí dây qua điểm P cho dây có độ dài nhỏ b) Bài tốn vể chứng minh Ví dụ: Chứng minh dây qua điểm P đường trịn (O), dây vng góc với OP có độ dài nhỏ c) Bài tốn tính tốn Ví dụ: Cho đường trịn (O;R) điểm P nằm đường trịn có OP = h Tính độ dài nhỏ dây qua P - Hướng giải tốn cực trị hình học: a) Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị lớn ta phải chứng tỏ được: + Với vị trí hình H miền D f ≤ m (m số) + Xác định vị trí hình H miền D cho f = m b) Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị nhỏ ta phải chứng tỏ được: + Với vị trí hình H miền D f ≥ m (m số) + Xác định vị trí hình H miền D để f = m - Cách trình bày lời giải tốn cực trị hình học: + Cách 1: Trong hình có tính chất đề bài, hình chứng minh hình khác có giá trị đại lượng phải tìm cực trị nhỏ (hoặc lớn hơn) giá trị đại lượng hình + Cách 2: Thay điều kiện đại lượng đạt cực trị (lớn nhỏ nhất) điều kiện tương đương, cuối dẫn đến điều kiện mà ta xác định vị trí điểm đạt cực trị Ví dụ: Cho đường trịn (O) điểm P nằm đường trịn (P khơng trùng với O) Xác định vị trí dây qua điểm P cho dây có độ dài nhỏ Giải: + Cách 1: Gọi AB dây vuông góc với OP P, dây CD dây qua P không trùng với AB ( h.1) C O H A B P D h Kẻ OH CD OHP vuông H OH < OP CD > AB Như tất dây qua P, dây vng góc với OP P có độ dài nhỏ + Cách 2: Xét dây AB qua P ( h.2) Kẻ OH AB A O Theo liên hệ dây khoảng cách đến tâm: AB nhỏ H OH lớn Ta lại có OH ≤ OP P B H≡P OH = OP h Do đó, max OH = OP Khi dây AB vng góc với OP P BIII - Các kiến thức thường dùng giải tốn cực trị hình học: 1- Sử dụng quan hệ đường vng góc, đường xiên, hình chiếu: a - Kiến thức cần nhớ: A B A K a a A h.3 C H B C h.4 b H h.5 B a1) ( h.3 ) ABC vuông A (có thể suy biến thành đoạn thẳng) AB ≤ BC dấu “=” xảy a2) ( h.4 ) + AH a + AB < AC a3) ( h.5 ) A, K a; B, H dấu “=” xảy A ≡ C AH ≤ AB Dấu “=” xảy B ≡ H HB < HC b; a // b; HK a HK ≤ AB A ≡ K B ≡ H b - Các ví dụ: Ví dụ 1: Trong hình bình hành có hai đường chéo cm cm, hình có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn Giải: B A B C O≡H A H O C D D h.6 h.7 Xét hình bình hành ABCD có AC = cm; BD = cm ( h.6) Gọi O giao điểm hai đường chéo Kẻ BH AC Ta có: SABCD = 2SABC = AC.BH Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm Do đó: SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm2) SABCD = 24 cm2 BH ≡ BO H≡O BD AC Vậy max SABCD = 24 cm2 Khi hình bình hành ABCD hình thoi (h.7) có diện tích 24cm2 Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Qua trung điểm M AB có hai đường thẳng thay đổi ln vng góc với cắt Ax, By theo thứ tự C D Xác định vị trí điểm C, D cho tam giác MCD có diện tích nhỏ Tính diện tích tam giác Giải: (h.8) Gọi K giao điểm CM DB Ta có: MA = MB;  A MAC = MBK Mặt khác DM  B 90 , M C A M K B MC = MK CK  D DCK cân Kẻ MH  D D 12 CD.MH ≥ MH = MB = a AB.MH = SMCD = a2 M D B y CD MHD = MBD SMCD = x CD H 2a.a = a2 C Ax M C A = 450; A B M = 450 K SMCD = a h.8 Vậy điểm C, D xác định Ax; By cho AC = BC = a 2- Sử dụng quan hệ đường thẳng đường gấp khúc: a - Kiến thức cần nhớ: Với ba điểm A, B, C ta có: AC + CB ≥ AB AC + CB = AB C thuộc đoạn thẳng AB b - Các ví dụ: Ví dụ 3: Cho góc x O y điểm A nằm góc Xác định điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy cho OB = OC tổng AB + AC nhỏ Giải: (h.9) m Kẻ tia Om nằm ngồi góc xOy cho yO m xO A y D Trên tia Om lấy điểm D cho OD = OA Các điểm D A cố định OD = OA, OC = OB, DOC = AOB O D C A O A B CD = AB Do AC + AB = AC + CD Mà AC + CD ≥ AD C O B h.9 x AC + AB ≥ AD Xảy đẳng thức C AD Vậy min(AC + AB) = AD Khi C giao điểm AD Oy, B thuộc tia Ox cho OB = OC Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD điểm E thuộc cạnh AD Xác định vị trí điểm F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ Giải: F A B K E M D F A I B I E G K G C M D H C H h.12 h.10 h.11 Gọi I, K, L theo thứ tự trung điểm EF, EG, EH (h.10) AEF vng A có AI trung tuyến AI =1/2EF CGH vng C có CM trung tuyến IK đường trung bình EFG CM =1/2GH IK = 1/2FG KM đường trung bình EGH KM = 1/2EH Do đó: chu vi EFGH = EF + FG + GH + EH = 2(AI + IK + KM + MC) Ta lại có: AI + IK + KM + MC ≥ AC Suy chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi ) Chu vi EFGH nhỏ 2AC Khi ta có EH//AC, FG//AC, A, I, K, M, C thẳng hàng  EI A AI E DB A nên EF//DB, tương tự GH//DB Suy tứ giác EFGH hình bình hành có cạnh song song với đường chéo hình chữ nhật ABCD (h.11) 3- Sử dụng bất đẳng thức đường tròn: a - Kiến thức cần nhớ: C D C A H A B O B O O C B B K A D h.13 h.12 a1) AB đường kính, CD dây D C D A h.14 h.15 CD ≤ AB (h.14) a2) OH,OK khoảng cách từ tâm đến dây AB CD: AB ≥ CD OH ≤ OK (h.15) a3) AB, CD cung nhỏ (O): AB ≥ CD OB A a4) AB, CD cung nhỏ (O): AB ≥ CD B A O D C (h.16) D C (h.17) b - Các ví dụ: Ví dụ 5: Cho hai đường trịn (O) (O’) cắt A B cát tuyến chung CBD (B nằm C D) cắt đường tròn (O) (O’) C D Xác định vị trí cát tuyến CBD để ACD có chu vi lớn Giải: (h.16) sđ C = sđ A m B ; sđ  D = sđ A  nB A D O số đo góc ACD khơng đổi ACD có chu vi lớn cạnh lớn nhất, chẳng hạn AC lớn AC dây đường trịn (O), AC lớn AC đường kính n C’ m B O’ D’ C h.16 đường trịn (O), AD đường kính đường trịn (O’) Cát tuyến CBD vị trí C’BD’ vng góc với dây chung AB Ví dụ 6: Cho đường trịn (O) điểm P nằm đường tròn Xác định dây AB qua P cho O A B có giá trị lớn Giải: (h.17) B’ Xét tam giác cân OAB, góc đáy góc đỉnh Mà: OB A OB A AB O lớn nhỏ A sđ A B OB A nhỏ dây AB nhỏ Ta có: OH ≤ OP ) H P B A’ Góc O Cung A B nhỏ h.17 Khoảng cách đến tâm OH lớn OH = OP H ≡ P nên max OH = OP AB OP Suy dây AB phải xác định dây A’B’ vuông góc với OP P 4- Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa bậc hai: a - Kiến thức cần nhớ: Các bất đẳng thức lũy thừa bậc hai sử dụng dạng: A2 ≥ 0; A2 ≤ Do với m số, ta có: f = A2 + m ≥ m; f = m với A = f = A2 + m ≤ m; max f = m với A = b - Các ví dụ: Ví dụ 7: Cho hình vng ABCD có cạnh 4cm Trên cạnh AB, BC, CD, DA, lấy theo thứ tự điểm E, F, G, H cho AE = BF = CG = DH Tính độ dài AE cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ Giải: (h.18) 10 AHE = BEF = CFG = DGH A HE = EF = FG = GH, HEF = 900 HEFG hình vng nên chu vi EFGH nhỏ E x 4-x 4-x F HE nhỏ Đặt AE = x HA = EB = 4-x B H HAE vuông A nên : HE = AE2 + AE2 = x2 + (4 = 2x2 8x +16 = 2(x HE = =2 x)2 D C G h.18 2)2 + ≥ x=2 Chu vi tứ giác EFGH nhỏ cm, AE = cm Ví dụ 8: Cho tam giác vng ABC có độ dài cạnh góc vng AB = cm, AC = 8cm.M điểm di chuyển cạnh huyền BC Gọi D E chân đường vng góc kẻ từ M đến AB AC Tính diện tích lớn tứ giác Giải: (h.19) ADME A x ADME hình chữ nhật D 8- x Đặt AD = x ME = x ME //AB AE = E EM CE x CE AB CA CE x B M h.19 x C Ta có: SADME = AD.AE = x (8 SADME = 12 cm2 x ) = 8x x2 = (x 3)2 +12 ≤ 12 x=3 Diện tích lớn tứ giác ADME 12 cm2 ,khi D trung điểm AB, M trung điểm BC E trung điểm AC 11 5- Sử dụng bất đẳng thức Cô-si: a- Kiến thức cần nhớ: Bất đẳng thức Cô-si: Với x ≥ 0; y ≥ ta có: x y xy Dấu “=” xảy x = y Bất đẳng thức Cô-si thường sử dụng dạng sau: + Dạng 1: x y x y Dấu “=” xảy x = y xy 2 + Dạng 2: x y xy ; xy x x ; x y y y ; x y 2 x y Dấu “=” xảy x = y + Dạng 3: Với x ≥ 0; y ≥ 0; x + y khơng đổi xy lớn x = y + Dạng 4: Với x ≥ 0; y ≥ 0; xy khơng đổi x+y nhỏ x = y b - Các ví dụ: Ví dụ 9: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển đoạn thẳng Vẽ đường trịn có đường kính MA MB Xác định vị trí điểm M để tổng diện tích hai hình trịn có O A giá trị nhỏ M B y x Giải: (h.20) O’ Đặt MA = x, MB = y h.20 Ta có: x + y =AB (0 < x, y < AB) Gọi S S’ theo thứ tự diện tích hình trịn có đường kính MA MB Ta có: S + S’ = x y 2 = x y 12 Ta có bất đẳng thức: x y x y nên : 2 S + S’ x y = AB 8 Dấu đẳng thức xảy x = y Do (S+S’) = AB Khi M trung điểm AB Ví dụ 10: Cho ABC, điểm M di động cạnh BC Qua M kẻ đường thẳng song song với AC với AB, chúng cắt AB AC theo thứ tự D E Xác định vị trí điểm M cho hình bình hành ADME có diện tích lớn Giải: (h.21) A S ADM E SADME lớn lớn K D S ABC Kẻ BK AC cắt MD H SADME = MD HK; SABC = 1 AC BK B S ABC 2 x M C y h.21 S ADM E E H MD HK AC BK Đặt MB = x, MC = y, MD BM AC BC Theo bất đẳng thức xy MD//AC ta có: x x x y y ; HK MC BK BC y x S ADM E S ABC y 2xy x y Dấu đẳng thức xảy x = y Vậy maxSADME = SABC M trung điểm BC 13 6- Sử dụng tỉ số lượng giác: a - Kiến thức cần nhớ: B Hệ thức cạnh góc tam giác vuông a c + b = a.sinB = a.cosC b h.22 A + b = c.tgB = c.cotgC C b - Các ví dụ: Ví dụ 11: Chứng minh tam giác cân có diện tích tam giác có cạnh đáy nhỏ hơnlà tam giác có góc A đỉnh nhỏ Giải: (h.23) Xét tam giác ABC cân A có diện tích S Kẻ đường cao AH Đặt A C B B C H h.23 = AHC vng H, ta có : AC H ; AH = HC.cotg = BC.cotg 2 Do đó: S = BC.AH = BC = 2 4S = BC2cotg BC BC.cotg 2 S t g cot g Do S không đổi nên: BC nhỏ nhỏ tg nhỏ A C B nhỏ nhỏ Ví dụ 12: Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh BC,CD lấy điểm K,M cho BK : KC = : 1, CM : MD = : Tìm tỉ số AB : BC để số đo góc A M K lớn 14 t gx (Cho công thức biến đổi tg(x + y) = t gy ) t g x t g y Giải: (h.24) Đặt A K B A M K x , A M D x + y nhỏ A M D + y nhỏ K tg (x + y) nhỏ D Giả sử AB : BC = 1: m ( m> 0) tg x = tg y = BK BK AB BC DM DM AD DC BC 4m AB t gx tg(x + y) = DC AD 5m t gy = tg (x + y) nhỏ 5m 4m 5m C M h.24 4m t gx.t gy B x ( x + y < 90 ) y A K B lớn A 4m : = 5m 25 4m 21 5m nhỏ Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có: 4m 5m Dấu đẳng thức xảy ≥ 4m 4m 5m 5m Vậy x + y nhỏ m = m= 2 Do A M K lớn AB : BC = : 15 CIII - Bài tập ôn luyện: Bài 1: Cho hình vng ABCD Hãy xác định đường thẳng d qua tâm hình vng cho tổng khoảng cách từ bốn đỉnh hình vng đến đường thẳng là: a) Lớn b) Nhỏ Bài 2: Cho ABC vuông cân A điểm D, E theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho: a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích lớn Bài 3: Cho ABC vng A có BC = a, diện tích S Gọi M trung điểm BC Hai dường thẳng thay đổi qua M vng góc với cắt cạnh AB, AC D, E Tìm: a, Giá trị nhỏ đoạn thẳng DE b, Giá trị nhỏ diện tích MDE Bài 4: Cho điểm M di chuyển đoạn thẳng AB Vẽ tam giác đềuAMC BMD phía AB Xác định vị trí M để tổng diện tích hai tam giác nhỏ Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC có cạnh a, b, c tương ứng đường cao AH = h Hãy dựng hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác ABC cho có diện tích lớn Biết M AB; N AC; P, Q BC Bài 6: Cho ABC vuông A Từ điểm I nằm tam giác ta kẻ IM BC, IN AC, IK AB Tìm vị trí I cho tổng IM2 + IN2 + IK2 nhỏ Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC Từ điểm I nằm tam giác ta kẻ IM BC, IN AC, IK AB Đặt AK = x; BM = y; CN = z Tìm vị trí I cho tổng x2 + y2 + z2 nhỏ Bài 8: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 10cm Một dây CD = 6cm có hai đầu di chuyển nửa đường tròn Gọi E F theo thứ tự hình chiếu A B CD Tính diện tích lớn tứ giác ABFE Bài 9: Cho hình vng ABCD cạnh a Vẽ cung BD tâm A bán kính a (nằm hình vng) Một tiếp tuyến với cung cắt BC, CD theo thứ tự M N Tính độ dài nhỏ MN Bài 10: Cho hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A Qua A vẽ hai tia vng góc với nhau, chúng cắt đường tròn (O), (O’) B C Xác định vị trí tia để ABC có diện tích lớn Bài 11: Cho đường trịn (O;R) đường kính BC, A điểm di động đường trịn Vẽ tam giác ABM có A M nằm phía BC Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C xuống MB Gọi D, E , F, G theo thứ tự 16 trung điểm OC, CM, MH, OH Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEFG đạt giá trị lớn Bài 12: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) D điểm thuộc cung BC không chứa A không trùng với B, C Gọi H, I, K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ D đến đường thẳng BC, AC, AB Đặt BC = a, AC = b, AB = c, DH = x, DI = y, DK = z a) Chứng minh rằng: b c a y z x b) Tìm vị trí điểm D để tổng a b c x y z nhỏ Bài 13: Cho ABC nhọn, điểm M di chuyển cạnh BC Gọi P, Q hình chiếu M AB, AC Xác định vị trí điểm M để PQ có độ dài nhỏ Bài 14: Cho đoạn thẳng AB điểm C AB Vẽ nửa mặt phẳng bờ AB nửa đường trịn có đường kính AB, AC, BC Xác định vị trí điểm C đoạn AB để diện tích phần giới hạn ba nửa đường trịn dạt giá trị lớn Bài 15: Cho đường tròn (O;R) Trong đường tròn (O) vẽ hai đường trịn (O1) (O2) tiếp xúc ngồi tiếp xúc với (O) bán kính đường trịn (O2) gấp đơi bán kính đường trịn (O1) Tìm giá trị nhỏ diện tích phần hình trịn (O) nằm ngồi hình trịn (O1) và(O2) IV HIỆU QUẢ ÁP DỤNG Sau áp dụng hướng dẫn học sinh giải tập tốn cực trị hình học, thực tế em trọng giải, khơng lúng túng, khó khăn trước Kết thu sau áp dụng đề tài thể bảng sau: Lớp 9AB Tổng số 72 Giỏi Khá Yếu- TB SL % SL % SL % SL % 06 8,3 18 25,0 48 66,7 0 17 C KẾT LUẬN Qua thực tế giảng dạy nhận thấy đề tài áp dụng cho việc dạy tự chọn bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh tiếp thu tốt có hiệu em ham thích mơn Tốn có khiếu học Tốn sử dụng tài liệu để tự học, tự nghiên cứu Học sinh có hứng thú, tự tin học Toán Sau thực giảng dạy phần “ Bài tốn cực trị hình học 9” theo nội dung đề tài kết mà thu kết khả quan: Giúp học sinh giải toán cực trị hình học có phương pháp hơn, có hiệu vận dụng vào giải tập có liên quan, kích thích đam mê học tốn nói chung say mê giải tốn cực trị nói riêng Phát huy tính tự giác rèn luyện khả tư tích cực độc lập, sáng tạo học sinh thông qua hoạt động giải toán học Giúp học sinh thêm gần gũi với kíên thức thực tế đời sống, rèn luyện nếp nghĩ khoa học, mong muốn làm công việc đạt hiệu cao nhât, tốt Với đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp giải tốn cực trị hình học” tơi hệ thống số dạng tốn cực trị hình học Trong dạy tơi có đưa sở lí thuyết ví dụ ví dụ có gợi ý hướng dẫn học sinh cách giải ý cần thiết để gặp ví dụ khác em giải Các dạng tập đưa từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhằm giúp cho học sinh có kiến thức giải toán cực trị hình học Bên cạnh tơi cịn đưa ví dụ tốn tổng hợp kiến thức kĩ tính tốn, khả tư cấp học này, qua làm cho em say mê hứng thú học tập môn Toán 18 D TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách Giáo khoa Toán 7, 8, Nhà xuất Giáo dục – Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh Toán 8, Nhà xuất Giáo dục 3– Nâng cao phát triển Toán 8, Nhà xuất Giáo dục Các toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hình học phẳng THCS Vũ Hữu Bình (chủ biên) Nhà xuất Giáo dục Các tốn cực trị hình học phẳng Nhà xuất TP.Hồ Chí Minh Tốn tổng hợp hình học Nguyễn Đức Chí, Nguyễn Ngọc Huân, Bùi Tá Long Nhà xuất TP.Hồ Chí Minh 19 ... (O1) Tìm giá trị nhỏ diện tích phần hình trịn (O) nằm ngồi hình trịn (O1) và(O2) IV HIỆU QUẢ ÁP DỤNG Sau áp dụng hướng dẫn học sinh giải tập toán cực trị hình học, thực tế em trọng giải, khơng... luyện nếp nghĩ khoa học, mong muốn làm công việc đạt hiệu cao nhât, tốt Với đề tài ? ?Hướng dẫn học sinh lớp giải tốn cực trị hình học? ?? hệ thống số dạng tốn cực trị hình học Trong dạy tơi có đưa... thuyết học sinh giải dạng tốn khơng hiểu đề, khơng tìm lời giải có đơn giản khơng trình bày giải Qua nhiều biện pháp điều tra việc giải tốn cực trị hình học hai lớp 9A 9B, kết cụ thể thu sau: Lớp 9AB