ứng dụng đạo hàm giải bài toán cực trị trong hình học giải tích OXYZ

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Kiến thức hình học giải tích phận quan trọng chương trình mơn Tốn bậc THPT Bài tốn cực trị hình học giải tích tốn khó, gây nhiều khó khăn, lúng túng cho học sinh tìm hướng giải Đạo hàm cơng cụ tốt cho việc giải tốn tìm cực trị hàm số Các hàm số xuất toán cực trị hình học giải tích Oxyz: Hàm số khoảng cách, hàm số liên quan đến cơng thức tính góc hầu hết hàm số mà học sinh dễ dàng khảo sát tìm cực trị Khó khăn học sinh việc thiết lập hàm số Thông qua việc giải tốn cực trị, học sinh có thêm định hướng phương pháp giải toán khác hình học giải tích Oxyz: Bài tốn viết phương trình mặt phẳng, tốn viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước Nhằm giúp em học sinh có định hướng tốt tìm lời giải, giải toán cực trị cách trọn vẹn, rõ ràng mạch lạc, chọn nghiên cứu chuyên đề: “ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ ” Mục đích nghiên cứu Chuyên đề cung cấp cho học sinh phương pháp để giải tốn cực trị hình học Oxyz, rèn luyện cho học sinh kĩ chuyển đổi tồn tốn cực trị hình học sang tốn cực trị giải tích Từ đó, với cơng cụ đạo hàm học sinh giải trọn vẹn tốn cực trị Đồng thời, chuyên đề nhằm giúp học sinh giải tốt tốn khác hình học giải tích Phương pháp nghiên cứu + Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học + Tập hợp vấn đề nảy sinh, băn khoăn, lúng túng học sinh trình giải tốn cực trị hình học giải tích Oxyz Từ đó, đề xuất phương án giải quyết, tổng kết thành kinh nghiệm Phạm vi nghiên cứu Trong tốn cực trị hình học giải tích Oxyz: Cực trị liên quan đến khoảng cách Cực trị liên quan đến góc khơng gian Song đây, tơi tập trung nghiên cứu tốn cực trị giải phương pháp khảo sát hàm số Trong chuyên đề, tổng hợp đúc rút kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy vấn đề cho học sinh lớp 12 ôn thi ĐH – CĐ Điểm chuyên đề + Chuyên đề tập trung rèn luyện cho học sinh kĩ dùng đạo hàm để giải tốn cực trị hình học Oxyz + Đặc biệt, chuyên đề xây dựng phương pháp giải toán hiệu lượng lớn toán cực trị giải hầu hết dạng toán đặt + Ngồi ra, chun đề cịn cung cấp cho học sinh phương pháp tiếp cận khác toán cực trị rèn luyện thêm cho học sinh phương pháp giải toán khác hình học giải tích (Thơng qua nhận xét sau ví dụ) B NỘI DUNG I BÀI TỐN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH 1.1 Kiến thức sở Các cơng thức khoảng cách: • Khoảng cách hai điểm: Cho hai điểm A ( xA ; y A ; z A ) B ( xB ; yB ; zB ) Khi đó: uuu r 2 AB = AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) • Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho điểm M ( xM ; yM ; zM ) mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = Khi đó: AxM + ByM + CzM + D d ( M ,( P) ) = A2 + B + C • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: uuuu r r  MN , u    d ( M ,∆) = r u r Trong đó, N điểm thuộc đường thẳng ∆ u VTCP đường thẳng ∆ • Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: ur uu r uuu r u1 , u2  AB   d ( ∆1 , ∆ ) = ur uu r u1 , u2    Trong đó, A , B điểm thuộc đường thẳng ∆1 ∆ ur uu r u1 , u2 VTCP hai đường thẳng ∆1 ∆ 1.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 1;4;2 ) , B ( −1;2;4 ) x = − t  đường thẳng ∆ :  y = −2 + t Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho biểu thức  z = 2t  P = MA2 + MB đạt giá trị nhỏ Lời giải Điểm M thuộc đường thẳng ∆ nên tọa độ điểm M có dạng: M ( − t ; −2 + t ;2t ) Ta có: MA2 = t + ( − t ) + ( − 2t ) = 6t − 20t + 40 2 MB = ( t − ) + ( − t ) + ( − 2t ) = 6t − 28t + 36 Do đó, 2 P = MA2 + MB = 12t − 48t + 76 Xét hàm số f ( t ) = 12t − 48t + 76 , với t ∈ R Ta có: f ' ( t ) = 24t − 48 Khi đó, f ' ( t ) = ⇔ t = Bảng biến thiên: t −∞ +∞ − + f ′( t ) f ( t) +∞ +∞ Từ bảng biến thiên suy GTNN f ( t ) = f ( ) = 28 t = Vậy P có GTNN t = , tức M ( −1;0;4 ) Nhận xét Việc tìm GTNN hàm số f ( t ) = 12t − 48t + 76 sử dụng kiến thức hàm b số bậc hai: “ Hàm số y = ax + bx + c đạt GTNN x = − (khi a > ) đạt 2a b GTLN x = − (khi a < )’’ 2a Bài tốn mở rộng cho biểu thức P có dạng: P = aMA2 + bMB , uuur uuur P = aMA + bMB P = k , với k số thỏa mãn điều kiện k ≥ P0 GTNN P Bài tốn 1.1 Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A ( 1;4;2 ) , B ( −1;2;4 ) đường thẳng x = − t  ∆ :  y = −2 + t Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho biểu thức P = MA2 − 2MB  z = 2t  đạt giá trị lớn Gợi ý P = −6t + 36t − 32 Đạt GTLN t = Khi đó, M ( −2;1;6 ) Bài tốn 1.2 Trong khơng gian Oxyz , cho ba điểm A ( 1;0;2 ) , B ( −2;1;0 ) , C ( 0;0;3) x y −1 z = Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho: đường thẳng ∆ : = −2 MA2 + 2MB − 3MC = 96 Dựa theo biểu thức MA2 MB mở rộng tốn với hình thức sau: Bài tốn 1.3 Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A ( 1;4;2 ) , B ( −1;2;4 ) đường thẳng x = − t  MA ∆ :  y = −2 + t Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho biểu thức P = đạt giá trị MB  z = 2t  lớn 309 − 10 MA2 6t − 20t + 40 2 P > = P = Gợi ý Nhận xét Xét P = Kết max MB 6t − 28t + 36 309 − 14 Trong toán 1.3, phương pháp sử dụng hàm số thể rõ ràng tính hiệu x y z Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ : = = hai điểm A ( 0;0;3) , 1 B ( 0;3;3) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho biểu thức P = MA + MB đạt giá trị nhỏ Lời giải Điểm M thuộc đường thẳng ∆ nên tọa độ điểm M có dạng M ( t ; t ; t ) ( − t) Ta có: P = MA + MB = = ( + ( − t) + ( 3− t) + 2 ) ( − t) + ( 3− t) + ( 3− t) t − 2t + + t − 4t + Xét hàm số f ( t ) = t − 2t + + t − 4t + , với t ∈ R t −1 t−2 ′ f t = + ( ) Ta có: 2 ( t − 1) + ( t − ) + Khi đó, f ' ( t ) = ⇔ Xét hàm số g ( u ) = t −1 ( t − 1) + u u2 + = − ( t − 2) (*)  − ( t − )  + 2 , với u ∈ R   u ′ ( u ) =  u + − u g = ÷ Ta có: u + u +2  (u +2 ) > , với u ∈ R Do đó, (*) ⇔ g ( t − 1) = g  − ( t − )  ⇔ t − = − ( t − ) ⇔ t = Bảng biến thiên: −∞ t f ′( t ) f ( t) − +∞ + +∞ +∞ Từ bảng biến thiên, suy GTNN P 3 Đạt t = Khi 3 3 M  ; ; ÷ 2 2 Nhận xét Việc tìm GTNN P sử dụng bất đẳng thức sau: a + b2 + c + d ≥ Ta có: f ( t ) = ( t − 1) + ( ) + ( a + c ) + ( b + d ) ⇔ ( ad − bc ) ≥ ( − t) + ( ) ( ≥ 12 + 2 ) Bài toán phát biểu hình thức khác sau: Bài tốn 2.1 Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A ( 1;5;0 ) , B ( 3;3;6 ) đường thẳng x +1 y −1 z ∆: = = Tìm tọa độ điểm C thuộc đường thẳng ∆ cho tam giác ABC có −1 chu vi nhỏ Gợi ý Chu vi tam giác ABC nhỏ P = CA + CB đạt giá trị nhỏ P = 9t + 20 + 9t − 36t + 56 Bài tốn 2.2 Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A ( 1;5;0 ) , B ( 3;3;6 ) đường thẳng x +1 y −1 z ∆: = = Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho MA + MB = 29 −1 Bài tốn 2.2 có bề ngồi khơng phải tốn cực trị Nếu giải theo cách thơng thường việc giải phương trình: 9t + 20 + 9t − 36t + 56 = 29 không dễ Ở đây, để ý giá trị 29 giá trị nhỏ biểu thức MA + MB ta có t = nhờ việc giải toán cực trị toán 2.2 x −1 y z − = = 2 chứa đường thẳng d cho khoảng Ví dụ 3.(ĐH – A 2008) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : điểm A(2;5;3) Lập phương trình mặt phẳng ( α ) cách từ điểm A đến mặt phẳng ( α ) lớn Lời giải Lấy điểm M ( 1;0;2 ) thuộc đường thẳng d Do mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng d nên điểm M thuộc mặt phẳng ( α ) Phương trình mặt phẳng ( α ) qua điểm M ( 1;0;2 ) có VTPT r n( A; B; C ), A2 + B + C > có dạng : A( x − 1) + By + C ( z − 2) = uu r uur Ta có : d ⊂ (α ) ⇒ ud nα = ⇔ B = −2 A − 2C Khi đó, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( α ) là: A+C ( A + C )2 d ( A,(α )) = = A2 + AC + 5C A2 + AC + 5C Xét hai trường hợp: • TH1: C = Khi d ( A,(α )) = A2 = A2 A ( t + 1) • TH2: C ≠ Đặt t = Khi đó, d ( A,(α )) = C 5t + 8t + (t + 1) Xét hàm số f (t ) = , với 5t + 8t + f '(t ) = ⇔ t = ±1 Bảng biến thiên: −∞ t − f '( t ) f '( t ) t∈R −1 Ta có: + −2t + f '( t ) = 5t + 8t + ( − ) +∞ Từ bảng biến thiên, suy d ( A, ( α ) ) lớn t = Khi đó, A = C ⇒ B = −4 A So sánh TH1 TH2 ta thấy d ( A, ( α ) ) lớn rơi vào trường hợp Do đó, phương trình mặt phẳng cần tìm : x − y + z − = Nhận xét Phương pháp giải tốn áp dụng cho tốn viết phương trình mặt phẳng thỏa mãn điều kiện cho trước: x −1 y z − = = Bài tốn 3.1 Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d : điểm 2 A(2;5;3) Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( α ) Bài tốn 3.2 Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z = điểm A ( 1;2; −1) Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) qua gốc tọa độ O , vng góc với mặt phẳng ( P ) cách điểm A khoảng Trong toán này, biểu thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng có ba biến A, B, C biểu thức lại có dạng đẳng cấp bậc hai, nhờ phép A đổi biến t = thu hàm số biến t Điều thuận C lợi cho việc khảo sát hàm số Các toán chuyên đề sử dụng phương pháp Ví dụ (ĐH – B 2009) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −3;0;1) , B ( 1; −1;3) mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Trong đường thẳng qua điểm A song song với mặt phẳng ( P ) , viết phương trình đường thẳng ∆ mà khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng ∆ nhỏ Lời giải r Giả sử VTCP đường thẳng ∆ u = ( A; B : C ) Điều kiện: A2 + B + C > Do đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng ( P ) nên A − B + 2C = ⇔ A = B − 2C uuu r r uuu r Ta có: AB = ( 4; −1;2 ) Khi đó,  AB, u  = ( −C − B;2 A − 4C ;4 B + A ) Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng ∆ là: uuu r r 2  AB, u  C + B ) + ( A − 4C ) + ( A + B ) ( 56 B − 84 BC + 69C   d ( B, ∆ ) = = = r A2 + B + C 5B − 8BC + 5C u Xét hai trường hợp: • TH1: C = Khi đó, d ( B, ∆ ) = 56 B 56t − 84t + 69 Khi đó, d ( B, ∆ ) = C 5t − 8t + 56t − 84t + 69 Xét hàm số: f ( t ) = , với t ∈ R 5t − 8t +  t = −28t − 130t + 132 f ' t = Ta có: ( ) f ' ( t ) = ⇔  11 ( 5t − 8t + ) t = −  Bảng biến thiên: −∞ t 11 − − + 0 f '( t ) • TH2: C ≠ Đặt t = +∞ − 21 56 f '( t ) 100 Từ bảng biến thiên, suy d ( B, ∆ ) nhỏ 56 10 11 , đạt t = − Khi đó, B 11 =− C So sánh hai trường hợp, ta thu phương trình đường thẳng cần tìm là: x + y z −1 = = 26 11 −2 Nhận xét Trong đáp án Bộ GD – ĐT, giải phương pháp sử dụng tính chất hình học: “Độ dài đường xiên khơng nhỏ độ dài đoạn hình chiếu nó” Lời giải tương đối ngắn gọn Tuy nhiên, việc phát điều không dễ Hơn nữa, thay giả thiết “khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng ∆ nhỏ nhất” thành giả thiết “khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng ∆ lớn nhất” phương pháp tỏ rõ hiệu Bài tốn 4.1 Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A ( −3;0;1) , B ( 1; −1;3) mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Trong đường thẳng qua điểm A song song với mặt phẳng ( P ) , viết phương trình đường thẳng ∆ mà khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng ∆ lớn Phương pháp giải tốn áp dụng vào tốn viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước: Bài tốn 4.2 Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − 3z + = điểm M ( 0; −2;0 ) Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng ( P ) , qua điểm M 14 Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 0; −1;2 ) hai đường thẳng x +1 y z − x−5 y z , ∆2 : ∆1 : = = = = −1 −2 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A , cắt ∆1 điểm B , đồng thời khoảng cách hai đường thẳng d ∆ lớn Lời giải Điểm B thuộc đường thẳng ∆1 nên tọa độ điểm B có dạng: B ( −1 + 2t ; t ;2 − t ) uuu r d AB = ( −1 + 2t ;1 + t ; −t ) VTCP đường thẳng r VTCP đường thẳng ∆ u = ( 2; −2;1) uuu r r  AB Ta có:  , u  = ( − t ;1 − 4t ; −6t ) uuur C 5;0;0 ) ⇒ AC = ( 5;1; −2 ) Khoảng cách hai đường thẳng d ∆ là: Lấy điểm ( uuu r r uuur  AB, u  AC 3t +2 t + 2) (   d ( d , ∆2 ) = = =3 uuu r r 2 2 53 t − 10 t +  AB, u  − t + − t + 36 t ( ) ( )   cho khoảng cách từ điểm N ( 1;2;3) đến d (t + 2) Xét hàm số f (t ) = , với t ∈ R 53t − 10t + Ta có: f ' ( t ) = −222t − 420t + 48 ( 53t Bảng biến thiên: − 10t + )  t = −2 f ' ( t ) = ⇔  t =  37 Tải FULL (file doc 22 trang): bit.ly/2MNlcv2 Dự phòng: fb.com/TaiHo123doc.net 10 t −∞ −2 − f '( t ) 53 + 37 +∞ − 26 f '( t ) Từ bảng biến thiên, suy d ( d , ∆ ) lớn t = 53 uuu r  29 41  Khi đó, AB =  − ; ; − ÷ 37  37 37 37   x = 29t  Do đó, phương trình đường thẳng d :  y = −1 − 41t  z = + 4t  Nhận xét Với toán này, phương pháp khảo sát hàm số có lẽ tối ưu 1.3 Một số toán tương tự x y +1 z + = = hai điểm A ( 2; −1;1) , B ( 1; −1;0 ) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho diện tích tam giác MAB đạt giá trị nhỏ x −1 y − z −1 = = Bài Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ : điểm 1 M ( 2;1;4 ) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∆ cho đoạn MH có độ dài nhỏ x − y +1 z = = Bài Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ : mặt phẳng −1 ( P ) : x + y + z − = Viết phương trình đường thẳng d song song với mặt phẳng ( P ) , đồng thời d cắt trục Ox đường thẳng ∆ A B cho AB ngắn x −1 y + z + = = Bài Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 4;3;1) , đường thẳng d : −2 −1 mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Viết phương trình đường thẳng d1 nằm mặt phẳng ( P ) , vng góc với đường thẳng d cách M khoảng nhỏ Bài Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ : Tải FULL (file doc 22 trang): bit.ly/2MNlcv2 Dự phịng: fb.com/TaiHo123doc.net 11 Bài Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A ( −1;2;0 ) , B ( 1;2; −5 ) đường thẳng  x = + 2t uuur uuur  ∆ :  y = + 2t Tìm tọa độ điểm M đường thẳng ∆ cho tổng MA − 3MB nhỏ  z = −t  3383105 12 ... đề tập trung rèn luyện cho học sinh kĩ dùng đạo hàm để giải tốn cực trị hình học Oxyz + Đặc biệt, chuyên đề xây dựng phương pháp giải toán hiệu lượng lớn toán cực trị giải hầu hết dạng tốn đặt... cấp cho học sinh phương pháp tiếp cận khác toán cực trị rèn luyện thêm cho học sinh phương pháp giải tốn khác hình học giải tích (Thơng qua nhận xét sau ví dụ) B NỘI DUNG I BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN... MB = 29 −1 Bài tốn 2.2 có bề ngồi khơng phải toán cực trị Nếu giải theo cách thơng thường việc giải phương trình: 9t + 20 + 9t − 36t + 56 = 29 không dễ Ở đây, để ý giá trị 29 giá trị nhỏ biểu