Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích và ứng dụng

Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích và ứng dụng 0 THANH HOÁ NĂM 2017 MỤC LỤC Trang 1 Mở đầu 1 2 2 Nội dung của đề tài 2 2 1 Bài toán 1 Cực trị giữa điểm và đường thẳ[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNGTHANH THPT MAI ANH HOÁ NĂM 2017 TUẤN MỤC LỤC Trang Mở đầu 1-2 Nội dung đề tài SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Bài toán 1: Cực trị điểm đường thẳng hình học giải tích phẳng 2-6 2.2 Bài toán 2: Cực trị điểm đường thẳng hình học giải tích khơng gian - 10 CỰC 2.3 Bài toán 3:MỘT Cực trịSỐ giữaBÀI điểmTỐN đường thẳngTRỊ trongTRONG hình học giải tích khơng gian HỌC GIẢI TÍCH VÀ ỨNG DỤNG HÌNH 10 - 12 2.4 Bài toán 4: Cực trị điểm mặt phẳng hình học giải tích khơng gian 12 - 14 2.5 Bài toán 5: Ứng dụng tốn cực trị hình học giải tích để tìm GTLN, GTNN biểu thức 14 - 15 Bài tập áp dụng Người thực hiện: Lê Đình Chung Chức vụ: Giáo viên 2.6 Kiểm nghiệm đề tài SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn 15 - 16 Kết luận kiến nghị 16 - 17 16 Tài liệu tham khảo 18 Danh mục đề tài SKKN Sở GD & ĐT Thanh Hóa xếp loại 19 THANH HỐ NĂM 2017 SangKienKinhNghiem.net MỤC LỤC Trang Mở đầu 1-2 Nội dung đề tài 2.1 Bài toán 1: Cực trị điểm đường thẳng hình học giải tích phẳng 2-6 2.2 Bài tốn 2: Cực trị điểm đường thẳng hình học giải tích khơng gian - 10 2.3 Bài tốn 3: Cực trị điểm đường thẳng hình học giải tích khơng gian 10 - 12 2.4 Bài toán 4: Cực trị điểm mặt phẳng hình học giải tích khơng gian 12 - 14 2.5 Bài toán 5: Ứng dụng toán cực trị hình học giải tích để tìm GTLN, GTNN biểu thức 14 - 15 Bài tập áp dụng 15 - 16 2.6 Kiểm nghiệm đề tài 16 Kết luận kiến nghị 16 - 17 Tài liệu tham khảo 18 Danh mục đề tài SKKN Sở GD & ĐT Thanh Hóa xếp loại 19 SangKienKinhNghiem.net MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH VÀ ỨNG DỤNG MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn THPT tốn cực trị hình học khơng gian đa dạng phức tạp Nhưng có số dạng mà trình giảng dạy giáo viên trong trình học học sinh, điều vận dụng cách giải cách cứng nhắc, khơng tự nhiên hiệu chưa cao Đó dạng tốn sau Dạng 1: Trong khơng gian cho đường thẳng d hai điểm M, N không thuộc d Tìm điểm I nằm d cho IA  IB đạt giá trị nhỏ nhất; IA  IB đạt giá trị lớn Dạng 2: Trong không gian cho mặt phẳng ( ) hai điểm M, N khơng thuộc ( ) Tìm điểm I nằm ( ) cho IA  IB đạt giá trị nhỏ nhất; IA  IB đạt giá trị lớn Dạng 3: Ứng dụng toán cực trị hình học giải tích để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Về cách giải dạng toán nhiều tài liệu trình bày, có báo Tốn học tuổi trẻ số 366 tháng 12 – 2007 Nhưng cách giải phức tạp học sinh khó để vận dụng Chính mà q trình giảng dạy, tìm tịi, nghiên cứu tơi tìm hướng hợp lý cho cách giải dạng tốn Đó lý mà tơi chọn đề tài “ Một số toán cực trị hình học giải tích ứng dụng ’’ 1.2 Mục đích nghiên cứu Xuất phát từ tốn SBT hình học phẳng lớp 10 Cho đường thẳng  hai điểm A, B không thuộc  Tìm  điểm I cho IA  IB đạt giá trị nhỏ nhất; IA  IB đạt giá trị lớn Rõ ràng ta thấy A, B,  nằm mặt phẳng Vì mà hình học khơng gian, cho đường thẳng d hai điểm M, N tìm đường thẳng d’ hai điểm M’, N’ cho d’, M’, N’ nằm mặt phẳng cách giải tương tự hình học phẳng 1.3 Đối tượng nghiên cứu Qua nhiều năm thực tế giảng dạy trường THPT thấy học sinh SangKienKinhNghiem.net lúng túng việc giải tập cực trị hình học khơng gian, mà cụ thể hai dạng toán Đa số em áp dụng cách giải toán cách máy móc, khơng phát huy tính tích cực, sáng tạo giải toán 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong đề tài tơi muốn trình bày với ý tưởng giúp học sinh khai thác kiến thức từ toán cực trị hình học phẳng lớp 10 Nhằm giúp em thấy liên kết, thống trình học toán Giải pháp tổ chức thực là: - Giáo viên dạy, học sinh học làm tập - Kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức học sinh trước sau học đề tài - Tổng kết mặt làm chưa làm đề tài để có hướng vận dụng đề tài cho khóa học sinh NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI 2.1 Bài toán Cho hai điêm P, Q đường thẳng  tìm điểm M đường thẳng  cho MP  MQ nhỏ nhất; NP  NQ lớn ( Theo cách giải sách BTNC lớp 10 số tài liệu ) Trước hết xét vị trí điểm P điểm Q đường thẳng  + Trường hợp 1: Hai điểm P Q nằm khác phía đường thẳng  (axP  byP  c)(axQ  byQ  c)  a) P M () Q Ta có MP  MQ  PQ Đẳng thức xảy M, P, Q thẳng hàng  M  PQ   b) P Q’ N () Q SangKienKinhNghiem.net Lấy Q’ đối xứng với Q qua đường thẳng  Ta có NP  NQ  NP  NQ'  PQ' Đẳng thức xảy N, Q’, P thẳng hàng  N  PQ '  + Trường hợp 2: Hai điểm P Q nằm phía đường thẳng  (axP  byP  c)(axQ  byQ  c)  a) P Q () M Q’ Lấy điểm Q’ đối xứng với Q qua đường thẳng  Ta có MP  MQ  MP  MQ '  PQ ' Đẳng thức xảy M, Q’, P thẳng hàng  M  PQ '  b) P Q N () Ta có NP  NQ  PQ Đẳng thức xảy N, P, Q thẳng hàng  N  PQ   Nhận xét 1:  Hướng giải thứ nhất: Qua phân tích lời giải ta thấy: Ở câu a) đưa hai điểm nằm khác phía đường thẳng  M giao điểm đường thẳng qua hai điểm  Ở câu b) ln đưa hai điểm nằm phía đường thẳng  N giao điểm đường thẳng qua hai điểm   Hướng giải thứ hai: Gọi I, J hình chiếu vng góc Q P lên đường thẳng  SangKienKinhNghiem.net P a) P Q I () M ; () J I M J Q Ta có QI MI QI   MI   MJ (*) PJ MJ PJ b) P P Q N I () ; J () N I J Q QI NI QI   NI  NJ (**) Ta có PJ NJ PJ  Hướng giải thứ ba: Chuyển phương trình  phương trình tham số, tính MP, MQ, sau lấy điểm M’, P’, Q’ cho a) M’ thuộc trục hồnh, cịn P’ Q’ nằm khác phía trục hồnh b) M’ thuộc trục hồnh, cịn P’ Q’ nằm phía trục hồnh Ví dụ 1: Trong sách tập hình học 10 Nâng Cao Cho hai điểm P(1;6) , Q(3; 4) đường thẳng  : x  y   a) Tìm tọa độ điểm M  cho MP  MQ nhỏ b) Tìm tọa độ điểm N  cho NP  NQ lớn [2] Lời giải : a) Cách 1: Theo hướng giải thứ Ta có (2   1)(6   1)  suy P, Q nằm phía đường thẳng  Ta giải toán theo trường hợp Lấy điểm Q’ đối xứng với Q qua đường thẳng  , suy phương trình QQ’ x  y  11  SangKienKinhNghiem.net Tọa độ trung điểm QQ’ nghiệm hệ phương trình  x    2 x  y      x  y  11   y   23  26  Q ' (  ; ) 5 Phương trình PQ':  x  y   2 x  y   x    x  y    y  1 Suy tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình   M (0;1) Cách 2: Theo hướng giải thứ hai Gọi I, J hình chiếu vng góc Q P lên đường thẳng  Ta có I ( ; QI  23 ) , J (3;5) 5 ; PJ  5 QI MJ ta PJ 23 MI   MJ Gọi M ( x; y )  (  x;  y )   (3  x;  y ) 5 5  ( x; y )  (0;1) Áp dụng công thức (*) MI   Vậy M (0; 1) Cách 3: Theo hướng giải thứ ba x  t  y  1  2t Chuyển phương trình  phương trình tham số  :  Gọi M( t ; 2t  )   , ta có MP + MQ = (t  1)2  (2t  7)2  (t  3)2  (2t  3)2 MP + MQ = 5t  30t  50  5t  18t  18 Bây tìm giá trị nhỏ biểu thức f (t )  5t  30t  50  5t  18t  18  =  t  6t  10  t  18 18  t  5   9  =  (t  3)2   (t  )2   25   Gọi P’ (3; 1) , Q’ ( ; ) , M’ (t ;0) 5 Khi MP + MQ = (M’P’ + M’Q’) SangKienKinhNghiem.net Suy MP + MQ nhỏ M’P’ + M’Q’ nhỏ Ta thấy P’ Q’ nằm khác phía trục hồnh, cịn M’ nằm trục hoành Để M’P’ + M’Q’ nhỏ P’, M’, Q’ thẳng hàng, nên M’ giao điểm P’Q’ với trục hồnh Phương trình P’Q’: x  y  , M’ (0;0)  t  Vậy M (0; 1) b) Cách 1: Theo hướng giải thứ Ta giải theo trường hợp Gọi N giao điểm PQ đường thẳng  Phương trình PQ: x  y   2 x  y    x  9  5 x  y    y  19 Suy điểm N nghiệm hệ phương trình   N (9;19) Cách 2: Theo hướng giải thứ hai Gọi I, J hình chiếu vng góc Q P lên đường thẳng  Ta có I ( ; QI  23 ) , J (3;5) 5 ; PJ  5 QI NJ ta PJ 23 MI  MJ Gọi M ( x; y )  (  x;  y )  (3  x;  y ) 5 5  ( x; y )  (9;19) Áp dụng công thức (**) NI  Vậy N (9; 19) Cách 3: Theo hướng giải thứ ba Gọi N( t ; 2t  )    NP  NQ = (t  3)2   (t  )2  25 5 Khi NP  NQ = N ' P ' N ' Q ' Gọi P’ (3;1) , Q’ ( ; ) , M’ (t ;0) Suy NP  NQ lớn N ' P ' N ' Q ' lớn Ta thấy P’ Q’ nằm phía trục hồnh, cịn M’ nằm trục hồnh Để N ' P ' N ' Q ' lớn P’, M’, Q’ thẳng hàng, nên M’ giao điểm P’Q’ với trục hồnh Phương trình P’Q’: x  12 y   , N’ (9;0)  t  9 Vậy N (9; 19) SangKienKinhNghiem.net Ngoài hai cách giải giải theo cách khác xét hàm số Tuy nhiên trình bày theo cách giải thứ hai thứ ba để thấy tính ưu việt nó, đề tài “ Một số tốn cực trị hình học giải tích ứng dụng ’’ 2.2 Bài toán Được đăng báo Toán học tuổi trẻ tháng 12 năm 2007 – Số 366 Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho đường thẳng d điểm M ( x1 ; y1 ; z1 ) N ( x2 ; y2 ; z2 ) không thuộc d Tìm điểm I đường thẳng d cho IM  IN nhỏ [1] Nhận xét 2:  Với cách giải báo TH & TT chia làm trường hợp -TH1: M, N d nằm mặt phẳng -TH2: MN, d chéo MN  d -TH3: MN, d chéo MN khơng vng góc với d Mỗi trường hợp có cách giải riêng biệt ( cách giải đăng báo Toán học tuổi trẻ tháng 12 năm 2007 – Số 366) Như giải tốn ta phải xét xem rơi vào trường hợp  Để phân chia trường hợp việc giải toán trở nên tự nhiên hơn, dựa phương pháp giải toán 1a đưa cách giải khác sau: Cách 1: (d) M H I K N’ N Gọi H, K hình chiếu vng góc M N lên đường thẳng (d) Lấy N’  mp( M , d ) cho KN '  KN N’ khác phía với M đường thẳng (d) Ta có IM  IN  IM  IN '  MN ' dấu xảy M, I, N’ thẳng hàng Hay I  MN '  d SangKienKinhNghiem.net MH MH IH   NK N ' K IK MH  IH   IK (***) NK Ta có Cách 2: Chuyển phương trình d phương trình tham số, tính IM  IN , sau lấy điểm M’, I’, N’ cho I’ thuộc trục hồnh, cịn M’, N’ nằm mặt phẳng (Oxy) khác phía trục hồnh Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho M (1; 2; 1) , N (7; 2;3) đường thẳng d có phương trình x 1 y  z    2 Tìm điểm I thuộc d cho IM  IN nhỏ [1] Lời giải: Cách 1: Gọi H, K hình chiếu vng góc M N lên đường thẳng (d) Ta có H (1;2;2) , K (5;2;6) MH IK ta NK IH  .IK Gọi I ( x; y; z )  (1  x;2  y;2  z )  (5  x;   y;6  z ) Áp dụng công thức (***) IH    ( x; y; z )  (2;0;4) Vậy I (2;0; 4) Cách 2: Chuyển phương trình d phương trình tham số  x  1  3t  d :  y   2t  z   2t  Gọi I (1  3t ;  2t ;  2t )  d Ta có IM + IN = (3t  2)2  (2t )2  (2t  3)2  (3t  8)2  (4  2t )2  (2t  1)2 IM + IN = 17t  13  17t  68t  81  = 17  t  = 13 81   t  4t   17 17    13 13  17  t   (t  2)   17 17   13 13 ;0) , N’ (2; ;0) , I’ (t ;0;0) 17 17 Khi IM + IN = 17 (I’M’ + I’N’) Gọi M’ (0;  Suy IM + IN nhỏ I’M’ + I’N’ nhỏ SangKienKinhNghiem.net Ta thấy M’ N’ nằm mặt phẳng (Oxy) nằm khác phía trục hồnh, cịn I’ nằm trục hoành Để I’M’ + I’N’ nhỏ M’, I’, N’ thẳng hàng, nên I’ giao điểm M’N’ với trục hoành x  t ' x  t  13 13   Phương trình M ' N ' :  y    t ' ; phương trình Ox :  y  17 17 z    z    t '  t 1 Vậy I (2;0; 4) Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 y  z 1   hai điểm A(1;1;1) , B(1; 4;0) 2 Tìm điểm I thuộc d cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ [6] Lời giải: Chu vi tam giác IAB P  IA  IB  AB  IA  IB  14 P nhỏ IA  IB nhỏ Cách 1: Gọi H, K hình chiếu vng góc A B lên đường thẳng (d) 3 3 Ta có H ( ; ; ) , K ( ; ; ) AH IK ta BK 1 1 IH   IK Gọi I ( x; y; z )  (  x;  y;  z )   (  x;  y;  z ) 3 3 3  ( x; y; z )  ( ; ; ) 3 Vậy I ( ; ; ) 3 Áp dụng công thức (***) IH   Cách 2:  x   2t Chuyển phương trình d phương trình tham số d :  y   2t z  1 t  Gọi I (1  2t ;  2t ;1  t )  d Ta có IA + IB = (2t  2)2  (2t  1)2  t  (2t )2  (2t  2)2  (t  1)2 IA + IB = 9t  12t   9t  6t   5 9 = 3 t2  t   t2  t    10 SangKienKinhNghiem.net  4 9 =  (t  )2   (t  )2    1 Gọi A’ ( ; ;0) , B’ ( ;  ;0) , I’ (t ;0;0) 3 3 Khi IA + IB = 3(I’A’ + I’B’) Suy IA + IB nhỏ I’A’ + I’B’ nhỏ Ta thấy A’ B’ nằm mặt phẳng (Oxy) nằm khác phía trục hồnh, cịn I’ nằm trục hồnh Để I’A’ + I’B’ nhỏ A’, I’, B’ thẳng hàng, nên I’ giao điểm A’B’ với trục hoành  x    t ' x  t   Phương trình M ' N ' :  y   t ' ; phương trình Ox :  y   z   z    1  t '  ;t   3 Vậy I ( ; ; ) 3 2.3 Bài tốn Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho đường thẳng d điểm M ( x1 ; y1 ; z1 ) N ( x2 ; y2 ; z2 ) khơng thuộc d Tìm điểm I đường thẳng d cho IM  IN lớn  Cách giải toán chủ yếu xét hàm số, nhiên việc xét hàm số để tìm giá trị lớn khó khăn  Để toán giải cách tự nhiên mà khơng cần phải xét hàm số, ta có cách giải sau: Cách 1: (d) M H N’ K N I 11 SangKienKinhNghiem.net Gọi H, K hình chiếu vng góc M N lên đường thẳng (d) Lấy N’  mp( M , d ) cho KN '  KN N’ phía với M đường thẳng (d) Ta có IM  IN  IM  IN '  MN ' dấu xảy M, I, N’ thẳng hàng Hay I  MN '  d MH MH IH   NK N ' K IK MH  IH  IK (****) NK Ta có Cách 2: Chuyển phương trình d phương trình tham số, tính IM  IN , lấy điểm M’, I’, N’ cho I’ thuộc trục hồnh, cịn M’, N’ nằm mặt phẳng (Oxy) phía trục hồnh Sau giải tốn dựa phương pháp giải tốn 1b Ví dụ 4: Cho đường thẳng  x   2t   :  y   t hai điểm M (1;0; 1) , N (2;1;1) z  t  Tìm điểm I  cho IM  IN lớn Lời giải: Cách 1: Gọi H, K hình chiếu vng góc A B lên đường thẳng (d) 1 2 Ta có H (1;1;0) , K (2; ; ) Áp dụng công thức (****) IH  MH IK ta NK 1 IH  2.IK Gọi I ( x; y; z )  (1  x;1  y; z )  2(2  x;  y;  z ) 2  ( x; y; z )  (3;0;1) Vậy I (3;0;1) Cách 2: Gọi I (1  2t ;1  t ; t )   Ta có IM  IN  (2t )2  (1  t )2  (t  1)2  (2t  1)2  t  (t  1)2 = 6t   6t  6t   1 3 =  t2   t2  t    12 SangKienKinhNghiem.net  =  t   (t  )2     12  1 ;0) , N’ ( ; ;0) , I’ (t ;0;0) 2 3 Khi IM  IN  I ' M ' I ' N ' Gọi M’ (0; Suy IM  IN lớn I ' M ' I ' N ' lớn Ta thấy M’ N’ nằm mặt phẳng (Oxy) nằm phía trục hồnh, cịn I’ nằm trục hồnh Để I ' M ' I ' N ' lớn M’, I’, N’ thẳng hàng, nên I’ giao điểm M’N’ với trục hoành x  t ' x  t  1  Phương trình M ' N ' :  y   t ' ; phương trình Ox :  y  3 z     z   t '  t 1 Vậy I (3;0;1) 2.4 Bài toán Được đăng báo Toán học tuổi trẻ tháng 12 năm 2007 – Số 366 Trong không gian với hệ tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho mặt phẳng ( ) có phương trình Ax  By  Cz  D  hai điểm M ( x1 ; y1 ; z1 ) , N ( x2 ; y2 ; z2 ) khơng thuộc ( ) Tìm điểm I mặt phẳng ( ) cho: a) IM  IN nhỏ b) IM  IN lớn [1] Nhận xét 3: Đây toán cực trị liên quan đến điểm mặt phẳng Chúng ta giải cách 1của toán Ở xem mặt phẳng đóng vai trị đường thẳng hình học phẳng a)  Hai điểm M N nằm phía mặt thẳng   ( AxM  ByM  CzM  D)( AxN  By N  Cz N  D)  Xác định điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng   , IM  IM ' Ta có IM  IN  IM ' IN  M ' N Đẳng thức xảy I, M’, N thẳng hàng  I  NM ' ( )  Hai điểm M N nằm khác phía mặt thẳng   ( AxM  ByM  CzM  D)( AxN  By N  Cz N  D)  Ta có IM  IN  MN Đẳng thức xảy I, M, N thẳng hàng  I  NM  ( ) 13 SangKienKinhNghiem.net b)  Hai điểm M N nằm phía mặt thẳng   ( AxM  ByM  CzM  D)( AxN  By N  Cz N  D)  Ta có IM  IN  MN Đẳng thức xảy I, M, N thẳng hàng  I  NM  ( ) (Nếu MN / /( ) khơng tồn giá trị lớn nhất)  Hai điểm M N nằm khác phía mặt thẳng   ( AxM  ByM  CzM  D)( AxN  By N  Cz N  D)  Xác định điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng   , IM  IM ' Ta có IM  IN  I M ' IN  M ' N Đẳng thức xảy I, M’, N thẳng hàng  I  NM ' ( ) Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho hai điểm M (1; 2;3) N (4; 4;5) Tìm điểm I thuộc mặt phẳng (Oxy) cho IM  IN nhỏ Lời giải: Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z  Ta có 3.5 > suy M, N nằm phía với mặt phẳng (Oxy) Gọi I hình chiếu vng góc M lên (Oxy) suy I (1;2;0) M’ đối xứng với M qua (Oxy) suy M ' (1;2;3)  x   3t Phương trình NM’:  y   2t  z   8t   t    x   3t   y   2t  x  17    I  NM '(Oxy ) nghiệm hệ phương trình  z   t   11  z  y    z  17 11 Vậy I ( ; ;0) Ví dụ 6: Đề thi thử số báo Toán học tuổi trẻ tháng năm 2017 - Số 479 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (0;1;3) , N (10;6;0) mặt phẳng (P) có phương trình x  y  z  10  Điểm I (10; a; b) thuộc mặt phẳng (P) cho IM  IN đạt giá trị lớn Khi tính T  a  b [1] Lời giải: 14 SangKienKinhNghiem.net Ta có (0  2.1  2.3  10)(10  2.6   10)  suy M, N nằm phía với mặt phẳng (P) Ta có IM  IN  MN Đẳng thức xảy I, M, N thẳng hàng  I  NM  ( )  x  10t Phương trình MN:  y   5t  z   3t  Mà I (10; a; b)  MN  t  1 Nên I (10;4;6) Suy T  a  b  4   Ví dụ 7: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho mặt phẳng ( ) có phương trình x  y  z   hai điểm M (3;1;0) N (9; 4;9) Tìm điểm I thuộc mặt phẳng mp ( ) cho IM  IN đạt giá trị lớn [4] Lời giải: Ta có (2.3    1)(18    1)  suy M, N nằm khác phía với mặt phẳng ( ) Gọi J hình chiếu vng góc M lên ( ) suy J (1;2;1) M’ đối xứng với M qua ( ) suy M ' (1;3;2)  x  1  8t Phương trình NM’:  y   t  z  2  11t   I  NM '( ) Suy I (7;2;13) 2.5 Bài toán Ứng dụng toán cực trị hình học giải tích để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Ví dụ 8: Cho y  x  x  10  x  x  Tìm Max y Lời giải: y  ( x  1)2   ( x  2)2  Gọi điểm M (1;3) , N (2;1) I ( x;0) Suy y  IM  IN Ta thấy M N nằm phía trục hồnh, cịn I nằm trục hồnh Để IM  IN lớn I, M, N thẳng hàng  I  MN  Ox Phương trình MN: x  y    I ( ;0) Vậy Max y = 13  x   15 SangKienKinhNghiem.net Ví dụ 9: Cho y  cos a  cos a   cos a  cos a  13 Tìm Min y Lời giải: y  (cosa  1)2   (cosa  3)2  Gọi điểm M (1;1) , N (3; 2) I (cos a;0) với 1  cos a  Suy y = IM + IN Ta thấy M N nằm khác phía trục hồnh, cịn I nằm trục hồnh Để IM + IN nhỏ I, M, N thẳng hàng  I  MN  Ox Phương trình MN: 3x  y   1  I ( ;0)  cos a   ( thỏa mãn ) 3 Vậy Min y =  cos a   Bài tập áp dụng Bài 1: (ĐHQY – 1996 ) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho hai điểm A (1;1;0) , B (3; 1; 4) đường thẳng d: x 1 y 1 z    Tìm điểm M đường 1 thẳng d cho tổng độ dài MA + MB nhỏ Bài 2: (ĐHNNI – 1997 ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho hai điểm A (1; 2;3) , B (4; 4;5) a) Viết phương trình đường thẳng AB Tìm giao điểm P mặt phẳng (Oxy) Chứng minh với điểm Q  (Oxy), biểu thức QA  QB có giá trị lớn Q trùng với P b) Tìm điểm M thuộc (Oxy) cho tổng độ dài MA + MB nhỏ Bài 3: (HVKTQS – 1994 ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho hai điểm A (1;3; 2) , B (9; 4;9) mặt phẳng (P): x  y  z   Tìm điểm M thuộc (P) cho MA + MB nhỏ Bài 4: (Sách tập hình học Nâng Cao 12 - NXB Giáo Dục năm 2006 ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho hai điểm A (3;1;0) , B (9; 4;9) mặt phẳng (P): x  y  z   Tìm điểm M thuộc (P) cho MA  MB đạt giá trị lớn Bài 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho hai điểm A (1;1;0) , B (3; 1; 4) đường thẳng d: x 1 y 1 z    Tìm điểm M thuộc d 1 cho MA  MB đạt giá trị lớn 16 SangKienKinhNghiem.net Bài 6: ( 500 toán chọn lọc BĐT Phan Huy Khải ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  cos   cos    cos   cos   2.6 Kiểm nghiệm đề tài - Để đánh giá kết đề tài tiến hành nhiều tra, sau kết tra - Cho hai lớp làm kiểm tra thời gian 45 phút, lớp có 45 học sinh với lực học từ trung bình trở lên ĐỀ KIỂM RA (Thời gian làm 45 phút) Câu 1: (5 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; 1) , B (3;1; 2) a) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) cho MA + MB nhỏ b) Tìm điểm N thuộc mặt phẳng (P): x  y  z  cho NA + NB nhỏ Câu 2: (5 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho hai điểm A (1;1;0) , B (3; 1; 4) đường thẳng d: x 1 y 1 z    Tìm điểm M thuộc d 1 cho a) MA  MB đạt giá trị nhỏ b) MA  MB đạt giá trị lớn Thu kết sau Loại điểm 12B 12D - 10 S.lượng % 10 22,22 15,6 7-8 S.lượng % 18 40 20 44,4 5-6 S.lượng % 14 31,1 15 33,3 Dưới S.lượng % 6,68 6,7 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ - Kết việc đánh giá cho thấy học sinh tiếp thu đề tài cách tích cực, biết vận dụng thành thạo vào giải tập tương tự - Cách giải mà tơi trình bày đề tài hồn tồn tự nhiên, sáng Do gây hứng thú học tập cho học sinh, nâng cao khả tư lôgic khả sáng tạo học sinh 17 SangKienKinhNghiem.net - Đề tài có tác dụng tốt việc bồi dưỡng học sinh giỏi ôn luyện thi ĐH,CĐ cho học sinh Trong trình bày đề tài chắn cịn hạn chế, thiếu sót Mong góp ý từ đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Đình Chung 18 SangKienKinhNghiem.net TÀI LIỆU THAM KHẢO ********* Báo Toán học tuổi trẻ tháng 12 năm 2007 – Số 366, Tháng năm 2017 - Số 479 Sách tập hình học lớp 10 Nâng Cao - Văn Như Cương (chủ biên), Phạm Vũ Khuê, Trần Hữu Nam - Nhà xuất Giáo Dục, 2006 Sách tập hình học lớp 10 Cơ Bản - Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên - Nhà xuất Giáo Dục, 2006 Sách tập hình học lớp 12 Nâng Cao - Văn Như Cương (chủ biên), Lê Huy Hùng, Tạ Mân - Nhà xuất Giáo Dục, 2006 Sách tập hình học lớp 12 Cơ Bản - Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên - Nhà xuất Giáo Dục, 2006 Tham khảo số tài liệu mạng internet - Đề thi đại học số trường 500 toán chọn lọc BĐT Phan Huy Khải - Nhà xuất Hà Nội, 2001 19 SangKienKinhNghiem.net ... 2.1 Bài toán 1: Cực trị điểm đường thẳng hình học giải tích phẳng 2-6 2.2 Bài toán 2: Cực trị điểm đường thẳng hình học giải tích khơng gian - 10 2.3 Bài toán 3: Cực trị điểm đường thẳng hình học. .. đường thẳng hình học giải tích khơng gian 10 - 12 2.4 Bài toán 4: Cực trị điểm mặt phẳng hình học giải tích khơng gian 12 - 14 2.5 Bài tốn 5: Ứng dụng tốn cực trị hình học giải tích để tìm GTLN,... SangKienKinhNghiem.net MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH VÀ ỨNG DỤNG MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn THPT tốn cực trị hình học không gian đa dạng phức tạp Nhưng có số dạng mà trình