Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Dạng Tính diện tích hình phẳng Diện tích hình thang cong Dạng 1: Cho hàm số y f x liên tục a; b Khi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục Ox ( y ) hai đường thẳng x a x b là: b S f ( x) dx a xb (C ) : y f ( x) y xa O y0 a x b Phương pháp giải: Bước Lập bảng xét dấu hàm số y f ( x) đoạn a; b b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân : f ( x) dx a b Chú ý: có cách tính tích phân f ( x) dx a + Cách 1: Nếu đoạn a; b hàm số f x không đổi dấu thì: b f ( x ) dx a b f ( x )dx a + Cách 2: Lập bảng xét dấu hàm số f x đoạn a; b khử trị tuyệt đối Dạng 2: Cho hàm số x f y liên tục a; b Khi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x f y , trục Oy ( x ) hai đường thẳng y a y b là: b S f ( y ) dy a y b x0 a yb (C ) : x f ( y ) ya x O Trang ThuVienDeThi.com Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 Diện tích hình phẳng Dạng 1: Cho hàm số y f x y g x liên tục a; b Khi diện tích hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y f x y g x hai đường thẳng x a x b là: b S f ( x) g ( x) dx a y xb (C1 ) : y f ( x) xa (H ) O (C2 ) : y g ( x) x a b Phương pháp giải: Bước Lập bảng xét dấu hàm số f x g x đoạn a; b b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f ( x) g ( x) dx a Dạng 2: Cho hai hàm số y f x y g x liên tục a; b Diện tích hình phẳng giới hạn đường y f x y g x là: S f ( x) g ( x) dx Trong , nghiệm nhỏ lớn phương trình f x g x a b Phương pháp giải: Bước Giải phương trình f x g x Giả sử ta tìm , nghiệm nhỏ lớn phương trình a b Bước Lập bảng xét dấu hàm số : f x g x đoạn ; Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân: f ( x) g ( x) dx Dạng 3: Cho hai hàm số x f y x g y liên tục a; b Khi diện tích hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số x f y x g y hai đường thẳng y a y b là: b S f ( y ) g ( y ) dy a y (C2 ) : x g ( y ) yb b (H ) a ya x O (C1 ) : x f ( y ) Phương pháp giải: Bước Lập bảng xét dấu hàm số f y g y đoạn a; b Trang ThuVienDeThi.com Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f ( y ) g ( y ) dy a Dạng 4: Cho hai hàm số x f y x g y liên tục a; b Diện tích hình phẳng giới hạn đường x f y x g y là: S g ( y) g ( y) dy Trong , nghiệm nhỏ lớn phương trình f y g y a b Phương pháp giải: Bước Giải phương trình f y g y Giả sử ta tìm , nghiệm nhỏ lớn phương trình a b Bước Lập bảng xét dấu hàm số : f y g y đoạn ; Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân: f ( y ) g ( y ) dy Dạng 5: tính diện tích giới hạn hàm số trở lên phương pháp chung vẽ đồ thị dựa vào đồ thị để tính Cách tính giới hạn hàm số: Cho hàm số y f x , y g x y h x liên tục a; b Khi diện tích hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số y f x , y g x y h x là: S Với: x2 x3 x1 x2 f x g x dx h x g x dx + x1 nghiệm phương trình: f x g x + x2 nghiệm phương trình: f x h x + x3 nghiệm phương trình: h x g x Trong đó: a x1 x2 x3 b Tóm lại giải tốn ta thường gặp dạng sau: y f(x) b Diện tích S miền giới hạn: y S f ( x ) dx x a; x b a y f(x) b Diện tích S miền giới hạn: y g( x ) S f ( x ) g( x ) dx x a; x b a x f( y) b Diện tích S miền giới hạn: x g( y ) S f ( y ) g( y ) dy y a; y b a Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y x x 3, y 0, x 0, x b) y x x , y , x 2 , x c) y x x 6, x 2, x , trục Ox d) y x , y 0, x 2, x e) y x 1 x4 , y 0, x 0, x f) y x x 1, y x x , x 1, x g) y x x , y x x 6, x 0, x h) Trang ThuVienDeThi.com Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 y x x , y x 1, x 1; x x3 3x i) y , x 1, x 1 , trục Ox x2 j) y a) y x e x , y , x , x b) y Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: ln x , y 0, x 1, x e x e) y ln x , x , x e , trục Ox e 4x , y , x 1, x x 1 ln x x , x e, x , trục hoành d) y x.ln x; y 0; x 1; x e c) y ln x , y 0, x , x e x e h) y log x , y 0, x , x 10 10 f) y g) y x.e x ; x 1; x ; trục Ox i) y ln x , y 0, x , x e e j) y x x e , y 0, x 1, x Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y sin x.cos3 x , x 0, x , trục Ox d) y x sin x; y ; x 0; x c) y x sin x; y x; x 0; x 2 e) y sin x sin x 1, y 0, x 0, x g) y sin x cos x; y 0; x 0; x b) y sin x cos2 x , x 0, x , trục hoành f) y sin x cos x , y 3, x 0, x h) Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y x , y x x c) y x , y x2 e) y x 2, y x b) y x x , y x d) y x2 ,y x2 f) y x x , y x x g) y x , y x h) y x x , y x Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y x 12 x , y x b) y x , y x c) y x , x 3y d) y x , y x e) y x , y 1 x f) y Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y x x 1x 3, y c) y x , x y , trục Ox e) y x , y x , trục Ox b) y x2 x2 ,y 4 x , y x, y 3 x , y 0, x x 1 3 f) y x x , y x , trục hoành 2 d) y Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y x 2 ; x 0; y x , trục hoành y tan x; y 0; x ; x 4 b) y x , y Trang ThuVienDeThi.com , y 0, x e x Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 c) y e x , y 2, x d) y ( x 1)5 ; y e x ; x e) y e x ; y e x ; x f) y 2 e 2 x , y e x , x g) y x x 2, y x x 5, y h) y x , y x x 1, y i) y x , y x x 4, y k) y x , x y 0, y Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: x2 27 a) y x , y ,y 27 x x 2x ,y c) y ( x 1)2 , y x 1 b) y x x 5, y x x 3, y x 15 d) y x x , y x x , y x 10 e) y x x 5, y 2 x 4, y x 11 f) Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y x , y x , y 0, y b) y x 0, x y c) y y x 0, x y d) y x 1, y x e) y x , x y f) x y 8, y x g) y x , x y 16 Bài 10 Tính diện tích elip sau: a) x y2 1 16 b) h) y (4 x )3 , y x x y2 1 c) x y2 1 25 Bài 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: d) x2 y2 a) (C ) : y x x x , tiếp tuyến với (C) A(0; 1) 2x , y , tiếp tuyến với (C) A(-2; 1) x 1 c) ( P ) : y x x hai tiếp tuyến với (P) A(1;2) B(4;5) b) (C ) : y x2 x d) (C ) : y , trục Ox tiếp tuyến (C ) vẽ từ O x 1 Bài 12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) (C ) : y x x x 3, y tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ x = b) (C ) : y x x 2, x 1 tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ x = –2 c) (C ) : y x x tiếp tuyến với (C) điểm O(0 ; 0) A(3; 3) (C) x x , tiếp tuyến với (C) điểm M thuộc đồ thị có hồnh độä x = e) (C ) : y x , tiệm cận xiên (C), x = x = 2x2 x2 2x , y , tiệm cận xiên (C), x = –1 ø x = f) (C ) : y x2 d) y Trang ThuVienDeThi.com Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 Dạng Tính thể tích vật thể trịn xoay y y d f(x) f(x) O a b x c x O Quay quanh trục Ox Quay quanh trục Oy Dạng 1: Thể tích vật thể trịn xoay cho hình phẳng giới hạn đường y f x , trục Ox hai b đường thẳng x a x b a b quay xung quanh trục Ox là: VOx f x dx a xb (C ) : y f ( x) y xa O x y0 a Chú ý: Hàm số y f x b x a; b liên tục đoạn a; b Dạng 2: Thể tích vật thể trịn xoay cho hình phẳng giới hạn đường x f y , trục Oy hai b đường thẳng y a y b a b quay xung quanh trục Oy là: VOy f y dy a y b x0 a yb (C ) : x g ( y ) ya x O Chú ý: Hàm số x f y y a; b liên tục đoạn a; b Trang ThuVienDeThi.com Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 Dạng 3: Cho hai hàm số y f x y g x liên tục, dấu đoạn a; b Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số hai đường thẳng x a x b trịn xoay tích là: VOx b f x a b quay xung quanh trục Ox tạo nên khối g x dx a Dạng 4: Cho hai hàm số x f y x g y liên tục, dấu đoạn a; b Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số hai đường thẳng y a y b khối trịn xoay tích là: VOy b f y a b quay xung quanh trục Ox tạo nên g y dx a Tóm lại giải toán ta thường gặp dạng sau: y f(x) Thể tích khối tròn xoay sinh quay miền giới hạn đường sau: y quanh Ox x a; x b b vòng : VOx f x .dx a y f(x) Thể tích khối tròn xoay sinh quay miền giới hạn đường sau: y g( x ) quanh Ox x a; x b b vòng : VOx f x g x dx a x f( y) Thể tích khối tròn xoay sinh quay miền giới hạn đường sau: x quanh Oy y a; y b b vòng : VOy f y .dy a x f( y) Thể tích khối tròn xoay sinh quay miền giới hạn đường sau: x g( y ) quanh Oy y a; y b b vòng : VOy f y g y dy a Bài Tính thể tích hình khối sinh hình phẳng (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: a) y , x 2, x , trục Ox 2 x b) y c) y x x 1, y 0, x 0, x 1 e) y d) y x 1, x 1, x , trục hoành 1 x 1 , x 2, x , trục hoành x 1 g) y x ln x , y 0, x 1, x e x x , x 0, x , trục Ox 2x f) y , x 0, x , trục Ox x 1 h) y x ln x , y 0, x 1, x e Bài Tính thể tích hình khối sinh hình phẳng (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: Trang ThuVienDeThi.com Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 a) y sin x , y 0, x 0, x b) y cos2 x , y 0, x 0, x c) y sin x cos6 x , y 0, x 0, x d) y sin x , y cos x , x ,x Bài Tính thể tích hình khối sinh hình phẳng (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: b) y x , y x, x a) y x x2 x3 ,y c) y x x , y x d) y e) y x x 6, y x x f) y x , y x g) y h) y x 2x2 , y 4 x2 x , y0 x 1 h) y x x , y x x h) ( x 2)2 y 9, y Bài Tính thể tích hình khối sinh hình phẳng (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: a) y x , y 0, x 2x , y 0, x x 1 e) y 1, y 0, y x x c) y g) y ln x , y 0, x b) y xe x , y 0, x d) y x x , y 0, x f) y x , y 0, x h) y e x , y 2, x Bài Tính thể tích hình khối sinh hình phẳng (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Oy: a) x ye y , x 0, y b) y x , x c) x , y 1, y y d) y x , y e) y e x , x 0, y e f) y x , y 1, y Bài Tính thể tích hình khối sinh hình phẳng (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Ox ; Oy: a) y ( x 2)2 , y c) y x 1, y 2, y 0, x b) y x , y x , y d) y x x , y e) x y f) x – y 1 g) y x , y h) y x ( x 0), y 3 x 10, y i) x2 y 1 x j) x y 0, y 2, x Trang ThuVienDeThi.com .. .Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 Diện tích hình phẳng Dạng 1: Cho hàm số y f x y g x liên tục a; b Khi diện tích. .. hàm số f y g y đoạn a; b Trang ThuVienDeThi.com Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích. .. xiên (C), x = –1 ø x = f) (C ) : y x2 d) y Trang ThuVienDeThi.com Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 Dạng Tính thể tích vật thể