Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng tích phân 12 (Phần 3: Ứng dụng Tích phân)24472

Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Dạng Tính diện tích hình phẳng Diện tích hình thang cong Dạng 1: Cho hàm số y  f x  liên tục a; b  Khi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f x  , trục Ox ( y  ) hai đường thẳng x  a x  b là: b S   f ( x) dx a xb (C ) : y  f ( x) y xa O y0 a x b Phương pháp giải: Bước Lập bảng xét dấu hàm số y  f ( x) đoạn a; b  b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân :  f ( x) dx a b Chú ý: có cách tính tích phân  f ( x) dx a + Cách 1: Nếu đoạn a; b  hàm số f x  không đổi dấu thì: b  f ( x ) dx  a b  f ( x )dx a + Cách 2: Lập bảng xét dấu hàm số f x  đoạn a; b  khử trị tuyệt đối Dạng 2: Cho hàm số x  f  y  liên tục a; b  Khi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x  f  y  , trục Oy ( x  ) hai đường thẳng y  a y  b là: b S   f ( y ) dy a y b x0 a yb (C ) : x  f ( y ) ya x O Trang ThuVienDeThi.com Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 Diện tích hình phẳng Dạng 1: Cho hàm số y  f x  y  g x  liên tục a; b  Khi diện tích hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y  f x  y  g x  hai đường thẳng x  a x  b là: b S   f ( x)  g ( x) dx a y xb (C1 ) : y  f ( x) xa (H ) O (C2 ) : y  g ( x) x a b Phương pháp giải: Bước Lập bảng xét dấu hàm số f x   g x  đoạn a; b  b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân  f ( x)  g ( x) dx a Dạng 2: Cho hai hàm số y  f x  y  g x  liên tục a; b  Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  f x  y  g x  là: S    f ( x)  g ( x) dx  Trong  ,  nghiệm nhỏ lớn phương trình f x   g x  a      b  Phương pháp giải: Bước Giải phương trình f x   g x   Giả sử ta tìm  ,  nghiệm nhỏ lớn phương trình a      b  Bước Lập bảng xét dấu hàm số : f x   g x  đoạn  ;    Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân:   f ( x)  g ( x) dx Dạng 3: Cho hai hàm số x  f  y  x  g  y  liên tục a; b  Khi diện tích hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số x  f  y  x  g  y  hai đường thẳng y  a y  b là: b S   f ( y )  g ( y ) dy a y (C2 ) : x  g ( y ) yb b (H ) a ya x O (C1 ) : x  f ( y ) Phương pháp giải: Bước Lập bảng xét dấu hàm số f  y   g  y  đoạn a; b  Trang ThuVienDeThi.com Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân  f ( y )  g ( y ) dy a Dạng 4: Cho hai hàm số x  f  y  x  g  y  liên tục a; b  Diện tích hình phẳng giới hạn đường x  f  y  x  g  y  là: S    g ( y)  g ( y) dy  Trong  ,  nghiệm nhỏ lớn phương trình f  y   g  y  a      b  Phương pháp giải: Bước Giải phương trình f  y   g  y   Giả sử ta tìm  ,  nghiệm nhỏ lớn phương trình a      b  Bước Lập bảng xét dấu hàm số : f  y   g  y  đoạn  ;    Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân:   f ( y )  g ( y ) dy Dạng 5: tính diện tích giới hạn hàm số trở lên phương pháp chung vẽ đồ thị dựa vào đồ thị để tính Cách tính giới hạn hàm số: Cho hàm số y  f x  , y  g x  y  h x  liên tục a; b  Khi diện tích hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số y  f x  , y  g x  y  h x  là: S Với: x2 x3 x1 x2  f x  g x dx   h x  g x  dx + x1 nghiệm phương trình: f x   g x  + x2 nghiệm phương trình: f x   h x  + x3 nghiệm phương trình: h x   g x  Trong đó: a  x1  x2  x3  b Tóm lại giải tốn ta thường gặp dạng sau:  y  f(x) b  Diện tích S miền giới hạn:  y   S   f ( x ) dx  x  a; x  b a   y  f(x) b  Diện tích S miền giới hạn:  y  g( x )  S   f ( x )  g( x ) dx  x  a; x  b a   x f( y) b  Diện tích S miền giới hạn:  x  g( y )  S   f ( y )  g( y ) dy  y  a; y  b a  Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y  x  x  3, y  0, x  0, x  b) y  x  x , y  , x  2 , x  c) y  x  x  6, x  2, x  , trục Ox d) y  x , y  0, x  2, x  e) y  x 1 x4 , y  0, x  0, x  f) y  x  x  1, y  x  x , x  1, x  g) y  x  x , y  x  x  6, x  0, x  h) Trang ThuVienDeThi.com Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 y  x  x , y  x   1, x  1; x  x3  3x  i) y  , x  1, x  1 , trục Ox x2 j) y  a) y  x  e x , y  , x  , x  b) y  Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:  ln x , y  0, x  1, x  e x e) y  ln x , x  , x  e , trục Ox e 4x , y  , x  1, x  x 1 ln x x , x  e, x  , trục hoành d) y  x.ln x; y  0; x  1; x  e c) y  ln x , y  0, x  , x  e x e h) y  log x , y  0, x  , x  10 10 f) y  g) y  x.e x ; x  1; x  ; trục Ox i) y  ln x , y  0, x  , x  e e j) y  x x e , y  0, x  1, x  Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y  sin x.cos3 x , x  0, x   , trục Ox d) y  x  sin x; y  ; x  0; x   c) y  x  sin x; y  x; x  0; x  2 e) y  sin x  sin x  1, y  0, x  0, x  g) y  sin x cos x; y  0; x  0; x  b) y  sin x  cos2 x , x  0, x   , trục hoành   f) y  sin x  cos x , y  3, x  0, x   h) Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y   x , y  x  x c) y  x , y   x2  e) y  x  2, y   x  b) y  x  x , y  x  d) y  x2 ,y  x2 f) y  x  x , y   x  x g) y  x , y   x h) y  x  x  , y  x  Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y  x  12 x , y  x b) y   x , y   x c) y    x , x  3y  d) y    x , y  x e) y   x , y  1  x  f) y   Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y  x x  1x  3, y  c) y  x , x  y   , trục Ox e) y  x , y   x , trục Ox b) y  x2 x2 ,y 4 x , y   x, y  3 x  , y  0, x  x 1 3 f) y  x  x  , y  x , trục hoành 2 d) y  Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y  x 2 ; x  0; y   x , trục hoành  y  tan x; y  0; x   ; x  4 b) y  x , y  Trang ThuVienDeThi.com , y  0, x  e x Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 c) y  e x , y  2, x  d) y  ( x  1)5 ; y  e x ; x  e) y  e x ; y  e x ; x  f) y  2 e 2 x , y  e x , x  g) y  x  x  2, y  x  x  5, y  h) y  x , y  x  x  1, y  i) y  x , y  x  x  4, y  k) y  x , x  y   0, y  Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: x2 27 a) y  x , y  ,y 27 x x  2x  ,y  c) y  ( x  1)2 , y  x 1 b) y   x  x  5, y   x  x  3, y  x  15 d) y   x  x , y   x  x , y  x  10 e) y  x  x  5, y  2 x  4, y  x  11 f) Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y  x , y  x , y  0, y  b) y  x   0, x  y   c) y  y  x  0, x  y  d) y  x  1, y  x  e) y  x , x   y f) x  y  8, y  x g) y  x , x  y  16 Bài 10 Tính diện tích elip sau: a) x y2  1 16 b) h) y  (4  x )3 , y  x x y2  1 c) x y2  1 25 Bài 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: d) x2  y2  a) (C ) : y  x  x  x  , tiếp tuyến với (C) A(0; 1) 2x  , y  , tiếp tuyến với (C) A(-2; 1) x 1 c) ( P ) : y  x  x  hai tiếp tuyến với (P) A(1;2) B(4;5) b) (C ) : y  x2  x  d) (C ) : y  , trục Ox tiếp tuyến (C ) vẽ từ O x 1 Bài 12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) (C ) : y  x  x  x  3, y  tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ x = b) (C ) : y  x  x  2, x  1 tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ x = –2 c) (C ) : y  x  x tiếp tuyến với (C) điểm O(0 ; 0) A(3; 3) (C) x  x , tiếp tuyến với (C) điểm M thuộc đồ thị có hồnh độä x = e) (C ) : y  x  , tiệm cận xiên (C), x = x = 2x2 x2  2x  , y  , tiệm cận xiên (C), x = –1 ø x = f) (C ) : y  x2 d) y  Trang ThuVienDeThi.com Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 Dạng Tính thể tích vật thể trịn xoay y y d f(x) f(x) O a b x c x O Quay quanh trục Ox Quay quanh trục Oy Dạng 1: Thể tích vật thể trịn xoay cho hình phẳng giới hạn đường y  f x  , trục Ox hai b đường thẳng x  a x  b a  b  quay xung quanh trục Ox là: VOx    f x  dx  a xb (C ) : y  f ( x) y xa O x y0 a Chú ý: Hàm số y  f x   b x  a; b  liên tục đoạn a; b  Dạng 2: Thể tích vật thể trịn xoay cho hình phẳng giới hạn đường x  f  y  , trục Oy hai b đường thẳng y  a y  b a  b  quay xung quanh trục Oy là: VOy    f  y  dy  a y b x0 a yb (C ) : x  g ( y ) ya x O Chú ý: Hàm số x  f  y   y  a; b  liên tục đoạn a; b  Trang ThuVienDeThi.com Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 Dạng 3: Cho hai hàm số y  f x  y  g x  liên tục, dấu đoạn a; b  Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số hai đường thẳng x  a x  b trịn xoay tích là: VOx   b   f x  a  b  quay xung quanh trục Ox tạo nên khối   g x  dx a Dạng 4: Cho hai hàm số x  f  y  x  g  y  liên tục, dấu đoạn a; b  Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số hai đường thẳng y  a y  b khối trịn xoay tích là: VOy   b   f  y  a  b  quay xung quanh trục Ox tạo nên   g  y  dx a Tóm lại giải toán ta thường gặp dạng sau:  y  f(x)  Thể tích khối tròn xoay sinh quay miền giới hạn đường sau:  y  quanh Ox  x  a; x  b  b vòng : VOx   f x .dx  a  y  f(x)  Thể tích khối tròn xoay sinh quay miền giới hạn đường sau:  y  g( x ) quanh Ox  x  a; x  b  b vòng : VOx    f x   g x  dx a  x f( y)  Thể tích khối tròn xoay sinh quay miền giới hạn đường sau:  x  quanh Oy  y  a; y  b  b vòng : VOy   f  y .dy  a  x f( y)  Thể tích khối tròn xoay sinh quay miền giới hạn đường sau:  x  g( y ) quanh Oy  y  a; y  b  b vòng : VOy    f  y   g  y  dy a Bài Tính thể tích hình khối sinh hình phẳng (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: a) y  , x  2, x  , trục Ox 2 x b) y  c) y  x  x  1, y  0, x  0, x  1 e) y  d) y  x  1, x  1, x  , trục hoành 1 x 1 , x  2, x  , trục hoành x 1 g) y  x ln x , y  0, x  1, x  e x  x , x  0, x  , trục Ox 2x f) y  , x  0, x  , trục Ox x 1 h) y  x ln x , y  0, x  1, x  e Bài Tính thể tích hình khối sinh hình phẳng (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: Trang ThuVienDeThi.com Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 a) y  sin x , y  0, x  0, x   b) y  cos2 x , y  0, x  0, x   c) y  sin x  cos6 x , y  0, x  0, x   d) y  sin x , y  cos x , x   ,x  Bài Tính thể tích hình khối sinh hình phẳng (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: b) y  x , y  x, x  a) y  x x2 x3 ,y c) y   x  x , y  x  d) y  e) y  x  x  6, y   x  x  f) y   x , y  x  g) y   h) y  x  2x2  , y  4  x2  x , y0 x 1 h) y  x  x , y   x  x h) ( x  2)2  y  9, y  Bài Tính thể tích hình khối sinh hình phẳng (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: a) y  x , y  0, x  2x  , y  0, x  x 1 e) y   1, y  0, y  x x c) y  g) y  ln x , y  0, x  b) y  xe x , y  0, x  d) y  x  x , y  0, x  f) y  x , y  0, x  h) y  e x , y  2, x  Bài Tính thể tích hình khối sinh hình phẳng (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Oy: a) x  ye y , x  0, y  b) y   x , x  c) x  , y  1, y  y d) y  x , y  e) y  e x , x  0, y  e f) y  x , y  1, y  Bài Tính thể tích hình khối sinh hình phẳng (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Ox ; Oy: a) y  ( x  2)2 , y  c) y  x  1, y  2, y  0, x  b) y  x , y  x , y  d) y  x  x , y  e) x  y    f)  x –   y  1  g) y  x , y  h) y  x ( x  0), y  3 x  10, y  i) x2 y  1 x j) x  y  0, y  2, x  Trang ThuVienDeThi.com .. .Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 Diện tích hình phẳng Dạng 1: Cho hàm số y  f x  y  g x  liên tục a; b  Khi diện tích. .. hàm số f  y   g  y  đoạn a; b  Trang ThuVienDeThi.com Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích. .. xiên (C), x = –1 ø x = f) (C ) : y  x2 d) y  Trang ThuVienDeThi.com Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 Dạng Tính thể tích vật thể