Bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong đại số tổ hợp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ BÙI THỊ LỢI BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ TỔ HỢP... Bất đẳng thức trong tính toán tổ hợp 30 2.1 Các bất đẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

BÙI THỊ LỢI

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ TỔ HỢP

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

BÙI THỊ LỢI

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

THÁI NGUYÊN - 2017

MỤC LỤC

1.1 Các tính chất của nhị thức Newton 1

1.2 Các tính chất của các số tổ hợp 3

1.3 Một số đẳng thức tổ hợp 5

1.4 Đa thức Newton và ứng dụng 12

1.4.1 Đa thức Newton 12

1.4.2 Biểu diễn đơn vị thành tổng các phân số Ai Cập với mẫu số lẻ 16

1.5 Một số dạng toán thi Olympic liên quan 21

1.5.1 Tính chia hết của biểu thức tổ hợp 21

1.5.2 Quan hệ đồng dư giữa các biểu thức tổ hợp 23

Chương 2 Bất đẳng thức trong tính toán tổ hợp 30 2.1 Các bất đẳng thức cơ bản trong đại số 30

2.2 Một số bài toán về bất đẳng thức trong tính toán tổ hợp 36

2.2.1 Phép biến đổi tương đương, phương pháp làm trội, làm giảm 36

2.2.2 Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để chứng minh 39

Chương 3 Các dạng toán cực trị liên quan đến tổ hợp trong dãy số 42 3.1 Bất đẳng thức trong dãy số 42

3.1.1 Dãy sinh bởi hàm số 42

3.1.2 Ước lượng tích và tổng của một số dãy số 44

3.1.3 Bất đẳng thức trong tập rời rạc 47

3.2 Một số bài toán cực trị liên quan đến tổ hợp trong dãy số 49

3.3 Một số bài toán cực trị liên quan qua các đề thi Olympic 51

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoànthành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Giáo sư - Tiến sĩ khoa học Nguyễn Văn Mậu Tác giảxin trân trọng bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã tận tình chỉ bảo,hướng dẫn, động viên khích lệ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình họctập và nghiên cứu luận văn

Qua bản luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại học Khoahọc - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, cùng các giảng viên đã tham giagiảng dạy và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu trong suốt thời gianqua

Tác giả xin cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Ninh Bình và Trường THPT Yên Khánh A, nơi tôiđang công tác, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập

Tác giả cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và tất cả mọi người đã quan tâm,động viên và giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thành luận văn của mình

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 22 tháng 5 năm 2017

Tác giả

Bùi Thị Lợi

MỞ ĐẦU

Tổ hợp có vị trí rất quan trọng trong Toán học vì nó không những là một đối tượng nghiêncứu trọng tâm của Đại số và Giải tích mà còn là một công cụ đắc lực của toán rời rạc và lýthuyết trò chơi

Ngoài ra, tổ hợp còn được sử dụng nhiều trong tính toán và ứng dụng Trong các kì thi họcsinh giỏi toán quốc gia và Olympic toán quốc tế thì các bài toán về tổ hợp cũng thường được

đề cập đến và được xem như những bài toán rất khó của bậc phổ thông

Hiện nay các tài liệu tham khảo về tổ hợp tuy có nhiều nhưng không được đề cập đầy đủ

và hệ thống trong chương trình chính khóa bậc phổ thông Vì vậy, việc khảo sát sâu hơn về cácvấn đề tính toán tổ hợp và các dạng toán liên quan cho ta hiểu sâu sắc về lý thuyết cũng nhưcác ứng dụng liên quan đến tổ hợp và toán rời rạc

Luận văn "Bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong đại số tổ hợp" trình bày một số vấn

đề liên quan tính chất và các dạng toán ứng dụng liên quan đến tổ hợp

Mục đích của luận văn nhằm thể hiện rõ vai trò quan trọng của tổ hợp trong các dạng toánthi HSG và Olympic quốc gia và quốc tế

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và 3 chương

Chương 1 Nhị thức Newton và một số đẳng thức tổ hợp liên quan

Chương 2 Bất đẳng thức trong tính toán tổ hợp

Chương 3 Các dạng toán cực trị liên quan đến tổ hợp trong dãy số

Tiếp theo, trong các chương đều trình bày một hệ thống bài tập áp dụng giải các đề thiHSG và Olympic liên quan

Chương 1 Nhị thức Newton và một số đẳng thức tổ hợp liên quan

Trong chương này, tác giả nhắc lại công thức nhị thức Newton, các tính chất cơ bản củanhị thức Newton, các tính chất cơ bản của các số tổ hợp Từ đó xây dựng và chứng minh đượcmột số đẳng thức tổ hợp Trình bày kết quả về đa thức Newton và ứng dụng Tác giả cũng nêumột số dạng toán thi Olympic liên quan đến tính chia hết và quan hệ đồng dư giữa các biểuthức tổ hợp

Các kết quả trong chương 1 được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo [2], [3], [4], [7], [8] và[9]

Suy ra (1.1) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 (điều phải chứng minh).

Tính chất 1.1 Số số hạng của công thức khai triển (1.1) bằng n + 1

Tính chất 1.2 Các hệ số tổ hợp của nhị thức cách đều hai số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.Tính chất 1.3 Số hạng tổng quát của khai triển nhị thức là số hạng thứ k + 1 và bằng

Tính chất 1.13 (Quy tắc hút) Với n, k ∈ N thỏa mãn 0 < k ≤ n ta có:

k−1 n−1

Tính chất 1.14 (Công thức lùi cơ số) Với n, k ∈ N thỏa mãn 0 ≤ k < n ta có:

k n−1

Tính chất 1.15 (Tính đơn điệu (monotonicity)).

%

Trong phần này, để tính tổng liên quan đến tổ hợp hoặc chứng minh một đẳng thức tổ hợp,

ta phải quan sát các số hạng trong tổng để tìm nhị thức cần khai triển, kết hợp tính chất củacác số tổ hợp với các phép toán đạo hàm, tích phân hoặc các phép toán về số phức để giải bàitoán

n = nCn−1k−1

k+1 2n+1).

Vậy (1.11) được chứng minh

Sử dụng phép tính đạo hàm, phép tính tích phân, ta có thể giải được bài toán sau đây

Bài toán 1.4 Chứng minh rằng

2n+1− 22n+1+ 1

Lời giải

Vậy (1.13) được chứng minh.

2 1

2(2n + 1)

2 1

2n+1− 22n+1+ 1

Vậy đẳng thức (1.14) được chứng minh

Kết hợp với kiến thức về số phức, ta có các bài toán sau:

Lời giải Xét đa thức

√32

π3

cấp số nhân hoặc công thức Nhị thức Niutơn, cụ thể xét bài toán sau.



!.

 ddx

n n

và ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 1.1 Xét phương trình vô định sau đây

Bằng phân số Ai Cập với độ dài l nghĩa là Ta có một biểu diễn có dạng

các mẫu số lớn hơn 1, đơn giản là

l ≥ 9 Ta đưa ra lời giải của hai bài toán tối ưu được đưa ra bởi Leech Ta có lời giải sau đây

Ta sẽ chứng minh hai định lý sau đây

Chứng minh Ta lấy A ⊂ {3, 5, 7, , 133} , viết f (A) là phân số được biểu diễn bằng tổngcác phân số Ai Cập với các mẫu số a ∈ A và tiến hành đi tìm tất cả các tập hợp A với f (A) = 1.Cho giới hạn là 133, có thể chấp nhận bội lẻ lớn nhất của số nguyên tố p được cho bởi b = 1với 47 ≤ p ≤ 133, b = 3 cho 29 ≤ p ≤ 43; b = 5 cho p = 23; b = 7 với p = 17, 19; và b = 9 với

Vì vậy các phần tử của A không chia hết cho các số nguyên tố p ≤ 17, ngoại trừ có thể p = 23,

tương ứng phân số Ai Cập, và ta định nghĩa các giá trị của r là số cách mà r có thể phân tích

Tất cả các lời giải với al ≤ 133 bây giờ có thể được tìm thấy, và số các lời giải là tổng của

phải chứa mẫu số có giá trị 23 × 5 = 105 hoặc 13 × 9 = 117 Do đó nếu có một lời giải với



= 1,

14 ≤ r ≤ 97, với tất cả giá trị 1, 2 hoặc 3 Tổng của tất cả 17 giá trị là 29, số lời giải cho (1.53)

27 = 5 + 7 + 15 = 3 + 9 + 15 Có hai lời giải tương ứng là



15



15

để cho thấy rằng lời giải (1.54) đưa ra bởi Leech là tối ưu, Ta phát hiện ra rằng có 29 lời giải

với al< 135, một lời giải là tối ưu, đó là (1.55).

Ta xem xét chứng minh của Định lý 1.2, nhưng bị chặn dưới nhỏ hơn là quá đủ

Nó chỉ ra rằng chỉ có 3 giá trị trong (1.62) mà trong đó (1.63) là giải được Đặc biệt hơn, Ta

và ba giá trị tương ứng m = 13, 43, 46 Lời giải cho (1.63) được cho như sau

1.5 Một số dạng toán thi Olympic liên quan

1.5.1 Tính chia hết của biểu thức tổ hợp

Bài toán 1.8 (Hungarian MO 2001) Cho m và n là các số nguyên Chứng minh rằng m làmột ước của n

Như vậy hoặc s = 3, m = 8, t = 4, n = 7 hoặc s = 2, m = 4, t = 2, n = 3

+) Nếu m = 3.2u.

Dễ dàng kiểm tra được rằng không có nghiệm nào của v khi u = 1; 2

P (x) ≡ 0 (mod p) có min{n, p} nghiệm

Bổ đề 1.4 Nếu phương trình P (x) ≡ 0 (mod p) có số nghiệm nhiều hơn bậc của P (x) thì tất

cả các hệ số của P (x) đều chia hết cho p

Quay trở lại bài toán

Đa thức P (x) có thể được viết lại như sau:

Tập nghiệm của đa thức P (x) gồm p − 1 phần tử là tập hợp {1; 2; ; p − 1} , mà deg P = p − 2

⇔ pk+2|P (mpk) + (mpk)p−1

1.5.2 Quan hệ đồng dư giữa các biểu thức tổ hợp

3

 Chứng minh rằng

14m + 1 − i

≡ 20172

Điều này là hợp lý bởi vì

Chương 2 Bất đẳng thức trong tính

toán tổ hợp

Trong chương này, tác giả nhắc lại một số bất đẳng thức cơ bản trong đại số Tác giả sắpxếp và phân loại các bài toán chứng minh bất đẳng thức trong tính toán tổ hợp theo từngphương pháp là sử dụng phép biến đổi tương đương, phương pháp làm trội, làm giảm hay sửdụng các bất đẳng thức cơ bản trong đại số để chứng minh

Trong chương 2, tác giả sử dụng các tài liệu tham khảo [1], [2], [4] và [6]

là các số không âm Khi đó

Bất đẳng thức 2.1 còn gọi tắt là bất đẳng thức AM-GM Hệ quả trực tiếp của bất đẳng thứcAM-GM là bất đẳng thức giữa trung bình nhân và trung bình điều hòa (gọi tắt là bất đẳngthức GM-HM)

Chứng minh Định lí 2.1 (Quy nạp kiểu Cauchy)

Từ hệ thức bậc hai

ta có

Bây giờ ta thực hiện quy trình quy nạp theo hướng xuống phía dưới Ta chứng minh rằng khi

.Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ

Định lý 2.3 (xem [1]) (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Giả sử a1, a2, · · ·, an và b1, b2, · · · , bn

là các số thực bất kì, khi đó ta có

Tiếp theo, ta xét một số dạng đa thức đối xứng cơ bản

Trước hết, ta nhắc lại công thức khai triển nhị thức Newton:

Nếu ta coi (x + a)n như là tích của n thừa số (x + a)(x + a) · · · (x + a), thì khi đó

Ký hiệu

Định nghĩa 2.2 (xem [1]) Giả sử x1, x2, , xn là các bộ n số thực không âm (ký hiệu bởi

2 P

1 3

1 3

Nhận xét 2.1 Ta dễ dàng chứng minh được Pr−1Pr+1 < Pr2 bằng phương pháp quy nạp

tạo bởi n − 1 số ấy và giả sử tất cả các số đấy không đồng thời bằng nhau Khi đó

Từ bất đẳng thức (2.11), ta thu được bất đẳng thức sau

2.2 Một số bài toán về bất đẳng thức trong tính toán tổ

hợp

2.2.1 Phép biến đổi tương đương, phương pháp làm trội, làm giảm

Bài toán 2.3 Chứng minh rằng nếu n và k là hai số tự nhiên thỏa mãn 0 ≤ k ≤ n thì

2n)2.Nhận xét 2.2 Để chứng minh bất đẳng thức này ta sử dụng phép biến đổi tương đương

Thay x = 2 vào bất đẳng thức (2.13), ta được

Ta có (2.16)⇔ 2k < 2k!.

Vì 2 < 3 ≤< k + 1 nên ta có

2k! < (k + 1)k! = (k + 1)! ⇒ 2k < (k + 1)!

Vậy (2.17) đúng

Suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 2.6 Chứng minh rằng

 1n

Nhận xét 2.6 Để giải bài toán trên, ta đã sử dụng công thức nội suy Lagrange và công thứctính tổng của các số tổ hợp.

abcd.

Chương 3 Các dạng toán cực trị liên quan đến tổ hợp trong dãy số

Trong chương này, tác giả sử dụng các tài liệu tham khảo [1], [4], [5] và [7]

3.1.1 Dãy sinh bởi hàm số

Trong phần này, ta đề cập đến một bài toán liên quan đến dãy số và dãy hàm thường xuấthiện từ khai triển hàm số đã cho thành chuỗi (không nhất thiết là chuỗi lũy thừa hoặc chuỗilượng giác) Tuy nhiên, ta chỉ nêu một vài kỹ thuật chính thống gắn với ước lượng các biểuthức giải tích và đại số đơn giản

Từ khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa, ta có một số bất đẳng thức được kiểm chứngthông qua khảo sát hàm số

f(2n+1)(x) 6= 0 với mọi x ∈ (a, b), đều tồn tại đa thức P2n(x) bậc không quá 2n sao cho hàm số

Chứng minh Cách chứng minh dựa vào khai triển Taylor tới cấp 2n + 1 đối với hàm f (x)

hoặc luôn âm trong khoảng (a, b)

(2n+1)(x1)

trong khoảng (a, b)

Tương tự ta có kết luận sau đây

Định lý 3.2 (xem [1]) Với mọi hàm số f (x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2n, (n ∈ N∗) và

Chứng minh Cách chứng minh dựa vào công thức khai triển Taylor tới cấp 2n đối với hàm

hoặc luôn âm trong khoảng (a, b)

Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học

Với n = 2 ta thu được đẳng thức hiển nhiên

Từ giả thiết f (x) là hàm lồi, ta có:

Bài toán 3.1 Cho dãy số {ak} sao cho ứng với mỗi số tự nhiên n cho trước thì đa thức sinh

i

Ck−1n−1

Ta suy ra điều phải chứng minh

3.1.2 Ước lượng tích và tổng của một số dãy số

Nội dung phần này nhằm trình bày một số bài toán về ước lượng cũng như tính tổng vàtích của một số dãy đặc biệt có liên quan đến các cấp số bằng các phương pháp truyền thống

như quy nạp toán học, sử dụng đạo hàm, tích phân, biến đổi đại số,sử dụng tính chất của sốphức,

Ta nêu một dạng khác của bất đẳng thức Bernoulli

Từ đây ta thu được bất đẳng thức Bernoulli (bậc nguyên) quen biết

,

n − 1

Để ý rằng

n

Từ đây, ta thu được bất đẳng thức

Bài toán 3.7 Chứng minh bất đẳng thức

1

5 2n+1

Bài toán 3.8 (APMO 1990) Cho dãy số dương a1, a2, , an Gọi Sk tổng tất cả các tích của

k số lấy từ dãy đã cho Chứng minh rằng

Nhận xét 3.2 Để giải bài toán này trước hết ta phải tìm ra n, rồi tìm số hạng tổng quát của

Lời giải Xét một bộ bất kì n số nguyên dương a1, a2, , an có tổng bằng 2009

tăng lên

+) Nếu có ba số 2, thế ba số đó bằng hai số 3 thì tổng không đổi, tích tăng lên

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số F (x) trên [0; 1]

Nhận xét 3.3 Để giải bài toán này, trước hết ta phải sử dụng các tính chất của các số tổhợp, công thức khai triển nhị thức Newton để rút gọn hàm số F (x)

Bài toán 3.13 (Canada 1997) Hãy viết tổng



Bài toán 3.15 Trong một cuộc thi có 11 thí sinh tham gia giải 9 bài toán Hai thí sinh bất

kì giải chung với nhau không quá 1 bài Tìm k lớn nhất để mọi bài có ít nhất k thí sinh giảiđược

i<j

Do đó k ≤ 3 Với k = 3 ta chỉ ra như sau:

Quy ước:

Số 1 là thí sinh giải được bài đó

Số 0 là thí sinh không giải được bài đó

KẾT LUẬN

Luận văn "BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ

TỔ HỢP” đã giải quyết được những vấn đề sau:

1 Luận văn đã trình bày chi tiết một số dạng toán liên quan đến tổ hợp, phát biểu

và chứng minh các tính chất cơ bản trong tổ hợp và xét các áp dụng liên quan trongđại số, số học và hình học

2 Trình bày các dạng toán về bất đẳng thức và cực trị liên quan đến tổ hợp

3 Cuối cùng, luận văn trình bày các đề toán thi học sinh giỏi trong nước, Olympickhu vực và quốc tế liên quan đến tổ hợp

TÀI LIỆU THAM KHẢO

A Tiếng Việt

[1] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức, định lí và áp dụng, NXB Giáo dục

[2] Nguyễn Văn Mậu (2007), Đa thức đại số và phân thức hữu tỷ, NXB Giáo dục

[3] Nguyễn Văn Mậu (2010), Số phức và áp dụng, NXB Giáo dục

[4] Lê Hoành Phò, Nguyễn Văn Nho, Nguyễn Tài Chung (2013), Chuyên khảo đa thức, NXBĐại học Quốc gia Hà Nội

[5] Ban tổ chức kì thi Tổng tập đề thi Olympic 30 tháng 4 Toán học 10 (2002-2012), NXBĐại học Sư phạm

[6] Hà Văn Chương (2002), 342 bài toán giải tích tổ hợp, NXB Giáo dục

[7] Tủ sách Toán học tuổi trẻ, Các bài thi Olympic Toán trung học phổ thông Việt Nam(1990-2006), NXB Giáo dục

B Tiếng Anh

[8] Luis Comlet (1974), Advanced combinatorics, D.Reidel Pub Com

[9] Titu Andreescu, Zuming Feng (2002), 102 combinatorial problems from the training of theUSA IMO team

... văn "BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ

TỔ HỢP” giải vấn đề sau:

1 Luận văn trình bày chi tiết số dạng toán liên quan đến tổ hợp, phát biểu

và chứng minh... biểu

và chứng minh tính chất tổ hợp xét áp dụng liên quan trong? ?ại số, số học hình học

2 Trình bày dạng toán bất đẳng thức cực trị liên quan đến tổ hợp

3 Cuối cùng, luận văn... sửdụng bất đẳng thức đại số để chứng minh

Trong chương 2, tác giả sử dụng tài liệu tham khảo [1], [2], [4] [6]

là số khơng âm Khi

Bất đẳng thức 2.1 cịn gọi tắt bất đẳng thức