Bất đẳng thức cauchy schwarz cho tích phân và ứng dụng giải toán bất đẳng thức tích phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠNTRẦN NGỌC TUẤN BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ CHO TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2020... 8 2 Ứng d

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRẦN NGỌC TUẤN

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ CHO TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2020

TRẦN NGỌC TUẤN

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ CHO TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8460113

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS DƯƠNG VIỆT THÔNG

Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏicủa bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy TS Dương Việt Thông.Mọi kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác nếu có đềuđược trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo

vệ tại bất kỳ một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hềđược công bố trên bất kỳ một phương tiện nào Tôi xin chịu trách nhiệm

về những lời cam đoan trên

Bình Định, ngày 3 tháng 8 năm 2020

Tác giả luận văn

Trần Ngọc Tuấn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơnchân thành tới TS Dương Việt Thông, người đã trực tiếp hướng dẫn

và chỉ bảo tận tình tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong trường đạihọc Quy Nhơn đã tạo điều kiện và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong khoá Caohọc này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến GS.TSKH Phạm Kỳ Anh đã đọc bảnluận văn và cho những ý những nhận xét sâu sắc để luận văn hoàn thiệnhơn

Tôi cũng chân thành cảm ơn đến bạn bè và gia đình, những người luônluôn bên cạnh hỗ trợ và động viên trong suốt thời gian làm luận văn này.Mặc dù đã rất cố gắng nhiều nhưng do kiến thức bản thân còn hạn chếluận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi mong nhận được ý kiếncủa thầy cô, bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn

Bình Định, ngày 3 tháng 8 năm 2020

Tác giả luận văn

Trần Ngọc Tuấn

Mở đầu 1

1 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân 3

1.1 Tích phân 3

1.1.1 Định nghĩa tích phân xác định 3

1.1.2 Tính chất của tích phân xác định 4

1.2 Một số phương pháp tính tích phân 5

1.2.1 Phương pháp đổi biến số 5

1.2.2 Phương pháp tích phân từng phần 5

1.3 Bất đẳng thức AM - GM 5

1.4 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 7

1.5 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân 8

2 Ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz trong giải toán về tích phân và bất đẳng thức tích phân 9 2.1 Ứng dụng giải toán tích phân 9

2.2 Ứng dụng giải toán bất đẳng thức tích phân 19

Mở đầu

Bất đẳng thức là một nội dung lâu đời và quan trọng của Toán học Bấtđẳng thức là một lĩnh vực khó trong chương trình toán học phổ thông.Ngay từ đầu, sự ra đời và phát triển của bất đẳng thức đã đặt dấu ấn quantrọng, chúng có sức hút mạnh mẽ đối với những người yêu toán, không chỉ

ở vẻ đẹp hình thức mà cả những bí ẩn nó mang đến luôn thôi thúc ngườilàm toán phải tìm tòi, sáng tạo Bất đẳng thức còn có nhiều ứng dụngtrong các môn khoa học khác và trong thực tế Dạng toán về bất đẳngthức nói chung và bất đẳng thức tích phân thường có mặt trong các kì thituyển sinh đại học, các kỳ thi Olympic toán Quốc tế, các kì thi OlympicToán Sinh viên trong nước và thế giới

Có rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, mỗi phương pháplại có những vẻ đẹp và sự độc đáo riêng Ngay cả khi áp dụng cùng mộtphương pháp thì cái hay của bài toán lại phụ thuộc vào kĩ thuật linh hoạtcủa từng người sử dụng Do vậy, khó có thể nói rằng một phương phápchứng minh bất đẳng thức nào đó đã chiếm vị trí quan trọng trong Giảitích toán học

Một trong những bất đẳng thức cổ điển quan trọng là bất đẳng thứcCauchy-Schwarz và các ứng dụng của nó Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

từ khi ra đời đến nay đã luôn được các nhà toán học lỗi lạc nghiên cứu vàphát triển Chúng ta đã gặp nhiều sự kết hợp của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với các bất đẳng thức khác hoặc trong hình học Trong luận văn

này, tác giả xin trình bày một hướng tiếp cận của bất đẳng thức Schwarz: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân và ứng dụng giảitoán Bất đẳng thức tích phân.

Cauchy-Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phânTrong chương này luận văn trình bày các nội dung về tích phân, tínhchất của tích phân; Bất đẳng thức Cauchy; Bất đẳng thức AM-GM; Bấtđẳng thức Cauchy - Schwarz; Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tíchphân

Chương 2: Ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy - Schwarztrong giải toán về tích phân và bất đẳng thức tích phân

Trong chương này chúng tôi trình bày ứng dụng của bất đẳng thứcCauchy-Schwarz trong việc giải một số bài toán tích phân thường dùngtrong chương trình thi đại học cũng như giải toán bất đẳng thức tích phânthường xuất hiện trong các kỳ thi Olympic Toán Sinh viên trong và ngoàinước

Trong khuôn khổ của luận văn này, tôi chỉ trình bày một số vấn đề liênquan tới bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân, đưa ra một số ứngdụng, cách chứng minh thông qua những bài tập cụ thể

Z b a

f (x)dx

Vậy

Z b a

1.1.2 Tính chất của tích phân xác định

Giả sử f, g là các hàm số khả tích trên đoạn [a; b] Khi đó ta có:

Z a a

f (x)dx = 0

Z b a

f (x)dx = −

Z a b

f (x)dx

Z b a

kf (x)dx = k

Z b a

f (x)dx (k là hằng số)

Z b a

f (x)dx =

Z b a

f (t)dt

Z b a

f (x)dx +

Z c b

f (x)dx =

Z c a

f (x)dx, ∀b ∈ [a, c]

Z b a

[f (x) ± g(x)] dx =

Z b a

f (x)dx ±

Z b a

g(x)dx

Nếu f (x) > 0 với mọi x ∈ [a; b] thì

Z b a

f (x)dx > 0

Nếu f (x) ≥ g(x) với mọi x ∈ [ab] thì

Z b a

f (x)dx ≥

Z b a

g(x)dx

Định lý 1 (Công thức Newton-Leibniz) Cho hàm số f liên tục trênđoạn [a; b] Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số f trên đoạn [a; b].Khi đó ta có

Z b a

f (x)dx = F (x)

1.2 Một số phương pháp tính tích phân

1.2.1 Phương pháp đổi biến số

Cho f là hàm số liên tục và u có đạo hàm liên tục trong khoảng (c; d)

sao cho hàm số hợp f ◦ u xác định trên (c; d) Khi đó

Z b a

f [u(x)] u0(x)dx =

Z u(b) u(a)

u(x)v0(x)dx = u(x)v(x)

b

a

−

Z b a

Ta sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh (1.2)

- Với n = 1, bất đẳng thức hiển nhiên đúng

- Giải sử bất đẳng thức đúng với n (n ≥ 1) tức với mọi a1, a2, , an ≥ 0

(an− α)(α − an+1) > 0 (1.3)Xét n số a1, a2, , an−1, an trong đó

(an+ an+1− α)α − anan+1 = (an − α)(α − an+1) > 0

Suy ra

(an+ an+1− α)α > anan+1

a0nα > anan+1 (1.5)Hiển nhiên ta có α > 0 Nếu có ít nhất một trong các số a1, a2, , an−1

bằng không, dễ thấy bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng vàdấu bằng không xảy ra

Xét các trường hợp còn lại kết hợp với (1.4) và (1.5) thu được

αn+1 > (a1.a2 an−1)(an.an+1) = a1.a2 an.an+1

Từ đó (1.2) được giải quyết hoàn toàn

Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz được chứng minh.

1.5 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân

Định lý 3 Cho f, g : [a; b] → R là các hàm khả tích trên đoạn [a; b].Khi đó ta luôn có

Z b a

f2(x)dx

Z b a

g2(x)dx ≥

Z b a

f (x)g(x)dx

2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f = kg với số thực k 6= 0

Chứng minh Với t ∈ R xét bình phương ta luôn có

Z b a

f (x)g(x)dx



t+

Z b a

∆0 =

Z b a

f (x)g(x)dx

2

−

Z b a

f2(x)dx

Z b z

g2(x)dx ≤ 0

Vì vậy

Z b a

f2(x)dx

Z b a

g2(x)dx ≥

Z b a

Chương 2

Ứng dụng của bất đẳng thức

Cauchy - Schwarz trong giải toán

về tích phân và bất đẳng thức tích phân

2.1 Ứng dụng giải toán tích phân

Trong mục này này chúng tôi trình bày ứng dụng của bất đẳng thứcCauchy-Schwarz trong việc giải một số bài toán tích phân thường dùngtrong các kì thi tuyển sinh đại học

Bài toán 1 ([3]) Cho hàm số f có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b] thoảmãn

f (1) = 0,

Z 1 0

[f0(x)]2dx = 7 và

Z 1 0

x3d(f (x)) = x3f (x)

1

0

−

Z 1 0

cos

πx2



d(f (x))

!

= 2π

Z 1 0



sinπx2

2

dx

Z 1 0

(f (x))2dx =9

4.

Do đó dấu “=” phải xảy ra, tức làf (x) = k sinπx

2 , thay ngược lại giả thiết

Z 1 0

πk

2 cos

πx2

f (x)dx =

Z 1 0

bằng

A.1 B.4 C.√

e D.e.Lời giải

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có

xdx

Z 1 0

x2.xf (x)dx

2!2

6

Z 2 1

x4dx

3Z 21

f4(x)dx

Do đó

Z 2 1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f (x) = kx Do đó

k

Z 2 1

x2f (x)dx = 8

15 và

Z 2 0

[f0(x)]4dx = 32

5 .

Giá trị của tích phân

Z 2 0

x3d(f (x)) = x3f (x)

2

0

−

Z 2 0

f (x)d(x3)

= 8 − 3

Z 2 0

4

=

Z 2 0

x3f0(x)dx

4

=

Z 2 0

x2.xf0(x)dx

4

6

Z 2 0

x4dx

3

Z 2 0

f (x)dx =

Z 2 0

xd (f (x)) = (xf (x))

1

0

−

Z 1 0



(1 − x)2 + 1dx +

Z 1 0

x

x − 2(f

0(x))2dx

2

=

Z 1 0

x(2 − x)dx

Z 1 0

x

2 − x(f

0(x))2dx

= 23

Z 1 0

f2(x)dx =

Z 1 0

2.2 Ứng dụng giải toán bất đẳng thức tích phân

Trong mục này luận văn trình bày ứng dụng bất đẳng thức Schwarz cho tích phân để giải quyết một số bài toán trong các đề thi học

Cauchy-sinh giỏi cũng như đề thi Olympic toán Sinh viên trong và ngoài nước.

Qua đó chúng ta thấy được ứng dụng hay, tinh tế của việc áp dụng bất

đẳng thức Cauchy-Schwarz trong giải toán bất đẳng thức tích phân

Bài toán 1 (RMC 1997) Chứng minh rằng với mọi hàm số liên tục

“=” xảy ra khi dấu “=” ở các bất đẳng thức (2.3) và (2.4) xảy ra, điều này

có nghĩa là g(x) = b và h(x) = ax, a, b là các hằng số, nghĩa là f là hàmtuyến tính

Bài toán 2 (Bài toán tổng quát)

Cho b > 0; m 6= 0; n ∈ R Chứng minh rằng với mọi hàm số liên tục

f (x)dx

Z 1 0

x4f (x)dx 6 4

15

Z 1 0

f2(x)dx >

Z 1 0

(ax4 + b)f (x)dx

2

=

Z 1 0

ax4f (x)dx +

Z 1 0

bf (x)dx

2

> 4ab

Z 1 0

f (x)dx

Z 1 0

x4f (x)dx

Mặt khác

Z 1 0

f2(x)dx >

Z 1 0

f (x)dx

Z 1 0

x4f (x)dx ∀a, b 6= 0

Chọn a = 1, b = 1

3 ta có yêu cầu bài toán.

Bài toán 4 (Mathematical Reflections, No.1 (2008))

Cho f : [0, 1] → R là một hàm số khả tích sao cho

Z 1 0

xf (x)dx = 0.Chứng minh rằng

Z 1 0

f2(x)dx ≥ 4

Z 1 0

(f (x) + ax)2dx ≥

Z 1 0

xf (x)dx + a2

Z 1 0

x2dx ≥

Z 1 0

f (x)dx + a

Z 1 0

f2(x)dx > 4α2 Do đó ta có điều phải chứngminh

Bài toán 5 ([5]) Cho f : [0, 1] → R là hàm số khả tích sao cho

Z 1 0

f (x)dx = 3 và

Z 1 0

xf (x)dx = 2

Chứng minh rằng

Z 1 0

f2(x)dx

Z 1 0

Do đó

Z 1 0

f2(x)dx ≥ 12 Vậy ta có điều phải chứng minh.Bài toán 6 ([5]) Cho f : [0, 1] → R là hàm số khả vi liên tục hai lần sao

cho f (0) = f (1) = 0, f0(0) = a Chứng minh rằng

Z 1 0

(1 − x)2dx

Z 1 0

(f00(x))2dx (2.5)Hơn nữa sử dụng tích phân từng phần

Z 1

0

(1 − x)f00(x)dx = (1 − x)f0(x)

1

0

+

Z 1 0

f0(x)dx = −1

và

Z 1 0

(1 − x)2dx = 1

3.

Do đó

Z 1 0

Bài toán 7 ([5]) Cho f : [0, 1] → R là hàm số khả vi và có đạo hàm f

liên tục trên [0, 1] Chứng minh rằng nếu f (1) = f (0) = 0 thì

Z 1 0

(f0(x))2dx ≥ 12

Z 1 0

(a + x)2dx

Z 1 0

xf0(x)dx

2

≤

Z 1 0

(a2 + 2ax + x2)dx

Z 1 0

(f0(x))2dx ≥ 12

Z 1 0

với λ nào đó trong

(f0(x))dx ≥ 12

Z 1 0

f (x)dx

2

1 2

Z 12

0

(f0(x))2dx (2.7)Tương tự ta lại có

Z 1

1 2

f (x)dx

!2

≤ 124

Z 1

1 2(f0(x))2dx (2.8)Cộng các bất đẳng thức (2.7) và (2.8) ta được

f (x)dx

!2

≤ 124

Z 1 0

f (x)dx

!2

≥ 12

f (x)dx

!

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Bài toán 9 ([6]) Chof : [0, 1] → R là hàm số liên tục sao cho

Z 1 0

f (x)dx =

0 Chứng minh rằng

Z 1 0

f2(x)dx ≥ 12

Z 1 0

xf (x)dx

2

Lời giải 1

Lấy b ∈ R, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có

x2dx

Z 1 0

Z 1 0

f2(x)dx ≥ −b2 + 12α.b + 12α2



α =

Z 1 0

f2(x)dx > 48α2 Từ đó

Z 1 0

f2(x)dx ≥ 12

Z 1 0

!2

≤ 124

Z 1

1 2(f (x))2dx

!2

≤ 124

Z 1 0

(1 − x).f0(x)dx = −1

2f



12



+

Z 1

1 2

!2

≥ 12

!

= 12

Z 1

1 2

(f0(x))2dx ≥ 12

Z 1 0

f (x)dx

2

Bài toán 10 (Amer Math Monthly, Problem 11417)

Cho f : [0, 1] → R là hàm số khả vi liên tục sao cho

Z 23

1 3

f (x)dx = 0.Chứng minh rằng

Z 1 0

(f0(x))2dx ≥ 27

Z 1 0

1 3

Z 23

1 3(1 − 2x)f0(x)dx = (1 − 2x)f (x)

... 2

Ứng dụng bất đẳng thức< /h2>

Cauchy - Schwarz giải tốn

về tích phân bất đẳng thức tích phân< /h2>

2.1 Ứng dụng giải tốn tích phân

Trong... 1 0

2.2 Ứng dụng giải tốn bất đẳng thức tích phân

Trong mục luận văn trình bày ứng dụng bất đẳng thức Schwarz cho tích phân để giải số toán đề thi học

Cauchy- sinh giỏi đề thi Olympic toán Sinh viên ngồi nước.

Qua thấy ứng dụng hay, tinh tế việc áp dụng bất

đẳng thức Cauchy- Schwarz giải tốn bất đẳng thức tích phân

Bài toán