Bất đẳng thức cauchy schwarz cho tích phân và ứng dụng giải toán bất đẳng thức tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN NGỌC TUẤN BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ CHO TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN NGỌC TUẤN BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ CHO TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 8460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS DƯƠNG VIỆT THÔNG LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy TS Dương Việt Thông Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Bình Định, ngày tháng năm 2020 Tác giả luận văn Trần Ngọc Tuấn LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Dương Việt Thông, người trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình tơi q trình hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo, cô giáo trường đại học Quy Nhơn tạo điều kiện nhiệt tình giúp đỡ tơi khố Cao học Tôi xin gửi lời cảm ơn đến GS.TSKH Phạm Kỳ Anh đọc luận văn cho ý nhận xét sâu sắc để luận văn hồn thiện Tơi chân thành cảm ơn đến bạn bè gia đình, người ln ln bên cạnh hỗ trợ động viên suốt thời gian làm luận văn Mặc dù cố gắng nhiều kiến thức thân hạn chế luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến thầy cô, bạn bè để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Bình Định, ngày tháng năm 2020 Tác giả luận văn Trần Ngọc Tuấn Mục lục Mở đầu 1 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân 1.1 Tích phân 1.1.1 Định nghĩa tích phân xác định 1.1.2 Tính chất tích phân xác định Một số phương pháp tính tích phân 1.2.1 Phương pháp đổi biến số 1.2.2 Phương pháp tích phân phần 1.3 Bất đẳng thức AM - GM 1.4 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 1.5 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân 1.2 Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz giải tốn tích phân bất đẳng thức tích phân 2.1 Ứng dụng giải tốn tích phân 2.2 Ứng dụng giải tốn bất đẳng thức tích phân 19 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Mở đầu Bất đẳng thức nội dung lâu đời quan trọng Toán học Bất đẳng thức lĩnh vực khó chương trình tốn học phổ thông Ngay từ đầu, đời phát triển bất đẳng thức đặt dấu ấn quan trọng, chúng có sức hút mạnh mẽ người u tốn, khơng vẻ đẹp hình thức mà bí ẩn mang đến ln thơi thúc người làm tốn phải tìm tịi, sáng tạo Bất đẳng thức cịn có nhiều ứng dụng mơn khoa học khác thực tế Dạng toán bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức tích phân thường có mặt kì thi tuyển sinh đại học, kỳ thi Olympic tốn Quốc tế, kì thi Olympic Toán Sinh viên nước giới Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, phương pháp lại có vẻ đẹp độc đáo riêng Ngay áp dụng phương pháp hay tốn lại phụ thuộc vào kĩ thuật linh hoạt người sử dụng Do vậy, khó nói phương pháp chứng minh bất đẳng thức chiếm vị trí quan trọng Giải tích tốn học Một bất đẳng thức cổ điển quan trọng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz từ đời đến ln nhà tốn học lỗi lạc nghiên cứu phát triển Chúng ta gặp nhiều kết hợp bất đẳng thức CauchySchwarz với bất đẳng thức khác hình học Trong luận văn này, tác giả xin trình bày hướng tiếp cận bất đẳng thức CauchySchwarz: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ứng dụng giải tốn Bất đẳng thức tích phân Luận văn gồm chương: Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân Trong chương luận văn trình bày nội dung tích phân, tính chất tích phân; Bất đẳng thức Cauchy; Bất đẳng thức AM-GM; Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz; Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân Chương 2: Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz giải tốn tích phân bất đẳng thức tích phân Trong chương chúng tơi trình bày ứng dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz việc giải số tốn tích phân thường dùng chương trình thi đại học giải tốn bất đẳng thức tích phân thường xuất kỳ thi Olympic Tốn Sinh viên ngồi nước Trong khn khổ luận văn này, tơi trình bày số vấn đề liên quan tới bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân, đưa số ứng dụng, cách chứng minh thông qua tập cụ thể Chương Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân 1.1 1.1.1 Tích phân Định nghĩa tích phân xác định Cho hàm số f xác định [a; b], chia đoạn [a; b] cách tùy ý thành n đoạn nhỏ điểm chia a = x0 < x1 < < xn = b Đặt d = max{xi − xi−1 : i = 1, , n} Trên đoạn [xi−1 ; xi ] lấy điểm ξi (i = 1, , n) tùy ý Lập tổng n f (ξi )(xi − xi−1 ) Sn = i=1 gọi tổng tích phân hàm số f đoạn [a; b] Nếu Sn có giới hạn hữu hạn I n → +∞ cho d → I không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a; b] cách lấy điểm ξi I gọi tích phân xác định hàm số f đoạn [a; b] ký hiệu b f (x)dx a Vậy n b f (ξi )(xi − xi−1 ) f (x)dx = lim a n→+∞ i=1 Khi ta nói f khả tích đoạn [a; b] 1.1.2 Tính chất tích phân xác định Giả sử f, g hàm số khả tích đoạn [a; b] Khi ta có: a f (x)dx = a b a f (x)dx = − a f (x)dx b b b kf (x)dx = k a b b f (x)dx = a f (t)dt a c b f (x)dx + a f (x)dx (k số) a c b f (x)dx, ∀b ∈ [a, c] f (x)dx = b a b [f (x) ± g(x)] dx = a b f (x)dx ± a g(x)dx a b Nếu f (x) > với x ∈ [a; b] f (x)dx > a b Nếu f (x) ≥ g(x) với x ∈ [ab] b f (x)dx ≥ a g(x)dx a Định lý (Công thức Newton-Leibniz) Cho hàm số f liên tục đoạn [a; b] Giả sử F nguyên hàm hàm số f đoạn [a; b] Khi ta có b b = F (b) − F (a) f (x)dx = F (x) a a Định lý (Tính khả vi hàm cận trên) Nếu f hàm liên tục đoạn [a; b] hàm số F xác định x F (x) = f (t)dt a khả vi x ∈ [a; b] F (x) = f (x) 1.2 1.2.1 Một số phương pháp tính tích phân Phương pháp đổi biến số Cho f hàm số liên tục u có đạo hàm liên tục khoảng (c; d) cho hàm số hợp f ◦ u xác định (c; d) Khi b u(b) f [u(x)] u (x)dx = f (u)du, a u(a) với a, b ∈ (c; d) 1.2.2 Phương pháp tích phân phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] b b b u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − a 1.3 a v(x)u (x)dx a Bất đẳng thức AM - GM Với số thực không âm a1 , a2 , , an (n ≥ 2) ta có √ a1 + a2 + + an ≥ n a1 a2 .an n (1.1) Dấu ” = ” xảy a1 = a2 = = an Chứng minh Đặt a1 + a2 + + an n Khi bất đẳng thức (1.1) tương đương với α= αn ≥ a1 a2 .an Ta sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh (1.2) - Với n = 1, bất đẳng thức hiển nhiên (1.2) 26 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có 2 ≤ xf (x)dx x dx 0 ⇔ xf (x) − f (x)2 dx 2 ≤ 24 f (x) dx (f (x))2 dx 0 ⇔ 2 ≤ 24 (f (x))2 dx (f (x))2 dx (2.7) Tương tự ta lại có f (x)dx 1 ≤ 24 (f (x))2 dx (2.8) Cộng bất đẳng thức (2.7) (2.8) ta 2 f (x)dx f (x)dx + ≤ 24 (f (x))2 dx Mặt khác áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 2 f (x)dx + f (x)dx ≥ 2 f (x)dx + f (x)dx Từ ta có điều phải chứng minh Bài tốn ([6]) Cho f : [0, 1] → R hàm số liên tục cho f (x)dx = 0 Chứng minh f (x)dx ≥ 12 Lời giải 2 xf (x)dx 27 Lấy b ∈ R, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có 1 ⇔ b xf (x)dx + 2 ≤ x(f (x) + b)dx (f (x) + b)2 dx x dx 0 1 ≤ b2 f (x)dx + 1 f (x)dx ≥ −b2 + 12α.b + 12α2 α = ⇔ xf (x)dx 0 f (x)dx Thay b = 6α ta thu 48α2 Từ 2 f (x)dx ≥ 12 xf (x)dx Đây bất đẳng thức cần chứng minh Lời giải Ta có 2 xf (x)dx ≤ 24 (1 − x)f (x)dx (f (x))2 dx 1 ≤ 24 (f (x))2 dx Do 2 xf (x)dx (1 − x)f (x)dx + ≤ 24 (f (x))2 dx Mặt khác x.f (x)dx = f 2 − f (x)dx 1 (1 − x).f (x)dx = − f 2 + f (x)dx Ta có 2 xf (x)dx (1 − x)f (x)dx + (2.9) 28 ≥ (1 − x).f (x)dx xf (x)dx + 2 1 = f (x)dx (2.10) Từ (2.9) (2.10) ta có 2 (f (x)) dx ≥ 12 f (x)dx Bài toán 10 (Amer Math Monthly, Problem 11417) Cho f : [0, 1] → R hàm số khả vi liên tục cho f (x)dx = Chứng minh 2 (f (x)) dx ≥ 27 f (x)dx Lời giải Ta có 3 − xf (x)dx = xf (x) 0 f (x)dx = f 3 − f (x)dx (2.11) 3 (1 − 2x)f (x)dx = (1 − 2x)f (x) +2 f (x)dx 3 =− f 3 − f 3 (2.12) 1 (x − 1)f (x)dx = (x − 1)f (x) − = f 3 f (x)dx 3 − f (x)dx (2.13) 29 Cộng (2.11), (2.12) (2.13) ta 3 xf (x)dx + (1 − 2x)f (x)dx + (x − 1)f (x)dx = − f (x)dx (2.14) Mặt khác ta lại có xf (x)dx ≥ 81 (f (x))2 dx (2.15) (f (x))2 dx (2.16) 2 xf (x)dx 3 ≥ 81 (x − 1)f (x)dx 1 ≤ 81 (f (x))2 dx (2.17) Cộng bất đẳng thức (2.15), (2.16) (2.17) ta xf (x)dx (x − 1)f (x)dx + (x − 1)f (x)dx + 3 1 ≤ 81 (f (x))2 dx (2.18) Mặt khác ta lại có xf (x)dx (x − 1)f (x)dx + = 3 (x − 1)f (x)dx + (x − 1)f (x)dx + xf (x)dx + 2 ≥ (x − 1)f (x)dx f (x)dx (2.19) Từ bất đẳng thức (2.18) (2.19) ta (f (x)) dx ≥ 27 2 f (x)dx 30 Bài toán 11 ([2]) Cho f : [a, b] → R hàm số khả vi liên tục cho f (a) = Chứng minh b b 2 (f (x))2 dx f (x)dx ≤ (b − a) a a Lời giải x f (t)dt, ∀x ∈ [a, b] Ta có f (x) = a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có x f (x) = x ≤ f (t)dt x (f (t)) dt = (x − a) 1dt a a a b Do f (x) ≤ (b − a) x 2 (f (t)) dt a (f (t)) dt a Suy b b 2 (f (t))2 dt (f (x)) dx ≤ (b − a) a a Bài tốn 12 ([2]) Tìm tất hàm số f hàm số khả vi hai lần liên tục [0, 1], thoả mãn f (0) − f (1) = f (1) = 0, f (0) = (f (x))2 dx ≥ Lời giải Cho a ∈ R áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có (x + a)f (x)dx 1 ≤ (f (x))2 dx (x + a) dx 0 = a +a+ (f (x))2 dx Ngoài 1 f (x)dx = −a (x + a)f (x)dx = (x + a)f (x) + 0 Do a2 (f (x)) dx ≥ a2 +a+ (2.20) 31 Cho a = − ta thu (f (x))2 dx ≥ (2.21) Đẳng thức xảy dấu “=” (2.20) (2.21) đồng thời xảy ra, f (x) = α x − với số thực α Từ f (0) = f (1) = f (1) = f (0) = 1, ta tìm f (x) = x3 − 2x3 + x Bài toán 13 (RMC 2007) Cho A := {f : [0, 1] → R| cho f khả vi liên tục f (0) = 0, f (1) = 1} Tìm 1 (1 + x2 ) (f (x))2 dx f ∈A tìm tất hàm A để biểu thức đạt giá trị nhỏ Lời giải Ta có = f (1) − f (0) = f (x)dx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có 1 ≤ f (x)dx 0 Hơn 1 dx (1 + x2 ) 1 (1 + x2 ) (f (x))2 dx √ dx = ln(1 + 2) (1 + x2 ) Do 1 (1 + x2 ) (f (x))2 dx ≥ √ ln(1 + 2) k Dấu “=” xảy f (x) = với k ∈ R ) 12 (1 + x √ Suy f (x) = k ln(x + + x2 ) + c, c số Mặt khác f (0) = √ √ ln(x + + x2 ), ≤ x ≤ f (1) = nên f (x) = ln(1 + 2) 32 Bài toán 14 (Bất đẳng thức Opial) Cho hàm số x(t) ∈ C [0, h] cho x(0) = x(h) = Chứng minh h h h |x(t)x (t)|dt ≤ (x (t))2 dt (2.22) dấu “=” xảy  h   ct ≤ t ≤ , x(t) = h   c(h − t) ≤ t ≤ h Với c số Lời giải (Olech) t h |x (s)|ds z(t) = Đặt y(t) = |x (s)|ds Khi ta có t y (t) = |x (s)| = −z (t) (2.23) |x(t)| ≤ y(t), |x(t)| ≤ x(t), t ∈ [0, h] (2.24) Từ (2.23) (2.24), ta có h h |x(t)x |dt ≤ 0 y(t)y (t)dt = y 2 h h |x(t)x (t)|dt ≤ − h h h z(t)z (t)dt = z 2 h (2.25) (2.26) Cộng (2.25) (2.26), ta có h |x(t)x (t)|dt ≤ h 2 y h + z2 h (2.27) Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có y h h = |x (t)|dt h ≤ h (x (t))dt (2.28) 33 z h h ≤ h 2 (x (t))2 dt (2.29) Từ bất đẳng thức (2.27), (2.28) (2.29) ta bất đẳng thức cần chứng minh Bài toán 15 ([5]) Cho x(t) ∈ C [0, a] cho x(0) = Khi bất đẳng thức sau a a |x(t)x (t)|dt ≤ a (x (t))2 dt (2.30) Hơn dấu “=” xảy x(t) = c.t Lời giải (Mallow) t |x (s)|ds, t ∈ [0, a], |x(t)| ≤ y(t) Điều suy Đặt y(t) = a a y(t)y (t)dt = y (a) |x(t)x (t)|dt ≤ (2.31) Và áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có a (x (t))2 dt ≤a |x (t)|dt y (a) = a (2.32) 0 Kết hợp bất đẳng thức (2.31) (2.32) ta bất đẳng thức cần chứng minh Dấu “=” xảy dấu “=” bất đẳng thức (2.32) xảy và |x (t)| = c, ∀t ∈ [0, a] với c số thực dương đó, ta có x(t) = ct, ∀t ∈ [0, a] Lời giải (Levison) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có a a |x(t)x (t)|dt = t − 21 1 x (s)ds t x (t) dt ≤ (AB) t 0 a t A= t −1 x (s)ds dt (2.33) 34 a t|x (t)|2 dt B= (2.34) Lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta a t |x (s)|2 ds t|x (s)|ds ≤ 0 Điều suy a t a |x (s)|2 ds dt = A≤ 0 (a − t)|x (t)|2 dt (2.35) A+B bất đẳng thức (2.34), (2.35) ta có bất đẳng thức cần chứng minh Từ (AB) ≤ Lời giải (Hua Pederson) Ta có t |x(t) = t |s (s)|ds x (s)ds ≤ 0 điều suy t |x (s)x (s)|ds |x(t)x (t)| ≤ Vậy ta có đánh giá a a t |x (s)x (t)|dsdt |x(t)x (t)|dt ≤ 0 Vì hàm dấu tích phân hàm chẵn nên ta có a t a a |x (s)x (t)|dsdt = 0 |x (s)x (t)|dsdt = 2 a |x (t)|dt a ≤ a |x (t)|2 dt Bài toán 16 ([2]) Cho hàm số f khả vi, liên tục đến cấp [−1; 1] thoả mãn f (0) = Chứng minh [f (x)] dx −1 2 10 f (x)dx −1 35 Lời giải 1 (1 − |x|) f (x)dx = Trước tiên ta chứng tỏ f (x)dx −1 −1 Thật ta có 1 (1 − |x|) f (x)dx = −1 (1 − x)2 (f (x) + f (−x)) dx = (1 − x) (f (x) − f (−x)) (1 − x) (f (x) − f (−x)) dx +2 1 = 2(1 − x) [f (x) + f (−x)] +2 [f (x) + f (−x)] dx 0 =2 f (x)dx −1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có f (x)dx (1 − |x|) f (x)dx = −1 −1 (1 − |x|)4 dx (f (x))2 dx −1 −1 ta có bất đẳng thức chứng minh −1 Bài toán 17 ([2]) Cho f hàm số khả vi liên tục đến cấp hai đoạn Kết hợp với (1 − |x|)4 dx = [0, 2] thoả mãn f (0) − 2f (1) + f (2) = Chứng minh (f (x))2 dx Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có 1 x dx 2 (f (x)) dx xf (x)dx Sử dụng tích phân phần ta có xf (x)dx = 1 − xd(f (x)) = (f (x)x) f (x)dx 36 = f (1) − f (1) + f (0) Suy 1 (f (x))2 dx (f (1) − f (1) + f (0)) Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có 2 (x − 2) dx 2 (x − 2)f (x)dx (f (x)) dx Lại sử dụng tích phân phần ta có 2 (x − 2)f (x)dx = (x − 2)d(f (x)) = (f (x)(x − 2)) − f (x)dx = f (1) − f (2) + f (1) Nên suy (f (x))2 dx (f (1) − f (2) + f (1)) Do cộng bất đẳng thức ta (f (x))2 dx 2 (f (1) − f (1) + f (0)) + (f (1) − f (2) + f (1)) [f (1) − f (1) + f (0) − f (1) + f (2) − f (1)] 1 [f (0) − 2f (1) + f (2)]2 = 2 Bất đẳng thức chứng minh Bài toán 18 ([2]) Cho hàm số f liên tục [0; +∞) Giả sử x f (t)dt x3 , ∀x f (t)dt x2 , ∀x 2 Chứng minh x 37 Lời giải Viết lại giả thiết thành x x t2 dt f (t)dt 0 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có x x tf (t)dt x t dt x tf (t)dt f (t)dt x x t dt Do x t(t − f (t))dt t dt hay F (x) = 0∀x 0 Sử dụng tích phân phân ta có x x x 1 t(t − f (t))dt = d(F (t)) (t − f (t))dt = t t x x F (t) F (t) F (x) = + dt = + t t x 0 x x f (t)dt Do td(t) = x F (t) dt t2 x2 Ta có điều phải chứng minh Bài toán 19 ([2]) Cho f ∈ C[0; 1] thỏa mãn 1 (1 + x2 )3 f (x)dx = √ Chứng minh (1 + x2 )2 f (x)dx > 2π Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có √ = 1 0 1 dx 0 1+x √ π (1 + x2 )2 (1 + x2 )2 f (x)dx (1 + = (1 + x2 )2 f (x) √ (1 + x2 )3 f (x)dx = x2 )4 f (x)dx dx + x2 38 √ Từ π √ = π (1 + x2 )2 f (x)dx Ta có điều phải chứng minh 2π 39 Kết luận Luận văn đạt số kết sau: Luận văn nêu chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân để giải số tốn tích phân Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân để giải số tốn bất đẳng thức tích phân Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân giải số tốn khó liên quan đến tích phân kì thi tuyển sinh đại học, thi Olympic Toán Sinh viên nước quốc tế Kết hợp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân số kiến thức liên quan chứng minh bất đẳng thức Opial 40 Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Việt [1] Trần Văn Hạo, Giải tích 12, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, năm 2014 [2] Kỷ yếu Olympic Toán học Sinh viên năm 2012-2019 [3] Vted.vn Khóa Pro xmax chinh phục nhóm câu hỏi vận dụng cao 2020 mơn Tốn Tài liệu Tiếng Anh [4] Kaczor, W.J., Nowak, M.T (2001) Problems in Mathematical Analysis II: Continuity and Differentiation, Student Mathematical Library, American Mathematical Society, Providence [5] Kaczor, W.J., Nowak, M.T (2003) Problems in Mathematical Analysis III: Integration, Student Mathematical Library, American Mathematical Society, Providence [6] Rumanian Mathematical Competitions 1996-2008 ... Bất đẳng thức Cauchy; Bất đẳng thức AM-GM; Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz; Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân Chương 2: Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz giải tốn tích phân bất đẳng. .. 1.5 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân 1.2 Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz giải tốn tích phân bất đẳng thức tích phân 2.1 Ứng dụng giải tốn tích phân ... tích phân Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz cho tích phân để giải số tốn bất đẳng thức tích phân Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz cho tích phân giải số tốn khó liên quan đến tích phân kì thi