Các phương pháp tính tích phân và những vấn đề liên quan khi dạy học tích phân

Tácăgi Ph măNg căHi u... Tácăgi Ph măNg căHi u... CH NGă2.ăCÁCăPH NGăPHÁPăTệNHăTệCHăPHỂN Ph ng pháp... 1cos lnsin ln... TệCHăPHỂNăC AăHĨMăPHỂNăTH CăH UăT3... 3.7.ăS ăd ngăkhaiătri nă

1

B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT O

TR NGă IăH CăTH NGăLONG -

PH MăNG CăHI U

CÁCăPH NGăPHÁPăTệNHăTệCHăPHỂN VĨăNH NGăV Nă ăLIểNăQUANăKHIăD YăH CăTệCHăPHỂN

LU NăV NăTH CăS TOÁNăH C

Hà N i – N m 2016

B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT O

TR NGă IăH CăTH NGăLONG

-

PH MăNG CăHI Uăậ C00445

CÁCăPH NGăPHÁPăTệNHăTệCHăPHỂN VĨăNH NGăV Nă ăLIểNăQUANăKHIăD YăH CăTệCHăPHỂN

LU NăV NăTH CăS ăTOÁNăH C

MĩăS :ă60ă46ă01ă13

Hà N i – N m 2016

Tôi xin chơn thƠnh c m n th y giáo, TS V ình Ph ng đƣ t n tình

gi ng d y, ch b o vƠ ng h trong su t quá trình lƠm lu n v n c a tôi

Tôi xin chơn thƠnh c m n Ban giám hi u, phòng đƠo t o cùng các th y

cô khoa Toán ậ Tin Tr ng i H c Th ng Long HƠ N i vƠ các b n h c viên l p Cao H c Toán B c Giang đƣ giúp đ , đ ng viên ng h tôi trong

su t quá trình h c t p vƠ hoƠn thƠnh lu n v n

Tôi xin c m n Ban Giám Hi u, t chuyên môn Toán ậ Tin, các đ ng nghi p Tr ng trung h c ph thông Yên D ng s 1 B c Giang đƣ t o đi u

ki n, giúp đ , đ ng viên tôi trong quá trình h c t p vƠ hoƠn thƠnh lu n v n

Tácăgi

Ph măNg căHi u

B NăCAM OAN

Tôi xin cam đoan v tính trung th c, h p pháp c a lu n v n Các k t

qu , s li u trong lu n v n lƠ trung th c không sao chép các tƠi li u khác

Tácăgi

Ph măNg căHi u

5

M CăL C

Trang

M đ u…….……… 6

Ch ng 1 H TH NG KI N TH C C B N ……….8

1.5 Nguyên hƠm…….……….……… ………8

1.6 Tích phơn……… 10

1.7 ng d ng tích phơn tính di n tích hình ph ng……… 14

1.8 ng d ng tích phơn tính th tích kh i tròn xoay……… 14

Ch ng 2 CÁC PH NG PHÁP TệNH TệCH PHÂN……… 16

2.1 Ph ng pháp bi n đ i t ng đ ng 16

2.2 Ph ng pháp đ i bi n s 16

2.3 Ph ng pháp tích phơn t ng ph n 20

Ch ng 3 M T S V N TH NG G P KHI D Y TệCH PHÂN 27

3.1 D ng 1 Tính tích phơn b ng công th c 27

3.2.D ng 2 Tích Phơn c a các hƠm s có m u ch a tam th c b c hai 28

3.3 D ng 3 Tích phơn c a hƠm phơn th c h u t 41

3.4 D ng 4 Tích phơn c a hƠm s l ng giác 56

3.5 D ng 5 Tích phơn c a hƠm s vô t 80

3.6 D ng 6 Tích phơn c a hƠm s ch a d u giá tr tuy t đ i 92

3.7 D ng 7 M t s tích phơn c a hƠm đ c bi t 94

3.8 ng d ng tích phơn tính di n tích hình ph ng 96

3.9 ng d ng tích phơn tính th tích c a kh i tròn xoay 101

3.10 M t s sai l m th ng g p khi gi i toán tích phơn 104

3.11 Gi i bƠi toán tích phơn b ng nhi u cách khác nhau 108

3.12 BƠi t p v n d ng……… 113

K T LU N VÀ KHUY N NGH 120

DANH M C SÁCH THAM KH O 121

M U 1.ăLỦădoăch năđ ătƠi

ph thông thì nguyên hƠm, tích phơn lƠ m t m ng ki n th c r t quan

tr ng trong ch ng trình gi i tích 12 nói riêng vƠ trong toƠn b ch ng trình toán ph thông nói chung Các bƠi toán v tích phơn th ng xuyên xu t hi n trong các đ thi i H c - Cao đ ng tr c đơy vƠ trong kì thi trung h c ph thông Qu c Gia hi n nay

Tuy nhiên trong nhi u n m d y h c tích phơn tôi th y h c sinh th ng

r t khó ti p c n ki n th c v nguyên hƠm, tích phơn Th c t tích phơn ph thông không quá ph c t p mƠ do các em thi u k n ng gi i toán, qua đó d n

đ n nh ng sai l m c b n H n n a m i m t bƠi t p h c sinh th ng ch tìm

ra m t l i gi i trong khi bƠi đó có nhi u cách gi i vƠ các cách gi i đó có th

áp d ng cho nh ng bƠi toán khác

Hi n nay, có r t nhi u tƠi li u vi t v đ tƠi nguyên hƠm tích phơn vƠ các tƠi li u tham kh o đó đƣ đ a ra đ y đ các d ng toán, nh ng ch a chú tr ng

t i nh ng bƠi toán v i nhi u các gi i khác nhau, h th ng bƠi t p t d đ n

khó, qua đó ch a phát tri n đ c n ng l c cho m i đ i t ng h c sinh trong quá trình d y h c Vì v y tôi ch n đ tƠi: “Các ph ng pháp tính tích phơn vƠ

nh ng v n đ liên quan khi d y h c tích phơn’’

v i mong mu n giúp h c sinh ti p c n các bƠi toán v tích phơn m t cách ch

7

+ a ra m t s sai l m th ng g p c a h c sinh khi gi i toán tích phơn

3 iăt ngăvƠăph măviănghiênăc u

+ H c sinh trung h c ph thông

+ Các d ng vƠ ph ng pháp gi i tích phơn dùng d luy n thi trung h c

ph thông Qu c gia vƠ b i d ng h c sinh gi i

4.ăPh ngăphápănghiênăc uă

+ a ra m t s bƠi toán tích phơn gi i b ng nhi u cách khác nhau

+ a ra m t s sai l m th ng g p c a h c sinh khi gi i toán tích phơn

+ a ra m t s bƠi t p áp d ng

CH NGă1 H ăTH NG KI NăTH CăC ăB N

Gi s hƠm s F lƠ m t nguyên hƠm c a hƠm s f trên K Khi đó

a) V i m i h ng s C, hƠm s y = F(x) + C c ng lƠ m t nguyên hƠm c a f trên K;

b) Ng c l i, V i m i nguyên hƠm G c a f trên K thì t n t i m t h ng s C

sao cho G(x) = F(x) + C v i m i x thu c K

+ T đ nh lí 1 ta th y n u F lƠ m t nguyên hƠm c a f trên K thì m i nguyên hƠm c a f trên K đ u có d ng F(x) + C v i C R V y F(x) + C v i C  RlƠ

h t t c các nguyên hƠm c a f trên K, kí hi u f x dx 

x a C a

Cho hƠm s f liên t c trên K vƠ a,b lƠ hai s b t kì thu c K N u F lƠ m t

nguyên hƠm c a hƠm s f trên K thì hi u s F(b) – F(a)

c g i lƠ tích phơn c a hƠm s f t a đ n b vƠ kí hi u lƠ ( )

11

b

b a a

2016 2016

x



1.2 2.ăCácătínhăch tăc aătíchăphơn

Gi s các hƠm s f, g liên t c trên K vƠ a, b, c lƠ các s b t kì thu c K Khi đó ta có:

1.2.2.6 Tích phơn c a hƠm s trên a b; 

cho tr c không ph thu c vƠo

1.2.2.10 N u hai hƠm s f(x) vƠ g(x) liên t c trên a b , ; 

x a

f x

dx f x dxc

liên t c trên đo n [a; b] Di n tích hình thang cong gi i

h n b i các đ ng y f x ,x  a ,x b vƠ tr c hoƠnh lƠ b  

15

xg( y ) 0  y c; d, x , 0 y  c vƠ y  d (c d) quay quanh tr c

Oy lƠ  

d 2 c

CH NGă2.ăCÁCăPH NGăPHÁPăTệNHăTệCHăPHỂN

Ph ng pháp Bi n đ i tích phơn sau đó s d ng b ng nguyên hƠm c b n

f t x t x dx f u du

Cách th c hi n:

u x dx x   , 1 u 1 x   2 u 3.

3 3

2

1 1

3

3 3

4 4

udvuv  vdu

 

2.3.2 Cáchăth căhi n



2.3.4 ăD ng 2:  f x g x dx    Trong đó ( )f x lƠ hƠm đa th c ho c hƠm phơn

th c h u t còng x lƠ m t trong các hƠm: lnax b ;lognax b a ,  0

1

xdx

dv

vx

25

2 2

Nh năxét: Trong tr ng h p nƠy, ta ph i tính tích phơn t ng ph n hai l n sau

đó tr thƠnh tích phơn ban đ u T đó suy ra k t qu tích phơn c n tính

1cos lnsin ln

t    

3 2

1sin lncos ln

Nh năxét: +) Trong d ng nƠy, ta ph i tính tích phơn t ng ph n hai l n sau đó

tr thƠnh tích phơn ban đ u T đó suy ra k t qu tích phơn c n tính

+) Ta có th tính tích phơn nƠy b ng cách t t lnx  hay x et

2 2 0

.1

x dxI

x

xx





2 0

b) m 2  t 2 t t = tmsinu (ho c tmcosu) v i u ;

2 1

.2

dxI

dxJ

Tách tích phơn đƣ cho thƠnh hai tích phơn c a các hƠm s có chung m u lƠ

2

ax bx c , m t tích phơn c a hƠm s có t lƠ đ o hƠm c a tam th c b c

hai, m t tích phơn c a hƠm s có t lƠ h ng s

16 3

x dxJ

2

x dxA

5

dxB

dxI

33

Ta có,

2 1 2

dxJ

5 1

.(1 ) 1

x

e dxI

2 2

x dxI

2(1 2)1

1 3

xdxI

I

uu

1 3

24

xdxA

B

uu

2 2

x x

x

A x2  x 2  3 +

3 2

) 1 )(

x B Ax

+   

3 2

2

x x dx



2 2 2

dxI

1 1

dxI

.1

dxI

3.3 D NG 3 TệCHăPHỂNăC AăHĨMăPHỂNăTH CăH UăT

3 3.1.ăD ng: S ăd ngăh ăs ăb tăđ nh

Gi s c n tìm  

 

P xdx

x

xx

1

21

uu

uu

3

u

duu

3 2

.1

,

4

m m

Nh năxét: B ng cách bi n đ i trên ta bi u di n Iktheo Ik1, nh v y sau k

b c lƠm nh v y ta có k t qu bƠi toán

Ví d 3.3.6 Tính

2

3 2

dxI

;1106.2 2x 3

Tính

1

duI

 



53

Sau đó s d ng ph ng pháp h s b t đ nh đ tách tích phơn

3 3.7.ăS ăd ngăkhaiătri nătaylor

Lý thuy t: a th c fn x có khai tri n Taylor t i đi m x = a lƠ

.1

3.3.8 S ăd ngăcácăph ngăphápăphơnătíchăkhác

Ví d 3.3.8.1 Tính

2 6

2 2

4 1

.1

Nh v y ta đƣ chuy n đ c toƠn b bi u th c d i d u tích phơn theo cos x

vƠ cosd x hay sin x vƠ sind x

57

Ví d 3.4.1.1 Tính 2 6

0sin





Nh năxét: Vì 5 lƠ s l nên ta tách 5 4

cos xcos xcos x

1 cotsin x  x, cot 12

sin

 

x+) N u n l thì ta bi n đ i:

59

Ví d 3.4.2.2 Tính 6 3

0

1.cos

3.4.4 D ng:ăS ăd ngătíchăphơnăliênăk t

tính tích phơn I thi ta đ t thêm J mƠ vi c tính I + J vƠ I – J ho c aI + bJ

Ta có h

1

ln 2

2 44

3.4.6 ăD ng:ăR(sin ,cos )x x dx,V i (sin , cos )R x  x  R(sin ,cos )x x

.cos sin cos

u ta có th chuy n tích phơn c a hƠm s

l ng giác v tích phơn hƠm s h u t ho c vô t

3.4.9 ăD ng:ă sin cos ,

Ví d 3.4.9 Tính 2

0

8sin cos 7

.2sin cos 2

32ln 2sin cos 2 2ln 4 2ln 3 2ln ;

8sin cos

.2cos sin

2 0

2 2cos sin 3 2cos sin

2 0

2cos sin

;2cos sin

Tính 2

0

2

;2cos sin

2 2

1cos x cos xdcosx

40

14

1 cos

Iu

 2    2

4

xx

.(3 1) (5 4)

Gi i: Ta th y m  n 3 ;  2 nên đ t u = 3

4 5

1 3

x



    

1 3 4 5

x

x x

dx

=

8 27

3 1

3 18

3 3 3

4 4 4sin cos 4 4cos cos 8 cos

mn

 

2 2

2

11

2 0

tan 1tan 1

ax    v i s lƠ m u s c a phơn s q

1

.( 1)

dxI

1 3

+ N u tích phơn có d ng  x, x a b  x thì đ t   2

sin

x a  b a t v i

0; 2

dx  t dt

t2

1

33

3

1sin sin sin

sin sin sin

4 cos sin 4 cos sin 4 sin

5 4

tt

xdxx

4 0

Do f x   l trên đo n  ;  nên theo b đ 1.2.3 ta có

3.8 NGăD NGăTệCHăPHỂNăTệNHăDI NăTệCHăHỊNHăPH NG

3.8.1 D ngă1:ăCho hƠm s f(x) liên t c trên đo n [a; b] Tính di n tích hình

ln 22

t 2

1ln

B c 1 Gi i ph ng trình f x g x , gi s có các nghi m trên đo n

[a; b] theo th t t bé đ n l n lƠ x x1, 2, ,xn;

3 9

9 3

y  x  y

0 0

y f x yg x  [v i f x   vƠ g x cùng không ơm (ho c cùng không

d ng)  x x xi; i1, trong đó x xi; i1lƠ 2 nghi m li n nhau c a ph ng trình

x f y xg y  [v i f y   vƠ g y cùng không ơm (ho c cùng không

d ng)  y y yi; i1 trong đó y yi; i1lƠ các nghi m c a ph ng trình

3.10 M TăS ăSAIăL MăTH NGăG PăKHIăGI IăTOÁNăTệCHăPHỂN

Trong quá trình d y h c tích phơn, tôi th y h c sinh th ng m c m t s sai

l m c b n Trong lu n v n nƠy tôi xin trình bƠy m t s sai l m mƠ tôi th ng

g p

Ví d 3.10.1 Tính tích phơn:

2 0

.4

Nguyênănhơnăsaiăl mălƠ: 1;0;1  2 1; 2 1   mƠ khi u = 0 ho c

u = -1 ho c u = 1 thì hƠm s d i d u tích phơn không có ngh a

Nguyênănhơnăsaiăl mălƠ: Khi đ i bi n không đ t đi u ki n cho bi n t vì v y

ng v i m i giá tr c a x thì có nhi u giá tr c a t

2

1 1

2

5 5

sin cossin cos

.1

1 costan

cos

t

dttt

2sincos sin 1

tdt

113

4

2 2

4 2

t

dttt

3.12 B ĨIăT PăV NăD NG

BƠi 3.12.1 Tính các tích phơn sau:

;2

x

dxx

10)

tan 4

2 0

;cos

2 0

sin

;cos

xdxx



22)

4 3

2 4

;4

xdx

x 

 23)

0sin ;x

;(1 )

x dxx



 26)

4 0

tan

;cos

xdxx

27)

/3

4 /6

;sin cos

0

;x

xe dx

 32)

2 2

0sin ;

;cos

xdxx



 36)

1 4

6 0

1

;1

x

dxx

x x dx 38)

2 2

1( 1) ;

x e dx 39)

3 2

0sin tan ;



sin 2

;(1 cos )



45)

3 4

2 0

sin

;cos

x x dx 48)

4cos 3sin

;(cos sin )

0sin tan ;



52)

0(  3 1) ;

 x x dx 54)

0sin ;

4 0

sin

;cos

2sin cos 2

;sin 2cos 3

0

sin ;3

1

;1

;1

xdx

x 

 66)

70) 2

1

ln

;(ln 1)



 75)

ln 2 2

2 0

BƠi 3.12.10 Cho mi n D gi i h n b i hai đ ng :  y 4 x y2; x2 2

Tính th tích kh i tròn xoay đ c t o nên do D quay quanh tr c Ox BƠi 3.12.11 Cho mi n D gi i h n b i các đ ng :  



2 2

21

K TăLU N VĨăKHUY NăNGH

1.ăK tălu n

Lu n v n đƣ đ t đ c m t s k t qu sau:

+ Trình bƠy khái quát v phép tính tích phơn hƠm m t bi n

+ Phơn d ng phép tính tích phơn hƠm m t bi n v i nhi u d ng toán khác nhau

th ng g p trong các đ thi T t nghi p trung h c ph thông, i H c ậ Cao

đ ng, Trung h c ph thông Qu c gia, V i nhi u Ví d vƠ bƠi t p áp d ng

+ a ra m t s sai l m th ng g p khi gi i toán tích phơn

+ a ra m t s bƠi t p tích phơn v i nhi u cách gi i khác nhau v i m c đích giúp h c sinh có nhi u đ nh h ng khi gi i bƠi t p tích phơn

M c dù r t c g ng nh ng lu n v n v n không th tránh thi u sót.R t mong nh n đ c nh ng ý ki n đóng góp đ hi u ch nh lu n v n t t h n c a quý th y cô, b n bè vƠ đ ng nghi p

2.ăKhuy năngh

Hi v ng lu n v n s lƠ m t tƠi li u b ích giúp h c sinh ti p c n bƠi

toán tích phơn đ c d dƠng h n

Lu n v n có th lƠm tƠi li u b i d ng h c sinh thi trung h c ph thông

Qu c Gia, h c sinh gi i toán tr ng trung h c ph thông

121

DANHăM CăSÁCHăTHAMăKH O

[1] Tr n Tu n Anh, (2013), Gi i nhanh bài toán nguyên hàm và tích phân,

NhƠ xu t b n i H c Qu c Gia, ThƠnh Ph H Chi Minh

[2] Lê Th H ng, Nguy n Ki m, H Xuơn Th ng, (2011), Phân lo i và

ph ng pháp gi i toán tích phân, NhƠ xu t b n i H c Qu c Gia, HƠ N i

[3] Nguy n V n L c, Nguy n D ng HoƠng, HoƠng Ng c C nh, Nguy n

Ng c Giang, (2009), Các ph ng pháp đi n hình gi i toán nguyên hàm tích

phân và ng d ng, NhƠ xu t b n i H c Qu c Gia, HƠ N i

[4] Gia ình Lovebook, (2015), Chinh ph c tích phân l ng giác trong

đ thi Qu c Gia thpt, NhƠ xu t b n i H c Qu c Gia, HƠ N i

[5] Bùi quý M i, (2015), Bí quy t ti p c n hi u qu k thi THPT Qu c

Gia tích phân s ph c, NhƠ xu t b n i H c Qu c Gia, HƠ N i

[6] Lê HoƠng Phó, (2008), 1234 bài toán t lu n đi n hình i s Gi i

tích, NhƠ xu t b n i H c Qu c Gia, HƠ N i

[7] Tr n Ph ng, (2014), Tuy n t p các chuyên đ & k thu t tính tích

phân, NhƠ xu t b n i H c Qu c Gia, HƠ N i

[8] Nguy n Thanh Tùng, (2014), 10 tr ng đi m hay g p trong các k thi

Qu c Gia tích phân, NhƠ xu t b n i H c Qu c Gia, HƠ N i

[9] YYLIASKO, ACBOIATRUC,IAGGAI, GPGOLOBAC, (1978),Gi i tích toán h c các Ví d và các bài toán, NhƠ xu t b n i H c vƠ trung h c

chuyên nghi p,HƠ N i