Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và những vấn đề liên quan

S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––– PHẠM ĐỨC CHÍNH BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO LOẠI I VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Thái Nguyên - Năm 2013 S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn i Lời cam đoan Dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của GS.TSKH NguyễnXuân Tấn, luân văn thạc sĩ chuyên ngành toán giải tíchvới đề tài: “Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và những vấn đề liên quan” được hoàn thành từ chính sự nhân thức của bản thân, không trùng với luận văn nào khác. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biêt ơn sâu sắc Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013 Phạm Đức Chính S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn ii Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, người đã tận tình hướng dẫn tôi để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với các thầy cô trường ĐHSP Thái nguyên đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013 Phạm Đức Chính S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn iii MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 1. Lí do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 3 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 3 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3 5. Phương pháp nghiên cứu 3 6. Những đóng góp mới của đề tài 3 CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1. Các không gian thường dùng 4 1.2. Nón và các khái niệm liên quan 11 1.3. Ánh xạ đa trị 13 1.4. Tính liên tục của ánh xạ đa trị 14 1.5. Tính lồi của ánh xạ đa trị 16 1.6. Điểm bất động của ánh xạ đa trị 17 CHƢƠNG 2: BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO LOẠI I 19 2.1. Tổng quan về các loại bao hàm thức tựa biến phân. 19 2.2. Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I 20 2.3. Sự tồn tại nghiệm 21 2.4. Nhận xét 27 2.5. Một số ví dụ 27 S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn iv S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn CHƢƠNG 3: MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 28 3.1. Sự tồn tại nghiệm bài toán bao hàm thức tựa biến phân yếu 28 3.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng Pareto 31 3.3. Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng yếu 33 3.4. Sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu tựa cân bằng Pareto 34 3.5. Bài toán tối ưu tựa cân bằng yếu 36 3.6. Một số ví dụ 37 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 1 S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU 1.Lí do chọn đề tài Lí thuyết tối ưu được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế, lí thuyết giá trị của Edgeworth và Pareto từ cuối thế kỉ 19 và đầu thế kỉ 20.Trong sự phát triển của lý thuyết này có rất nhiều công trình nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau trong các ngành khoa học,đời sống….như: Borel(1921), Von Neuman (1926) đã xây dựng lý thuyết trò chơi dựa trên các khái niệm và kết quả toán học, Koopman (1947) đã đưa ra lý thuyết lưu thông hàng hóa, Hoàng Tụy - Reiner Horst đã đưa ra lý thuyết tối ưu toàn cục …. Lý thuyết tối ưu véctơ là bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu. Sau những công trình của H.W. Kuhn và A.W.Tucker về các điều kiện cần và đủ cho một véctơ thoả mãn các ràng buộc là nghiệm hữu hiệu thỡ tối ưu véctơ trở thành một ngành toán học độc lập và có nhiều ứng dụng trong thực tế và đời sống. Các bài toán cơ bản trong lý thuyết tối ưu véctơ bao gồm: bài toán tối ưu, bài toán cân bằng Nash, bài toán bù, bài toán bất đẳng thức biến phân,bài toán điểm yên ngựa, Bài toán điểm cân bằng được biết đến bởi các công trình của Arrow-Debreu, Nash. Sau đó các công trình này được nhiều nhà toán học sử dụng để xây dựng những mô hình kinh tế từ nửa sau thế kỷ 20. Ky Fan (1972) và Browder-Minty (1978) đã phát biểu và chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng dựa trên các định lý điểm bất động. Năm 1991, Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng một cách tổng quát và tìm cách liên kết bài toán của Ky Fan và Browder - Minty với nhau thành dạng chung cho cả hai. Bài toán được phát biểu ngắn gọn là: tìm ∈ K sao cho f( , x) ≥ 0 với mọi x ∈K, trong đó K là tập cho Trước của không gian, f : K× K→ R là hàm số thực thỏa mãn f(x, x) ≥ 0. Đây là dạng suy rộng trực tiếp của các bài toán cổ điển trong lý thuyết tối ưu véctơ. Khởi đầu người 2 S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn ta nghiên cứu những bài toán liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều này sang không gian hữu hạn chiều khác mà thứ tự được đưa ra bởi nón orthant dương. Sau đó mở rộng sang không gian có số chiều vô hạn với nón bất kỳ. Khái niệm về ánh xạ đa trị đã được xây dựng và phát triển do nhu cầu phát triển của bản thân toán học và các lĩnh vực khoa học khác mà ỏnh xạ đơn trị chưa đáp ứng được. Những định nghĩa, tínhchất, sự phân lớp của ánh xạ đơn trị dần được mở rộng cho ánh xạ đa trị. Từ đó người ta tìm cách chứng minh các kết quả thu được từ đơn trị sang đa trị. Xuất phát từ những vấn đề thực tế trong kinh tế và đời sống một số nhà toán học đã mô hình hóa những vấn đề đó thành bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I như sau: Cho X, Y, Z là các không gian tuyến tính, các tập con D X, K ⊆ Z. Cho các ánh xạ đa trị S: D× K→ , T: D×K→ , F: K×D×D→ với các giá trị khác rỗng. Bài toán: tìm ( , ) ∈ D× K sao cho 1) ∈ S( , ); 2) ∈ T ( , ); 3) 0 ∈F ( , ,x, z) với mọi z ∈ S( , ) Các ánh xạ S, T được gọi là ánh xạ ràng buộc, F được gọi là ánh xạ mục tiêu, F có thể là đẳng thức, bất đẳng thức, bao hàm thức hay sự tương giao của các ánh xạ đa trị. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I là trường hợp mở rộng của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I. Việc nghiên cứu bài toán mở rộng này và một số bài toán liên quan sẽ cho chúng ta thấy rõ ràng hơn về sự tồn tại nghiệm của các bài toán ấy. Với những lí do trên và sự hướng dẫn định hướng của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, tôi đã chọn đề tài “Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và những vấn đề liên quan”. 3 S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn 2.Mục đích nghiên cứu Đưa ra mô hình bài toán và một số bài toán liên quan và nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của chúng. 3.Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và một số bài toán liên quan, sự tồn tại nghiệm của chúng. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và một số bài toán liên quan trong lý thuyết tối ưu. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán đặt ra ta sử dụng các định lý về điểm bất động của Ky Fan, Fan-Browder, bổ đề Fan-KKM. 6. Những đóng góp mới của đề tài Trình bày kiến thức cơ bản về bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và một số bài toán liên quan. Nghiên cứu một số ứng dụng của định lý tồn tại nghiệm trong một bài toán tối ưu. 4 S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn CHƢƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong thực tế, nhiều bài toán liên quan đến phép chuyển mỗi điểm của tập này thành một tập con của tập kia. Những khái niệm cổ điển về hàm số, về toán tử hay về ánh xạ không còn thích hợp.Việc mở rộng ánh xạ đa trị là tất yếu nhằm đáp ứng các vấn đề nảy sinh từ tự nhiên và cuộc sống. Vỡ vậy mà môn giải tích đa trị được hình thành và trở thành công cụ đắc lực để nghiên cứu các bài toán liên quan đến ánh xạ đa trị. Ta dành chương này để nhắc lại một số kiến thức cơ bản của giải tích cổ điển và giải tích đa trị. Các kiến thức này rất quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán ở các chương sau. 1.1 .Các không gian thƣờng dùng Trong mục này chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức quan trọng về các không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian tuyến tính lồi địa phương Hausdorff để phục vụ cho việc nghiên cứu ở các chương sau. Định nghĩa 1.1.1.Tập M khác rỗng cùng với ánh xạ d: M × M → ℝ là một không gian metric nếu các tiên đề sau được thỏa mãn: i) (∀x, y ∈M) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 x = y; ii) (∀x, y ∈M) d(x, y) = d(y, x); iii) (∀x, y, z ∈M) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z). Không gian metric kí hiệu là (M, d), (hoặc viết tắt là M). Ánh xạ d được gọi là metric trên M; d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y. Ví dụ 1.1.2.i) Cho M⊆ℝ, với khoảng cách d(x, y) = , thì M là một không gian metric. [...]... lo i II Nhiều tác giả đã nghiên cứu các lo i bao hàm thức biến phân lý tưởng và bao hàm thức biến phân lo i II Dư i đây ta chỉ tập trung nghiên cứu các bao hàm thức tựa biến phân Pareto lo i I 2.2 Bao hàm thức tựa biến phân Pareto lo i I Trọng tâm trong chương này là chứng minh sự tồn t i nghiệm của các b i toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên lo i I, bao hàm thức tựa biến phân Pareto dư i lo i. .. b i toán tựa cân bằng tổng quát Ta có thể chia thành các b i toán cụ thể như sau: 1 bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên (dư i) lo i I 2 bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên (dư i) lo i I 3 bao hàm thức tựa biến phân trên (dư i) yếu lo i I 4 bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên (dư i) lo i II 5 bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên (dư i) lo i II 6 bao hàm thức tựa biến phân trên (dư i) ... v i m i x ∈ U ∩ domF Số hóa b i Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn 16 ii) Nếu F vừa là C − liên tục trên và C − liên tục dư i t i , ta n i rằng F là C − liên tục t i iii) Nếu F là trên, dư i, , C − liên tục t i m i i m của domF, chúng ta n i rằng nó trên, dư i, , C liên tục trên D iv) Trong trường hợp C = {0}, ta n i F là liên tục trên (liên tục dư i) thay vì n i 0 − liên tục trên (0− liên. .. lo i I Từ đó suy ra những kết quả cho các b i toán liên quan Chúng ta xét hai b i toán sau: (UPQVIP) B i toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên lo i I: Tìm( , ) ∈D×Ksao cho: ∈S( , ), ∈T( , ) và F( , , x) Số hóa b i Trung tâm Học liệu −C∖{0}, v i m i x ∈ S( , ) http://lrc.tnu.edu.vn 21 (LPQVIP) B i toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto dư i lo i I: Tìm( , ) ∈ D×K sao cho: ∈ S( , ) , ∈ T( , ) và. .. i u đặc biệt trong b i toán trình bày ở trên F là ánh xạ mục tiêu v i 4 biến V i ánh xạ F khác nhau ta đưa về các b i toán khác nhau i u này rất quan trọng trong việc nghiên cứu hầu hết các b i toán t i ưu lo i I Bằng cách định nghĩa ánh xạ mục tiêu thích hợp, ta sẽ có các b i toán tựa cân bằng thích hợp 2.1 Tổng quan về các lo i bao hàm thức tựa biến phân Bao hàm thức tựa biến phân là b i toán suy... quả đã biết ở chương trước để nghiên cứu sự tồn t i nghiệm cho các b i toán sau: b i toán bao hàm thức tựa biến phân trên (dư i) yếu, b i toán tựa cân bằng Pareto trên (dư i) , b i toán tựa cân bằng yếu trên (dư i) , b i toán t i ưu tựa cân bằng Pareto, và b i toán t i ưu tựa cân bằng yếu do Lin and Tan [7] phát biểu và nghiên cứu Những b i toán này đóng vai trò rất quan trọng trong lí thuyết t i ưu véctơ... biến phân, t i ưu vô hướng đồng th i nó cũng bao gồm các b i toán i m bất động, b i toán bù, b i toán cân bằng Nash, bất đẳng thức minimax Số hóa b i Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn 20 Đã có rất nhiều sự mở rộng các b i toán trên theo nhiều hướng như b i toán tựa cân bằng v i biến ràng buộc phụ thuộc vào một tham số, tựa biến phân hoặc bao hàm thức tựa biến phân của nhiều ánh xạ đa trị i u... bao hàm thức tựa biến phân trên yếu: Tìm( , ) ∈D× KSao cho ∈ S( , ) , ∈T( , ) và − intC , v i m i x ∈ S( , ) F( , , x) (LWQVIP) B i toán bao hàm thức tựa biến phân dư i yếu dư i: Tìm( , ) ∈ D×K sao cho: F( , ,x) Số hóa b i Trung tâm Học liệu ∈ S( , ) , ∈ T( , ) và + intC, v i m i x ∈ S( , ) http://lrc.tnu.edu.vn 29 Định lý 3.1 Chúng ta giả sử rằng D, K, C, S, T, F đáp ứng các i u kiện ii), iii), iv);... n i rằng: i) x ∈ A là một i m hữu hiệu lí tưởng của tập A đ i v i nón C nếu y – x ∈ C, v i m i y ∈ A; Tập hợp các i m hữu hiệu lý tưởng của A được ký hiệu là IMin(A │C); ii) x ∈ A là một i m hữu hiệu Pareto (hoặc cực tiểu Pareto) của A đ i v i nón C nếu x − y ∈ C, v i y ∈ A, thì y – x ∈ C; tập các i m hữu hiệu Pareto của A được ký hiệu là PMin (A│C); iii) x ∈ A là i m hữu hiệu thực sự của A đ i. .. F được g i là nửa liên tục dư i t i ≠ ∅ đều tồn t i tập mở U ⊃ ∈ domF nếu v i m i V mở, F( ) ∩ V sao cho F(x) ∩ V≠∅ ∀x ∈ U c) F được g i là liên tục t i x ∈ X nếu nó đồng th i nửa liên tục trên và nửa liên tục dư i t i x F được g i là liên tục trên X nếu nó liên tục t i m i i m x ∈ X Số hóa b i Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn 15 Định nghĩa 1.4.2 (xem [3]) Cho X, Y là các không gian tôpô, . và một số b i toán liên quan và nghiên cứu sự tồn t i nghiệm của chúng. 3.Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về bao hàm thức tựa biến phân Pareto lo i I và một số b i toán liên quan, sự tồn t i. toán gi i tíchv i đề t i: Bao hàm thức tựa biến phân Pareto lo i I và những vấn đề liên quan được hoàn thành từ chính sự nhân thức của bản thân, không trùng v i luận văn nào khác. Trong khi. t i đã chọn đề t i Bao hàm thức tựa biến phân Pareto lo i I và những vấn đề liên quan . 3 S ố hóa b i Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn 2.Mục đích nghiên cứu Đưa ra mô hình bài