Bao hàm thức tựa cân bằng tổng quát loại i và những vấn đề liên quan

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết tối ưu véctơ được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế. Sau đó có rất nhiều công trình đã được nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của các ngành khoa học và kỹ thuật. Borel (1921), Von Neuman (1926) đã xây dựng lý thuyết trò chơi dựa trên các khái niệm và kết quả toán học. Koopman (1947) đã đưa ra lý thuyết lưu thông hàng hoá. Tối ưu véctơ là bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu. Bài toán điểm cân bằng được biết đến từ lâu bởi các công trình của Nash (1951), ArrowDebreu (1954), sau đó được nhiều nhà toán học sử dụng để xây dựng những mô hình kinh tế từ nửa sau thế kỷ 20. Ky Fan (1972) và BrowderMinty (1978) đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng dựa trên các định lý điểm bất động. Năm 1994, Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng một cách tổng quát và tìm cách liên kết bài toán của Ky Fan và của BrowderMinty với nhau thành một dạng chung. Bài toán được phát biểu ngắn gọn là: tìm x K  sao cho f x x ( , ) 0  với mọi x K , trong đó K là tập con cho trước của một không gian, f K K R :   là hàm số thực thoả mãn f x x ( , ) 0.  i) Bài toán bất đẳng thức biến phân: cho X là không gian đối ngẫu của không gian X : Cho ánh xạ T D X :  : Tìm x D sao cho T x x y ( ), 0  với mọi . y D ii) Bài toán cân bằng Nash: cho , D X i I i   là các tập con khác rỗng trong X I ; là tập hữu hạn các phần tử. Đặt ; : : D D f D   i I  i i  Với mỗi ( ) i i I x x D    , đặt ( ) , i j j I x x j i    . Tìm x D sao cho ( ) ( ; ) i i i i f x f x y   với mọi i i y D  . Điểm x được gọi là điểm cân bằng Nash

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN KIM PHỤNG BAO HÀM THỨC TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI I VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn người thầy định hướng cho chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến phòng sau đại học, thầy cô giảng dạy chuyên ngành toán giải tích trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường. Nhân dịp xin cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ động viên để hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Kim Phụng Lời cam đoan Tôi xin cam đoan bảo hướng dẫn GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn luận văn chuyên ngành toán giải tích với đề tài: “Bao hàm thức tựa cân tổng quát loại I vấn đề liên quan” hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả. Trong trình nghiên cứu thực luận văn tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà nội, tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Kim Phụng MỤC LỤC MỞ ĐẦU . 1. Lý chọn đề tài . 2. Mục đích nghiên cứu . 3. Nhiệm vụ nghiên cứu . 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu . 5. Phương pháp nghiên cứu . 6. Những đóng góp đề tài . Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . 1.1. Các không gian thường dùng 1.2. Nón khái niệm liên quan 11 1.3. Ánh xạ đa trị . 14 1.4. Tính liên tục ánh xạ đa trị 15 1.5. Tính lồi ánh xạ đa trị 17 1.6. Điểm bất động ánh xạ đa trị . 18 Chương 2. BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO LOẠI I . 20 2.1 Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I . 21 2.2 Sự tồn nghiệm . 22 Chương 3. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 29 3.1. Sự tồn nghiệm toán bao hàm thức tựa biến phân yếu 29 3.2 Sự tồn nghiệm toán tựa tối vectơ . 29 3.3 Sự tồn nghiệm toán tựa cân yếu 34 KẾT LUẬN . 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO . 40 MỞ ĐẦU 1. Lý chọn đề tài Lý thuyết tối ưu véctơ hình thành từ ý tưởng cân kinh tế. Sau có nhiều công trình nghiên cứu ứng dụng nhiều lĩnh vực khác ngành khoa học kỹ thuật. Borel (1921), Von Neuman (1926) xây dựng lý thuyết trò chơi dựa khái niệm kết toán học. Koopman (1947) đưa lý thuyết lưu thông hàng hoá. Tối ưu véctơ phận quan trọng lý thuyết tối ưu. Bài toán điểm cân biết đến từ lâu công trình Nash (1951), Arrow-Debreu (1954), sau nhiều nhà toán học sử dụng để xây dựng mô hình kinh tế từ nửa sau kỷ 20. Ky Fan (1972) Browder-Minty (1978) chứng minh tồn nghiệm toán cân dựa định lý điểm bất động. Năm 1994, Blum Oettli phát biểu toán cân cách tổng quát tìm cách liên kết toán Ky Fan Browder-Minty với thành dạng chung. Bài toán phát biểu ngắn gọn là: tìm x  K cho f ( x , x)  với x  K , K tập cho trước không gian, f : K  K  R hàm số thực thoả mãn f ( x, x)  0. i) Bài toán bất đẳng thức biến phân: cho X * không gian đối ngẫu không gian X : Cho ánh xạ T : D  X * : Tìm x  D cho T ( x ), x - y  với y  D. ii) Bài toán cân Nash: cho Di  X , i  I tập khác rỗng D   iI X ; I tập Di ; fi : D   : hữu hạn Với phần tử. Đặt x  ( xi )iI  D , đặt xi  ( x j ) jI , j  i . Tìm x  D cho fi ( x )  fi ( xi ; y i ) với yi  Di . Điểm x gọi điểm cân Nash. Do nhu cầu phát triển Toán học, toán cân toán tối ưu kể phát triển mở rộng. Nếu cho thêm ánh xạ ràng buộc, toán cân trở thành tựa cân bằng. Xuất phát từ vấn đề thực tế kinh tế đời sống số nhà toán học mô hình hóa vấn đề thành toán cân tổng quát loại I sau: Cho không gian X , Y ,W ; D  X ; K  W tập khác rỗng. Cho ánh xạ đa trị S : D  K  2D ; T : D  K  2K , F : K  D  D  D  2D . Bài toán tìm (x ; y )  D  K cho 1) x  S ( x ; y ); 2) y  T ( x ; y ) 3)  F ( y ; x ; x ; t ) với t  S ( x , y ) . gọi toán tựa cân tổng quát loại I. Các ánh xạ S ,T gọi ánh xạ ràng buộc, F gọi ánh xạ mục tiêu, F đẳng thức, bất đẳng thức, bao hàm thức hay tương giao ánh xạ đa trị. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I được phát biểu sau : tìm ( x , y )  D  K cho 1) x  S ( x , y ); 2) y  T ( x , y ); 3) F ( y , x , x )  F ( y , x , x)  C \ 0 với x  S ( x , y ) . Dưới hướng dẫn GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn chọn đề tài “Bao hàm thức tựa cân tổng quát loại I vấn đề liên quan” để làm luận văn . 2. Mục đích nghiên cứu Trình bày mô hình toán số toán liên quan nghiên cứu tồn nghiệm chúng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu tài liệu bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I số toán liên quan công bố tạp chí quốc tế. Tìm ứng dụng toán kinh tế ngành khoa học khác. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu số vấn đề giải tích đa trị dể sử dụng việc chứng minh tồn nghiệm toán lý thuyết tối ưu. 5. Phương pháp nghiên cứu Ta sử dụng công cụ giải tích đa trị để giải vấn đề liên quan tới toán đặt lý thuyết tối ưu đa trị. Cụ thể, ta sử dụng định lý điểm bất động Ky Fan, Fan- Browder, bổ đề Fan-KKM để tồn nghiệm toán nay. 6. Những đóng góp đề tài Trình bày kiến thức bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I số toán liên quan. Nghiên cứu số ứng dụng tồn nghiêm số toán khác lý thuyết tối ưu. Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương ta nêu lại số không gian thường dùng, số tính chất nón ánh xạ đa trị từ tập khác rỗng không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff vào không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff khác xếp thứ tự phần nón. Trong suốt luận văn tính chất nón đóng vai trò quan trọng giúp cho việc nghiên cứu toán chương sau. 1.1. Các không gian thường dùng Nhiều toán quan trọng giải tích dựa tính chất khoảng cách mà không liên quan tới tính chất khác đường thẳng, mặt phẳng không gian ba chiều thông thường. Vì muốn chất kiện người ta trừu tượng hóa khái niệm khoảng cách để đến khái niệm không gian metric. Đó tập xác định “khoảng cách” cặp phần tử, với tính chất thông thường khoảng cách hình học. Định nghĩa 1.1.1. Tập M khác rỗng với ánh xạ d : M  M   không gian metric tiên đề sau thỏa mãn: i) (x, y  M ) d ( x, y )  0, d ( x, y)   x  y; ii) (x, y  M )d ( x, y )  d ( y, x); iii) (x, y, z  M ) d ( x, y )  d ( x, z )  d ( y, z ). Không gian metric kí hiệu  M , d  ,(hoặc viết tắt M ). Ánh xạ d gọi metric M ; d  x, y  gọi khoảng cách hai phần tử x y. Ví dụ i) Một tập M tập số thức  ,với khoảng cách d ( x, y)  x  y , M không gian metric. ii) Tổng quát hơn, không gian n ta xác định khoảng cách hai điểm x  ( x1 , ., xn ) y  ( y1 , ., yn ) sau: d ( x, y )  n (x i 1 i  yi ) . Ta thấy tập hợp xây dựng nhiều metric khác để có không gian metric khác nhau. Định nghĩa 1.1.2. Không gian metric  M , d  gọi không gian không gian mêtric  X , d  ; d gọi mêtric cảm sinh d M . Định nghĩa 1.1.3. Ta nói dãy điểm xn  không gian M hội tụ tới điểm x0 M (  0) , n0  N * cho d ( xn , x0 )   ta kí hiệu lim xn  x0 hay xn  x0 (n  ). x  Ví dụ: i) Sự hội tụ đường thẳng hội tụ dãy theo nghĩa thông thường. ii) Sự hội tụ không gian  k hội tụ dãy xn  ( x1n , ., xkn ) tới x  ( x1 , ., xk ) có nghĩa xin  xi ,  i  1, ., k  . Sự hội tụ không gian  k hội tụ theo tọa độ. Điều hiển nhiên dãy hội tụ dãy hội tụ. Ta có hai tính chất quan trọng sau: i) Nếu xn  x1 xn  x2 x1  x2 (tính giới hạn). ii) Nếu xn  x1 yn  y1 d ( xn , yn )  d ( x1 , y1 ). (khoảng cách d hàm liên tục x y ). Định nghĩa 1.1.4. Giả sử  M , d  không gian mêtric, a  M , r  , ta gọi: a) Tập S  a, r   x  M : d  x, a   r gọi hình cầu mở tâm a, bán kính r. b) Tập S  a, r   x  M : d  x, a   r gọi hình cầu đóng tâm a, bán kính r. Định nghĩa 1.1.5. Cho không gian metric  M , d  tập V  X gọi lân cận điểm x0 tồn số r  cho: S ( x0 , r )  V . Cho không gian metric  M , d  , A tập M , x  M người ta phân loại điểm không gian metric sau: i) Điểm x gọi điểm tập A tồn lân cận điểm x bao hàm tập A . ii) Điểm x gọi điểm tập A tồn lân cận điểm x không chứa điểm tập A . iii) Điểm x gọi điểm biên tập A lân cận x chứa điểm thuộc A điểm không thuộc A . Tập tất điểm biên tập A ký hiệu A . iv) Điểm x gọi điểm giới hạn (hay điểm tụ) tập A lân cận điểm x chứa điểm tập A khác x . Tập tất điểm giới hạn tập A gọi tập dẫn suất ký hiệu A '. v) Điểm x gọi điểm cô lập tập A x thuộc A x không điểm giới hạn tập A. Định nghĩa 1.1.6. Tập G gọi mở điểm G điểm nó. Tập A gọi đóng M \ A mở. 25 Chúng ta thấy P ( x, y ) tập lồi, với ( x, y )  D  K . Thật vậy, lấy x '1 , x '2  P ( x, y )  0;1 ta có từ tính lồi S ( x, y )  x '1  (1   ) x '2  S ( x, y ) Và max  , z  max  , z , zF ( y , x , x '1 ) zF ( y , x ,t )  , z  zmax  , z , với t  S ( x, y ). F ( y , x ,t ) max zF ( y , x , x '2 ) Nếu F ( y , x,.) C  lồi F ( y, x,  x '1  (1   ) x '2 )   F ( y, x, x '1 )  (1   ) F ( y, x, x '2 )  C. Tức Do  , z   zmax  , z  (1   ) zFmax , z . F ( y,x,x' ) ( y,x,x' ) max zF ( y , x , x '1  (1  ) x '2 ) max zF ( y , x ,  x '1  (1  ) x '2 )  , z  zmax  , z , với t  S ( x, y ). F ( y , x ,t ) Do  x '1  (1   ) x '2  P( x, y ) P ( x, y ) tập lồi. Nếu F ( y , x,.) C  giống tựa lồi F ( y, x,  x '1  (1   ) x '2 )  F ( y, x, x '1 )  C Hoặc F ( y, x,  x '1  (1   ) x '2 )  F ( y, x, x '2 )  C . Trong hai trường hợp có: max zF ( y , x ,  x '1  (1  ) x '2 )  , z  zmax  , z , với t  S ( x, y ). F ( y , x ,t ) Do  x '1  (1   ) x '2  P( x, y ) P ( x, y ) tập lồi. Hơn khẳng định P ánh xạ đa trị đóng. Lấy x  x, y  y, x '  P ( x , y ), x '  x '. Ta thấy x '  P( x, y ). Thật từ x '  S ( x , y ) S nửa liên tục với giá trị đóng, x '  S ( x, y ) . Cho x '  P( x , y ) có max zF ( y , x , x ' )  , z  zFmax , z ( y , x ,t )   với t  S ( x , y ). . Với t  S ( x , y ) tính nửa liên tục S tồn t  S ( x , y ) cho t  t. 26 Ta có: max zF ( y , x , x ' )  , z  zFmax  , z với  . ( y , x ,t )    Do F ánh xạ đa trị C  liên tục C  liên tục dưới, nên tồn số  cho F ( y, x, x ')  F ( y , x , x ' )  V  C , F ( y , x , t )  F ( y, x, t )  V  C , với    . Điều có nghĩa max  , z  zF ( y , x , x ') max zF ( y , x ,t ) max zF ( y , x , x ' )  ,z  ,   , z  zmax  , z  , với    . F ( y , x ,t ) Do max  , z  max  , z   . zF ( y , x , x ') zF ( y , x ,t ) Như max  , z  max  , z , với t  S ( x, y ). zF ( y , x , x ') zF ( y , x ,t ) Do x '  P( x, y ) P ánh xạ đa trị đóng. Cuối cùng, xác định ánh xạ đa trị H : D  K  2DK H  x, y   P  x, y T  x, y . Chúng ta dễ dàng kiểm tra H ánh xạ đa trị đóng với giá trị lồi, khác rỗng. Hơn nữa, từ D  K tập compact, ta có H ánh xạ đa trị nửa liên tục với giá trị lồi, đóng khác rỗng. Áp dụng Định lý 1.6.1 tồn ( x , y )  D  K cho ( x , y )  H ( x , y ). Điều có nghĩa: x  S ( x , y ), y  T ( x , y ) max  , z  max  , z , với x  S ( x , y ) . zF ( y , x , x ) zF ( y , x , x ) Ta thấy F ( y , x , x)  F ( y , x , x)  C \ 0 với x  S ( x , y ) . Giả sử tồn x*  S ( x , y ) cho F ( y , x , x*)  F ( y , x , x )  C \ 0. (2.4) 27 Nghĩa max  , z  max  , z . zF ( y , x , x *) zF ( y , x , x ) Điều mâu thuẫn với (2.4). Như vậy, x  S ( x , y ); y  T ( x , y ); F ( y , x , x)  F ( y , x , x )  C \ 0 với x  S ( x , y ) . Định lí chứng minh. Định lý 2.2. Giả thiết i) C nón nhọn Y với C  khác rỗng ;  ii) D K tập lồi, compact khác rỗng ; iii) S : D  K  2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi đóng khác rỗng; iv) T : D  K  2K ánh xạ đa trị nửa liên tục với giá trị lồi đóng khác rỗng; v) F ánh xạ đa trị C  liên tục C  liên tục với giá trị compact khác rỗng ; vi) Với  x, y   D  K ,ánh xạ đa trị F  x, y, . : D  2Y C  giống tựa lồi dưới. Khi tồn ( x , y )  D  K cho: x  S ( x , y ), y  S( x , y ) F ( y , x , x )  F ( y , x , x)  C \ 0 với x  S ( x , y ). Chứng minh. Cho   C '  cố định. Cho tùy ý. Do  phiếm hàm liên   tục, nên tồn lân cận V Y cho  (V )  (  , ). 2 Chúng ta xác định ánh xạ đa trị P : D  K  2D H : D  K  2DK   bởi: P( x, y)  x '  S ( x, y ) :  , z   , z , t  S ( x, y) . H ( x, y )  P( x, y )  T ( x, y ), x  D, y  K . zF ( y , x , x ') zF ( y , x ,t ) 28 Lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.1, ta thấy tồn ( x , y )  D  K cho ( x , y )  H ( x , y ). Ta có x  S ( x , y ), y  T ( x , y )  , z  zmin  , z , với x  S ( x , y ) . F ( y ,x ,x ) zF ( y , x , x ) (2.5) Ta thấy F ( y , x , x )  F ( y , x , x)  C \ 0 với x  S ( x , y ) . Giả sử tồn x*  S ( x , y ) cho F ( y , x , x )  F ( y , x , x*)  C \ 0.  , z  zFmin , z . Nghĩa zmin F ( y ,x ,x ) ( y , x , x *) Điều mâu thuẫn với (2.5). Như vậy, x  S ( x , y ); y T ( x , y ); F ( y , x , x )  F ( y , x , x)  C \ 0 với x  S ( x , y ) . Định lý chứng minh. Ví dụ 2.3: Cho X  Y  Z   , C   ,0, D  K  0,1 S ( x, y)  T ( x, y)  0,1 F ( y, x, x ')  (0,1), với ( y, x, x ')  K  D  D. Chúng ta dễ dàng kiểm tra giả thiết i), ii), iii), iv), vi) Định lý 2.1 thỏa mãn F C  liên tục C  liên tục dưới. Nếu F có giá trị không compact toán (UPQVIP) vô nghiệm. Ví dụ 2.4 Cho X  Y  Z   , C   ,0, D  K  0,1 S ( x, y)  T ( x, y)  F ( y, x, x ')  0,1, với ( y, x, x ')  K  D  D. Chúng ta dễ dàng kiểm tra xem giả thiết Định lý 2.1 thỏa mãn 0,1  0,1 tập nghiệm UPQVIP  . Kết luận chương 2: Trình bày toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I ứng dụng định lý điểm bất động Kankutani; Fan- Browder để đưa điều kiện tồn nghiệm chúng. 29 Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Trong chương này, áp dụng kết biết chương trước để nghiên cứu tồn nghiệm cho toán sau: toán bao hàm thức tựa biến phân (dưới) yếu, toán tựa cân Pareto (dưới), toán tựa cân yếu (dưới), toán tối ưu tựa cân Pareto, toán tối ưu tựa cân yếu Lin and Tan phát biểu nghiên cứu. Những toán đóng vai trò quan trọng lí thuyết tối ưu véctơ đa trị. Ta nghiên cứu chi tiết toán công trình [2],…, [6]. Sau ta xét toán nêu tồn nghiệm chúng: 3.1. Sự tồn nghiệm toán bao hàm thức tựa biến phân yếu Cho X ,Y , Z không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff. D  X , K  Z tập khác rỗng, ánh xạ đa trị: S : D  K  2D T : D  K  2K F : K  D  D  2Y Ta xét toán sau: (UWQVIP) Bài toán bao hàm thức tựa biến phân yếu: Tìm (x, y)  D  K cho x  S ( x , y ), y  T ( x , y ) F ( y , x lim, x)  F ( y , x , x )  int C , với x  S ( x , y ). x  (LWQVIP) Bài toán bao hàm thức tựa biến phân yếu: Tìm (x, y)  D  K cho x  S ( x , y ), y  T ( x , y ) F ( y , x , x)  F ( y , x , x )  int C , với x  S ( x , y ). Định lý 3.1. Chúng ta giả sử D, K , C , S ,T F đáp ứng điều kiện  ii), iii), iv); v); vi) Định lý 2.1 C nón Y với C ' khác 30 rỗng. Khi đó, tồn ( x , y )  D  K cho x  S ( x , y ), y  T( x , y ) F ( y , x , x)  F ( y , x , x )  int C , với x  S ( x , y ). Chứng minh. Lấy   C ' cố định. Cho   tùy ý. Từ liên tục    , tồn lân cận V Y cho  (V )  ( , ). Chúng ta xác định 2 ánh xạ đa trị P : D  K  2D H : D  K  2DK bởi:  P( x, y )   x '  S ( x, y ) :  , z   , z zF ( y , x , x ') zF ( y , x ,t )    , với t  S ( x, y ).  H ( x, y)  P( x, y)  T ( x, y). Chúng ta tiến hành tương tự giống Định lí 2.1, thấy tồn ( x , y )  D  K . Sao cho x  S ( x , y ), y  T( x , y ) max  , z  max  , z , với x  S ( x , y ). zF ( y , x , x ) (3.3.1) zF ( y , x , x ) Ta thấy: F ( y , x , x)  F ( y , x , x )  int C , với x  S ( x , y ). Giả sử tồn x*  S ( x , y ) cho F ( y , x , x)  F ( y , x , x*)  int C , Nghĩa là: max  , z  max  , z . zF ( y , x , x ) zF ( y , x , x *) Điều mâu thuẫn (3.3.1). Do x  S ( x , y ), y  T ( x , y ) F ( y , x , x)  F ( y , x , x )  int C , với x  S ( x , y ). Định lý chứng minh. Định lý 3.2. Chúng ta giả sử D, K , C , S ,T F thỏa mãn điều kiện  ii), iii), iv), v), vi) Định lý 2. C nón Y với C ' khác rỗng tồn ( x , y )  D  K cho x  S ( x , y ), y  T( x , y ) F ( y , x , x )  F ( y , x , x)  int C , với x  S ( x , y ). Chứng minh. Lấy   C ' cố định. Cho   tùy ý. Từ liên tục    , tồn lân cận V Y cho  (V )  ( , ). Chúng ta xác định 2 ánh xạ đa trị P : D  K  2D H : D  K  2DK bởi: 31  P( x, y )   x '  S ( x, y ) :  , z   , z zF ( y , x , x ') zF ( y , x ,t )    , với t  S ( x, y ).  H ( x, y)  P( x, y)  T ( x, y). Chúng ta tiến hành tương tự giống định lí 2.2, thấy tồn ( x , y )  D  K . Sao cho x  S ( x , y ), y  T( x , y )  , z   , z , với t  S ( x , y ). zF ( y , x ,t ) zF ( y , x ,t ) (3.3.2) Ta thấy: F ( y , x , x )  F ( y , x , x)  int C , với x  S ( x , y ). Giả sử tồn x*  S ( x , y ) cho F ( y , x , x)  F ( y , x , x*)  int C , Nghĩa là:  , z  zF ( y , x , x ) zF ( y , x , x *) , z . Điều mâu thuẫn (3.1.2). Do x  S ( x , y ), y  T( x , y ) F ( y , x , x )  F ( y , x , x)  int C , với x  S ( x , y ). Định lý chứng minh. 3.2. Sự tồn nghiệm toán tựa tối ưu vectơ 3.2.1. Sự tồn nghiệm toán tựa tối ưu Pareto Cho X ,Y , Z không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff. D  X , K  Z tập khác rỗng, ánh xạ đa trị: S : D  K  2D T : D  K  2K F : K  D  D  2Y  i) C nón nhọn Y với C ' khác khác rỗng; ii) D K tập lồi, compact khác rỗng ; iii) S : D  K  2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi đóng khác rỗng; iv) T : D  K  2K ánh xạ đa trị nửa liên tục với giá trị lồi đóng khác rỗng; 32 v) F ánh xạ đa trị C  liên tục C  liên tục với giá trị compact khác rỗng. Ta xét toán sau: (PQOP) Bài toán tựa tối ưu Pareto: Tìm ( x , y )  D  K cho x  S ( x , y ), y  T( x , y ) F ( y , x , x )  PMin( F ( y , x , S ( x , y )) \ C )   . Sự tồn nghiệm toán tối ưu tựa cân Pareto: Định lý 3.3. Nếu D, K , C , S ,T F Định lý 2.2, tồn ( x , y ) D  K cho x  S ( x , y ), y  T( x , y ) F ( y , x , x )  PMin( F ( y , x , S ( x , y )) \ C )  . Chứng minh. Theo Định lý 2.2, tồn ( x , y )  D  K cho x  S ( x , y ), y  T( x , y ) F ( y , x , x )  F ( y , x , x)  C \ 0, với x  S ( x , y ). Khi tồn a  F( y , x , x) cho a  F( y , x , x)  C \ 0, với x  S ( x , y ). Nghĩa a  PMin( F ( y , x , S ( x , y )) \ C ). Do F ( y , x , x )  PMin( F ( y , x , S ( x , y )) \ C )  . Ta có điều phải chứng minh. 3.2.2. Sự tồn nghiệm toán tựa tối ưu yếu Cho ánh xạ đa trị: S : D  K  2D T : D  K  2K F : K  D  D  2Y  i) C nón nhọn Y với C ' khác khác rỗng ; ii) D K tập lồi, compact khác rỗng ; iii) S : D  K  2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi đóng khác rỗng; 33 iv) T : D  K  2K ánh xạ đa trị nửa liên tục với giá trị lồi đóng khác rỗng; v) F ánh xạ đa trị C  liên tục C  liên tục với giá trị compact khác rỗng ; Ta xét toán sau: (WQOP) Bài toán tựa tối ưu yếu: Tìm ( x , y )  D  K cho x  S ( x , y ), y  T( x , y ) F ( y , x , x )  WMin( F ( y , x , S ( x , y )) \ C )   . Định lý 3.4. Nếu D, K , C , S ,T F Định lý 3.2, tồn ( x , y ) D  K cho x  S ( x , y ), y  T( x , y ) F ( y , x , x )  WMin( F ( y , x , S ( x , y )) \ C )   . Chứng minh. Theo Định lý 3.2, tồn ( x , y )  D  K cho x  S ( x , y ), y  T( x , y ) F ( y , x , x )  F ( y , x , x)  int C , với x  S ( x , y ). Khi tồn a  F( y , x , x) cho a  F ( y , x , x)  int C , với x  S ( x , y ). Nghĩa a  WMin( F ( y , x , S ( x , y )) \ C ). Do F ( y , x , x )  WMin( F ( y , x , S ( x , y )) \ C )  . Ta có điều phải chứng minh. 3.3. Sự tồn nghiệm toán tựa cân 3.3.1. Sự tồn nghiệm toán tựa cân Pareto Cho X ,Y , Z không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff. D  X , K  Z tập khác rỗng, ánh xạ đa trị: S : D  K  2D T : D  K  2K F : K  D  D  2Y 34 Ta xét toán sau: (UPQEP) Bài toán tựa cân Pareto trên: Tìm (x, y)  D  K x  S ( x , y ), y  T( x , y ) cho F ( y , x , x)  C \ 0, với x  S ( x , y ). (LPQEP) Bài toán tựa cân Pareto dưới: Tìm (x, y)  D  K x  S ( x , y ), y  T( x , y ) cho F ( y , x , x)   C \ 0  , với x  S ( x , y ). Định lý 3.5. Chúng ta giả sử D, K , C , S ,T F thỏa mãn điều kiện Định lý 2.1 F ( y, x, x)  C  , với ( x, y )  D  K . Thì tồn ( x , y )  D  K cho x  S ( x , y ), y  T( x , y ) F ( y , x , x)  C \ 0, với x  S ( x , y ). Chứng minh. Từ Định lí 2.1, tồn x  S ( x , y ), y  T ( x , y ) max  , z  max  , z , với x  S ( x , y ). zF ( y , x , x ) zF ( y , x , x ) Từ F ( y , x , x )  C  , max  , z  . Do max  , z  , với zF ( y , x , x ) zF ( y , x , x ) x  S ( x , y ). (3.2.1) Chúng ta thấy rằng: F ( y , x , x)  C \ 0, với x  S ( x , y ). Giả sử tồn x*  S ( x , y ) cho F ( y , x , x*)  C \ 0, ta có max  , z  0. zF ( y , x , x *) Điều mâu thuẫn (3.2.1). Do x  S ( x , y ), y  T ( x , y ) F ( y , x , x)  C \ 0, với x  S ( x , y ). Ta có điều phải chứng minh. Định lý 3.6. Chúng ta giả sử D, K , C , S ,T F thỏa mãn điều kiện Định lý 2.2 F ( y, x, x)  C , với ( x, y )  D  K . Thì tồn 35 ( x , y )  D  K cho x  S ( x , y ), y  T( x , y ) F ( y , x , x)   C \ 0  , với x  S ( x , y ). Chứng minh. Theo Định lí 2.2 tồn x  S ( x , y ), y  T( x , y )  , z  zmin  , z , với x  S ( x , y ). F ( y ,x ,x ) zF ( y , x , x ) Từ F ( y , x , x )  C , zmin  , z  0. F ( y ,x ,x )  , z  0, với x  S ( x , y ). Nghĩa zmin F ( y ,x ,x) (3.2.2) Chúng ta thấy F ( y , x , x)   C \ 0  , với x  S ( x , y ). Giả sử tồn x*  S ( x , y ) cho F ( y , x , x*)   C \ 0  , ta có a  F ( y , x , x*)   C \ 0. Khi ta có zF ( y , x , x *)  , z   , a  0. Điều mâu thuẫn (3.2.2). Do đó, x  S ( x , y ), y  T( x , y ) F ( y , x , x)   C \ 0  , với x  S ( x , y ). Hệ chứng minh. Ví dụ 3.7 Cho X  Y  Z  , C   ,0, D  K  0,1 S ( x, y)  T ( x, y)  0;1 F ( y, x, x ')  0;1 với ( y, x, x ')  K  D  D. Chúng ta dễ dàng kiểm tra xem giả thiết Định lý 3.5 thỏa mãn 0;1  0;1 tập nghiệm (UPQEP). 3.3.2. Sự tồn nghiệm toán tựa cân yếu Cho X ,Y , Z không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff. D  X , K  Z tập khác rỗng, ánh xạ đa trị: S : D  K  2D T : D  K  2K 36 F : K  D  D  2Y Ta xét toán sau: (UWQEP) Bài toán tựa cân yếu trên: Tìm (x, y)  D  K x  S ( x , y ), y  T( x , y ) cho F ( y , x , x)   int C , với x  S ( x , y ). (LWQEP) Bài toán tựa cân yếu dưới: Tìm (x, y)  D  K x  S ( x , y ), y  T( x , y ) cho F ( y , x , x)  ( int C )  , với x  S ( x , y ). Định lý 3.8. Giả sử D, K , C , S ,T F thỏa mãn điều kiện Định lý 3.1 F ( y, x, x)  C  , với ( x, y )  D  K . Thì tồn ( x , y )  D  K cho x  S ( x , y ), y  T( x , y ) F ( y , x , x)   int C , với x  S ( x , y ). Chứng minh. Theo Định lí 3.1 chứng minh tương tự giống Định lý 3.5, tồn x  S ( x , y ), y  T( x , y ) max  , z  0, với x  S ( x , y ). zF ( y , x , x ) (3.4.1) Ta thấy F ( y , x , x)   int C , với x  S ( x , y ). Giả sử tồn x*  S ( x , y ) cho F ( y , x , x*)   int C. Ta có max  , z  0. zF ( y , x , x *) Điều mâu thuẫn (3.4.1). Do x  S ( x , y ), y  T( x , y ) F ( y , x , x)   int C , với x  S ( x , y ). Định lý chứng minh. Định lý 3.9. Giả sử D, K , C , S ,T F thỏa mãn điều kiện Định lý 3.2 F ( y, x, x)  C , với ( x, y )  D  K .Thì tồn ( x , y )  D  K cho x  S ( x , y ), y  T( x , y ) F ( y , x , x)  ( int C )  , với x  S ( x , y ). 37 Chứng minh. Theo Định lí 3.2 chứng minh tương tự giống Định lý 3.6 tồn tồn x  S ( x , y ), y  T ( x , y )  , z  0, với x  S ( x , y ). zF ( y , x , x ) (3.4.2) Ta thấy F ( y , x , x)  ( int C )   với x  S ( x , y ). Giả sử tồn x*  S ( x , y ) cho F ( y , x , x*)  ( int C )   Thì ta có a cho a  F ( y , x , x)  ( int C ). Ta có zF ( y , x , x *)  , z   , z  0. Điều mâu thuẫn (3.4.2). Do x  S ( x , y ), y  T( x , y ) F ( y , x , x)  ( int C )  , với x  S ( x , y ). Định lý chứng minh. Ví dụ 3.10. Cho X  Y  Z   , C   ,0, D  K  0,1 S ( x, y)  T ( x, y)  0,1 F ( y, x, x ')  (0,1), với ( y, x, x ')  K  D  D. Chúng ta dễ dàng kiểm tra giả thiết i), ii), iii), iv), vi) Định lý 2.1 Định lý 3.1 thỏa mãn F ( y, x, x)  C   . Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta thấy 0,1  0,1 tập nghiệm toán UPQEP   UWQEP  . Ví dụ 3.11. Cho X  Y  Z  , C   ,0, D  K  0,1 S ( x, y)  T ( x, y)  0,1, F ( y, x, x ')  1,2 với ( y, x, x ')  K  D  D. Chúng ta dễ dàng kiểm tra xem giả thiết Định lý 2.1 thỏa mãn Định lý 3.1 thoả mãn F ( y, x, x)  C   cách kiểm tra trực tiếp ta thấy toán  UWQEP  UPQEP  vô nghiệm. 38 Kết luận chương 3: Trình bày số toán liên quan tồn nghiệm toán đó. 39 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số toán suy rộng lý thuyết tối ưu đặc biệt bao hàm thức tựa biến phân Pareto. Bên cạnh tồn nghiệm toán liên quan. 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh, Một số vấn đề lý thuyết tối ưu đa trị, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 2006. [2]. J. P. Aubin, and H. Frankowska, Set-Valued Analysis, Birkhauser, 1990. [3]. J. P. Aubin, and A. Cellina, Differential Inclusion, Springer-Verlag, Heidelberg, Germany, 1994. [4]. E. Blum, and W. Oettli, From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems, The Mathematical Student, vol. 64, page 1-23, 1993. [5]. K. Fan, A Generalization of Tychonoff‘s Fixed Point Theorem, Mathematics Annalen 142, 305-310, 1961. [6]. T. T. T. Duong and N. X. Tan, On the Existence of Solutions to Generalized Quasi-Equilibrium Problems, J. Global Optim. 52, 2012. [...]... quát bao gồm: các b i toán tựa t i ưu, các b i toán bao hàm thức tựa biến phân và b i toán tựa cân bằng Nhiều tác giả đã nghiên cứu các b i toán tựa t i ưu và tựa cân bằng trong luận văn này t i chỉ đề cập t i b i toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên (dư i) và một số vấn đề liên quan 2.1 Bao hàm thức tựa biến phân Pareto lo i I i) (UPQVIP) B i toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên lo i I: ... y) khi và chỉ khi F ( y, x, t )  F ( y, x, x)  C \ 0 v i m i t  S ( x , y ) Như vậy b i toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên lo i I là trường hợp riêng của b i toán tựa cân bằng tổng quát Tương tự ta có b i toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto dư i lo i I cũng là trường hợp riêng của b i toán tựa cân bằng tổng quát 2.2 Sự tồn t i nghiệm Trong chương này để kh i ph i nhắc l i nhiều lần... nghiên cứu sự tồn t i nghiệm cho các b i toán sau: b i toán bao hàm thức tựa biến phân trên (dư i) yếu, b i toán tựa cân bằng Pareto trên (dư i) , b i toán tựa cân bằng yếu trên (dư i) , b i toán t i ưu tựa cân bằng Pareto, và b i toán t i ưu tựa cân bằng yếu do Lin and Tan phát biểu và nghiên cứu Những b i toán này đóng vai trò rất quan trọng trong lí thuyết t i ưu véctơ đa trị Ta có thể nghiên cứu chi... được g i là b i toán tựa cân bằng tổng quát lo i I, ký hiệu là (GQEP ) I ; B i toán tìm x  P sao cho 0  G ( y, x , t ) v i t  P2 ( x ) và y  Q( x , t ) 1 được g i là b i toán tựa cân bằng tổng quát lo i II và được ký hiệu là (GQEP) II Các ánh xạ S , T , P , P2 , Q được g i là ánh xạ ràng buộc, F và G 1 21 được g i là ánh xạ mục tiêu, F và G có thể là đẳng thức, bất đẳng thức hoặc là bao hàm thức. ..  liên tục t i m i i m của domF , chúng ta n i rằng nó liên tục trên, dư i, , C  liên tục trên D iv) Trong trường hợp C  0 , ta n i F là liên tục trên (liên tục dư i) thay vì n i 0 -liên tục trên (0- liên tục dư i) F là liên tục nếu nó vừa liên tục trên và liên tục dư i 1.5 Tính l i của ánh xạ đa trị Trong mục này ta trình bày định nghĩa tính l i, tựa giống như l i của ánh xạ đa trị Các kh i niệm... rằng: i) i m x  A là i m hữu hiệu lý tưởng của tập A đ i v i nón C nếu y  x  C v i m i y  A Tập các i m hữu hiệu lý tưởng của A đ i v i nón C được kí hiệu là IMin( A / C ) hoặc IMinA ii) i m x  A là i m hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của A đ i v i nón C , nếu không tồn t i y  A để x  y  C | l (C ) Tập các i m hữu hiệu Pareto của A đ i v i nón C được kí hiệu là PMin( A / C ) iii) i m... n i F là nửa liên tục dư i t i x  domF nếu v i m i tập mở V  Y thỏa mãn F ( x )  V   tồn t i lân cận mở U của x sao cho F ( x)  V  , x V  domF Nếu F là nửa liên tục dư i t i m i i m thuộc domF , thì F được g i là nửa liên tục dư i ở trong X Định nghĩa 1.4.3 Ta n i F là liên tục t i x  domF nếu F đồng th i là nửa liên tục trên và nửa liên tục dư i t i x Nếu F là liên tục t i m i i m... toán tựa cân bằng v i biến ràng buộc phụ thuộc vào một tham số, tựa biến phân hoặc bao hàm thức tựa biến phân của nhiều ánh xạ đa trị i u đặc biệt trong b i toán trình bày ở trên F là ánh xạ mục tiêu v i 4 biến Ta thấy số các b i toán khác trong lý thuyết t i ưu đa mục tiêu có thể đưa về một trong hai b i toán trên bằng cách chọn hàm mục tiêu F hoặc G một cách thích hợp Các b i toán cân bằng tổng quát. .. dụng được cho b i toán này Định lý 2.1.Giả thiết : i) C là một nón nhọn trong Y v i C  khác rỗng; ii) D và K là các tập l i, compact khác rỗng; iii) S : D  K  2D là một ánh xạ đa trị liên tục v i các giá trị l i đóng khác rỗng; iv) T : D  K  2K là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên v i các giá trị l i đóng khác rỗng; v) F là ánh xạ đa trị C  liên tục trên và C  liên tục dư i v i các giá trị compact... A / C ) iii) i m A là i m hữu hiệu yếu (khi int C  0 và C  Y ) của A đ i v i nón C , nếu x  Min  A / 0  int C  Tức là x là i m hữu hiệu theo thứ tự sinh b i nón C0  0  int C Tập các i m hữu hiệu yếu của A đ i v i nón C được kí hiệu là WMin( A / C ) hoặc WMinA iv) i m x  A được g i là i m hữu hiệu thực sự của A đ i v i nón  C nếu tồn t i nón l i C khác Y và chứa C \ clC trong phần . gi i tích v i đề t i: Bao hàm thức tựa cân bằng tổng quát lo i I và những vấn đề liên quan được hoàn thành b i sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu và. 2. BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO LO I I 20 2.1 Bao hàm thức tựa biến phân Pareto lo i I 21 2.2 Sự tồn t i nghiệm 22 Chương 3. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 29 3.1. Sự tồn t i nghiệm của b i. GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG Đ I HỌC SƯ PHẠM HÀ N I 2 NGUYỄN KIM PHỤNG BAO HÀM THỨC TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LO I I VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Toán giải