6. Những đóng góp mới của đề tài
3.1. Sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân yếu
ChoX Y Z, , là các không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff. , D X K Z là các tập con khác rỗng, và các ánh xạ đa trị: : 2D S D K : 2K T D K : 2Y F K D D
Ta xét các bài toán sau:
(UWQVIP) Bài toán bao hàm thức tựa biến phân trên yếu:
Tìm ( , )x y D K sao cho xS x y y( , ), T x y( , ) và ( , lim, ) ( , , ) int ,
x
F y x x F y x x C
với mọi xS x y( , ).
(LWQVIP) Bài toán bao hàm thức tựa biến phân dưới yếu:
Tìm ( , )x y D K sao cho xS x y y( , ), T x y( , ) và ( , , ) ( , , ) int ,
F y x x F y x x C với mọi xS x y( , ).
Định lý 3.1. Chúng ta giả sử rằng D K C S T, , , , và F đáp ứng các điều kiện ii), iii), iv); v); vi) của Định lý 2.1 và C là một nón trong Y với C' khác
rỗng. Khi đó, tồn tại ( , )x y D K sao cho xS x y y( , ), T( , )x y và ( , , ) ( , , ) int ,
F y x x F y x x C với mọi xS x y( , ).
Chứng minh. Lấy C'cố định. Cho 0 tùy ý. Từ sự liên tục của , tồn tại một lân cận V trong Y sao cho ( ) ( , ).
2 2 V Chúng ta xác định ánh xạ đa trị : 2D P D K và : 2D K H D K bởi: ( , , ') ( , , ) ( , ) ' ( , ) : min , min , , z F y x x z F y x t P x y x S x y z z với mọi tS x y( , ).
và H x y( , )P x y( , )T x y( , ). Chúng ta tiến hành tương tự giống như Định lí 2.1, thấy rằng tồn tại ( , )x y D K. Sao cho xS x y y( , ), T( , )x y và
( , , ) ( , , )
max , max , ,
z F y x x z z F y x x z
với mọi xS x y( , ). (3.3.1)
Ta thấy: F y x x( , , ) F y x x( , , )int ,C với mọi xS x y( , ).
Giả sử rằng tồn tại x*S x y( , ) sao cho F y x x( , , )F y x x( , , *)int ,C
Nghĩa là:
( , , ) ( , , *)
max , max , .
z F y x x z z F y x x z
Điều này mâu thuẫn (3.3.1). Do đó xS x y y( , ), T x y( , ) và ( , , ) ( , , ) int ,
F y x x F y x x C với mọi xS x y( , ). Định lý được chứng minh.
Định lý 3.2. Chúng ta giả sử rằng D K C S T, , , , và F thỏa mãn các điều kiện ii), iii), iv), v), vi) của Định lý 2. 2 và C là một nón trong Y với C' khác rỗng thì tồn tại ( , )x y D K sao cho xS x y y( , ), T( , )x y và
( , , ) ( , , ) int ,
F y x x F y x x C với mọi xS x y( , ).
Chứng minh. Lấy C'cố định. Cho 0 tùy ý. Từ sự liên tục của , tồn tại một lân cận V trong Y sao cho ( ) ( , ).
2 2 V Chúng ta xác định ánh xạ đa trị : 2D P D K và : 2D K H D K bởi:
( , , ') ( , , ) ( , ) ' ( , ) : min , min , , z F y x x z F y x t P x y x S x y z z với mọi tS x y( , ).
và H x y( , )P x y( , )T x y( , ).Chúng ta tiến hành tương tự giống như định lí 2.2, thấy rằng tồn tại ( , )x y D K. Sao cho xS x y y( , ), T( , )x y và
( , , ) ( , , )
min , min , ,
z F y x t z z F y x t z
với mọi tS x y( , ). (3.3.2)
Ta thấy: F y x x( , , )F y x x( , , )int ,C với mọi xS x y( , ).
Giả sử rằng tồn tại x*S x y( , ) sao cho F y x x( , , )F y x x( , , *)int ,C
Nghĩa là:
( , , ) ( , , *)
min , min , .
z F y x x z z F y x x z
Điều này mâu thuẫn (3.1.2). Do đó xS x y y( , ), T( , )x y và ( , , ) ( , , ) int ,
F y x x F y x x C với mọi xS x y( , ). Định lý được chứng minh.
3.2. Sự tồn tại nghiệm của các bài toán tựa tối ưu vectơ 3.2.1. Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa tối ưu Pareto
Cho X Y Z, , là các không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff. , D X K Z là các tập con khác rỗng, và các ánh xạ đa trị: : 2D S D K : 2K T D K : D D 2Y F K i) C là một nón nhọn trong Y với C' khác khác rỗng; ii) D và K là các tập lồi, compact khác rỗng ;
iii) : 2D
S D K là một ánh xạ đa trị liên tục với các giá trị lồi đóng khác rỗng;
iv) : 2K
T D K là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với các giá trị lồi đóng khác rỗng;
v) F là ánh xạ đa trị Cliên tục trên và Cliên tục dưới với các giá trị compact khác rỗng.
Ta xét bài toán sau:
(PQOP) Bài toán tựa tối ưu Pareto: Tìm ( , )x y D K sao cho ( , ), T( , )
xS x y y x y và F y x x( , , )PMin F y x S x y( ( , , ( , )) \C) . Sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu tựa cân bằng Pareto:
Định lý 3.3. NếuD K C S T, , , , và Fnhư trong Định lý 2.2, thì tồn tại ( , ) x y D K sao cho
( , ), T( , )
xS x y y x y
và F y x x( , , )PMin F y x S x y( ( , , ( , )) \C) .
Chứng minh. Theo Định lý 2.2, tồn tại ( , )x y D K sao cho ( , ), T( , )
xS x y y x y và F y x x( , , )F y x x( , , )C\ 0 , với mọi ( , ).
xS x y Khi đó tồn tại aF( , , )y x x sao cho aF( , , )y x x C\ 0 , với mọi xS x y( , ). Nghĩa là aPMin F y x S x y( ( , , ( , )) \C). Do đó
( , , ) ( ( , , ( , )) \ ) .
F y x x PMin F y x S x y C
Ta có điều phải chứng minh.
3.2.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa tối ưu yếu
Cho các ánh xạ đa trị: : 2D S D K : 2K T D K : D D 2Y F K i) C là một nón nhọn trong Y với C' khác khác rỗng ; ii) Dvà Klà các tập lồi, compact khác rỗng ;
iii) : 2D
S D K là một ánh xạ đa trị liên tục với các giá trị lồi đóng khác rỗng;
iv) : 2K
T D K là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với các giá trị lồi đóng khác rỗng;
v) Flà ánh xạ đa trị Cliên tục trên và Cliên tục dưới với các giá trị compact khác rỗng ;
Ta xét bài toán sau:
(WQOP) Bài toán tựa tối ưu yếu: Tìm ( , )x y D K sao cho ( , ), T( , )
xS x y y x y và
( , , ) W ( ( , , ( , )) \ )
F y x x Min F y x S x y C .
Định lý 3.4. Nếu D K C S T, , , , và Fnhư trong Định lý 3.2, thì tồn tại ( , ) x y D K sao cho xS x y y( , ), T( , )x y và
( , , ) W ( ( , , ( , )) \ )
F y x x Min F y x S x y C .
Chứng minh. Theo Định lý 3.2, tồn tại ( , )x y D K sao cho ( , ), T( , )
xS x y y x y và F y x x( , , )F y x x( , , )int ,C với mọi ( , ).
xS x y
Khi đó tồn tại aF( , , )y x x sao cho aF y x x( , , )int ,C với mọi ( , ).
xS x y Nghĩa là aWMin F y x S x y( ( , , ( , )) \C). Do đó F y x x( , , )WMin F y x S x y( ( , , ( , )) \C) . Ta có điều phải chứng minh.
3.3. Sự tồn tại nghiệm của các bài toán tựa cân bằng 3.3.1. Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng Pareto
Cho X Y Z, , là các không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff. , D X K Z là các tập con khác rỗng, và các ánh xạ đa trị: : 2D S D K : 2K T D K : 2Y F K D D
Ta xét các bài toán sau:
(UPQEP) Bài toán tựa cân bằng Pareto trên:
Tìm ( , )x y D K sao cho xS x y y( , ), T( , )x y và
( , , ) \ 0 ,
F y x x C với mọi xS x y( , ).
(LPQEP) Bài toán tựa cân bằng Pareto dưới:
Tìm ( , )x y D K sao cho xS x y y( , ), T( , )x y và
( , , ) \ 0 ,
F y x x C với mọi xS x y( , ).
Định lý 3.5. Chúng ta giả sử D K C S T, , , , và F thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.1 và F y x x( , , ) C , với mọi( , )x y D K. Thì tồn tại ( , )x y D K sao cho và xS x y y( , ), T( , )x y và F y x x( , , ) C\ 0 , với mọi xS x y( , ). Chứng minh. Từ Định lí 2.1, tồn tại xS x y y( , ), T x y( , ) và ( , , ) ( , , ) max , max , , z F y x x z z F y x x z với mọi xS x y( , ). Từ F y x x( , , ) C , ( , , ) max , 0 z F y x x z . Do đó ( , , ) max , 0 z F y x x z , với mọi xS x y( , ). (3.2.1)
Chúng ta thấy rằng: F y x x( , , ) C\ 0 , với mọi xS x y( , ).
Giả sử tồn tại x*S x y( , ) sao cho F y x x( , , *) C\ 0 , ta có
( , , *)
max , 0.
z F y x x z
Điều này mâu thuẫn (3.2.1). Do đó xS x y y( , ), T x y( , )và
( , , ) \ 0 ,
F y x x C với mọi xS x y( , ).
Ta có điều phải chứng minh.
Định lý 3.6. Chúng ta giả sử D K C S T, , , , và Fthỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.2 và F y x x( , , )C,với mọi ( , )x y D K. Thì tồn tại
( , )x y D Ksao cho xS x y y( , ), T( , )x y và F y x x( , , ) C\ 0 , với mọi xS x y( , ).
Chứng minh. Theo Định lí 2.2 tồn tại xS x y y( , ), T( , )x y và
( , , ) ( , , ) min , min , , z F y x x z z F y x x z với mọi xS x y( , ). Từ F y x x( , , )C, ( , , ) min , 0. z F y x x z Nghĩa là ( , , ) min , 0, z F y x x z với mọi xS x y( , ). (3.2.2) Chúng ta thấy rằng F y x x( , , ) C\ 0 , với mọi xS x y( , ). Giả sử tồn tại x*S x y( , ) sao cho F y x x( , , *) C\ 0 , ta có
( , , *) \ 0 . aF y x x C Khi đó ta có ( , , *) min , , 0. z F y x x z a
Điều này mâu thuẫn (3.2.2).
Do đó, xS x y y( , ), T( , )x y và F y x x( , , ) C\ 0 , với mọi ( , ).
xS x y
Hệ quả được chứng minh.
Ví dụ 3.7 Cho X Y Z , C ,0 , D K 0,1 và
( , ) ( , ) 0;1
S x y T x y và F y x x( , , ') 0;1 với mọi ( , , ')y x x K D D. Chúng ta dễ dàng kiểm tra xem các giả thiết của Định lý 3.5 là thỏa mãn và 0;1 0;1 là các tập nghiệm của (UPQEP).
3.3.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng yếu
ChoX Y Z, , là các không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff. , D X K Z là các tập con khác rỗng, và các ánh xạ đa trị: : 2D S D K : 2K T D K
: 2Y
F K D D
Ta xét các bài toán sau:
(UWQEP) Bài toán tựa cân bằng yếu trên:
Tìm ( , )x y D K sao cho xS x y y( , ), T( , )x y và ( , , ) int ,
F y x x C với mọi xS x y( , ).
(LWQEP) Bài toán tựa cân bằng yếu dưới:
Tìm ( , )x y D K sao cho xS x y y( , ), T( , )x y và ( , , ) ( int ) ,
F y x x C với mọi xS x y( , ).
Định lý 3.8. Giả sử D K C S T, , , , và F thỏa mãn các điều kiện của Định lý 3.1 và F y x x( , , ) C , với mọi ( , )x y D K. Thì tồn tại ( , )x y D K sao cho và xS x y y( , ), T( , )x y và F y x x( , , ) int ,C với mọi xS x y( , ).
Chứng minh. Theo Định lí 3.1 và chứng minh tương tự giống như Định lý 3.5, tồn tại xS x y y( , ), T( , )x y và
( , , ) , 0,
z F y x xmax z
với mọi xS x y( , ). (3.4.1) Ta thấy rằng F y x x( , , ) int ,C với mọi xS x y( , ).
Giả sử rằng tồn tại x*S x y( , ) sao cho ( , , *) int .
F y x x C Ta có
( , , *) , 0.
z F y x xmax z
Điều này mâu thuẫn (3.4.1).
Do vậy xS x y y( , ), T( , )x y và F y x x( , , ) int ,C với mọi ( , ).
xS x y
Định lý được chứng minh.
Định lý 3.9. Giả sử D K C S T, , , , và Fthỏa mãn các điều kiện của Định lý 3.2 và F y x x( , , )C, với mọi ( , )x y D K .Thì tồn tại ( , )x y D Ksao cho
( , ), T( , )
Chứng minh. Theo Định lí 3.2 và chứng minh tương tự giống như Định lý 3.6 tồn tại và tồn tại xS x y y( , ), T x y( , ) và ( , , ) min , 0, z F y x x z với mọi xS x y( , ). (3.4.2) Ta thấy rằng F y x x( , , ) ( int )C với mọi xS x y( , ).
Giả sử rằng tồn tại x*S x y( , ) sao cho ( , , *) ( int )
F y x x C
Thì ta có a sao cho aF y x x( , , ) ( int ).C Ta có
( , , *)
min , , 0.
z F y x x z z
Điều này mâu thuẫn (3.4.2).
Do vậy xS x y y( , ), T( , )x y và F y x x( , , ) ( int )C , với mọi ( , ). xS x y Định lý được chứng minh. Ví dụ 3.10. Cho X Y Z , C ,0 , D K 0,1 và ( , ) ( , ) 0,1 S x y T x y và F y x x( , , ')(0,1), với mọi
( , , ')y x x K D D. Chúng ta dễ dàng kiểm tra các giả thiết i), ii), iii), iv), vi) trong Định lý 2.1 và Định lý 3.1 được thỏa mãn và F y x x( , , ) C . Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta thấy 0,1 0,1 là các tập nghiệm của bài toán
UPQEPvà UWQEP.
Ví dụ 3.11. Cho X Y Z , C ,0 , D K 0,1 và
( , ) ( , ) 0,1 ,
S x y T x y và F y x x( , , ') 1,2 với mọi ( , , ')y x x K D D.
Chúng ta dễ dàng kiểm tra xem các giả thiết của Định lý 2.1 là thỏa mãn và Định lý 3.1 thoả mãn nhưng F y x x( , , ) C bằng cách kiểm tra trực tiếp ta thấy rằng bài toán UWQEPvà UPQEPvô nghiệm.
Kết luận chương 3: Trình bày một số bài toán liên quan và chỉ ra sự tồn tại nghiệm của các bài toán đó.
KẾT LUẬN
Luận văn trình bày một số bài toán suy rộng của lý thuyết tối ưu đặc biệt là bao hàm thức tựa biến phân Pareto. Bên cạnh đó chỉ ra sự tồn tại nghiệm của các bài toán liên quan.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh, Một số vấn đề trong lý thuyết tối
ưu đa trị, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội, 2006.
[2]. J. P. Aubin, and H. Frankowska, Set-Valued Analysis, Birkhauser, 1990. [3]. J. P. Aubin, and A. Cellina, Differential Inclusion, Springer-Verlag,
Heidelberg, Germany, 1994.
[4]. E. Blum, and W. Oettli, From Optimization and Variational Inequalities
to Equilibrium Problems, The Mathematical Student, vol. 64, page 1-23,
1993.
[5]. K. Fan, A Generalization of Tychonoff‘s Fixed Point Theorem, Mathematics Annalen 142, 305-310, 1961.
[6]. T. T. T. Duong and N. X. Tan, On the Existence of Solutions to