6. Những đóng góp mới của đề tài
2.3.Sự tồn tại nghiệm
Trong chương này để khỏi phải nhắc lại nhiều lần chúng ta luôn luôn kí hiệu X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff. D ⊆X,
K ⊆Z là các tập con khác rỗng, và các ánh xạ đa trị :
S:D×K → ;
T:D×K → ;
F:K×D×D→ ;
Ta sẽ chứng minh sự tồn tại nghiêm của bài toán cụ bao hàm thứ tựa biến phân Pareto như sau
Định lý 2.1.Giả thiết :
i) C là một nón nhọn trong Y với +khác khác rỗng ; ii) D và K là các tập lồi, compact khác rỗng ;
iii) S: D×K → là một ánh xạ đa trị liên tục với các giá trị lồi đóng khác rỗng;
iv) T :D×K → là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với các giá trị lồi đóng khác rỗng;
v) F là ánh xạ đa trị C−liên tục trên và C− liên tục dưới với các giá trị compact khác rỗng ;
vi) với mỗi cặp (x, y) ∈ D×K, ánh xạ đa trị : F(y, x, .): D → là C − lồi dưới (hoặc C – tựa giống như lồi dưới);
Thì tồn tại ( , ) ∈ D×K sao cho ∈S( , ), ∈ T( , ) và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn
Chứng minh .Cho ∈ +Cố định.Cho > 0 tùy ý. Do là phiếm hàm liên tục, nên tồn tại một lân cận V của Y sao cho(V) ⊆ (- ) .
Chúng ta xác định ánh xạ đa trị P :D×K → bởi :
P(x, y) ={ ∈S(x,y) : ≤ với mọi t }.
Với mỗi (x, y) ∈ D×K, ta thấy rằng tập P(x, y) khác rỗng. Thật vậy, với mỗi (x, y) ∈ D×K, chúng ta định nghĩa ánh xạ đa trị : S(x,y) → bởi
= { ≤ }.
Lấy { } là một dãy của hội tụ đến . Chúng ta có S(x,y) và
≤ với mọi ⍺ . (2.1)
Từ S(x, y) là tập đóng suy ra . Mặt khác F là C − liên tục dưới nên tồn tại giá trị sao cho
F(y, x, ) ⊆F(y, x, ) + V– C với mọi ⍺ . Tức là < + , với mọi . (2.2) Kết hợp (2.1) và (2.2) ta có < + . Do đó : ≤ . Nghĩa là và là tập đóng.
Bây giờ chúng ta thấy là một ánh xạ KKM. Thật vậy, nếu không sẽ tồn tại dãy { } ⊆S(x,y) sao cho : co{ } ⊈ ( ).
Do đó tồn tại co{ } , = , ≥ 0 , = 1 và , với i = 1,2,…,n. Theo định nghĩa của ,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn
Nếu F(x,y,…) là C lồi dưới,
F(y,x, ) F(y,x, ) –C . Nghĩa là
≤
≤ . Điều này mâu thuẫn (2.3).
Nếu F(y, x,…) là C − tựa giống như lồi dưới, thì tồn tại một chỉ số (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
j {1,2,…,n} sao cho
F(y, x, ) ⊆F(y, x, )–C.
Tức là
≤ .
Điều này mâu thuẫn (2.3).
Vì vậy, là ánh xạ KKM. Theo định lý 1.6.5 ta có : (t) .
Do đó tồn tại S(x, y) sao cho
≤ với mọi t S(x,y). Như vậy, S(x, y) và P(x, y) với mọi (x, y) D K.
Chúng ta thấy rằng P(x, y) là tập lồi, với mọi (x, y) D K. Thật vậy, lấy ,
P(x, y) và [0,1], ta có từ tính lồi của S(x, y), + (1 ) S(x, y) và
≤ ,
≤ , với mọi t S(x, y).
Nếu F(y,x, .) là C lồi dưới ,
F(y, x, + (1 ) ) ⊆ F(y, x, ) + (1 ) F(y, x, ) C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn
≤ + (1 ) .
Do đó
≤ , với mọi t S(x, y).
Do vậy, + (1 ) P(x,y) và P(x, y) là tập lồi. Nếu F(y,x, .) là C − tựa giống như lồi dưới
F(y, x, + (1 ) ) ⊆F(y, x, ) –C.
Hoặc :
F(y, x, + (1 ) ) ⊆F(y, x , ) –C.
Trong cả hai trường hợp, chúng ta có:
≤ với mọi t S(x, y).
Do vậy, + (1 ) P(x, y) và P(x, y) là tập lồi.
Hơn nữa, chúng ta khẳng định rằng P là một ánh xạ đa trị đóng. Lấy x,
y, P( ), . Ta thấy rằng P(x, y). Thật vậy, từ
S( ), và S là nửa liên tục trên với các giá trị đóng, S(x,y). Cho
P( ), chúng ta có
≤ , với mọi t S( ). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Với mỗi t S( ), do tính nửa liên tục dưới của S, tồn tại S( ) sao cho t. Ta có:
≤ với mọi .
Do F là ánh xạ đa trị C liên tục trên và C liên tục dưới, nên tồn tại một chỉ số sao cho
F(y,x, ) ⊆ – C ,
⊆F(y, x, ) –C, với mọi ≥ . Điều này có nghĩa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn < + , < + , với mọi ≥ . Do đó < + . Như vậy, ≤ , với mọi t S(x,y). Do vậy P(x,y) và P là một ánh xạ đa trị đóng.
Cuối cùng, chúng ta xác định ánh xạ đa trị H :D K bởi
H(x, y) = P(x, y) T(x, y).
Chúng ta có thể dễ dàng kiểm tra rằng H là một ánh xạ đa trị đóng với các giá trị lồi, khác rỗng. Hơn nữa, từ D K là tập compact, ta có H là một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với các giá trị lồi, đóng khác rỗng. Áp dụng Định lý 1.6.1, tồn tại ( , ) ∈ D K sao cho ( , ) ∈H( , ). Điều này có nghĩa: S( ,
), ∈T( , ) và
≤ , với mọi x S( , ). (2.4)
Ta thấy rằng
F( ) ⊈ –C∖{0}, với mọi x S( , ). Giả sử rằng tồn tại S( , ) sao cho
F( ) ⊆ –C∖{0}.
Nghĩa là
< .
Điều này mâu thuẫn với (2.4). Như vậy, S ( , ), ∈T( , ) và
F( ) ⊈ – C ∖{0}, với mọi x S( , ). Định lí được chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn
Định lý 2.2.Giả thiết
i) C là một nón nhọn trong Y với + khác rỗng ; ii) D và K là các tập lồi, compact khác rỗng ;
iii) S: D×K → là một ánh xạ đa trị liên tục với các giá trị lồi đóng khác rỗng;
iv) T :D×K → là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với các giá trị lồi đóng khác rỗng;
v) Flà ánh xạ đa trị C − liên tục trên và C− liên tục dưới với các giá trị compact khác rỗng ;
vi) Với mỗi (x, y) D K,ánh xạ đa trị F(x, y, .): D là C − tựa giống như lồi dưới ;
Thì tồn tại ( , ) D K sao cho: S( , ), ∈T( , ) và
F( ) ⊈ C ∖{0}, với mọi x S( , ).
Chứng minh .Lấy + cố định. Lấy > 0 tùy ý. Do là phiếm hàm liên tục, nên tồn tại một lân cận V trong Y sao cho (V) ⊆ ( ).
Chúng ta xác định ánh xạ đa trị P : D K và H: D K bởi :
P(x, y) = { ≤ }, với mọi (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
t S(x, y)}, và H(x, y) = P(x, y) T(x, y), x D, y K.
Lập luận tương tự như trong chứng minh của định lý 2.1, ta thấy tồn tại ( , ) D K sao cho ( , ) H ( , ). Ta có S ( , ), ∈T( , ) và
≤ , với mọi x S( , ). (2.5)
Ta thấy
F( ) ⊈ C ∖{0}, với mọi x S( , ). Giả sử rằng tồn tại S( , ) sao cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn
Nghĩa là
.
Điều này mâu thuẫn (2.5). Do đó S ( , ), ∈T( , ) và
F( ) ⊈ C∖{0}, với mọi x S ( , ). Định lí được chứng minh.