Sự tồn tại nghiệm

Một phần của tài liệu Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và những vấn đề liên quan (Trang 27 - 33)

6. Những đóng góp mới của đề tài

2.3. Sự tồn tại nghiệm

Trong chương này để khỏi phải nhắc lại nhiều lần chúng ta luôn luôn kí hiệu X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff. D X,

K Z là các tập con khác rỗng, và các ánh xạ đa trị :

S:D×K → ;

T:D×K → ;

F:K×D×D→ ;

Ta sẽ chứng minh sự tồn tại nghiêm của bài toán cụ bao hàm thứ tựa biến phân Pareto như sau

Định lý 2.1.Giả thiết :

i) C là một nón nhọn trong Y với +khác khác rỗng ; ii) DK là các tập lồi, compact khác rỗng ;

iii) S: D×K → là một ánh xạ đa trị liên tục với các giá trị lồi đóng khác rỗng;

iv) T :D×K → là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với các giá trị lồi đóng khác rỗng;

v) F là ánh xạ đa trị C−liên tục trên và C− liên tục dưới với các giá trị compact khác rỗng ;

vi) với mỗi cặp (x, y) ∈ D×K, ánh xạ đa trị : F(y, x, .): D → là C − lồi dưới (hoặc C – tựa giống như lồi dưới);

Thì tồn tại ( , ) ∈ D×K sao cho ∈S( , ), ∈ T( , ) và

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn

Chứng minh .Cho ∈ +Cố định.Cho > 0 tùy ý. Do là phiếm hàm liên tục, nên tồn tại một lân cận V của Y sao cho(V) ⊆ (- ) .

Chúng ta xác định ánh xạ đa trị P :D×K → bởi :

P(x, y) ={ ∈S(x,y) : ≤ với mọi t }.

Với mỗi (x, y) ∈ D×K, ta thấy rằng tập P(x, y) khác rỗng. Thật vậy, với mỗi (x, y) ∈ D×K, chúng ta định nghĩa ánh xạ đa trị : S(x,y) → bởi

= { ≤ }.

Lấy { } là một dãy của hội tụ đến . Chúng ta có S(x,y) và

≤ với mọi ⍺ . (2.1)

Từ S(x, y) là tập đóng suy ra . Mặt khác FC − liên tục dưới nên tồn tại giá trị sao cho

F(y, x, ) ⊆F(y, x, ) + V C với mọi ⍺ . Tức là < + , với mọi . (2.2) Kết hợp (2.1) và (2.2) ta có < + . Do đó : ≤ . Nghĩa là và là tập đóng.

Bây giờ chúng ta thấy là một ánh xạ KKM. Thật vậy, nếu không sẽ tồn tại dãy { } ⊆S(x,y) sao cho : co{ } ⊈ ( ).

Do đó tồn tại co{ } , = , ≥ 0 , = 1 và , với i = 1,2,…,n. Theo định nghĩa của ,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn

Nếu F(x,y,…) là C lồi dưới,

F(y,x, ) F(y,x, ) –C . Nghĩa là

≤ . Điều này mâu thuẫn (2.3).

Nếu F(y, x,…) là C − tựa giống như lồi dưới, thì tồn tại một chỉ số

j {1,2,…,n} sao cho

F(y, x, ) ⊆F(y, x, )–C.

Tức là

≤ .

Điều này mâu thuẫn (2.3).

Vì vậy, là ánh xạ KKM. Theo định lý 1.6.5 ta có : (t) .

Do đó tồn tại S(x, y) sao cho

≤ với mọi t S(x,y). Như vậy, S(x, y) và P(x, y) với mọi (x, y) D K.

Chúng ta thấy rằng P(x, y) là tập lồi, với mọi (x, y) D K. Thật vậy, lấy ,

P(x, y) và [0,1], ta có từ tính lồi của S(x, y), + (1 ) S(x, y) và

≤ ,

≤ , với mọi t S(x, y).

Nếu F(y,x, .) là C lồi dưới ,

F(y, x, + (1 ) ) ⊆ F(y, x, ) + (1 ) F(y, x, ) C.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn

≤ + (1 ) .

Do đó

≤ , với mọi t S(x, y).

Do vậy, + (1 ) P(x,y) và P(x, y) là tập lồi. Nếu F(y,x, .) là C − tựa giống như lồi dưới

F(y, x, + (1 ) ) ⊆F(y, x, ) –C.

Hoặc :

F(y, x, + (1 ) ) ⊆F(y, x , ) –C.

Trong cả hai trường hợp, chúng ta có:

≤ với mọi t S(x, y).

Do vậy, + (1 ) P(x, y) và P(x, y) là tập lồi.

Hơn nữa, chúng ta khẳng định rằng P là một ánh xạ đa trị đóng. Lấy x,

y, P( ), . Ta thấy rằng P(x, y). Thật vậy, từ

S( ), và S là nửa liên tục trên với các giá trị đóng, S(x,y). Cho

P( ), chúng ta có

≤ , với mọi t S( ).

Với mỗi t S( ), do tính nửa liên tục dưới của S, tồn tại S( ) sao cho t. Ta có:

≤ với mọi .

Do F là ánh xạ đa trị C liên tục trên và C liên tục dưới, nên tồn tại một chỉ số sao cho

F(y,x, ) ⊆ – C ,

F(y, x, ) –C, với mọi ≥ . Điều này có nghĩa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn < + , < + , với mọi ≥ . Do đó < + . Như vậy, ≤ , với mọi t S(x,y). Do vậy P(x,y) và P là một ánh xạ đa trị đóng.

Cuối cùng, chúng ta xác định ánh xạ đa trị H :D K bởi

H(x, y) = P(x, y) T(x, y).

Chúng ta có thể dễ dàng kiểm tra rằng H là một ánh xạ đa trị đóng với các giá trị lồi, khác rỗng. Hơn nữa, từ D K là tập compact, ta có H là một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với các giá trị lồi, đóng khác rỗng. Áp dụng Định lý 1.6.1, tồn tại ( , ) ∈ D K sao cho ( , ) ∈H( , ). Điều này có nghĩa: S( ,

), ∈T( , ) và

≤ , với mọi x S( , ). (2.4)

Ta thấy rằng

F( ) ⊈ –C∖{0}, với mọi x S( , ). Giả sử rằng tồn tại S( , ) sao cho

F( ) ⊆ –C∖{0}.

Nghĩa là

< .

Điều này mâu thuẫn với (2.4). Như vậy, S ( , ), ∈T( , ) và

F( ) ⊈ – C ∖{0}, với mọi x S( , ). Định lí được chứng minh.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn

Định lý 2.2.Giả thiết

i) C là một nón nhọn trong Y với + khác rỗng ; ii) DK là các tập lồi, compact khác rỗng ;

iii) S: D×K → là một ánh xạ đa trị liên tục với các giá trị lồi đóng khác rỗng;

iv) T :D×K → là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với các giá trị lồi đóng khác rỗng;

v) Flà ánh xạ đa trị C − liên tục trên và C− liên tục dưới với các giá trị compact khác rỗng ;

vi) Với mỗi (x, y) D K,ánh xạ đa trị F(x, y, .): DC − tựa giống như lồi dưới ;

Thì tồn tại ( , ) D K sao cho: S( , ), ∈T( , ) và

F( ) ⊈ C ∖{0}, với mọi x S( , ).

Chứng minh .Lấy + cố định. Lấy > 0 tùy ý. Do là phiếm hàm liên tục, nên tồn tại một lân cận V trong Y sao cho (V) ⊆ ( ).

Chúng ta xác định ánh xạ đa trị P : D KH: D K bởi :

P(x, y) = { ≤ }, với mọi

t S(x, y)}, và H(x, y) = P(x, y) T(x, y), x D, y K.

Lập luận tương tự như trong chứng minh của định lý 2.1, ta thấy tồn tại ( , ) D K sao cho ( , ) H ( , ). Ta có S ( , ), ∈T( , ) và

≤ , với mọi x S( , ). (2.5)

Ta thấy

F( ) ⊈ C ∖{0}, với mọi x S( , ). Giả sử rằng tồn tại S( , ) sao cho

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn

Nghĩa là

.

Điều này mâu thuẫn (2.5). Do đó S ( , ), ∈T( , ) và

F( ) ⊈ C∖{0}, với mọi x S ( , ). Định lí được chứng minh.

Một phần của tài liệu Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và những vấn đề liên quan (Trang 27 - 33)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(47 trang)