6. Những đóng góp mới của đề tài
3.1.Sự tồn tại nghiệm bài toán bao hàm thức tựa biến phân yếu
Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff. D ⊆
X, K ⊆Z là các tập con khác rỗng, và các ánh xạ đa trị:
S:D× K→ ;
T:D×K→ ;
F:K×D×D→ ; Ta xét các bài toán sau:
(UWQVIP) Bài toán bao hàm thức tựa biến phân trên yếu: Tìm( , ) ∈D× KSao cho ∈S( , ) , ∈T( , ) và
F( , , x) − intC , với mọi x ∈S( , ).
(LWQVIP) Bài toán bao hàm thức tựa biến phân dưới yếu dưới: Tìm( , ) ∈ D×K sao cho: ∈ S( , ) , ∈T( , ) và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn
Định lý 3.1. Chúng ta giả sử rằng D, K, C, S, T, F đáp ứng các điều kiện ii), iii), iv); v); vi) của định lý 2.1 và C là một nón trong Yvới − khác rỗng. Khi đó, tồn tại ( , ) D K Sao cho S( , ), T( , ) và
F( ) ⊈ − intC với mọi x S( , ).
Chứng minh. Lấy −cố định. Cho > 0 tùy ý. Từ sự liên tục của , tồn tại một lân cận V trong Y sao cho ξ(V) ⊆ ( ). Chúng ta xác ánh xạ định đa trị
P : D K và H: D K bởi :
P(x, y) = { < }, với mọi t S(x, y)},
Và H(x, y) = P(x, y )×T(x, y).
Chúng ta tiến hành tương tự giống như định lí 2.1, thấy rằng tồn tại ( , ) D K
sao cho S ( , ), ∈T( , ) và
≤ , với mọi x S( , ). (3.1.1)
Ta thấy : F( ) ⊈ − intC với mọi x S ( , ). Giả sử rằng, tồn tại S( , ) sao cho
F( ) –intC;
Nghĩa là : > .
Điều này mâu thuẫn (3.1.1).Do đó, S ( , ), T( , ) và
F( ) ⊈ − intC , với mọi x S( , ).
Định lý được chứng minh.
Định lý 3.2. Chúng ta giả sử rằng D, K, C, S, T, F thỏa mãn các điều kiện ii), iii), iv); v); vi) của định lý 2. 2 và C là một nón trong Y với −khác rỗng; Thì tồn tại ( , ) D K sao cho S( , ), ∈ T( , ) và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn F( ) ⊈ + intC, với mọi x S( , ).
Chứng minh. Lấy −cố định. Cho > 0 tùy ý. Từ sự liên tục của , tồn tại một lân cận V trong Y sao cho ξ(V) ⊆ ( ). Chúng ta xác ánh xạ định đa trị P :D K và H: D K bởi :
P(x, y) = { ≤ , với mọi t S },
H(x, y) = P(x, y ) T(x, y).
Chúng ta tiến hành tương tự giống như định lí 2.2 thấy rằng tồn tại ( , ) D K
sao cho S( , ), ∈T( , ) và (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
≤ , với mọi x S( , ). (3.1.2)
Chúng ta thấy :
F( ) ⊈ + intC với mọi x S ( , ).
Giả sử rằng, tồn tại S ( , ) sao cho F( ) intC.
Nghĩa là :
> .
Điều này mâu thuẫn (3.1.2).
Do đó, S ( , ), T( , ) và
F( ) ⊈ + intC với mọi x S ( , ). Định lý được chứng minh.
Nhận xét NếuC là một nón nhọn và C ∅ thì +⊆ − .Thật vậy, cho +tùy ý. Ta có > 0 với mọi c C ∖{0}.
Từ C là một nón nhọn và C ≠ ∅, 0 intC. Điều này có nghĩa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn