6. Những đóng góp mới của đề tài
3.3.Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng yếu
Cho X, Y, Z là các không gian vector tôpô lồi địa phương Hausdorff.
D⊆X, K⊆Z là các tập con khác rỗng, và các ánh xạ đa trị:
S: D× K→ ;
T: D×K→ ;
F: K×D×D→ ; Ta xét các bài toán sau
(UWQEP) Bài toán tựa cân bằng yếu trên: Tìm ( , )∈D ×K sao cho ∈S( , ), ∈T( , )và
F ( , , x) −intC, với mọi x ∈ S( , ).
(LWQEP) Bài toán tựa cân bằng yếu dưới:
Tìm ( , ) ∈D × K sao cho ∈S( , ) , ∈T( , ) và
F( , , x) ∩ (−intC) = ∅, với mọi x ∈S( , ).
hệ quả 3.3. Giả sử D, K, C, S, T và F thỏa mãn các điều kiện của định lý 3.1 và F(y, x, x) ∩ C ≠ ∅, với mọi (x, y) D K. Thì tồn tại ( , ) D K sao cho S ( , ), T( , ) và
F( ) ⊈ intC , với mọi x S( , ).
Chứng minh. Theo định lí 3.1 và chứng minh tương tự giống như hệ quả 3.1, tồn tại S( , ), T( , ) và
≥ 0, với mọi x S( , ). (3.3.1)
Ta thấy rằng F( ) ⊈ − intC, với mọi x S( , ). Giả sử rằng tồn tại S( , ) sao cho
F( ) ⊆− intC . Ta có
< 0. Điều này mâu thuẫn (3.3.1).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn
Do vậy S ( , ), T( , ) và
F( ) ⊈ intC, với mọi x S( , ). Hệ quả được chứng minh.
Hệ quả 3.4. Giả sử D, K, C, S, T và F thỏa mãn các điều kiện của định lý 3.2 và F(y, x, x) ⊆C, với mọi (x, y) D K. Thì tồn tại ( , ) D K sao cho
S( , ), T( , ) và
F( ) ∩ ( intC ) = ∅, với mọi x S( , ).
Chứng minh. Theo định lí 3.2 và chứng minh tương tự giống như hệ quả 3. 2 tồn tại S( , ), T( , ) và
≥ 0 với mọi x S( , ). (3.3.2)
Ta thấy
F( ) ∩ (− int C) = ∅, với mọi x S( , ). Giả sử tồn tại S( , ) sao cho
F( ) ∩ (− int C) ≠ ∅
Thì có sao cho F( ) ∩ (− int C). Khi đó ta có ≤ < 0.
Điều này mâu thuẫn (3.3.2).
Do đó, S( , ), T( , ) và (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
F( ) ∩ (− int C) = ∅, với mọi x S( , ). Hệ quả được chứng minh.
3.4. Sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ƣu tựa cân bằng Pareto
Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff.
D ⊆X, K ⊆Z là các tập con khác rỗng, và các ánh xạ đa trị:
S: D× K→ ;
T: D×K→ ;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn
i) C là một nón nhọn trong Y với +khác khác rỗng ; ii) D và K là các tập lồi, compact khác rỗng ;
iii) S: D×K → là một ánh xạ đa trị liên tục với các giá trị lồi đóng khác rỗng;
iv) T : D×K → là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với các giá trị lồi đóng khác rỗng;
v) F là ánh xạ đa trị C − liên tục trên và C − liên tục dưới với các giá trị compact khác rỗng ;
Ta xét bài toán sau
(PQOP) Bài toán tối ưu tựa cân bằng Pareto: Tìm ( , ) D K sao cho
S( , ), T( , ) và
F( ) ∩ PMin (F( )│C) ≠ ∅.
Hệ quả 3.5. Nếu D, K,C, S, T và F như trong Định lý 2.2, thì tồn tại ( , )
D K sao cho S( , ), T( , ) và
F( ) ∩ PMin (F( )│C) ≠ ∅.
Chứng minh. Theo Định lý 2.2, tồn tại ( , ) D K sao cho
S( , ), T( , ) và
F( ) ⊈ C ∖{0}, với mọi x S( , ). Khi đó tồn tại ∈ sao cho
∉ C∖{0}, với mọi x S( , ). Nghĩa là
PMin (F( )│C). Do đó,
F( ) ∩ PMin (F( )│C) ≠ ∅. Hệ quả được chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn
3.5. Bài toán tối ƣu tựa cân bằng yếu
Cho các ánh xạ đa trị: S: D× K→2D ; T: D×K→2K; F: K×D×D→2Y; i) C là một nón nhọn trong Y với +khác khác rỗng ; ii) D và K là các tập lồi,compact khác rỗng ;
iii) S: D×K → là một ánh xạ đa trị liên tục với các giá trị lồi đóng khác rỗng;
iv) T : D×K → là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với các giá trị lồi đóng khác rỗng;
v) Flà ánh xạ đa trị C − liên tục trên và C − liên tục dưới với các giá trị compact khác rỗng ; (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ta xét bài toán sau
(WQOP) Bài toán tối ưu tựa cân bằng yếu : Tìm ( , ) D K sao cho
S( , ), T( , ) và
F( ) ∩ WMin (F( )│C) ≠ ∅.
Hệ quả 3.6. Nếu D, K, C, S, T và F như trong Định lý 3.2, thì tồn tại ( , ) D K sao cho S ( , ), T( , ) và
F( ) ∩ WMin (F( )│C) ≠ ∅.
Chứng minh.Theo Định lý 3.2, tồn tại ( , ) D K sao cho
S ( , ), T( , ) và
F( ) ⊈ intC, với mọi x S( , ). Khi đó tồn tại ∈ sao cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn
Nghĩa là WMin (F( )│C).
Do đó,
F( ) ∩ WMin (F( )│C) ≠ ∅. Hệ quả được chứng minh.
3.6. Một số ví dụ
Ví dụ 3.1. Cho X = Y = Z = ℝ , C = (− ∞, 0], D = K = [0, 1], S(x, y) = T(x, y) = [0, 1] , và F(y, x, ) = [0, 1], với mọi (y, x, ) ∈K×D×D. Chúng ta dễ dàng kiểm tra giả thiết của định lý 2.1 và định lý 3.1 thoả mãn và F(y, x; x) ∩ C ≠
∅. Bằng kiểm tra trực tiếp ta thấy rằng [0; 1] × [0, 1] là các tập nghiệm của (UPQEP)và (UWQEP).
Ví dụ 3.2. Cho X = Y = Z = ℝ , C = (− ∞, 0], D = K = [0, 1], S(x, y) = T(x, y) = [0, 1] và F(y, x, ) = [1, 2], với mọi (y, x, ) ∈ K× D×D. Chúng ta dễ dàng kiểm tra giả thiết ta của định lý 2.1 và định lý 3.1 thoả mãn nhưng F(y, x, x) ∩ C = ∅. Bằng kiểm tra trực tiếp ta thấy rằng bài toán (UPQEP)và (UWQEP) vô nghiệm.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn
KẾT LUẬN
Luận văn này đã trình bày một số bài toán suy rộng của lý thuyết tối ưu đặc biệt là bao hàm thức tựa biến phân Pareto. Bên cạnh đó chỉ ra sự tồn tại nghiệm của các bài toán liên quan.cụ thể là
Chương 1: nhắc lại một số kiến thức quan trọng của các không gian thường dùng và của giải tích đa trị phục vụ việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán ở các chương sau.
Chương 2: Giới thiệu bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 1 và sự tồn tại nghiêm của bài toán.Từ đó sử dụng những kết quả đó để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của một số bài toán liên quan.
Chương 3: Trình bày một số bài toán liên quan và chỉ ra sự tồn tại nghiệm của các bài toán ấy.
Với phạm vi luân văn và thời gian cũng như khả năng còn hạn chế nên những bài toán trên cần được nghiên cứu sâu sắc hơn để có những kết quả tốt hơn ứng dụng trong ngành giải tích và trong đời sống.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Xuân Tân, Nguyễn Bá Minh, Một số vấn đề trong lý thuyết tối ưu đa trị.
Tiếng Pháp
[2] Berge C., (1959) Espaces topologiques fonctions multivoques, Dunod, Paris. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tiếng Anh
[3] Aubin, J.-P. and Frankowska H., Set-valued analysis, Birkhauser, 1990. [4] Aubin, J.-P. and Cellina A., Dierential Inclusion, Springer Verlag,
Heidelberg,Germany, 1994.
[5] Blum, E. and Oettli, W., From Optimization and variational Inequalities to Equilibrium Problems, The Mathematical Student, Vol. 64, 1-23, 1993.
[6] Fan, K.(1961), A generalization of Tychonoff 's fixed point theorem, Mathematics Annalen 142, 305-310.
[7] F. Ferro,F., Minimax Type Theorems for n-Valued Functions, Annali di Matematica Pura ed Applicata, Vol. 32, pp. 113-130, 1982.
[8] Gurraggio, A. and Tan, N. X., On General Vector Quasi-Optimization Problems, Mathematical Methods of Operation Research, Vol 55,347- 358, 2002.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn
[9] N.X.Hai and P. Q. Khanh, The solution existence of general variational inclusion problems, J. Math. Anal. Appl., 328 (2007), pp. 1268-1277. [10] Lin, L.J and Tan, N.X., On quasivariational inclusion problems of type I
and related problems, J Glob Optim (2007) 39; 393-407.
[11] Lin, L.J. , Yu, Z. T. and Kassay, G., Existence of Equilibria for Monotone multivalued Mappings and Its Applications to Vectorial Equilibria,Journal of Optimzation Theory and Applications, Vol 114, 189-208, 2002.
[12] Luc, D. T., Theory of Vector Optimization, Lectures Notes in Economics and Mathematical Systems,Springer Verlag, Berlin, Germany, Vol 319, 1989.
[13] Luc, D. T. and Tan, N. X., Existence conditions in variational inclusions with constraints,Optimization 53, no. 5-6, 505-515, 2004.
[14] Minh, N. B. and Tan, N. X,Some Suffcient Conditions for the Existence of Equi-libriumPoints Concerning multivalued Mappings, Vietnam Journal of Mathematics,Vol. 28, 295-310, 2000.
[15] Minh, N. B. and Tan, N. X.,On the existence of solutions of quasivariational in –clusion problems of Stampacchia type, Adv. Nonlinear Var. Inequal. Vol. 8, 1-16,2005.
[16] Park, S., Fixed Points and Quasi-Equilibrium Problems. Nonlinear Operator Theory.Mathematical and Computer Modelling, Vol. 32, 1297- 1304, 2000.
[17] Parida, J. and Sen,A., A Variational-Like Inequality for Multifunctions with Applications, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol. 124, 73-81, 1987
[18] Tan, N. X., Quasi-variational inequalities in topological linear locally convex hausdorffspace, Math. Nachr. 122 (1985) 231-245.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn
[19] Tan, N. X., On the existence of of solutions of quasi-variational inclusion problems,Journal of Optimization Theory and Applications, 123, (2004),619-638.
[20] Tuan, L. A. and Sach, P. H., Generalizations of vector quasivariational inclusion problems with set-valued maps, J. Global Optimization, 43, No 1, 2009, 23-45.