Luận văn bao hàm thức tựa biến phân pareto hỗn hợp và một số vấn đề liên quan

PHAN ANH SN BAO HM THC TA BIEN PHN PARETO HN H0P V MT B GIO DC V O TO TRNG s PHM H NI S VN I HC LIấN QUAN Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC s TON HC PHAN ANH SN BAO HM THC TA BIEN PHN PARETO HN H0P V MT S VN LIấN QUAN Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC s TON HC Ngi hng dn khoa hc: GS.TSKH Nguyn Xuõn Tn B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI Trudc trinh bay noi dung chinh cua luan van, toi xin bay to long biet On sau sac tdi GS TSKH Nguyin Xuan Tan ngiidi da tan tinh hudng di,n de toi co the hoan de tai Toi cung xin bay to long biet On chan t(3i toan the cac thay co giao khoa Toan, ONtoi suot qua trinh hoc tap va phong Sau Dai hoc Trildng Dai hoc Sii pham Ha NoiLCJl da CAM giup dS nghien ctiu Nhan dip toi cung xin duoc gijfi ldi cam On chan tdi gia dinh, ban be da luon dong vien, giup d0 toi suot qua trinh hoc tap va thiic hien de tai nghien ciiu Ha Noi, thang 08 nam 2015 Hoc vien Phan Anh Sdn Luan van Thac si Toan hoc "Bao ham thufc ttfa biĐn phan Pareto h6n hdp va mot so van de lien quan " diiOc hoan sir co gang, nQ luc tim hieu, nghien ciiu cua ban than cung vdi sU giup dQ tan tinh cua GS TSKH Nguyfin Xuan Tan Toi xin cam doan luan van khong trimg lap vdi ket qua cua tac gia khac Ha Noi, thang 08 nam 2015 Hoc vien Phan Anh Scfn LCJl CAM ON Mc lc 1.1.1 Bi toỏn bao hm thc ta bin phõn Pareto hn BNG K HIU V VIT TAT Trong lun ny ta dựng nhng kớ hiu vi cỏc ý ngha xỏc nh di õy: N*: hp cỏc s t nhiờn khỏc khụng Q : hp cỏc s hu t R : hp cỏc s thc M+ : hp cỏc s thc khụng õm M_ : hp cỏc s thc khụng dng : khụng gian vector Euclid n - chiu : R : Mn hp cỏc vector cú cỏc thnh phn khụng õm cakhụng gian Mn hp cỏc vector cú cỏc thnh phn khụng dng ca khụng gian X* : khụng gian i ngu tụpụ ca khụng gian tụpụ tuyn tớnh X X : cỏc ca hp X (Ê, X ) : giỏ tr ca Ê e X* ti X G X i = 1, n i = 1, 2,n {a;a} : dóy suy rng x n Ơ X : x n hi t yu ti X : rng F : X > 2y : ỏnh x a tr t X vo Y domF : nh ngha ca ỏnh x F GrF : th ca ỏnh x a tr F C' : nún i ngu ca nún c C'+ : nún i ngu cht ca nún c C'~ : nún i ngu yu ca nún c A ỗ B : A l ca B A M n Tỡm X cho (T(x),x x) > 0, Va; D Bi toỏn ny c m rng cho khụng gian vụ hn chiu v ỏnh x a tr u tiờn ngi ta nghiờn cu nhng liờn quan n ỏnh x n tr t khụng gian vụ hn chiu ny sang khụng gian i ngu ca nú v th t sinh bi nún Khỏi nim ỏnh x a tr ó c xõy dng v phỏt trin nhu cu phỏt trin toỏn hc v cỏc lnh vc khỏc T ú ngi ta tỡm cỏch chng minh cỏc kt qu thu c t n tr sang a tr Bi toỏn bt ng thc bin phõn c nhiu nh toỏn hc nghiờn cu nhng nm gn õy v gi chỳng l bi toỏn bao hm thc bin phõn Vớ d, ta xột cỏc bi toỏn sau: Cho X , Y, z l cỏc khụng gian tụpụ tuyn tớnh li a phng Haus- dorff, D c X , K c z l cỏc khỏc rng, c c Y l nún li úng nhn Cho cỏc ỏnh x: s : D X K -> F : K X D X D -> 2y D , T : D X K K , p u p : D D , Q : K X D - > 2*, 1, Bi toỏn: Tỡm (x,y) Ê D X K a) X e S(x,)] b) Ê T(,); c) F(, ó, z) c F(, X, ) + , tng ng, (F(,x,x) n F(,x,x) + c/ 0), Va? e S(x,) c gi l bi toỏn bao hm thc ta bin phõn lý tng trờn (tng ng, di) loi 2, Bi toỏn: Tỡm X e D cho a) X e P\ (x ); b) F(y,x,x ) c F(y,x,x ) + C(y,x), (tng ng, (F(y,x,x) n F(y,x,x ) + C(y,x ) 7^ 0)), vi mi X P2(^)j y Q(^, a?) c gi l bi toỏn bao hm thc ta bin phõn lý tng trờn (tng ng, di) loi Bi toỏn bao hm thc ta bin phõn lý tng trờn (di) hn hp l bi toỏn bao gm c bi toỏn trờn 3, Bi toỏn: Tỡm (x, ) e D X K cho: a) X S(x,)\ b) e T(x,); c) F(,x,x) y * x ỏ c n h b i N ( y, x ) = F ( y, x , x ) l c - l i n tc di; v) Vi (x,y) D X K, ỏnh x Fi(y, ,x) : K > 2Y2 l (Cl) - i trờn (hoc, C - ging ta li trờn) v vi y K, ỏnh x F (y,.,.) : D X D > Y ù l C - li di theo ng chộo i vi bin th hai (hoc, (C2) - ging ta li di theo ng chộo i vi bin th hai) Khi ú tn ti (x, ) D X K cho X S(x, y)\ T(x,); Fi{,,x) (F(,v,x) - (Ci\{0}), vi miv K , M : D H (x : y) = {y' G T(x,y) : 2D: min(Êi,z) < (Ê u z) ,Vv & T(x,y)} z Ê F 1( y , y ' , x ) z Ê F 1( y, v, x ) v M {x,y) = \t G P(x)\ max (Ê2,2) > max (^2, z ), My G Q(x, t) I ^ z Ê F 2{ y , x , x ) z F 2( y, x , t ) 2.2.4 Bi toỏn bao hm thc ta bin phõn Pareto hn hp J di - di Cho cỏc ỏnh x a tr S,T,P,Q v F, 1,2 vi giỏ tr khụng rng nh phn m u nh lý 2.2.4 Gi s cỏc iu kin sau tha món: i) D, K l cỏc khụng rng li compact; il) s l ỏnh x cú giỏ tr khụng rng li v cú nghch nh m; T l ỏnh x a tr liờn tc vi cỏc giỏ tr khụng rng li úng v A = {{x,y) G D X K\(x,y) G S(x,y) X T(x,y)} úng; Ui) p cú nghch nh m v P(x ) ầ S(x,y), vi mi (x,y ) G A Vi t D, Q(.,t ) : D > K l ỏnh x na liờn tc di vi giỏ tr compact; iv) nh x FI,F cú cỏc giỏ tr khụng rng compact yu; nh x Fl l C\ - liờn tc trờn v ( C l ) - liờn tc di; Vi t D, ỏnh x F (.,.,t) l ( C 2) - liờn tc di v vi y G K, ỏnh x a tr N : K X D Y xỏc nh bi N {y,x ) = F (y,x,x ) l C - liờn tc trờn; v) Vi (x,y) D X K, ỏnh x F ( y, ,x) : K > Y l ( Cl ) - li trờn (hoc, Cl - ging ta li trờn) v vi y G K, ỏnh x F (y,.,.) : D X D y * l C - li trờn theo ng chộo i vi bin th hai (hoc, ( c ) ging ta li trờn theo ng chộo i vi bin th hai) Khi ú tn ti (x,y) E D X K cho X E S(x,y ); y E T(x,y); Fi(,,x) (Fi(,v,x) - (Ci\{0}), vi miv K , M : D > D \ H{x,y) = {y' e T(x,y) : ( Ê i , z ) < (Ê1, z),\/v e T(x, y)} z F ( y, y ' , x ) zGFi(y,u,x) v M(x : y) = L ầ Q(:r,ớ) > p{x)\ max (6,2) >max (Ê2,2), Vy e z Ê F 2( y , x , x ) z F 2( y , x , t ) J Chng minh nh lý ny hon ton tng t nh chng minh nh lý 2.2.1 vi Hi,M ln lt thay bi H,M Chỳ ý Gi s cỏc gi thit ca nh lý 2.2.1 - 2.2.4 c tha tr ) v i ) (tng ng) c thay bi: i) s l ỏnh x na liờn tc di vi giỏ tr khụng rng, li; iii) p l ỏnh x na liờn tc di v P(x ) ỗ S(x, y ), vi X E S(x, y ), y Ê T(x,y ) v A = {(x,y) D X K\(x,y) G S(x,y ) X T(x,y)} úng Khi ú, kt lun ca cỏc nh lý trờn ỳng Chng minh Cho u l c s lõn cn li úng ca gc khụng gian X v fỡ(7ew ^ = {0}- Vi mi u E l i , t ó nh ngha ỏnh x a tr Su : D X K D , Pu : D 2, Su(x , y ) = (S{x, y) + U)n D, Pu(x) = (p(x) + u) n u, X D x K , G(x ,y ) = H (x , y) X y) & D X K Khi dú, G cng l mt ỏnh x na liờn tc trờn vi giỏ tr li, compact, khụng rng p dng nh lý im bt ng Ky Fan, tn ti (x,) Ê D X K cho (x, ) G(x,) T ú suy r a H (x, ) v H (x,) v ú X G S(x,); Y l c2 - li di (hoc, - ging ta li trờn) Khi ú, tn ti (x, ) e D X K cho X G S(x,)', e T(x, ); Fi(,v,x) F x {,,x) - (Ci\{0}), vi miv T(x,); F 2{,x,t) F (,x,x) - (2\{0}), vi mt e S(x,) Chng minh Lp lun tng t nh lý 2.3.1, vi Hi(x,y) = {y' G T(x,y) : max z F i ( v, v ' , x ) (Ê1,2)} < max (&, z)}, Mv V l l Ci - li trờn (hoc - Ci - ging ta li trờn), v ỏnh x F (y, X ,.) : D Y l C li trờn (hoc, C - ging ta li trờn) Khi ú, tn ti (x,) D X K cho X S(x,)] T(x,); Fi{,,x) Fi(,v,x) - (CAiO), vi miv G T(x,); F (,x,x) F (,x,t) - (C2\{0}), vi mit S(x,) Chng minh Lp lun tng t nh lý 2.3.1, vi H(x,y) = {y'e T(x,y) : e ( Ê i , z ) } < T(x, y) z F 1( y, y ' , x ) H {x,y) = {x' e S(x,y) : (ẫx, z)} < S(x, y) z Ê F 2{ y , x , x ' ) (Ê1, z)}, Vv z F 1(y, v, x ) (Ê1, z)}, Vớ e z Ê F 1( y, x , t ) Ta cú iu phi chng minh 2.3.2 Bi toỏn ta cõn bng Pareto hn hp Trong cỏc nh lý 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, nu b sung thờm iu kin Fi(y, y, X ) C C v F (y, X , X ) C c vi mi (X , y) D X K, thỡ ta cú cỏc kt qu cho cỏc bi toỏn ta cõn bng Pareto hn hp Vớ d, ta xột h sau: Bi toỏn ta cõn bng Pareto hn hp trờn - trờn nh lý 2.3.4 Gi s cỏc iu kin sau tha mn: ) D, K l cỏc khụng rng li compact; ) s l ỏnh x cú giỏ tr nh m; li khụng rng v cú nghch T l ỏnh x a tr liờn tc vi cỏc giỏ tr khụng rng li úng v A = {{x,y) e D X K\{x,y) K l ỏnh x na liờn tc di vi giỏ tr compact; iv) nh x F,F cú giỏ tr khụng rng compact yu; nh x F l C\ - liờn tc di v Ci - liờn tc trờn; Vi t e D, ỏnh x F2( , ,t ) l C liờn tc trờn vi y E K, ỏnh x a tr N : K X D Ơ Y xỏc nh bi N (y,x ) = F (y,x,x) l c - liờn tc di; v) Vi (x,y) e D X K, ỏnh x Fi(y,.,x) : K > Y l l C - li di (hoc, C - ging ta li di) v mi y K, ỏnh x F (y,.,.) : D X D > Y l - li di theo ng chộo i vi bin th hai (hoc, c - ging ta li di theo ng chộo i vi bin th hai) vi) Vi (x,y) e D X K, ỏnh x F(y,.,x) ầ C\ v F (y,x,x ) ầ c2 Kh ú tn ti (x,) G D X K cho X G S(x,)', G T(x,); F(,v,x) Ê -(Ci\{0}), vi miv T(x,); F (y,x,t ) ( (2\{0}), vi mit p(ổ), y Q(,ớ) Chng minh Theo nh lý 2.3.1, tn ti (x, ) e D X K cho G S{x,)] e T(x,); F^iVtz) (Fi(,,x) - (i\{0})), vi mi V e T(x,)\ F {y,x,t) ( F (y,x,x) - (2\{0}), vi mi G S(x,),y Ê Q(x,t) Gi s tn ti V* T(, ) tha -Fi(, v*,óf) ầ (Ci\{0}) T ú suy F ( , v, x ) ầ F ( , , x ) - (Fi(/,,ó) - (i\{0}) ầ Fi(,,x) - I - (A{0}) ầ Fl (, , ó - (i\{0}); ta cú mõu thun Vỡ vy, Fi(/,U,) -(i\{0}), vi mi V G T{x,) Tng t, ta cú F (y,x,t ) ^ (C'2\{0}) = 0, vi mi e -P(i), y G Q(ó, t ) Bi toỏn ta cõn bng Pareto hn hp trờn - di nh lý 2.3.5 Gi s cỏc iu kin sau c tha món: i) D, K l cỏc khụng rng li compact; ỹ) s l ỏnh x cú giỏ tr li khụng rng v cú nghch nh m; T l ỏnh x a tr liờn tc vi cỏc giỏ tr khụng rng li úng v A = {(x,y) e D X K\(x,y) e S(x,y ) X T(x,y)} úng; in) p cú nghch nh m v p(x ) ầ S(x,y ) vi mi (x,y ) G A Vi t Ê D, Q(.,t) : D > K l ỏnh x na liờn tc di vi giỏ tr compact; iv) nh x F,F cú giỏ tr khụng rng compact yu; nh x F l C\ - liờn tc di v C - liờn tc trờn; Vi t Ê D, ỏnh x F (., ,t ) l C - liờn tc trờn vi y K, ỏnh x a tr N : K X D Y xỏc nh bi N (y,x) = F (y,x,x ) l c - liờn tc di; v) Vúi (x,y) E D X K, ỏnh x F (y,.,x) : K ằ Y l l C\ - li di (hoc, C - ging ta li di) v mi y G K, ỏnh x F (y,.,.) : D X D Y l li di theo ng chộo i vi bin th hai (hoc, c - ging ta li di theo ng chộo i vi bin th hai) vi) Vi (x,y) G D X K, ỏnh x F(y,.,x) ỗ Cl v F (y,x,x ) ầ c Kh ú, tn ti (x, ) Ê D X K cho X ỗ s(x, y ); G T(x,); F^^v.x) ~(i\{0}), vi miv e T(x,); F (y,x,t ) < (2\{0}), vi mit G p{x), y G Q(x,t)) Lp lun tng t, ta cú cỏc kt lun cho cỏc bi toỏn ta cõn bng Pareto hn hp cũn li Trong cỏc vớ d sau, cho D, K ln lt l cỏc khụng rng ca cỏc khụng gian tụpụ tuyn tớnh li a phng Hausdorff X, z Cho c l nún li, úng, nhn khụng gian tụpụ tuyn tớnh li a phng Hausdorff Y Vớ d 2.3.1 Cho N : D X K > X*, M : D X K ^ z * l cỏc ỏnh x liờn tc Cỏc ỏnh x fl : D X D > Y, /2 : K X D X D ằ Y, g : D X D ằ M, h : K X D X D R Ta nh ngha cỏc ỏnh x s : D X K , T : D X K ằ k , Pi : D > 2, ô = , , Q : D X D ằ K nh sau: S(x, y) = {z D\ (N(x, y), t z) > 0, Vớ D}] T(x, y) = {v G {M(x, y), w v) > o, Viỹ E i } ; Pi(ớc) = {ớ G D|p(ợc,ợ/) > 0},p (z) = {t G z%(a;,i) < 0}; Q(M) = {y Xột bi toỏn: Tỡm (x,) Ê D X K cho < 0} X G S{x,)\ e T(x,)2 fi(x,y) - (\{0}), vi mi y T(,); 3- /2( y, M ) ^ f {y,x,x) - ( \ { 0})5 vi mi t e p {x), y G Q(,ớ) Bi toỏn ny l trng hp c bit ca mt bn bi toỏn hn hp u tiờn Khi X & S(x,), e T(x,) ta thy ặ l nghim ca bt ng thc biờn phõn (N(x,),t x) < vi mi t G D v l nghim ca bt ng thc bin phõn (M(x,), w ) X*, s : D X K ằ Bi toỏn: Tỡm X e S(x,) cho (R(x,),v x) > vi mi V e S(x,) vi S(x,y ) = {u e D\ (Q(x,y),v u) > 0,vi mi V e D}, c gi l bi toỏn bt ng thc bin phõn trờn nghim ca bi toỏn bt ng thc bin phõn Bi toỏn ny c nghiờn cu ([3], [14]), l trng hp c bit ca cỏc bi toỏn bao hm thc ta bin phõn Pareto hn hp Fi(y,v,x) = (R(x,y),v X), (y,v,x ) G K X K X D , F ( y, x , t ) = a G Y, l mt hng s, vi (y, x , t ) K X D x D v X thay bi y, T thay bi s Vớ d 2.3.3 nh x / : D X D > M, Sf {u E D\f(u,v ) > 0, vi mi V D} Bi toỏn: Tỡm X cho (R(x,),v x ) > , Vv G S f c gi l bi toỏn bt ng thc bin phõn trờn nghim ca bi toỏn cõn bng v cng l trng hp riờng ca cỏc bi toỏn ó xột trờn (t S(x,y ) = {lớ D\f(u,v) > 0,vi mi V D}, ( x , y ) D X K, FI,F nh Vớ d 2.3.2) Vớ d 2.3.4 Cho ỏnh x / : D > D, Sf = {t G D\ ( f ( x ) t, z x ) ,Vz D} Bi toỏn: Tỡm X cho (R(x,), V x) > 0, Vv G Sf c gi l bi toỏn bt ng thc bin phõn trờn nghim ca bi toỏn im bt ng v cng l trng hp riờng ca cỏc bi toỏn ó xột trờn (t S ( x , y ) = {(f ( x ) t , z x ) , V z e D } : ( x : y ) e D X K, F : F nh Vớ d 2.3.2) KT LUN Lun trỡnh by cỏc kin thc c bn v ỏnh x a tr: tớnh liờn tc, tớnh li ca ỏnh x a tr Ta s dng cỏc tớnh cht ny vo nghiờn cu cỏc bi toỏn bao hm thc ta bin phõn Pareto hn hp Cỏc bi toỏn ny cho ta thy mt cỏch nhỡn nht quỏn v cỏc bi toỏn lý thuyt ti u a tr C th, lun ó cho thy iu kin bi toỏn cú nghim Nhng kt qu ca bao hm thc ta bin phõn hn hp cng c ng dng cho mt bi toỏn im cõn bng v mt s bi toỏn khỏc lý thuyt ti u Cỏc bi toỏn ny cú kh nng ng dng vo nhiu lnh vc khỏc khoa hc v thc tin Tỏc gi xin chõn thnh cm n! TI LIU THAM KHO [1] Nguyn ụng Yờn (2007), Gii tớch a tr, NXB Khoa hc t nhiờn v cụng ngh [2] Nguyn Xuõn Tn - Nguyn Bỏ Minh (2005), Mt s lý thuyt ti u a tr, NXB Giỏo dc, H Ni [3] Pham Ngoe Anh, Kim, J and Le Dung Muu (2012), An extragradient algorithm for solving bilevel variational inequalities, J Glob Optim., 52, 527-539 [4] Nguyen Thi Quynh Anh and Nguyen Xuan Tan (2011), Generralized QuasiEquilibrium Problems of Type II and Their Applications, Vietnam Journal of Mathermatics 39:2 (2011) 191-215 [5] Nguyen Thi Quynh Anh and Nguyen Xuan Tan (2013), On the existence of solutions to mixed Pareto quasivariational inclusion problems, Advances in Nonlinear variational Inequalities, volume 16, Number 2, 1-22 [6] Aubin, J P and Cellina, A (1994), Differential Inclusion, Springer Verlag , BerLin, Gemany [7] Browder, F ECoincidence theorems, minimax theorems and variational inequalities, Conference in modern analysis and probability (NewHaven, Conn., 1982), 67-80, Contemp Math, 26, Amer Math Soc., providence, RI, (1984), 67-80 [8] Berge, c., Espaces Topologiques et Fontions Multivoques, Dunod, Paris 1959 [9] Truong Thi Thuy Duong and Nguyen Xuan Tan,(2010) On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems, Adv.Nonlinear Var Inequalities 13, No.l, 2010, 29-47 [10] Fan, K (1952), Fixed point and minimax theorems in locally convex topological linear spaces , Proc Nat Acad Sci U S A 38, 121-126 [11] Fan, K (1961), A generalization of Tychonoff s fixed point theorem , Mathematische Annalen, 142, 305-310 [12] Ferro, F (1989), A minimax theorem for vector-valued functions J Optim Theory and Appl 60, 19-31 [13] Bui The Hung and Nguyen Xuan Tan (2012), On the existence of solutions to Pareto and weak quasivariational inclusion problems, Adv Nonlinear Var Inequal 15, no 2, 1-16 [14] Kalashnikov, V V and Klashnikova, N I (1996), Solving two-level variational inequality , J Glob Optim., 8, 289-294 [15] Lin, L.J and Nguyen Xuan Tan (2007), On quasi-variational inclusion problems of type I and related problems J Global Optimization 39, No 3, 393- 407 [16] Dinh The Luc and Nguyen Xuan Tan (2004), Existence conditions in variational inclusions with constraints Optimization 53, 505- 515 [17] Pham Huu Sach and Le Anh Tuan (2007), Existence Results for Setvalued Vector Quasi equilibrium Problems J Optim Theory and Appl F l (Q, ) n u v i b t kỡ a / ớrn theo ng chộo i vi bin th ba h u h n { a ; i, , xn} ỗ D , X G co{a;i, , x n }, tn ti ch s j G {l, ,n} cho F(y,x,xj ) ầ F(y,x,x ) + C(y,x), vi mi y G Q(x,xj) [...]...+ Tỡm hiu v bao hm thc ta bin phõn + i sõu vo bao hm thc ta bin phõn Pareto trờn, di, hn hp + Gii thiu c bn v s tn ti nghim ca chỳng v cỏc vn liờn quan 4 Nhim v nghiờn cu + Trỡnh by nh ngha, nh lý v cỏc khỏi nim cú liờn quan n ỏnh x a tr 4- Nghiờn cu bi toỏn bao hm thc ta bin phõn Pareto hn hp, xột s tn ti nghim ca nú v cỏc bi toỏn liờn quan 5 i tng v phm vi nghiờn cu + i tng... thuyt ti u liờn quan ti ỏnh x a tr c th l bi toỏn bao hm thc ta bin phõn Pareto hn hp v s tn ti nghim ca nú + Phm vi nghiờn cu: Cỏc bi bỏo, cỏc cun sỏch v cỏc ti liu cú liờn quan n bao hm thc ta bin phõn Pareto hn hp v mt s bi toỏn trong lý thuyt ti u a tr 6 Phng phỏp nghiờn cu + S dng kin thc c bn ca gii tớch a tr: khỏi nim v tớnh cht ca ỏnh x a tr, kin thc v bao hm thc ta bin phõn Pareto hn hp +... tr thnh bi toỏn bao hm thc ta bin phõn Pareto loi 2 Khi F 2 l ỏnh x hng, ch cn i vai trũ X v y : s v T, D v K cho nhau, bi toỏn trờn tr thnh bi toỏn bao hm thc ta bin phõn Pareto loi 1 Cỏc bi toỏn ny ó c Bựi Th Hựng v Nguyn Xuõn Tn xột n trong [13] Ta cng cú nhn xột tng t vi cỏc bi toỏn cũn li Mc ớch ca chng ny l tỡm cỏc iu kin cho vic tn ti nghim ca cỏc bi toỏn bao hm thc ta bin phõn Pareto hn hp nờu... 0)), \/x G S(x,) c gi l bi toỏn bao hm thc ta bin phõn lý tng trờn (di) loi 1 2, Bi toỏn: Tỡm X e D sao cho a) X Ê P(x) b) F(y,x,x ) ỗ F(y,x,x ) + C(y,x), (tng ng, (F(y,x,x) n F(y,x,x ) + C(y,x ) v< 3i mi X G p{x), y G Q(x, X ) c gi l bi toỏn bao hm thc ta bin phõn lý tng trờn (di) loi 2 Tng t, cỏc bi toỏn bao hm thc ta bin phõn Pareto, thc s, yu cng c nghiờn cu Bi toỏn bao gm c hai loi bi toỏn trờn... Ê co{t,t n }, tn ti tj Ê {1, t n } sao cho 0 e F(y,x,tj), vi mi y e Q(x,tj ); 2 Cho 7z l mt quan h hai ngụi trờn K X D Ta núi rng quan h 1Z l quan h úng nu vi mi dóy suy rng (y a ,x a) hi t ti (y,x ) v TZ(y a , x a ) xy ra vi mi a thỡ 7Z(y, X ) xy ra; 3 Cho 1Z l mt quan h ba ngụi trờn K X D X D Ta núi 1Z l quan h Q KKM nu vi mi tp hu hn {ti, ,n} ỗ D v X e co{ti,t n }, tn ti tj e {t, t n } sao cho... ); 4) \/x, y G Y, kớ hiu Xy nu I-/ inte Nu c l nún li thỡ quan h th t trờn l tuyn tớnh v nú l quan h th t tng phn trờn Y Hn trờn cú tớnh cht phn na, nu c l nún nhn th quan i xng, cú ngha l nu X y y v X ^ thỡ x = y Vớ d 1.1.1 1 Cho Y c = M = {x (xi,x 2 , ,x n )\xj G R,Vj = l,n},tp = {x = {xi,x2, ,xn) Ê l nún li, úng, nhn Trờn c ta xỏc nh quan h th t nh sau: Mnxj > 0= 1 ,n}, h y X = {xux2, ,xn),... D X D ^ 2 Y \ ta xột cỏc bi toỏn sau: 1) Bi toỏn bao hm thc ta bin phõn Pareto hn hp trờn - trờn Tỡm (x, ) G D X K sao cho 1 X e S ( x , ) , 2 e T(x,); 3- F ] _ ( , v, x ) F i ( , , x ) - (i\{0}), vi mi V e T ( x , ) ; { y, x , t ) F 2 { y : x : x ) - ( C 2 \ { 0 } ) , vi mi ớ G P ( x ) , y e Q { x , t ) 2) Bi toỏn bao hm thc ta bin phõn Pareto hn hp trờn - di Tỡm (x, ) e D X K sao cho X... y, x , t ) - ( C 2 \ { 0}), vi mi ớ G p ( x ) , y G Q ( x , t ) 3) Bi toỏn bao hm thc ta bin phõn Pareto hn hp di - trờn Tỡm (x, ) D X K sao cho 1 X S(x,)-, 2 T(x,)\ 3 Fi(ỡ/,,) F x (,v,x) + (Ci\{0}), vi mi V G T(,); 2{y,x,t) F 2 {y : x : x)-(C 2 \{0}), vi mi ớ G P(z), y G Q(,ớ)- 4) Bi toỏn bao hm thc ta bin phõn Pareto hn hp di - di Tỡm (x,) e D X K sao cho 1 G S(x,); 2 e T{x,); 3 Fi(,,z)... gian tụpụ tuyn tớnh, c l nún trong Y, ta kớ hiu CC, intc, coneC ln lt l bao úng, phn trong, bao li ca nún c Ta thng quan tõm ti cỏc loi nún sau: i) Nún c l nún li (nún úng) nu tp c l tp li (tp úng); ii) Ta kớ hiu 1(C) = c n (-C) l phn trong tuyn tớnh ca nún c Nún c c gi l nún nhn nu 1(C) = 0; Vi nún c cho trc, ta cú th nh ngha quan h th t trong Y nh sau: 2) Va;, y G Y, X y Cy nu X y Ê c , (cú th... liờn tc di Mt s kt qu v mi liờn quan gia tớnh liờn tc trờn v di ca ỏnh x a tr li (lừm) cng c a ra Phn cui ca chng trỡnh by v tớnh li theo nún, múi liờn quan gia tớnh c - ta li thc s, c - ta li trờn ca ỏnh x a tr vi tớnh li ca hm vụ hng Kin thc ca chng ny s c s dng cho vic nghiờn cu cỏc phn ca chng sau 1.1 Nún v ỏnh x a tr Trong toỏn hc v trong thc t, ta gp nhiu bi toỏn liờn quan n phộp tng ng mt im ca