Bài toán bao hàm thức tựa biến phân pareto và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ĐÀO XUÂN TIẾN BÀI TOÁN BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ĐÀO XUÂN TIẾN BÀI TOÁN BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành Luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, người thầy đã định hướng chọn đề tài và hướng dẫn tận tình, chu đáo cho tôi. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và cơ quan công tác đã giúp đỡ, động viên tạo điều kiện để tôi hoàn thành Luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Đào Xuân Tiến LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto và ứng dụng” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Đào Xuân Tiến Mục lục Mở đầu 5 1 Kiến thức cơ bản 9 1.1 Các không gian thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 17 1.2 Nón và ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.1 Nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 Các tính chất của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.1 Tính liên tục và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị 24 1.3.2 Tính lồi và tựa lồi theo nón . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4 Các định lý điểm bất động và KKM . . . . . . . . . . . . . 29 2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 1 32 2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Sự tồn tại nghiệm của các bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 2.3 Bài toán tựa cân bằng Pareto loại 1 . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.1 Bài toán tựa cân bằng Pareto trên (UP QEP ) 1 : . . . 43 2.3.2 Bài toán tựa cân bằng Pareto dưới (LP QEP ) 1 . . . 44 2.3.3 Bài toán tựa cân bằng yếu trên, loại 1 . . . . . . . . 45 2.4 Bài toán tựa tối ưu Pareto loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4.1 Bài toán tựa tối ưu Pareto loại 1 (P QOP ) 1 . . . . . . 46 2.4.2 Định lý: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 2 48 3.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Sự tồn tại nghiệm của các bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3 Bài toán tựa cân bằng Pareto loại 2 . . . . . . . . . . . . . 57 3.4 Bài toán tựa tối ưu Pareto loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . 59 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 4 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Từ những năm đầu thế kỉ XX đến nay, đặc biệt là thời gian gần đây, lý thuyết tối ưu véctơ đóng một vai trò quan trọng, vì nó thâm nhập vào rất nhiều lĩnh vực trong thực tế và các ngành khoa học kĩ thuật khác nhau. Các bài toán cơ bản của lý thuyết tối ưu là bài toán tựa tối ưu, bài toán bao hàm thức tựa biến phân, bài toán tựa cân bằng. Lúc đầu, người ta chỉ nghiên cứu những bài toán này liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian Euclide có số chiều hữu hạn này sang không gian Euclide có số chiều hữu hạn khác. Sau đó người ta mở rộng cho các bài toán trong không gian có số chiều vô hạn với nón bất kỳ. Dựa trên định lý điểm bất động Kỳ Fan, Browder-Kỳ Fan và nguyên lý KKM người ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán bao hàm thức biến phân Pareto, bài toán cân bằng Pareto và bài toán tối ưu Pareto. Các lớp bài toán này, khi miền định nghĩa thay đổi theo ánh xạ đa trị, người ta gọi chúng là các bài toán tựa. Dựa theo tính chất của các ánh xạ ở miền ràng buộc, ta lại chia chúng thành hai loại: loại 1 và loại 2. Mỗi loại lại được chia thành 2 loại: trên và dưới. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto được phát biểu cụ thể như sau: 1.1. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 1 5 Cho D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con khác rỗng, với các ánh xạ đa trị: S : D × K → 2 D , T : D × K → 2 K , F : K × D × D → 2 Y . Bài toán: Tìm (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho ¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y) và F (¯y, ¯x, x)  F (¯y, ¯x, ¯x) − C\ {0} (F (¯y, ¯x, ¯x)  F(¯y, ¯x, x) + C\ {0}), với mọi x ∈ S(¯x, ¯y). được gọi là bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên ( dưới ) loại 1. 1.2. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 2 Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff, gọi D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con khác rỗng. Cho các ánh xạ P 1, P 2 : D → 2 D , Q : D × D → 2 K và F : K × D × D → 2 Y Bài toán: Tìm x ∈ D sao cho x ∈ P 1 (x) và F (y, x, x)  F (y, x, x) − C\ {0} (F (y, x, x)  F (y, x, x) + C\ {0}) với mọi x ∈ P 2 (x) và y ∈ Q(x, x) được gọi là bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên ( dưới ) loại 2. Các bài toán này có liên quan tới các loại bài toán tựa cân bằng Pareto trên (dưới) loại 1, loại 2, các loại bài toán tựa tối ưu Pareto trên (dưới) loại 1, loại 2 và nhiều bài toán khác nữa và được nghiên cứu rất nhiều trong những năm trở lại đây. Với những lí do trên, tôi chọn đề tài “Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto và ứng dụng” làm luận văn thạc sĩ của mình, luận văn này được viết dựa trên cơ sở của bài báo 6 [3]. [4]. 2. Mục đích nghiên cứu Để tìm nghiệm của các bài toán trước hết người ta phải biết bài toán có nghiệm hay không, sau đó mới tìm các phương pháp thuật toán tiếp cận nghiệm. Ví dụ, xét các bài toán tối ưu, thông thường người ta thường đưa ra các điều kiện tổng quát cho việc tồn tại nghiệm, sau đó, mới tìm các thuật toán để giải. Chính vì vậy, việc xét sự tồn tại nghiệm của các bài toán là một trong những vấn đề quan trọng khi nghiên cứu các bài toán. Mục đích của luận văn là đưa ra mô hình, sự tồn tại nghiệm của các bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto và ứng dụng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Phát biểu bài toán dựa trên những yêu cầu của thực tế khách quan. Sau đó tìm các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của các loại bài toán này và của các bài toán liên quan. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các bài toán trong lý thuyết tối ưu liên quan tới ánh xạ đa trị: Sự tồn tại nghiệm và ứng dụng của chúng. Sau đó, tìm các mối liên hệ giữa bài toán này với các bài toán khác trong lý thuyết tối ưu đa trị. 5. Những đóng góp mới của đề tài Luận văn là trình bày những kết quả về một lớp bài toán trong lý thuyết tối ưu. Nghiên cứu sâu về sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto và ứng dụng của nó. 6. Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích, đánh giá và sử dụng các định lý điểm bất động 7 của Ky Fan, Ky Fan-Browder và Định lý KKM liên quan đến ánh xạ đa trị để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm cho các bài toán trong lý thuyết tối ưu đa trị. 8 [...]... mọi x ∈ D, x ∈ F (x) và F (x) là lồi; / 2) Với mọi x ∈ D, F −1 (x ) là mở trong D Thì tồn tại x ∈ D sao cho 30 F (x) = ∅ 31 Chương 2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 1 Trong chương này sẽ giới thiệu bài toán bao hàm thức tựa biến phân trên (dưới) loại 1 Sau đó sử dụng định lý điểm bất động Kỳ Fan, [7], Browder-Kỳ Fan, [6] và nguyên lý KKM, [2], để nghiên cứu và chứng minh sự tồn tại nghiệm... y), y ∈ T (x, y) và F (y, x, x) (F (y, x, x) F (y, x, x) − C\ {0} F (y, x, x) + C\ {0}), với mọi x ∈ S(x, y); 32 được gọi là bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên (U P QV IP )1 ( dưới (LP QV IP )1 ) loại 1 2.2 Sự tồn tại nghiệm của các bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 1 Trong mục này X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff, D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con khác... của Y là đối ngẫu của Y và phần tử của Y Ta cần sử dụng hai bổ đề sau trong phần chứng minh định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 1 Bổ đề 2.2.1 [2] Cho X, Y là các không gian véctơ tôpô Hausdorff, F : X → 2Y là một ánh xạ đa trị với giá trị là những tập compact Thì F là nửa liên tục dưới tại x ∈ X nếu và chỉ nếu với mọi y ∈ F (x) và với mọi dãy {xn } trong... quả của bài toán tựa cân bằng Pareto và tựa tối ưu Pareto Chương này được viết dựa trên bài báo [3] mục tài liệu tham khảo 2.1 Phát biểu bài toán Cho X, Y, Z là các không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff, gọi D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con khác rỗng Cho các ánh xạ đa trị: S : D × K → 2D , T : D × K → 2K , F : K × D × D → 2Y Bài toán: Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y) và F (y,... hiệu C[a,b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định và liên tục trên đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞) Với hai hàm số bất kỳ x(t), y(t) ∈ C[a, b] ta đặt d(x, y) = max |x(t) − y(t)| a≤t≤b 10 Khi đó vì các hàm số x(t), y(t) liên tục trên đoạn [a, b] nên hàm số |x(t) − y(t)| cũng liên tục trên đoạn [a, b] Do đó hàm số này đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [a, b] Suy ra hệ thức trên xác định một ánh xạ... gọi là C− tựa lồi dưới trong D nếu với mọi x1 , x2 ∈ D, α ∈ [0, 1] , thì: F (αx1 + (1 − α)x2 ) ⊆ F (x1 ) − C (hoặc F (αx1 + (1 − α)x2 ) ⊆ F (x2 ) − C) Chú ý: 1) Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị, tính C− lồi trên và C− lồi dưới là trùng nhau và ta gọi là C− lồi Nếu Y = R, C = R+ thì ta có khái niệm hàm lồi theo nghĩa thông thường 2) F là ánh xạ đơn trị thì khái niệm C− tựa lồi trên và C− tựa lồi dưới... := {A|A ⊆ Y } Tất nhiên ∅ ⊂ 2Y và Y ⊂ 2Y Nếu A ∈ 2Y và B ⊂ A thì B ∈ 2Y Ánh xạ F : X → 2Y đi từ X vào 2Y , biến mỗi phần tử x ∈ X thành một tập con F (x) của Y (không loại trừ khả năng với một số x ∈ X nào đó ta có F (x) là tập rỗng) được gọi là một ánh xạ đa trị từ X vào Y Nếu với mỗi x ∈ X mà tập F (x) luôn có đúng một phần tử thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y Kí hiệu F : X → Y Định nghĩa... tương ứng xác định bằng các công thức Graph(F ) = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} domF = {x ∈ X : F (x) = ∅} Ánh xạ ngược của F là ánh xạ đa trị F −1 : Y → 2X được xác định bởi công thức F −1 (y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)} với y ∈ Y Định nghĩa 1.2.6 Cho F1 , F2 : X → 2Y , ánh xạ giao của F1 và F2 là (F1 ∩ F2 )(x) = F1 (x) ∩ F2 (x) Nếu Y là không gian tôpô, F : X → 2Y , ký hiệu F và F 0 là các ánh xạ bao đóng,... cl(C), int(C), conv(C) lần lượt là bao đóng tôpô, phần trong tôpô, và bao lồi của nón C Nón C được gọi là nón đóng nếu C đồng thời là tập đóng Kí hiệu l(C) = C ∩ (−C), và ta thấy rằng C là nón lồi thì l(C) là không gian tuyến tính nhỏ nhất nằm trong C và nó được gọi là phần trong tuyến tính Nón C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = {0} Nón C được gọi là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn Nón C được... nhau và được gọi là C− tựa lồi Tức là F là C− tựa lồi trong D nếu với mọi x1 , x2 ∈ D, t ∈ [0, 1], ta có: 27 F (x1 ) ∈ F (tx1 + (1 − t)x2 ) + C hoặc F (x2 ) ∈ F (tx1 + (1 − t)x2 ) + C Trong trường hợp Y = R, C = R+ thì F là C− tựa lồi Tức là F (x1 ) ≥ F (tx1 + (1 − t)x2 ) hoặc F (x2 ) ≥ F (tx1 + (1 − t)x2 ), ∀x1 , x2 ∈ D, t ∈ [0, 1] Dẫn đến F (tx1 + (1 − t)x2 ≤ max {F (x1 ), F (x2 )} Do đó F là hàm tựa . 47 3 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 2 48 3.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Sự tồn tại nghiệm của các bài toán bao hàm thức tựa biến phân. Browder-Kỳ Fan và nguyên lý KKM người ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán bao hàm thức biến phân Pareto, bài toán cân bằng Pareto và bài toán tối ưu Pareto. Các lớp bài toán này, khi. vào rất nhiều lĩnh vực trong thực tế và các ngành khoa học kĩ thuật khác nhau. Các bài toán cơ bản của lý thuyết tối ưu là bài toán tựa tối ưu, bài toán bao hàm thức tựa biến phân, bài toán tựa