Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng và bao hàm thức tựa biến phân pareto ( Luận án tiến sĩ)Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng và bao hàm thức tựa biến phân pareto ( Luận án tiến sĩ)Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng và bao hàm thức tựa biến phân pareto ( Luận án tiến sĩ)Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng và bao hàm thức tựa biến phân pareto ( Luận án tiến sĩ)Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng và bao hàm thức tựa biến phân pareto ( Luận án tiến sĩ)Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng và bao hàm thức tựa biến phân pareto ( Luận án tiến sĩ)Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng và bao hàm thức tựa biến phân pareto ( Luận án tiến sĩ)
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Bùi Thế Hùng SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG VÀ BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC Bùi Thế Hùng SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG VÀ BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN Hà Nội - 2014 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Các kết làm hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Các kết luận án viết chung với thầy hướng dẫn trí thầy hướng dẫn đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Bùi Thế Hùng Tóm tắt Trong luận án này, nghiên cứu tồn nghiệm toán tựa cân toán bao hàm thức tựa biến phân Trong chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức sở giải tích đa trị Ngồi số điều kiện đủ cho tính khơng rỗng nón cực chặt Trong chương 2, thiết lập số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân Pareto yếu loại I, toán tựa cân tổng quát loại II toán tựa cân Pareto yếu loại II Trong chương 3, thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I loại II Trong trường hợp đặc biệt, thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân Pareto toán tựa tối ưu Pareto Abstract In this dissertation, we investigate some sufficient conditions for the existence of solutions of quasi-equilibrium problems and quasivariational inclusion problems In Chapter 1, we recall some basic knowledge from multivalued analysis Moreover, we deduce some sufficient conditions for the non-emptiness of strictly topological polar cone In Chapter 2, we obtain some sufficient conditions for the existence of solutions for Pareto and weak quasi-equilibrium problems of type I, for generalized quasi-equilibrium problems of type II and for Pareto and weak quasi-equilibrium problems of type II In Chapter 3, we deduce some results on the existence of solutions for Pareto quasivariational inclusion problems of type I and type II As special cases, we obtain several new results on the existence of solutions of Pareto quasi-equilibrium problems and Pareto quasi-optimization problems LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn tận tình GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy mình, thời gian dài bước dẫn dắt tác giả làm quen với môn lý thuyết tối ưu véctơ đa trị, hướng dẫn truyền cho tác giả kinh nghiệm nghiên cứu khoa học, mà động viên khích lệ tác giả vượt qua khó khăn chuyên môn sống Tác giả xin nói lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo Viện Toán học, trung tâm Đào tạo Sau Đại học toàn thể giáo sư, cán nhân viên Viện Toán học tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hồn thành luận án mình, đặc biệt thành viên Tổ Giải tích tạo điều kiện thuận lợi thời gian để tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Xin cảm ơn đến tồn thể bạn bè anh chị em nghiên cứu sinh Viện Toán học động viên, chia khó khăn giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu hồn thiện luận án Cuối tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình mình, người động viên chia khó khăn tơi thời gian qua để tơi hồn thành luận án Tác giả Bùi Thế Hùng Mục lục Mục lục Một số ký hiệu viết tắt Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm ánh xạ đa trị 1.2 Tính khơng rỗng nón cực chặt 1.3 Một số tính chất ánh xạ đa trị 1.4 Định lý điểm bất động vấn đề liên quan Chương Bài toán tựa cân 2.1 Bài toán tựa cân Pareto yếu loại I 2.2 Bài toán tựa cân tổng quát loại II Chương Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto 3.1 Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I 3.2 Một số toán liên quan loại I 3.3 Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại II 3.4 Một số toán liên quan loại II Kết luận Một số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo 4 14 14 17 22 30 33 33 48 61 61 74 78 86 90 91 92 93 Một số ký hiệu viết tắt N∗ R R+ R− Rn Rn+ Rn− Cn Matm×n (R) X∗ ξ, x {xα } ∅ F : X → 2Y dom F gph F C C+ A := B A⊆B A⊆B A∪B A∩B tập số tự nhiên khác không tập số thực tập số thực không âm tập số thực không dương không gian véctơ Euclide n− chiều tập véctơ không âm Rn tập véctơ không dương Rn không gian số phức n− chiều không gian ma trận thực cấp m × n khơng gian đối ngẫu tôpô không gian X giá trị ξ ∈ X ∗ x ∈ X dãy suy rộng tập rỗng ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y miền xác định ánh xạ đa trị F đồ thị ánh xạ đa trị F nón cực nón C nón cực chặt nón C A định nghĩa B A tập B A không tập B hợp hai tập hợp A B giao hai tập hợp A B A\B A+B A×B co A cone A ri A cl A int A (OP ) (EP ) (QOP )I (QOP )II (U P QEP )I (U W QEP )I (GQEP )I (GQEP )II (U P QV IP )I (LP QV IP )I (U P QV IP )II (LP QV IP )II ✷ hiệu hai tập hợp A B tổng véctơ hai tập hợp A B tích Descartes hai tập hợp A B bao lồi tập hợp A bao nón lồi tập hợp A phần tương đối tập hợp A bao đóng tơpơ tập hợp A phần tôpô tập hợp A tốn tối ưu vơ hướng tốn cân vơ hướng tốn tựa tối ưu vơ hướng loại I tốn tựa tối ưu vơ hướng loại II toán tựa cân Pareto loại I toán tựa cân yếu loại I toán tựa cân tổng quát loại I toán tựa cân tổng quát loại II toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto kết thúc chứng minh loại I loại I loại II loại II Mở đầu Bài tốn đóng vai trò lý thuyết tối ưu tốn: Tìm x¯ ∈ D cho F (¯ x) ≤ F (x) với x ∈ D, (OP ) D tập khác rỗng F : D → R hàm số thực Trong lý thuyết tối ưu tổng quát tốn có mối quan hệ mật thiết với số toán khác toán điểm cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động, toán cân Nash, toán điểm yên ngựa, toán bù, Trong trường hợp F hàm véctơ từ tập vào khơng gian tuyến tính với thứ tự sinh nón, toán (OP ) gọi toán tối ưu véctơ hay gọi tốn tối ưu đa mục tiêu Từ quan hệ thứ tự sinh nón, người ta đưa khái niệm khác điểm hữu hiệu tập phát biểu loại toán tối ưu khác toán tối ưu véctơ lý tưởng, toán tối ưu Pareto, toán tối ưu véctơ yếu, toán tối ưu véctơ thực (xem [1], [46] tài liệu liên quan) Bài toán (OP ) trường hợp đóng vai trò trung tâm lý thuyết tối ưu véctơ hay gọi lý thuyết tối ưu đa mục tiêu Lý thuyết hình thành từ ý tưởng cân kinh tế, lý thuyết giá trị Edgeworth [20] Pareto [4], gắn liền với tên tuổi số nhà toán học lớn, ta kể đến Hausdorff, Cantor, Borel, Von Neumann, Koopmans, Tuy nhiên, phải năm 1951 với cơng trình KuhnTucker [53] điều kiện cần đủ cho tối ưu năm 1954 với cơng trình Deubreu [16] giá trị cân tối ưu Pareto, lý thuyết tối ưu véctơ cơng nhận ngành tốn học quan trọng có nhiều ứng dụng thực tế nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Khái niệm ánh xạ đa trị đưa từ năm 30 kỷ 20 sở tốn có thực tế Từ người ta mở rộng tốn (OP ) cho trường hợp F ánh xạ véctơ đa trị toán (OP ) gọi toán tối ưu véctơ đa trị Bài toán tối ưu véctơ đa trị nghiên cứu kỹ sách chuyên khảo D T Luc [46] Các toán khác lý thuyết tối ưu mở rộng cho ánh xạ đa trị hình thành nên ngành tốn học hồn chỉnh lý thuyết tối ưu véctơ đa trị Trong lý thuyết tối ưu véctơ đa trị, lớp toán tựa cân lớp toán bao hàm thức tựa biến phân đóng vai trò quan trọng, nhiều người quan tâm nghiên cứu, đặc biệt nghiên cứu tồn nghiệm hai lớp toán Dưới điểm qua lịch sử phát triển hai lớp tốn theo hướng chúng tơi nghiên cứu Bài tốn cân vơ hướng sau E Blum W Oettli [11] nghiên cứu vào năm 1994: Tìm điểm x¯ ∈ D cho f (¯ x, x) ≥ 0, với x ∈ D, (EP ) D tập f : D × D → R hàm số thực thỏa mãn điều kiện f (x, x) ≥ với x ∈ D Từ toán ta suy tốn khác lý thuyết tối ưu toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán bù, toán cân Nash, toán điểm yên ngựa, toán điểm bất động, (xem [10], [11], [24], [29], [49]) Chính vậy, tốn nhiều người quan tâm nghiên cứu E Blum, W Oettli, Ky Fan, Browder, Minty, Bianchi, S Schaible, Hadjisavvas, Sau toán mở rộng cho ánh xạ véctơ đơn trị từ tập khơng rỗng vào khơng gian tuyến tính với thứ tự sinh nón (xem [10], [29], [56]) Cho đến toán cân vô hướng thiết lập cho ánh xạ đa trị theo nhiều cách khác (xem [5], [6], [19], [41], [44], [45], [54]) Năm 2007, L J Lin- N X Tan [44] phát biểu toán tựa cân đa trị phân loại tốn dựa vào thứ tự sinh nón khơng gian tuyến tính với ánh xạ mục tiêu ánh xạ ba biến, ánh xạ ràng buộc ánh xạ hai biến, cụ thể: Giả sử X, Y, Z khơng gian tơpơ tuyến tính; D, K tập không rỗng X, Z, tương ứng; C nón nhọn Y S : D × K → 2D , T : D × K → 2K , F : K × D × D → 2Y ánh xạ đa trị với giá trị khơng rỗng, xét tốn tựa cân sau đây: Bài toán tựa cân lý tưởng loại I, kí hiệu (U IQEP )I , tìm (¯ x, y¯) ∈ D × K cho x¯ ∈ S(¯ x, y¯), y¯ ∈ T (¯ x, y¯) F (¯ y , x¯, x) ⊆ C với x ∈ S(¯ x, y¯) Bài toán tựa cân lý tưởng loại I, kí hiệu (LIQEP )I , tìm (¯ x, y¯) ∈ D × K cho x¯ ∈ S(¯ x, y¯), y¯ ∈ T (¯ x, y¯) F (¯ y , x¯, x) ∩ C = ∅ với x ∈ S(¯ x, y¯) ... tựa cân Pareto loại I toán tựa cân yếu loại I toán tựa cân tổng quát loại I toán tựa cân tổng quát loại II toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto toán bao. .. đưa toán (GQEP )I , chẳng hạn như: toán tựa tối ưu loại I, toán quan hệ tựa biến phân loại I, toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng loại I, toán tựa cân véctơ lý tưởng loại I, toán quan hệ tựa. .. HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Bùi Thế Hùng SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG VÀ BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN