Trong phần này, ta trình bày khái niệm nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị. Ta nhắc lại khái niệm nửa liên tục của ánh xạ đơn trị.
Cho X, Y là hai không gian vecto tôpô lồi địa phương, ánh xạ đơn trị
f : X → Y được gọi là liên tục tại x0 ∈ X, nếu với mọi tập mở V chứa
f(x0), tồn tại tập mở U chứa x0 sao cho f(U) ⊂ V.
Trường hợp F : X → 2Y là ánh xạ đa trị, Berge đã đưa ra định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.3.1. Cho F : X → 2Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô
X vào không gian tôpô Y. Khi đó:
1) F được gọi là nửa liên tục trên tại x0 ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊂ Y, F(x0) ⊂ V thì tồn tại tập mở U ⊂ X, x0 ∈ U sao cho
F(x) ⊂ V, ∀x ∈ U. F được gọi là nửa liên tục trên X nếu nó là nửa liên tục trên tại mọi x ∈ X.
2) F được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ domF, nếu với mọi tập mở
C ⊂ Y, F(x0) ∩ V =6 ∅, thì tồn tại tập mở U ⊂ X, x0 ∈ U sao cho
F(x)∩V 6= ∅, ∀x ∈ U. F được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu nó là nửa liên tục dưới tại mọi x ∈ X.
3) F được gọi là liên tục tại x∈ X nếu F vừa là nửa liên tục trên, vừa là nửa liên tục dưới tại x. Nếu F liên tục tại mọi điểm x ∈ X thì ta nói
F liên tục trên X.
Ví dụ 1.3.1. Xét F, G : R → 2R là hai ánh xạ đa trị được xác định như sau: F(x) = [0,1] khi x = 0, {0} khi x 6= 0. G(x) = [0,1] khi x 6= 0, {0} khi x = 0.
Dễ thấy F là nửa liên tục trên tại x = 0 nhưng không là nửa liên tục dưới tại x = 0. G là nửa liên tục dưới tại x = 0 nhưng không là nửa liên tục trên tại x = 0.
Định nghĩa 1.3.2. Ánh xạ đơn trị f : X → R là nửa liên tục trên (dưới) tại x0 nếu ∀ε > 0 đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho f(x) ≤
f(x0) +ε (f(x) ≥ f(x0)−ε), ∀x ∈ U).
Ví dụ sau chỉ ra sự khác nhau giữa khái niệm nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 1.3.3. Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, D ⊆ X, D 6= ∅, C là nón trong Y, F : D →2D là ánh xạ đa trị 1) F là C− liên tục trên (hoặc C− liên tục dưới) tại x0 ∈ D nếu với bất kỳ lân cận V của gốc trong Y đều tồn tại lân cận U của x0 trong X
sao cho:
F(x) ⊆ F(x0) +V +C
(hoặc F(x0) ⊆ F(x) + V −C, theo thứ tự với mọi x ∈ U ∩domF). 2) Nếu F đồng thời là C− liên tục trên và C− liên tục dưới tại x0 thì ta nói rằng F là C− liên tục tại x0.
3) F là C− liên tục trên, C− liên tục dưới hoặc C− liên tục trong D
nếu nó là C− liên tục trên, C− liên tục dưới hoặc liên tục tại mọi x ∈ D.
Chú ý:
1) Nếu ánh xạ F là đơn trị và D ⊆ X thì tính C− liên tục trên, C− liên tục dưới là trùng nhau và ta nói F là C− liên tục.
2) Nếu Y = R, C = R+ thì mọi ánh xạ đơn trị F là C− liên tục tại
x0 ∈ D khi và chỉ khi F là ánh xạ nửa liên tục dưới tại x0 Trong trường hợp ngược lại lấy C = R− và F (đơn trị) là C− liên tục tại x0 khi và chỉ khi F là nửa liên tục trên tại x0.
Mệnh đề 1.3.1. [2] Cho F : D → 2D và C ⊂ Y là nón lồi, đóng. Khi đó:
1) Nếu F là C− liên tục trên tại x0 ∈ domF và F(x0) + C đóng, thì với mọi dãy suy rộng xα → x0, yα ∈ F(xα) + C, yα → y0 suy ra
y0 ∈ F(x0) +C. Ngược lại, nếu F là ánh xạ compact và với mọi dãy suy rộng xα → x0, yα ∈ F(xα) +C, yα → y0 đều suy ra y0 ∈ F(x0) +C thì
F là C− liên tục trên tại x0.
2) Nếu F là compact và C− liên tục dưới tại x0 ∈ domF thì với mọi dãy suy rộng xα → x0, y0 ∈ F(x0) +C, đều tồn tại dãy suy rộng {yα}, yα ∈
F(xα), có dãy suy rộng con yαβ − y0 → c ∈ C. Ngược lại, nếu F(x0)
là tập compact và với mọi dãy suy rộng yαβ đều tồn tại dãy suy rộng
xα → x0, y0 ∈ F(x0) +C, có dãy suy rộng con yαβ để yαβ −y0 → c ∈ C.
1.3.2 Tính lồi và tựa lồi theo nón
Định nghĩa 1.3.4. Cho F :D → 2Y là một ánh xạ đa trị. Ta nói rằng: 1) F được gọi là C− lồi trên (hoặc C− lồi dưới) trên D nếu với mọi
x1, x2 ∈ D, t ∈ [0, 1], thì:
tF(x1) + (1−t)F(x2) ⊆ F(tx1 + (1−t)x2) + C
(tương ứng, F(tx1 + (1−t)x2) +C ⊆ tF(x1) + (1−t)F(x2)−C).
2) F được gọi là C− tựa lồi trên trong D nếu với mọi x1, x2 ∈ D, α ∈ [0, 1], thì:
F(x1) ⊆ F(αx1 + (1−α)x2) +C
(hoặc F(x2) ⊆F(αx1 + (1−α)x2) +C).
3) F được gọi là C− tựa lồi dưới trong D nếu với mọi x1, x2 ∈ D, α ∈ [0, 1], thì:
F(αx1 + (1−α)x2) ⊆F(x1)−C
(hoặc F(αx1 + (1−α)x2) ⊆F(x2)−C).
Chú ý:
1) Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị, tính C− lồi trên và C− lồi dưới là trùng nhau và ta gọi là C− lồi.
Nếu Y = R, C = R+ thì ta có khái niệm hàm lồi theo nghĩa thông thường.
2) F là ánh xạ đơn trị thì khái niệm C− tựa lồi trên và C− tựa lồi dưới là trùng nhau và được gọi là C− tựa lồi. Tức là F là C− tựa lồi trong D
F(x1) ∈ F(tx1 + (1−t)x2) + C
hoặc F(x2) ∈ F(tx1 + (1−t)x2) +C.
Trong trường hợp Y = R, C = R+ thì F là C− tựa lồi. Tức là
F(x1) ≥F(tx1 + (1−t)x2)
hoặc F(x2) ≥ F(tx1 + (1−t)x2), ∀x1, x2 ∈ D, t ∈ [0, 1].
Dẫn đến F(tx1 + (1 −t)x2 ≤ max{F(x1), F(x2)}. Do đó F là hàm tựa lồi theo nghĩa thông thường.
Định nghĩa 1.3.5. Cho F :D ×D →2Y là một ánh xạ đa trị. Khi đó: 1) F là C - lồi trên ( C- lồi dưới) theo đường chéo đối với biến thứ nhất nếu với mọi tập hữu hạn {x1, ..., xn} ⊆ D, x ∈ co{x1, ..., xn}, x =
n P j=1 αjxj, αj ≥ 0, n P j=1 αj = 1, sao cho n X j=1 αjF(xj, x) ⊆ F(x, x) +C, F(x, x) ⊆ n X j=1 αjF(xj, x)−C
2)F làC - tựa lồi trên (C- tựa lồi dưới) theo đường chéo đối với biến thứ nhất nếu với mọi tập hữu hạn {x1, ..., xn} ⊆ D, x ∈ co{x1, ..., xn}, x =
n P j=1 αjxj, αj ≥ 0, n P j=1
αj = 1, thì tồn tại j ∈ {1, ..., n} sao cho
F(xj, x) ⊆ F(x, x) +C, (F(x, x) ⊆F(xj, x)−C ).
Định nghĩa 1.3.6. Cho F : K ×D × D → 2Y, Q : D × D → 2K là những ánh xạ đa trị. Ta nói rằng:
1) F là (Q, C) - lồi trên ( (Q, C) - lồi dưới) theo đường chéo đối với biến thứ hai nếu với mọi tập hữu hạn{x1, ..., xn} ⊆ D, x ∈ co{x1, ..., xn}, x =
n P j=1 αjxj, αj ≥ 0, n P j=1
n P j=1 αjF(y, xj, x) ⊆ F(y, x, x) + C, với mọi y ∈ Q(xj, x), ( F(y, x, x) ⊆ n P j=1 αjF(y, xj, x)−C, với mọi y ∈ Q(xj, x) ).
2) F là (Q, C) - tựa lồi trên ( (Q, C) - tựa lồi dưới) theo đường chéo đối với biến thứ hai nếu với mọi tập hữu hạn {x1, ..., xn} ⊆ D, x ∈
co{x1, ..., xn}, x = n P j=1 αjxj, αj ≥ 0, n P j=1 αj = 1,thì tồn tạij ∈ {1,2, ..., n} sao cho: F(y, xj, x) ⊆F(y, x, x) +C, với mọi y ∈ Q(xj, x), (F(y, x, x) ⊆ F(y, xj, x)−C, với mọi y ∈ Q(xj, x) ). 1.4 Các định lý điểm bất động và KKM
Định nghĩa 1.4.1. (Bổ đề KKM [2]). Cho một n− đơn hình D =
co{x1, x2, ..., xn} trong Rn và các tập hợp đóng F0, F1, ..., Fn trong D
thỏa mãn điều kiện với mọi tập hợp con I ⊂ {1, 2, ..., n} ta có
co{xi : i ∈ I} ⊂ ∪
i∈IFi
Khi đó ∩n
i=1Fi 6= ∅
Nguyên lý ánh xạ KKM là một mở rộng của bổ đề KKM ra không gian vô hạn chiều.
Định nghĩa 1.4.2. Cho X là không gian vecto tôpô. Ánh xạ đa trị F :
D ⊂ X → 2X được gọi là ánh xạ KKM trên D nếu với mọi tập con hữu hạn {x1, x2, ..., xn} ⊂ D, và với mọi phần tử x trong bao lồi của {x1, x2, ..., xn} ta có thể tìm được chỉ số j sao cho x ∈ F(xj). Tức là:
co{x1, x2, ..., xn} ⊆ ∪n
Định nghĩa 1.4.3. Cho X, Z là các không gian tôpô tuyến tính D ⊂
X, K ⊂ Z, F : K × D × D → 2X, Q : D × D → 2K là các ánh xạ đa trị. Ánh xạ F được gọi là Q -KKM nếu với bất kỳ tập hữu hạn {x1, x2, ..., xn} ⊂ D và x ∈ co{x1, x2, ..., xn}, luôn tồn tại chỉ số j sao cho 0∈ F(y, x, xj), với mọi y ∈ Q(x, xj).
Định lý 1.4.4.(Định lý KKM-Fan [7]). Giả sử X là một không gian vecto tôpô, D ⊆ X là tập Compact, lồi, khác rỗng và F : D → 2D là một ánh xạ KKM với những giá trị là tập đóng, thì ta có
∩
x∈DF(x) 6= ∅.
Định lý 1.4.5. (Định lý điểm bất động của Kankutani-Fan, [7], [9]) Cho
X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D là tập lồi, compact, khác rỗng trong X. Ánh xạ F : D → 2D là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, F có giá trị là những tập lồi, đóng, khác rỗng. Khi đó tồn tại x ∈ D sao cho x ∈ F(x) ( Tức là x là điểm bất động của F ).
Định lý 1.4.6. (Định lý điểm bất động của Fan-Browder [6])Cho X là không gian vecto tôpô lồi địa phương. D ⊆ X là tập compact, lồi, khác rỗng. Cho F : D → 2D là ánh xạ đa trị với A = ∪
x∈DintF−1(x). Khi đó tồn tại x ∈ D sao cho x ∈ coF(x).
Định lý sau đây là một dạng khác của định lý Fan-Browder:
Định lý 1.4.7. Gọi D ⊆ X , D là compact, lồi, khác rỗng, F : D → 2D
là một ánh xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện sau:
1) Với mọi x ∈ D, x /∈ F(x) và F(x) là lồi;
Chương 2
Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 1
Trong chương này sẽ giới thiệu bài toán bao hàm thức tựa biến phân trên (dưới) loại 1. Sau đó sử dụng định lý điểm bất động Kỳ Fan, [7], Browder-Kỳ Fan, [6] và nguyên lý KKM, [2], để nghiên cứu và chứng minh sự tồn tại nghiệm của chúng. Từ đó ta thu được kết quả của bài toán tựa cân bằng Pareto và tựa tối ưu Pareto. Chương này được viết dựa trên bài báo [3] mục tài liệu tham khảo.
2.1 Phát biểu bài toán
Cho X, Y, Z là các không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff, gọi
D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con khác rỗng. Cho các ánh xạ đa trị:
S : D ×K →2D, T : D ×K →2K, F : K ×D ×D → 2Y.
Bài toán: Tìm (x, y) ∈ D ×K sao cho x ∈ S(x, y), y ∈ T(x, y) và
F(y, x, x) * F(y, x, x)−C\ {0}
được gọi là bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên(U P QV IP)1 ( dưới (LP QV IP)1 ) loại 1.
2.2 Sự tồn tại nghiệm của các bài toán bao hàmthức tựa biến phân Pareto loại 1 thức tựa biến phân Pareto loại 1
Trong mục này X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff, D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con khác rỗng, C ⊆ Y là một nón,
S, T, F là các ánh xạ đa trị.
Ký hiệu h., .i là để chỉ tích vô hướng giữa những phần tử của Y là đối ngẫu của Y và phần tử của Y.
Ta cần sử dụng hai bổ đề sau trong phần chứng minh định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 1.
Bổ đề 2.2.1. [2] Cho X, Y là các không gian véctơ tôpô Hausdorff, F :
X → 2Y là một ánh xạ đa trị với giá trị là những tập compact. Thì F là nửa liên tục dưới tại x ∈ X nếu và chỉ nếu với mọi y ∈ F(x) và với mọi dãy {xn} trong X hội tụ tới x, thì tồn tại một dãy {yα}, yα ∈ F(xα) với mọi α và yα → y.
Bổ đề 2.2.2. [2] Cho X, Y là các không gian véctơ tôpô Hausdorff, F :
X →2Y là một ánh xạ đa trị với giá trị
(i) Nếu F là một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với những giá trị là tập đóng, thì F là ánh xạ đóng.
(ii) Nếu X là một tập compact và F là một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với những giá trị là tập compact, thì F(X) là compact.
là nửa liên tục trên.
Định lí 2.2.3. (Sự tồn tại nghiệm của bài toán (U P QV IP)1). Giả thiết rằng:
(i) C là một nón nhọn trong Y với C0+ khác rỗng;
(ii) D và K là những tập con, compact, lồi khác rỗng;
(iii) S : D ×K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị là những tập lồi, đóng, khác rỗng;
(iv) T : D ×K → 2K là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị là những tập lồi, đóng, khác rỗng;
(v) F là ánh xạ (−C)− liên tục trên và C− liên tục dưới với giá trị là những tập compact, khác rỗng;
(vi) Với mỗi (x, y) ∈ D ×K, ánh xạ đa trị F(y, x, .) : D → 2Y là C−
lồi dưới (hoặc C− tựa lồi dưới)
Khi đó tồn tại (x, y) ∈ D×K sao cho x ∈ S(x, y), y ∈ T(x, y) và
F(y, x, x) * F(y, x, x)−C\ {0}, với mọi x ∈ S(x, y).
( hay bài toán (U P QV IP)1 có nghiệm).
Chứng minh: Đặt ξ ∈ C0+ cố định, lấy ε > 0 tùy ý. Từ tính liên tục của
ξ, tồn tại một lân cận V của gốc trong Y sao cho ξ(V) ⊆ (−ε
2,ε2). Ta xác định ánh xạ đa trị P :D ×K → 2D như sau:
P(x, y) = {x0 ∈ S(x, y) : max
z∈F(y,x,x0)hξ, zi ≤ max
z∈F(y,x,t)hξ, zi, với mọi
t ∈ S(x, y)}
Với mỗi (x, y) ∈ D×K, ta sẽ chứng minh P(x, y) là tập khác rỗng. Thật vậy, với mỗi (x, y) ∈ D×K, ta định nghĩa ánh xạ đa trị Qxy : S(x, y) → 2S(x,y) xác định bởi
Qxy(t) ={x0 ∈ S(x, y) : max
z∈F(y,x,x0)hξ, zi ≤ max
z∈F(y,x,t)hξ, zi }.
Gọi {x0} là một lưới trong Qxy(t) hội tụ tới x0. Khi đó x0α ∈ S(x, y) và
max
z∈F(y,x,xα0)hξ, zi ≤ max
z∈F(y,x,t)hξ, zi, với mọi α (2.1).
Do S(x, y) là một tập đóng, nên x0 ∈ S(x, y). Mặt khác, F là một C− liên tục dưới nên tồn tại một chỉ số α0 sao cho
F(y, x, x0) ⊆ F(y, x, xα0 ) +V −C, với mọi α ≥ α0. Do đó max z∈F(y,x,x0)hξ, zi < max z∈F(y,x,x0 α)hξ, zi+ ε2, với mọi α ≥ α0 (2.2). Từ (2.1) và (2.2) ta có: max z∈F(y,x,x0)hξ, zi < max z∈F(y,x,t)hξ, zi+ ε 2. Vì vậy, max z∈F(y,x,x0) hξ, zi ≤ max z∈F(y,x,t) hξ, zi. Điều này chứng tỏ x0 ∈ Qxy(t) và do đó Qxy(t) là một tập đóng.
Bây giờ ta đi chứng minh Qxy là một ánh xạ KKM. Nếu không thì tồn tại {t1, t2, ..., tn} ⊆ S(x, y) sao cho
co{t1, t2, ..., tn} 6⊂ ∪n i=1Qxy(ti). Do đó tồn tại t∗ ∈ co(t1, t2, ..., tn), t∗ = n P i=1 αiti, αi ≥ 0, n P i=1 αi = 1 và t∗ ∈/ Qxy(ti), với i = 1,2, ..., n.
Theo định nghĩa của Qxy
max
z∈F(y,x,t∗)hξ, zi > max
Nếu F(y, x, .) là C− lồi dưới F(y, x, t∗) ⊆ n X i=1 αiF(y, x, ti)−C. Điều này chứng tỏ, max z∈F(y,x,t∗)hξ, zi ≤ max z∈ n P i=1 αiF(y,x,ti) hξ, zi ≤ n P i=1 αi max z∈F(y,x,ti)hξ, zi ≤ max 1≤i≤n max z∈F(y,x,ti)hξ, zi.
Điều này mâu thuẫn (2.3).
Nếu F(y, x, .) là C− tựa lồi dưới, tồn tại chỉ số j ∈ {1,2, ..., n} sao cho
F(y, x, t∗) ⊆ F(y, x, tj)−C. Điều này chứng tỏ, max z∈F(y,x,t∗) hξ, zi ≤ max z∈F(y,x,tj) hξ, zi.
Mâu thuẫn với (2.3)
Do đó, Qxy là một ánh xạ KKM. Theo định lý 1.4.4 trong Chương 1, ta có
∩
t∈S(x,y)
Qxy(t) 6= ∅
Vì vậy tồn tại x0 ∈ S(x, y) sao cho
max
z∈F(y,x,x0)
hξ, zi ≤ max
z∈F(y,x,t)
hξ, zi, với mọi t ∈ S(x, y)
Suy ra, x0 ∈ P(x, y) và P(x, y) 6= ∅, với mọi (x, y) ∈ D ×K.
Ta chỉ ra P(x, y) là tập lồi, với mọi (x, y) ∈ D × K. Thật vậy, với
x10, x20 ∈ P(x, y) và λ ∈ [0,1], ta có từ tính lồi của S(x, y), λx10 + (1−
max z∈F(y,x,x10)hξ, zi ≤ max z∈F(y,x,t)hξ, zi, max z∈F(y,x,x20) hξ, zi ≤ max z∈F(y,x,t) hξ, zi, với mọi t∈ S(x, y) Nếu F(x, y, .) là C− lồi dưới,
F(y, x, λx10 + (1−λ)x20 ) ⊆λF(y, x, x10 ) + (1−λ)F(y, x, x20 )−C. Điều này dẫn đến, max z∈F(y,x,λx10+(1−λ)x20)hξ, zi ≤ max z∈F(y,x,x10)hξ, zi+ (1−λ) max z∈F(y,x,x20)hξ, zi. Do đó, max z∈F(y,x,λx10+(1−λ)x20)hξ, zi ≤ max
z∈F(y,x,t)hξ, zi, với mọi t ∈ S(x, y)
Như vậy, λx10 + (1−λ)x20 ∈ P(x, y) và P(x, y) là tập lồi.
F(y, x, λx10 + (1−λ)x20) ⊆F(y, x, x10)−C,
hoặc F(y, x, λx10 + (1−λ)x20) ⊆ F(y, x, x20)−C.
Trong cả hai trường hợp, ta có max z∈F(y,x,λx10+(1−λ)x20) hξ, zi ≤ max z∈F(y,x,t) hξ, zi, với mọi t ∈ S(x, y) Do đó, λx01 + (1−λ)x02 ∈ P(x, y) và P(x, y) là tập lồi.
Hơn nữa, ta cầnP là một ánh xạ đa trị đóng. Gọixα →x, yα → y, x0α ∈
P(xα, yα), x0α → x0. Ta thấy x0 ∈ P(x, y). Thật vậy, từ x0α ∈ S(xα, yα) và tính nửa liên tục trên của S với những giá trị đóng, x0 ∈ S(x, y). Với
x0α ∈ P(xα, yα), ta có max
z∈F(yα,xα,x0
α)hξ, zi ≤ max
z∈F(yα,xα,t)hξ, zi, với mọi t∈ S(xα, yα).
Với mỗi t ∈ S(x, y), do F là nửa liên tục dưới, nên tồn tại tα ∈ S(xα, yα) sao cho tα → t.
max z∈F(yα,xα,x0 α) hξ, zi ≤ max z∈F(yα,xα,tα) hξ, zi, với mọi α
Do F là một ánh xạ đa trị (−C)− liên tục trên và C− liên tục dưới, nên