3 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 2
3.4 Bài toán tựa tối ưu Pareto loại 2
Trong mục này ta áp dụng những kết quả của mục 3.2 để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa tối ưu Pareto loại 2. Ta chỉ xét cho bài toán tựa tối ưu Pareto dưới loại 2 (bài toán tựa tối ưu trên loại 2 làm tương tự).
3.4.1. Phát biểu bài toán tựa tối ưu Pareto loại 2 (P QOP)2
Giả sửD, K, C và F cho như mục 3.1. Với các ánh xạ đa trị P : D → 2D và Q : D → 2K, ta xét bài toán tựa tối ưu Pareto loại 2 sau đây: Tìm
xinD sao cho x ∈ P(x) và
F(y, x, x)∩ P M in(F(y, P(x), x)|C 6= ∅ với mọi y ∈ Q(x).
3.4.2. Định lý: Giả sử D, K, C, P và F thỏa mãn các điều kiện của Hệ quả 3.2.9 và Q : D → 2K là nửa liên tục dưới với giá trị không rỗng, compact. Khi đó tồn tại x ∈ D sao cho x ∈ P(x) và
F(y, x, x)∩ P M in(F(y, P(x), x)|C 6= ∅ với mọi y ∈ Q(x).
Chứng minh: Theo Chứng minh Định lý 3.2.6, tồn tại x ∈ P(x) sao cho
min z∈F(y,x,x) hξ, zi ≤ min z∈F(y,x,x) hξ, zi với mọi x∈ P(x) và y ∈ Q(x, x) (3.4)
trong đó ξ ∈ C0+ cố định. Giả sử tồn tại y ∈ Q(x) sao cho
F(y, x, x)∩P M in(F(y, P(x), x)|C) =∅ Ta chọn v ∈ F(y, x, x) thỏa mãn hξ, vi = min z∈F(y,x,x)hξ, zi. Vì v /∈ P M in(F(y, P(x), x)|C) nên tồn tại x∗ ∈ P(x) và v∗ ∈ F(y, x∗, x) sao cho v −v∗ ∈ C\ {0} Từ đó suy ra min z∈F(y,x,x)hξ, zi = hξ, vi > hξ, v∗i ≥ min z∈F(y,x∗,x)hξ, zi Điều này mâu thuẫn với (3.4).
Vậy
F(y, x, x)∩P M in(F(y, P(x), x)|C) =∅ với mọi y ∈ Q(x).
Kết luận
Luận văn trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto, bài toán cân bằng Pareto và bài toán tối ưu Pareto trong lý thuyết tối ưu đa trị. Cụ thể nó cho ta thấy được các điều kiện đủ để các bài toán này có nghiệm và ứng dụng của chúng. Tìm mối quan hệ với các bài toán khác trong lý thuyết tối ưu véctơ.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu Tiếng Việt
[1] Nguyễn Đông Yên (2007), Giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên và công nghệ.
[2] Nguyễn Xuân Tấn - Nguyễn Bá Minh (2005), Một số vấn đề trong lý thuyết tối ưu đa trị, NXB Giáo Dục.
[B] Tài liệu Tiếng Anh
[3] B.T.Hung and N.X.Tan, "On the Existence of Solutions to Pareto and Weak Quasivariational Inclusion Problems", The Advances in Nonlin- ear Variational Inequalities Volume 15(2012), Number 2, 1-16.
[4] B. T. Hung, “On the existence of solutions to Pareto quasivariational inclusion problems of type II ”.
[5] D.T.Luc and N.X.Tan, "Existense conditions in variational inclusions with constraints", Optimization 53 (5-6) (2004), 505-515.
[6] FE Browder (1968), "fixed point theory of multivalued mappings in topological vector space". Math. Ann, 177 (1968) 238-301.
[7] K.Fan, "A generalization of Tychonoff’s fixed point theorem", Math- ematics Annalen 142 (1961), 305-310.
[8] N.X.Tan, "On the existence of of solutions of quasi-variational inclu- sion problems", Journal of Optimization Theory and Applications 123 (2004), 619-638.
[9] S.Kankutani (1994), "A generalization of Brouwers fixed point theo- rem", Duke math. J. 8 (1994), 457-459.