(• • • , ~ể, ■■■ ,~ể,■■■) = Cho V k-không gian vecto n chiều (e) = ự ề ị , • • • ~Ỷn} sở V Xét hệ n-vecto Õ^I, ~ằ2i • • • , õ^n V Giả sử n i= Gọi Ả = (aij) ma trận lập nên cột tọa độ vecto ~ẩi, ^2 , • • • , ~ắn sở (e) Gọi detA định thức hệ vecto ~ẩ2, • • • , õ L (e) Ký hiệu dete hay D e Khi De dạng n-tuyến tính thay phiên Y Kí hiệu An(Y) tập hợp gồm tấ t dạng n-tuyến tính thay phiên Y An(Y) lập thành không gian vecto trường K với phép cộng hai dạng n-tuyến tính thay phiên phép nhân dạng ntuyến tính thay phiên với vô hướng A định nghĩa sau: (ip + ìp) (cÊi, • • • , c t n) = ip ựcti, ■■■,~ẩn) + ĩ p ự ứ i , ■■■,~ấn) ; (Aí^) ( «! , ' • ■ Qín) \(p {^OL • • • , Qín) với Vyp, ĩp € An(Y) VA € K Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu tập lồi mở X c Kn Giả sử rằng, V f(x) Ỷ 0,Vx E X Nếu y e R n,x £ X , y V f ( x ) = ^ {y, v 2f{x)y) > / tựa lồi X Đ ịnh lý Cho / : X — > R hàm hai lần khả vi liên tục tập lồi mở I c R " Khi đó, y e R n,y ^ 0, x e X , y V f ( x ) = =>- { y , X 2f ( x ) y ) > / tựa lồi X Chứng minh Giả sử f(x) < f(y) giả sử phản chứng ({x - y),Vf(y)) > Xét h(Ằ) = hXĩy(A) = f(Ằx + (1 - Ằ)y), X e [0,1] Theo định lý Weierstrass, tồn A0 E [0,1] cho h(A0) cực đại h [0,1] Ta thấy A0 ^ vì((a; — y), V f(y)} — h'(0) < Theo giả thiết ta có A0 Ỷ h( 1) = f(x) < f(y) = h(0) A0 = điểm cực đại Suy 3A0 e (0,1) để ((x - y), V f ( X ữx + (1 - Ao)y)} = Theo điều kiện nêu định lý, suy với xữ = A0a: + (1 — A0)y ta có ((x — y):v 2f(xữ)(x — y )) > Do tồn lân cận mở ((z - y),v2f(z)(x - y)) > 0, w Trong ỏ G (0,1) Điều vô lý Ào không cực đại h [0,1] □ Đ ịn h n g h ĩa Ta nói hàm / : X — > R tựa tuyến tính tập lồi I c t " / —/ tựa lồi X, nghĩa với X, y € X, X e (0,1) ta có {f{x), f{y)} < f{x + (1 - A)y) < max {f{x)J{y)} Đ ịn h lý Nếu tập mức Y ( /, a) = {x e X\f(x) = cc} lồi, Vcc € R / liên tục tập lồi I c K " / tựa tuyến tính X Chứng minh Ta chứng minh / hàm tựa lồi Cho f(x) < f(y), giả sử phản chứng tồn A € (0,1) cho f(Xx + (1 -X)y) > f(y) Vì / liên tục nên ta tìm x0 = A0a: + (1 — x0)y nằm X Xx + (1 — X)y nghĩa A0 ẽ [A, 1] cho fixo) = f(y) < /(Ã z + (1 - Ã)y) 54 (1) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu Vì nằm xữ y Ta có Aa; + (1 — X)y = ị-xữ + ( - y, G [0,1] f{x°) = f(y) Theo tính lồi tập mức / , ta có f{Xx + (1 - X)y) = f{xữ) = f(y) (2) Từ (1) (2) suy mâu thuẫn Vậy / tựa lồi Vì điều kiện định lý cho —/ nên —/ tựa lồi Vậy / tựa tuyến tính □ Đ ịn h lý 3.8 Cho / khả vi tập lồi mở X c Rn Khi / tựa tuyến tính X x :y e X, f{x) = f(y) => ((x - y), Vf{y)) = Chứng minh [=>•] Giả sử / tựa tuyến tính f(x) = f(y) Khi {(x - y),Vf(y)) = [ H Cho f(x) < f (y), giả sử ((x - y),1Vf{y)) > f(x) < f(y) Áp dụng định lý Darboux cho hàm h(Ằ) = f(Ằx + (1 — X)y) đoạn [0,1] ta tìm xữ € ịx,y) cho f(x°) = f(y) Theo giả thiết định lý ta có: ((x — y),'Vf(y)} = suy với 55 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu A0 € (0,1] ta CÓ = M xác định tập lồi X c Mn gọi tựa lồi chặt X với X, y e X, X Ỷ Vi A £ (0,1) tùy ý f{Xx + (1 - A)y) < max {f(x), f(y)} Đ ịnh lý 3.9 Cho / khả vi tập lồi mở X c Rn Khi / tựa lồi chặt X X e X, y e R n,y Ỷ (y, v /(a ;)) = =* gXty{t) = f{x + ty), xác định với t > không đạt cực đại địa phương t = Chứng minh Giả sử ta có / tựa lồi chặt (y, V f{x)) = Giả sử điều kiện nêu định lý không Với t đủ nhỏ ta có X ± 2ty € X, f(x ± 2ty) < f{x) Theo định nghĩa tính tựa lồi chặt ta có f(x ± ty) < f(x) Mà f(x) < m ax {f(x + ty), f(x - ty)} < f{x) vô lý Lấy x , y E X , x ^ y \ ầ giả sử điều kiện định lý thỏa mãn, 56 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu f {x) < f{y) Giả sử CÓ A e (0,1) với f ( Xx + (1 - A)y) > f(y) Theo định lý Weierstrass, ta tìm Ào € (0,1) để hàm #(A) = f {Ằx + (1 - A)y) = f { y + \ { x - y)) đạt cực đại [0,1] Và g'{Ao) = {(x - y), v/(y + Ằữ{x - y))) = Mâu thuẫn với giả thiết Định lý chứng minh □ Đ ịnh nghĩa 3.4 Hàm / : X —»■M xác định tập lồi X c Mn gọi tựa lồi nửa chặt X với x , y £ X, f ( x) < f (y), A G (0,1) =* / ( Ằx + (1 - A)y) < f(y) Hay cách tương đương /(®) + f (y), Ằ e (0,1) : / ( Xx + (1 - A)y) < max {f {x), f ( y ) } Đ ịnh lý 3.10 Cho / nửa liên tục tập lồi X c M71 Khi / tựa lồi nửa chặt X / tựa lồi Chứng minh Giả sử ta có x , y e X, f ( x ) < f (y), X e (0,1) =» / ( Xx + (1 - A)y) < f(y) Lấy X, y ẽ X Nếu f ( x ) < f ( y ) hiển nhiên / tựa lồi Giả sử f ( x) = f(y) Bằng phản chứng ta không tồn X e {(A:r + (1 —A)y) : A € (0,1)} cho f ( y) < f ( x) Điều 57 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu chứng tỏ / tựa lồi Giả sử X đoạn mở (x,y) cho f(y) < f(x) Khi X € Q = {x\f(y ) < f(z), z > / ( ĩ ) < / ( ã ) , f ( x ) < /(x ) /(x ) < /(x ), mâu thuẫn Do không tồn X Vậy / tựa lồi X V í dụ: Ví dụ điều ngược lại tròn định lý không Lấy / : M —>M, r f(x) = V X X < X — Ta thấy / tựa lồi M với < X X < X > — = • —ị , y = f {x) < f { y ) f ( Xx + (1 - A)y) = f{y) 3.2 A = Aj- ta có □ Hàm giả lồi Đ ịnh nghĩa 3.5 Cho / : X —¥ M hàm khả vi tập mở X c Mn Ta nói / giả lồi X X, y € X, ((x - y), V/(ỉ/)> > 58 0, f ( x ) > f(y) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu Hoặc cách tương đương y£X, X, f ( x ) < f {y) =} {(x - y), v /( y ) ) < Hàm / gọi giả lõm —/ giả lồi V í dụ: Hàm / : R —> R, f ( x ) = X3 — X giả lồi R không lồi R Định nghĩa hàm giả lồi trường hợp tổng quát sau Đ ịnh nghĩa 3.6 Ta nói hàm / : X —>R giả lồi tập lồi X c Rn ta có với X, y e X, A e (0,1) f {x) < f ( y) => f ( Xx + (1 - A)y) < ĩ {y) - À(1 - A)/3(x,y), /3(x, y) số dương phụ thuộc vào X y Đ ịnh nghĩa 3.7 Cho / : X —>• R xác định tập lồi mở X c Rn Nếu / —/ giả lồi ta nói / hàm giả tuyến tính Đ ịnh nghĩa 3.8 Cho / : X —>■R hàm khả vi tập mở I c R " Ta nói / giả lồi chặt X X, y e X, X Ỷ y, f { x ) > f { y ) => ({x - y), v /( y ) ) < Hoặc cách tương đương X, y e X, X Ỷ y, ({x - y),Xf(y)) > => f(x) > f{y) Đ ịnh lý 3.11 Cho / : X —»• R hàm khả vi tập lồi mở I c R " 59 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu Khi / giả lồi X X e X, y Ỷ 0, (y, v/(z)) = =►g{t) = f ( x + ty) xác định với t > 0, đạt cực tiểu địa phương t — Chứng minh [=>•] Giả sử / giả lồi íV f ( x ) > 0, Ví > Ta có f ( x + ty) > f ( x) , nghĩa g(t) = f ( x + ty) đạt cực tiểu t — [ Ta f ( y) < f ( x) Xét hàm g(t) = f ( y + t(x — y)), t € [0,1] giả sử phản chứng f {x) < f {y) nghĩa g( 1) < y(0) Nếu g'(0) > 0, nghĩa ((x — y ) , Xf ( y ) ) > g đạt cực đại điểm ¿0 £ (0) 1)- Vì g'(t0) = 0, nghĩa ({x - y), X f ( y + t Q(x - y)) = Mà t ữ không điểm cực tiểu địa phương g, mâu thuẫn với giả thiết Nếu ^'(0) = 0, nghĩa ((a; —y), Vf ( y ) ) = 0, theo giả thiết t = cực tiểu địa phương g, nghĩa y cực tiểu địa phương / Theo giả thiết phản chứng g (l) < g(0) suy tồn điểm cực đại địa phương t0 G (0,1) g Suy g'(0) = mâu thuẫn với giả thiết □ Đ ịnh lý 3.12 Cho / : X —> M hàm khả vi liên tục hai lần tập 60 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu lồi mở I c K " Khi / giả lồi X với i) (v/(z)) = => { y , v 2f ( x ) y ) > 0; ii) Nếu v/(x) = / có cực tiểu địa phương X € X: X Đ ịn h lý 3.13 Cho / : X —>M, X c Rn tập lồi mở mệnh đề sau tương đương: i) / giả tuyến tính; ii) Với tùy ý X, y € X, ((x - y), V f(p )) = f(x) = f(y) Chứng minh Giả sử / giả tuyến tính Khi đó, theo định nghĩa ta có {(x - y ) , Vf { y ) ) = => f ( x ) = f(y) Vì / tựa tuyến tính nên ta có ỉ {x) = f {y) =► ({x - y), v/(y)) = Điều kiện ii) viết dạng ( y, Xf { x) } = & f ( x + ty) = f ( x ) , v t , x + ty R hàm khả vi tập lồi mở I c K " Khi / giả lồi chặt X X € X, y Ỷ 0, {y, v / ( z ) ) = => g(t ) = f ( x + ty) xác định với t > 0, đạt cực tiểu địa phương chặt t = 61 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đ ịnh lý 3.15 Cho / :X Nguyễn Thị Hậu —>R hàm khả vi liên tục hai lần tập lồi mở X c l " Khi / giả lồi chặt X X e X, y Ỷ 0) (y, V /(x )) = =►hoặc {y, v 2f { x) y) > {y, v 2f { x) y) > g(t) = f ( x + ty) xác định với t > 0, đạt cực tiểu địa phương chặt t = 62 C hương ứ n g d ụ n g vào b ài to n q u y h o ch to n h ọ c Xét toán quy hoạch toàn phương có dạng ưiin / (a;) = X € c = { z e R n : = ị x T Q i X + q i T x + bi < Trong Q, Q , • • •, Qm ma trận thực đối xứng; chuyển vị 4.1 X] q , q i , 0, * = XT 1, • • • , m} ma trận ■■■q m € Mn; &1 , • • • bm G i Sự tồn nghiệm Năm 1956, Frank Wolfe chứng minh tồn nghiệm toán (Q P ) cho trường hợp Q , • • • Qm ma trận không Đ ịn h lý 4.1 (Định lý Frank - Wolfe) Xét toán 63 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu _ ị m in /(:r) = \ x TQx + qTx (QPi) { z Z [ X E Cị = {z ẽ R n : qịTx + bị < 0, i = 1, • • • m} , Nếu = inf { f ( x ) : X € Ci \ số thực hữu hạn toán QPị có nghiệm Năm 1999, Luo Zhang mở rộng Định lý Frank - Wolfe cho trường hợp Qi nửa xác định dương (tức x TQịX > 0,V:r E W 1) Q2, ■■■Qm ma trận không Đ ịn h lý 4.2 (Định lý Frank - Wolfe mở rộng) Xét toán / m in /(x ) = I x TQx + qTx 0QPi) < X E c = {x E R n : ị x TQ\X qiTx V + qiTx + Cị + C\ < < ,i Q nửa xác định dương Nếu = inf { f ( x) = : X , 2, • • • m € ì c 2} số thực hữu hạn toán QP2 có nghiệm 4.2 Đ iều kiện cực trị Năm 1971, M ajthay đưa điều kiện cần đủ cho nghiệm địa phương toán (QPị ) năm 1980 Contesse hoàn thành chứng minh chi tiết cho định lý Đ ịnh lý 4.3 (Định lý M ajthay - Contesse) Điều kiện cần đủ cho X nghiệm địa phương toán (QPị) tồn À € Mn cho: 64 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu i) Hệ Qx + q + qịTx + Cj i=1 < Ai( 0, ỉ — 1, ■■■, m Xi{qiTx + Cị) = 0, i = 1, • • • , m thỏa mãn ii) Nếu V € Mn\0 thỏa mãn qịTv = 0,Vỉ G I\ qịTv < 0,Vi G Ỉ 2, với h = { ỉ : qiTx - bị; Xị > } ; I = {i : - bf, Xị = } x TQv > Mới đây, [1] [6] tác giả mở rộng kết định lý Majthay-Contesse cho toán (Q P ) chứng minh chi tiết cho định lý Đ ịn h lý 4.4 Xét toán (Q P ) với I(x) = {i : gi(x) = 0} X e c Giả sử với i € I{x), Ọi hàm tựa lồi tập lồi D D c Nếu hai điều kiện thỏa mãn: i) (Q x + q)Tv > 0, Vu € Ti ( x ) = e Rn : (Q ị X ii) vTQv > 0,Vu £ Tị(x) n (Qx + q}1 (Q ^)- 65 X + qì)Tu < 0, Vỉ € I(x) I; nghiệm địa phương Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu KẾT LU Ậ N Trong khóa luận, em trình bày vấn đề liên quan đến dạng toàn phương ứng dụng dạng toàn phương vào toán quy hoạch toán học Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hy vọng điều em trình bày khóa luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề khác có liên quan hình học thuận lợi Vì thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận nhiều thiếu sót khó tránh khỏi Mong quý thầy cô bạn góp ý để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 66 Tài liêu th a m k h ảo [1] J.M Borwein, Necessary and sufficienet conditions for quadratic minimality, Nummerical Functionnal Analysis and Optimization , 5(1982), pp 127 - 140 [2] F.H.Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley - Inter science, NewYork, 1983 [3] D.Ioffe, V.M.Tikhomirov, Lý thuyết toán cực trị, Nauka, Moskva, 1974 (tiếng Nga) [4] G.M.Lee, N.N.Tam, N.D.Yen, Quadratic Programming and affine variational inequality, Springer - Verlag, New York, 2005 [5] Đỗ Văn Lưu, Lý thuyết điều kiện tối ưu, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 1999 [6] T.V.Nghi, On optimallity condition of the local minimizer in quadratic program, manuscipt [7] R.T.Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970 67 ... thức tốt cho công việc giảng dạy sau này, em chọn đề tài "Dạng toàn phương số vấn đề liên quan" để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Đ ối tượng, phạm vi nghiên cứu • Đối tượng: Dạng toàn phương, ... Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu Chương 1: Dạng toàn phương Chương trình bày định nghĩa dạng toàn phương, ma trận biểu thức tọa độ dạng toàn phương, Hạng hạch dạng toàn phương, Chỉ số. .. , v ố