Một số ứng dụng và mở rộng của bất đẳng thức cauchy schwarz

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ NGUYỄN PHƯƠNG DUNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ NGUYỄN PHƯƠNG DUNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 846 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn: TS MAI THÀNH TẤN Bình Định - 2020 Mục lục Mục lục 1 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz số ứng dụng 1.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 1.2 Một số ứng dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đại số 1.2.1 Chứng minh số bất đẳng thức cổ điển số bất đẳng thức khác Một số ứng dụng khác 18 1.3 Một số ứng dụng hình học lượng giác 25 1.2.2 1.3.1 Một số ứng dụng tam giác 25 1.3.2 Một số ứng dụng lượng giác 29 Một số mở rộng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 2.1 Một số bất đẳng thức liên quan 34 34 2.1.1 Một số dạng đặc biệt bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 34 2.1.2 Một số bất đẳng thức khác 38 2.2 Bt ng thc Hăolder 47 2.3 Mở rộng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hàm số 51 2.4 Mở rộng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho số lượng véctơ hàm số 59 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) MỞ ĐẦU Bất đẳng thức đề tài hay giữ vai trò đặc biệt quan trọng tốn học Bất đẳng thức có ứng dụng tất lĩnh vực Số học, Hình học, Đại số, Lượng giác Giải tích Trong kì thi chọn học sinh giỏi, Olympic tốn sinh viên, toán bất đẳng thức thường xuyên sử dụng làm đề thi thường dạng khó nên chuyên đề quan tâm đặc biệt Một bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Chính thế, tơi nhận thấy việc nghiên cứu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có ý nghĩa đặc biệt quan trọng Bởi vậy, lựa chọn đề tài "Một số ứng dụng mở rộng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz" Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, hay gọi với tên dài bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, thường viết tắt bất đẳng thức BCS, đặt theo tên ba nhà toán học Augustin-Louis Cauchy, Viktor Bunyakovsky Hermann Amandus Schwarz Trong suốt trình phát triển tốn học, nhà tốn học ln nghiên cứu phát triển bất đẳng thức Cauchy-Schwarz kết hay, khả ứng dụng ngày rộng rãi toán học Bố cục luận văn bao gồm chương: Chương 1: Chương tập trung nêu chứng minh bất đẳng thức CauchySchwarz dạng sơ cấp, dạng có nhiều ứng dụng giải tốn phổ thơng Trình bày số bất đẳng thức kinh điển thông qua bất đẳng thức CauchySchwarz số tốn ứng dụng Chương 2: Trình bày số dạng khác bất đẳng thức Cauchy-Schwarz số bất đẳng thức liên quan đặc biệt số mở rộng bất đẳg thức Cauchy-Schwarz cho hàm số hay cho số lượng véctơ hàm số hai dạng rời rạc liên tục Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình TS Thầy Mai Thành Tấn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến toàn thể quý thầy giáo Khoa Tốn, Trường Đại Học Quy Nhơn, lớp Cao học Toán K21 quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu thực đề tài Mặc dù cố gắng trình thực luận văn, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kinh nghiệm nghiên cứu khoa học nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi nhiều thiếu sót Rất mong nhận góp ý tận tình q thầy bạn bè để luận văn hoàn thiện Chương Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz số ứng dụng Trong chương này, chúng tơi tập trung trình bày bất đẳng thức CauchySchwarz dạng sơ cấp có nhiều ứng dụng giải tốn phổ thơng Đồng thời chứng minh số bất đẳng thức khác thông qua bất đẳng thức CauchySchwarz số ứng dụng đại số, hình học lượng giác 1.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz công cụ phần lớn toán chứng minh bất đẳng thức Nó tồn nhiều phiên khác nhau, nhiên mức độ phổ thông, quan tâm đến dạng phát biểu sơ cấp cách chứng minh bất đẳng thức đa dạng Sau đây, ta tìm hiểu số cách chứng minh thú vị Định lý 1.1.1 ([23]) (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Nếu a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn số thực tùy ý, a1 b + a2 b + · · · + an b n ≤ a21 + a22 + · · · + a2n Đẳng thức xảy b21 + b22 + · · · + b2n (1.1) a1 a2 an = = ··· = b1 b2 bn Chứng minh Trong nhiều tài liệu, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thường chứng minh cách sử dụng tính chất tam thức bậc hai hay chứng minh thông qua số bất đẳng thức khác bất đẳng thức AM-GM, bất đẳng thức Jensen Nhưng đây, sử dụng phép biến đổi đại số sơ cấp đặc biệt sử dụng hình học để chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cách Sử dụng đẳng thức Ta có n n n a2i i=1 b2i − a2i b2j = b i − = = = 2 b i aj b j i=1 j=1 i=1 j=1 n n i=1 i=1 n n n n n n (a2i b2j + a2j b2i ) − b i aj b j i=1 j=1 i=1 j=1 n n (a2i b2j − 2ai bj aj bi + a2j b2i ) i=1 j=1 n n (ai bj − aj bi )2 i=1 j=1 (ai bj − aj bi )2 , = 1≤i