Một số ứng dụng phương pháp đẳng hình học trong tính toán kết cấu công trình

MỞ ĐẦU 1.Tính cấp thiết đề tài Hiện để phục vụ cho việc tính toán kết cấu công trình có nhiều phương pháp tính toán phương pháp sử dụng chủ yếu phương pháp phần tử hữu hạn với nhiều phần mềm hỗ trợ Ansys, Sap 2000, Etab, Abaqus… Phương sử dụng tốt cho kết cấu thông thường nhiên với kết cấu đặc biệt kết cấu có hình dạng phức tạp mặt cong, đường cong việc tính toán gặp phải nhiều khó khăn, khối lượng tính toán lớn việc chia lưới phức tạp dễ dẫn đến sai số lớn Dựa phương pháp phần tử hữu hạn, để giải vấn đề có số phương pháp số khác đưa phương pháp phần tử biên, X-FEM, phương pháp đẳng hình học… phương pháp đẳng hình học phương pháp có nhiều ưu điểm cần nghiên cứu để ứng dụng vào công tác nghiên cứu khoa học giảng dạy Mục đích Nghiên cứu, giới thiệu phương pháp đẳng hình học đưa ví dụ tính toán cho toán liên quan đến kết cấu công trình Nội dung phương pháp nghiên cứu Trình bày cách tổng quan phương pháp đẳng hình học, ứng dụng chương trình vào tính toán toán phẳng Phương pháp nghiên cứu: kết hợp lý thuyết ứng dụng phần mềm Matlab xây dựng chương trình tính so sánh kết tính toán với lý thuyết chương trình Sap Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài hoàn thành sở cho công tác giáo dục, công tác nghiên cứu khoa học cho phép ứng dụng thực tế -1- Chương Tổng quan đề tài 1.1 Tổng quan phương pháp số Phương pháp số hay gọi giải tích số môn khoa học chuyên nghiên cứu cách giải gần đúng, đa phần phương trình, toán xấp xỉ hàm số toán tối ưu[2] Ngày này, pháp tính số phát triển mạnh mẽ trở thành công cụ để giải toán toán khoa – học kỹ thuật phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử biên, phương pháp phân tích đẳng hình học 1.2 Tình hình ứng dụng phương pháp số tính toán kết cấu công trình Ngày với phát triển công nghệ thông tin hầu hết công việc tính toán thực máy tính Trong lĩnh vực tính toán kết cấu có nhiều phần mềm hỗ trợ tính toán đới sử dụng phương pháp phần tử hữu hạnnhư: Ansys, Abaqus, Sap, Etab, LS-DYNA… giúp cho việc tính toán dễ dàng nhanh nhiều Còn phương pháp số khác phần tử biên, sai phân hữu hạn, phân tích đẳng hình học việc tính toán hạn chế chưa có nhiều phần mềm thương mại, chủ yếu nhà nghiên cứu sử dụng ngôn ngữ lập trình C, C++, Fotran, Matlab, Maple Các phương pháp số giải hầu hết toán tính toán kết cấu từ toán đơn giản đến phức tạp Tuy nhiên phần mềm sử dụng phương pháp số ngày đòi hỏi cấu hình máy tính cao thời gian tính toán kéo dài trường hợp kết cấu phức tạp Vì đòi hỏi việc đưa phương pháp số giảm khối lượng tính toán kết thu xác cấp thiết, phương pháp phân tích đẳng hình học với ưu điểm phần đáp ứng yêu cầu Phương pháp đẳng hình học giáo sư T Huges cộng đề xuất năm 2005, thời gian phát triển chưa lâu giới có số nhà khoa học nghiên cứu phương pháp đẳng hình học Dokken, Costantini, Nguyễn Xuân Hùng, A.Cazzani, Z.Yang Trong nước PGS.TS Nguyễn Xuân Hùng có nhiều công trình nghiên cứu phương pháp phân tích đẳng hình học công bố nước; số nhà nghiên cứu Nguyễn Công Minh, Trần Tuấn Anh – trường Đại học Mở thành phố Hồ Chí Minh; Đỗ Văn Hiến – Đại học Sư phạm Kỹ thuật thành phố -2- Hồ Chí Minh Lĩnh vực nghiên cứu mức tổng quan sâu vào phương pháp phân tích đẳng hình học, nhiên chưa cụ thể vào chuyên ngành hẹp -3- Chương Phương pháp phân tích đẳng hình học 2.1 Tổng quan hàm sở B - Spiline Phương pháp phân tích đẳng hình học “Isogeometric analysis” hay viết tắt IGA giáo sư T.Huges cộng đưa vào năm 2005 dựa ý tưởng sử dụng hàm mô phần mềm CAD cho việc chia lưới chia phần tử tính toán phương pháp phần tử hữu hạn Khác với phần tử hữu hạn sau xây dựng mô hình phần mềm CAD cần có bước chia lại lưới su chuyển qua trình phân tích tối ưu hóa kết cấu, IGA sử dụng mô hình kết cấu từ CAD bước phân tích tối ưu hóa kết cấu Hình 2-1 So sánh việc chia lưới FEM IGA Hình 2-2 Minh họa việc sử dụng mô hình CAD trực tiếp IGA -4- IGA sử dụng trực tiếp mô hình từ CAD, thay sử dụng đa thức Lagrange cho việc xấp xỉ hình học chuyển vị sử dụng B – Spline Nurbs (Non uniform rational BSpline với nhiều ưu điểm 2.1.1 Hàm sở B – Spline hàm Nurbs[3, 4] B – Spline hàm sở dùng để biểu diễn đường cong từ năm 1972 Nurbs dạng tổng quát hóa đường cong B – Spline với khả biểu diễn xác đường “conic” ( đường tròn, đường elip) Nurbs bắt đầu sử dụng thiết kế kỹ thuật từ năm 1972 Ban đầu Nurbs ưu tiên lĩnh vực xe hơi, hàng không, ngày Nurbss có mặt tất gói CAD chuẩn 2.1.1.1 Véc tơ nút (Knot véc tơ) Véc tơ Knot (hay gọi véc tơ nút)   1,2 , ,n p1 chuỗi giá trị tham số không giảm, I < i+1, i = ÷ n + p + 1; i  R knot (nút) thứ i, i gọi số nút, p bậc hàm sở n số hàm sở sử dụng để xây dựng đường cong B – Spline Nếu điểm knot chia cách vector Knot gọi Một hàm sở B – Spline liên tục C bên khoảng knot [i,i+1) với điều kiện i < i+1 nghĩa khoảng tạo từ hai knot có giá trị khác liên tục Cp-1 giá trị knot riêng biệt Một giá trị knot xuất nhiều lần số lần xuất vector knot gọi bội knot Trong trường hợp tổng quát, đường cong B-spline không qua hai điểm điều khiển đầu cuối, qua điểm knot đầu cuối có bội p+1 vector knot gọi vector knot mở Hiện nay, thông thường thiết kế đường cong, yêu cầu định rõ điểm đầu điểm cuối nên vector knot chương trình CAD mở 2.1.1.2 Hàm sở (basis function) Nếu cho véc tơ Knot hàm sở định nghĩa đệ quy bắt đầu với p = sau:  if i    i 1 Ni ,0 ( )   0 otherwise Với p > N i , p ( )      i N i , p 1 ( )  i  p 1 N ( ) i  p   i  p 1  i 1 i 1, p 1 2.1.1.3 Đường cong bề mặt B – Spline Đường cong B – Spline xác định tổ hợp tuyến tính điểm điều khiển hàm sở tương ứng n C( )   Ni , p ( )Pi i 1 Pi: điểm điều khiển (control point) thứ i; -5- N i , p ( ) : hàm sở B – Spline thứ i có bậc p Bề mặt B – Spline định dựng tích ten xơ hàm sở B – Spline chiều, hai vector Knot lưới điểm điều khiển Pi,j hai chiều nxm: M N hàm sở B – Spline theo phương   tương ứng Bề mặt B – Spline định nghĩa sau: NA(,): hàm dạng liên quan đến nút A 2.1.1.4 Hình học Nurbs Hình học Nurbs tổng quát hóa hình học B – Spline Tương tự đường S - pline, đường Nurbs bậc p định nghĩa bởi: n C( )   Ri , p ( )Pi i 1 Ri , p ( )  N i , p ( )i n N i 1 i, p ( )i i: trọng số Trọng số đại lượng vô hướng lớn không, trọng số không thiết phải nhau, tất trọng số Nurbs trở thành B - Spline Hình 2-3 Đường cong B – Spline -6- Hình 2-4 Các hàm sở Hình 2-5 Mô tả đường cong hình học Nurbs Hình 2-6 Mặt Nurbs mặt B-Spline -7- Hình 2-7 Xây dựng mặt Nurbs 2.1.1.5 Ví dụ minh họa Vector Knot hàm sở Cho véc tơ Knot   0,0,1,1 Hình 2-8 Minh họa hàm sở ứng với vector knot   0,0,1,1 Ta có Chiều dài véc tơ -8- L = 4; Bậc hàm sở B - Spline: p = 2-1 = 1; Số lượng hàm sở: n =l - p - = 2; Số lượng điểm điều khiển ncp = 2; Số lượng phần tử ne = ncp – p = 2-1 = 1; 2.1.2 Làm mịn lưới Để tăng độ xác IGA, ta sử dụng phương pháp làm mịn lưới 2.1.2.1 Phương pháp làm mịn h Phương pháp làm mịn h phương pháp tăng độ mịn lưới cách tăng thêm số nút (knot) véc tớ nút (Knot vetor) mà không thay đổi bậc hàm sở Khi thực theo phương pháp làm mịn h vector knot biến đổi tương ứng Ví dụ chèn thêm nút vào   0,0,0,1,1,1 ta vectoer knot   0,0,0,0.51,1,1 , hàm sở thay đổi tương ứng Hình 2-9 Hàm sở làm mịn sau chèn thêm nút 2.1.2.2 Phương pháp làm mịn p Phương pháp làm mịn p tăng độ mịn lưới cách tăng thêm số bậc hàm sở giữ nguyên số lượng phần tử Khi thực theo phương pháp làm mịn p vector knot biến đổi tương ứng Ví dụ minh họa hình -9- 2.1.2.3 Phương pháp làm mịn k Khác với phương pháp làm mịn h và p, phương pháp làm mịn k phương pháp so với phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp làm mịn k tăng độ mịn lưới cách vừa tăng bậc hàm sở vừa chèn thêm nút để đảm bảo tính liên tục hàm sở không giảm Hình 2-10 Phương pháp làm mịn k 2.2 Giải toán kết cấu theo phương pháp đẳng hình học 2.2.1 Các bước giải toán theo phương pháp đẳng hình học Trình tự giải toán kết cấu theo phương pháp đẳng hình học gần tương tự phương pháp phần tử hữu hạn, hàm dạng khác nên ma trận độ cứng vector lực khác Phân tích đẳng hình học bao gồm bước sau đây[5] -10-  xx  u y u x u u y ,  xy  x  ;  yy  x y x y Biểu diễn dạng ma trận   su    x  s       y  0   y    x  2.3.1.2 Các phương trình cân - Phương trình vi phân cân bằng:  xx  xy   gx  x y  yx  yy   gy  x y gx, gy: thành phần cường độ lực thể tích theo phương X Y; Viết dạng ma trận: Hay - Điều kiện bề mặt: l,m cô sin phương pháp tuyến mặt phẳng xét tính cô sin góc hơp vector pháp tuyến trục X, Y qx, qy: thành phần ngoại lực theo trục X Y đơn vị diện tích mặt vật thể đàn hồi Viết dạng ma trận: -12- Hay 2.3.1.3 Các phương trình liên tục Các phương trình liên tục biến dạng sau: 2.3.1.4 Mối quan hệ ứng suất biến dạng Quan hệ ứng suất biến dạng thể thông qua hệ phương trình sau: α: hệ số giãn nở nhiệt; T: nhiệt độ biến thiên; E: mô đun đàn hồi; G: mô đun đàn hồi trượt; µ: hệ số nở hông; Trình bày dạng ma trận: -13- Nếu bỏ qua yếu tố ảnh hưởng nhiệt độ, gọi D ma trận đàn hồi vật liệu toán phẳng ta có Khi biểu diễn - Bài toán trạng thái ứng suất phẳng:  xz   zy   zz  ,khi Tuy nhiên chiều dày mỏng ta lấy zz = mà đảm bảo xác so với nhu cầu thực tế - Bài toán biến dạng phẳng: uz = 0; Tương tự toán trạng thái ứng suất phẳng, thực tế ta bỏ qua ứng suất zz mà đảm bảo sai số cho phép 2.3.2 Dạng mạnh dạng yếu toán phân tích đẳng hình học[5] -14- - Dạng mạnh toán phẳng phát biểu sau: Cho g điều kiện biên “Drichlet” hay gọi điều kiện biên điều kiện biên hình học: u = u biên điều kiện biên “Neumann” hay gọi điều kiện biên tự nhiên điều kiện biên lực biên q = q yêu cầu tìm u cho   D s u - Dạng yếu viết sau: Cho g điều kiện biên “Drichlet” hay gọi điều kiện biên điều kiện biên hình học: u = u biên điều kiện biên “Neumann” hay gọi điều kiện biên tự nhiên điều kiện biên lực biên q = q yêu cầu tìm u cho với hàm thử (hàm trọng số) u:   (s u) Dsud     uT qd     uT gd  T t  2.3.3 Phương trình ma trận, Ma trận độ cứng vector lực cục Phương trình ma trận phương pháp phân tích đẳng hình học phương pháp phần tử hữu hạn có dạng nhau; Kd = F K: ma trận độ cứng, d: vector chuyển vị; F: vector lực Ma trận độ cứng vector lực cục sau: k e   kabe    ( Ba ( x))T DBb ( x)d  e f e   f ae    N a ( x) gd    N a ( x)qd  e t Trong  N a   x  Ba     N a   y    N a   y  N a   x  Để đưa vào lập trình k e   BT DBd  e -15-  N1   x B  N   y N x N y N nen x 0 N nen y N1 x N x     N nen  x  f e   N T gd    e N T gd  e t Trong N ma trận hàm dạn định nghĩa cho toán hai chiều sau:  N1 0  N2 Nnen 0 0 N1 0  N2 Nnen  nen: số lượng hàm dạng phần tử (bằng với số lượng điểm điều khiển chi phối phần tử Như ma trận độ cứng vector lực tổng thể viết sau: nel K  Ke e 1 e  K e   K AB nel F   Fe e 1 F  {FAe } e -16- Chương Áp dụng phân tích đẳng hình học vào toán phẳng đối xứng trục 3.1 Cơ sở lý thuyết toán phẳng hệ tọa độ cực[1] Khi giải toán lý thuyết đàn hồi, toán nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạngtrong đĩa, ống dày, cong, lăn dài, miền cạnh lỗ dài tấm… hệ tọa độ cực sử dụng thay cho hệ tọa độ Descartes Trong toạ độ cực, vị trí điểm xác định góc cực  véc tơ bán kính r y r     r  d    r r  r  r dr r  r dr  r dr r  d r  r dr x r Hình 3-1 Phân tố vô bé chịu ứng suất biên 3.1.1 Các phương trình - Các phương trình vi phân cân bằng:  r  r  r      0 r r  r    r 2 r   0 r  r r - Các phương trình hình học u r v u    r  r u v v  r    r  r r r  -17- - Định luật Hooke Trong trường hợp toàn phẳng  x   y   r   Và định luật Hooke có dạng ( r    ) E   (    r ) E 2(1   )  r   r   r E G r  - Giải toán phẳng hệ tọa độ cực theo ứng suất, Hàm ứng suất: Khi bỏ qua lực thể tích thành phần ứng suất biểu thị hàm ứng suất  (r, ) sau:  2   r  r     ( ) r r    2 r   r r r  Khi phương trình liên tục biểu diễn thông qua hàm ứng suất hàm điều hòa kép hệ tọa độ cực     2   2 ( 2  )(   )0 r r r r  r r r r  3.1.2 Bài toán ống dày chịu áp lực phân bố (bài toán La mê) Xét ứng suất ống dày có đường kính b đường kính a có mặt mặt chịu áp lực phân bố Pa Pb hình vẽ Pb b Pa Hình 3-2 Ống dày chịu áp lực -18- Giá trị ứng suất ống tính toán theo giải tích sau: Pa a  Pbb b a ( Pa  Pb ) r  2  2 b a r (b  a ) Pa a  Pbb2 b2 a ( Pa  Pb )   2  2 b a r (b  a ) 3.2 Ứng dụng IGA giải toán ống dày chịu lực Ứng dụng tính toán cho đường ống dẫn chất lỏng thành dày chịu áp lực bên bên thành ống cụ thể trường hợp đồng ống Dự án khí điện đạm Cà mau sau: Bán kính a = 21,11cm; Bán kính b = 22,86cm; Áp lực bên thành ống Pb = 50T/m2 = 500 kN/m2 = 0.5 kN/cm2; Áp lực thành ống Pa = 14,76 MPa = 1,476 kN/cm2 Mô đun đàn hồi E = 20700 kN/cm2, hệ số nở hông 0,3 Đường ống có chiều dài lớn so với kích thước tiết diện nên tính toán theo lý thuyết toán biến dạng phẳng Lý thuyết đàn hồi Việc tính toán tiến hành Matlab, đề tài có tham khảo module xây dựng sẵn gói “SimoPackage” PGS.TS Nguyễn Xuân Hùng Do kết cấu có tính đối xứng trục nên ta cần tính cho ¼ hình, ứng suất tính vị trí tương ứng với bán kính trung bình r = 21.985 cm Quá trình tính toán kết thể đây, tất kết tính toán so sánh với kết theo lý thuyết đàn hồi 3.2.1 Trường hợp 1: lưới thô Vector knot theo phương    0,0,1,1 Số phẩn từ n e= Bậc đường cong p = Số lượng control point ncp = 1+1 = Vector knot theo phương    0,0,0,1,1,1 Số phẩn từ n e= Bậc đường cong p = Số lượng control point ncp = 2+1 = -19- Hình 3-3 Lưới thô gồm phần tử cho ¼ hình Kết tính toán cho hình sau Hình 3-4 Kết tính toán ứng suất xx -20- Hình 3-5 Giá trị ứng suất yy 3.2.2 Trường hợp 2: lưới làm mịn với số lượng phần tử 2x2 Vector knot theo phương    0,0,0,0.5,1,1,1 Số phẩn từ n e= Bậc đường cong p = Số lượng control point ncp = Vector knot theo phương    0,0,0,0.5,1,1,1 Số phẩn từ n e= Bậc đường cong p = Số lượng control point ncp = -21- Hình 3-6 Lưới làm mịn, số lượng phần tử Kết tính toán cho hình sau Hình 3-7 Kết tính toán ứng suất xx -22- Hình 3-8 Giá trị ứng suất yy Như IGA cho lời giải sát với lý thuyết, cần tăng số lượng phẩn tử lên cho kết gần xác tuyệt đối -23- KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1.Kết luận Đề tài trình bày tổng quan IGA áp dụng tự động hóa vào tính toán cho kết cấu thực tế Qua cho thấy khả ứng dụng cao IGA việc tính toán kết cấu nói riêng toán khác tính theo phương pháp số Ưu điểm: gọn nhẹ nên trình tính toán nhanh, tận dụng mô hình dựng sẵn từ CAD; kết tính toán cho sai số nhỏ Đặc biệt toán có biên đường mặt cong số lượng phần tử tính toán so với phương pháp phần tử hữu hạn nhiều Nhược điểm: có phần mềm thương mại hỗ trợ nên cần lập trình tay; lý thuyết tính đòi hỏi thời gian nghiên cứu tiếp cận lâu phương pháp cũ khó áp dụng vào công tác lao động sản xuất… 2.Kiến nghị Với ưu điểm khả áp dụng IGA với yêu cầu thực tế việc nghiên cứu khoa học giảng dạy, vấn đề đặt cần mở rộng cho hợp trường hợp, lĩnh vực phức tạp cần nghiên cứu sâu để đáp ứng cầu công tác nghiên cứu khoa học giảng dạy 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Ngọc (2012), Bài giảng đại học Cơ học môi trường liên tục, Lê Trọng Vinh,Trần Minh Toàn (2013), Giáo trình Phương pháp tính Matlab, Nhà xuất Bách Khoa - Hà Nội Đỗ Văn Hiến, Châu Nguyên Khánh, and Nguyễn Xuân Hùng, "Isogeometric analysis of plane-curved beams," trình bày Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc, Đà Nẵng, 2015 Nguyễn Xuân Hùng (2014), Isogeometric analysis, from theory to application, VGU Nguyễn Xuân Hùng (2015), Phân tích đẳng hình học cầu nối hợp mô hình mô thiết kế, NXB Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh 25 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.Tính cấp thiết đề tài Mục đích Nội dung phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Chương Tổng quan đề tài 1.1 Tổng quan phương pháp số 1.2 Tình hình ứng dụng phương pháp số tính toán kết cấu công trình Chương Phương pháp phân tích đẳng hình học 2.1 Tổng quan hàm sở B - Spiline 2.1.1 Hàm sở B – Spline hàm Nurbs 26 85 2.1.2 Làm mịn lưới 2.2 Giải toán kết cấu theo phương pháp đẳng hình học 10 2.2.1 Các bước giải toán theo phương pháp đẳng hình học 10 2.3 Phân tích đẳng hình học giải toán phẳng lý thuyết đàn hồi tuyến tính 11 2.3.1 Cơ sở lý thuyết toán phẳng lý thuyết đàn hồi 11 2.3.2 Dạng mạnh dạng yếu toán phân tích đẳng hình học 14 2.3.3 Phương trình ma trận, Ma trận độ cứng vector lực cục 15 Chương 17 Áp dụng phân tích đẳng hình học vào toán phẳng đối xứng trục 17 3.1 Cơ sở lý thuyết toán phẳng hệ tọa độ cực[1] 17 3.1.1 Các phương trình 17 3.1.2 Bài toán ống dày chịu áp lực phân bố (bài toán La mê) 18 3.2 Ứng dụng IGA giải toán ống dày chịu lực 19 3.2.1 Trường hợp 1: lưới thô 19 3.2.2 Trường hợp 2: lưới làm mịn với số lượng phần tử 2x2 21 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 24 1.Kết luận 24 2.Kiến nghị 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 i ... Hình 2-10 Phương pháp làm mịn k 2.2 Giải toán kết cấu theo phương pháp đẳng hình học 2.2.1 Các bước giải toán theo phương pháp đẳng hình học Trình tự giải toán kết cấu theo phương pháp đẳng hình. .. dụng phương pháp số tính toán kết cấu công trình Ngày với phát triển công nghệ thông tin hầu hết công việc tính toán thực máy tính Trong lĩnh vực tính toán kết cấu có nhiều phần mềm hỗ trợ tính toán. .. Giải toán kết cấu theo phương pháp đẳng hình học 10 2.2.1 Các bước giải toán theo phương pháp đẳng hình học 10 2.3 Phân tích đẳng hình học giải toán phẳng lý thuyết đàn hồi tuyến tính