Một số mở rộng của bất đẳng thức aczél và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC UYÊN PHƯƠNG MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC ACZÉL VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC UYÊN PHƯƠNG MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC ACZÉL VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS LÊ QUANG THUẬN BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình Bình Định, ngày tháng năm 2020 Học viên Nguyễn Ngọc Uyên Phương LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Quang Thuận người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn Đại học Quy Nhơn dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè anh chị lớp Cao học Toán K21 giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Trong trình học tập nghiên cứu viết luận văn, chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong nhận thông cảm ý kiến đóng góp Thầy Xin trân trọng cảm ơn Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thc chun b 1.1 Bt ng thc Hăolder 1.2 Các bất đẳng thức liên quan Mở rộng bất đẳng thức Aczél: Hướng thứ 16 2.1 Bất đẳng thức Aczél 16 2.2 Mở rộng bất đẳng thức Aczél theo hướng Popoviciu 18 Mở rộng bất đẳng thức Aczél: Hướng thứ hai 3.1 31 Mở rộng bất đẳng thức Aczél theo hướng Wu Debnath 31 3.2 Làm mịn số bất đẳng thức mở rộng 37 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 i MỞ ĐẦU Bất đẳng thức vấn đề khó, hấp dẫn thu hút quan tâm đông đảo người giảng dạy tốn từ bậc phổ thơng đến đại học nhà nghiên cứu toán Hiện nay, lý thuyết bất đẳng thức lý thuyết toán học đồ sộ, phát triển rộng sâu Các bất đẳng thức công cụ quan trọng để phát triển nhiều lĩnh vực tốn học khác Ở Tốn phổ thơng, chủ đề bất đẳng thức gặp thường xuyên bất đẳng thức hay xuất kỳ thi học sinh giỏi để đánh giá tư học sinh giỏi Trong số bất đẳng thức kinh điển tiếng, bất đẳng thức Aczél phát biểu với số thực , bi (i = 1, 2, , n) cho a21 − n n − i=2 a2i b21 n − b2i i=2 b2i > 0, ta có i=2 i=2 a21 n a2i > b21 − n a1 b1 − b i i=2 Bất đẳng thức Aczél đóng vai trị quan trọng lý thuyết phương trình hàm hình học phi Ơclit Trong năm gần đây, nhiều tác giả cải tiến mở rộng bất đẳng thức Aczél theo hướng khác ứng dụng chúng Nhiều bất đẳng thức mở rộng bất đẳng thức Aczél đời bất đẳng thức Popoviciu nhiều bất đẳng thức cơng bố tạp chí quốc tế uy tín Tốn học Tìm hiểu kết bổ ích cho cơng việc giảng dạy nghiên cứu Toán học sơ cấp bậc Trung học Phổ thơng Với mong muốn tìm hiểu bất đẳng thức Aczél số dạng mở rộng, chọn đề tài "Một số mở rộng bất đẳng thức Aczél ứng dụng" để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Mục đích luận văn trình bày chứng minh kết có báo nêu phần Tài liệu tham khảo Luận văn gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn bao gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Mở rộng bất đẳng thức Aczél: Hướng thứ Chương 3: Mở rộng bất đẳng thức Aczél: Hướng thứ hai Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hồn thiện Bình Định, ngày tháng năm 2020 Học viên Nguyễn Ngọc Uyên Phương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kiến thức chuẩn bị bất đẳng thức để sử dụng chứng minh chương sau Các kiến thức tham khảo từ tài liệu [12, 11, 6, 9] 1.1 Bất ng thc Hă older nh lý 1.1 ([11]) Cho 0, bi 0, i = 1, 2, , n p + q = với p > Khi p n q n api i=1 Đẳng thức xảy n bqi i=1 αapi = bi (1.1) i=1 βbqi với (i = 1, 2, , n), α β số thực thỏa mãn α2 + β > n Chứng minh Nếu n Giả sử i=1 i=1 api > api n i=1 n = i=1 bqi > bqi = (1.1) xảy đẳng thức Với i ∈ {1, 2, , n}, xét số không âm a= p n , bi b= q n api p + q = 1, p > a (1.2) bqi i=1 Vì · i=1 0, b nên theo bất đẳng thức AM-GM suy rộng ta có p q a + b p q ab (1.3) Đẳng thức xảy ap = bq Thay (1.2) vào (1.3) ta bpi api + p n p q n q bi i=1 bi p n q n api i=1 (1.4) bqi i=1 i=1 Vì (1.4) với i = 1, , n nên cộng theo vế bất đẳng thức lại với ta n bi 1 + p q i=1 p n api i=1 Vì p + q q n (1.5) bqi i=1 = nên từ (1.5) suy điều phải chứng minh Đẳng thức (1.5) xảy n bất đẳng thức (1.4) trở thành đẳng thức Theo (1.3), có điều bpi api = q ap1 + ap2 + · · · + apn b1 + bq2 + · · · + bqn với i = 1, 2, , n Tức ap1 ap2 apn = = · · · = , bq1 bq2 bqn với quy ước bi = với i = Ngoài ra, với a1 = a2 = · · · = an = b1 = b2 = · · · = bn = (1.1) xảy đẳng thức Kết hợp điều ta suy (1.1) xảy đẳng thức tồn hai số thực α, β không đồng thời không cho αapi = βbqi , i = 1, 2, , n Định lý 1.2 ([11], Bt ng thc Hăolder tng quỏt) Cho aij > 0, γj (i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , m) γ1 + γ2 + · · · + γm m γj n n Khi m γ aijj aij j=1 i=1 (1.6) i=1 j=1 Đẳng thức xảy γ1 + γ2 + · · · + γm = a21 an1 a11 = = ··· = (j = 2, 3, , m) a1j a2j anj 1.2 Các bất đẳng thức liên quan Định lý 1.3 ([11]) Cho x < α > Khi đó, ta có bất đẳng thức (1 − x) α 1− x max {α, 1} (1.7) Dấu đẳng thức xảy α = x = Chứng minh Khi α = x = 0, đẳng thức (1.7) xảy Khi α > 1, tức < α < Khi theo bất đẳng thức Bernoulli, ta có (1 − x) α < − x α với x ∈ (0, 1) Khi < α < 1, tức α > Ta có (1 − x) α < − x 36 m k j=1 p−1 j − m j=1 min{p−1 j ,1} k k m m−1 aij i=1 j=1 k m =K2 aij (3.8) i=1 j=1 Kết hợp (3.7) (3.8) ta có bất đẳng thức (3.6) Định lý chứng minh xong m Trong Định lý 3.4, với j=1 p−1 j 1, ta hệ sau Hệ 3.5 ([2]) Cho m, n số nguyên dương, pj > 0, aij (i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , m) số không âm k (1 k < n) số nguyên dương cho dãy số (a1j , a2j , , akj ) đơn điệu k n p chiều i=1 m p aijj − aijj > với j = 1, 2, , m Nếu i=k+1 j=1 p−1 j ta có bất đẳng thức m k p aijj j=1 i=1 pj n p aijj − k m m aij − {K1 , K2 } i=k+1 n i=1 j=1 aij i=k+1 j=1 (3.9) Trong Định lý 3.4, cho m = 2, p1 = p, p2 = q, ai1 = , ai2 = bi với p−1 + q −1 = 1, ta hệ sau Hệ 3.6 Cho n số nguyên dương, p > 0, q > với p−1 + q −1 = 1, , bi (i = 1, 2, , n) số không âm k (1 k < n) số nguyên dương cho dãy số (a1j , a2j , , akj ) đơn điệu chiều 37 k n p i=1 aijj − p aijj > với j = 1, 2, , m Khi ta có i=k+1 k p n api bqi k bqi − i=1 i=k+1 q n api − i=1 k k pq−1 pq n bi − i=1 i=k+1 b i i=k+1 (3.10) 3.2 Làm mịn số bất đẳng thức mở rộng Định lý 3.7 ([2]) Cho m, n số nguyên dương, pj > 0, aij (i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , m) số không âm k (1 k < n) số nguyên dương cho dãy số (a1j , a2j , , akj ) đơn điệu chiều k i=1 p aijj n p aijj − m > với j = 1, 2, , m, j=1 i=k+1 p−1 j = Khi ta có bất đẳng thức k m p aijj j=1 pj n p aijj − i=1 m k {K1 , K2 } R (aij ; l) i=k+1 n aij i=1 j=1 m − aij , (3.11) i=k+1 j=1 m k p aijj R (aij ; l) = j=1   p−1 j −min  j=1 m K1 = k n   ,1  aij , i=l+1 j=1 m , K2 = k m − i=k+1 −1 pj j=1 p aijj − i=1 m pj l j=1 p−1 j − m j=1 min{p−1 j ,1}+m−1 38 Chứng minh Biến đổi vế trái (3.11) thành m k pj n p p aijj aijj − j=1 i=1 k với Aj = i=1 m l p aijj j=1 p aijj − p p aijj (3.12) aij = R (aij ; l) (3.13) Aj j − = i=k+1 pj n i=l+1 pj i=k+1 Từ điều kiện ta có n p Aj j p aijj > − i=l+1 Do đó, theo Định lý 3.4, ta m pj n p Aj j p aijj − j=1 m n m Aj − j=1 i=l+1 i=l+1 j=1 Kết hợp (3.12) (3.13) ta k m p p aijj − i=1 j=1 k i=1 m m j=1 aijj − j=1 p aijj > Do đó, áp dụng Hệ 2.4, ta pj n p aijj i=1 R (aij ; l) i=k+1 k Aj = aijj i=k+1 n p Mặt khác, ta có pj n k p aijj − m {K1 , K2 } n aij − i=1 j=1 i=k+1 m aij i=k+1 j=1 (3.14) Kết hợp (3.13) (3.14) ta k R (aij ; l) m {K1 , K2 } m aij − i=1 j=1 Định lý chứng minh xong n aij i=k+1 j=1 39 Định lý 3.8 ([7]) Cho p1 , p2 , , pm số thực dương, ρ = ···+ m pm p a1jj aij > 0, 2, n n i=2 r < n (r ∈ N), ta có bất đẳng thức j=1 m p aijj − aijj > (i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , m), 1/pj n p a1jj n i=2 aij j=1 a11 a12 · · · a1m − η i=2 j=1 R(a, p) = p aijj − a11 a12 · · · a1m − η m n − aij i=r+1 j=1 i=2 j=1 (3.15) 1/pj r apikk p − p ajjj a1kk aijj i=2 j 0(j = Khi đó, với c ∈ [a, b), ta có bất đẳng thức 1, 2, , m), m j=1 p2 = 1, Aj > (j = 1, 2, , m), fj (j = 1, 2, , m) hàm khả tích Riemann dương [a, b] cho Aj j − p Aj j + 1/pj p fj j (x)dx R(a, p) a m m b Aj − fj (x) dx − a j=1 j=1 p b fj j (x) × p j N j = 1, 2, , m Áp dụng Hệ 2.4, với n > N ta thu bất đẳng thức sau:  m n c−a c−a b−c b−c pj p Apj j − fj a + h + fj j c + i l l n n j=1 h=1 i=1 pj 46 m l p p Aj j − j=1 n fj j h=1 m − b−c c+ i n fj i=1 j=1 n pj p f Aj j j × j0 > Khi đó, với c ∈ [a, b), ta có bất đẳng thức b p b p a f (x)dx q B − f (x)dx 1/q b q a g (x)dx a b AB − R(a, p) a AB f (x)g(x)dx − max{p, q} b a f p (x) g q (x) − dx A B (3.22) 1/p c p p R(a, p) = A − f (x)dx − c q B − a b 1/q c q AB f (x)g(x)dx − max{p, q} g (x)dx a b c f p (x) g q (x) − dx A B , KẾT LUẬN Luận văn trình bày số vấn đề sau: - Trình bày chứng minh bất đẳng thức Aczél - Trình bày làm rõ chứng minh số mở rộng bất đẳng thức Aczél Popoviciu theo hướng mở rộng thứ - Trình bày làm rõ chứng minh số mở rộng bất đẳng thức Aczél Popoviciu theo hướng mở rộng thứ hai Bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận phản hồi quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện 48 Tài liệu tham khảo [1] J Aczél, Some general methods in the theory of functional equations in one variable, New applications of functional equations, Uspehi Mat Nauk 11 69 (3), 3-68, 1956 [2] Z Hu, A Xu, Refinements of Aczél and Bellman’s inequalities, Computers and Mathematics with Applications 59, 3078–3083, 2010 [3] T Popoviciu, On an inequality, Gaz Mat Fiz Ser A 11(64), 451-461, 1959 [4] J-F Tian, Reversed version of a generalized Aczél’s inequality and its application, Journal of Inequalities and Applications 2012 [5] J-F Tian, Shu-Yan Wang, Refinements of Generalized Aczél’s Inequality and Bellman’s Inequality and Their Applications, Hindawi Publishing Corporation Journal of Applied Mathematics Volume 2013 [6] S Vong, On a generalization of Aczél’s inequality, Applied Mathematics Letters 24, 1301-1307, 2011 [7] W Yang, Refinements of generalized Aczél–Popoviciu’s inequality and Bellman’s inequality, Computers and Mathematics with Applications 49 50 59, 3570-3577, 2010 [8] X Zhou, Some generalizations of Aczél, Bellman’s inequalities and related power sums, Journal of Inequalities and Applications 2012 [9] C-J Zhao, Wing-Sum Cheung, Generelizations of Popoviciu’s and Bellman’s Inequalities, Bull Braz Math Soc, New Series, 2019 [10] S.Wu, A further generalization of Aczél’s inequality and Popoviciu’s inequality, Math Inequal Appli 10 (3), 565–573, 2007 [11] S.Wu, Some improvements of Aczel’s inequality and Popoviciu’s inequality, Computers and Mathematics with Applications 56, 1196–1205, 2008 [12] S Wu, L Debnath, A new genealization of Aczél’s inequality and its applications to an improvement of Bellman’s inequality, Applied Mathematics Letters 21, 588-593, 2008 [13] S Wu, L Debnath, Generalizations of Aczél’s inequality and Popoviciu’s inequality, Indian J Pure Appl Math 36 (2), 49-62, 2005 ... Aczél 16 2.2 Mở rộng bất đẳng thức Aczél theo hướng Popoviciu 18 Mở rộng bất đẳng thức Aczél: Hướng thứ hai 3.1 31 Mở rộng bất đẳng thức Aczél theo hướng Wu Debnath ... mong muốn tìm hiểu bất đẳng thức Aczél số dạng mở rộng, chọn đề tài "Một số mở rộng bất đẳng thức Aczél ứng dụng" để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Mục đích luận văn trình bày chứng minh kết có... lý 1.11 Chương Mở rộng bất đẳng thức Aczél: Hướng thứ Trong chương này, chúng tơi tìm hiểu bất đẳng thức Aczél số dạng cải tiến, tổng quát hóa bất đẳng thức Aczél theo hướng mở rộng Popoviciu