MỞ ĐẦU Các vấn đề liên quan đến bất đẳng thức là một bộ phận quan trọng của giải tích và đại số.. Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là đối tượng để nghiên cứ
Trang 1Bất đẳng thức Karamata và ứng dụng
Lê Hồ Quý
(GV Trường THPT Duy Tân – Kon Tum)
A MỞ ĐẦU
Các vấn đề liên quan đến bất đẳng thức là một bộ phận quan trọng của giải tích và đại
số Nhiều dạng toán của hình học, lượng giác và nhiều môn học khác cũng đòi hỏi giải quyết các vấn đề về ước lượng, cực trị và tối ưu, … Các học sinh và sinh viên thường phải đối mặt với nhiều dạng toán loại khó liên quan đến chuyên đề này
Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình toán học liên tục cũng như các mô hình toán học rời rạc trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, …
Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán khu vực và quốc tế, thi Olympic Toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cũng hay được đề cập và thường thuộc loại khó hoặc rất khó Các bài toán về ước lượng và tính giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu) của các tổng, tích cũng như các bài toán xác định giới hạn của một số biểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các tính toán, ước lượng (bất đẳng thức) tương ứng
Lý thuyết bất đẳng thức và đặc biệt, các bài tập về bất đẳng thức rất phong phú và cực kỳ
đa dạng Có nhiều ý tưởng cơ bản, cách thức tiếp cận và một số hướng ứng dụng theo các dạng toán cũng như phương pháp giải điển hình Với đề tài “ Bất đẳng thức Karamata và ứng dụng”, tập tiểu luận này xin tóm tắt các kiến thức cơ bản về hàm lồi, lõm, khả vi và bất đẳng thức Karamata, từ đó đi sâu nghiên cứu một số bài tập liên quan đến bất đẳng thức Karamata
Bài viết này gồm phần Mở đầu, Nội dung và được chia làm ba chương đề cập các vấn đề sau đây
Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản về hàm lồi, lõm, khả vi
Chương 2 trình bày bất đẳng thức Karamata và các hệ quả của nó
Chương 3 trình bày một số ứng dụng của bất đẳng thức Karamata
Trang 2B NỘI DUNG
Chương 1
Hàm lồi, lõm, khả vi
Ta ký hiệu I(a,b) là một tập hợp có một trong bốn dạng tập hợp sau: (a,b), [a,b), (a,b] và [a, b]
1.1 Định nghĩa
Hàm số f(x) được gọi là lồi trên tập I(a,b) nếu với mọi x , x1 2I(a, b) và với mọi cặp số dương , có tổng 1, ta đều có
f( x x ) f(x ) f(x ) (1) Nếu dấu đẳng thức trong (1) xảy ra khi và chỉ khi x1x2 thì ta nói hàm số f(x) là hàm lồi thực
sự (chặt) trên I(a,b)
Hàm số f(x) được gọi là lõm trên tập I(a,b) nếu với mọi x , x1 2I(a, b) và với mọi cặp số dương , có tổng 1, ta đều có
f( x x ) f(x ) f(x ) (2) Nếu dấu đẳng thức trong (2) xảy ra khi và chỉ khi x1x2 thì ta nói hàm số f(x) là hàm lõm thực
sự (chặt) trên I(a; b)
1.2 Định lí 1 Nếu f(x) khả vi bậc hai trên I(a, b) thì f(x) lồi (lõm) trên I(a, b) khi và chỉ khi
f ''(x) 0 (f ''(x) 0) trên I(a, b)
1.3 Biểu diễn hàm lồi và lõm
Nếu f(x) lồi khả vi trên I(a; b) thì với mọi cặp x , x I(a; b),0 ta đều có
f(x) f(x ) f '(x )(x x ) (3)
Dễ nhận thấy rằng (3) xảy ra đẳng thức khi x0x Vậy ta có thể viết (3) dưới dạng
u I(a ;b)
f(x) min f(u) f '(u)(x u)
Nếu f(x) lõm khả vi trên I(a;b) thì với mọi cặp x , x I(a; b),0 ta đều có
f(x) f(x ) f '(x )(x x ) (4)
Dễ nhận thấy rằng (4) xảy ra đẳng thức khi x0x Vậy ta có thể viết (4) dưới dạng
u I(a ;b)
f(x) max f(u) f '(u)(x u)
1 Định lí 1 được phát biểu theo các tài liệu nước ngoài, còn ở Việt nam khái niệm hàm lồi, lõm được phát biểu ngược lại
Trang 3Chương 2
Bất đẳng thức Karamata
2.1 Định lí Karamata
Trong mục này ta đặc biệt quan tâm đến dạng bất đẳng thức sau (thường được gọi là Bất đẳng thức Karamata) có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn
Định lí 2.1 (Bất đẳng thức Karamata) Cho hai dãy số x , yk kI(a; b), k1, 2, , n , thỏa mãn
các điều kiện x1x2 x , y n 1y2 y n và
1 1
x x x y y y
(5)
Khi đó, ứng với mọi hàm lồi thực sự f(x) (f ''(x) 0) trên I(a, b), ta đều có
f(x ) f(x ) f(x ) f(y ) f(y ) f(y ). (6)
Ta cũng có phát biểu tương tự đối với hàm lõm bằng cách đổi chiều dấu bất đẳng thức
f(x ) f(x ) f(x )
n
, ,t I(a ,b)
i 1 i 1
min f(t ) f(x t )f '(t )
1
Không mất tính tổng quát, ta giả thiết bộ số t , , t1 nI(a, b) cũng là một bộ số giảm, tức là
t t t Khi đó, để chứng minh (7), ta chỉ cần chứng minh rằng
x f '(t ) x f '(t ) x f '(t )
y f '(t ) y f '(t ) y f '(t )
Sử dụng biến đổi Abel
x f '(t ) x f '(t ) x f '(t ) S [f '(t ) f '(t )]+S [f '(t ) f '(t )]+ +1 1 2 2 2 3
+S [f '(t ) f '(t )]+S f '(t ), (9) với S (x) : xk 1x2 x k
Vì rằng f ''(x) 0 nên f '(x ) f '(xk k 1 ) Mặt khác, do S (x) S (y) (kk k 1, 2, , n 1) và
S (x) S (y), ta thu được ngay (8)
Trang 42.2 Các hệ quả
Hệ quả 2.2 (Bất đẳng thức Jensen) Với mọi hàm lồi f(x) trên I(a,b) và với mọi xiI(a, b)
(i1, 2, , n), ta luôn có bất đẳng thức
f(x ) f(x ) f(x ) x x x
Khi đó, ta có
1
1 2
x x x (n 1)x
x x x nx,
trong đó x1 x2 xn
n
Theo bất đẳng thức Karamata, ta có
x x x
n
Hệ quả 2.3 (Bất đẳng thức T Popoviciu) Với mọi hàm lồi trên I(a; b) và với mọi x, y, z I(a; b),
ta đều có bất đẳng thức
3
hoặc x y x y z z
3
Ta chỉ cần xét trường hợp x y x y z z
3
Khi đó dễ dàng kiểm tra
Và x y z 3 x y z 2 x y y z z x
Ta thu được dãy (10) gần đều hơn (11) Theo bất đẳng thức Karamata, ta được điều phải chứng minh
Hệ quả 2.3 (Bất đẳng thức Vasile Cirtoaje) Với mọi hàm lồi f(x) trên I(a, b) và
1 2 n
a ,a , , a I(a, b), ta luôn có bất đẳng thức sau
a a a f(a ) f(a ) f(a ) n(n 2)f
n
(n 1) f(b ) f(b ) f(b )
j i
1
n 1
với mọi i
Trang 5Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta coi n 3 và a1a2 a n Khi đó tồn tại số tự nhiên m sao cho 1 m n 1 m và a1 a ma a m 1 a , n trong đó a1 an
n
cũng có b1 b ma b m 1 b n
Dễ thấy rằng điều cần chứng minh được suy ra từ hai bất đẳng thức sau
f(a ) f(a ) f(a ) n(n m 1)f(a) (n 1) f(b m 1 ) f(b m 2 ) f(b ) , n (12)
f(a ) f(a ) f(a ) n(m 1)f(a) (n 1) f(b ) f(b ) f(b ) 1 2 m (13)
Để chứng minh (12), ta áp dụng bất đẳng thức Jensen đối với hàm lồi
f(a ) f(a ) f(a ) (n m 1)f(a) (n 1)f(b), trong đó a1 a2 am (n m 1)a
n 1
Vậy ta chỉ còn chứng minh rằng (n m 1)f(a) f(b) f(b m 1 ) f(b m 2 ) f(b ). n
Vì a b m 1 bm 2 b n và (n m 1)a b bm 1 bm 2 b , n
ta thấy ngay An m a, , a, b
xa đều hơn Bn m bm 1 , bm 2 , , b n
Vậy bất đẳng thức (12) được suy ngay từ bất đẳng thức Karamata
Bất đẳng thức (13) được chứng minh tương tự bằng cách sử dụng bất đẳng thức Jensen quen biết f(am 1) f(am 2) f(a ) (m 1)f(a)n
f(c),
n 1
f(c) (m 1)f(a) f(b ) f(b ) f(b ), trong đó am 1 am 2 an (m 1)a
n 1
Bất đẳng thức cuối cùng này suy được ngay từ bất đẳng thưc Karamata, vì rằng b1 b m a
và c (m 1)a b1b2 b , m và Cm c, a, , a
xa đều hơn Dm b , b , , b1 2 m
Trang 6Chương 3
Một số ứng dụng của bất đẳng thức Karamata
Ở phần tiếp theo, chúng tôi xin trình bày một số áp dụng của bất đẳng thức Karamata và các hệ quả của nó
Thí dụ 1 Cho 2n số thực dương a , b (ii i 1, 2, , n) thỏa mãn các điều kiện
a a a , b b b , a b , a a b b , ., a a a b b b
Chứng minh rằng
a a a b b b
Giải Đặt xi ln a , yi i ln b (ii 1, 2, , n) Với các điều kiện đã cho, ta có
1 1
x x x y y y
Xét hàm số x
f(x) e với x (0; ) Ta có x
f ''(x) e 0, x (0; ) nên hàm số f(x) lồi trên khoảng (0;) Khi đó, theo bất đẳng thức Karamata, ta có
e e e e e e hay a1a2 a nb1b2 b n
Thí dụ 2 (Đề thi kết thúc học phần cao học, chuyên đề bất đẳng thức, ĐH Đà Nẵng)
Cho
0 c b a 8
a b 13
a b c 15
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2
Ma b c
Giải Từ giả thiết, ta có
0 a 8
a b 8 5
a b c 8 5 2
Xét hàm số 2
f(x) x , ta có f ''(x) 2 0, x nên hàm số f(x) lồi thực sự trên Do đó, theo bất đẳng thức Karamata, ta có f(a) f(b) f(c) f(8) f(5) f(2) hay
2 2 2
a b c 64 25 4 93. Đẳng thức xảy ra khi a 8, b 5, c 2.
Vậy MaxM=93 đạt được khi a 8, b 5, c 2.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy2 cho hai bộ số (a,b,c) và (1,1,1), ta có
(1.a 1.b 1.c) 1 1 1 a b c
2
(a b c) 3 a b c
15 3.M
hay M 75. Đẳng thức xảy ra khi a b c 5.
Vậy MinM 75 đạt được khi a b c 5.
Thí dụ 3 Cho ABC là tam giác nhọn Chứng minh rằng 1 cos A cos B cos C 3
2
Trang 7Giải Không mất tính tổng quát, ta coi A B C. Khi đó A , C
3
nên
A
A B
0 A B C
2Với mọi bộ số (x ), (y )i i , ta luôn có bất đẳng thức sau
2
(14) Dấu đẳng thức trong (14) xảy ra khi và chỉ hai bộ số (x ) và i (y ) tỉ lệ với nhau, , tức tồn tại cặp i
số thức , không đồng thời bằng 0, sao cho xi yi 0, i 1, 2, , n
Theo tài tiệu nước ngoài, bất đẳng thức (14) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy Tại Việt Nam và một số nước Đông Âu, bất đẳng thức này được mang tên là “Bất đẳng thức Bunhia-covski”, “Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski” hoặc “Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz” Các bất đẳng thức giữa các trị trung bình cộng và nhân thì được gọi là bất đẳng thức Cauchy
Xét hàm số f(x) cos x với x 0;
2
Ta có f''(x) cos x 0, x 0;
2
nên hàm số f(x) lõm trên đoạn 0;
2
Khi đó, theo bất đẳng thức Karamata, ta có
f f f(0) f(A) f(B) f(C) 3f
Hay 1 cos A cos B cos C 3
2
Thí dụ 4 Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC không nhọn, ta luôn có
Giải Không mất tính tổng quát, ta coi A B C.
Khi đó
A
2
A B
2 4
hay
A
2 4
Xét hàm số f(x) tan x với x 0;
2
Ta có f ''(x) 2 sin x3 0
cos x
2
nên hàm số f(x) lồi trên khoảng 0;
2
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Karamata, ta được
Trang 8Vậy
Thí dụ 5 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c, ta luôn có bất đẳng thức
a b b c c a 2a2b2c
Giải Không mất tính tổng quát, ta coi a b c, tức là dãy số (a, b, c) là dãy giảm
Khi đó, ta có
2a a b 2a 2b a b b c 2a 2b 2c a b b c c a
Xét hàm số f(x) 1
x
với x (0; ) Ta có f ''(x) 23 0, x (0; )
x
nên hàm số f(x) lồi trên khoảng (0;) Từ đó, áp dụng bất đẳng thức Karamata ta nhận được bất đẳng thức cần chứng minh
Thí dụ 6 (IMO 2000) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện abc 1.
Chứng minh rằng
Giải Vì abc 1 nên ta đặt a x, b y, c z
với x, y,z 0.
Ta viết bất đẳng thức đã cho theo x, y,z
(x y z)(y z x)(z x y) xyz
Để ý rằng (x y z) (y z x) 2x 0, do đó trong ba số x y z, y z x, z x y không thể có trường hợp hai số cùng âm Nếu trong ba số trên có một hoặc ba số âm, hiển nhiên ta có bất đẳng thức cần chứng minh
Trường hợp cả ba số đó đều dương, bằng cách lấy lôgarit hai vế với cơ số e, ta được
ln(x y z) ln(y z x) ln(z x y) ln x ln y ln z. Không mất tính tổng quát, ta coi x y z. Khi đó, ta có
(y z x, x y z,z x y) (x, y, z).
Xét hàm số f(x) ln x với x 0. Ta có f ''(x) 12 0, x 0
x
nên hàm số f(x) lõm trên khoảng
(0;) Khi đó theo bất đẳng thức Karamata, ta có
ln(y z x) ln(x y z) ln(z x y) ln x ln y ln z.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z hay a b c 1.
Thí dụ 7 Cho a,b là các số thực không âm Chứng minh rằng
3a 3a 3b3b 3a3b 3b3a
Trang 9Giải Giả sử b a. Giữa các số 3 3 3 3
x b b , x b a , x a b , x a a , thì x1 là số lớn nhất, x4 là số nhỏ nhất Ta có 1 2
Từ đó, áp dụng bất đẳng thức Karamata cho hàm số f(x) 3x (đây là hàm lõm trên 0; )
Thí dụ 8 (Áo 2000) Cho a,b 0 và số nguyên n Chứng minh a n b n n 1
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Giải Ta xét các trường hợp
Trường hợp 1 Khi n 0, hàm số n
f(x) x lồi trên khoảng (0,) Vậy theo bất đẳng thức Jensen, ta có
n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b a b
b a hoặc n 0 hoặc n 1. Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có
a b
2
b a
Đẳng thức xảy ra khi a b hoặc n 0.
Trường hợp 2 Khi n 1, ta đặt p n 1 Khi đó, ta có
n 1
(a b) (a b) 2
p
p p
Bất đẳng thức cuối được suy ra ngay từ bất đẳng thức Jensen ứng với hàm số n
f(x) x (đây là hàm lồi trên khoảng (0, + )) với p 1 và p Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b hay
p 1, tức là xảy ra khi và chỉ khi a b hay n 1 Đến đây bất đẳng thức hoàn toàn được chứng minh
Thí dụ 9 Chứng minh rằng nếu a ,a , , a (n1 2 n 3) là các số dương thỏa mãn điều kiện
a a a 1 thì ta có
n
Giải Áp dụng bất đẳng thức Vasile Cirtoaje đối với hàm lồi f(x) ln x với x 0, ta nhận được
n(n 2 )
a a a
Trang 10trong đó i j
j i
1
n 1
với mọi i Theo điều kiện a1a2 a n 1, bất đẳng thức ở trên trở thành
2
n n
1 (1 a ) (1 a ) (1 a ) n 1 a a a
n
Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM, ta có
n
(1 a ) (1 a ) (1 a ) n (1 a )(1 a ) (1 a ), nghĩa là 1 1 n (1 a )(1 a ) (1 a ).1 2 n
n
Từ bất đẳng thức này, với n 3, ta có
n(n 3)
1
1 (1 a ) (1 a ) (1 a ) n
(1 a ) (1 a ) (1 a )
Nhân bất đẳng thức này với bất đẳng thắc (*), ta nhận được bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a2 an 1
n
Cuối cùng là một số bài tập dành cho bạn đọc
Bài 1 Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC nhọn, ta luôn có
3
1 cos A cos B cos C
2
Bài 2 Chứng minh rằng nếu a , a , , a là các số thực dương thì 1 2 n
a a a a a a a a
Bài 3 Chứng minh rằng với mọi số x , x , , x1 2 n thuộc khoảng , ,
6 6
ta luôn có bất đẳng thức
cos(2x x ) cos(2x x ) cos(2x x ) cos x cos x cos x
Bài 4 (APMO 1996) Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác Chứng minh rằng
a b c b c a c a b a b c
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài 5 (IMO 1999) Cho n là một số nguyên dương cố định, n 2 Hãy tìm hằng số C bé nhất sao cho
4 n
2 2
với mọi số thực không âm x , x , , x 1 2 n
Trang 11Bài 6 (Iran 2008) Cho a,b,c 0 và ab bc ca 1. Chứng minh rằng
a a b b c c2 a b c.
Bài 7 Giả sử x , x , , x (n1 2 n 3) là các số dương thỏa mãn điều kiện x x x1 2 n 1 Chứng minh rằng nếu 0 p 2n 12
(n 1)
thì ta có
1 px 1 px 1 px 1 p
Trang 12Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức: Định lí và áp dụng, NXB Giáo dục
[2] Hardy G.H., Littlewood J.E., Polya G., 1999, Bất đẳng thức, NXB ĐHQGHN
[3] Z Kadelburg., D Đukié., M Lukié., I Matié., 2005, Inequalities of Karamata, Schur
and Muirhead, and some appilications, The teaching of mathematics, Vol VIII
[4] Phạm Kim Hùng, 2006, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức
[5] Ngô Thế Phiệt, 2007, Một số phương pháp mới trong chứng minh bất đẳng thức, NXB
Giáo dục
[6] Nguyễn Cửu Huy, 2009, Bất đẳng thức, NXB Giáo dục