Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 50 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
50
Dung lượng
0,95 MB
Nội dung
HSG TOÁN LỚP TOÁN THẦY NAM MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG A MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI • Quy tắc song hành: Đa số bất đẳng thức có tính đối xứng nên sử dụng nhiều bất đẳng thức chứng minh toán để định hướng cách giải nhanh • Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” bất đẳng thức có vai trị quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đắn chứng minh, định hướng cho ta cách giải Chính giải toán chứng minh bất đẳng thức tốn cực trị ta cần rèn luyện cho thói quen tìm điều kiện dấu số khơng u cầu trình bày phần • Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm tính xảy đồng thời dấu “=” áp dụng liên tiếp song hành nhiều bất đẳng thức Khi áp dụng liên tiếp song hành nhiều bất đẳng thức dấu “=” phải thỏa mãn với điều kiện biến • Quy tắc biên: Đối với tốn cực trị có điều kiện ràng buộc cực trị thường đạt vị trí biên • Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng vai trị biến bất đẳng thức dấu “=” thường xảy vị trí biến Nếu tốn có điều kiện đối xứng dấu “=”xảy biến giá trụ cụ thể ĐÀO VĂN NAM [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN I LỚP TOÁN THẦY NAM MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM- GM Kỹ thuật tách ghép số 1.1 Kỹ thuật tách ghép Bài 1: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: (a + b )(b + c )(c + a ) 8abc Bài 2: Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng: ac + bd (a + b)(c + d ) a c Chứng minh rằng: b c Bài 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa c(a − c ) + c(b − c ) ab Bài 4: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: + abc (1 + a )(1 + b )(1 + c ) a Chứng minh rằng: b Bài 5: Cho số thực dương a, b thỏa a b − + b a − ab Bài 6: Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: 16ab(a − b)2 (a + b)4 Bài 7: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: ( a(1 + b) + b(1 + c ) + c(1 + a ) 33 abc + abc Bài 8: Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: ab + ) a b + a + b +1 b a Bài 9: Cho số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = 10 Tìm GTLN của: A =a 2b3c 1.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo Bài 1: Chứng minh rằng: ĐÀO VĂN NAM a b + , a,b b a [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN LỚP TOÁN THẦY NAM Bài 2: Chứng minh rằng: a + Bài 3: Chứng minh rằng: Bài 4: Chứng minh rằng: , a a −1 a2 + a2 +1 , a R 3a , a + 9a 2 a2 Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (a + 1) + + , a −1 a +1 Bài 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = a + Bài 7: Chứng minh rằng: a + Bài 8: Chứng minh rằng: a + , a a2 , a b b( a − b) (a − b )(b + 1)2 , a b 1.3 Kỹ thuật ghép đối xứng Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm số thao tác sau: a+b b+c c+a + + a + b + c = Phép cộng: 2 2(a + b + c ) = (a + b ) + (b + c ) + (c + a ) abc = ab bc ca , a b c = (ab )(bc )(ca ) Phép nhân: (a, b, c 0) Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: Bài 2: Cho ba số thực abc CMR: bc ca ab + + a+b+c a b c a2 b2 c2 b c a + + + + b2 c2 a2 a b c Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc = CMR: b+c c+a a+b + + a + b + c +3 a b c Bài 4: Cho ABC , AB = c, BC = a, CA = b, p = ĐÀO VĂN NAM a+b+c CMR: [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN LỚP TOÁN THẦY NAM ( p − a )( p − b )( p − c ) abc Bài 5: Cho ABC , AB = c, BC = a, CA = b, p = a+b+c CMR: 1 1 1 + + 2 + + p−a p−b p−c a b c 1.4 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo Trong kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ta ứng dụng bất đẳng thức sau Với n N x1 , x , , x n (x1 + x2 + + xn ) x1 + 1 + + n x2 xn Chứng minh bất đẳng thức : Ta có với x1 , x , , x n (x1 + x2 + + xn ) x1 + 1 + + n n x1 x x n n n = n2 x2 xn x1 x x n Với n = x1 , x , x3 (x1 + x2 + x3 ) x1 + 1 + x x3 Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: Bài 2: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: b+c c+a a+b + + 6 a b c a b c + + b+c c+a a+b (Bất đẳng thức Nesbit) Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: c2 a2 b2 a+b+c + + a+b b+c c+a Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a + b + c Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 + + 9 a + 2bc b + 2ca c + 2ab ĐÀO VĂN NAM [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN LỚP TOÁN THẦY NAM Kỹ thuật đổi biến số Có tốn mặt biểu thức tốn học tương đối cồng kềnh, khó nhận biết phương hướng giải Bằng cách đổi biến số, ta đưa tốn dạng đơn giản dễ nhận biết Bài 1: Cho ABC , AB = c, BC = a, CA = b CMR: (b + c − a )(c + a − b )(a + b − c ) abc (1) Bài 2: Cho ABC , AB = c, BC = a, CA = b CMR: a b c + + 3 b+c−a c+a−b a +b−c (1) Bài 3: Cho ABC , AB = c, BC = a, CA = b CMR: a2 b2 c2 + + a + b + c (1) b+c−a c+a−b a+b−c Bài 4: Cho ABC , AB = c, BC = a, CA = b, p = ( p − a) + ( p − b) + ( p − c) a+b+c CMR: p ( p − a )( p − b)( p − c ) Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: (1) a b c + + (1) b+c c+a a+b Bài 6: Cho số thực không âm a, b, c thỏa (a + c )(b + c ) = CMR: 1 + + 4 2 (a − b ) (a + c ) (b + c )2 Bài 7: Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xyz = Tìm GTNN biểu thức: A= x2 (y + z) y y + 2z z + y (z + x ) z z + 2x x + z (x + y ) x x + 2y y Kỹ thuật chọn điểm rơi ĐÀO VĂN NAM [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN LỚP TOÁN THẦY NAM Điểm rơi bất đẳng thức giá trị đạt biến dấu “=” bất đẳng thức xảy Trong bất đẳng thức dấu “=” thường xảy trường hợp sau: • Các biến có giá trị Khi ta gọi tốn có cực trị đạt tâm • Khi biến có giá trị biên Khi ta gọi tốn có cực trị đạt biên Căn vào điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức ta xét kỹ thuật chọn điểm rơi trường hợp 3.1 Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị xảy biên Xét toán sau: Bài toán 1: Cho số thực a Tìm giá trị nhỏ (GTNN) A = a + a Sai lầm thường gặp là: A = a + a a = Vậy GTNN A a Nguyên nhân sai lầm: GTNN A a = a = vô lý theo giả a thuyết a Lời giải đúng: A = a + a 3a a 3a 3.2 = + + 2 + 1+ = a a 4 a 4 Dấu “=” xảy a = hay a = a Vậy GTNN A Vì lại biết phân tích lời giải Đây kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Quay lại toán trên, dễ thấy a tăng A tăng Ta dự đốn A đạt GTNN a = Khi ta nói A đạt GTNN “Điểm rơi a = ” Ta áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho hai số a ĐÀO VĂN NAM khơng thỏa quy tắc a [P]: 0988.624.083 HSG TỐN LỚP TỐN THẦY NAM dấu “=” Vì ta phải tách a để áp dụng bất đẳng thức AM a GM thỏa quy tắc dấu “=” Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức AM - GM cho a 1 a cặp số , cho “Điểm rơi a = ” = , ta có sơ đồ sau: a a a = a=2 = = 1 = a Khi đó: A = a + a 3a = + + ta có lời giải a 4 a a 1 Lưu ý: Để giải tốn trên, ngồi cách chọn cặp số , ta chọn các a 1 cặp số sau: a, a, a, a a a Bài toán 2: Cho số thực a Tìm giá trị nhỏ A = a + a2 Sơ đồ điểm rơi: a = a=2 = =8 1 =1 a Sai lầm thường gặp là: A= a 7a a 7a + + 2 + = a 8 a 7a + 2a 7.2 + = Dấu “=” xảy 2.2 a = Vậy GTNN A Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN A là đáp số cách giải mắc sai lầm đánh giá mẫu số: “ a 2a 2.2 sai” ĐÀO VĂN NAM [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN Lời giải đúng: A = LỚP TOÁN THẦY NAM a a 6a a a 6a 6.2 + + + 3.3 + + = 8 a 8 a 8 Dấu “=” xảy a = Vậy GTNN A Bài 1: Cho số thực dương a, b thỏa a + b Tìm GTNN A = ab + Bài 2: Cho số thực a Tìm GTNN A = a + ab 18 a Bài 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa a + 2b + 3c 20 Tìm GTNN A= a+b+c+ + + a 2b c ab 12 Chứng minh rằng: bc Bài 4: Cho3 số thực dương a, b, c thỏa (a + b + c ) + 2 1 121 + + + ab bc ca abc 12 Phân tích: ab = 12 ,tại điểm rơi a = 3, b = 4, c = bc = Dự đoán GTNN A đạt Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a b a b + + 33 = 18 24 ab 18 24 ab a c a c + + 33 =1 ca ca b c b c + + 33 = 16 bc 16 bc a c b a c b + + + 44 = 12 abc 12 abc 13a 13b 13a 13b 13 13 13 + 2 2 12 = 18 24 18 24 18 24 13b 13c 13b 13c 13 13 13 + 2 2 = 48 24 48 24 48 24 ĐÀO VĂN NAM [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN LỚP TOÁN THẦY NAM Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: (a + b + c ) + 2 1 121 + + + ab bc ca abc 12 (đpcm) 3.2 Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị đạt tâm Xét toán sau: Bài toán: Cho số thực dương a, b thỏa a + b Tìm GTNN A= a+b+ Bài 1: 1 + a b Cho số thực dương a, b, c thỏa a + b + c A= a+b+c+ Bài 2: Tìm GTNN 1 + + a b c Cho số thực dương a, b, c thỏa a + b + c A = a2 + b2 + c2 + Tìm GTNN 1 + + a b c Bài 3: Cho số thực dương a, b Tìm GTNN A = Bài 4: Cho số thực dương a, b, c Tìm GTNN A= Bài 5: 1 + 2ab a +b Cho số thực dương a, b thỏa a + b Tìm GTNN 1+ a + b 2 + 2ab Cho số thực dương a, b thỏa a + b Tìm GTNN A= Bài 8: ab a+b Cho số thực dương a, b thỏa a + b Tìm GTNN : A= Bài 7: ab + a b c b+c c+a a+b + + + + + b+c c+a a+b a b c A= Bài 6: a+b 1 + + 4ab a +b ab Cho số thực dương a, b thỏa a + b Tìm GTNN ĐÀO VĂN NAM [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN LỚP TOÁN THẦY NAM A= Bài 9: 1 + + a +b a b ab Cho ba số thực dương x, y, z thỏa P= 1 + + = Tìm GTLN x y z 1 + + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Đề thi Đại học khối A năm 2005 Kỹ thuật nhân thêm hệ số Bài 1: Tìm GTLN : A = a (1-a ) , a (0,1) Giải: Do a, 1-a nên áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 1 a + a + 2-2a a (2-2a ) = a.a(2-2a ) = 2 2 27 A 27 A= Dấu “=” xảy a = − 2a = Vậy GTLN A 27 Bài 2: Tìm GTLN : A = a (2-a ) , a (0,2) Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 1 a + a + a + − 3a 27 A = a.a.a.(6 − 3a ) = 3 16 Dấu “=” xảy a = − 3a = Vậy GTLN A 27 16 a Tìm GTLN b Bài 3: Cho số thực dương a, b thỏa ĐÀO VĂN NAM 10 [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN LỚP TOÁN THẦY NAM ( a + b + c) 3= ab + bc + ca = a + b + c 33 abc ab + bc + ca (2’) 4 abc (3’) 4 Cộng theo vế (1’), (2’), (3’) ta được: a b c + + + + 3 b c +1 c a +1 a b +1 4 a b c + + 2 b c +1 c a +1 a b +1 (đpcm) Bài 6: Cho số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện ab + bc + ca = Chứng minh bất đẳng thức sau: a 2b + b + 2c + + c 2a + 1 Giải: Ta có: a 2b + =a− 2ab ab 2ab a − =a− (1) 3 b + b +1 3b Tương tự ta có: b 2c + b− 2bc (2) ; c 2a + c− 2ca (3) Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: a 2b + b + 2c + + c 2a + a+b+c− 2(ab + bc + ca ) = a+b+c−2 Mặt khác ta có: (a + b + c )2 ab + bc + ca a + b + c 3(ab + bc + ca ) = (2' ) Cộng theo vế (1’) (2’) ta được: a 2b + + b 2c + a 2b + ĐÀO VĂN NAM + + c 2a + b 2c + 3 + + a + b + c a + b + c +1 c 2a + (đpcm) 36 [P]: 0988.624.083 (1' ) HSG TOÁN LỚP TOÁN THẦY NAM Bài 7: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a+b+c + + 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a Giải: Ta có: a3 a b + ab ab(a + b ) a + b 2a − b = a − a− =a− = (1) 2 2 3ab 3 a + ab + b a + ab + b Tương tự ta có: b3 2b − c 2 b + bc + c (2) ; c3 2c − a 2 c + ca + a (3) Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: a3 b3 c3 a+b+c + + 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a (đpcm) Bài 8: Cho số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức sau: a2 b2 c2 + + 1 a + 2b b + 2c c + 2a Giải: Ta có: a2 2ab 2ab 2 = a − a − = a − (ab ) (1) 2 3 a + 2b a+b +b ab Tương tự ta có: b2 2 b − (bc ) b + 2c (2) ; c2 2 c − (ca ) c + 2a (3) Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: a2 b2 c2 2 2 + + a + b + c − (ab ) + (bc ) + (ca ) 2 3 a + 2b b + 2c c + 2a 2 2 − (ab ) + (bc ) + (ca ) (*) 3 Mặt khác ta có: ĐÀO VĂN NAM 37 [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN (ab )2 LỚP TOÁN THẦY NAM = a.ab.b a + ab + b (1’) Tương tự: (bc )2 b + bc + c (2’) ; (ca)2 c + ca + a (3’) Cộng theo vế (1’), (2’) (3’) ta có (ab )2 + (bc )2 + (ca )2 (a + b + c ) + (ab + bc + ca ) 3 2 (a + b + c ) 32 (a + b + c ) + = + = 3 3 3 2 2 − 3 (ab ) + (bc ) + (ca ) − = -2 (**) 3 Từ (*) (**) ta có: a2 b2 c2 + + 3−2 =1 a + 2b b + 2c c + 2a (đpcm) Bài 9: Cho số thực dương a, b, c thỏa điều kiện a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức sau: a2 b2 c2 + + 1 a + 2b b + 2c c + 2a Giải: Ta có: a2 2ab 2ab =a− a− = a − b3 a (1) 3 3 a + 2b a+b +b 3 ab Tương tự ta có: b2 b − c3 b 3 b + 2c (2) ; c2 c − a3 c c + 2a (3) Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: ( a2 b2 c2 + + a + b + c − b3 a + c b + a c 3 3 a + 2b b + 2c c + 2a − b3 a + c b + a c (*) ( ) ) Mặt khác ta có: ĐÀO VĂN NAM 38 [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN LỚP TOÁN THẦY NAM a + a +1 2a + 2ab + b b3 a = b3 a.a.1 b = b = 3 (1' ) Tương tự ta có: c3 b 2bc + c (2' ) ; a3 c 2ca + a (3' ) Cộng theo vế (1’), (2’), (3’) ta được: (b ) a+b+c + (ab + bc + ca ) 3 a + b + c (a + b + c ) + =3 3 a + c3 b + a3 c Từ (*) (**) ta có: ĐÀO VĂN NAM a2 b2 c2 + + 1 a + 2b b + 2c c + 2a 39 (**) (đpcm) [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN LỚP TOÁN THẦY NAM B MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI I BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI Cho 2n số thực a1 , a , , a n , b1 , b2 , ,bn n Z , n , ta có: (a1b1 + a2b2 + + an bn )2 (a12 + a22 + + an2 )(b12 + b22 + + bn2 ) Dấu “=” xảy a a1 a = = = n (quy ước bi = = ) b1 b2 bn II MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI Kỹ thuật tách ghép số Bài 1: Cho số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = CMR 1 + + 9 a b c Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski : 1 1 1 1 1 + + = (a + b + c ) + + a + b + c = a b c a b c a b c Vậy 1 + + 9 a b c Bài 2: Cho số thực dương a, b,c CMR : a+b b+c c+a + + a+b+c a+b+c a+b+c Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski : ĐÀO VĂN NAM 40 [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN LỚP TOÁN THẦY NAM a+b b+c c+a + + a+b+c a + b + c a + b + c b+c c+a a+b (12 + 12 + 12 ) + + =6 a+b+c a+b+c a+b+c a+b b+c c+a + + a+b+c a+b+c a+b+c Bài 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa ab + bc + ca = CMR: a4 + b4 + c4 16 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có : (1 )( ) ( + 12 + 12 a + b + c 1.a + 1.b + 1.c a4 + b4 + c4 Bài 4: ) = (a 2 )( + b2 + c2 b2 + c2 + a2 (ab + bc + ca )(ab + bc + ca ) = 16 ) 16 (đpcm) a b + a+ b b a Cho số thực dương a, b CMR Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có : ( ) ( a a b b a + b = 4 b + 4 a + a + b b a b a a b a+ b + b a ( ) ) (đpcm) a2 b2 c2 a + b + c + + Bài 5: Cho số thực dương a, b CMR b + c c + a a + b Giải: Ta có: a+b+c = a b c b+c + c+a + a+b b+c c+a a+b Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski : ĐÀO VĂN NAM 41 [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN LỚP TOÁN THẦY NAM (a + b + c )2 a b c + + b + c c + a a + b b + c + ( ) ( ) ( c+a + ) a+b a2 b2 c2 2(a + b + c ) + + b + c c + a a + b 2 a b c (đpcm) a + b + c 2 + + b+c c+a a+b Cho số thực dương a, b thỏa a + b = Tìm GTLN Bài 6: A = a 1+ a + b 1+ b Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski : A = a 1+ a + b 1+ b (1 )( (a ) ) + b (1 + a + + b ) = a + b + + 12 a + b + = 2+2 a + b = b a = a=b= Dấu “=” xảy b +1 a +1 1 = a b Vậy GTLN A +2 Cho số thực a, b thỏa 36a + 16b = Tìm GTLN GTNN Bài 7: A = −2a + b + Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski : 1 36a + 16b − + 6a − + 4b = (− 2a + b ) 4 25 (− 2a + b ) 16 5 − −2a + b 4 15 25 −2a + b + 4 ( 2 ) Ta có: ĐÀO VĂN NAM 42 [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN LỚP TOÁN THẦY NAM 36a + 9b = a= 25 6a 4b = GTNN A − 1 − b = − 20 − a + b = − 36a + 9b = a = − 25 6a 4b = GTLN A 1 − b = 20 − a + b = Bài 8: Cho số thực dương a, b, c CMR: a + 3b b + 3c c + 3a a +b +c + + 4 4 4 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có : 2 a b b b 1 1 a + 3b 2 = + + + + + + a + b + b + b 16 16 16 16 4 4 ( ( ) ) 2 a + b2 + b2 + b2 16 (1 + + + 1) a + b + b + b 16 ( a + 3b a + 3b ) (1) Tương tự: b + 3c b + 3c (2) c + 3a c + 3a (3) 4 ĐÀO VĂN NAM 43 [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN LỚP TOÁN THẦY NAM Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: a + 3b b + 3c c + 3a 4 + + a +b +c Bài 9: 4 Cho a, b, c (0,1) CMR abc + (đpcm) (1 − a )(1 − b)(1 − c ) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski : ( (1 − a )(1 − b )(1 − c ) ) a + (1 − a )bc + (1 − b )(1 − c ) = bc + (1 − b )(1 − c ) abc + (1 − a )(1 − b )(1 − c ) bc + (1 − b )(1 − c ) bc + (1 − b )(1 − c ) abc + Mà ( (1 − b )(1 − c ) ) b + (1 − b )c + (1 − c ) = bc + (1 − b )(1 − c ) bc + Vậy ta có: ( abc + (1 − a )(1 − b )(1 − c ) ) 1 hay abc + (1 − a )(1 − b)(1 − c ) Lưu ý: Trong cách chứng minh ta sử dụng bất đẳng thức x+ y x + y (x,y 0) Dễ dàng chứng minh tính chất này, ta có: ( x+ y ) = x+ y+2 xy x + y (x,y 0) x + y x+ y Bài 10: Cho số thực dương a, b, c CMR a b c + + 2 (b + c ) (c + a ) (a + b ) 4(a + b + c ) Giải: Ta có: ĐÀO VĂN NAM 44 [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN LỚP TOÁN THẦY NAM (a + b + c ) a (b + c ) + b (c + a ) + (a + b ) c a b c + + c b + c c + a a + c ( ) + ( b) + ( ) = a 2 b c a + + b+c c+a a+b Mà ta có: a b c + + b+c c+a a+b (bất đẳng thức Nesbit, chứng minh phần trước) b c a + + b+c c+a a+b a b c (a + b + c ) + + (c + a )2 (a + b )2 (b + c ) a b c (đpcm) + + 2 (b + c ) (c + a ) (a + b ) 4(a + b + c ) Kỹ thật chọn điểm rơi Bài 1: Cho số thực dương a, b,c thỏa a + b + c Tìm giá trị nhỏ (GTNN) A = a2 + 1 + b2 + + c2 + 2 b c a Phân tích: Chuyển đổi biểu thức thành biểu thức Giả sử với số , ta có: ĐÀO VĂN NAM 45 [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN LỚP TOÁN THẦY NAM 1 a2 + = b +2 b + = c 2 +2 c2 + = a +2 A a + + a + 2 b b + ( ) b + b + + c c 2 +2 ( ) c + + c + 2 a a + ( ) 1 (a + b + c ) + + + a b c 2 +2 Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt a=b=c=2 Sơ đồ điểm rơi: a = b = b a=b=c=2 = = ab = bc = ca = , chọn = c c = a Kết hợp với “ kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức AM - GM” ta có lời giải: ĐÀO VĂN NAM 46 [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN LỚP TOÁN THẦY NAM Giải: 1 1 a + .(4 + 12 ) a + = b b 17 1 b + .(4 + 12 ) b + = c c 17 c + = c + .(4 + 12 ) a2 a2 17 1 A 4(a + b + c ) + a + b + c = 17 1 4a + b 17 1 4b + c 17 1 4c + a + 12 1 17 15 a b c 1 (a + b + c ) + + + + a + b + c Dấu 15 a b c 1 17 + 6.6 = 4 a b c 17 a 4 = b b “=” xảy = a = b = c = 4 c c 4 = a Vậy GTNN A 17 Bài 2: Cho số thực dương a, b,c thỏa a + b + c Tìm GTNN A = a2 + 1 + b2 + + c2 + b+c c+a a+b Phân tích: Chuyển đổi biểu thức thành biểu thức Giả sử với số , ta có: 2 1 a + = a + + a + 2 2 b+c b+c b + c + + 1 b + b + c+a c+a 2 +2 c2 + c + 2 a+b a+b + ( A ) 1 + + (a + b + c ) + b+c c + a a+b + ĐÀO VĂN NAM 2 47 [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN LỚP TOÁN THẦY NAM Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt a=b=c=2 Sơ đồ điểm rơi: a = b b a=b=c=2 = = ab = bc = ca = , chọn c c = a = = Kết hợp với “ kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức AM - GM” ta có lời giải: Giải 1 2 = a2 + 4a + .(4 + ) a + b + c b + c 17 17 b + c 1 4b + b + c+a 17 c+a 1 c2 + 4c + 2 a+b a+b +1 1 1 A + + 4(a + b + c ) + 17 b+c c + a a+b 1 4(a + b + c ) + 3.3 17 a + b a + b c + a 4(a + b + c ) + 17 a+b + a+b + c+a 4(a + b + c ) + 2 (1 + + )(a + b ) + (b + c ) + (c + a ) 17 4(a + b + c ) + 17 (a + b + c ) 31 9 + (a + b + c ) + (a + b + c ) + 17 (a + b + c ) (a + b + c ) 17 31 9 + 33 (a + b + c ) = 17 (a + b + c ) (a + b + c ) Với a = b = c = GTNN A ĐÀO VĂN NAM 48 17 [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN LỚP TOÁN THẦY NAM Bài 3: Cho số thực dương a, b,c thỏa a + b + c + 2abc 10 Tìm GTNN 9b c a 9c a b 9a b c + + + + + + + + 4 a2 b2 c2 A= Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt a=b=c=2 Sơ đồ điểm rơi: a = b b a=b=c=2 = = ab = bc = ca = , chọn c c = a = = Kết hợp với “ kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức AM - GM” ta có lời giải: Giải 9b c a + + 9b + ca + 18 + + a a 2 9c a b + + 9b + ca + 18 + + b b 9a b c + 18 + + + + 9b + ca a c 4 4 24 A + + + 9(a + b + c ) + (ab + bc + ca ) a b c 4 4 4 + a + + b + + c + (2a + bc ) + (2b + ac ) + (2c + ab ) + 6(a + b + c ) a b c 2 4 a + b + c + 2abc + +2 2abc + +2 2abc + 6(a + b + c ) a b c ( ) 12 + a + b + c + 2abc 72 A 72 24 =6 Với a = b = c = GTNN A 6 ĐÀO VĂN NAM 49 [P]: 0988.624.083 HSG TOÁN ĐÀO VĂN NAM LỚP TOÁN THẦY NAM 50 [P]: 0988.624.083