nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – đặng việt đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân Ứng Dụng ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân Ứng Dụng NGUYÊN HÀM A - KIẾN THỨC CHUNG 1- Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định K ( K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F  x  gọi nguyên hàm hàm số f  x  K F '  x   f  x  với x  K Định lí: + Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K với số C , hàm số G  x   F  x   C nguyên hàm f  x  K + Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K nguyên hàm f  x  K có dạng F  x   C , với C số Do F  x   C, C   họ tất nguyên hàm f  x  K Ký hiệu + Tính chất nguyên hàm  Tính chất 1:  f  x  dx  f  x     f  x  dx  F  x   C  f '  x  dx  f  x   C Tính chất 2:  kf  x  dx  k  f  x  dx với k số khác Tính chất 3:   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx - Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục K có nguyên hàm K - Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp u  u  x  Nguyên hàm hàm số sơ cấp  dx  x  C  x dx    x   1  C   1  x dx  ln x  C 1  x dx   x  C  e dx  e  C x x ax  C  a  0, a  1 ln a  sin xdx   cos x  C  du  u  C  u du    u   1  C   1  u du  ln u  C 1  u du   u  C  e du  e  C u u au  C  a  0, a  1 ln a  sin udu   cos u  C x  a dx  u  a du   cos xdx  sin x  C  cos x dx  tan x  C  cos udu  sin u  C  cos u du  tan u  C  sin dx   cot x  C x – Bảng nguyên hàm mở rộng  sin ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay u du   cot u  C Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A  d  ax  b    ax  b   C a Nguyên Hàm -Tích Phân Ứng Dụng kx  e dx  ekx C k  1  ax  b     ax  b  dx  a     dx  c ,   1  ax  b  a ln ax  b  c  c e ax  b a px  q a a ax b e c a dx  dx  a px q  c p ln a  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c  sin  ax  b  dx  1 cos  ax  b   c a  tg  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   c  cotg  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   c dx x  arctg  c x a a  sin dx ax  ln c x 2a a  x  cos 2 dx 1  cotg  ax  b   c  ax  b  a dx  tg  ax  b   c  ax  b  a B - BÀI TẬP DẠNG 1: CÁC CÂU HỎI LÍ THUYẾT Câu 1: Trong khẳng định đây, có khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục  a; b có đạo hàm  a; b (2): Mọi hàm số liên tục  a; b có nguyên hàm  a; b (3): Mọi hàm số đạo hàm  a; b có nguyên hàm  a; b (4): Mọi hàm số liên tục  a; b có giá trị lớn giá trị nhỏ  a; b Câu 2: A B C D Cho hai hàm số f  x  , g  x  liên tục  Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx B   f  x  g  x   dx   f  x  dx. g  x  dx C   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx D  kf  x  dx  k  f  x  dx  k  0;k    Câu 3: Cho f  x  , g  x  hàm số xác định liên tục  Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A  f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx B  f  x  dx  2 f  x  dx C Câu 4:   f  x   g  x   dx  f  x  dx   g  x  dx D   f  x   g  x   dx  f  x  dx   g  x  dx Khẳng định sau khẳng định sai? A  kf  x  dx  k  f  x  dx với k   B   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx với f  x  ; g  x  liên tục  ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Câu 5: C x D  Nguyên Hàm -Tích Phân Ứng Dụng  1 x với   1  1  f  x  dx  f  x   dx   Cho hai hàm số f  x  , g  x  hàm số liên tục, có F  x  , G  x  nguyên hàm f  x  , g  x  Xét mệnh đề sau:  I  F  x   G  x  nguyên hàm f  x   g  x   II  k.F  x  nguyên hàm k f  x  với k    III  F  x  G  x  nguyên hàm f  x  g  x  Câu 6: Các mệnh đề A  II   III  B Cả mệnh đề C  I   III  D  I   II  Mệnh đề sau sai? A   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với hàm số f  x  , g  x  liên tục   f   x  dx  f  x   C với hàm số f  x  có đạo hàm  C   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với hàm số f  x  , g  x  liên tục  D  kf  x  dx  k  f  x  dx với số k với hàm số f  x  liên tục  B Câu 7: Cho hàm số f  x  xác định K F  x  nguyên hàm f  x  K Khẳng định đúng? A f   x   F  x  , x  K B F   x   f  x  , x  K C F  x   f  x  , x  K Câu 8: D F   x   f   x  , x  K Cho hàm số f  x  xác định K Khẳng định sau sai? A Nếu hàm số F  x  nguyên hàm f  x  K với số C , hàm số G  x   F  x   C nguyên hàm f  x  K B Nếu f  x  liên tục K có ngun hàm K C Hàm số F  x  gọi nguyên hàm f  x  K F   x   f  x  với x  K D Nếu hàm số F  x  nguyên hàm f  x  K hàm số F   x  nguyên hàm Câu 9: f  x  K Trong mênh đề sau, mệnh đề sai: A Nếu hàm F  x  nguyên hàm hàm f  x  F  x  1 nguyên hàm hàm f  x  B Mọi hàm liên tục K có nguyên hàm K C Nếu hàm F  x  nguyên hàm hàm f  x   f  x dx  F  x   C , với C số D Nếu F  x  , G  x  hai nguyên hàm hàm số f  x  F  x   G  x   C , với C số Câu 10: Cho f , g hàm số liên tục K Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai A   f  x  g  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  g  x  dx ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân Ứng Dụng f  x C  C   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx f   x  f  x dx  B D k  f  x  dx  k  f  x  dx , ( k : số) DẠNG 2: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Câu 11: Khẳng định sau sai? A  dx  x  C C x Câu 12: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? B  sin x dx   cos x  C C  ln x dx  D  x dx  ln x  C A  e x dx  e x  C B  sin C  cosxdx  sinx  C D  sinxdx  cosx  C Câu 13: Trong khẳng định sau, khẳng định sai? 0dx  C ( C số) A  C   f  x  1 dx  2F  x 1  C C  f  x  1 dx  F  x  1  C Câu 15: Khẳng đinh sau sai? A  a x dx  a x ln a  C  a  0; a  1 2 dx  x  C x Câu 16: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai: A  e x dx  e x  C C  2xdx  x2  C A  f  x  dx   x  1 C  f  x  dx   x  1 2 dx   tan x  C n  x dx  x  C ( C số) x n 1  C ( C số, n   ) n 1  f  x  1 dx  F  x    C D  f  x  1 dx  F  x  1  C B B  cos xdx  sin x  C D x dx    C x B  sin xdx  cos x  C D Câu 17: Công thức nguyên hàm sau sai? 2x C A  x dx  ln dx C   ln x  C x Câu 18: Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   x  x  e dx  e D f  u  du  F  u   C Mệnh đề đúng? A C x B  dx  x  2C ( C số) Câu 14: Biết 1  x dx  ln x  C B  sin xdx   cos x  C dx D  cos x  tan x  C C B  f  x  dx   x  1 C D  f  x  dx   x  1 2 C C Câu 19: Họ nguyên hàm hàm số f ( x)  x  x  ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân Ứng Dụng x3 x 2 x3 x 2 x3   x B   xC C  x2  x  C 3 Câu 20: Nguyên hàm hàm số f  x   10 x  x   A x  2x f  x  dx  x5  x  x  C A  f  x  dx  x C   Câu 21: Họ nguyên hàm hàm số f  x   A ln  x  1  C   Câu 22: Tìm nguyên hàm hàm số   x   x  dx x   x A  3ln x  x C 3 x3 C  3ln x  x 3 Câu 23: Nguyên hàm hàm số f  x   22 x 22 x1 C A  dx  ln 4x C C  22 x dx  ln   x  2C C ln 3x   C D ln x   C x3  3ln x  x C 3 x3 D  3ln x  x C 3 B x 1 dx ? x2  C x 1 A  f  x  dx  x  3x  x  C B  22 x dx  x 1 dx  ln | x |  ln x  C x2 x2  xC x 1 C  dx  x x C Câu 25: Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  là: A D 22 x C ln 22 x 1 D  22 x dx  C ln 2x Câu 24: Tìm nguyên hàm  f  x  dx  10x 3x  B ln  3 x  1  C B D x  B  x  1 B  x 1 dx  ln | x |   C x x D  x 1 dx  ln x   C x x C C  x  1 3 C D  x  1 Câu 26: Họ nguyên hàm hàm số f  x   e2 x3 x 3 A  f  x  dx  e C  f  x  dx  2e C x C Câu 27: Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x sin 2 x 3 C x 3 C B  f  x  dx  e D  f  x  dx  e B  A  dx x  2 tan  C x sin 2 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay dx x  tan  C x sin 2 Trang C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A C  Nguyên Hàm -Tích Phân Ứng Dụng dx x   cot  C x 2 sin 2 D Câu 28: Tìm nguyên hàm hàm số f  x    f  x  dx  2x  C C  f  x  dx    C 2x f  x  dx  sin x  e Nếu  dx x  2cot  C x sin 2 2x  f  x dx  2 x  C D  f  x  dx  ln 2x  C A Câu 29:  B x C x B f  x   cos x  e x A f  x    cos x  e C f  x   cos x  e x Câu 30: Tìm khẳng định sai? x e1 A  xe dx   2C e 1 C  e x dx  C  e x D f  x    cos x  e x  C 2x 1 C x 1 D  tan xdx  tan x  x  C B  x dx  Câu 31: Cho F  x  nguyên hàm f  x   2x  Khi x2 x3 x3 B F  x    C  3ln x  C x 2x3 x3 C F ( x)  D F ( x )   3ln x  C  C 3 x Câu 32: Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  sin x A F ( x )  A x2  2cos 2x  C B x  cos x  C C x2  2cos x  C D x  cos x  C Câu 33: Họ nguyên hàm hàm số f  x   sin  x   A cot  x    C C  cos  x   sin  x  2 B  cot  x    C C D  cos  x   C sin  x   Câu 34: Họ nguyên hàm hàm số f  x   e x  cos x  2018 A F  x   e x  sin x  2018 x  C B F  x   e x  sin x  2018 x  C C F  x   e x  sin x  2018 x D F  x   e x  sin x  2018  C Câu 35: Tìm nguyên hàm hàm số f  x   e x  e x  f  x  dx  e C  f  x  dx  e A x  e x  C x  e x  C Câu 36: Họ nguyên hàm hàm số f ( x)  e x A e x  C B e x  C Câu 37: Tìm nguyên hàm hàm số y  sin( x  1) ? A  sin( x  1)dx   cos( x  1)  C x  e x  C x  e x  C  f  x  dx  e D  f  x  dx  e B C  e  x  C D e x  C B  sin( x  1)dx  cos( x  1)  C ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A C  sin( x  1)dx  ( x  1) cos( x  1)  C Nguyên Hàm -Tích Phân Ứng Dụng D  sin( x  1)dx  (1  x) cos( x  1)  C Câu 38: Hàm số F  x   e x nguyên hàm hàm số sau đây? 2 B f  x   x 2e x  C A f  x   xe x 2 C f  x   xe x D f  x   x 2e x  Câu 39: Tìm họ nguyên hàm F(x) hàm số f ( x)  cos(2 x  3) A F ( x )   sin(2 x  3)  C B F ( x)  sin(2x  3)  C C F ( x)   sin(2 x  3)  C D F ( x )  sin(2 x  3)  C Câu 40: Cặp hàm số sau có tính chất: có hàm số nguyên hàm hàm số lại? A f  x   sin x , g  x   cos x B f  x   e x , g  x   e  x C f  x   sin x , g  x   sin x D f  x   tan x , g  x   Câu 41: Họ nguyên hàm hàm số f ( x)  tan x A  ln cos x  C B   C cos x Câu 42: Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   đúng? A F  x   tan x  D  C cos x   F    3 Khẳng định cos x 4 B F  x   tan x  C F  x   tan x  Câu 43: Tìm khẳng định sai? D F  x   2 cot x  A  tan xdx  tan x  x  C C  x dx  C ln cos x  C cos x B 2x 1 C x 1 e  x dx  x e1  2C e 1 D  e x dx  C  e x Câu 44: Họ nguyên hàm hàm số f  x   1 x 1 ln(1  x)2  C C  ln  2x  C D  ln  x  C 2 Câu 45: Cho hàm số f  x  thỏa f   x   f    Mệnh đề đúng?  2x A f  x   3ln  x B f  x   ln  x A ln  x  C B C f  x   3ln  x D f  x   2 ln  x     Câu 46: Biết F ( x) nguyên hàm hàm f ( x)  sin x F    Tính F    4 6     A F    B F     6 6 Câu 47: Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A  dx  ln 3x  C 3x   C F     6   D F     6 B  e x dx  e x  C ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng THPT Nho Quan A Ngun Hàm -Tích Phân Ứng Dụng 2x D  dx  C ln x C  sin x dx  cosx  C Câu 48: Tìm nguyên hàm I   x  1dx C I   x  1 A I   x  1 Câu 49: Tìm a  b biết 3 C 2x 1 D I  C 2x 1 C B I  C x  11  ( x  1)( x  2)dx  a ln x   b ln x   C ? A a  b  B a  b  C a  b  11 D a  b  5   Câu 50: Tìm hàm số F  x  biết F   x   sin x F    2 1 A F  x    cos x  B F  x    cos x 2 C F  x   cos x  D F  x   x    2 x Câu 51: Tìm nguyên hàm hàm số f  x   3x  x3 x A  f  x  dx  x3  x2  C B  f  x  dx    C x x2 C  f  x  dx  x3   C D  f  x  dx  x3   C 2 2x  x  Câu 52: Tính nguyên hàm I   dx x 3 A I  x  x  2ln x   C B I  x  x  2ln x   C C I  x  x  2ln x   C Câu 53: Hàm số F  x    f  x   x D I  x  x  ln x   C x 1 e x  24 x  17  C nguyên hàm hàm số đây? 27    x  1 e  A f  x   x  x  e3 x 1 C x 1  f  x   x   x  1 e B f  x   x  x  e3 x 1 D x 1 Câu 54: Tính I   8sin3x cos x dx  a cos x  b cos x  C Khi a  b bằng: A B 1 Câu 55: ) Họ nguyên hàm hàm số f  x  x  sin x A  cos x  C B x2  cos x  C C C D x2  cos x  C D x2  cos x  C Câu 56: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn đồng thời điều kiện f   x   x  sin x f    Tìm f x A f  x   x2  cos x  2 B f  x   ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay x2  cos x  Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân Ứng Dụng x2 C f  x    cos x  x2 D f  x    cos x Câu 57: Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số f  x   A F ( x )  2 x   thỏa mãn F  5  2x 1 B F ( x)  x   C F ( x )  x   10 Câu 58: Cho f  x   x2  x  x  12 D F ( x )  2 x  , F  x  nguyên hàm f  x  Tìm phương án sai? x2  x 1 x2  x  B F  x   x 1 x 1 x2  x 1 x2 C F  x   D F  x   x 1 x 1 Câu 59: Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   3x.ln thỏa F    Tính F 1 A F  x   A F 1  C F 1  12  ln 3 B F 1  Câu 60: Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x   D F 1  x 1 , biết đồ thị hàm số y  F  x  qua điểm x2 1; 2  , 1 x C F  x   ln x   x Câu 61: Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x  sin x A F  x   ln x   x D F  x   ln x   x B F  x   ln x  x sin x f  x  dx   C x sin x f  x  dx   C x cos x A  B  f  x  dx   C x cos x C  D  f  x  dx   C Câu 62: Biết F  x  nguyên hàm hàm số f  x   F 1  Tính F   x A F    B F  4  C F     ln D F    Câu 63: Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x  sin x A  C  x4 f  x  dx   cos x  C x4 f  x  dx   cos x  C x4 f  x  dx   cos x  C B  D  f  x  dx  3x C ln[( x  1)( x  3)]  2cos x  C x3 ? x  4x  x 1  B ln x 3 D ln(2 x  ) Câu 64: Hàm số F(x) sau nguyên hàm hàm số f ( x)  A 2ln x   ln x   C 2 Câu 65: Tìm giá trị m để hàm số F  x   m x   3m   x  x  nguyên hàm hàm số f  x   x  10 x  A m   B m   C m  ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D m  Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng x  Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị y  x2  2x y  x  x    x  Trên đoạn  10;10 ta có x  x  , x   10;0  2;10  x  x  , x   0; 2 10 Do S   x  x dx  10  10 10  x  x  dx    x2  x  dx    x  x  dx  2008 ( đvdt) Nhận xét: Nếu học sinh sử dụng MTCT tính tích phân mà khơng chia khoảng có sai khác kết máy casio vinacal Trong trường hợp máy vinacal cho đáp số DẠNG 2: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG y  f ( x), y  g ( x ), x  a, x  b Câu 21: Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục  a; b Gọi  H  hình giới hạn hai đồ thị y  f  x  , y  g  x  đường thẳng x  a , x  b Diện tích hình  H  tính theo công thức: b b b A S H   f  x  dx   g  x  dx a B S H   f  x   g  x  dx a a b b D S H    f  x   g  x   dx C S H    f  x   g  x   dx a a Hướng dẫn giải Chọn D Câu 22: Cho hình phẳng  H  giới hạn đồ thị hai hàm số f1  x  f  x  liên tục đoạn  a; b hai đường thẳng hình  H  x  a , x  b (tham khảo hình vẽ dưới) Cơng thức tính diện tích y f1  x  f2  x  O b A S   f1  x   f  x  dx a b C S   f1  x   f  x  dx a a c1 b x c2 b B S    f1  x   f  x   dx a b b D S   f  x  dx   f1  x  dx a a File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Hướng dẫn giải Chọn A Theo định nghĩa ứng dụng tích phân tích diện tích hình phẳng Câu 23: Cho hàm số f  x  liên tục 1;2 Gọi  D  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , y  , x  x  Cơng thức tính diện tích S  D  công thức công thức đây? 2 A S   f  x  dx B S   f 2  x  dx C S   f  x  dx D S    f  x  dx 1 Hướng dẫn giải Chọn C Câu 24: Tính diện tích hình phẳng tạo thành parabol y  x , đường thẳng y   x  trục hoành đoạn  0;2 (phần gạch sọc hình vẽ) A B Hướng dẫn giải C D Chọn B 2  x2  x3 Ta có S   x dx     x   dx      2x    1 Câu 25: Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y  x  x  2, y  x  hai đường thẳng x  2; x  Diện tích (H) 87 87 87 87 A B C D 5 Hướng dẫn giải Xét phương trình ( x  x  2)  ( x  2)   x    x  2 87 Suy S  x  dx  x  dx  2  x2  x  Câu 26: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số (C ) : y  , tiệm cận xiêm (C ) hai x 1 đường thẳng x  0, x  a (a  0) có diện tích Khi a A  e5 B  e5 C  2e5 D  2e5 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Ta có TCX : y   x  a     a   dx   dx  ln x   ln(1  a) Nên S (a )     a  x  1  x  1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Suy ln(1  a)   a   e5 Câu 27: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x y  e x , trục tung đường thẳng x  tính theo cơng thức: 1 1 B S    e x  x  dx A S   e x  dx C S    x  e x  dx D S  e x  x dx 1 Hướng dẫn giải Chọn B Vì khoảng  0;1 phương trình e x  x khơng có nghiệm e x  x , x   0;1 nên 1 S   e x  x dx    e x  x  dx 0 DẠNG 3:DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG y  f ( x), y  g ( x) Câu 28: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y   x2 đường thẳng y   x 9 A B C D Hướng dẫn giải  x  1 Ta có  x   x    x2   x, x  [  1; 2] x  2  x2 x3  Nên S (2  x  x )dx  2 x      1 1  Câu 29: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x y  x là:  A B C D  6 6 Hướng dẫn giải Chọn B x  Phương trình hồnh độ giao điểm là: x  x    x 1 2 Ta có diện tích hình phẳng cần tính là: S    x3 x  x  x dx       0 Câu 30: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  x y  x 1 1 A B C D 12 13 14 15 Hướng dẫn giải x  Ta có x  x   x  1 Nên S  1 2 3  x  x dx  ( x  x )dx   x  x   3  12 3 Câu 31: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn  P  : y  x  , tiếp tuyến  P  M  2;0  trục Oy A S  B S  C S  D S  Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Chọn A y   2x y   2  Phương trình tiếp tuyến  P  M  2;0  y   x  2  2x  Diện tích hình phẳng cần tìm S   x    x   dx   x  x  dx  x3     x2    0 Câu 32: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x , y   x  trục hoành 3 11 61 343 39 A B C D 162 Hướng dẫn giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm đường y  x , y   x  3 x  1 2 x   x   3x  x     x   3  Hoành độ giao điểm đường thẳng y   x  với trục hoành x  3 Hoành độ giao điểm parabol y  x với trục hoành x  Diện tích hình phẳng cần tìm 4 4 11 x3    S   x d x   x  d x   x  x  3  1 1 Câu 33: Cho  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  ln  x  1 , đường thẳng y  trục tung (phần tô đậm hình vẽ) Diện tích  H  A e  B e 1 C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D ln Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Hướng dẫn giải Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm hàm số y  ln  x  1 đường thẳng y  ln  x  1   x  e  e 1 Diện tích  H  S   ln  x  1 dx  e 1 dx e 1 u  ln  x  1 du  Đặt   x  Khi S   x  1 ln  x  1   dx  e   e  1  dv  dx v  x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng ỨNG DỤNG THỂ TÍCH 1) Thể tích vật thể: Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S ( x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x , ( a  x  b) Giả sử S ( x) hàm số liên tục đoạn [a; b] (V ) O b x a b x V  S ( x )d x  a S (x ) b Khi đó, thể tích vật thể B xác định: V S ( x)dx a 2) Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: y y  f (x) a O b (C ) : y  f ( x )  b (Ox ) : y  Vx     f ( x ) dx  x x  a a  x  b Chú ý: - Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x  g ( y ) , trục hoành hai đường thẳng y  c , y  d quanh trục Oy: y d c O x (C ) : x  g( y)  (Oy ) : x   y  c  y  d d V y     g( y ) dy c - Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  f ( x) , y  g ( x) hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: b V   f ( x )  g ( x) dx a THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ (TRÒN XOAY) PHƯƠNG PHÁP: Tính thể tích khối tròn xoay: Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y  f ( x ) , y  , b x  a x  b ( a  b) quay quanh trục Ox V    f ( x )dx a File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y  f ( x), y  g ( x) , b x  a x  b ( a  b) quay quanh trục Ox V    f ( x )  g ( x) dx a HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY SINH BỞI MIỀN  D  GIỚI HẠN BỞI y  f  x  ; y  VÀ x  a, x  b KHI QUAY QUANH TRỤC Ox Câu 1: Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a ; b  Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo cơng thức b A V    f  x  dx a b b B V  2  f  x  dx C V    f  x  dx b a a D V    f  x  dx a Hướng dẫn giải Chọn A Theo cơng thức tính thể tích vật tròn xoay quay hình  H  quanh trục hồnh ta có b V    f  x  dx a Câu 2: Cho hàm số y  f  x  liên tục có đồ thị hình bên Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số cho trục Ox Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích V xác định theo công thức y O 3 A V     f  x   dx 3 x C V     f  x   dx B V    f  x   dx 31 D V    f  x  dx Hướng dẫn giải Chọn A Đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục Ox hai điểm có hồnh độ x  , x  nên thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng D quanh trục Ox tính theo cơng thức V     f  x   dx Câu 3: Cho hình phẳng  H  giới hạn đồ thị hàm số y   x2  3x  , trục hoành hai đường thẳng x  , x  Quay  H  xung quanh trục hồnh khối tròn xoay tích 2 A V   x  3x  dx B V   x2  3x  dx File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   Tích Phân Ứng Dụng 2 C V    x  3x  dx D V    x  3x  dx 1 Hướng dẫn giải Chọn C Cho hàm số y   x có đồ thị  C  Gọi D hình phẳng giởi hạn  C  , trục hoành hai Câu 4: đường thẳng x  , x  Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính cơng thức: 2x B V   A V     dx 3  x dx C V     dx 3 2x D V   2  x dx Hướng dẫn giải Chọn C Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính cơng thức: V     x  dx    x dx 2 Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y  x , trục Ox hai đường thẳng x  ; x  quay quanh trục hồnh tính cơng thức nào? Câu 5: 4 A V    xdx B V   x dx C V    xdx D V    xdx 1 Hướng dẫn giải Chọn A Thể tích khối tròn xoay giới hạn bời đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox , x  a x  b tính b cơng thức V     f  x   dx a Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y  x2  2x , trục hoành, trục tung, đường thẳng x  Tính thể tích V hình tròn xoay sinh (H) quay (H) quanh trục Ox 8 4 15 7 A V  B V  C V  D V  15 8 - Phương pháp: Cơng thức tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  quay xung quanh trục Ox Câu 6: b V    f  x  dx a - Cách giải: Áp dụng cơng thức ta có 1  x5 x3   V     x  x  dx     x  x  x  dx     x     15  0 Câu 7: x2 y   Hình phẳng  H  giới 25 hạn nửa elip nằm trục hoành trục hoành Quay hình  H  xung quanh trục Ox ta Trong hệ trục tọa độ Oxy cho elip  E  có phương trình khối tròn xoay, tính thể tích khối tròn xoay đó: 1188 A V  60 B 30 C  25 Hướng dẫn giải Chọn D File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D 1416  25 Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ta có Tích Phân Ứng Dụng  x2  y2 x2  y  1   với  5  x    1 25  25   9x2  Gọi V thể tích cần tìm, ta có: V       dx  60 25  5  Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y  e x , trục hoành đường thẳng x  , x  Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu?  e2   e2  e2   e2 A V  B V  C V  D 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C 1   e  1  e2 x  x Thể tích khối tròn xoay cần tính V     e  dx       0 Câu 8:     File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng DẠNG 2: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY KHI CHO HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI: y  f  x  VÀ y  g  x  QUAY QUANH TRỤC Ox Câu 9: Cho hình phẳng hình (phần tơ đậm) quay quanh trục hồnh Thể tích khối tròn xoay tạo thành tính theo cơng thức nào? y f1  x  f2  x  a O b x b b A V    f12  x   f 2  x   dx B V     f12  x   f 2  x   dx a a b b C V     f 2  x   f12  x   dx D V     f1  x   f  x   dx a a Hướng dẫn giải Chọn B Do f1  x   f  x  x   a; b  nên Chọn B Câu 10: Cho hình phẳng  D  giới hạn đường x  , x  , y  y  x  Thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay  D  xung quanh trục Ox tính theo cơng thức? 1 B V     x  1 dx A V   x  1dx C V    x  1 dx 0 D V   x  1dx Hướng dẫn giải Chọn B Ta có V      2 x  dx     x  1 dx 0 Câu 11: Cho hình phẳng  D  giới hạn đường x  , x   , y  y   sin x Thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay  D  xung quanh trục Ox tính theo cơng thức   A V    sin x dx B V    sin xdx  C V      sin x  dx 0  D V   sin xdx Hướng dẫn giải Chọn B  Ta tích khối tròn xoay cần tính V    sin xdx Câu 12: Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y  xex , y  , x  , x  xung quanh trục Ox File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng A V   x e x dx B V    xe x dx C V    x e x dx D V    x e x dx 0 Hướng dẫn giải Chọn C Thể tích khối tròn xoay giới hạn y  f  x  , y  , x  a , x  b ( a  b ) xác định bởi: b V    f  x  dx a Vậy, V    x e x dx Câu 13: Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x ; y  0; x  Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay  H  quanh trục Ox A V  B V  32 C V  8 D 32 Hướng dẫn giải Chọn D Vẽ phác họa hình thấy miền cần tính 2 32  V    x dx  x  5 Câu 14: Thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng  H  giới hạn y  x y  x  quanh trục Ox A 72 (đvtt) 10 B 72 (đvtt) 81 (đvtt) 10 Hướng dẫn giải C D 81 (đvtt) Chọn B  x  1 Phương trình hồnh độ giao điểm x  x    x  2 72 Thể tích cần tìm V     x   x    dx  1   Câu 15: Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  ex đường thẳng y  , x  x  tính cơng thức sau đây? A V   e2 x dx 1 B V    e x dx C V   e x dx File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D V    e x dx Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Hướng dẫn giải Chọn D Thể tích khối tròn xoay cần tìm là: V  π   e x  dx  π  e x dx 0 Câu 16: Tìm cơng thức tính thể tích khối tròn xoay cho hình phẳng giới hạn parabol  P  : y  x đường thẳng d : y  x quay xung quanh trục Ox 2 A    x  x  dx 2 B   x dx    x dx 2 C   x dx    x 4dx 2 D    x  x  dx 0 Hướng dẫn giải Chọn A x  Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x    x  2 Vậy thể tích khối tròn xoay tính: V     x  x  dx Câu 17: Thể tích vật thể tròn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y   x2 , y=0 a quanh trục Ox có kết dạng Khi a+b có kết là: b A 11 B 17 C 31 D 25 Hướng dẫn giải Chọn C   (1  x2 )2 dx  1 16 15 Nên a= 16, b= 15, a+b=31 Câu 18: Cho hình  H  giới hạn trục hoành, đồ thị Parabol đường thẳng tiếp xúc với Parabol điểm A  2;  , hình vẽ bên Thể tích vật thể tròn xoay tạo hình  H  quay quanh trục Ox y O A 16 15 B 32 x 2 Hướng dẫn giải C D 22 Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Parabol có đỉnh gốc tọa độ hình vẽ qua A  2;  nên có phương trình y  x2 Tiếp tuyến Parabol A  2;  có phương trình y   x     x  2 2 Suy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm V     x  dx     x   dx 2 x  x5 dx  32 ;  2 2  x3  16 x  d x  16 x  x  d x  16  x  x        1 1  1 2 2  32 16  16 Vậy V     x  dx     x   dx         15 Câu 19: Cho hình thang cong  H  giới hạn đường y  e x , y  , x  1 , x  Thể tích vật thể tròn xoay tạo cho hình  H  quay quanh trục hoành e B e  e 2 A 2  e 2   e 4 C Hướng dẫn giải e D  e 2   Chọn D 2   2x  e  e  2x Thể tích vật thể cần tính V    e dx   d  e   e  1 1 2 1 2x Câu 20: Thể tích vật thể tròn xoay quay hình phẳng giới hạn y  1 x2 , y  quanh trục Ox aπ V  với a , b số nguyên Khi a  b b A 11 B 17 C 31 D 25 Hướng dẫn giải Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm  x   x  1 16π Ta có V  π   x dx   a  16 , b  15 15 1 Vậy a  b  31   Câu 21: Tính thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y  x2  , y  x  , x  , x  quanh trục Ox 32π 32π 32π 22π A B C D 15 Hướng dẫn giải Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng 256 32 π , V2  π   x   dx  π 15 0 32π Vậy thể tích cần tìm V  V1  V2  Ta có V1  π   x   dx  đường thẳng y  , x  , x x  Thể tích V khối tròn xoay sinh cho hình phẳng  H  quay quanh trục Ox Câu 22: Cho hình phẳng  H  giới hạn đồ thị hàm số y  A 2 ln B 3 1 Hướng dẫn giải C D ln Chọn B Thể tích V khối tròn xoay sinh cho hình phẳng  H  quay quanh trục Ox 4   3 1  1 V     dx           1  x    x 1 1 Câu 23: Tính thể tích V vật thể tròn xoay sinh cho hình phẳng giới hạn đường y  , y  , x  , x  a ,  a  1 quay xung quanh trục Ox x  1  1  1  1 A V     B V  1    C V  1    D V      a  a  a  a Hướng dẫn giải Chọn B Thể tích V vật thể tròn xoay cần tìm a a  1 1 1  V      dx       1  V      x x1  a a  1 Câu 24: Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x2 , y  x Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục Ox bằng: A 32 15 B 64 15 21 15 Hướng dẫn giải C D 16 15 Chọn B x  Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x  x    x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng  y  x2   y  2x Khi quay  H  xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay giới hạn  x   x  2 64 Do thể tích khối tròn xoay là: V     x    x  dx  15 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 22 ... dangvietdong.bacgiang.vn@gmail .com Facebook: https://www.facebook .com/ dongpay Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân Ứng Dụng Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I   f  x  dx , ta phân tích. .. dangvietdong.bacgiang.vn@gmail .com Facebook: https://www.facebook .com/ dongpay Trang 27 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân Ứng Dụng PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Cho hai hàm số... dangvietdong.bacgiang.vn@gmail .com Facebook: https://www.facebook .com/ dongpay D m  Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân Ứng Dụng Câu 66: Cho hàm số F  x   ax3