NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

TRUNG TÂM MATHPRO- Biên soạn: Trịnh Thị Hoài MATHPRO - CÙNG HỌC SINH CHINH PHỤC 9+ CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Câu Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   e x  x  x  Số điểm cực trị hàm F  x  A C Lời giải B D x  Số điểm cực trị F  x  số nghiệm phương trình f  x    e x  x  x     x  2 Bảng biến thiên x  f  x  2 0     Vậy hàm số F  x  có điểm cực trị Câu Cho hàm số y  f  x  hàm lẻ liên tục   4;  ,  f   x  dx  biết 2  f   x  dx  Tính I   f  x  dx A I  10 B I   C I  D I  10 Lời giải Vì f  x  hàm lẻ nên ta có f   x    f  x  0 2 2 0 t  x Ta có:  f   x  dx      f  t  dt    f  t  dt    f  x  dx  4 f  2 x  dx   f  x  dx     f u du    f u du  8   f x dx  8 22 2 Do đó: u 2 x 4 0  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx    6 Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Câu Cho  x   x ex xe x dx  ae  b ln  e  c  với a, b, c  Tính P  a  2b  c A P  1 I  x B P    x ex x  e x dx   xe x  x  1 e x dx xe x  Lời giải D P  C P  2 Đặt t  xe   dt   x  1 e x dx Đổi cận x   t  , x   t  e  x I e 1  Câu t 1 dt  t e 1  a  e 1   1    dt   t  ln t   e  ln  e  1  b  1  P  2 t c   Cho hàm số f  x   x  x  x  x  , x  Tính tích phân:  f  x  f   x  dx A Ta có  f  x  f   x  dx  Câu C  D 2 Lời giải 1 f  x  d  f  x   = f  x    f 1  f  0  =  3 B  Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  3; 3 đồ thị hàm số y  f   x hình vẽ bên Biết f 1  g  x  f  x x  1   Kết luận sau đúng? A Phương trình g  x   có hai nghiệm thuộc  3;3 B Phương trình g  x   có nghiệm thuộc  3;3 C Phương trình g  x   khơng có nghiệm thuộc  3;3 D Phương trình g  x   có ba nghiệm thuộc  3;3 Lời giải Ta có: g   x   f   x    x  1 Ta thấy đường thẳng y  x  đường thẳng qua điểm  3; 2 , 1; 2 ,  3; 4 Do f 1   g 1  Từ hình vẽ ta thấy:  f   x dx   f 1  f  3   f  3   g  3  f  3   3 Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- Biên soạn: Trịnh Thị Hoài  f   x dx   f  3  f 1   f  3   g  3  f  3   Từ đồ thị hàm số y  f   x đường thẳng y  x  với kết ta có bảng biến thiên sau: x g ( x ) g( x) 3   g( 3)   g(3) Từ bảng biến thiên ta có phương trình g  x   có nghiệm thuộc  3;3 Câu Cho hàm số f ( x)  a  x  1 A a  2, b  8 Ta có f '( x )    bxe Tìm a b biết f '(0)  22 x  f ( x)dx  B a  2, b  C a  8, b  D a  8, b  2 Lời giải 3a  x  1  b( x  1)e x Suy f '(0)  22  3a  b  22 (1) Ta có   a    a x x f ( x )dx     bxe dx    b ( x  1) e     a b    x       x  1 Theo  f ( x)dx   a  b  (2)  3a  b  22 a   Từ (1) (2) ta có hệ   b  a  b    Câu Gọi y S t   x  1 x   diện tích hình phẳng giới hạn đường , y  0, x  0, x  t  t   Tìm lim S  t  t  A  ln  B ln  Vì  0;t  , y   x  1 x   C Lời giải  ln D ln   nên ta có diện tích hình phẳng Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- Biên soạn: Trịnh Thị Hoài t S t     x  1 x   t  t  x 3  1  dx     d x       dx 2      x  x  x  x  x      0 0   t t 1 1   x 1   ln    ln    ln t2 t2  x2 x2  t 1   t 1  0 Vì lim  ln     lim   , lim t  t  t  t  t2   t2 1  t 1 Nên lim S  t   lim  ln   ln    ln  t  t  2  t2 t2 Câu Cho hàm số 1 x  f  x  dx  , hàm số y  f  x  hàm số chẵn  1;1 Tính 1 f  x 2 1 dx A B 16 D C Lời giải Cách Đặt t   x  dt   dx Đổi cận x  1  t  ; x   t  1 Ta được: I  1 1 1 2t 2x f x d x   f  t d t  f t d t  1  x   1  t   1  2t   1  x f x dx 1 1 2x Do đó: I   f  x  dx   f  x dx   f x dx   I   2x  2x 1 1 1 Cách Chọn h  x   x hàm số chẵn Ta có: 2  x dx  Do đó: f  x   h  x   6x 1 f x 6x2 d x  1 x  1 x  dx  Khi đó: Câu Cho hàm số f ( x) thỏa mãn Giá trị   x  3 f   x dx  25 33 f  8  18 f  3  83  f  x  dx là: A I  83 Ta có B I  38 C I  Lời giải D 8   x  3 f   x  dx  25 u  x  du  dx Đặt   dv  f   x  dx v  f  x  8 3  A   x  3 f  x    f  x  dx  11 f  8  f  3   f  x  dx Ta có 33 f    18 f    83  11 f    f 3   83 Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Suy A  83 83   f  x  dx Mà A  25   f  x  dx   25  3 3 3x  x  f  x  f 1   Cho biết giá trị x 1b  b f 1  f    f 3    f 2017      , với phân số tối giản Tính a  b 2 a  a f  x   biết Câu 10 Cho f  x   A 4070307 B 4070308 Có f  x    3x  x  f x2 C 4066273 Lời giải D 40662241 f  x  f  x  1    3x     dx    x    dx f  x x f  x x   x   1  x3  x   C f  x x 1 x4  x2  1  x x  f 1    C    f  x x x        2 x  x 1  x  x 1 2x x    f  x   x2   x2 x2  x  x2  x  x  x2    f  x    1 1     x  x  1  x  x     1 1 1 1           1.2  0.1  2.3  1.2  2017.2018  2016.2017   x 1 1 b  1   1     1   2 2017.2018 1   a  a  2017.2018  , b   a  b  4070308 2017 S   f x  Câu 11 Cho hàm số f  x  có đạo hàm  thỏa mãn f  ( x )  2018 f ( x )  2018.x 2017.e 2018 x với x   f (0)  2018 Tính giá trị f (1) A f (1)  2019e 2018 B f (1)  2019e 2018 Ta có f ( x)  2018 f ( x)  2018.x 2017.e 2018 x  C f (1)  2018e 2018 D f (1)  2017.e 2018 Lời giải f ( x)  2018 f ( x)   2018.x 2017 e 2018 x f ( x)  2018 f ( x) dx   2018.x 2017 dx (1) 2018 x e Xét I   1 f ( x)  2018 f ( x) dx   f ( x).e 2018 x dx   2018 f ( x).e 2018 x dx 2018 x e 0 u  f ( x) du  f ( x)dx  Xét I1   2018 f ( x).e 2018 x dx Đặt  2018 x dx v  e2018 x dv  2018.e 1 Do I1  f ( x).(e 2018 x )   f ( x).e 2018 x dx  I  f (1).e 2018  2018 0 Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- Biên soạn: Trịnh Thị Hồi Khi từ (1) suy I  f (1).e 2018  2018  x 2018  f (1)  2019.e 2018 Câu 12 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm dương, liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f (0)  1 1  3  f   x   f  x    dx  2 f   x  f  x  dx Tính tích phân   f  x  dx 9 0 0 A B C Lời giải Áp dụng BĐT Holder ta có: D 1  1  1     f ( x)  f ( x)  dx     f ( x) f ( x)dx   4 f ( x) f ( x)dx 9  0  0  1  1      f ( x) f ( x)  dx   4 f ( x) f ( x)dx  9  0  1 f ( x) 1  xC    f ( x) f ( x)dx     f ( x) f ( x)   9 0 1 Vì f (0)  nên C  Khi f ( x)  x  3 1 1  Vậy   f ( x) dx    x  1dx   0 Câu 13:  Cho hàm    f  x   2 A  số y  f x xác định   2   f  x  sin  x   dx  Tích phân   B đoạn    0;  thỏa mãn   f  x  dx C D Lời giải       +) Đặt I    f  x   2 f  x  sin  x   dx Ta có              I    f  x   2 f  x  sin  x    2sin  x   dx   2sin  x   dx 4  4      2        I    f  x   sin  x   dx   2sin  x   dx  4        2      2     +) Có  2sin  x   dx     cos  x    dx   1  sin x  dx   x  cos2 x  |  4  2    0 0 Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- Biên soạn: Trịnh Thị Hoài  +) Mà I  suy  2     0  f  x   sin  x   dx  (1) +) Áp dụng kết quả: Nếu f  x  liên tục không âm đoạn  a; b  b  f  x  dx  Dấu a "  " xảy f  x   với x   a; b      Từ (1) suy f  x   sin  x    hay f  x   sin  x   4 4   +) Do Câu 13   0      sin  x   dx   2cos  x   |  4 4    f  x  dx   (Đề tham khảo BGD năm 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 1 đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  ,   f   x   dx   x f  x  dx  Tích phân 0 A B C Lời giải  f  x  dx D 1 u  f  x  du  f   x  dx +) Đặt  ,  x f  x  dx  x f  x    x f   x dx  dv  x dx v  x 0 +) Ta có  f 1   x f   x  dx suy x f   x  dx  1 b  b +) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân   f  x  g  x  dx    f a  a xảy f  x   kg  x  với k số b b b  x7   Ta có    x f  x  dx    x dx.  f  x  dx  7 a a a  với k số Mà x b  x  dx. g x dx Dấu "  " a  Dấu "  " xảy f   x   kx f   x  dx  1 hay  kx dx  1 suy k  7 7 +) Vậy f   x   7 x nên f  x    x  c mà f 1  nên f  x   1  x  suy 4 0 f  x  dx  Câu 14 Cho hàm số 2 A f  x 1  f   x  f  x  dx  3  f   x  f  x    dx Tích phân 9   0;1 có đạo hàm liên tục đoạn B C Lời giải  f  x  dx thỏa mãn f 0  D Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- Biên soạn: Trịnh Thị Hoài +) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân b  a xảy f  x   kg  x  với k số 1 1 +) Ta có  dx. f   x  f  x  dx    0 0  f   x  f  x dx   1 f   x  f  x  dx  3  f   x  f  x   dx     0 1 2 b  f  x  dx. g  x  dx    f  x  g  x dx  Dấu "  " a a  b 2 2 (1) nên từ giả thiết suy  f   x  f  x  dx    1 1 hay   f   x  f  x  dx      f   x  f  x  dx  dấu "  " (1) xảy ra, tức ta 3 0 1 1   f   x  f  x  dx   k  Từ tính f  x   x  suy f  x  dx  có  0 3   f x f x  k      Câu 15: Cho hình D giới hạn đường y  x  y   x Khi diện tích hình D là: A 13 B C 7 D 13 Lời giải Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số cho nghiệm phương trình:  x 1 x2    x  x 1    x  1 Khi diện tích hình D xác định bởi: 1 S   x   x dx    x  x  .dx    x  x  .dx 2 1 1 0  x x3   x x3  7     x       x     (đvdt)   1  0 6 Cách 2: Phương trình hồnh độ giao điểm x - = - x Û x = ±1 Từ S = ò (-x - x + )dx = Câu 15 Cho  x  xex x  e x dx  ae  b ln  e  c  với a , b , c  Tính P  a  2b  c Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- Biên soạn: Trịnh Thị Hoài A P  1 B P  D P  C P  2 Lời giải Ta có:  x  xex xe x dx   xe x  x  1 e x x e x1   xe x   ln  xe x  1 1 dx    xe x   1  x  1 e x x e x 1 1   x dx     x  d  xe  1 xe   0  e  ln e   Suy a  , b  1 , c  Vậy, P  a  2b  c  Câu 16 Cho tích phân e   x  1 ln x  dx  ae  b ln  e     a , b số nguyên Khi tỉ  e   x ln x a bằng: b A số C B D Lời giải Ta có: e   x  1 ln x  dx  e 1     x ln x ln x    dx   x  ln 1  x ln x    x ln x  e  e  ln  e  1  a  e 1  e  ln   Suy ra: a  b    b  e   Câu 17 Cho tích phân I   A sin x dx  a  b ln , với a , b  Q Khi a  b bằng: 2sin x  cos x B C D Lời giải Ta có: A  2sin x  cos x   B  cos x  sin x   2A  B  sin x   A  B  cos x sin x   2sin x  cos x 2sin x  cos x 2sin x  cos x  A   2A  B     A  B   B     Khi đó:     sin x 2   2 cos x  sin x  I dx      dx   x  ln 2sin x  cos x    ln 2sin x  cos x 5 2sin x  cos x   0 5 0 Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- Biên soạn: Trịnh Thị Hoài 1 Suy ra: a  , b   Vậy, a  b  5 Câu 18 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  f  5  10 , A 20 B 70  x f   x  dx  30 Tính C 20  f  x  dx D 30 Lời giải Xét I1   x f   x  dx  30 u  x  du  dx Đặt   dv  f   x  dx v  f  x  5 5 0 0 Vậy  I1   x f   x  dx  xf  x    f  x  dx  f  5   f  x  dx Mà I1  30 f  5  10   f  x  dx  20 Câu 19 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  f    15 ,  x f   x  dx  60 Tính A 30 B 70 C 30  f  x  dx D 50 Lời giải Xét I1   x f   x  dx  60 u  x  du  dx  Đặt  dv  f   x  dx v  f  x  2 2 0 0 Vậy  I1   x f   x  dx  xf  x    f  x  dx  f  2   f  x  dx Mà I1  60 f    15   f  x  dx  30 Câu 20 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  f    13 , A 11 B 28 C 76 4 0  x f   x  dx  24 Tính  f  x  dx D 28 Lời giải Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Xét I1   x f   x  dx  24 u  x  du  dx Đặt   dv  f   x  dx v  f  x  4 4 0 0 Vậy  I1   x f   x  dx  xf  x    f  x  dx  f  4   f  x  dx Mà I1  24 f    13   f  x  dx  28 Câu 21 Cho hàm số f  x   x  x  x  x  1, x   Tính  f  x  f   x  dx A Ta có B Lời giải  Câu 22 C  f  x  f   x  dx   f  x df  x   D 2 f  x  f 1  f     3 Cho hàm số f  x   x3  3x  3x  2, x   Tính  f  x  f   x  dx A Ta có B  15 C Lời giải f  x  f   x  dx   f  x df  x   f  x  Câu 23 Cho hàm số f  x   x  x  3x  1, x   Tính D  15 f 1  f   15  4 f 2017  x  f   x  dx A 2018 Ta có  B 1009 C  Lời giải f 2017  x  f   x  dx   f 2017  x df  x   A P   Cách 1: B P  D  1009 f 2018  x  f 2018 1  f 2018     2018 2018 2018 Câu 24 Cho F  x  nguyên hàm hàm số y    F    ; F    Tính P  F   12 2018    với x  R \    k , k  Z  , biết  sin x     11 F   12    C Không tồn P Lời giải D P  Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Ta có F ( x) = dx = + sin x p 2sin ỗỗ x + ữữữ ỗ dx ỡù ù- cot x + p + C1 x Ỵ - p + k p; 3p + k p ï 4 = ïí ïï p 3p 7p + k p; + k2 p ïï- cot x + + C x Ỵ 4 ïỵ ìï ìï ï- cot x + p + x Ỵ - p + k p; 3p + k p ïïC1 = ìï F (0) = ï 4 Þï Để ï Vậy F ( x ) = ïí ïï 1 F p = p p p ( ) ỵ + k p; + k2 p ïïC2 = ïï- cot x + + x ẻ ùợ 4 ïỵ     11  Khi P  F  F  1  12   12  Cách 2:   Ta có P  F   12      12         11    F    F      F    F    12     12      F 0  F     1 dx   dx   sin x 11  sin x 12 Ta có   11 F    12 12 1   nên   sin x  sin x  cos x  2 cos  x   4  1   dx  tan  x    1  ;  sin x      12 1     sin x dx  tan  x   11 12  11 12  1    Vậy P  Câu 25 Cho F  x  nguyên hàm hàm số y = x - xác định ¡ \ {2} thỏa mãn f (1) = f (3) = -2 Giá trị biểu thức F (-1) + F (4) A -6 B C -14 Lời giải D Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- Biên soạn: Trịnh Thị Hồi Ta có F ( x ) = ò ïì F (1) = Do ï ïỵ F (3) = -2 ìï (2 x - 4) dx x > ìï( x - 2)2 + C x > ïïò ï x - dx = = x + C x < 2 x d x x < ( ) ( ) ïỵ ïỵò -1 + C2 = C1 = -3 + C1 = -2 C2 = ìï( x - 2)2 - x > ï nên F ( x ) = ïí ïï-( x - 2)2 + x < ïỵ Vậy F (-1) + F (4) = -9 + + - = -6 Câu 26 Cho hàm số f ( x) xác định ¡ \ {- 1;1} thỏa mãn f ¢ ( x ) = , f (-3) + f (3) = x -1 1 +f = Giá trị biểu thức f (-2) + f (0) + f (4) 2 A 2ln - 2ln - ln B 6ln - 2ln - ln C - ln + 2ln + 2ln + D 2ln - ln + Lời giải f - Có f ¢ ( x ) = 1 x -1 x + Khi f ( x ) = ò ùỡù ỗ x - 1ữ ln ữ +C x < -1 ẩ x > ùù ỗ x + 1ữ f  (x ) dx = ùù - x ữ ùùln ỗỗỗ ữ +C -1 < x < ùợ x + 1ữ Có f (-3) + f (3) = Û ln + C1 + ln + C1 = Û C1 = ln Có f - 1 +f = Û ln + C2 - ln + C2 = Û C2 = 2 ùỡù ỗ x - 1ữ ln ữ + ln x < -1 U x > ùù ỗ x + 1ữ Khi ú: f ( x ) = í ïï - x ÷÷ + -1 < x < ùùln ỗỗỗ ÷ x + ïỵ Vậy f (-2) + f (0) + f (4) = ln + ln + + ln - ln + ln = - ln + 2ln + 2ln + Câu 27 Cho hình ch nhật ABCD có AB  , AD  (như hình vẽ) Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Gọi M , N , E , F l n lượt trung điểm BC , AD , BN NC Tính thể tích V vật thể tr৩n xoay quay hình tứ giác BEFC quanh trục AB A 100 B 96 C 84 D 90 Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho B  O , AB  Ox , BC  Oy Bài tốn trở thành: Tính thể tích vật thể tr৩n xoay cho hình phẳng giới hạn bởi: y  x; y   x; x  0; x  quay quanh trục Ox 2 V    x    x  dx    16 x  64dx  96 0 Cách khác: Gọi I trung điểm AB Gọi V1 thể tích khối nón cụt tạo CFIB quay quanh AB , 296 V1 có chiều cao , bán kính đáy r  R   V1     6.8  82    3 Gọi V2 thể tích khối nón tạo BEI quay quanh AB , V2 có chiều cao bán kính đáy  V2   Ta tích c n tính V  V1  V2  96 Câu 28 Cho hình thang vng ABCD có Aˆ  Dˆ  90 , CD  AB , Cˆ  45 Gọi M trung điểm CD , gọi H , K l n lượt trung điểm cạnh AM , BM Biết CD  , tính thể tích V vật thể tr৩n xoay quay tứ giác HKCD quanh trục AD A 96 B 84 C 72 Lời giải D 60 Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- Biên soạn: Trịnh Thị Hồi Ta có AB  , BMC vuông cân M nên AD  BM  Gọi O trung điểm AD Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho OD  Ox , OK  Oy Bài tốn trở thành: Tính thể tích vật thể tr৩n xoay cho hình phẳng giới hạn bởi: y   x; y  x  4; x  0; x  quay quanh trục Ox 2 V     x      x  dx    32 x  20 x  12dx  72 2 0 Câu 29 Có vật thể hình tr৩n xoay có dạng giống ly hình vẽ A cm B O cm I Người ta đo đường kính miệng ly 4cm chiều cao 6cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng parabol Tính thể tích V  cm3  vật thể cho A V  72 B V  Chọn hệ trục Oxy hình vẽ 72  C V  12 D V  12 Lời giải Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- Biên soạn: Trịnh Thị Hoài cm A O B cm I Gọi phương trình Parabol y  ax  Do  P  qua điểm B  2;0  nên a  Vậy  P  : y  2 y  6 x  suy x   Thể tích vật thể c n tính V    6 Câu 30 2  y  6 dy  12 Một đồng hồ cát hình vẽ, gồm hai ph n đối xứng qua mặt nằm ngang đặt hình trụ Thiết diện thẳng đứng qua trục hai parabol chung đỉnh đối xứng qua mặt nằm ngang Ban đ u lượng cát dồn hết ph n đồng hồ chiều cao h mực cát chiều cao bên (xem hình) Cát chảy từ xuống với lưu lượng không đổi 2,90 cm / phút Khi chiều cao cát c৩n cm bề mặt cát tạo thành đường tr৩n chu vi 8 cm (xem hình) Biết sau 30 phút cát chảy hết xuống ph n bên đồng hồ Hỏi chiều cao khối trụ bên cm ? A 8cm B 12 cm C 10 cm D cm Lời giải Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- Biên soạn: Trịnh Thị Hoài h Xét thiết diện chứa trục theo phương thẳng đứng đồng hồ cát parabol Gọi  P  đường Chiều cao khối trụ Parabol phía Chọn hệ trục Oxy hình vẽ Đường tr৩n thiết diện có chu vi 8 suy bán kính Do ( P ) có đỉnh O (0;0) nên phương trình ( P) : y  ax 1 Vậy phương trình ( P) : y  x 4 Thể tích ph n cát ban đ u thể tích khối tr৩n xoay sinh quay nhánh phải ( P ) quay quanh trục Oy lượng cát chảy thời gian 30 p ( P ) qua A(4; 4) nên a  h Ta có V    (2 y ) 2dy  2 h Lượng cát chảy 30 p 2,9.30  87( m3 ) 87 2 Chiều cao hình trụ bên ngồi l  h  10cm Vậy V  87  2 h  87  h  Câu 31 Một thùng rượu có bán kính đáy 30 cm , thiết diện vng góc với trục cách hai đáy có bán kính 40 cm , chiều cao thùng rượu 1m (hình vẽ) Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh thùng rượu đường parabol, hỏi thể tích thùng rượu bao nhiêu? A 425162 lít B 21258 lít C 212, lít D 425, lít Lời giải + Đổi d liệu sang đơn vị dm : 30cm  3dm; 40cm  4dm + Chọn hệ toạ độ hình vẽ Gọi phương trình ( P) : x  ay  by  c  a   ( P ) qua điểm A(4;0); B (3;5) C (3; 5) nên ta có b   c   25  Vậy phương trình ( P) : x   y  25 Thể tích thùng rượu : V  ( 5 y  4) dy  425, 2dm  425, 2l 25 Suy đáp án D Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- Biên soạn: Trịnh Thị Hồi Câu 32 Ơng An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng kích thước hình vẽ bên, biết đường cong phía Parabol Giá 1 m  rào sắt 700.000 đồng Hỏi ông An phải trả tiền để làm cửa sắt (làm tr৩n đến hàng ph n nghìn) 2m 1,5m 5m A 6.520.000 đồng B 6.320.000 đồng C 6.417.000 đồng D 6.620.000 đồng Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Trong A  2,5;1,5  , B  2,5;1,5  , C  0;  Giả sử đường cong Parabol có dạng y  ax  bx  c , với a; b; c   Do Parabol qua điểm A  2,5;1,5  , B  2,5;1,5  , C  0;  nên ta có hệ phương trình   a ( 2,5)  b( 2,5)  c  1,5  a   25    a ( 2,5)  b(2,5)  c  1,5  b  c  c     2 x  25 Diện tích S cửa rào sắt diện tích ph n hình phẳng giới đồ thị hàm số y   x  , trục hoành hai đường thẳng x  2,5 , x  2,5 25 Khi phương trình Parabol y   Ta có S  2,5     25 x 2,5 55    dx   Vậy ông An phải trả số tiền để làm cửa sắt S  700.000   (đồng) 55 700000  6.417.000 Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Câu 33 Cho hàm số f(x) liên tục [0;3] 0  f ( x)dx  ;  f ( x)dx  Giá trị tích phân  f | x 1| dx là: 1 A B C Lời giải D   2 x  1, x  Ta có: x    nên  x  1, x   0,5 1 1 0,5  f | x 1| dx =  f  2 x  1 dx   E 0,5  1 F f (2 x  1)dx  E  F f (2 x  1) dx   f (t )dt ta đổi biến t  2 x  1, 20 1  f (2 x  1)dx  0 f (t )dt, ta đổi biến t  x  1, 0,5 1 Vậy  f | x  1| dx   f ( x)dx   f ( x)dx    20 20 1 Câu 34 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục [0;1] thỏa mãn f 1  ,  [ f '( x )]2 dx  11  x f  x  dx  11 Giá trị  f  x  dx A 35 11 B 65 21 C Lời giải 23 D ìdu = f '( x) dx ï ì ï u = f ( x) ï ï ï Û Cách1: Xét A   x f ( x)dx , Đặt v = x5 dv = x d x ỵ ï ỵ 1 1 A = x f ( x) 5 x5 f '( x)dx = Û 11 5 x5 f '( x)dx = Û 11 x5 f '( x)dx = -2 11 Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- Biên soạn: Trịnh Thị Hồi Lại có x 10   f '( x) dx  nên: 11 1 dx  4 x f '( x )dx  4 x 10dx   0    f '( x )  x dx   f '( x )  2 x  f ( x)   x6 10  C  C  (do f (1)  0) 3   x 10  23  I     dx  3 0 Cách 2: Trắc nghiệm ìï ïï [ f '( x ) ]2 dx = ïïò 11 ï Từ í Þ ò f '( x ) f '( x ) + x dx = ïï ïïò x f '( x )dx = -2 ïï 11 ỵ -x 10 23 Chọn f '( x ) = -2 x Þ f ( x ) = + ÞI = 3 Learning is the eye of the mind  ...  x  8 3  A   x  3 f  x    f  x  dx  11 f  8  f  3   f  x  dx Ta có 33 f    18 f    83  11 f    f 3   83 Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- ...  3; 2 , 1; 2 ,  3; 4 Do f 1   g 1  Từ hình vẽ ta thấy:  f   x dx   f 1  f  3   f  3   g  3  f  3   3 Learning is the eye of the mind TRUNG TÂM MATHPRO- ... hàm số f ( x) thỏa mãn Giá trị   x  3 f   x dx  25 33 f  8  18 f  3  83  f  x  dx là: A I  83 Ta có B I  38 C I  Lời giải D 8   x  3 f   x  dx  25 u  x  du