Trắc nghiệm nâng cao toán nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Đặng Việt Đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng MỤC LỤC NGUYÊN HÀM NÂNG CAO A – LÝ THUYẾT CHUNG B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN NÂNG CAO 15 A – LÝ THUYẾT CHUNG 15 B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 16 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN NÂNG CAO 55 A – LÝ THUYẾT CHUNG 55 B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 55 ỨNG DỤNG THỰC TẾ 87 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng NGUYÊN HÀM NÂNG CAO A – LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa Cho hàm số y  f  x  xác định tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn R) Nếu Ta có hàm số F  x  xác định K cho F '  x   f  x  F  x  gọi nguyên hàm hàm số f  x  K Định lí Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K với số C, hàm số G  x   F  x   C nguyên hàm hàm số f  x  K Định lí Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K nguyên hàm f  x  K có dạng G  x   F  x   C với C số Định lí Mọi hàm số f  x  liên tục K có nguyên hàm K Tính chất:  f '  x  dx  f  x   C với C số  kf  x  dx  k  f  x  dx với k số khác   f  x   g  x  f  x  dx   f  x  dx   g  x  dx Bảng nguyên hàm Chú ý: công thức tính vi phân f  x  d  f  x    f '  x  dx Nguyên hàm Nguyên hàm hàm hợp  0dx  C  0du  C  dx  x  C  du  u  C x  dx   1 x  C   1  1  x dx  ln x  C u  du   1 u  C   1  1  u du  ln u  C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A x  e dx  e x  a dx  x Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng u C  e du  e ax C ln a u  a dx  u C au C ln a  cos xdx  sin x  C  cos udu  sin u  C  sin xdx   cos x  C  sin udu   cosu  C  cos x  sin x dx  tan x  C  cos dx   cot x  C  sin u u du  tan u  C du   cot u  C B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   1 F     ln Tập nghiệm S e 3 x phương trình 3F  x   ln  x3  3  là: A S  2 B S  2; 2 C S  1; 2 D S  2;1 Hướng dẫn giải: dx  ex  x Ta có: F  x    x   1  x  dx  x  ln  e  3  C e 3  e 3   1 Do F     ln nên C  Vậy F  x   x  ln  e x   3   Do đó: 3F  x   ln  e x  3   x  Chọn A Câu 2: Cho F ( x)  x nguyên hàm hàm số f ( x)e2 x Tìm nguyên hàm hàm số f ( x)e2 x A  f ( x)e 2x dx   x  x  C B  f ( x)e 2x dx   x  x  C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C  f ( x)e 2x dx  x  x  C D Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  f ( x)e 2x dx  2 x  x  C Hướng dẫn giải: Từ giả thiết  F '  x   f  x  e x   x  '  f  x  e x  x  f  x  e x (1) Đặt A   f '  x  e x dx Đặt u  e 2x  du  2e x dx ,dv=f’(x)dx chọn v=f(x)  A  e x f  x   2 f  x  e x dx  x  F  x   C  2 x  x  C Chọn D Câu 3: Cho F ( x)  ( x  1)e x nguyên hàm hàm số f ( x)e2 x Tìm nguyên hàm hàm số f ( x)e2 x 2x A  f ( x)e 2x dx  (4  x )e x  C B  f ( x)e C  f ( x)e 2x dx  (2  x )e x  C D  f ( x)e dx  2x 2 x x e C dx  ( x  2)e x  C Hướng dẫn giải: / Từ giả thiết  F '  x   f  x  e x   x  1 e x   f  x  e x / x  x.e  f  x  e 2x 1 x x.e x x  x  f  x   x  x  f '  x    x    x e e e e  Đặt A   f '  x  e x dx    x 2x e dx   1  x  e x dx ex u   x  du  dx Đặt   A  1  x  e x   e x dx  1  x  e x  e x  C  e x   x   C x x dv  e dx choïn v  e Chọn C Câu 4: Cho F ( x )   f ( x) nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm hàm số 3x x f ( x) ln x A  f ( x) ln xdx  ln x  C x3 x5 B  f ( x) ln xdx  ln x  C x3 x C  f ( x) ln xdx  ln x  C x3 x D  f ( x) ln xdx   ln x  C x 3 x3 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Từ giả thiết  F '  x    f '  x   3 f  x x Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng / f  x f  x 1          f  x  x x x x  3x  x4 Đặt A   f '  x  ln x.dx   3ln x ln x dx  3 dx x x  u ln x du dx     1 x   ln x Đặt   A  3   ln x   dx     C x 3x  3x  x dv  dx choïn v    x 3x Chọn C Câu 5: Cho F ( x )  f ( x) nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm hàm số 2x x f ( x) ln x   ln x  C x 2x  B  f ( x) ln xdx  ln x  C x2 x  ln x   C x2 x  D  f ( x) ln xdx  ln x  C x 2x A  f ( x) ln xdx    C  f ( x) ln xdx    Hướng dẫn giải: Từ giả thiết  F '  x   f  x x / f  x f  x 1    2     f  x   x x x x  2x  /    f ' x       x  x Đặt A   f '  x  ln x.dx   ln x ln x.dx   dx x x  u  ln x  du  x dx Đặt  dv  dx choïn v    x3 2x2 1    ln x   ln x  ln x  A      dx        C       C 2x 2x   2x   2x 4x   x Chọn A Câu 6: Hàm số nguyên hàm hàm số f  x   1  x2 khoảng  ;   ? File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng   A F  x   ln x   x  C B F  x   ln   x  C C F  x    x  C D F  x   2x  x2 C Hướng dẫn giải: Ta có tốn gốc sau: Bài tốn gốc: Chứng minh dx  x a  ln x  x  a  c  a     2x  x  x2  a Đặt t  x  x  a  dt  1  dx  dt  dx  dt   x2  a  x a  dt dx   t x2  a Vậy  dx x a  tdx x2  a dt  ln t  c  ln x  x  a  c ( điều phải chứng minh) t Khi áp dụng cơng thức vừa chứng minh ta có   Cho F(x) nguyên hàm f  x   tan x F  x   1 x dx  ln x   x  c  ln x   x  c Chọn A Câu 7: cos x  a cos x   F   1 , biết F    ,       F F   ? Tính   A 5 1 B C 3 D 5 Hướng dẫn giải:    f  x dx   cos x  tan  tan x  a cos x dx   tan x 2 cos x tan x   a  dx   d tan x   a tan x   a    a  tan   a    a   a 1   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  a   a 1 a 1   Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng   52 3  a 1  a  3  tan x     dx  Do F    F     3    cos x  cos2 x tan     tan    4 Chọn A Câu 8: Biết 2   cos x  sin x  sin xdx   A a  cos x  C Với a số nguyên Tìm a? a B a  12 C a  D a  14 Hướng dẫn giải: Đặt f  x     cos2 x  sin x  sin xdx , Ta có: 5 f  x     cos x  sin x  sin xdx    cos x  sin x.cos x  2 cos x.sin xdx Đặt t  cos x  dt  2sin xdx Vậy F  x     t dt  cos x t C   C 7 Chọn C Câu 9: Biết sin x  cos x  sin x  cos x dx  a ln sin x  cos x  C Với a số nguyên Tìm a? A a  B a  C a  D a  Hướng dẫn giải: sin x  cos x  sin x  cos x   Vì  a ln sin x  cos x  C    nên sin x  cos x sin x  cos x Nguyên hàm của: sin x  cos x là: ln sin x  cos x  C sin x  cos x Chọn A tan Câu 10: Tìm nguyên hàm của:  x  2x   tan  1   biết nguyên hàm x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A  cos x B  sin x Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C tan x  D cot x  Hướng dẫn giải: x x   tan tan  2    tan x  f  x        cos x x  2x    tan   tan  1 2    Nguyên hàm F  x   tan x  C    Ta có: F     tan  C   C   F  x   tan x  4 Chọn C Câu 11: F  x   x  ln 2sin x  cos x A sin x  cos x sin x  3cos x B nguyên hàm của: sin x  2cos x 2sin x  cos x sin x  cos x sin x  3cos x C D 3sin x  cos x 2sin x  cos x Hướng dẫn giải: Ta cần đạo hàm F(x), sau quan sát kết Ta có: F '  x     sin x  cos x  '   2sin x  cos x  3sin x  cos x 2sin x  cos x  F  x  nguyên hàm sin x  cos x sin x  cos x 3sin x  cos x 2sin x  cos x Chọn D Câu 12: Biết   25x 1 dx    C Với a số nguyên Tìm a?  20 x   a 5 x  2 A a  B a  100 C a  D a  25 Hướng dẫn giải: Chú ý biến đổi:   25x dx    25 x  20 x    20 x   Điều sau đúng:   25x 3 3  25x dx   20 x   4  20 x   d  25 x  20 x   4  C Là sai  25 x   20 x   4 4 C n Trở lại bài, ta biến đổi biểu thức  25 x  20 x   dạng  ax  b  sau: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   25x  20 x   dx   Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 6  5x   dx    x   dx 5  5x    C   C 5 25  x   Chọn D Câu 13: Biết  2x 1 x a dx  ln x   C , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b?  5x  b A S  B S  C S  D S  Hướng dẫn giải: Ta quan sát mẫu cso thể phân tích thành nhân tử, sử dụng MTCT bấm giải phương trình bậc 2: x  x   thấy có hai nghiệm là: x  1, x  Áp dụng công thức ax  bx  c  a  x  x1  x  x2  với x1 , x2 hai nghiệm ta có: x  x    x  1 x   Do đó:  2x 1 x x 1 1 dx   dx   dx  ln x   C  5x  2x   x  1 x   Chọn C Câu 14: Biết   sin x  cos x  A S  a dx  x  cos x  C , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b? b B S  C S  D S  Hướng dẫn giải: Nếu áp dụng ngay:  t n dt    sin x  cos x  dx  t n 1  C ta có: n 1  sin x  cos x  3  C Là sai Ta phải khai triển  sin x  cos x  để xem thử   sin x  cos x  dx   1  sin x  dx  x cos x  C Chọn D File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 41: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ phần mặt phẳng vng góc bán kính cách tâm 3dm để làm lu đựng Tính thể tích mà lu chứa A 132 (dm3) B 41 (dm3) C 100  (dm3) D 43 (dm3) Hướng dẫn giải: Đặt hệ trục với tâm O, tâm mặt cầu; đường thẳng đứng Ox, đường ngang Oy; đường trịn lớn có phương trình x  y  25 3dm 5dm Thể tích hình giới hạn Ox, đường cong 3dm y  25  x , x  3, x  3 quay quanh Ox V    (25  x )dx = 132 (bấm máy) 3 Chọn A Câu 42: Từ khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng qua đường kính đáy nghiêng với đáy góc 450 để lấy hình nêm (xem hình minh họa đây) Hình Hình Kí hiệuV thể tích hình nêm (Hình 2) Tính V   A V  2250 cm B V  225 cm     C V  1250 cm  D V  1350 cm  Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ.Khi hình nêm có đáy File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 108 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng nửa hình trịn có phương trình: y  225  x , x   15;15   Một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x , x   15;15    cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích S x (xem hình) Dễ thấy NP  y MN  NP tan 45  y  15  x 1 S x  MN NP  225  x suy thể tích hình nêm là: V  2    15   15  S x dx 15 225  x dx  2250 cm 15     Chọn A Câu 43: Người ta dựng lều vải  H  có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy  H  hình lục giác cạnh m Chiều cao SO  m ( SO vng góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên  H  sợi dây c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 nằm đường parabol có trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến (nếu có)  H  với mặt phẳng  P  vng góc với SO lục giác  P  qua trung điểm SO lục giác có cạnh m Tính thể tích phần khơng gian nằm bên lều  H  S c6 1m c1 c2 c3 c5 c4 O 3m A 135 ( m3 ) B 96 ( m3 ) C 135 ( m3 ) D 135 ( m3 ) Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 109 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có parabol cần tìm qua điểm có tọa độ A  0;6  , B 1;3 , C  3;0  nên có phương trình y  x  x  2 Theo hình vẽ ta có cạnh “thiết diện lục giác” BM Nếu ta đặt t  OM BM   2t  (chú ý ta phải lấy giá trị có dấu “  ” trước dấu cho B chạy từ C đến A ) Khi đó, diện tích “thiết diện lục giác” BM 3  1 S  t      2t   với 2 4 t   0;6 Vậy thể tích “túp lều” theo đề là: 6 37 1 135 V   S  t  dt     2t   dt   2 4 0 Chọn D Câu 44: Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình trịn bán kinh cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Ox ta thiết diện tam giác Thể tích vật thể là: A V  256 B V  64 C V  256 D V  32 Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 110 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Chọn tâm đường trịn làm gốc Diện tích thiết diện S  AB  3(4  x ) V   S ( x)dx   (4  x )dx  2 2 32 Chọn D Câu 45: Một người có mảnh đất hình trịn có bán kính 5m, người tính trồng mảnh đất đó, biết mét vng trồng thu hoạch giá 100 nghìn Tuy nhiên cần có khoảng trống để dựng chồi đồ dùng nên người căng sợi dây 6m cho đầu mút dây nằm đường tròn xung quanh mảnh đất Hỏi người thu hoạch tiền (tính theo đơn vị nghìn bỏ phần số thập phân) .A 3722 B 7445 C 7446 D 3723 Hướng dẫn giải Đặt hệ trục tọa độ 4349582 hình vẽ Phương trình đường trịn miếng đất x  y  25 Diện tích cần tính lần diện tích phần tơ đậm phía Phần tơ đậm giới hạn đường cong có phương trình y  25  x , trục Ox; x  5; x  (trong giá trị có dựa vào bán kính độ dài dây cung 6) Vậy diện tích cần tính S   25  x dx  74, 45228 5 Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 111 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 46: Trong Cơng viên Tốn học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng lồi hoa tạo thành đường cong đẹp toán học Ở có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình hệ tọa độ Oxy 16 y  x  25  x  hình vẽ bên y x Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài mét A S  125 m2   B S  125 m  C S  250 m  D S  125 m  Hướng dẫn giải Chọn D Vì tính đối xứng trụ nên diện tích mảnh đất tương ứng với lần diện tích mảnh đất thuộc góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy Từ giả thuyết tốn, ta có y   x  x Góc phần tư thứ y  x 25  x ; x  0;5 Nên S ( I )  125 125 x 25  x dx  S (m )  40 12 hình trụ có bán kính a , hai trục hình trụ vng góc với Câu 47: Gọi  H  phần giao hai khối Xem hình vẽ bên Tính thể tích  H  A V H   2a B V H   3a C V H   a3 D V H    a3 Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 112 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Chọn A Ta gọi trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi phần giao  H  vật thể có đáy phần tư hình trịn tâm O bán kính a , thiết diện mặt phẳng vng góc với trục Ox hình vng có diện tích S  x   a2  x2 a Thể tích khối  H  a 2  S  x  dx    a  x dx  0 2a Câu 48: Một khối cầu có bán kính  dm , người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vng góc đường kính cách tâm khoảng  dm để làm lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa A 100   dm3  41  dm3  B 43   dm3  C D 132  dm3  Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy , xét đường tròn (C ) : ( x  5)  y  25 Ta thấy cho nửa trục Ox  C  quay quanh trục Ox ta mặt cầu bán kính Nếu cho hình phẳng  H  giới hạn nửa trục Ox  C  , trục Ox , hai đường thẳng x  0, x  quay xung quanh trục Ox ta khối trịn xoay phần cắt khối cầu đề Ta có ( x  5)  y  25  y   25  ( x  5) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 113 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  Nửa trục Ox  C  có phương trình y  25  ( x  5)  10 x  x  Thể tích vật thể trịn xoay cho  H  quay quanh Ox là: 2  x3  52 V1    10 x  x  dx    x    0  500 Thể tích khối cầu là: V2   53  3 Thể tích cần tìm: V  V2  2V1  500 52   132  dm3  3 Câu 49: Một chng có dạng hình vẽ Giả sử cắt chuông mặt phẳng qua trục chuông, thiết diện có đường viền phần parabol ( hình vẽ ) Biết chng cao 4m, bán kính miệng chng 2 Tính thể tích chng? A 6 B 12 C 2 D 16 Hướng dẫn giải Xét hệ trục hình vẽ, dễ thấy parabol qua ba    điểm  0;0  , 4; 2 , 4; 2 nên có phương trình x y2 Thể tích chng thể tích khối trịn xoay tạo hình phẳng y  x, x  0, x  quay quanh trục Ox Do  Ta có V    xdx   x   16 Câu 50: Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng / m Hỏi cần tiền để trồng dải đất (số tiền làm tròn đến hàng đơn vị) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 114 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A 8412322 đồng B 8142232 đồng Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C 4821232 đồng D 4821322 đồng Hướng dẫn giải Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình đường trịn tâm O x  y  36 Khi phần nửa cung trịn phía trục Ox có phương trình y  36  x  f ( x ) Khi diện tích S mảnh đất lần diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành, đồ thị y  f ( x ) hai đường thẳng x  3; x  3  S   36  x dx 3 Đặt x  6sin t  dx  6cos tdt Đổi cận: x  3  t      ; x  3 t  6    S   36cos tdt  36  (c os2t+1) dt  18(sin t  t)      18  12   Do số tiền cần dùng 70000.S  4821322 đồng Câu 51: Cho vật thể gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy R Cắt khối trụ mặt phẳng có giao tuyến với đáy đường kính đáy tạo với đáy góc 450 Thể tích khối gỗ bé là: A V  2R3 B V   R3 C V  R3 D V   R3 Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 115 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng O y x R2  x2 R2  x2 Chọn hệ trục Oxy hình vẽ Cắt khối gỗ bé mặt phẳng vng góc với Ox điểm R2  x2 có hồnh độ x ta thiết diện tam giác vng có diện tích A( x )  R Vậy thể tích khối gỗ bé bằng: V  2R3 2  R x  R Chọn A Câu 52: Vịm cửa lớn trung tâm văn hố có dạng hình Parabol Người ta dự định lắp cửa kính cường lực cho vịm cửa Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết vịm cửa cao 8m rộng 8m (như hình vẽ) 28 26 128 131 A (m ) B (m ) C (m ) D (m ) 3 3 Hướng dẫn giải: Đáp án đúng: C Các phương án nhiễu: A HS tính tích phân sai S   dx  28 (m2 )  dx  26 (m2 ) )  2x 4 B HS tính tích phân sai S   2x 4 131 D HS nhầm a =  , b= 8, c = => S    x  8x dx  (m2 ) 2 4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 116 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 53: Một khn viên dạng nửa hình trịn có đường kính (m) Trên người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình trịn hai đầu mút cánh hoa nằm nửa đường trịn (phần tơ màu), cách khoảng (m), phần cịn lại khn viên (phần khơng tơ màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản Biết kích thước cho hình vẽ kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản 100.000 đồng/m2 Hỏi cần tiền để trồng cỏ Nhật Bản phần đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) 4m 4m 4m B 1.948.000 (đồng) C 2.388.000 (đồng) D A 3.895.000 (đồng) (đồng) 1.194.000 Hướng dẫn giải: Chọn B Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ Khi phương trình nửa đường tròn y  R2  x2    2  x  20  x Phương trình parabol  P  có đỉnh gốc O có dạng y  ax Mặt khác  P  qua điểm M  2;4 đó:  a  2   a  Phần diện tích hình phẳng giới hạn  P  nửa đường trịn.( phần tơ màu) Ta có cơng thức S1   2  20  x  x dx  11,94m2 Vậy phần diện tích trồng cỏ Strongco  S  S1  19, 47592654 hinhtron Vậy số tiền cần có S trongxo  100000  1.948.000 (đồng).đồng Câu 54: Một công ty quảng cáo X muốn làm tranh trang trí hình MNEIF A tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC  m , chiều dài CD  12 m (hình vẽ bên) 12 m I F B E File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay M D 6m Trang 117 N 4m C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Cho biết MNEF hình chữ nhật có MN  m ; cung EIF có hình dạng phần cung parabol có đỉnh I trung điểm cạnh AB qua hai điểm C , D Kinh phí làm tranh 900.000 đồng/ m Hỏi công ty X cần tiền để làm tranh đó? A 20.400.000 đồng đồng B 20.600.000 đồng C 20.800.000 đồng D 21.200.000 Câu 55: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 chiều rộng 60m người ta làm đường nằm sân (như hình vẽ) Biết viền ngồi viền đường hai đường elip, Elip đường viền ngồi có trục lớn trục bé song song với cạnh hình chữ nhật chiều rộng mặt đường 2m Kinh phí cho m làm đường 600.000 đồng Tính tổng số tiền làm đường (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) 100m 2m 60m A 293904000 B 283904000 C 293804000 D 283604000 Hướng dẫn giải: Chọn A Xét hệ trục tọa độ Oxy đặt gốc tọa độ O vào tâm hình Elip Phương trình Elip đường viền đường  E1  :  E1  x2 y2   Phần đồ thị 502 30 x2 nằm phía trục hồnh có phương trình y  30   f1  x  50 x2 y2 Phương trình Elip đường viền đường  E2  :   Phần đồ thị 48 28  E2  nằm phía trục hồnh có phương trình y  28  x2  f2  x  482 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 118 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Gọi S1 diện tích  E1  hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hồnh đồ thị hàm số y  f1  x  Gọi S diện tích  E2  hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hoành đồ thị hàm số y  f  x  Gọi S diện tích đường Khi 50 48 S  S1  S2   30  50 x2 x2 dx   28  dx 502 48 48 a Tính tích phân I   b  a x2 dx,  a, b     a    Đặt x  a sin t ,    t    dx  a cos tdt 2  Đổi cận x   a  t     ;x  a  t  2    Khi I   b  sin t a cos t dt  2ab  cos2 t dt  ab  1  cos 2t  dt         sin 2t   ab  t    ab    Do S  S1  S  50.30  48.28  156 Vậy tổng số tiền làm đường 600000.S  600000.156  294053000 (đồng) Câu 56: Có vật thể hình trịn xoay có dạng giống ly hình vẽ Người ta đo đường kính miệng ly 4cm chiều cao 6cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng parabol Tính thể tích V  cm3  vật thể cho A V  12 C V  72  B V  12 D V  72 Hướng dẫn giải: Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 119 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I parabol  P  Vì parabol  P  qua điểm A  2;6  , B  2;6 I  0;0  nên parabol  P  có phương trình y  Ta có y  x 2 x  x  y Khi thể tích vật thể cho 2  V     y  dy  12  cm3   0 Câu 57: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật  H  có cạnh nằm trục hồnh, có hai   đỉnh đường chéo A  1;0 B a; a , với a  Biết đồ thị hàm số y x chia hình  H  thành hai phần có diện tích nhau, tìm a A a  B a  C a  D a  Hướng dẫn giải: Chọn D  Gọi ACBD hình chữ nhật với AC nằm trục Ox , A  1;0 B a; a  Nhận thấy đồ thị hàm số y  x cắt trục hoành điểm có hồnh độ qua   B a; a Do chia hình chữ nhật ACBD làm phần có diện tích S1 , S Gọi S diện tích cm A O B hình phẳng giới hạn đường y  x trục Ox , x  0, x  a S1 diện tích phần cịn lại Ta tính cm S1 , S a Tính diện tích S   x dx I File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 120 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Đặt t  x  t  x  2tdt  dx ; Khi x   t  0; x  a  t  a a Do S   a  2t  2a a 2t dt      0 Hình chữ nhật ACBD có AC  a  1; AD  a nên S1  S ACBD  S  a  a  1  2a a  a a a 3 Do đồ thị hàm số y  x chia hình  H  thành hai phần có diện tích nên S1  S2  2a a  a a  a  a a  a  a  (Do a  ) 3 Câu 58: Sân trường có bồn hoa hình trịn tâm O Một nhóm học sinh lớp 12 giao thiết kế bồn hoa, nhóm định chia bồn hoa thành bốn phần, hai đường parabol có đỉnh O đối xứng qua O Hai đường parabol cắt đường tròn bốn điểm A , B , C , D tạo thành hình vng có cạnh 4m (như hình vẽ) Phần diện tích S l , S dùng để trồng hoa, phần diện tích S3 , S dùng để trồng cỏ (Diện tích làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) Biết kinh phí trồng hoa 150.000 đồng /1m2, kinh phí để trồng cỏ 100.000 đồng/1m2 Hỏi nhà trường cần tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm trịn đến hàng chục nghìn) A 6.060.000 đồng B 5.790.000 đồng C 3.270.000 đồng D 3.000.000 đồng Hướng dẫn giải: Chọn C Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Parabol có hàm số dạng y  ax  bx  c có đỉnh gốc tọa độ qua điểm B  2; 2 nên có phương trình y  x Đường trịn bồn hoa có tâm gốc tọa độ bán kính OB  2 nên có phương trình x  y  Do ta xét nhánh đường tròn nên ta chọn hàm số nhánh y   x2   Vậy diện tích phần S1     x  x  dx  2    Do đó, diện tích trồng hoa S1  S2     x  x2  dx  15,233  2  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 121 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là:   15, 233 150.000   2    15, 233  100.000  3.274.924 đồng Làm trịn đến hàng chục nghìn nên ta có kết 3.270.000 đồng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 122 ... Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân- Ứng Dụng MỤC LỤC NGUYÊN HÀM NÂNG CAO A – LÝ THUYẾT CHUNG B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN NÂNG... 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân- Ứng Dụng B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM  Câu 1: Xét tích phân A   3sin dx Bằng cách đặt t  tan x, tích phân A x  2cos... NÂNG CAO 15 A – LÝ THUYẾT CHUNG 15 B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 16 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN NÂNG CAO 55 A – LÝ THUYẾT CHUNG 55 B – BÀI TẬP TRẮC