Chuyên đề nguyên hàm – tích phân và ứng dụng – Bùi Trần Duy Tuấn

H O T Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna “Nơi có ý chí, nơi có đường.” Tài liệu gồm 321 trang bao gồm chủ đề sau: Chủ đề Nguyên hàm Chủ đề Tích Phân Chủ đề Ứng dụng Tích Phân Bố cục chủ đề gồm phần sau: Kiến thức cần nắm Các dạng toán phương pháp giải (kèm theo toán minh họa) Thủ thuật Casio giải nhanh Bài tập trắc nghiệm rèn luyện (có lời giải chi tiết) Tài liệu sưu tầm biên soạn để làm tư liệu cho em lớp 12 ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia tham khảo, giúp em ôn lại kiến thức nhanh chóng hiệu Trong q tình tổng hợp biên soạn khơng tránh khỏi sai sót đáng tiếc số lượng kiến thức tập nhiều Mong đọc giả thông cảm đóng góp ý kiến để tài liệu sau tơi chỉnh chu hơn! Mọi đóng góp liên hệ tài liệu xin gửi về: Facebook: https://web.facebook.com/duytuan.qna Gmail: btdt94@gmail.com Truy cập Website: https://toanhocplus.blogspot.com/ để xem thêm chuyên đề luyện thi đại học khác biên soạn Xin chân thành cảm ơn!!! Quảng Nam – 18.05.2018 Tác giả: Bùi Trần Duy Tuấn  https://toanhocplus.blogspot.com Lời nói đầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC CẦN NẮM I NGUYÊN HÀM II TÍNH CHẤT III SỰ TỒN TẠI CỦA NGUYÊN HÀM IV BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ THƯỜNG GẶP B CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM VÀ NHỮNG DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP I TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp chung Một số dạng toán toán minh họa a Tìm nguyên hàm đa thức, lũy thừa, mũ, hàm chứa b Tìm nguyên hàm hàm hữu tỉ 10 c Tìm nguyên hàm hàm lượng giác 13 Bài tập tự luyện 15 II TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 17 Phương pháp đổi biến số dạng 17 Phương pháp đổi biến số dạng 22 Bài tập tự luyện 24 III TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 28 Phương pháp 28 Một số tốn minh họa kĩ thuật tìm ngun hàm phương pháp phần 28 Kỹ thuật chọn hệ số 30 Kỹ thuật tích phân phần phương pháp đường chéo 31 Bài tập tự luyện 37 IV TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP 39 Một số toán minh họa 39 Bài tập tự luyện 42 C THỦ THUẬT CASIO TÌM NHANH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ 43 I KIẾN THỨC CẦN NẮM 43 II MỘT SỐ BÀI TỐN MINH HỌA ĐIỂN HÌNH 43 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 50 I ĐỀ BÀI 50 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 71  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna CHỦ ĐỀ 2: TÍCH PHÂN 104 A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 104 I ĐỊNH NGHĨA 104 II TÍCH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 104 B CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 105 I PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH, DÙNG VI PHÂN VÀ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 105 Kiến thức kỹ 105 Một số toán minh họa 105 Bài tập tự luyện 109 II PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 110 Phương pháp đổi biến số dạng 110 Bài tập tự luyện 114 Phương pháp đổi biến số dạng 117 Bài tập tự luyện 119 Phương pháp đổi biến cho số hàm đặc biệt 122 Bài tập tự luyện 125 III PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 128 Phương pháp 128 Một số toán minh họa kĩ thuật tính tích phân phần 128 Bài tập tự luyện 135 C TÍNH TÍCH PHÂN CÁC DẠNG HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 138 I HÀM HỮU TỈ 138 Phương pháp 138 Một số toán minh họa 139 Bài tập tự luyện 146 II HÀM LƯỢNG GIÁC 148 Biến đổi đổi biến đưa tích phân 148 Hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác 154 Bài tập tự luyện 157 III HÀM VÔ TỶ 160 Phương pháp 160 Một số toán minh họa 161 Bài tập tự luyện 166 IV HÀM CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI 168 Phương pháp 168 Một số toán minh họa 168 Bài tập tự luyện 171  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna D THỦ THUẬT CASIO TÍNH NHANH BÀI TỐN TÍCH PHÂN 172 I TÍNH NHANH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 172 Lệnh tính tích phân 172 Một số toán minh họa 172 II GIẢI NHANH BÀI TỐN TÍCH PHÂN CHỐNG CASIO 176 Kiến thức tảng 176 Một số toán minh họa 176 E BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 188 I ĐỀ BÀI 188 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 210 CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 243 A ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 243 I LÝ THUYẾT CẦN NẮM 243 II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 245 Một số tốn tính diện tích giới hạn đường cho trước 245 Một số toán ứng dụng tích phân tính diện tích thực tế 250 B TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY 255 I LÝ THUYẾT CẦN NẮM 255 Tính thể tích vật thể 255 Tính thể tích khối trịn xoay 255 II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 256 Một số tốn tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường cho trước 256 Một số tốn tính thể tích vật thể thể tích khối trịn xoay thực tế 259 C ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC LĨNH VỰC KHÁC 264 I MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 264 II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 264 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 268 I ĐỀ BÀI 268 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH 268 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH THỂ TÍCH 276 ỨNG DỤNG KHÁC CỦA TÍCH PHÂN 284 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 289 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH 289 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH THỂ TÍCH 305 ỨNG DỤNG KHÁC CỦA TÍCH PHÂN 315  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Chủ đề   NGUYÊN HÀM    A KIẾN THỨC CẦN NẮM I NGUYÊN HÀM Định nghĩa: Cho hàm số  f  x   xác định trên  K  ( K  là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số  F  x   được  gọi là nguyên hàm của hàm số  f  x   trên  K  nếu  F '  x   f  x   với mọi  x  K   Định lí: Giả sử hàm số  F  x   là một nguyên hàm của hàm số  f  x   trên  K  Khi đó:  1) Với mỗi hằng số  C , hàm số  F  x   C  cũng là một nguyên hàm của  f  x   trên  K   2) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm  G  x của  f  x  trên  K  thì tồn tại một hằng số  C  sao cho  G  x  F  x  C  với mọi  x  K   Do đó  F  x   C , C    là họ tất cả các nguyên hàm của  f  x   trên  K  Ký hiệu   f  x  dx  F  x   C   Nhận xét: Nếu  F  x   và  G  x   cùng là nguyên hàm của hàm số  f  x   trên  K  thì:  (i)  F   x   G  x  , x  K                                (ii)  F  x   G  x   C ,  với  C  là hằng số nào đó  II TÍNH CHẤT     f   x  dx  f  x   C                                                 •   f  x  dx   f  x     k f  x  dx  k  f  x  dx  k                                 •   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx                           Cho   f  x  dx  F  x   C  Khi đó:   f  ax  b  dx  F  ax  b   C      a     a III SỰ TỒN TẠI CỦA NGUYÊN HÀM Định lí: Mọi hàm số  f  x   liên tục trên  K  đều có nguyên hàm trên  K   IV BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ THƯỜNG GẶP Nguyên hàm hàm số Nguyên hàm hàm số sơ cấp hợp u  u  x     dx  x  C     du  u  C    x 1 x dx   C   1      1 u 1 u du   C   1      1   x dx  ln x  C      u du  ln u  C    https://toanhocplus.blogspot.com Trang Nguyên hàm hàm số hợp  u  ax  b; a    d  ax  b   ax  b  C    1  ax  b  ax  b dx   C   1      a  1 1  ax  b dx  a ln ax  b  C    Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 1 dx    C x x  x dx  x x x C    e dx  e x https://facebook.com/duytuan.qna du    C u  u du  u u  C   u  C     e du  e ax  C  a  0, a  1    ln a  u u  ax  b  e au  C  a  0, a  1    ln a 1 du   C a ax  b ax  b dx   ax  b  ax  b  C a  C   ax  b dx  e ax  b  C   a  sin xdx   cos x  C     sin udu   cos u  C    cos xdx  sin x  C     cos udu  sin u  C    tan x.dx   ln cos x  C    tan u.du   ln cos u  C    cot x.dx  ln sin x  C    cot u.du  ln sin u  C   a mx  n  C   m ln a  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   C    cos  ax  b  dx  a  sin  ax  b   C    tan  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   C    cot  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   C     dx   cot x  C   sin x  sin u du   cot u  C    sin  ax  b  dx   a cot  ax  b   C     dx  tan x  C   cos x   x  a dx  x  sin x dx  ln tan  C   u  a du  1 u dx dx  sin  ax  b   a ln tg u   1  cos  ax  b  dx  a tan  ax  b   C    sin u du  ln tan  C   x   1 du  tan u  C   cos u mx  n  a dx  ax  b C  cos x dx  ln tan     C  cos u du  ln tan     C    cos  ax  b   a ln tan ax  b   C * Một số cơng thức tìm nhanh ngun hàm hàm phức tạp:  1 dx   ax  b  C   a ax  b  dx x  arctg  C a a x  arcsin a dx  x arcsin a  dx ax  ln C 2a a  x x    arccos a dx  x arccos a  a a   dx x a dx a x  ln  x  x  a   C  arcsin n x n xm  C   mn x x a2  x2  C x x a2  x2  C x   x C a   x a x a 2    x2   C  x2   C     a  x2  a2 C  x x2  a2   a ln x   dx x a x  a  ln x  x  a  C 2    https://toanhocplus.blogspot.com x  arc cot a dx  xarc cot a  ln  a x  x x2  a2  a arccos a  C   x  a dx  x m dx   arctan a dx  x arctan a  ln  a dx  n  Trang a2  x dx  x a2  x2 a2 x  arcsin  C 2 a   Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna B CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM VÀ NHỮNG DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP I TÌM NGUN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp chung + Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu thức chứa  x    Lúc này, mỗi biểu thức chứa  x  là những dạng cơ bản có trong bảng ngun hàm.  + Áp dụng các cơng thức ngun hàm trong bảng ngun hàm cơ bản để tìm ngun hàm.  Một số dạng tốn tốn minh họa a Tìm ngun hàm đa thức, lũy thừa, mũ, hàm chứa Tổng quát cách tìm nguyên hàm:   PP   khai triễn.  Tích của đa thức hoặc lũy thừa    PP   khai triển theo cơng thức mũ.  Tích các hàm mũ    PP   chuyển về lũy thừa.  Chứa căn   Bài toán 1: Tìm các nguyên hàm sau đây:    a)   x5  x 3  x  dx       b)  x x  dx c)  4x2  x  dx    2x Lời giải: 1   x6 x 2 x   C  x   x x  C   a)    x  x 3  x  dx   2 x   1   b)   x x  dx   c)    x2 x2 x x  x dx    x  x  dx    C  x x  x  C 5     4x2  x  3 dx    x    dx  x  x  ln x  C  2x x x  Bài toán 2: Tìm các nguyên hàm sau:  a)  ( x  1)( x  2)dx.                   b)   x  x   dx                        c)  dx .  e 1 2x Lời giải: a) Ta có thể lựa chọn hai cách trình bày sau: Cách 1: Ta biến đổi:   ( x  1)( x  2)dx   ( x  x  2)dx  3 x  x  x  C   Cách 2: Ta biến đổi:   ( x  1)( x  2)dx   ( x  1)[( x  1)  1]dx   [( x  1)2  ( x  1)]dx    1                             [( x  1)2  ( x  1)]d( x  1)  ( x  1)3  ( x  1)2  C     https://toanhocplus.blogspot.com Trang Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna b) Sử dụng đồng nhất thức  x   x    , ta được:  9 10 x  x    [ x    ]  x     x     x     Khi đó:   f ( x)dx   x( x  2)9 dx   ( x  2)10  2( x  2)9  dx    c) Sử dụng đồng nhất thức   e x   e x , ta được:   ( x  2)11 2( x  2)10   C  .  11 10 ( e x  1)  e x e2x      e2x  e2x  e2x   e2x  d( e x  1) Suy ra:   f ( x)dx     x dx  dx   x  ln e x   C      2x e  e    a Chúng ta có thể tổng quát với nguyên hàm:  I   x  ax  b  dx  , với  a   bằng việc sử dụng đồng  1 nhất thức:  x =  ax  =   ax  b   b    a a   Bài tốn 3: Tìm các ngun hàm sau:   e x  3e  x  x  x  5x  dx 2x  a)   10 x dx         b)   x dx           c) e   d)    ex ex  dx   2e x Lời giải: x 100  C   ln 100 a) Ta có   10 x dx   100 x dx  x 2 x e x x 2x 1 2  e  x  C   b) Ta có   x dx   x dx   x dx     dx   e  x dx     e  x  C  x e e ln  e e e     ln e c) ex x  3e  x     xe x  dx     5e x  dx    e x  C  x  x  x  d) e  x ( e x  1)2 e x  2e x   x x  x 2 x 2 x  dx   2e x  2e x dx     e  21 e  dx   e  e  C Bài tốn 4: Tìm các ngun hàm sau:        a)  2x   2x  dx                 b)  x x2   x dx   Lời giải: a) Ta có:   dx 2x   2x                                                          b) Ta có:   xdx x2   x x     x   x  dx 2x   2x     1 3    1  x  dx   2x   C   x  x                6    x   x dx x  1 x  https://toanhocplus.blogspot.com     Trang Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 1 2 2 2                                              x x  1dx   x dx   x  d( x  1)   x dx  x   x  C   3 Nhận xét: Để tìm ngun hàm của các hàm số ở ví dụ trên chúng ta đều sử dụng phép nhân liên hợp      bậc hai, cụ thể: A  B  có liên hợp là  A  B  và ngược lại.  b Tìm ngun hàm hàm hữu tỉ Bài tốn: Tìm ngun hàm  I   Phương pháp giải: Tách P( x)  dx ,  với  P( x)  và  Q( x)  là các đa thức không căn.  Q( x) P( x) thành phân số lấy nguyên hàm theo bảng nguyên hàm Q( x) PP   Chia đa thức.   Nếu bậc của tử số  P( x)   bậc của mẫu số  Q( x)    PP   Xem xét mẫu số và khi đó:   Nếu bậc của tử số  P( x)   bậc của mẫu số  Q( x)    o Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng  tổng của các phân số.  Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp:  • • 1  a c       ( ax  b)  (cx  d) ad  bc  ax  b cx  d  ( Ac  Ba)x  Ad  Bb mx  n A B =      ax  b  cx  d  ax  b cx  d (ax  b)(cx  d) Ta được đồng nhất thức  mx  n   Ac  Ba  x  Ad  Bb     (1)   Ac  Ba  m Cách 1: (P/p đồng hệ số): Đồng nhất đẳng thức,ta được:   . Suy ra A , B     Ad  Bb  n b d Cách 2: (P/p trị số riêng): Lần lượt thay  x   ; x    vào 2 vế của (1), tìm được  A , B   a c mx  n A B •       2  ax  b  ax  b  ax  b  •   mx  n  A  B C    cx  d ax  b  ax  b   cx  d   ax  b   mx  n  A  cx  d   B  ax  b   C  ax  b  cx  d       *     b d Tìm  A , B, C :  Lần lượt thay  x   ; x   ; x   vào 2 vế của    *    a c A Bx  C    ,  với    b  4ac       ( x  m)  ( ax  bx  c) x  m ax  bx  c • A B C D                      2 x  a ( x  a) x  b ( x  b) ( x  a)  ( x  b) o Nếu  mẫu số khơng phân tích  được thành tích số  (biến  đổi  và  đưa về  dạng  lượng  giác  bằng phương pháp đổi biến dạng 2 sẽ trình bày ở phần sau).   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 10 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn  Suy ra  V    x  x https://facebook.com/duytuan.qna  2  dx    x  x  x   x x x5  16 dx           15  Câu 14 Chọn C.  Thể tích khối trịn xoay được giới hạn bởi các đường  y  tan x; Ox; x  0; x      4 0      4  V     tan x  dx    tan xdx    tan x  dx    dx   tan x 04   x 04    0 là:  2   Câu 15 Chọn B.   x  1 Phương trình hồnh độ giao điểm:   x       x  1  Suy ra  V     x 1  dx    1   x3 x  16  x  x dx    x        15  1  Câu 16 Chọn A.  Phương trình hồnh độ giao điểm:  x   x       Suy ra  V    x 2 1 x5  dx    x dx      5 Câu 17 Chọn C.  y   x  1  y  x   x  y3     Phương trình tung độ giao điểm:  y3    y     3  y3    y6  y3      y7 y4 480 Suy ra  V      y     dy      dy     4 7 1 1  1 Câu 18   Chọn A.   V    x.cos x  sin x  2   dx    x cos x  sin x dx    3     Câu 19 Chọn C.  Phương trình hồnh độ giao điểm:  2x  1   x      x1 2 0   2x       d x    d x     1  x   1  x   1  x  x   dx        Suy ra  V   2        x  ln  x  1     1   ln      ln     x        https://toanhocplus.blogspot.com Trang 307 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 20 Chọn C.  Phương trình hồnh độ giao điểm:  x   x  2    Suy ra:   2  x5  V      x  dx    16  x dx    16 x     5  2 2     2 256   Câu 21 Chọn B.   Thể tích khối trịn xoay được giới hạn bởi các đường  y  sin x , trục hồnh và hai đường    thẳng  x  , x    là:  V     sin x  dx    sin xdx 0    cos x 1  2  dx    x  sin x      2 0 Câu 22 Chọn D.  x  Phương trình hồnh độ giao điểm:  3x  x       x  3  Suy ra:  V    3x  x    dx    x  x  x dx    x x x5   81  81          0    0  10  10    Câu 23 Chọn A.  Phương trình hồnh độ giao điểm:  x    x    Suy ra:  V      x  dx      x2  7 x  x  dx     x x  x       1  Câu 24 Chọn A.  Phương trình hồnh độ giao điểm:  3x  x  x    1 8 8 Suy ra:  V     3x   x  dx    x dx    x    3 Câu 25 Chọn C.  Phương trình hồnh độ giao điểm:  x   x    Suy ra:  V    xdx   x  8   Câu 26 Chọn C.  Phương trình hồnh độ giao điểm:  x    https://toanhocplus.blogspot.com  x2  x    x    x Trang 308 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  6  35 Suy ra:  V     x  1     dx     x     Câu 27 Chọn D.  Phương trình hồnh độ giao điểm:   x   x   x  5x       x x   4  Suy ra:  V      x       dx  9    x     Câu 28 Chọn B.  x2 y b   1 y  a  x   a a b Phương trình hồnh độ giao điểm:  y   x   a   Ta có:  Suy ra:  V  a  b2 a  a 2   x dx  a ab    Câu 29 Chọn A.    x  y  y    y  2 x  0; x  Ta có:      x   y  y  y    y    x  0;  x   Phương trình hồnh độ giao điểm:  2 x    x  x    4  Ta có:  V1    xdx  32 ; V2      x  dx  4   Suy ra:  V  max V1 , V2   32   Câu 30 Chọn C.  Phương trình hồnh độ giao điểm:  x  x  x   x  4   8 Suy ra:  V     x  x  dx     0 Câu 31 Chọn B.  x3  x   x  Phương trình hồnh độ giao điểm:  x   x    x    x  2 1 Ta có:  V1    x dx   ; V2      x  dx     Suy ra:  V  V1  V2  10   21 Câu 32 Chọn A.  Phương trình hồnh độ giao điểm:  2 x   https://toanhocplus.blogspot.com x  x    Trang 309 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Ta có:  2 x  0; x   0;  ; x  0; x   0;    4 16 V1    xdx  32 ; V2    x dx     0 Suy ra:  V  max V1 , V2   32    Câu 33 Chọn C.  Ta có:  V     x   dx  33   Câu 34 Chọn C.  Phương trình hồnh độ giao điểm:  x    x     Suy ra:  V     3x    dx  8   Câu 35 Chọn B.  Ta có:  V      x  dx  2   Câu 36 Chọn C.   dx      cos x Ta có:  V    Câu 37 Chọn C.  x  Phương trình hồnh độ giao điểm:  x  x     x  1 Suy ra:  V      x  x  dx    Câu 38 Chọn D.  b Ta có  f  x   e x    V    f  x  dx     e x  dx    e x dx a 0 Câu 39 Chọn D.    V   x 1 x7 dx    1 2   Câu 40 Chọn C.  Xét phương trình ln x  0, x   x        e V     ln x  dx    Đặt  u  ln x  du  2ln x dx ; dv  dx  v  x   x  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 310 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn e https://facebook.com/duytuan.qna e V   x ln x  2  ln xdx 1 e   e  e  2  x ln x   dx   e  2  e  e  1   e        Câu 41 Chọn A.    V     ln x  dx    2 V   x ln x  2  ln xdx 1   2  2 ln  2  x ln x   dx   2 ln 2  2  ln  1  2  ln  1   Câu 42 Chọn B.    Xét phương trình  x3   x    3  x7   V    x  64 dx     64 x    9.26    7  2   Câu 43 Chọn D.   Gọi  V1  là thể tích khối trịn xoay giới hạn bởi các đường  y  bx , trục hồnh và hai  b đường thẳng  x  0, x    Khi đó,  V1   a x3  bx d x   b b    2 a  b  a  b5 3a3     Gọi  V2  là thể tích khối trịn xoay giới hạn bởi các đường  y  ax , trục hoành và hai  b đường thẳng  x  0, x    Khi đó,  V2   a   ax  2 b  a x5 dx   a   b a  b5 5a3    Suy ra, thể tích khối trịn xoay khi quay hình   K   quanh trục Ox là :  V  V1  V2   b5 3a   b5 5a  Để thể tích khơng phụ thuộc vào a và b thì tỉ số   2 b5   15 a3 b5  cố định.  a3 Câu 44 Chọn B.   Thể tích cần tìm là  V     cos x  dx   (  2)   Câu 45 Chọn B.    Thể tích cần tìm là  V    e x dx   e     Câu 46 Chọn D.     Thể tích cần tìm là  V    sin x dx   https://toanhocplus.blogspot.com 3   Trang 311 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 47 Chọn C.  x   Thể tích cần tìm là  V     xe  dx     0  Câu 48 Chọn B.  Thể tích cần tìm là  1      1  x V     xe  dx    xe x dx    x2 e x   xe x dx     x e x   xe x   e x dx      e          0  0 0       Câu 49 Chọn C.  2  x Thể tích cần tìm là  V     x e  dx   e  (gợi ý: Tích phân phần)  1  Câu 50 Chọn D.  2 2 Thể tích cần tìm là  V    1  x   dx      Câu 51 Chọn D.  Vẽ hình    2 Suy ra thể tích cần tìm là  V    x  dx     x   dx  0 32   Câu 52 Chọn C.  Giải phương trình  x ln x   x    e Thể tích cần tìm là  V     x ln x  dx    5e   27  (gợi ý: tích phân phần hai lần) Câu 53 Chọn A.  2x   với  y   là nghiệm của phương trình:  x 1 2x  1   x    x 1 Hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số  y  Thể tích của khối trịn xoay được tạo thành khi quay   H   xung quanh trục  Ox  bằng  2   2x     V   d x      x  x   dx x   1  1      2  15     x  ln x       ln      x   1    Câu 54 Chọn B.      cos x 1  2 dx    x  sin x   Thể tích cần tìm là  V     cos x  dx      2 16 16   0 8 Câu 55 Chọn A.   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 312 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 1  x    d x     Thể tích cần tìm là  V     0  x  x   dx    x   0    1    ln       x  ln x       x 1    Câu 56 Chọn D.  Hoành độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số  y  x  và  y  x  là nghiệm của phương trình  x  x2  2x     x  Thể tích của khối trịn xoay tạo thành là  2   V     x  dx    x 2 2  x5  4  64 dx      x         3 0   15 Câu 57 Chọn B.  Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số  y   x  với trục  Ox  là nghiệm của phương  x  trình:   x       x  1 Thể tích khối trịn xoay tạo thành là:   V    1 x  1 1 dx    1   x5  16  x  x dx    x  x       1 15   Câu 58 Chọn A.    Thể tích của khối trịn xoay tạo thành là  V    x 2 1 x5  dx    x dx      5 Câu 59 Chọn B.  H C B A D O O'   2  Thể tích của bồn (hình trụ) đựng dầu là:  V   r h    5 ( m3 )     3  3,070 ( m3 )    Thể tích phần đã rút dầu ra (phần mặt (ABCD)) là:  V1         Vậy thể tích cần tìm là:  V2  V  V1  5  3,07  12,637 ( m )     https://toanhocplus.blogspot.com Trang 313 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 60 Chọn B.  y   r1  y1   x1      r2  y   x2    3 x O  x2  15 Suy ra:  V    y dx     x  1 dx     x  30       0 Câu 61 Chọn C.  Phương trình hồnh độ giao điểm:  x 1 x   x2  x    x       x  x  3  l  2  2 35 Vì   x    với  x   1;   nên thể tích cần tính là  V      dx     x  1 dx    1 x x Câu 62 Chọn C.  Phương trình hồnh độ giao điểm:  x  x  x  0; 4   Vẽ hình   Suy ra thể tích cần tìm là  V      1  8 x dx     x  dx     0 Câu 63 Chọn B.  Giải phương trình  x3   x  0;  x    x  2; x3   x   x  Vẽ hình  2 Suy ra thể tích cần tìm là  V    x dx      x   dx    10   21 Câu 64 Chọn B.  Giải phương trình  (2 x  1) ln x   x    Thể tích cần tìm là  V     (2 x  1) ln x dx     ln 64    Câu 65 Chọn A.  Đặt hệ trúc với tâm  O  , là tâm của mặt cầu ; đường thẳng đứng là  Ox  , đường ngang là  Oy  ; đường trịn lớn có phương trình  x  y  25    Thể tích là do hình giới hạn bởi  Ox , đường cong  y  25  x , x  3, x  3   quay quanh    Ox  là  V    25  x dx  132  .   3 Câu 66 Chọn D.  b b Ta có  V2     2 f ( x)  dx  4   f ( x)  dx  4V1   a a Câu 67 Chọn D.   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 314 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Thể tích cần tìm là  V     x  dx  18,6   Câu 68 Chọn B.  Giải phương trình   x  Thể tích cần tìm là  V     x x 3   4x  2  x2  28 dx      dx      3 Câu 69 Chọn D.  Diện tích thiết diện là  S( x)  x  x  x  x    3   Thể tích cần tìm là  V   S( x)dx   x  x dx  18   0 Câu 70 Chọn B.  Giải phương trình   x  2 x   x  0;1   4 4 R  3   V1    2 V2     x dx     2 x   dx  0 4       ỨNG DỤNG KHÁC CỦA TÍCH PHÂN 1C 2D 3A 4B 5C 6B 7D 8A 9B 10D 11A 12C 13D 14A 15C 16A 17D 18A 19D 20A 21D 22D 23A 24B 25C 26A 27D 28C 29A 30D 31B 32C 33B Câu 1: Chọn C.   Hàm vận tốc  v  t   v0  at  15  9, 8t     Quãng đường tia lửa đi được sau 2,5 giây là:  ,5 s  15  9,8t  dt  15t  4, 9t  Câu 2: 68,125 m   Chọn D.  ,05 q ,05  I  t  dt   Câu 3: 2,5 0 ,05  t2   0,  0, 2t  dt   0, 3t  10   0 Chọn A.  3 Quãng đường cần tìm  s   1  sin 2t  dt   t  cos 2t  Câu 4:  0,01475 mC   3  3    Chọn B.   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 315 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna b  Áp dụng công thức  A   a kq1q2 dx   x2 Trong đó:  k  9.10 ; a  pm  10 12 m; b  pm  4.10 12 m ;  q1  q2  1,6.10 19 C   4.10 12  Suy ra:  A   1012  9.10 1, 6.10 19  x2 4.10 12  1 dx  2, 304.10 28     1,728.10 16 J   x  12   10 Câu 5:   Chọn C.  y Áp dụng công thức trên với  a  500; P  p  a   p  500   1075    Suy ra   500 I  Câu 6: b a x O 500  x2 x3  1200  0, x  0,0001x  1075 dx   125x     33333,  USD.  10 30000    Chọn B.   Quãng đường trong 4 giây đầu tiên (từ t  đến t  ) là  4    t2 t2       s    1,  d t  1, t   2t  ln t    12, 59 m     dt    1,  t    t2  t2  0 0 0 Câu 7: Chọn D.  Lấy mốc thời gian là lúc ơ tơ bắt đầu hãm phanh. Gọi  T  là thời điểm ơ tơ dừng. Ta có  v T    Suy ra  36T  18   T  0,  (s)  Khoảng thời gian từ lúc hãm phanh đến lúc dừng hẳn ơ tơ là 0,5 s. Trong khoảng thời  gian đó, ơ tơ di chuyển được qng đường là  0,5 s   36t  18  dt   18t  18t Câu 8:  ,5  4, 5( m)   Chọn A.  Quãng đường tại thời gian  t : S  t     3t   dt  t  2t  c     Mà  S    10  c   S  t   t  2t    Tại thời điểm  t  30 s : S  30   1410    Câu 9: Chọn B Lấy mốc thời gian là lúc ơ tơ bắt đầu được đạp phanh. Gọi  T   là thời điểm ơ tơ dừng. Ta  có v T    suy ra  20  40T  T  0, Như vậy, khoảng thời gian từ lúc đạp phanh đến   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 316 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna khi dừng hẳn của ơ tơ là 0,5 giây. Trong khoảng thời gian 0,5 giây đó, ơ tơ di chuyển  ,5 được quãng đường là  L     20  40t  dt  20t  20t  ,5  5( m)    Câu 10: Chọn D Gọi v  t   là vận tốc của vật. Ta có  v '  t   a  t   3t  t  .Suy ra  v  t   Vì  v    10  nên suy ra  C  10  . Vậy  v  t   3t t   C    3t t   10    10  3t t  4300   10  dt  ( m)    Thành thử quãng đường vật đi được là  S    3   Câu 11: Chọn A Thời điểm  A  và  B  gặp nhau là 20 giây   kể từ lúc  A  xuất phát.  Đồ thị vận tốc của  A  là đường gấp khúc  OMN  Quãng đường  A  đã đi được là   diện tích hình thang  OMNQ  .  Diện tích của nó là   20  12   96  , do  đó lúc gặp  B, A  đi được  96  m   . Đồ thị  vận tốc của  B  là đường thẳng  HP  .  Vì  B  xuất phát cùng vị trí với  A  nên quãng đường  B   đi được là  96  m   .  Mặt khác, qng đường  B  đã đi được bằng diện tích hình tam giác  HPQ  với  HQ   và  PQ  chính là vận tốc của  B  tại thời điểm đuổi kịp  A  . Suy ra  96  PQ  PQ  nên  PQ  24  . Vậy vận tốc của  B  tại thời điểm nó đuổi kịp  A  là  24  m / s   .  Câu 12: Chọn C Ta có:  N  t    4000 dt  8000 ln   0, 5t   C     0, 5t Ta có :  N    250000  C  250000    N  t   8000 ln   0, 5t   250000   N  10   8000 ln  250000  264334  Kết quả :   264334    Câu 13: Chọn D Ta có:  v  t    dt  ln  t  1  c  mà  t 1 v     c   v  t   ln  t  1     v  10   ln 11   13  m / s    Kết quả:   13  m / s     Câu 14: Chọn A.  Ta có  v  t    dt  ln  t  1  c    t 1  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 317 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Mà vận tốc ban đầu 5m/s tức là :  v     ln   1  c   c   .  Nên  v  t   2ln  t  1     Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là :  v  10   ln  11   9,    Câu 15: Chọn C.  Ta có  v  t    a  t  dt  10  C     2t Theo đề ta có  v    30  C  20     10   20  dt  ln  100  108m    Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là : S    2t   0 Câu 16: Chọn A.  Khoảng thời gian để tốc độ sinh lợi nhuận để dự án hai bằng một nửa dự án lần một khi:  t   15 P1  t   P2  t   50  t  400  10t  t  10t  350       t   15  năm.  t   15 Lợi nhuận vượt trong khoảng thời gian  t   15   sẽ xác định bằng tích phân sau:   15 L   15  P2  t   P1  t   dt   15      400  10t    50  t  dt      350  10t  t dt     350t  5t  t      15  6674,6    Câu 17: Chọn D.  Trước hết để giải bài toán này ta cũng chú ý. Biểu thức vận tốc  v   theo thời gian  t    có gia   tốc  a  là:  v   a.dt    Áp dụng cơng thức trên , ta có : v   adt   Đến đây ta đặt :  u   2t  du  2dt  dt  v 20   2t  dt    du    10 10 10 du   10u2 du  K   K    u u  2t Với  t  0, v  30  K  20     10  Vậy biểu thức vận tốc theo thời gian là :  v    20  cm / s2      2t  Nhận xét: dựa trên nội dung cơng thức trên ta có thể tính tốn, trả lời các câu hỏi trong  Vật Lí ứng dụng và trong đời sống. Ta theo dõi các ví dụ tiếp theo.  Câu 18: Chọn A.    Tia lửa chịu sự tác động của trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a  9, m / s2    Ta có biểu thức vận tốc  v  theo thời gian  t  có gia tốc  a  là :   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 318 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna v   adt   9,8dt  9,8t  C    Ở đây, với :  t  0, v  15m / s  C  15    Vậy ta được biểu thức vận tốc có dạng :  v  9,8t  15    Câu 19: Chọn D.    Tia lửa chịu sự tác động của trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc  a  9,8 m / s    Ta có biểu thức vận tốc  v  theo thời gian  t  có gia tốc  a  là :  v   adt   9,8dt  9,8t  C    Ở đây, với  t  0, v  15m / s  C  15    Vậy ta được biểu thức vận tốc có dạng:  v  9,8t  15    Lấy tích phân biểu thức vận tốc, ta sẽ có được bểu thức qng đường:  s   vdt    9,8t  15  dt  4, t  15t  K    Theo đề bài, ta được khi  t   s   K     Vậy biểu thức tọa độ của quảng đường là :  s  4,9t  15t    Khi  t  2,  s   , ta sẽ được  s  6, 875  m     Câu 20: Chọn A.  Muốn tìm qng đường, ta lấy tích phân hàm vận tốc, ta được:  s   vdt    v0  at  dt     at  dt    Do đó, quãng đường có biểu thức là :  s  v0 t  at  C     1  .  Khi  t   s   C       Theo đề bài :  t   s  , a  9, m / s2  Thay vào phương trình của   1  ta được :  s  5.5  9,8.52  147.5  m     Câu 21: Chọn D.  Thời gian bơm nước được 6 giây.  6 Mức nước càn tìm là :  h  t    h '  t  dt   0 13 t  8dt   t   20  12  14   2,66  cm     20 Câu 22: Chọn D.  Vi khuẩn HP gây đau dạ dày tại ngày thứ  m  với số lượng là:  F  m   1000 dt  500 ln 2t      2t  Suy ra số vi khuẩn trong dạ dày bệnh nhân sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh  là:  F 15   500ln 31  2000  3716,99  4000     https://toanhocplus.blogspot.com Trang 319 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 23: Chọn A.  Đến lúc phanh vận tốc của xe là : 2t1  10  đó cũng là vận tốc khởi điểm cho qng đường  đạp phanh ; sau khi đi thêm  t  thì vận tốc là 0 nên  2t1  10  20  4t2  t1  2t2     t  s Lại có  t1  t2   lập hệ được      t2  1s Tổng quãng đường đi được là:  S    2t  10  dt    20  4t  dt  57 m    0 Câu 24: Chọn B.    Ta có  v  t    a  t  dt   3t  t dt  t  t2  C    Vận tốc ban đầu của vật là  m / s  v     C     Vậy vận tốc của vận sau  2s  là:  v    12    Câu 25: Chọn C.  t  Thời điểm vật dừng lại khi đó ta có vận tốc:  v  t    3t   t        t  Chúng ta nhận giá trị  t   . Vậy vật chuyển động sau  4s  thì dừng.  Quãng đường vật đi trong  4s  là :  S   3t   t  dt  32    Câu 26: Chọn A.  Ta có  v  t    dt  ln  t  1  c    t 1 Mà vận tốc ban đầu 5m/s tức là:  v     ln   1  c   c     Nên  v  t   ln  t  1     Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là:  v  10   ln  11   9,8    Câu 27: Chọn D.  Ta có  S  t      2t  dt  t  t  c    Vật xuất phát từ A tương ứng với thời gian  t   nên  S       c   c     Suy ra :  S  t   t  t    t  Vật cách A 20cm ta có :  t  t  20    (nhận  t  ).  t  5 Vậy sau 4s thì vật cách A 20m và vận tốc tại thời điểm đó là : v       Câu 28: Chọn C Thời điểm vật dừng lại khi vận tốc bằng 0: v  t    5t  a   t   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 320 a    Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna a   Ô tô di chuyển được 40 mét:    5t  a  dt    t  at    a  a2 a2 a2    40   10 10 Câu 29: Chọn A Ta có hàm vận tốc là nguyên hàm của gia tốc:  v  t    dt  ln t   C    t 1 Điều kiện vận tốc ban đầu 6(m/s): v     ln   C   C     Vậy hàm vận tốc là:  v  t   ln t      Vận tốc của vật sau 10 giây là :  v  10   ln 11     Câu 30: Chọn D.  Khi ca nơ dừng thì  v  t    5t  20   t     Khi đó quãng đường đi được từ khi hết xăng là  4  5  Ta có s    5t  20  dt   t  20t   40m     0 Câu 31: Chọn B.  Theo đề : v  72 km / h  20m / s ,    Ta có : 30  2t  20  t   S    30  2t  dt  125    Câu 32: Chọn C.  Ta có   h  t    2t  1dt   2t  1 2t   C    Lúc đầu   t    bể khơng có nước  h     C       h  13   30   Câu 33: Chọn B.    20 Nhiệt độ TB được tính theo cơng thức sau:   t  14 50  14.sin  dt  50      20  8  12               Xem thêm các chuyên đề của thầy tại toanhocplus.blogspot.com   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 321 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng ... soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna “Nơi có ý chí, nơi có đường.” Tài liệu gồm 321 trang bao gồm chủ đề sau: Chủ đề Nguyên hàm Chủ đề Tích Phân Chủ đề Ứng dụng Tích Phân Bố... 268 I ĐỀ BÀI 268 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH 268 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH THỂ TÍCH 276 ỨNG DỤNG KHÁC CỦA TÍCH PHÂN 284 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG... 289 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH 289 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH THỂ TÍCH 305 ỨNG DỤNG KHÁC CỦA TÍCH PHÂN 315  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Nguyên hàm,