Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng Dùng cho ôn thi đại học, ôn thi kỳ thi quốc gia môn toán, ôn thi học sinh giỏi Tuyển chọn công phu, đã được kiểm tra trên nhiều nhóm học sinh, đáp án và lời giải chuẩn 100% File word lời giải chi tiết
Nguyờn hm Tớch phõn & ng dng Nguyên hàm BẢNG NGUN HÀM STT Nguyên hàm hàm số ∫ adx = ax + C; a ∈ ¡ ∫x α dx = xα +1 α +1 + C (α ≠ −1) ∫ dx = ln x + C ( x ≠ 0) x dx ∫ xα = − ( α − 1) xα−1 + C ( x ≠ 0) ∫ ∫ thường gặp với α = → ∫ ( x ≠ 0) α= Nguyên hàm mở rộng (a ≠ 0) →∫ ∫ e dx = e dx x =− dx ∫ ( ax + b ) α x +C dx = x + C ( x > 0) x α +1 ( ax + b ) + C ,α ≠ − ( ax + b ) dx = a α +1 dx = ln ax + b + C ax + b a α =− dx 1 +C a ( α − 1) ( ax + b ) α −1 1 ∫ ( ax + b ) = − a ax + b + C dx = ax + b + C ax + b a ∫ dx = e ax +b + C a ∫e ax +b ax + C (0 < a ≠ 1) ln a ∫ cos xdx = sin x + C ∫k ax +b ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin ( ax + b ) dx = ∫ cos 10 x x +C x ∫ a dx = dx x ( ) = ∫ + tan x dx = tan x + C dx 11 12 ∫ ∫ ∫ cot xdx = ln sin x + C ∫ ∫ −1 cos ( ax + b ) + C a dx = tg ( ax + b ) + C ( ax + b ) a cos dx −1 = cotg ( ax + b ) + C a sin ( ax + b ) tan ( ax + b ) dx = − ln cos ( ax + b ) + C a cot ( ax + b ) dx = ln sin ( ax + b ) + C a tổng quát : 13 dx k ax +b + C aln k ∫ cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + C ∫ sin x = ∫ ( + cot x ) dx = − cot gx + C ∫ tan xdx = − ln cos x + C dx = ∫ u '( x )dx = ln u ( x) + C u ( x) dx x ax + b +C dx ax + b π + ÷+C 4 ∫ sin x = ln tan + C ∫ sin ( ax + b ) = a ln tan 14 dx x π ∫ cos x = ln tan + ÷ + C ∫ cos ( ax + b ) = a ln tan 15 ∫x dx x−a = ln +C 2a x + a −a dx ∫ ( x − a)( x − b) = a − b ∫ ∫a dx a+x = ln +C 2a a − x −x ( x − b) − ( x − a) dx x−a = ln + C , (b < a ) ( x − a )( x − b) a −b x −b Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng 16 dx ∫ 17 x +a ∫ x +a 2 = ln ( x + x + a ) + C dx = x 2 x +a + a ∫ 2 ln x + x +a +C ∫ dx x −a x − a 2 = ln ( x + x − a ) + C dx = x 2 x −a − a 2 ln x + x −a +C Công thức đổi biến số (nguyên hàm hàm số hợp): ∫ f ( ax + b) ) dx = a F (ax + b) + C Các công thức từ 13-17 cần nhớ để định hướng trước kết Có nhiều cách giải đơn giản chứng minh cách lấy đạo hàm Chứng minh công thức (13-17) : dx x dx x π = ln tg +C = ln tg ( + ) +C 13 ∫ 14 ∫ sin x cos x Chứng minh : x x x x sin + cos sin cos 1 2= + = = 13 Ta coù : x x x x x x sin x 2sin cos 2sin cos cos 2sin 2 2 2 x x x x sin cos d (cos ) d (sin ) 1 dx + dx = − + ⇒I= ∫ ∫ ∫ x x cos x ∫ sin x cos sin 2 2 x x x = − ln cos + ln sin + C = ln tg + C 2 π x π x π 14 Ta coù :cosx= sin(x+ )= 2sin( + ) cos( + ) ⇒ kết 2 4 dx x−a = ln 15 ∫ +C x − a 2a x + a 1 ( x + a) − ( x − a) 1 = + Ta coù : ( x − a )( x + a ) = 2a x − a − x + a x − a ( x − a )( x + a ) 2a d ( x − a) d ( x + a) x+a Do ñoù : I= ∫ x − a − ∫ x + a = 2a ln x − a + C 2a dx 1 dx d( a − x) a+x + −∫ ln +c + Ta coù : ∫ 2 = ∫ ÷dx = ∫ ÷= 16 ∫ a −x dx x ±a 2 2a a + x a−x 2a a + x a−x 2a a −x = ln x + x ± a +C Đaët : t = x + x + a ⇒ dt = (1 + ⇒ dx = x2 + a dt ⇒ t x + x2 + a )dx = x2 + a x2 + a dx x +a x = ÷dx ÷ dt dt ⇒ I = ∫ = ln t + C = ln x + x + a + C t t Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng 2 17 ∫ x ± a dx = C1 : Đaët: x a2 x ± a2 ± ln x + x ± a +C 2 xdx u = x + a du = ⇒ x2 + a2 dv = dx v = x x dx ( x + a − a )dx ⇒ I = x x2 + a2 − ∫ =x x + a − ∫ x2 + a2 x2 + a2 dx = x x + a − ∫ x + a dx + a ∫ x2 + a2 = x x + a − I + a ln x + x + a x a2 ⇒I = x + a + ln x + x + a + C 2 C2 : Lấy đạo hàm ta có: ( 2 ln x + x + a + c ′ = + x + a x + x2 + a2 ( ) = )′ = 1 + x + x2 + a 1 x + x2 + a = ì = ữ x2 + a2 x + x2 + a2 x2 + a x2 + a2 x Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng II CÁC DẠNG TỐN TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm; – Nắm vững phép tính vi phân VD1 a) Tính đạo hàm hàm số F(x)=ln x+ x + + C b) Từ suy dx x2 + Gii a) (Đạo hàm có dạng lnu) Ta có : (x+ x + 1)' (x)' + (x + 1)' 1+ x x2 + + x x2 + = x2 + = x2 + = 2 2 x+ x + x+ x + x+ x + x+ x + x2 + 1 b) Từ kết câu 1) ta suy F(x) nguyên hàm f(x)= x +1 dx Vậy ∫ = ln x+ x + + C x +1 F (x) = ' = VD3 a) ( x − 1) + 1 x3 dx = ∫ x + x + + dx = ∫ ÷dx ∫ x −1 x −1 x −1 ( ) = ∫ x + x + dx + ∫ b) ∫x x + dx = d ( x − 1) = x + x + x + ln x − + c x −1 ( x + ) − x + dx 4∫ 3 1 2 ∫ ( x + ) − ( x + ) d ( x + ) = ( x + ) − × ( x + ) + c 16 16 dx d ( 2x) 1 2x x = = ln +c c) ∫ ∫ ∫ x − x ÷d = 5ln 2 x + x + ln 2 x ( x + ) 5ln 2 +5 = ( ) d) cos x 3 ∫ − sin x dx = ∫ cos x ( + sin x ) dx = ∫ [ ( − sin x ) cos x + cos x sin x ] dx = ∫ ( − sin x ) d ( sin x ) − ∫ cos xd ( cos x ) = sin x − sin x cos x − +c BÀI TẬP Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng a) sin x cos x dx x + cos x ∫ 2sin b)∫ sin xcosxdx ; c) ∫ e3sinx cosxdx ; d) e) dx ∫ sin x cos ∫ dx x+1 x ; f) ∫ ( x +sin2x)dx g) ∫ dx + sin x − cos x ln 2sin x + cos x + C sin x Đs : +C 3sinx Đs : e +C Đs : tan x + ln tan x + C Đs : Đs : x+1+C Đs : x x- cos2x (ĐHBK Hà Nội - 2000) π π h) ∫ tan x + ÷.cot x + ÷ (ĐHQG Hà Nội-2001) dx 3 6 dx i) ∫ (ĐH Y Thái Bình - 2001) x -x-1 Đs : − x π cot + ÷+ C 2 8 Đs : x + ln + tan x − tan x Đs : ln x -x-1+x- +C +C 2 TÌM NGUYÊN HÀM THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp : + Tìm họ nguyên hàm hàm số y=f(x): ∫ f(x)dx = F(x)+C (*) + Từ điều kiện cho trước ta tìm C ; + Thay giá trị C vào (*) ta tìm nguyên hàm cần tìm VD1 Cho hàm số y = + cot x Tìm nguyên hàm F(x) hàm số, biết đồ thị hàm số F(x) π qua điểm M( ; 0) Giải Ta có : F(x) = − cotx + C π π Theo đề : F ( ) = ⇔ − cot + C = ⇔ C = ⇒ F (x) = − cot x 6 VD2 Tìm nguyên hàm G(x) hàm số f(x), biết : π f(x)=cos3xcosxdx vµ G ÷ = 4 Giải Áp dụng cơng thức: cosa.cosb= [ cos(a+b)+cos(a-b)] , ta có: Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng 11 ∫ cos3xcosxdx= ∫ (cos4x+cos2x)dx= ∫ cos4xd(4x)+ ∫ cos2xd(2x) ÷ sin4x sin2x sin4x sin2x = + ÷+C= + +C 2 sin4x sin2x ⇒ G(x)=F(x)+C= + +C π π sin4 sin π 4+ + C =1⇒ + C =1⇒ C = Tõ G( )=1 ta suy 4 sin4x sin2x VËy mét nguyên hàm cần tìm là: G(x)= + + 4 BÀI TẬP Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) : x3 +3x +3x-1 (TN THPT 2002-2003) a) f(x)= biÕt r»ng F(1)= x +2x+1 π b) f(x)=sin5xsin3x biÕt r»ng F ÷=-1 4 TÌM NGUN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH Phân tích biểu thức dấu tích phân thành tổng biểu thức cho biểu thức dễ tìm ngun hàm Việc phân tích gặp khó khăn Hãy xem qua ví dụ minh họa rút cho ý tưởng riêng DAÏNG : α I= ∫ x ( ax + b ) dx;( a ≠ 0) K =∫ x dx ( ax + b ) α , (a ≠ 0) 1 * Sử dụng đồng thức : x= ax = [ (ax + b) − b ] hoaëc : a a 2 1 2 2 * x = a x = [ (ax + b) − b ] = (ax + b) − 2b(ax + b) + b a a a VD1 : Tính I= ∫ x ( − x ) 2002 dx Cách Sử dụng cách đồng thức : x =1-(1-x) ⇒ x(1 − x) 2002 (1 − x) 2002 = [ − (1 − x) ] (1 − x) 2002 = (1 − x) 2002 − (1 − x) 2003 ⇒ I = ∫ ( 1− x) 2002 dx − ∫ ( − x ) 2003 dx = − ∫ ( − x ) 2002 d (1 − x ) + ∫ ( − x ) 2003 dx 1 2003 2004 (1− x) + ( 1− x) + C 2003 2004 Caùch Đổi biến số : Đặt t=1-x =− Ngun hàm – Tích phân & Ứng dụng ⇒ x = − t ⇒ dx = − dt ⇒ I = − ∫ (1 − t )t 2002 dt = − ∫ t 2002 dt + ∫ t 2003dt 2003 2004 1 2003 2004 t + t +C = − ( 1− x) + ( 1− x) + C 2003 2004 2003 2004 dx VD2 : Tính K= ∫ x − 4x + Giaûi C1: 1 ( x − 1) − ( x − 3) 1 = = = x − − x −1 x − x + ( x − 1)( x − 3) ( x − 1)( x − 3) =− ⇒K= d ( x − 3) d ( x − 1) 1 x −3 ∫ x − − ∫ x − = ln x − − ln x − = ln x − + C C2: dx dx x −3 =∫ = ln +C x − 4x + ( x − 2) −1 x − K =∫ VD3 : Tính J = ∫ xdx ( + 3x ) Giải Sử dụng đồng thức : x ( + x − 1) 1 = − = ( + 3x − 1) ⇒ 3 2 ( + 3x ) ( + 3x ) (1 + 3x) (1 + x) d (1 + x) d (1 + x) 1 ⇒I= ∫ − ∫ = ∫ (1 + x) −2 d (1 + x) − ∫ (1 + x) −3 d (1 + x) (1 + x) (1 + x) 9 1 = − (1 + 3x) −1 + (1 + 3x) −2 + C 18 dx VD4 : Tính D= ∫ x + x5 Giải Sử dụng đồng thức : 1= x2+1-x2 x2 + − x2 1 x2 + − x2 1 ⇒ = = 5− = 5− = 5− 3+ x ( x + 1) x x ( x + 1) x x ( x + 1) x x x ( x + 1) x x +1 x= ( ) 1 x2 + − x2 1 x − 3+ = 5− 3+ − x x x( x + 1) x x x ( x + 1) 1 x 1 1 ⇒ D = ∫ dx − ∫ dx + ∫ dx − ∫ dx = − + + ln x − ln x + + C x x x x +1 4x 2x BÀI TẬP 2005 dx HD : Xem lại Ví dụ Tính J = ∫ x ( + x ) = dx x −x−2 dx Tính H = ∫ x + x2 + Tính K= ∫ x−2 +C HD : Xem lại Ví dụ Đs : K = ln x +1 dx dx − ∫ HD : H = ∫ 2 x +1 x + Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng x 3dx Tính A= ∫ ( x − 1)10 x dx Tính B= ∫ 39 ( 1− x) Tính C = ∫x Tính E = ∫ (x dx + x3 x 2001 ) +1 1002 HD : A = − 1 3 1 + − + +C ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1)9 HD : x2= [(1-x)-1]2=(1-x)2-2(1-x)+1 HD : Xem lại Ví dụ Đs : C = − 1 − ln x + ln x + + C 2x 1001 dx (ĐHQG HN 2000) E = x2 ÷ 2002 x + +C TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ • Đổi biến dạng Đặt x = ϕ(t) tích phân có dạng : Ngun hàm – Tích phân & Ứng dụng b β a α I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt x = ϕ (t ) ⇒ dx = ϕ ' (t )dt • Đặt • I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt b β a α Một số dấu hiệu nhận biết cách đặt: Dấu hiệu Cách đặt π π x = a.sint với (− ≤ t ≤ ) 2 π π a x= với − ≤ t ≤ ; t ≠ sin x 2 π π x = a.tant với − < t < 2 a2 − x2 x2 − a2 a2 + x2 a+x a−x a−x a+x x = a.cos2t x = a + (b − a)sin2t ( x − a )(b − x) VD1 Tìm họ nguyên hàm : I = ∫ ( − x2 ) dx π π Đặt x = sin t , t ∈ − ; ÷ ⇒ dx = cos tdt − x = − sin t = cos t = cos t 2 cos t dt dt sin t x =∫ = tan t + C = +C = +C Ta : I = ∫ cos t cos t cos t − x2 x +C Vậy : I = − x2 I =∫ VD2 Tìm nguyên hàm : dx π π Đặt x = tan t , t ∈ - ; ÷ ; 2 (1+ x ) dt dx = = ( 1+ tan t ) dt cos2 t ( 1+ x ) = ( 1+ tan t ) = ÷ = ÷ cos t cos3t dt = cost dt = sint + C cos t ∫ cos t tant x ⇒ sint = Vì x = tant sint = tant.cost = 1+ tan t 1+ x x +C Do : I = 1+ x I=∫ BÀI TẬP Tìm nguyên hàm : I = ∫ Tìm nguyên hàm : I = ∫ dx − x2 x dx x2 −1 Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng Tìm ngun hàm : I = ∫ • dx (1+ x ) Đổi biến dạng Đặt t = u(x) tích phân có dạng : I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x )dx • • Đặt t = u(x) ⇒ dt = u ' ( x)dx I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x )dx = ∫ f (t )dt Một số dấu hiệu nhận biết cách đặt: Dấu hiệu Hàm có mẫu ∫ f ( ln x ) dx x ∫ f ( sin x ) cos xdx Cách đặt Nói chung đặt t mẫu số Đặt t = ln x Đặt t = sin x Đặt t = cos x ∫ f ( cos x ) sin xdx dx ∫ f ( tan x ) cos x ∫ f ( cot x ) sin x dx a sin x + b cos x ∫ c sin x + d cos x + e dx ( Đặt t = tan x Đặt t = cot x Đặt t = tan ) x x với cos ≠ 2 Đặt t = ϕ ( x) ∫ f x, ϕ ( x) dx Nếu x + a > x + b > đặt t = x + a + x + b Nếu x + a < x + b < đặt t = − x − a + − x − b dx VD1 Tìm họ nguyên hàm : I = ∫ sin x x 2dt x 1 dx ⇒ dx = Đặt t = tan ⇒ dt = 1+ tan ÷ dx = ( 1+ t ) 22 1+ t ∫ ( x + a ) ( x + b ) dx 2t 1+ t 2dt dt x I =∫ = ∫ = ln t + C = ln tan + C 2t + t Do : t 2 1+ t x dx VD3 Tìm nguyên hàm I = ∫ 1+ x Đặt u = + x ⇒ x = u − dx = 2udu Ta lại có: sinx = I=∫ = ( ( u -1) 2udu u 1+ x ) − ( 4 = ∫ ( u - 2u +1) du = u - u + 2u + C = 1+ x ) + 1+ x + C 10 Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng TĨM TẮT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN * ( a + b ) − ( a − b ) = 4ab * a2 – b2 = (a+b)(a – b) * ( a ± b ) = a ± 2ab + b a * a ± b3 = (a ± b)( a m b + b ) * ( a ± b ) = a ± 3a 2b + 3ab ± b3 * a + b = ( a + b ) − 2ab 2 CÔNG THỨC A TĨM TẮT GIÁO KHOA BẢNG ĐẠO HÀM STT Đạo hàm hàm số sơ cấp 1 ( )' = − x x ( x)' = x ( n x )' = n n x n −1 Đạo hàm hàm số hợp u' ( )' = − u u u' ( u)' = u u' ( n u )' = n n u n −1 ( xα ) ' = α xα −1 (uα ) ' = α uα −1.u ' (sinx)’ = cosx (cosx)’ = − sinx (sinu)’ = u’.cosu (cosu)’ = − u’.sinu (tan x) ' = (tan u ) ' = = + tan x cos x (cot x) ' = − = −(1 + cot x) sin x x x (a ) ' = a ln a (e x ) ' = e x (e u ) ' = u ' eu 10 (log a x) ' = 11 (ln x) ' = x.ln a u' = u '(1 + tan u ) cos u u' (cot u ) ' = − = −u '(1 + cot u ) sin u u u (a ) ' = u '.a ln a (log a u ) ' = x (ln u ) ' = u' u.ln a u' u VI PHÂN Định nghĩa : df ( x ) = f ′ ( x ) dx Một vài biến đổi vi phân thường dùng, nên nhớ : dx = d (ax + b) (a ≠ 0) a dx = d (tanx ) cos x dx 1 = −d ÷ x x 1 1 1 − ÷dx = d x + ÷ x x sinxdx = −d(cosx) dx = −d(cotx) sin x dx = d(ln x) x cosxdx = d(sinx) e x dx = d(e x ) dx = 2d( x ) x 41 Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng BẢNG NGUN HÀM STT Nguyên hàm hàm số ∫ adx = ax + C; ∫ x dx = α xα +1 α +1 Nguyên hàm mở rộng (a ≠ 0) a∈¡ + C (α ≠ −1) ∫ dx = ln x + C ( x ≠ 0) x dx ∫ xα = − ( α − 1) xα−1 + C ( x ≠ 0) dx =− ∫ e dx = e x x + C ,α ≠ − a α +1 dx dx ∫ ( ax + b ) α dx ∫ ( ax + b ) + C ( x ≠ 0) x x dx = x + C ( x > 0) α= →∫ x α +1 ∫ ax + b = a ln ax + b + C ∫ α = 2→ ∫ ( ax + b ) ( ax + b ) α dx = = =− −1 a ( α − 1) ( ax + b ) α −1 +C 1 +C a ax + b dx = ax + b + C ax + b a ax +b ax +b ∫ e dx = a e + C ∫ +C k ax +b + C aln k ax + C ( < a ≠ 1) ln a ∫ cos xdx = sin x + C ∫k ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin ( ax + b ) dx = ∫ cos 10 x ∫ a dx = dx x ( ) ∫ ∫ sin x = ∫ ( + cot x ) dx = − cot gx + C ∫ tan xdx = − ln cos x + C ∫ ∫ cot xdx = ln sin x + C ∫ 2 11 12 u '( x )dx = ln u ( x) + C u ( x) dx x ∫ sin x = ln tan + C tổng quát : 13 14 15 ∫ x dx → π ∫ cos x = ln tan + ÷ + C ∫x dx x−a = ln +C 2a x + a −a 1 1 1 1 = − ; ; = − ÷ (a < b ) 2.3 a.b b − a a b 16 ∫ dx x +a = ln x + x + a + C dx = ∫ cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + C = ∫ + tan x dx = tan x + C dx ax +b ∫ −1 cos ( ax + b ) + C a dx = tg ( ax + b ) + C ( ax + b ) a cos dx −1 = cotg ( ax + b ) + C ( ax + b ) a sin tan ( ax + b ) dx = − ln cos ( ax + b ) + C a cot ( ax + b ) dx = ln sin ( ax + b ) + C a ví dụ : ∫x xdx = ln x ± a + C ±a dx ax + b +C dx ax + b π + ÷+C 4 ∫ sin ( ax + b ) = a ln tan ∫ cos ( ax + b ) = a ln tan ∫a dx a+x = ln +C 2a a − x −x dx ∫ ( x − b)( x − a) = b − a ln ∫ dx x −a x−b +C (a < b ) x−a = ln x + x − a + C 42 Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng 17 ∫ x + a dx = 2 x x +a + 2 a 2 ln x + x +a +C ∫ x − a dx = x 2 x −a − a 2 ln x + x −a +C Công thức đổi biến số (nguyên hàm hàm số hợp): ∫ f ( ax + b) ) dx = a F (ax + b) + C Các cơng thức từ 13-17 giải tốn cần trình bày lại Có thể chứng minh cách lấy đạo hàm hai vế PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN B CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I – Phương pháp đổi biến số: 1) Đổi biến dạng t = u(x): Bước 1: Chọn t = u(x), u(x) hàm số mà ta chọn cho thích hợp (Xem bảng bên dưới) Bước 2: Lấy vi phân dt = u’(x)dx Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt Bước 4: Khi I = ∫ g (t )dt Tính tích phân theo biến t Sau trả lại biến x Dấu hiệu Hàm có mẫu ∫ f ( ln x ) dx x ∫ f ( sin x ) cos xdx Cách đặt Đa số trường hợp ta đặt t mẫu số Đặt t = ln x Đặt t = sin x Đặt t = cos x ∫ f ( cos x ) sin xdx dx ∫ f ( tan x ) cos x ∫ f ( cot x ) sin x dx a sin x + b cos x ∫ c sin x + d cos x + e dx ( Đặt t = tan x Đặt t = cot x Đặt t = tan ) ∫ ( x + a ) ( x + b ) dx 10 ∫ 11 ∫ Đặt t = ϕ ( x) ∫ f x, ϕ ( x) dx 12 1 x +a f(x) dx x2 ∫ x+ ∫ dx , ∫ dx x2 + 1 dx x +1 + x x −a x x với cos ≠ 2 Nếu x + a > x + b > đặt t = x + a + x + b Nếu x + a < x + b < đặt t = − x − a + − x − b dx t = x + x2 + a , t = x + x2 − a t= x Trục thức 43 Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng 2) Đổi biến dạng x = ϕ (t) Bước 1: chọn x = ϕ (t), ϕ (t) hàm số mà ta chọn cho thích hợp Bước 2: Lấy vi phân dx = ϕ ’(t)dt Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt Bước 4: Khi I = ∫ g (t )dt Tính tích phân theo biến t Sau trả lại biến x Một số dấu hiệu nhận biết cách đặt: Dấu hiệu Cách đặt π π x = a.sint với (− ≤ t ≤ ) a − x 2 2 a −x x = asin2t x(a − x) a2 + x2 , x −a a +x (ax + b) + c 2 a+x a−x , a2 + x2 a−x a+x ( x − a)(b − x) a x − a ∫ a f (a − x )dx = ∫ f ( x )dx x= a π π với − ≤ t ≤ ; t ≠ sin t 2 x = a.tant với − π π 0) a ∫ = du = u + C I – Tích phân hàm hữu tỉ: Tích phân hàm hữu tỉ đơn giản: dx = ln ax + b + C , a ≠ ………………………… Công thức số Dạng ∫ ax + b a dx 1 = + C , k ≠ 1, a ≠ ……… Công thức số Dạng ∫ k ( ax + b ) a (1 − k )(ax + b) k −1 dx + bx + c Cách 1: (Phương pháp tổng quát) b b − 4ac Biến đổi ax + bx + c = a x + ÷ − 2a 4a Dạng ∫ ax du b du du ta ba dạng sau : ∫ , ∫ ∫ u2 + α ( u −α ) 2a u −α du Dạng ∫ (hai nghiệm phân biệt) ………………………… Công thức 15 u −α du =− + C (nghiệm kép) …………………… Công thức Dạng ∫ u −1 ( u −α ) Đặt u = x + Dạng ∫u du (vô nghiệm) ……… ………… đặt u = α tan t Cơng thức 18 +α Cách 2: • Nếu ax + bx + c có nghiệm phân biệt x1 < x2 phân tích thành: 1 1 ( x − x1 ) − ( x − x2 ) 1 = = = − ÷ ax + bx + c a( x − x1 )( x − x2 ) a( x2 − x1 ) ( x − x1 )( x − x2 ) a( x2 − x1 ) x − x2 x − x1 46 Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng • Nếu ax + bx + c có nghiệm kép phân tích thành: 1 dx 1 −1 = ⇒∫ = ∫ dx = +C 2 ax + bx + c a( x − x0 ) ax + bx + c a ( x − x0 ) a ( x − x0 ) • Nếu ax + bx + c vơ nghiệm áp dụng cách (Công thức 18) Dạng ( Ax + B) dx + bx + c ∫x A.b Phân tích Ax + B = A x + b + 2 x + bx + c x + bx + c x + bx + c du ⇒ Tích phân có dạng : ∫ + ∫ (tíchphândạng3)dx (đã biết cách tính) u P( x) dx 2) Tích phân hàm hữu tỉ dạng tổng quát : ∫ Q( x) a) Bậc P(x) nhỏ bậc Q(x): - Phân tích Q(x) thành tích nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai lũy thừa chúng P( x) A B Ex + F = + + + + Trong A, B, … - Phân tích α β ( a x + b2 ) Q( x) ( a1 x + b1 ) A1 x + B1 x + C1 B− ( ) số thực chưa biết, để tìm quy đồng mẫu số vế phải, sau đồng thức hai tử số VT VP, cho x giá trị đặc biệt đưa đến hệ phương trình hệ số (Phương pháp gọi hệ số bất định) P( x) b) Bậc P(x) lớn bậc Q(x): chia P(x) cho Q(x) phân tích đưa dạng a) Q( x) II – Tích phân hàm số lượng giác: 1) Dạng ∫ R (cos x, sin x)dx , với R (cos x, sin x) biểu thức hữu tỉ sinx, cosx 2t 1− t2 sin x = ; cos x = x 1+ t2 1+ t2 Phương pháp chung: Đặt t = tg ⇒ dx = 2dt 1+ t2 Biến đổi tích phân dạng tích phân hàm hữu tỉ dx x 2dt 2t , sin x = Ví dụ: Tính ∫ Đặt t = tan ⇒ dx = sin x + 1+ t 1+ t2 dx 2dt 2dt 2 +C ∫ sin x + = ∫ 2t + t = ∫ (1 + t ) = − + t + C = − x +1 + tan 1+ t2 Đặc biệt: • Nếu R hàm lẻ sinx (tức R(-sinx, cosx) = - R(sinx, cosx)) đặt t = cosx • Nếu R hàm lẻ cosx (tức R(sinx, -cosx) = - R(sinx, cosx)) đặt t = sinx • Nếu R hàm chẵn theo sinx, cosx (tức R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx)) → đặt t = tanx Ví dụ: Tính ∫ sin x cos xdx R(sinx, cosx) = sin x.cos3 x ⇒ R ( sin x, − cos x ) = sin x ( − cos x ) = − sin x.cos3 x = −R(sin x,cos x) nên ta đặt t = sinx ⇒ dt = cos xdx 47 Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng ∫ sin x.cos3 xdx = ∫ sin x.cos2 x.cos xdx t3 t5 sin x sin x − +C = − +C 5 2) Dạng ∫ cos ax cos bxdx , ∫ sin ax sin bxdx , ∫ cos ax sin bxdx Phương pháp: Biến đổi hàm dấu tích phân thành tổng • cos A cos B = [ cos( A + B ) + cos( A − B ) ] • sin A sin B = [ cos( A − B ) − cos( A + B ) ] • sin A cos B = [ sin ( A + B ) + sin ( A − B ) ] n n 3) Dạng ∫ sin xdx , ∫ cos xdx : Phương pháp: • Cách 1: Áp dụng dạng 1) phần đặc biệt • Cách 2: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc + cos x − cos x cos x = , sin x = , sinx.cosx = sin2x 2 Nếu n lẻ : sin mũ lẻ đặt t = cosx, cos mũ lẻ đặt t = sinx n VD: Tính ∫ sin xdx Ta phân tích thành : ( ) = ∫ t (1 − t )dt = ∫ t − t dt = n −1 ∫ sin x.sin xdx = ∫ ( sin x ) n −1 sin xdx = ∫ ( − cos x ) n −1 sin xdx đặt t = cos x dx sin( x + a ) sin( x + b) Sử dụng đồng thức : sin(a − b) sin [ ( x + a ) − ( x + b) ] 1= = = [ sin(a + x) cos(b + x) − cos(a + x)sin(b + x) ] sin(a − b) sin(a − b) sin( a − b) dx 5) Dạng I = ∫ cos( x + a ) cos( x + b) Sử dụng đồng thức : sin(a − b) sin [ ( x + a ) − ( x + b) ] 1= = = [ sin(a + x) cos(b + x) − cos(a + x)sin(b + x) ] sin(a − b) sin(a − b) sin( a − b) dx 6) Dạng K = ∫ sin( x + a) cos( x + b) Sử dụng đồng thức : cos( a − b) cos [ ( x + a ) − ( x + b) ] 1= = = [ cos(a + x) cos(b + x) + sin(a + x) sin(b + x) ] cos( a − b) cos( a − b) cos( a − b) 7) Daïng I = ∫ tgxtg ( x + α )dx 4) Dạng I = ∫ K = ∫ tg ( x + α )cotg ( x + β )dx H = ∫ cotg ( x + α )cotg ( x + β )dx 48 Ngun hàm – Tích phân & Ứng dụng Biến ñoåi : tgxtg ( x + α ) = sin x sin( x + α ) cos x cos( x + α ) + sin x sin( x + α ) = −1 cos x cos( x + α ) cos x cos( x + α ) dx a sin x + b cos x Cách : Sử dụng công thức : 8) Dạng I= ∫ x +α x +α ) cos( ) 2 x +α d (tg ( )) dx 1 x +α ⇒I= = ∫ x + α x + α a + b2 ∫ x + α = a + b2 ln tg ( ) + C a + b tg ( ) cos ( ) tg ( ) 2 Caùch : dx sin( x + α )dx d (cos( x + α )) I= = =− 2 ∫ sin( x + α ) 2 ∫ sin ( x + α ) 2 ∫ cos ( x + α ) − a +b a +b a +b 2 2 asinx +bcosx= a + b sin( x + α ) = a + b sin( cos( x + α ) − +C cos( x + α ) + a + b2 a1 sin x + b1 cos x dx 9) Daïng : I = ∫ ( a2 sin x + b2 cos x ) =− ln Sử dụng đồng thức :a1sinx+b1cosx= A(a2sinx+b2cosx)+B(a2cosx+b2sinx) 2 Để ý : a2sinx+b2cosx= a2 + b2 sin( x + α ) dx 10) Daïng I= ∫ a sin x + b cos x TH1 : c = a + b 1 1 = = a sin x + b cos x c 1 + cos ( x − α ) 2c x −α cos ÷ x −α d ÷ dx = tg x − α ⇒I= = ∫ 2c ∫ x −α c x −α c cos cos ÷ ÷ ÷+ C TH2 : c = − a + b 1 1 = = a sin x + b cos x c 1 − cos ( x − α ) 2c x −α sin ÷ x −α d ÷ 1 dx x −α ⇒I= = ∫ ∫ x − α c x − α = c cotg 2c sin sin ÷ ÷ TH3 : c ≠ a + b ÷+ C 49 Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng x dt 2t 1− t2 ⇒ dx = ;sin x = ;cos x = 1+ t2 1+ t2 1+ t2 a1 sin x + b1 cos x + c1 dx 11) Daïng I= ∫ a2 sin x + b2 cos x + c2 Đặt : t = tg Biến đổi :a1sinx+b1cosx+c1= A(a2sinx+b2cosx+c2)+B(a2cosx-b2sinx)+c a1 sin x + b1 sin x cos x + c1 cos x dx 12) Daïng I= ∫ a2 sin x + b2 cos x Biến đổi :a1sin2x+b1cosxsinx+c1cos2x= (Asinx+Bcosx)(a2sinx+b2cosx)+c(sin2x+cos2x) dx 13) Dạng I= ∫ a sin x + b sin x cos x + c cos x dx dt dx ⇒ I = ∫ Biến đổi : I= ∫ Đặt : t=tgx ⇒ dt = 2 cos x(atg x + btgx + c) cos x at + bt + c sin x cos x I =∫ dx α 14) Daïng 2 2 a sin x + b cos x ( ) d (a sin x + b cos x) 2(a − b ) d (a sin x + b cos x) = ln a sin x + b cos x + C α =1 ⇒ I = TH : 2 ∫ 2 2 2(a − b ) a sin x + b cos x 2(a − b ) TH2 : α ≠ 1−α d (a sin x + b cos x) ⇒I= = a sin x + b cos x +C α 2 ∫ 2 2(a − b ) a sin x + b cos x 2(a − b )(1 − α ) Biến đổi sin x cos xdx = ( ) ( ) III – Tích phân hàm vơ tỉ: Dạng ∫ R ( x, ) ax + bx + c dx, a ≠ b b − 4ac Phương pháp: Biến đổi ax + bx + c = a x + − , chuyển tích phân cho 2 dạng: π π a) ∫ R1 u, α + u du Đặt u = α tan t với − ≤ t ≤ 2 π π b) ∫ R2 u , α − u du Đặt u = α sin t với − ≤ t ≤ 2 α π c) ∫ R3 u , u − α du Đặt u = với t ∈ ( 0; π ) \ cos t 2 b ax + b ax + b ).dx Đặt u = n Dạng ∫ f ( x, n , giải tìm x = ϕ (t ) Tính dx theo dt cx + d cx + d a ( ( ( ) ) ) n p m q r s Dạng ∫ F x, x , x , , x dx Đặt x = tk với k BCNN(n,m,…,r) (αx + β ) dx t= Dạng ∫ + bx + c Đặt mx + n (mx + n) ax Tích phân dạng có nhiều phương pháp tính, số trường hợp đặc biệt tính trực tiếp 50 Ngun hàm – Tích phân & Ứng dụng ( x + 3) Ví dụ: Tính I = ∫ x − 2x + dx 2x − dx ∫ x2 − 2x + dx + 4∫ x2 − 2x + d(x − 2x + 4) d(x − 1) = ∫ + 4∫ = x − 2x + + ln x − + x − 2x + + C 2 x − 2x + ( x − 1) + I= b IV Tích phân chứa trị tuyệt đối: I = ∫ f ( x) dx a - Bước 1: Lập bảng xét dấu f(x) [a,b] x Ví dụ: x1 a f(x) x2 b 0 + Ô end dấu với a - Bước 2: Chia tích phân I thành tích phân nhỏ dựa vào bảng xét dấu (ghi kèm dấu) + b I= ∫ f ( x) dx = a V Tích Phân Truy Hồi : x1 ∫ a x2 f ( x)dx − ∫ f ( x)dx + x1 (1 + tg2x = b ∫ f ( x)dx x2 ) cos x b Cho In = ∫ f (n; x)dx , với n∈N a Tính I1; I2; Lập cơng thức liên hệ In & In + ; Suy In VI Một số tích phân tính cách sử dụng đẳng thức đặc biệt 0 Nếu f(x) hàm lẻ a * ∫ f(x)dx = Nếu f(x) hàm chẵn -a 2 ∫ f(x)dx a a f(x)dx = f(x)dx Nếu f(x) hàm chẵn * ∫ x a +1 ∫ -a a b b ∫ f(a + b - x)dx = ∫ f(x)dx ( Đặt x = a + b - t ) ( Đặt x = a + b - t ) a a * Nếu f(a + b - x) = f(x) b a * ( Đặt x = - t ) b a+b f(x)dx * ∫ x.f(x)dx = ∫ a a * ( Đặt x = - t ) a π π 0 ∫ f(a - x)dx = ∫ f(x)dx ∫ f(sinx)dx = ∫ f(cosx)dx ( Đặt x = a - t ) ( Đặt x = π -t ) 51 Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng π π π * ∫ x.f(sinx)dx = ∫ f(sinx)dx 20 * π π 0 n m m n ∫ sin x.cos xdx =∫ sin x.cos xdx ( Đặt x = π -t ) ( Đặt x = π -t ) …………………………………………………………………… 52 Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng MỤC LỤC I TĨM TẮT GIÁO KHOA II CÁC DẠNG TOÁN A NGUYÊN HÀM TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN TÌM NGUYÊN HÀM THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN PHƯƠNG PHÁP LIÊN KẾT B TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN CÁC HÀM HỮU TỈ TÍCH PHÂN CÁC HÀM VƠ TỶ TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN TÍCH PHÂN HÀM CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH TĨM TẮT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 2011 ∫ Tr.1 Tr.4 Tr.6 Tr.7 Tr.9 Tr.11 Tr.13 Tr.15 Tr.18 Tr.22 Tr.25 Tr.28 Tr.29 Tr.34 Tr.35 Tr.38 Tr.40 dx=10 (đ) 2010 53 Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO AN GIANG Trường THPT An Phú Họ & tên : Lớp : Ôn thi Đại học Cao đẳng Câu 54 Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng 55 ... Tây Nguyên - Năm 2000) HD 3) Sư dơng tÝnh chÊt ta chØ cÇn chøng minh: (lnx)2 ≤ ln x, víi ∀x ∈ [1;2] 35 Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH A Tính diện tích. .. theo TC ta cã I=0 + cos8 16x 34 Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng BÀI TẬP 2008π Tính tích phân I= ∫ 1-cos2xdx Đs : I=4016 Dạng toán 7: Chứng minh bất đẳng thức tích phân Kiến thức: b b 1) NÕu f(x)... cosx, ta đặt t = tanx 21 Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng Ví dụ: Tính tích phân sau: π I= ∫ π dx (Học viện Kỹ thuật Mật mã-1999) sin x.cosx Giải 1) Hµm sè d íi dấu tích phân hàm lẻ cosx Đặt t=sinx,