Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân (phần 2)

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.. Tìm nguyên hàm Fx của fx, rồi sử dụng trực tiếp định ngh[r]

Nguyeân haøm – Tích phaân CHÖÔNG III NGUYÊN HAØM, TÍCH PHÂN VAØ ỨNG DỤNG II TÍCH PHAÂN Khaùi nieäm tích phaân  Cho haøm soá f lieân tuïc treân K vaø a, b  K Neáu F laø moät nguyeân haøm cuûa f treân K thì: F(b) – F(a) đgl tích phân f từ a đến b và kí hiệu là b  f ( x )dx a b  f ( x )dx  F (b)  F (a) a  Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì chữ khác thay cho x, tức là: b b b a a a  f ( x )dx   f (t)dt   f (u)du   F (b)  F (a)  Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị y = f(x), trục Ox và hai đường b S   f ( x )dx thaúng x = a, x = b laø: a Tính chaát cuûa tích phaân   f ( x )dx    b  a a b f ( x )dx    f ( x )dx b b b b a a a a   f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx  Neáu f(x)  treân [a; b] thì b   kf ( x )dx  k  f ( x )dx (k: const)  a b c b a a c  f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx b  f ( x )dx  a  Neáu f(x)  g(x) treân [a; b] thì b  a b f ( x )dx   g( x )dx a Phöông phaùp tính tích phaân a) Phương pháp đổi biến số b  f  u( x ) u '( x )dx  u( b )  f (u)du u( a ) a đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xaùc ñònh treân K, a, b  K b) Phương pháp tích phân phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b  K thì: b b b  udv  uv   vdu a a a Chuù yù: – Caàn xem laïi caùc phöông phaùp tìm nguyeân haøm Trang 84 Lop12.net Nguyeân haøm – Tích phaân b – Trong phương pháp tích phân phần, ta cần chọn cho  vdu dễ tính a b hôn  udv a VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng các nguyên hàm Tìm nguyên hàm F(x) f(x), sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân: b  f ( x )dx  F (b)  F (a) a Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân Baøi Tính caùc tích phaân sau: a) 2  (x  x  1)dx d) x  1 x 2 e) dx g)  ( x  1)( x  x  1)dx k) x2  2x  x3 1  x 2 2 b)  ( x   e x 1 )dx x 2 4 dx x2 1 x   7x dx x  x 1 dx x2 f)  ( x  i) e2  e h)  ( x  x x  x )dx l) dx  c)  1   x )dx x x  x  23 x  44 x dx 8 m)   x   1 x2  dx   Baøi Tính caùc tích phaân sau: a) x  1dx  b) d)  x2  x 2 2 0 xdx dx  x2 Baøi Tính caùc tích phaân sau: e) dx 0 3x  x3 dx c)  ( x  x x  x )dx f)   a)  sin( x   )dx b)  (2sin x  3cosx  x )dx c)  0 x x  9dx    sin 3x  cos x  dx d)    tan x dx cos x e)   3tan x dx f)  (2 cot   Trang 85 Lop12.net x  5) dx Nguyeân haøm – Tích phaân g) k)   2 dx   sin x h)  cos x   cos x dx     (tan x  cot x )2 dx l)   i)  sin x.cos2 xdx   sin(  x ) dx  m)   cos  sin(  x ) ( x  1).dx 1e x dx Baøi Tính caùc tích phaân sau: a) d) x  e  e x 0e ln 0  g) k) x e x b) e) dx ex   e ln x x  sin xdx dx c) x  x ln x ex e cos x 1 dx x e (1   4e h) 1 l) 0 x x e x )dx x dx xe x dx 0 0 i) 1 m) e  4 x e 2 1e f) 2x x 2x dx dx  ln x dx x x 1 e dx VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến số b Dạng 1: Giả sử ta cần tính  g( x )dx a Nếu viết g(x) dạng: g( x )  f  u( x ) u '( x ) thì Dạng 2: Giả sử ta cần tính b u( b ) a u( a )  g( x )dx   f (u)du   f ( x )dx  Đặt x = x(t) (t  K) và a, b  K thoả mãn  = x(a),  = x(b) thì  b b  a a  g(t)  f  x(t) x '(t)  f ( x )dx   f  x(t) x '(t)dt   g(t)dt Dạng thường gặp các trường hợp sau: f(x) có chứa a2  x a2  x x  a2 Cách đổi biến x  a sin t, hoặc   t  x  a cos t, 2 0t  x  a tan t,  x  a cot t, a x , sin t a x , cos t Trang 86 Lop12.net  t  2 0t     t    ;  \ 0  2   t   0;   \   2 Nguyeân haøm – Tích phaân Bài Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1): a) 19  x(1  x) dx b) d) g) dx  x x2  k) ln3 e dx n) l)  e  1 x e   2 sin x o) dx i) dx 1 x2 a) dx  1 x d) x g) dx 3 1 e) h) x2  2x  cos x sin x 0  sin x dx k)   p) dx l) x x2  e dx  ln x ln x dx x  4 x  (x  2  c) x 1 dx x3  x2  sin sin x dx x  cos x 2 x  x dx dx  1)( x  2) x2 x dx 1  ex  dx ex  b)  m) cos x  sin x Bài Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2): ln 2  ln x dx 2x   x  2x x   h) x5 0 x  dx f)  x  x dx c) e)  x  x dx 2x  x3 0 (1  x ) xdx  f) x i) xdx  x2 1 dx  1  x  m)  x x  x dx dx VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân phương pháp tích phân phần Với P(x) là đa thức x, ta thường gặp các dạng sau: b b b b a a a a x  P( x ).e dx u dv P(x) x e dx  P( x ).cos xdx P(x) cos xdx  P( x ).sin xdx  P( x ).l n xdx P(x) sin xdx lnx P(x) Baøi Tính caùc tích phaân sau:   a)  x sin xdx b) d)   ( x  sin x) cos xdx 2 c) 2 x cos xdx  x cos xdx e)  x tan2 xdx  f)  ( x  2)e x dx Trang 87 Lop12.net Nguyeân haøm – Tích phaân g) ln x  xe dx h)  x ln xdx i)  ln( x  x)dx   2 k)  e sin xdx l)  e 3x o) e m)  ln xdx sin xdx e x e cos x p) ln xdx e ln x dx x  q)  x (e 2x  x  1)dx 1 e VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân trên đoạn nhỏ Baøi Tính caùc tích phaân sau: a)  b) x  dx d) g)   x  dx e) ( x   x  )dx  2 x  x  9dx h) x  x  dx x  dx 3  c) x  x dx f) 2  i) x  x  x dx  x dx  1 Baøi Tính caùc tích phaân sau: a) d) g) 2  b)  cos x dx    sin x dx  0  2   sin xdx e)    tan x  cot x  2dx h)  f) sin x dx     cos 2xdx 3 cos x cos x  cos xdx i)    cos xdx     c)  2  sin xdx  VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm các hàm số hữu tỉ Baøi Tính caùc tích phaân sau: a) d) g) dx 1 x  x b) x dx 0 x  5x  x dx  1  x   1  x  dx 2 x(x  1) dx e) c) f) h) 4 x  11dx x  5x  Trang 88 Lop12.net x dx 0 x  2x  x i) dx (1  x) x3  x   x  dx Nguyeân haøm – Tích phaân k) x3  x2  9x   x  3x  1 dx l) 3x  3x   x3  3x  2 Baøi Tính caùc tích phaân sau: dx a)  x  2x  d) g) ( x  2)  k) ( x  3) x (1  x )  4 x 3x dx  x 2008  x (1  x 2008 ) l)   x2 1 x m) x2  (3 x  1) dx x3  2x  4x  c)  dx x2  x3  x  dx e)  x 1 dx h) dx  2 dx x 1  b)  dx f) dx i) 1 x4 x4  (x m) dx x   dx dx  1)2  x4 1 x dx VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ Xem laïi caùch tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá voâ tæ Baøi Tính caùc tích phaân sau: a) 2  x x  1dx b) d) x 1 x 1 10  k) n) dx  dx x  x 1  x x3 x2 1 g) x 1 3x  dx e)  2x  1 4x  1  x x  1dx f)  dx  x 1  x dx x4  x5  i) l) c) dx h) dx 4x  2 m) x x 4 dx  3x  x5  x3 1 x dx dx 2 1 x dx 1 x  o) dx x x2  x2   p)  dx x x3  Baøi Tính caùc tích phaân sau: a)  x 2  x dx b) d)  x  2008dx dx g) k)   e)  x dx 10  x dx c) x  x2  dx (1  x )3 h)  l) 2  dx  (1  x )3 f) 1  2 x2 x2  1  1   x dx x 3dx x  x2  dx x  2008 x dx  x2 Trang 89 Lop12.net i)  m)  12 x  x  8dx Nguyeân haøm – Tích phaân Baøi Tính caùc tích phaân sau: a) d) g)   cos xdx  cos x  cos xdx 0  cos2 x    2   b)  cos3 x sin x cos5 xdx e)  sin x cos x  cos xdx  0   cos xdx  cos2 x  h)   sin x  sin x  3cos x cos x  cos2 x  f) dx tan x c) dx i) cos xdx  cos x   sin x  sin x   3cos x dx Baøi Tính caùc tích phaân sau: a) ln3  g) b) ex  d) dx ln2 x ln x ln x  e) dx ln3 ex (e x  1) e x     e2 x dx e c) ex  ln3  ln x (e2 x  x  1)dx f) ln h) ex e x  e x  e x dx  (e x  1)3 1 dx  3ln x ln x dx x  dx i) ln  e x  1dx VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác Xem lại cách tìm nguyên hàm các hàm số lượng giác Baøi Tính caùc tích phaân sau:   4 a)  sin x cos xdx b)   tan xdx sin x   cos x dx c) 0   e)  sin xdx d)  sin xdx 0  g)   sin x cos xdx h)  sin x cos xdx     tan l) o) xdx  tan xdx m) p) q)   sin x  cos x dx r) x cos5 xdx sin x cos x dx  cos x     4  sin    cos x  cos x  dx 3  (sin x  cos x )dx i)  n)  k)  f)  cos x cos3 x   cos x dx Trang 90 Lop12.net s) dx sin x.cos3 x  /3   /6 sin dx x.cos x Nguyeân haøm – Tích phaân Baøi Tính caùc tích phaân sau: a)      cos x sin x cos xdx  sin x  cos x b)  dx sin x  cos x    cos x c) dx  4  cos x(sin x  cos x )dx e) g)  cos x  d) tan x   sin x.ln(cos x )dx h)   (tan x  e sin x cos x)dx f)  1  sin x  sin xdx  sin x  2 (tan x  1) cos x dx  i)  2  sin x  cos x  Baøi Tính caùc tích phaân sau: a)    2   dx sin x b) dx  cos x  c)   sin x dx d)   2 cos x   cos x dx e) k)  sin x  cos x  dx     (1  sin x ) cos x (1  sin x )(2  cos2 x ) dx l) sin x   sin x dx  h) f)   cos x dx  cos x   g)   sin x  cos x  dx sin x  cos x  i) dx cos x cos( x  )    dx   m) sin x cos( x  ) 4  dx   sin x sin( x  ) 6  Baøi Tính caùc tích phaân sau:   xdx 0  cos x   2 a)  (2 x  1) cos xdx d)  sin xdx b) e) g)  cos(ln x )dx h) e 2x sin xdx l)  sin x.e sin e x sin x cos3 xdx o) x 1 dx  ln(sin x ) cos x dx i)  x tan xdx m)   x sin x cos   ln(1  tan x )dx Trang 91 Lop12.net xdx xdx  (2 x  1) cos  dx 0  x f)   x cos xdx   x  cos n) c)    k)  p) dx  cos x dx Nguyeân haøm – Tích phaân VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit Sử dụng các phép toán luỹ thừa và logarit Xem lại các phương pháp tìm nguyên haøm Baøi Tính caùc tích phaân sau: e x dx a)  x 1 e d) ln  ex 1 k)  x 1 e e e) dx h) dx ln x   ex ln g) b) ln l) dx x (ln x  1)  dx x e 5 ln e   x i) ln 1 ex dx 1 ex 1 4 e x  x 1 0e ln3 m) dx dx 0e x  f) dx e2 x 0e  2x x e 1 c) e x  1.e x dx ln dx  ex  dx Baøi Tính caùc tích phaân sau:  a)  e sin xdx b) x  xe 2x d)  (e  cos x) cos xdx e) x g)  e k)  1  x ln1  x dx f) ln x  ln(ln x ) dx x e  ln x h)    ln  x ln x  e   x dx  i) e3 ln(ln x ) dx x e  ln x x2 l) dx   dx  ln2 x dx x 0 x  e2  xe c) dx 0 ln(sin x ) dx cos2 x m)  ln( x  1) dx x   VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt Daïng Tích phaân cuûa haøm soá chaün, haøm soá leû  Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc vaø laø haøm soá leû treân [-a; a] thì a  f ( x )dx  a  Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc vaø laø haøm soá chaün treân [-a; a] thì a  a a f ( x )dx   f ( x )dx Vì caùc tính chaát naøy khoâng coù phaàn lyù thuyeát cuûa SGK neân tính caùc tích phaân có dạng này ta có thể chứng minh sau: a a a   Bước 1: Phân tích I   f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx  J   f ( x )dx; K   f ( x )dx    a a a   Bước 2: Tính tích phân J   f ( x )dx phương pháp đổi biến Đặt t = – x a Trang 92 Lop12.net Nguyeân haøm – Tích phaân – Neáu f(x) laø haøm soá leû thì J = –K  I = J + K = – Neáu f(x) laø haøm soá chaün thì J = K  I = J + K = 2K Daïng Neáu f(x) lieân tuïc vaø laø haøm chaün treân R thì:   f (x) dx   f ( x )dx (với   R+ và a > 0)  a  Để chứng minh tính chất này, ta làm tương tự trên     f (x) f (x) f (x) f (x) f (x)  J   I  dx   dx   dx dx; K   dx  x x x x x    a   a  a 1  a  a 1   Để tính J ta đặt: t = –x  x     Daïng Neáu f(x) lieân tuïc treân  0;  thì  2  f (sin x )dx   f (cos x )dx  t x Dạng Nếu f(x) liên tục và f (a  b  x )  f ( x ) f (a  b  x )   f ( x ) Để chứng minh tính chất này ta đặt: thì ñaët: t=a+b–x Ñaëc bieät, neáu a + b =  thì ñaët t=–x neáu a + b = 2 thì ñaët t = 2 – x Dạng Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm hàm số f(x) ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm các hàm số f(x)  g(x) dễ xác định so với f(x) Từ đó suy nguyên hàm f(x) Ta thực các bước sau: Bước 1: Tìm hàm g(x) Bước 2: Xác định nguyên hàm các hàm số f(x)  g(x), tức là:  F ( x )  G( x )  A( x )  C1 (*)   F ( x )  G( x )  B( x )  C2 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F ( x )   A( x )  B( x )  C laø nguyeân haøm cuûa f(x) Baøi Tính caùc tích phaân sau (daïng 1):  a)  x  x  x  x 1  cos4 x   d) dx  ln  x  1 x  dx e) 1  g)    sin x  cos x dx cos x ln( x   x )dx c)   b)  1 x  h)  x2  xdx    2 x dx  sin x f)  1 x  cos x.ln  dx  x      2  1 i)     x  sin x x2  dx x  cos x  sin2 x dx Baøi Tính caùc tích phaân sau (daïng 2): a) x4  x dx 1  b)   x2 1 1 x dx Trang 93 Lop12.net c)  1 (e dx x  1)( x  1) Nguyeân haøm – Tích phaân  d) sin2 x   g) x 1 x2 1 e)  dx x 31  dx f)  sin x sin x cos x sin x  cos x   ex  6x    dx h)   dx  1 (4   6 dx i)  1)( x  1) x sin2 x   2x   x dx Baøi Tính caùc tích phaân sau (daïng 3):  a)  cos x n n cos x  sin x  d)   n sin 2009 dx (n  N*) b) sin x  sin2009 x  cos2009 x dx e)   dx sin x  cos x x  cos x cos4 x  sin x dx c) sin x sin x  cos x   f) sin x  cos4 x  sin x dx dx Baøi Tính caùc tích phaân sau (daïng 4): a)   x.sin x  cos x b) dx 4  sin x  ln(1  tan x )dx e) 2   x.cos xdx f)   x.sin x sin x dx h)   cos x   sin x ln(1  tan x )dx l)   0 xdx  x dx g)   sin x   sin x   ln   cos x dx c) dx 0 k) x  cos x   d)   x sin x  cos x i)   cos m) dx x sin x  x dx   x sin x cos xdx Baøi Tính caùc tích phaân sau (daïng 5): a)   2 sin x  sin x  cos x dx b)  2  g) cos x  sin x  cos x dx  cos x d)  dx sin x  cos x  sin x sin6 x  cos6 x e)   sin x sin x  cos4 x  dx h) cos6 x  sin6 x  cos6 x c) sin x  sin x  cos x dx  dx f) cos4 x  sin x  cos4 x i) dx   2sin x.sin xdx  k)  cos x.sin xdx l)  ex 1 e x  e x dx Trang 94 Lop12.net m)  1 e e x x  e x dx dx Nguyeân haøm – Tích phaân n) ex  1 e x  e x o) dx e x  1 e x  e x dx VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi b Giả sử cần tính tích phân I n   f ( x , n)dx (n  N) phụ thuộc vào số nguyên dương n Ta a thường gặp số yêu cầu sau:  Thiết lập công thức truy hồi, tức là biểu diễn In theo các In-k (1  k  n)  Chứng minh công thức truy hồi cho trước  Tính giá trị I n cụ thể nào đó Bài Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau:  a) I n   sin n xdx n 1   Ñaët u  sin x dv  sin x.dx  b) I n   cosn xdx n 1   Ñaët u  cos x dv  cos x.dx  c) I n   tan n xdx  Phaân tích: tan n x  tan n2 x  tan2 x  1  tan n2 x  d) I n  x n cos x.dx n   Ñaët u  x dv  cos x.dx  Jn  x n sin x.dx e) I n  x n e x dx e f) I n   ln n x.dx 1 g) I n   (1  x )n dx n   Ñaët u  x dv  sin x.dx n   Ñaët u  x x dv  e dx n   Ñaët u  ln x dv  dx  Ñaët x  cos t  h) I n   dx (1  x )n  Phaân tích Tính Jn   (1  x )n x2 n (1  x )  x2 (1  x )n dx Trang 95 Lop12.net  2n  Ñaët u  sin t dv  sin t.dt  x2 (1  x )n u  x  x Ñaët  dv  dx  (1  x )n  Nguyeân haøm – Tích phaân i) I n   x n  x dx n   Ñaët u  x dv   x dx  k) I n   dx n cos x dx  Phaân tích n cos x  cos x cos Trang 96 Lop12.net n 1 x  Ñaët t  cosn1 x