BÀI TẬP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP.. 1..[r]
(1)NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I NGUYÊN HÀM
1 Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F x
được gọi nguyên hàm hàm số f x K F x' f x với xK Kí hiệu: f x d xF x C
Định lí:
1) Nếu F x nguyên hàm f x K với số C, hàm số
G x F x C nguyên hàm f x K
2) Nếu F x nguyên hàm hàm số f x K nguyên hàm f x
K có dạng F x C, với C số
Do F x C C, họ tất nguyên hàm f x K 2 Tính chất nguyên hàm
f x d x f x f ' x dx f x C; d f x dx f x dx Nếu F(x) có đạo hàm thì: d F x ( )F x( )C
kf x d xk f x d x với k số khác f x g x dxf x d xg x d x
Công thức đổi biến số: Cho y f u ug x
Nếu f x dx( ) F x( )C f g x ( )g x dx'( ) f u du( ) F u( )C
3 Sự tồn nguyên hàm
(2)BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ THƢỜNG GẶP
1 0dxC dx x C
3 1 1
1
x dx x C
16
1
dx ,
1
ax b
ax b c
a
4 12 dx C x x
17
2
1 1
dx C
a ax b
ax b
5 1dx ln x C
x
18 dx 1ln ax b C
ax b a
6 e dxx exC 19 ax b ax b
e dx e C
a ln x x a
a dx C
a
20
ln
kx b kx b a
a dx C
k a
8 cosxdxsinx C 21 cosax b dx 1sinax b C
a
9 sinxdx cosx C 22 sinax b dx 1cosax b C
a
10 tan x dx ln | cos |x C 23. tanax b dx 1ln cosax b C a
11.cot x dxln | sin |x C 24. cotax b dx 1ln sinax b C a
12 12 tan
cos xdx x C
25
2
1
tan
cos ax b dxa ax b C
13 12 cot
sin xdx x C
26
2
1
cot
sin ax b dx a ax b C
14.1 tan 2x dx tanx C 27 2 tan ax b dx tan ax b C
a
15 1 cot 2x dx cotx C 28. 2 cot ax b dx cot ax b C
a
BẢNG NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG
2
arctan
dx x
C
a x a a
2
arcsinxdx xarcsinx a x C
a a
2
ln
dx a x
C
a x a a x
2
arccosxdx xarccosx a x C
a a
2
2 ln
dx
x x a C
x a
2
arctan arctan ln
x x a
dx x a x C
a a
2 arcsin
dx x C a a x
2
arc cot arc cot ln
x x a
dx x a x C
a a
2 arccos dx x C a a
x x a
1ln tan
sin
dx ax b
C
ax b a
2 2 ln
dx a x a
C
a x
x x a
sin 1ln tan
dx ax b
C ax b a
ln ax b dx x b ln ax b x c
a
2
cos sin cos
ax
ax e a bx b bx
e bx dx C
a b
2 2
2
dx arcsin
2
x a x a x
a x C
a
2
sin cos sin
ax
ax e a bx b bx
e bx dx C
a b
(3)CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1 PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
a Đổi biến dạng 1:
Nếu f x( )F x( )C với u t hàm số có đạo hàm : f u du( ) F u( )C
PHƢƠNG PHÁP CHUNG
Bước 1: Chọn x t , t hàm số mà ta chọn thích hợp Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx' t dt
Bước 3: Biến đổi : f x dx( ) f t ' t dtg t dt
Bước 4: Khi tính : f x dx( ) g t dt( ) G t( )C
* Các dấu hiệu đổi biến thƣờng gặp :
Dấu hiệu Cách chọn
2
a x
Đặt x asint; với ; 2
t
x a cost;
với t 0;
2
x a
Đặt a t sin
x ; với ; \ 0 2
t
cos
a x
t
với 0; \
2
t
2
a x
Đặt x a tant; với ; 2
t
x a cott
với t 0;
a x
a x
a x
a x
Đặt xacos 2t
x a b x Đặt
( – )sin
x a b a t
2
a x Đặt xatant ; với t 2;
b Đổi biến dạng 2:
Nếu hàm số f x liên tục đặt x t Trong t với đạo hàm (' t hàm số liên tục) ta :
( ) ' ( ) ( )
f x dx f t t dt g t dtG t C
(4)PHƢƠNG PHÁP CHUNG Bước 1: Chọn t x Với x hàm số mà ta chọn thích hợp Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt' t dt
Bước 3: Biểu thị : f x dx( ) f t ' t dtg t dt( ) Bước 4: Khi : I f x dx( ) g t dt( ) G t( )C
* Các dấu hiệu đổi biến thƣờng gặp :
Dấu hiệu Cách chọn
Hàm số mẫu số có t mẫu số Hàm số : f x ; x t x
Hàm s inx+b.cosx s inx+d.cosx+e
a f x
c
tan ; osx
2
x
t c
Hàm
1
f x
x a x b
Với : x a 0 x b 0 Đặt : t x a x b
Với x a 0 x b 0 Đặt : t x a x b
2 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục K:
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
u x v x dxu x v x v x u x dx
Hay udvuvvdu ( với duu x dx dv’ , v x dx’ ) PHƢƠNG PHÁP CHUNG Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu dạng :
I f x dx( ) f x f x dx1( ) ( )2
Bước 2: Đặt : 1
2
' ( ) ( )
( ) ( )
du f x dx
u f x
v f x dx
dv f x
Bước 3: Khi đó: u dv u v v du
Dạng I:
sin ( ) cos
x
x
I P x x dx
e
(5)Đặt
( ) sin cos
x
u P x
x
dv x dx
e
' '( ) cos sin
x
u du P x dx
x
v x
e
Vậy
cos ( ) sin
x
x
I P x x
e
-
cos
sin '( )
x
x
x P x dx
e
Dạng II: I P x( ).lnxdx
Đặt
ln
( )
u x
dv P x dx
1
( ) ( )
du dx
x
v P x dx Q x
Vậy I lnx.Q x Q( ).x 1dx x
Dạng III sin cos
x x
I e dx
x
Đặt sin
cos
x
u e
x
dv dx
x
cos sin
x
du e dx
x v
x
Vậy cos
sin
x x
I e
x
-
cos sin
x
x e dx x
Bằng phương pháp tương tự tính cos sin
x
x e dx x
(6)TÍCH PHÂN 1 CƠNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN
( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x dxF x F b F a
* Nhận xét: Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu ( )
b a
f x dx
hay ( )
b a
f t dt
Tích phân phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số
2 TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
Giả sử cho hai hàm số f x( ) g( )x liên tục K a,b,c ba số thuộc K Khi ta có :
1 ( )
a a
f x dx
2 ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
3 ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
4 ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
5 ( ) ( )
b b
a a
kf x dxk f x dx
6 Nếu f x( ) 0, x a b; : ( ) ;
b a
f x dx x a b
Nếu ; : ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
x a b f x g x f x dx g x dx
Nếu x a b; Nếu M f x( )Nthì ( )
b a
M b a f x dxN b a
PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I ĐỔI BIẾN
a Phƣơng pháp đổi biến số dạng
Định lí Nếu 1) Hàm xu t( ) có đạo hàm liên tục ; 2) Hàm hợp f u t( ( )) xác định ; 3) u( ) a u, ( ) b
Khi đó: ( ) ( ( )) ( )'
b a
I f x dx f u t u t dt
(7)PHƢƠNG PHÁP CHUNG Bước 1: Đặt xu t
Bước 2: Tính vi phân hai vế : xu t( )dxu t dt'( )
Đổi cận: x b t
x a t
Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t
Vậy: ( ) ( ) '( ) ( )
b a
I f x dx f u t u t dt g t dt
G t( ) G( ) G( )
b Phương pháp đổi biến dạng
Định lí: Nếu hàm số uu x( ) đơn điệu có đạo hàm liên tục đoạn a b; cho
( ) ( ) '( ) ( )
f x dxg u x u x dxg u du thì:
( ) ( )
( ) ( )
u b b
a u a
I f x dx g u du PHƢƠNG PHÁP CHUNG
Bƣớc 1: Đặt '
( ) ( )
uu x duu x dx
Bƣớc 2: Đổi cận : ( ) ( )
x b u u b
x a u u a
Bƣớc 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo u
Vậy:
( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )
u b
b b
a a u a
I f x dxg u x u x dx g u du
II TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Định lí . Nếu u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục a b; thì: ( ) ( )' ( ) ( ) ( ) ( )'
b b
a a
b
u x v x dx u x v x v x u x dx
a
Hay
b a
udv
uvb
a
b
a
vdu
PHƢƠNG PHÁP CHUNG
Bƣớc 1: Viết f x dx( ) dạng udvuv dx' cách chọn phần thích hợp ( )
f x làm u x( ) phần lại dvv x dx'( ) Bƣớc 2: Tính duu dx' vdv v x dx'( ) Bƣớc 3: Tính '( )
b a
vu x dx
uvb
(8)Cách đặt u dv phƣơng pháp tích phân phần Đặt u theo thứ tự ưu tiên:
Lốc-đa-mũ-lượng ( )
b
x a
P x e dx
( ) ln
b a
P x xdx
( ) cos
b a
P x xdx
cos
b x a
e xdx
u P(x) lnx P(x) x
e
dv x
e dx P(x)dx cosxdx cosxdx
Chú ý: Nên chọn u phần f x( ) mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dvv dx' phần ( )
f x dx vi phân hàm số biết có ngun hàm dễ tìm
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 1 Tích phân hàm hữu tỉ
Dạng 1: I dx adx 1ln ax b
ax b a ax b a
( với a0)
Chú ý: Nếu ( ) ( )
( ) (1 )
k k
k
dx
I ax b adx ax b
ax b a a k
Dạng 2: I 2 dx a 0
ax bx c
(
0
ax bx c với x ; ) Xét b24ac
+ Nếu 0: 1 ; 2
2
b b
x x
a a
2
1 2
1 1 1
( )( ) ( )
ax bx c a x x x x a x x x x x x
:
1
1
1 2 2
1 1 1
ln ln ln
( ) ( ) ( )
x x
I dx x x x x
a x x x x x x a x x a x x x x
+ Nếu 0: 2
0
1
( )
b x
ax bx c a x x a
2
0
1
( ) ( )
dx dx
I
ax bx c a x x a x x
+ Nếu 0 2
2
2
2
dx dx
I
ax bx c b
a x
a a
Đặt
2
1
tan tan
2
b
x t dx t dt
a a a
Dạng 3: I 2mx n dx, a 0
ax bx c
(trong f x( ) 2mx n
ax bx c
(9)+) Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm A B cho:
2
2 2
( ) '
mx n A ax bx c B
ax bx c ax bx c ax bx c
2
(2 )
A ax b B
ax bx c ax bx c
+) Ta có I 2mx n dx A ax b(22 ) dx 2 B dx
ax bx c ax bx c ax bx c
Tích phân A ax b(22 ) dx Aln ax2 bx c
ax bx c
Tích phân 2 dx
ax bx c
thuộc dạng Tính tích phân ( )
( )
b a
P x
I dx
Q x
với P(x) Q(x) đa thức x
Nếu bậc P x( ) lớn bậc Q x( ) dùng phép chia đa thức Nếu bậc P x( ) nhỏ bậc Q x( ) xét trường hợp:
+ Khi Q x( ) có nghiệm đơn 1, 2, ,nthì đặt
1
1
( )
( )
n n
A
A A
P x
Q x x x x
+ Khi Q x( ) có nghiệm đơn vơ nghiệm
( ) ,
Q x x x pxq p q đặt
2 ( )
( )
P x A Bx C
Q x x x px q
+ Khi Q x( ) có nghiệm bội ( ) ( )( )
Q x x x với đặt:
2 ( )
( )
A
P x B C
Q x x x x
2
( ) ( ) ( )
Q x x x với đặt:
2 3
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P x A B C D E
x x x x x x x
2 Tích phân hàm vơ tỉ
( , ( ))
b a
R x f x dx
R x f x( , ( ))có dạng:
+) R x, a x
a x
Đặt xacos 2t, t 0;2
+) R x , a2x2 Đặt x asint x acost
+) R x, n ax b
cx d
Đặt
n ax b
t
cx d
(10)+)
2 , ( )
( )
R x f x
ax b x x
Với
' k ax
x b
x
Đặt
t x x t ax b
+) 2 ,
R x a x Đặt x a tant, ; 2
t
+) 2 ,
R x x a Đặt
cos
a x
x
, 0; \
t
+)
; ; ;ni
n n
R x x x Gọi kBSCNN n n 1; ; .; 2 ni Đặt k
x t
a Tích phân dạng :
2
0 ax
I dx a
bx c
Từ :
2
2
2 f(x)=ax
2
2
b
x u
b a
bx c a x du dx
a a
K a
Khi ta có :
* Nếu 0,a 0 f x( )a u 2k2 f x( ) a u2k2 (1) * Nếu :
2
0 ( )
( )
2
2
a b
f x a x b
f x a x a u
a
a
(2)
* Nếu : 0
+ Với a0 : f x( )a x x1xx2 f x( ) a xx1xx2 (3) + Với a0: f x( ) a x 1xx2x f x( ) a x1xx2x (4) Căn vào phân tích , ta có số cách giải sau :
Phƣơng pháp :
* Trường hợp : 2 2
0,a f x( ) a u k f x( ) a u k
Khi đặt :
ax bx c t a x
2
2
0
2 ;
2
2 ,
2
t c
x dx tdt
b a b a
bx c t ax
x t t x t t t c
t a x t a
b a
* Trường hợp :
2
0 ( )
( )
2
2
a b
f x a x b
f x a x a u
a
a
(11)Khi :
1
ln :
2
1 1
1
ln :
2 2 2
b b
x x
a a
a
I dx dx
b a b b b
a x x x x
a a a a a
* Trường hợp : 0,a0
- Đặt :
1
1
2 ax bx c a x x x x x x t
x x t
* Trường hợp : 0,a0
- Đặt :
1
1
2 ax bx c a x x x x x x t
x x t
b Tích phân dạng :
2
ax
mx n
I dx a
bx c
Phƣơng pháp :
+Bước 1: Phân tích
2
2 2
ax
( )
ax ax ax
A d bx c
mx n B
f x
bx c bx c bx c
+Bước 2: Quy đồng mẫu số , sau đồng hệ số hai tử số để suy hệ hai ẩn số A,B
+Bước 3: Giải hệ tìm A,B thay vào (1)
+Bước4 : Tính
2 ax
ax
I A bx c B dx
bx c
(2)
Trong
2
0 ax
dx a
bx c
biết cách tính c Tích phân dạng :
1
0 ax
I dx a
mx n bx c
Phƣơng pháp :
+Bước 1: Phân tích :
2
1
ax n ax
mx n bx c m x bx c
m
(1)
+Bước 2: Đặt : 2
2
1
1
1 1
ax
n
y t dy dx
x t m x t
n x
y m
x t bx c a t b t c
y y y
+Bước 3: Thay tất vào (1) I có dạng : '
2 '
dy I
Ly My N
(12)d Tích phân dạng : I R x y dx ; R x;m x dx
x
( Trong : R x y ; hàm số hữu tỷ hai biến số x y, , , , số biết ) Phương pháp :
+Bước 1: Đặt : t m x
x
(1)
+Bước 2: Tính x theo t cách nâng lũy thừa bậc m hai vế (1) ta có dạng x t +Bước 3: Tính vi phân hai vế : dx' t dt đổi cận
+Bước 4: Tính :
' '
;m x ; '
R x dx R t t t dt
x
3 Tích phân hàm lƣợng giác Một số cơng thức lƣợng giác a Công thức cộng:
cos(a b )cos cos sin sina b a b sin(a b ) sin cosa bsin bcosa
tan tan
( )
1 tan ta t
n
an a b
b b
a
a
b Công thức nhân:
2
2 2
2 cos cos – sin 2cos –1 1– 2sin tan
1 tan
a a a a a a
a
2 sin 2sin cos tan
1 tan
a
a a
a a
; tan 2 tan2
1 tan
a a
a
3
cos34cos 3cos
; sin 3 3sin4sin3 c Công thức hạ bậc:
sin2 cos 2
a
a ; cos2 cos 2
a
a ; tan2 cos cos
a a
a
3 3sin sin sin
4
; cos3 cos 3cos
d Cơng thức tính theo t : tan
a t
2 sin
1
t a
t
2 cos
1
t a
t
2 tan
1
t a
t
(13)
1
cos cos cos( ) cos( )
2
sin sin cos( ) cos( )
2
sin cos sin( ) sin( )
2
f Cơng thức biến đổi tổng thành tích:
Một số dạng tích phân lƣợng giác Nếu gặp sin .cos
b a
I f x xdx Đặt tsinx Nếu gặp dạng cos .sin
b a
I f x xdx Đặt tcosx Nếu gặp dạng tan 2
cos
b a
dx
I f x
x
Đặt ttanx Nếu gặp dạng cot 2
sin
b a
dx
I f x
x
Đặt tcotx I Dạng 1: I1=sinxndx ; I2cosxndx
2 Phƣơng pháp
2.1. Nếu n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc
2.2. Nếu n3 sử dụng công thức hạ bậc biến đổi theo 2.3 2.3. Nếu n lẻ (n2p1) thực biến đổi:
n 2p+1 2
1 = sin dx = sin dx sin sin cos cos
p p
I x x x xdx x d x
0 2
cos k k cos k p p cos p cos
p p p p
C C x C x C x d x
2 2
0 1 1
cos cos cos cos
3 2
k p
k p
k p
p p p p
C x C x C x C x C
k p
n 2p+1 2 2
= cos dx = cos dx cos pcos sin p sin
I x x x xdx x d x
cos cos cos cos
2
cos cos sin sin
2
sin sin sin cos
2
sin sin cos sin
2
sin( ) tan tan
cos cos sin( ) tan tan
cos cos
Hệ quả:
cos sin cos sin
4
cos sin cos sin
4
Công thức thƣờng dùng:
4
6
3 cos cos sin
4 3cos cos sin
8
(14)
0 2
2
0
sin sin sin sin
1
1
sin sin sin sin
3 2
k p
k k p p
p p p p
k p
k p
k p
p p p p
C C x C x C x d x
C x C x C x C x C
k p
II Dạng 2: m n
J = sin x cos x dx Với (m n, *) 1 Phƣơng pháp:
1.1 Trường hợp 1: m n, số nguyên
a Nếu m chẵn, n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng b Nếu m chẵn, n lẻ biến đổi:
m 2p+1 2 2
= sin cos sin m cos pcos sin m sin p sin
I x x dx x x xdx x x d x
0 2
1 2
0
sin sin sin sin sin
sin sin sin sin
1 2
k p
k p
m k p
p p p p
m m k m p m
k k p p
p p p p
x C C x C x C x d x
x x x x
C C C C C
m m k m p m
c Nếu m chẵn,
n lẻ (n 2p 1) biến đổi:
2p+1 n 2 2
sin cos cos n sin psin cos n cos p cos
I x x dx x x xdx x x d x
0 2
1 2
0
cos cos cos cos cos
cos cos cos cos
1 2
k p
n k k p p
p p p p
n n k n p n
k k p p
p p p p
x C C x C x C x d x
x x x x
C C C C C
n n k n p n
d Nếu
,
m n lẻ sử dụng biến đổi 1.2 1.3 cho số mũ lẻ bé 1.2 Nếu m n, số hữu tỉ biến đổi đặt usinx
21 2 21
sin cos sin cos cos
n m
m
m n m
B x xdx x x xdx u u du
(*)
• Tích phân (*) tính số 1; 1;
2 2
m n m k
nguyên
III Dạng 3: I1 =tanxndx I; 2 =cotxndx (n )
•
2
1 tan tan tan
cos
dx
x dx d x x C
x
•
2
1 cot cot cot
sin
dx
x dx d x x C
x
• tan sin cos ln cos
cos cos
d x
x
xdx dx x C
x x
• cot cos sin ln sin
sin sin
d x
x
xdx dx x C
x x
(15)ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1 Diện tích hình phẳng
a) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x( ) liên tục đoạn a b; , trục hoành hai đường thẳng xa, xb xác định: ( )
b a
S f x dx
b) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x( ), yg x( ) liên tục đoạn a b; hai đường thẳng xa, xb xác định: ( ) ( )
b a
S f x g x dx
Trên a b; hàm số f x( ) không đổi dấu thì: ( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx
Nắm vững cách tính tích phân hàm số chứa giá trị tuyệt đối Diện tích hình phẳng giới hạn đường xg y( ),
( )
xh y hai đường thẳng yc,yd xác định: ( ) ( )
d c
S g y h y dy
2 Thể tích vật thể thể tích khối trịn xoay a) Thể tích vật thể:
Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; ( )
S x diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x, (a x b) Giả sử S x( ) hàm số liên tục đoạn a b;
b) Thể tích khối trịn xoay:
b
a
S x dx
V ( )
x
O a b
( )
S(x)
x
1
2
( ) : ( )
( ) : ( )
( )
C y f x
C y f x
H
x a x b
1
( )C
2
( )C
b
a
S f x1( ) f x dx2( )
a c1 y
O c2 b x
( ) ( )
y f x y 0 H
x a x b a c1 c2
( )
y f x y
O c3 b x
b
a
(16)- Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y f x( ), trục hoành hai đường thẳng xa, xb quanh trụcOx:
- Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường xg y( ), trục hoành hai đường thẳng yc, yd quanh trục Oy:
- Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới
hạn đường y f x( ), yg x( ) hai đường thẳng xa, xb quanh trục Ox:
2
( ) ( )
b a
V f x g x dx
( ) : ( ) ( ) :
C y f x
Ox y 0
x a
x b
2
( )
b x
a
V f x dx a
( )
y f x y
O b x
c y
O d
x
( ) : ( ) ( ) :
C x g y Oy x 0 y c y d
2
( )
d
y c
(17)BÀI TẬP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP
1 (7x3)dx
16.
3 2
x x
dx
2 dx x
x x
3
5 17.
dx
x x
2 )
(
3 x dx
x )
3
( 18.
x dx x
cos
sin
4
2
x x
dx x
19.
dx
x x
2
5. dx
x x x
2
3
20.
5
x x
xdx
6. dx
x x
2 2
)
( 21.(tanx -cotx)2dx
7.
dx x x x
3
22.
dx
x x
e
8 2 x33 x2 2dx 23.
211 1
x
dx
x x
9 dx x x
3
4 24.
dx
x e
10
2
3x x x dx x
25
dx
x
x x
2 cos
e e
11 sin2xdx 26 23x1dx 12 sin2x.cos3xdx
27.
x dx x
sin
cos3
13.sin(2x1)dx 28 cos3xsinxdx
14. xdx
2 sin
2 29 xdx
2 tan
15
)
( x
dx
30
dx
x x
(18)BÀI TẬP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
1 (3x2)10dx 21.
dx
x x
3 2
3
2 53xdx
22 dx x e x
3 x2 1.xdx 23.
2014
x xdx
4
3 5x
dx
24.
)
( x
dx
5 (x3 5)4x2dx 25.(2x2 1)7xdx
6 x x1.dx 26.sin2014xcosxdx
7.x.ex21dx 27. dx
x x
5 cos
sin
8 dx
x x
ln3 28.cotgxdx
9.x2 x31.dx
29.
x tgxdx
2 cos
10.x3 x2 1.dx 30.tgxdx
11. 3x xdx
sin cos
31.
2 x
dx x
12.
)
( x
x dx
32.
5 2x
e dx
13. 1
x
e
dx 33.x2 1x2.dx
14
2
x x
dx
34
( ln )
x x
xe
dx
x e x
(19)15
3
x x
e dx
e 35.
x dx
sin
16 1x2.dx 36.
x dx
cos
17
x
dx
37
tanxdx
18 x
dx
38
cotxdx
19 dx
x etgx
2 cos
39 (s inx+ cos ) s inx cos
x dx x
20 e x xdx
sin cos
40 sin3xdx
BÀI TẬP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƢƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
1 x.sinxdx 21. xlnxdx
2 xcosxdx 22.lnxdx
3 (x1)sinxdx 23.ln2 xdx
4 xsin2xdx 24.x2lnxdx
5 xcos2xdx 25.sin x dx
6 x.exdx 26.
x xdx
ln
7 xlnxdx 27. dx
x x
2 ) ln(
8 x2cosxdx
28.xln(1x2)dx
(20)10 xsin2 xdx 30.ln(x2 1)dx
11.x3ex2dx 31.(2x3)lnxdx
12.x2cos2xdx
32 dx
x x x x
1 ln
2
13.(x2 2x3)cosxdx 33.1tanxtan2 xexdx
14.ex.cosxdx 34.cos lnxdx
15. dx
x x
2 cos
35.2xln(1x)dx
16.xtan2xdx 36. dx
x x x
ln11
17.(2x3)exdx 37.x2ln2xdx
18.x2exdx 38.cosx.ln(1cosx)dx
19.e xdx 39.e2xcosxdx
20 ex xdx
sin 40. dx
x x
cos ) ln(cos
(21)CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
Ví dụ 1: Tính tích phân I=
2
(x 2x1)dx
Giải:
I =
2
(x 2x1)dx
=
4
2
1
1
1 2 1
4 4
x
x x
Ví dụ 2: Tính tích phân I=
1 1
x
e dx
Giải:
I=
1 1
x
e dx
=
1
1
1
( )
3
x
e
e e
Ví dụ 3: Tính tích phân
sin
sin
x cosx
I dx
x cosx
Giải:
2
4
sin
sin 2
ln sin ln
sin sin
4
d x cosx
x cosx
I dx x cosx
x cosx x cosx
Ví dụ 4: Tính tích phân
dx I
cosx
Giải:
2 2
2
0 0
2
tan
1
2
2
x d
dx dx x
I
x x
cosx
cos cos
(22)TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP
1 I = )
( x x dx 16 I =
1 dx e x
2 I =
1 ) 2
( x x dx 17 I =
1
(exx dx)
3 I =
2
(exx 1)dx
18 I =
02cos3 sin dx x x
4 I = 3 2 dx x x x x
19.I =
sin x dx
I =
1
(x x x dx)
20 I =4
0 4 ) cos (sin dx x x
6 I =
2
3
-1
x - 2x - x2 dx
21 I =
2 6 ) cos (sin dx x x
7 I = dx
x x
22 I = x x dx
3 cot tan
8 I=
e dx x x x x x
23 I =
3 sin x dx cos x
9 I = dx
x x 3
24 I = dx
x 2 4 sin
10 I = dx
x x x x e 3 11
25 I = dx
x cos 1
11 I =
( x1)(x x1)dx
26 I = cos2x(sin4x cos4 x)dx
0
12 I =
1
sinxdx 27 I =
4 sin dx x
13 I =
cos
xdx 28 I =
3 2 sin dx x
14 I =
tan
xdx 29 I =
(23)15 I =
cot
xdx 30 I =2
0
1 cos x dx 1 cos x
LUYỆN TẬP DÙNG VI PHÂN
1/
1
2
11
dx I
x
6 I = 2cox xcos2xdx
0
2. I =
x
x
e
dx
e 1
I = x dx
sin 3
1
2
3
3
(1 )
I x x dx
8 I = xdx
2
5 sin
4 22
3
3
I x dx 9. I = 2
0
sin 2x(1 sin x) dx
5 I = x x 2015dx
3
2 ) ( ) (
10. I =
e
1
sin(ln x) dx x
LUYỆN TẬP DÙNG VI PHÂN 2
1
3
I cos xdx
4
1
I dx
x
2 I= dx
x e x
4
0
2 tan
cos
7 I = sin x2
e sin 2x dx
3. I= x x2 2015dx
3
) (
8 I =
2
0
1 2sin x
dx
1 sin 2x
4
3
0
I x x dx
9 I =
sin x.ln(cos x)dx
5. I =
1
2
x dx
4 x
10. I =
4
tgx dx x
(24)2 PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
a Phƣơng pháp đổi biến số dạng
Định lí Nếu 1) Hàm x u t( ) có đạo hàm liên tục đoạn ; , 2) Hàm hợp f u t( ( )) xác định ; , 3) u( ) a u, ( ) b,
'
( ) ( ( )) ( )
b a
I f x dx f u t u t dt
PHƢƠNG PHÁP CHUNG Bƣớc 1: Đặt x = u(t)
Bƣớc 2: Tính vi phân hai vế: xu(t)dxu'(t)dt Đổi cận:
t t a x
b x
Bƣớc 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t
Vậy:
dt t g dt t u t u f dx x f I
b
a
) ( )
( ' ) ( )
( ( ) () ()
G G
t
G
* Các dấu hiệu đổi biến thƣờng gặp :
Dấu hiệu Cách chọn
2
a x
Đặt x = |a| sint; với ; 2
t
hoặc x = |a| cost; với t 0; 2
x a
Đặt x = a
sint ; với t 2; \
hoặc x = a
cost ; với t 0; \
2
a x
Đặt x = |a|tant; với ; 2
t
hoặc x = |a|cost; với t0;
a x
a x
a x
a x
Đặt x = acos2t
(25)2
a x Đặt x = atant; với t 2;
Ví dụ 1:
2
1x dx
Giải: Đặt x=sint với : ;
2
t
dx=costdt
Đổi cận:
x
t
2
Do : f(x)dx= 2 1
1 sin ostdt=cos os2t
2
x dx tc tdt c dt
Vậy :
1
0
1 os2t 1 1
( ) sin 2
2 2 2
0
c dt
f x dx t t
Ví dụ 2: Tính
2
0
.I x 1x dx
Giải: Đặt x = sint, ;
2
t
. dx = costdt
Đổi cận:
x
t
2
Khi đó:
2
0
.I x 1x dx
2
2
0
sin t sin t costdt
2
0
sin
4 tcos tdt
2
0
sin
4 tdt
2
1
8 cos t dt
1sin
8
0
t t
16
Ví dụ 3: Tính
1
x
I dx
x
Giải: Ta có:
1 3
2
8 4
0
1 1
x x
dx dx
x x
(26)Đặt x4 tant với 1
; tan
2
t x dx t dt
Đổi cận:
x 0
t
4
Khi đó:
1 3 4
2
8 4
0 0
1 tan 1
1 1 tan 4 16
0
x x t
I dx dx dt dt t
x x t
Ví dụ 4: Tính
1 2
4
1
x
I dx
x x
Giải:
Ta có:
1 5
2
2 2 2
2
2
1 1
2
1
1 1
1
1 1
1 1
x x x
dx dx dx
x x
x x
x x
Đặt t x dt 12 dx
x x
Đổi cận:
x 1
2
t
Khi đó:
2
dt I
t
Đặt
tan tan
t udt u du
Đổi cận:
x
t
4
Vậy
1 4
2
0 0
1 tan
1 tan
0
dt u
I du du u
t u
Ví dụ 5: Tính dx x x
2
2 sin
cos
(27)Đặt sinx = tant với
; tan
2
t cosxdx t dt
Đổi cận:
x
2
t
4
Khi đó:
2
2 4
2
0 0
1 tan
1 sin tan
cosx t
I dx dt dt
x t
b Phương pháp đổi biến dạng
Định lí: Nếu hàm số u u x( )đơn điệu có đạo hàm liên tục đoạn a;b cho u x u x dx g u du
g dx x
f( ) ( ) '( ) ( ) thì: ) (
) (
) ( )
(
b u
a u b
a
du u g dx x f
I
PHƢƠNG PHÁP CHUNG
Bƣớc 1: Đặt uu(x)duu'(x)dx Bƣớc 2: Đổi cận :
) (
) (
a u u
b u u a x
b x
Bƣớc 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến u
Vậy:
) (
) (
) ( )
( ' ) ( )
(
b u
a u b
a b
a
du u g dx x u x u g dx x f I
Ví dụ 1: Tính
ln 2
3
3
x x x x
e e
I dx
e e
Giải: Đặt x
e
t dt exdx
Đổi cận:
x ln2
t
Khi đó:
ln 2 ln 2
2 2
0 1
2
1
3 3
3 3 2
2
1 27
2 ln ln 2 ln ln ln ln ln ln ln ln ln
1
1 2 16
x x x
x
x x x x
e e e t
I dx e dx dt dt
e e e e t t t t
dt dt t t
t t
Ví dụ 2: Tính
1 ln
x
I dx
x
(28)Giải:
Đặt ln 2
2
dx
t x dt
x
Đổi cận:
x 1
t ln2
Khi đó:
1 ln 2
0 ln
ln
ln ln
2 2
x t
I dx tdt tdt
x
BÀI TẬP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG
Luyện tập
1 I =
1
2
1
dx x
KQ:
2
1
1
dx x x
I KQ: 2
2 I =
2
2
1
dx
x x
KQ:
6
7 dx
x x
I
2 /
0
2
KQ: 1
2
I
3
a
dx x a x I
0
2 2
KQ: 16
4
a
8 dx
x x
I
0 1
1
KQ: 1
4
1
2 2
1
x
I dx
x
KQ:
1 dx
x x
I
6
2
KQ: 36
5
4
x
I dx
x x
KQ: 18
3
10 dx
x x
I
0
1
KQ:
9
Luyện tập
1. I =
3
2 x x2
dx
KQ: 12
11 I x dx
3
2
4 KQ:
2 I xdx
x
2
2
KQ: 2 12
1
5 4x x
dx
I KQ:
(29)3 I x x dx 2 KQ: 3 2
13 x x dx
1
2 2
0
1 1
KQ:
8 12
4. I=
1 dx
x x
KQ:
3 8 14 dx x a x a I a
KQ:
a
5 I=
4 tan tan cos sin
x x x
xdx KQ: 3 ln
2 15 1 I dx x x
KQ:
18
6 dx
x x
I
3 2
KQ:
2 2 ln
16 dx
x x I
KQ: 3
7 I x x dx
1 KQ: 2
17 dx
x x dx I 2 KQ:
8 I x dx
2 KQ: 3
18 I x xx dx
2
2
2 KQ: 2 2 a x a dx
I a0 KQ:
19/ dx
x x x I cos cos tan
KQ:2
10 a x a dx I
2 a0 KQ:
a
4
20
1
3
1
I x dx KQ: 16 3
BÀI TẬP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG
Luyện tập
1
3
0
.I x 1x dx
KQ: 15 1 ln e x I dx x
KQ: 2 1
3 2 1 x x I dx x
KQ:
5 54 x I dx x x
KQ:
15 15
2
(30)3 1 ln e I dx x x
KQ:-ln2
1
15
0
I x x dx KQ:
270 29 dx I x x
KQ: ln 1 dx I x x
KQ:
4 ln
5
1
4
1
I x x dx KQ:
20 31
10 I =
3
3
3
x
dx
x x
KQ:
2 ln 3
Luyện tập
1 tan cos
x
I dx
x KQ: ln 1
11 I x dx
x x
2
3
cos2 (cos sin 3)
KQ:
32
2
ln
ln 2
x x x e dx I e e
KQ: 2ln3 - 12. I x x dx
1
5
0
(1 )
KQ: 168
1
3 I dx
x x 4 sin cos
KQ:
4
8 13.I x dx
x 3 KQ:
4 I = dx
x x
3
4
4 sin cos
KQ: 48 31
14.I x dx
x sin cos2
KQ: ln 2 2
5 I xdx
x x
4
2
tan cos cos
KQ: 3 15
x I dx x x 1
KQ:
5 ln 27 100
6 I dx
x x 43 1 ( 1)
KQ: ln23
1 16.
5
ln( 1)
1 x I dx
x x KQ:ln ln
2
7 I x dx
x
4
2
1
KQ: 22ln2 17
x
(31)8 I
4
2 1
1
dx x x
KQ:
4 ln
2 18 I x x xdx
2
6
1
2 cos sin cos
KQ:
91 12
9 I x xdx
x
4
cos sin sin2
KQ:
12
19 I x dx
x
1
KQ:
18
10
x x x x
e e
I dx
e e
ln3
0
2
4
KQ:
3 ln 8
20
x
I dx
x
4
2
1
1
KQ: 2ln2
4
3 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Định lí . Nếu u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục a b; thì:
' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
b
u x v x dx u x v x v x u x dx
a
Hay
b a
udv a b uv
b a
vdu
PHƢƠNG PHÁP CHUNG
Bƣớc 1: Viết f(x)dx dạng udvuv dx' cách chọn phần thích hợp f(x) làm u(x) phần lại dvv'(x)dx
Bƣớc 2: Tính duu'dx vdv v'(x)dx Bƣớc 3: Tính
b a
dx x
vu'( )
a b uv
*Cách đặt u dv phƣơng pháp tích phân phần Đặt u theo thứ tự ưu
tiên: Lốc-đa-mũ-lượng
( )
b
x a
P x e dx
( )ln
b
a
P x xdx
( ) cos
b
a
P x xdx
cos
b x a
e xdx
u P(x) lnx P(x) x
e
dv x
e dx P(x)dx cosxdx cosxdx
Chú ý: Nên chọn u phần f(x) mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dv v dx' phần f(x)dx vi phân hàm số biết có ngun hàm dễ tìm
(32) Dạng
sin ( )
ax
ax f x cosax dx
e
Đặt
( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e
Dạng 2: f x( ) ln(ax dx)
Đặt ln( ) ( )
( )
dx du
u ax
x
dv f x dx
v f x dx
Dạng 3:
dx bx bx eax
cos sin
Đặt
1
cos sin
ax
ax du ae dx
u e
dv bxdx v bx
b
Hoặc
1
sin cos
ax
ax du ae dx
u e
dv bxdx v bx
b
Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân phần hai lần sau trở thành tích phân ban đầu Từ suy kết tích phân cần tính
Ví dụ 1: Tính
2
x
I xe dx
Giải
Đặt 2 1 2
2
x x
du dx
u x
v e
dv e dx
Áp dụng cơng thức tính tích phân phần:
1 1
2 2 2 2 2
0 0
1
1 1 1 1 1
2
0
2 2 4 4
x x x x x e
I xe dx xe e dx e e d x e e e e
Ví dụ 2: Tính
2
os3xdx
x
e c
Giải: Đặt: u = e2x
, du= 2e2xdx dv = cos3xdx, v =sin 3x
3
2
2x 2x
1
0
sin 3x 2 2
sin 3x dx=
3 3 3 3
e
I e e I
Tính I1 Đặt
2x 2x
' 2e
ue u
sin 3x, v'= -cos3x
(33)2 2
2 x x x
1
0
0
os3x
sin 3x dx os3x dx
3
c
I e e e c
3 I
Do đó:
2
3 3 9
3e
13
e e
I I I
I
Ví dụ 3: Tính
sin
sin
x
I e xdx
Giải:
2
sin sin
0
sin 2 sin
x x
I e xdx e xcosxdx
Đặt t = sinx dt = cosxdx
Đổi cận:
x
2
t
Khi đó:
1
sin
0
2 xsin t
I e xcosxdx te dt
Đặt:
t t
u t du dt
dv e dt v e
Áp dụng cơng thức tính tích phân phần:
1
0
1 1
1
0 0
t t t t t
te dtte e dtte e
Vậy I =
Ví dụ : Tính
2
ln sin
I cosx x dx
Đặt: ln sin sin
os
sin
cosx
u x du dx
x
dv c dx
v x
(34)
2
6
1
2 2
ln sin sin ln sin in ln sin sin ln
2
6 6
I cosx x dx x x cosxdx x x x
Ví dụ 5: Tính
1
4 ln
e
I x xdx Đặt:
ln
2
dx
u x du
x
dv x dx
v x x
Áp dụng công thức tính tích phân phần:
1
4 ln ln 2
1
e e
e e
I x xdx x x x x dx e e x x e
BÀI TẬP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1
1
3
3 x
I x e dx
KQ: e
16
1
2
ln
I x x dx KQ:
2 ln 2 cos x
I e xdx
KQ: 2 e
17 I x xdx
x sin cos
KQ:
2
3
ln3
2 x
I x x e dx KQ:ln238ln312e 18 I e x xdx sin sin KQ:
ln(x 1)
I dx
x
KQ:2 ln 5ln
19. I = x dx
x
2
ln( 1)
KQ: ln3
2 ln
3
5 2 sin xdx x
I KQ: 16 20 sin xdx I x
KQ:
2 ln 36 ) ( 3
x sin x
I dx.
cos x
KQ:
3 ln
21 I = 2
2
2x osc xdx
KQ:
8 2
7 I x dx
3 2
1
KQ: ln2
4 1 ln 2
5 22 I =
2 2 x x e dx x
(35)8
1 sin
osx
x
x
I e dx
c
KQ:
e
23 I x xdx
2
ln KQ: 2-3ln3
9 I x x dx
2
sin ln(1 sin )
KQ:
2
24 I e x xdx
2
2 cos3
KQ:
13
e
10 I x dx
x
8
ln
KQ:20ln26ln34 25
2
1
1
( )
x
x
I x e dx
x KQ:
2
e
11
1
2
2 x
I x e dx KQ:
3 5 e2
26 I x xdx
0
2
cos
KQ:
8 2
12. I =
4
4 sin
x x xdx
KQ:
8
2
27 I xdx
e
3
ln
KQ: 6-2e
13 I xexdx
1
3 KQ:
2
28 I xe x x dx
1
1 KQ: 28
9
14 I x xdx
e
2
ln KQ: 32
1 5e4
29.I 3x xdx
4
tan
KQ: 1 3 ln
24
15
0
2
1 ln x dx x
I
KQ:
6 ln
1
30
e x
I x dx
x x
2
ln ln
1 ln
KQ:
3 2 3e
(36)BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ 5x x dx I
KQ: ln 16 dx x x x I 1 KQ: 1
2 2 x I dx x x
KQ: 3ln2 ln
3 17
x I dx x 2001 1002 (1 ) KQ: 1001 2002
3.I x dx
x 3
KQ:
12 ln
1 18
x I dx x 2 1
KQ:
1 2 ln 2
4.I x dx
x x
2
2
1 12
KQ: 25ln2 16ln3 19 I x xx dx 11
KQ: ln2 dx x x I 1 )
( KQ: ln2 3
20 dx
x x x I 4 4
KQ: 3ln2
2 3 1 2 x x dx I KQ: ln 2
21
x I dx x 99 101 KQ: 900 2100
7 dx x x x I 3 ) ( KQ: ln 15 22 dx x x I 2
KQ: ln 2 3 x x dx I
KQ: ln 23 dx x x x I 1
9 I x dx
x
1
2 0(1 )
KQ: 24 ) (x x dx I
KQ: 117 41
135 12
10
2 2x x dx
I KQ:
2 25 (2 1) x dx I x x
KQ: ln2
8 3
(37)12 I x dx x 1
KQ: 12
27
01 dx x x
I KQ: 11 4ln2
3
13 dx
x x I KQ: 28 dx x x x I 2 5 ) (
KQ:
165 31 33 ln ln
1
14 I dx
x x
KQ:
8 ln 2 ln
3
29.
2 ) (x dx
I KQ:
8 1
15 I dx
x x
3
6
1 (1 )
KQ: 117 41 135 12
30.
0 2 3 9 dx x x x x x I KQ: ln 19 ln
33
BÀI TẬP TÍCH PHÂN LƢỢNG GIÁC
1 4 I dx cos x KQ:
4 16 I =2 3
0
( cos x sin x )dx
KQ:
2
3
0
sin
I xcos xdx
KQ:
12
1 17
2
0
3sin cos 3sin cos
x x
I dx
x x
KQ: ln3
6 2 sin x I dx cos x
KQ: ln2 18
x I dx x tan( ) cos2
KQ: 1 sin I xdx
KQ:
19.I =
2
2
0
os cos
c x xdx
KQ:
8
5 I =
3 2 s inxcos os x dx c x
KQ:
2 ln 1
20 I =
4sin s inx+cosx xdx
KQ:
6
2 2
0 sin sin xcosx I dx
a cos x b x
KQ:
b
a
1
21 I =
3
1 s inxsin x+
6 dx
KQ:
(38)7.I =
2
10 10 4
0
sin x cos x sin xcos x dx
KQ:
64 15
22 dx
x x x I 2 cos sin 2 sin KQ: ln
8
2
2
sin
I xcosx cosx dx
KQ:
12 17
23 I =
2
3
0
sin xcos xdx
KQ: 35 12 sin I dx x cosx KQ:
3 24 I = 11
0
sin xdx
KQ: 21 118 10 4 sin sin x I
x cos x
KQ: ln2 25. dx
x x
I
0 cos2 cos KQ:
11. I =
2
02 s inx+cosx
dx KQ:
arctan 2 arctan 26 dx x x I /3
0 cos sin KQ: ln 5 I
12 I = 4 os sin c x dx x KQ: 12 23
27 / cos x
0
e sin 2xdx
KQ: 2(e - 2)
13. I = 2 sin os x dx c x KQ: ln 28 2 os3xdx x e c
KQ:
13 e 14 tan dx I x KQ: ln 29 sin cos
x x
I dx x KQ: 2 2 ln 15 sin x I dx cos x
KQ:
(39)BÀI TẬP TÍCH PHÂN LƢỢNG GIÁC tan I xdx
KQ: 1 ln2
1
11 I x dx
x x
4
2
tan cos cos
KQ:
3 3
2 4 cos sin
x x
dx I KQ: 12 2
tg x cot g x 2dx
KQ: ln2
3 I xdx
x 2 sin sin3
KQ: ln2 3
1
13 I x dx
x x 4 sin sin cos
KQ:2
4 x x I dx x cos2 sin2
KQ:
16 14 6 sin os sin x dx
c x x
KQ: ln2
5 I x dx
x x 6 sin sin cos KQ: 15 x I dx x x sin sin cos
KQ:
6
6 I x xdx
x
2
2
sin cos cos
KQ
12
7
16 dx
x x x I 3 6 sin sin cos
KQ: ln
7 I x x dx
2 sin sin
KQ:
2
17 Iex xdx
1
2 ) (
sin KQ:
4 1 e I
8 I x e dxx
x
2
1 sin . cos
KQ:
e 18 dx
x x x I 2 cos cos sin
KQ: 1 ln2
1
9 dx
x x I
2sin 4 sin
KQ:0 19
2 sin xdx e I x KQ: 20 e 10 1 sin 2xdx
KQ:1 20 dx
(40)NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI
1.
1
x x
(2x 1)e dx
(ĐH Dược_81 )
2. Với x 0; 4
xác định a,b cho 1 a cos x bcos x cos x 1 sin x 1 sin x 3. Tính
/
3
dx dx
I J
cos x cos x
(ĐH BK TH_82)
4. /
sin x cos x 1 dx sin x 2cos x 3
(Bộ Đề)
5.
3
(3x 1)dx (x 3)
(Bộ Đề)
6.
3
xdx (x 1)
(Bộ Đề)
7.
4
x 1 dx
x 1
(Bộ Đề)
8. 2x
0
e sin xdx
(Bộ Đề)
9. /
cos xdx 2 cos 2x
(Bộ Đề)
10.
2
dx
x 2x cos 1 ,(0< < )
(Bộ Đề)
11. 2a
2
a
x a dx ,(a>0)
(Bộ Đề)
12.
/
0
4sin xdx 1 cos x
(Bộ Đề)
13. a
2
0
x a dx
(Bộ Đề)
14.
0
1 sin xdx
(Bộ Đề)
15. /
2
/
dx sin x cos x
(Bộ Đề)
16.
dx
x 1 x 1
(41)17. Gpt x
2
(ux )du sin x
(Bộ Đề)
18. b
2
x ln xdx
(BK_94)
19. /
2
x cos xdx
(BK_94)
20.
2 /
dx x x 1
(BK_95)
21.
cos x sin xdx
(BK_98)
22.Cho hàm số: f(x)sin x.sin2x.cos5x
a. Tìm họ nguyên hàm g(x) b. Tính tích phân:
2 x
f(x)
I dx
e 1
(BK_99)
23.
ln 2x x
e
dx e 1
(BK_00)
24.
x 1 dx x 1
(XD_96)
25. /
cos x 2sin x dx 4cos x 3sin x
(XD_98)
26.
3
3dx 1 x
(XD_00)
27.
4
0
dx x 4x 3
(ĐH Mỏ_95)
28. /
2
/
tg x cot g x 2dx
(ĐH Mỏ_00)
29. / /
dx
sin x sin(x / 6)
(ĐH Mỏ_00)
30.
6
/
x /
sin x cos x
dx
6 1
(ĐH Mỏ_01)
31.
2
ln(x 1) dx x
(42)32. /
3
sin xdx sin x cos x
(ĐH GT VT_95)
33.
5
0
x x dx
(ĐH GT VT_96A)
34. 1/
3x
2
0
x 1
5 dx
4x 1 sin (2x 1)
(ĐH GT VT_97)
35. /
3
x 1 dx 3x 1
x
4
(10 sin x)dx
(ĐH GT VT_98)
36.
1
1
x
I dx x.arctgxdx
5 4x
(ĐH GT VT_99)
37. /
2 /
x cos x dx 4 sin x
(ĐH GT VT_00)
38.
/
3
5cosx 4sin x
dx
(cosx sin x)
(ĐH GT VT_01)
39.
/
4
0
cos x
dx cos x sin x
(ĐH GTVT HCM_99)
40.
/ /
sin x dx cos x
(ĐH GTVT HCM_00)
41.
2
2
x 1 dx x x 1
(HV BCVT_97)
42.
/
2
sin x cos x dx 1 cos x
(HV BCVT_98)
43.
1
x
x dx 1 2
(HV BCVT_99)
44.
0
x sin x cos xdx
(HV NH_98)
45.
/
2
0
I cos x cos 2xdx
/
2
0
J sin x cos 2xdx
(43)46. /
2
x sin x dx cos x
1
2
x
dx x x 1
(HV NH HCM_00)
1
2
2
0
sin 4x
x ln(x 1)dx dx
1 cos x
47.
0
1 sin xdx
(ĐH NThương_94)
48.
1
2
0
dx x 3x 2
dx x 3
(x 3x 2)
(ĐH NThương_99)
49.
/
3
cos2x
dx
sin x cos x 2
(ĐH NThương_00A)
50.
1
2
x 2x 10x 1 dx x 2x 9
(ĐH NThương_00)
1 2
x 3x 10 dx x 2x 9
51.
/
6
0
sin 4x
dx
sin x cos x
(ĐH NThương_01A)
52.
2
2
I ln(x 1 x ) dx
(ĐH KT_95)
53.
5
0
x (1 x ) dx
(ĐH KT_97)
54.
/
4
0 dx
I dx
cos x x 1
1
0
x J =
(ĐH TM_95)
55.
x xdx
(ĐH TM_96)
56.
7 ln x
x
3
0
x 1 e
I dx dx
1 e 1 x
J =
(ĐH TM_97)
57.
ln x
dx
e 5
(44)58.
2
dx
x (1 x)
(ĐH TM_99)
59. /
3
4sin x
dx (sin x cos x)
(ĐH TM_00)
60. 11
sin xdx
(HV QHQT_96)
61. /
2
0
sin x cos xdx
(ĐH NN_96)
62. e
2 1/
ln x dx (1 x)
(ĐH NN_97)
63. /
2
cos x cos 4xdx
(ĐH NN_98)
64. /
3
x 1 dx 3x 1
(ĐH NN_99)
65.
1
2
(1 x x ) dx
(ĐH NN_01D)
66. /
x
0
e cos xdx
(ĐH Thuỷ Lợi_96)
67.
1 cos 2xdx
(ĐH Thuỷ Lợi_97)
68.
3 2
4
1
x 1 dx
I dx
x x 1 J = x(x 1)
(ĐH Thuỷ Lợi_99)
69.
/
0
ln tgx dx
(ĐH Thuỷ Lợi_01A)
70. /
2
0
3sin x 4cos x dx 3sin x 4cos x
(ĐH Thuỷ Lợi_00)
3
3
0
x 2x xdx
71.
/
0
sin x.cosx dx
sin 2x cos2x
(ĐH Văn Hóa_01D)
72. /
2 2
0
sin x cos x
dx a, b 0 a cos x b sin x
;
(45)73.
2 / 2
x
dx 1 x
(HV TCKT_97)
74. /
2
x(2cos x 1)dx
(HV TCKT_98)
75. /
2 /
cos x sin x 1
dx dx
3 sin 2x x 1
1
0
x
(HV TCKT_99)
/
4
0
sin x 7cos x 6
dx x cos x sin xdx 4sin x 3cos x 5
76.
4
0
x
dx x x 1
(HV TCKT_00)
77. /
2
(x 1)sin xdx
(ĐH Mở_97)
78.
/
0
4sin x dx 1 cos x
(ĐH Y HN_95)
79.
1
2
2x x
1/
dx 1 x dx
e e
(ĐH Y HN_98)
80. /
dx x sin
2
(ĐH Y HN_99)
81.
/ 2
4
2
/
x
tg xdx dx
x 7x 12
(ĐH Y HN_00) 82.
3 2
x 1dx
(ĐH Y HN_01B)
83.
1
x 1dx
(ĐH Y TB_97B)
84. /
2
dx 2 cos x
(ĐH Y TB_00)
85.
2
(1 x ) dx
(ĐH Y HP_00)
86.
2 /
x /
x sin x
I dx
1 2
(ĐH Dược_96 )
87. /
x
1 sin x e dx 1 cos x
(46)88.
10
x lg xdx
(ĐH Dược_01A)
89.
x
ln
2 x
0
dx
x.e dx
e 1
(HV QY_97)
90.
3
3
2
2
dx sin x
dx
x x 1 4 5x
(HV QY_98)
91. 1/
0
dx 1 cos x
(HV QY_99)
92. /
2 /
cos x ln(x 1 x )dx
(HV KT Mật Mã_99)
1 /
6
0 /
x 1 dx
dx
x 1 sin x cos x
93.
2
xtg xdx
(HV KT Mật Mã_00)
94.
2
xdx (x 1)
(HV KTQS_95)
95.
/
4
4sin x dx 1 cos x
(HV KTQS_96)
96.
/
3 /
sin x sin x
cot gxdx sin x
(HV KTQS_97)
97.
2
dx 1 x 1 x
(HV KTQS_98)
98. /
cos x ln(1 cos x)dx
(HV KTQS_99)
1/
2
0
dx
(2x 1) x 1
99.
2 b
2
a x
dx
a x
(a, b số thực dương cho trước) (HV KTQS_01A) 100.
a
2 2
0
x x a dx ,a0
(ĐH AN_96)
101. x sin xdx2 2 cos x
(47)102.
/
3
4
0
dx (cos x sin x)dx
cos x
(ĐH AN_98)
1
2x
0
xe dx x sin xdx
0
103.
2
dx x x 9
(ĐH AN_99)
104.
2
2
0
3sin xdx x x 1dx
(ĐH TD TT_00)
105.
2
(x ln x) dx
(PV BC TT_98)
106.
3
e
1
ln 2 ln x dx x
(PV BC TT_98)
107. /
2
1 sin 2x dx cos x
(PV BC TT_00)
108.
3
3dx 1 x
(ĐH Luật _00)
109.
2 2x
(1 x) e dx
(ĐH CĐ_98)
110.
2 / /
2 x
0 0
dx dx
(2x 1)cos xdx 1 sin 2x
e 1
(ĐH CĐ_99)
111.
1
2x
0
dx ln(x 1)
dx
e 3 x
(ĐH CĐ_00)
112.
/ x
2x
/
1 sin 2x cos 2x (1 e )
dx dx
sin x cos x 1 e
(ĐH NN I_97)
113.
/ /
2x
0
cos xdx
e sin 3xdx 1 cos x
(ĐH NN I_98B)
114.
19
x(1 x) dx
(ĐH NN I_99B)
115.
2 /
2
1
dx
xtg xdx x(x 1)
(ĐH NN I_00)
116.
6 /
4 /
cos x dx sin x
(48)117.
ln(1 x)dx
(ĐH Lâm Nghiệp_97)
118.
1
2
x sin x dx x 1
(ĐH Lâm Nghiệp_98)
119. /
dx
2 sin x cos x
(ĐH Lâm Nghiệp_00)
120.
1
x sin xdx
(ĐH SP HN I_99D)
121. a
2 2
0
x a x dx (a0)
(ĐH SP HN I_00)
122.
1
3
0
x 1 x dx
(ĐH SP HN I_01B)
123.
2
xdx
x 2
(ĐH THợp_93)
124.
x sin xdx
(ĐH THợp_94)
/
dx sin x cos x
125.
dx 1 x
(ĐH QG_96)
126.
/
2
0
sin xdx dx
x 1 x
1 cos x
(ĐH QG_97A, B, D)
1
2
0
x dx xdx
4x 4x
127.
1 /
3
x
0 0
dx sin x
x 1 x dx dx
e 1 cos x
(ĐH QG_98)
128.Tính
2
/ /
0
sin x cos x
I dx; J dx
sin x 3 cosx sin x 3 cosx
Từ suy ra:
5 /
3 /
cos2x
dx
cosx 3 sin x
(ĐH QG HCM_01A)
129.
/ /
x
0
2cos xdx 5e sin 2xdx
3 2sin x
(49)130.Cho f(x) liên tục R : f (x) f ( x) 22cos 2x x R Tính /
3 /
f (x)dx
(ĐH SP II _98A)
131. /
10 10 4
0
(sin x sin x cos x sin x)dx
(ĐH SP II _00)
132.
3
2
1
3x 2 dx
dx
x 4 x 2
x 1
(CĐ SP HN_00)
133.
1 /
2
0
(sin x 2cos x)
x 1 x dx dx
3sin x cos x
(CĐ SP HN_00)
134. 2
0
sin x cos xdx
(CĐ SP MGTW_00 )
135.
/
0
1 sin x dx
ln( )dx
1 cos x x(1 x )
(CĐ SP KT_00)
136.
1
2
x
1
1 x
1 x arcsin xdx dx
1 2
(CĐ PCCC_00)
137.
x x
1
(e sin x e x )dx
(ĐH TN_00)
138.
3
2
t
dt t 2t 1
(ĐH SP Vinh_98)
139.
1
2
1/
1 x
dx x 1dx
1 x
(ĐH SP Vinh_99)
140.
1
2
(x x)dx x 1
(ĐH HĐ_99)
141.
/
0
dx sin x cos3xdx
1 tgx
(ĐH HĐ_00)
142.
2
ln x dx x
(ĐH Huế_98)
143.
/
6
0
sin x
dx sin x cos x
(ĐH Huế_00)
144.
dx 2 x 1
(50)145. /
2
0
cos x cos xdx
dx
1 sin x 1 cos x
(ĐH ĐN_98)
146.
/
4
0
dx
x ln xdx cos x
(ĐH ĐN_99)
147.
/ /
/
sin x cos x sin xdx dx
sin x cos x 1 2cos x
(ĐH ĐN_00)
148.
2
x x arctgx dx 1 x
(ĐH Tnguyên_00)
149.
2
2 10
0
x 1
dx (1 3x)(1 2x 3x ) dx
3x 2
(ĐH Quy Nhơn)
150.
2
e e
1 1
2 ln x ln x
dx sin xdx dx
2x x
(ĐH Đà Lạt)
151.
2
2
0
x 1
x x 1dx dx
x 1
(ĐH Cần Thơ)
/ / /
4
0 0
cos x sin x sin 4x
dx dx dx
sin x cos x sin x cos x sin x cos x
2
e 1
3 x
1 0
ln xdx x
x e dx dx
1 x
x(ln x 1)
152.
/ /
2
0
sin 2x(1 sin x) dx sin x cos x(1 cos x) dx
2
/
2
x
0
x 2x (x 1)sin xdx dx
(ĐH Thuỷ sản NT)
153.
/ /
2
0
sin xdx
dx x cos xdx
cos x 3
(ĐH BK HCM)
/
4
3
0
xdx cos 2xdx
(2x 1)
154.
1
0
x sin x
dx x xdx
9 4cos x
(ĐH Y Dược HCM)
155.
2 x
-sin xdx
1 sin xdx
1 3
(ĐH Ngoại thương)
e
2
1
x ln xdx x 1 x dx
(51)156.
2
0
x sin xdx
arctg(cos x)dx 1 cos x
(ĐH SP HCM)
/
4
0 0
sin xdx 4x 11
dx cos xdx sin x cos x x 5x 6
157.
1 x
3 x
0 0
e
dx x sin xdx x sin xdx
1 e
(ĐH QG HCM)
1/ /
2
0
x sin 2xdx
dx
x 1 1 sin x
/ /
4
0 0
sin 2x xdx
dx sin xdx
2x 1
1 cos x
/
2 x
0
sin x cos xdx e sin ( x)dx
158.
1
x 2x
2
0
1
e dx (x 1)e dx
1 x
(ĐHDL NN Tin Học)
2
x
0
x dx e dx
159.
1 x
2 20
x
0
(1 e )
1 x dx x(x 4) dx dx
e
(DL)
e ln 2x x
2x x
1
1 ln x e 3e
dx dx
x e 3e 2
160.
3
2
x dx
x 1
(Dự bị_02)
161.
x ln
3 x
e
dx
e 1
(Dự bị_02)
162.
0
2x
1
x e x dx
(Dự bị_02)
163.
/
6
0
1 cos x.sin x.cos xdx
(Dự bị_02)
164.
2
dx
x x 4
(Đề chung_03A )
165.
/
0
xdx 1 cos2x
(52)166.
1
3
0
x 1 x dx
(Dự bị_03)
167.
2 /
0
1 2sin x dx 1 sin 2x
(Đề chung_03B)
168.
2x ln
x ln
e
dx
e 1
(Dự bị_03)
169.Cho hàm số: f(x) a 3 bxex (x 1)
, tìm a, b biết rằng:
f '(0) 22
1
0
f(x)dx5
(Dự bị_03)
170.
2
x x dx
(Đề chung_03D)
171.
1 x
x e dx
(Dự bị_03)
172.
2 e
1
x 1
ln xdx x
(Dự bị_03)
173.
2
1
x
dx
1 x 1
(Đề chung_04A)
174.
e
1
1 3ln x.ln x dx x
(Đề chung_04B)
175.
3 2
ln x x dx
(Đề chung_04D)
176.
/
0
sin 2x sin x
dx 1 3cosx
(Đề chung_05A)
177.
/
0
sin 2x.cos x dx 1 cos x
(Đề chung_05B)
178.
/ sin x
e cosx cosxdx
(Đề chung_05D)
179.
7
x 2
dx x 1
(Dự bị_05)
180.
/ 2
sin xtgxdx
(Dự bị_05)
181.
/ cos x
e sin 2xdx
(53)182.
4
2
x x 1
dx
x 4
(Dự bị_05)
183.
/
sin x
tgx e cosx dx
(Dự bị_05)
184.
e
x ln xdx
(Dự bị_05)
185.
/
2
0
sin 2x
dx
cos x 4sin x
(Dự bị_05)
186.
6
2
dx
2x 1 4x 1
(Dự bị_06)
187.
1
2x
x2 e dx
(Đề chung_06D)
188.
/
0
(x 1)sin 2xdx
(Dự bị_06)
189.
2
1
x2 ln xdx
(Dự bị_06)
190.
ln
x x
ln
dx
dx
e 2e 3
(Dự bị_06)
191.
10
5
dx
x2 x 1
(Dự bị_06)
192.
e
1
3 ln x dx x ln x
(Dự bị_06)
193.
5
3
x 2x
dx
x 1
(CĐ SP_04A)
194.
3
3
x 2 x 2
(CĐ GTVT_04)
195.
4
5
x
dx
x 1
(CĐ KTKT_04A)
196.
3
3
dx xx
(Dự bị_04)
197.
ln
x 2x
ln
e 1.e dx
(Dự bị_04)
198.
2
0
x.sin xdx
(54)199.
1
0
x xdx
(Dự bị_04)
200.
3
e
1
ln x dx x ln x 1
(Dự bị_05)
201.
/
2
(2x 1)cos xdx
(Dự bị_05)
THI ĐH 2005 -2008 Bài ĐH, CĐ Khối A – 2005
0 3cos sin sin
dx x
x x
I KQ:34
27 Bài ĐH, CĐ Khối B – 2005
dx x
x x I
0 cos cos sin
KQ: 2ln2 1 Bài ĐH, CĐ Khối D – 2005
sin
cos cos
xdx x
e
I x
KQ: e
4
Bài Tham khảo 2005 dx x x I
0
3 1
KQ: 141 10 23,1
Bài Tham khảo 2005
2 sin
xtgxdx
I KQ: ln2
8
Bài Tham khảo 2005
0
sin cos
dx x e
tgx
I x
KQ:
1
ln e 1 Bài Tham khảo 2005
ex xdx I
1
ln KQ: 2e3
(55)dx x
x
I1
2
3
KQ: 6
5
Bài CĐ Xây Dựng Số – 2005
13
3 dx
x x
x
I KQ: 6ln3 8
Bài 10 CĐ GTVT – 2005 dx x x
I1
2
1 KQ:
105 Bài 11 CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005
3 sin
xdx e
I x
KQ:
3
3.e 34
Bài 12 CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005 dx
x x
I
3
3
KQ: 848
105 Bài 13 CĐ Truyền Hình Khối A – 2005
2
2 sin
sin
dx x
x
I KQ: 1 ln2
2 Bài 14 CĐSP Tp.HCM – 2005
0
2
4 2x x
dx
I KQ:
18 Bài 15 CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005
e
dx x
x I
1 ln
KQ: 1
e
Bài 16 CĐSP Vĩnh Long – 2005
dx x x I
7
1
1
KQ: 46 15 Bài 17 CĐ Bến Tre – 2005
0sin cos
dx x
x
(56)Bài 18 CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005
3
2 2
0 2
cos sin
sin
2 cos cos sin
sin
x x
xdx x
J
x x
x
xdx I
KQ:
I ln2 J
3
Bài 19 CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005
ex xdx I
1
ln KQ:
2
e
Bài 20 CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005
dx x x
I sin
4
2
KQ:
2
4
Bài 21 CĐSP Hà Nội – 2005 dx x
x x x I
0
2
4
KQ: 6
Bài 22 CĐ Tài Chính – 2005
1
0
3 x
xdx
I KQ: 1
8 Bài 23 CĐSP Vĩnh Phúc – 2005
e
x x
dx I
1 ln2
KQ:
Bài 24 CĐSP Hà Nội – 2005
2004 2004
2004 cos sin
sin
dx x x
x
I KQ:
4
Bài 25 CĐSP KonTum – 2005
0 cos
sin
dx x x
(57)NĂM 2006
Bài ĐH, CĐ Khối A – 2006
2
2
0
sin2x
I dx
cos x 4sin x
KQ: 2
3 Bài Tham khảo 2006
6
2
dx I
2x 4x
KQ: ln3
2 12 Bài ĐH, CĐ Khối D – 2006
1
2x
I x e dx KQ:
2
5 3e
Bài Tham khảo 2006
2
0
I x sin2x dx
KQ:
4 Bài Tham khảo 2006
2
1
I x ln x dx KQ: 5 ln4 4 Bài ĐH, CĐ Khối B – 2006
ln5
x x
ln3
dx I
e 2e
KQ: ln3
2 Bài Tham khảo 2006
10
5
dx I
x x
KQ: 2ln2 1
Bài Tham khảo 2006
e
1
3 2ln x
I dx
x 2ln x
KQ: 10 11
3 Bài CĐ KTKT Công Nghiệp II – 2006
1
2
Ix ln x dx KQ: ln2
(58)
2
ln x
I dx
x
KQ: 3ln2 3ln3
2
Bài 11 CĐ Nông Lâm – 2006
1
Ix x 1dx KQ: 2
Bài 12 ĐH Hải Phòng – 2006
1
x
I dx
1 x
KQ: 1 ln2
2 Bài 13 CĐ Y Tế – 2006
2
4
sin x cosx
I dx
1 sin2x
KQ: ln
Bài 14 CĐ Tài Chính Kế Tốn – 2006
3
2
Ix ln x 5 dx KQ: 1 14ln14 5ln5 9
2
Bài 15 CĐ Sƣ Phạm Hải Dƣơng – 2006
2
3
cos2x
I dx
sin x cosx
KQ:
32 Bài 16 Hệ CĐ – ĐH Hùng Vƣơng – 2006
4
0
I x cosx dx
KQ:
8
Bài 17 CĐ KTKT Đông Du – 2006
4
0
cos2x
I dx
1 2sin2x
KQ: 1 ln3
4 Bài 18 CĐ Sƣ Phạm Quảng Bình – 2006
ln2 2x x
e
I dx
e
KQ: 2
3
(59)3
0
4sin x
I dx
1 cosx
KQ:
Bài 20 CĐ Sƣ Phạm Trà Vinh – 2006
4
x
I dx
cos x
KQ: ln
4
Bài 21 CĐ Bán Công – Công Nghệ - Tp.HCM – 2006
3
1
x
I dx
3 x x
KQ: 6ln3 8
Bài 22 CĐ Sƣ Phạm Tiền Giang – 2006
9
Ix x dx KQ: 468
Bài 23 CĐ Bến Tre – 2006
e
1
x
I ln x dx
x
KQ:
3
2e 11 18 Bài 24
1
2
0
Ix x dx KQ: 2 3 2
9
Bài 25
0
2 cos
xdx x
I KQ:
2
1 1
2
Bài 26
1
3
1dx x e
x
I x
KQ:
2
e
4 14
Bài 27 CĐ KT-KT Công Nghiệp I – 2006
2
0
sin3x
I dx
2cos3x
KQ: Không tồn
(60)
1
2
Ixln x dx KQ: ln2
2
Bài 29 CĐ Xây dựng số – 2006
2
1
x x
I dx
x
KQ: 32 10ln3
3 Bài 30 CĐ Xây dựng số – 2006
1
3
I x cos x sin x dx KQ: 5 Bài 31 CĐ GTVT III – 2006
2
0
cosx
I dx
5 2sinx
KQ: 1 5ln
2
2
0
J 2x ln x dx KQ: 24ln3 14 Bài 32 CĐ Kinh tế đối ngoại – 2006
4
8
I tg x dx
KQ: 76
105 Bài 33 CĐSP Hƣng Yên - Khối A– 2006
4
4x
I dx
x 3x
KQ: 18ln2 7ln3
Bài 34 CĐSP Hƣng Yên - Khối B– 2006
3
0
sin3x sin 3x
I dx
1 cos3x
KQ: 1 ln2
6
Bài 35 CĐSP Hƣng Yên - Khối D1 , M– 2006
e
1
ln x ln x
I dx
x
KQ: 3 3 2
8
Bài 36 CĐ Bán công Hoa Sen – Khối A – 2006
4
4
0
I cos x sin x dx
KQ: 1
(61)Bài 37 CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006
4
0
cos2x
I dx
1 2sin2x
KQ: 1 ln3
4 Bài 38 CĐSP Trung Ƣơng – 2006
2
0
I sin xsin2xdx
KQ: 2
3 Bài 39 CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006
1
2
x
I dx
x
KQ : ln4
3 4 Bài 40 CĐSP Hà Nam – Khối M – 2006
2
I x cosxdx
KQ:
2
2
Bài 41 CĐSP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006
e
2
dx I
x ln x
KQ:
4
Bài 42 CĐKT Y Tế I – 2006
2
4
sin x cosx
I dx
1 sin2x
KQ: ln
Bài 43 CĐ Tài Chính Hải Quan – 2006
3
4
ln tgx
I dx
sin2x
KQ: ln 32
16 Bài 44 CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006
2 3
2
I sin2x sin x dx
KQ: 15
4 Bài 45 CĐKT Tp.HCM Khóa II - 2006
e
0
ln x
I dx
x
(62)Bài 46 CĐCN Thực phẩm Tp.HCM – 2006
1
1
I dx
x 2x
KQ:
4 Bài 47 CĐ Điện lực Tp.HCM – 2006
7 3
x
I dx
3x
KQ: 46
15
Bài 48 CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A– 2006
4
x
I dx
cos x
KQ: ln
4
Bài 49 CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D1 – 2006
2
1
I 4x lnxdx KQ: 6ln2 2
Bài 50 CĐSP Hà Nội Khối D1 – 2006
3
6
dx I
sin x.sin x
KQ: ln2
3
NĂM 2007
Bài ĐH, CĐ khối A – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng: ye x, y 1 e xx
KQ:
2
e
Bài ĐH, CĐ khối B – 2007
Cho hình phẳng H giới hạn đƣờng y xlnx , y 0, y e Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox
KQ:
3
5e 27
Bài ĐH, CĐ khối D – 2007
Tính tích phân
e
(63)KQ:
4
5e 32
Bài Tham khảo khối A – 2007
4
2x dx 2x
KQ: 2 ln2
Bài Tham khảo khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng 12
x x
y v y
x KQ:
1ln2
Bài Tham khảo khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng yx v y2 2x2 KQ:
1
Bài Tham khảo khối D – 2007
1
x x dx x
KQ: 1 ln2 3ln3
2
Bài Tham khảo khối D – 2007
2
x cosxdx
KQ:
2
2
Bài CĐSPTW – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng có phƣơng trình y x 2;
y x; x 1; x 0
KQ: 7
6
Bài 10 CĐ GTVT – 2007
3
0
4cos x dx sin x
KQ:
Bài 11 CĐDL Công nghệ thông tin Tp.HCM – 2007
7
x dx x
KQ: 231
(64)Bài 12 CĐ Khối A – 2007
2007
2
1 1 dx
x x
KQ:
2008 2008
3 2008
Bài 13 CĐ Cơ khí luyện kim – 2007
e
2
xln x dx
KQ: 5e 2
27
Bài 14 CĐSP Vĩnh Phúc – 2007
4
2
x sin x dx
KQ:
3 1
384 32
Bài 15 CĐ Khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng y x , y x cos x , x 0 , x KQ:
2
Bài 16 CĐ Khối D – 2007
0
2
x dx
KQ:
Bài 17 CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007
3
2
1
dx x x 1
KQ: 1
3 12
Bài 18 CĐ Hàng hải – 2007
3
x x 1dx
KQ: 14
5
Bài 19 CĐ Kinh tế kĩ thuật Thái Bình – 2007
0 2x
x e x dx
KQ: 3e 31
4 60
Bài 20 CĐ Công nghiệp Phúc Yên – 2007
1 x
xe dx
(65)NĂM 2008 Bài 1) Tính I =
4
6
tan cos
x dx x
- ĐH, CĐ Khối A – 2008 KQ: 1ln 2 3 10
2 9
Bài 2) Tính I =
4
sin
sin 2 sin cos
x dx
x x x
- ĐH, CĐ Khối B – 2008 KQ: 4
4
Bài 3) Tính I =
3
lnx dx x
- ĐH, CĐ Khối D – 2008 KQ: 3 ln
16
Bài 4) Tính I =
3 2
xdx x
- Dự bị - khối A-2008 KQ: 3 12
5 36
Bài 5) Tính /
sin
3 4sin os2
xdx I
x c x
- Dự bị - khối A-2008 KQ: ln
2
Bài 6) Tính
( 1)
4
x dx
I
x
- Dự bị - khối B-2008
Bài 7) Tính
1
x dx I
x
- Dự bị - khối B-2008
Bài 8) Tính
2
2
4
x x
I x e dx
x
- Dự bị - khối D-2008
Bài 9) CĐ Khối A, B, D – 2008 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol
:
P y x x đƣờng thẳng d y: x KQ: 9
(66)NĂM 2009 Bài 1) Tính I =
2
3
0
(cos x 1) cos xdx
- ĐHKA-2009 KQ:
4
Bài 2) Tính I =
3
1
2 ln
dx x
x
- ĐHKB-2009 KQ: )
16 27 ln (
Bài 3) Tính I =
3
1
1
dx
ex - ĐHKD-2009 KQ: ln(e
2+e+1) –
NĂM 2010 Bài 1) Tính I =
1 2
0
2
x x
x
x e x e
dx e
- ĐHKA-2010 KQ: 1 1ln
3
e
Bài 2) Tính I = 2
1 ln (2 ln )
e
xdx
x x
- ĐHKB-2010 KQ: ln3
3
Bài 3) Tính I =
3
2 ln
e
I x xdx
x
- ĐHKD-2010 KQ:
2
e
NĂM 2011
Bài 1) Tính I =
sin ( 1) cos sin cos
x x x x
dx
x x x
- ĐHKA-2011 KQ: ln
4
Bài 2) Tính I =
2
1 sin os
x x
dx
c x
- ĐHKB-2011 KQ: ln(2 3)
3
Bài 3) Tính I =
4
2
x
dx x
- ĐHKD-2011 KQ:
34 3
10 ln
3 5
NĂM 2012 Bài 1) Tính tích phân
3
2
1 ln(x 1)
I dx
x
- KA-2012 KQ: 2 2ln ln 3
3 3
Bài 2) Tính tích phân
1
4
0
3
x
I dx
x x
- ĐHKB-2012 KQ:
1
2ln 3ln 2
(67)Bài 3) Tính tích phân /
I x(1 sin 2x)dx
- ĐHKD-2012 KQ:
2
1
32 4
NĂM 2013 Bài 1) Tính tích phân
2 2
1 ln
x
I xdx
x
- ĐHKA-2013 KQ: 5ln
2 2
Bài 2) Tính tích phân
1
2
2
I x x dx - ĐHKB-2013 KQ: 2
3
Bài 3) Tính tích phân
1
2
( 1)
1
x
I dx
x
- ĐHKD-2013 KQ: 1 ln 2
NĂM 2014
Bài 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng cong
yx x 3
đƣờng thẳng y2x 1 - ĐHKA-2014 KQ: 1
6
Bài 2) Tính tích phân 2
2
3
x x dx
x x - ĐHKB-2014 KQ: 1 ln3
Bài 3) Tính tích phân I =
(x 1) sin 2xdx
.- ĐHKD-2014 KQ: 3
4 NĂM 2015
Bài 1) THPTQG 2015 Tính tích phân x
x e d
1 0
I = ( - ) x KQ: 4 3 e
Bài 2) Dự bị THPTQG 2015 Tính tích phân
0
x
I dx
x
KQ: 8
3 NĂM 2016
THPTQG 2016 Tính tích phân
3
2
3 16