Chuyên đề tự luận nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Nguyễn Chiến

BÀI TẬP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP.. 1..[r]

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

I NGUYÊN HÀM

1 Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f x

 

xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F x

 

được gọi nguyên hàm hàm số f x

 

K F x'

 

 f x

 

với xK Kí hiệu:



f x d

 

xF x

 

C

Định lí:

1) Nếu F x

 

nguyên hàm f x

 

K với số C, hàm số

 

 

G x F x C nguyên hàm f x

 

K

2) Nếu F x

 

nguyên hàm hàm số f x

 

K nguyên hàm f x

 

K có dạng F x

 

C, với C số

Do F x

 

C C,  họ tất nguyên hàm f x

 

K 2 Tính chất nguyên hàm







f x d

 

x



  f x

 



f '

 

x dx f x

 

C; d





f x

 

dx



 f x

 

dx  Nếu F(x) có đạo hàm thì:



d F x



( )



F x( )C





kf x d

 

xk f x d



 

x với k số khác 



f x

 

g x

 

dx



f x d

 

x



g x d

 

x

 Công thức đổi biến số: Cho y f u

 

ug x

 

Nếu



f x dx( ) F x( )C



f g x



( )



g x dx'( ) 



f u du( ) F u( )C

3 Sự tồn nguyên hàm

BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ THƢỜNG GẶP

1



0dxC



dx x C

3 1



1



1

x dx x C 





   





16  





1

dx ,

1

ax b

ax b c

a            



4 12 dx C x   x



17





2

1 1

dx C

a ax b

ax b    



5 1dx ln x C

x  



18 dx 1ln ax b C

ax b a  



6



e dxx exC 19 ax b ax b

e dx e C

a    



ln x x a

a dx C

a

 



20

ln

kx b kx b a

a dx C

k a



  



8



cosxdxsinx C 21 cos



ax b dx



1sin



ax b



C

a

   



9



sinxdx cosx C 22 sin



ax b dx



1cos



ax b



C

a

    



10



tan x dx ln | cos |x C 23. tan



ax b dx



1ln cos



ax b



C a

    



11.



cot x dxln | sin |x C 24. cot



ax b dx



1ln sin



ax b



C a

   



12 12 tan

cos xdx x C



25









2

1

tan

cos ax b dxa ax b C



13 12 cot

sin xdx  x C



26









2

1

cot

sin ax b dx a ax b C



14.





1 tan 2x dx



tanx C 27



2











tan ax b dx tan ax b C

a

    



15





1 cot 2x dx



 cotx C 28.



2











cot ax b dx cot ax b C

a

     



BẢNG NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG

2

arctan

dx x

C

a x  a a



2

arcsinxdx xarcsinx a x C

a  a  



2

ln

dx a x

C

a x a a x



 

 



2

arccosxdx xarccosx a x C

a  a  





2



2 ln

dx

x x a C

x a

   







2



arctan arctan ln

x x a

dx x a x C

a  a  



2 arcsin

dx x C a a x   





2



arc cot arc cot ln

x x a

dx x a x C

a  a  



2 arccos dx x C a a

x x a

 









1ln tan

sin

dx ax b

C

ax b a

   



2 2 ln

dx a x a

C

a x

x x a

 

  





sin  1ln tan

dx ax b

C ax b a



 













ln ax b dx x b ln ax b x c

a

 

      

 





2



cos sin cos

ax

ax e a bx b bx

e bx dx C

a b



 





2 2

2

dx arcsin

2

x a x a x

a x C

a



   





2



sin cos sin

ax

ax e a bx b bx

e bx dx C

a b



 



CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1 PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

a Đổi biến dạng 1:

Nếu



f x( )F x( )C với u

 

t hàm số có đạo hàm :



f u du( ) F u( )C

PHƢƠNG PHÁP CHUNG

 Bước 1: Chọn x

 

t , 

 

t hàm số mà ta chọn thích hợp  Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx'

 

t dt

 Bước 3: Biến đổi : f x dx( )  f 

   

t ' t dtg t dt

 

 Bước 4: Khi tính :



f x dx( ) 



g t dt( ) G t( )C

* Các dấu hiệu đổi biến thƣờng gặp :

Dấu hiệu Cách chọn

2

a x

Đặt x asint; với ; 2

t   

  x a cost;

với t

 

0;

2

x a

Đặt a t sin

x ; với ; \ 0

 

2

t   

  cos

a x

t

 với

 

0; \

2

t    

 

2

a x

Đặt x a tant; với ; 2

t   

  x a cott

với t

 

0;

a x

a x





a x

a x



 Đặt xacos 2t



x a b



x



Đặt

( – )sin

x a b a t

2

a x Đặt xatant ; với t 2;  

 

  

 

b Đổi biến dạng 2:

Nếu hàm số f x

 

liên tục đặt x

 

t Trong 

 

t với đạo hàm ('

 

t hàm số liên tục) ta :

   

( ) ' ( ) ( )

f x dx f  t  t dt g t dtG t C

PHƢƠNG PHÁP CHUNG  Bước 1: Chọn t

 

x Với 

 

x hàm số mà ta chọn thích hợp  Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt'

 

t dt

 Bước 3: Biểu thị : f x dx( )  f 

   

t ' t dtg t dt( )  Bước 4: Khi : I 



f x dx( ) 



g t dt( ) G t( )C

* Các dấu hiệu đổi biến thƣờng gặp :

Dấu hiệu Cách chọn

Hàm số mẫu số có t mẫu số Hàm số : f x



; 

 

x



t 

 

x

Hàm

 

s inx+b.cosx s inx+d.cosx+e

a f x

c

 tan ; osx

2

x

t c  

 

Hàm

 







1

f x

x a x b



 

Với : x a 0 x b 0  Đặt : t x a  x b

Với x a 0 x b 0 Đặt : t x a   x b

2 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục K:

( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )

u x v x dxu x v x  v x u x dx





Hay



udvuv



vdu ( với duu x dx dv’

 

, v x dx’

 

) PHƢƠNG PHÁP CHUNG  Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu dạng :

I 



f x dx( ) 



f x f x dx1( ) ( )2

 Bước 2: Đặt : 1

2

' ( ) ( )

( ) ( )

du f x dx

u f x

v f x dx

dv f x

  

 

   

 



 Bước 3: Khi đó:



u dv u v 



v du

Dạng I:

sin ( ) cos

x

x

I P x x dx

e

 

 

  

 

 

Đặt

( ) sin cos

x

u P x

x

dv x dx

e

 

 

 



 

  



 

  



' '( ) cos sin

x

u du P x dx

x

v x

e

 

 

  

  

  



 

  

 Vậy

cos ( ) sin

x

x

I P x x

e

 

 

  

 

 

-

cos

sin '( )

x

x

x P x dx

e

 

 

 

 

 



Dạng II: I 



P x( ).lnxdx

Đặt

ln

( )

u x

dv P x dx

     



1

( ) ( )

du dx

x

v P x dx Q x

    

  





Vậy I lnx.Q x

 

Q( ).x 1dx x

 



Dạng III sin cos

x x

I e dx

x

 

  

 



Đặt sin

cos

x

u e

x

dv dx

x

  

 



   

  

cos sin

x

du e dx

x v

x

  

  

  



 



Vậy cos

sin

x x

I e

x

 

  



 -

cos sin

x

x e dx x

 

 

 



Bằng phương pháp tương tự tính cos sin

x

x e dx x

 

 

 

TÍCH PHÂN

1 CƠNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN

( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x dxF x F b F a



* Nhận xét: Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu ( )

b a

f x dx



hay ( )

b a

f t dt



Tích phân phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số

2 TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

Giả sử cho hai hàm số f x( ) g( )x liên tục K a,b,c ba số thuộc K Khi ta có :

1 ( )

a a

f x dx



2 ( ) ( )

b a

a b

f x dx  f x dx





3 ( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx







4



( ) ( )



( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx







5 ( ) ( )

b b

a a

kf x dxk f x dx





6 Nếu f x( )  0, x

 

a b; : ( )

 

;

b a

f x dx  x a b



Nếu

 

; : ( ) ( ) ( ) ( )

b b

a a

x a b f x g x f x dx g x dx

   







Nếu  x

 

a b; Nếu M  f x( )Nthì





( )





b a

M b a 



f x dxN b a

PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

I ĐỔI BIẾN

a Phƣơng pháp đổi biến số dạng

Định lí Nếu 1) Hàm xu t( ) có đạo hàm liên tục



 ;



2) Hàm hợp f u t( ( )) xác định



 ;



3) u( ) a u, ( ) b

Khi đó: ( ) ( ( )) ( )'

b a

I f x dx f u t u t dt





PHƢƠNG PHÁP CHUNG  Bước 1: Đặt xu t

 

 Bước 2: Tính vi phân hai vế : xu t( )dxu t dt'( )

Đổi cận: x b t

x a t

 

 



 

 Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t

Vậy: ( )

 

( ) '( ) ( )

b a

I f x dx f u t u t dt g t dt

 

 













G t( )  G( ) G( )



  

b Phương pháp đổi biến dạng

Định lí: Nếu hàm số uu x( ) đơn điệu có đạo hàm liên tục đoạn

 

a b; cho





( ) ( ) '( ) ( )

f x dxg u x u x dxg u du thì:

( ) ( )

( ) ( )

u b b

a u a

I 



f x dx



g u du PHƢƠNG PHÁP CHUNG

 Bƣớc 1: Đặt '

( ) ( )

uu x duu x dx

 Bƣớc 2: Đổi cận : ( ) ( )

x b u u b

x a u u a

 



 

 Bƣớc 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo u

Vậy:





( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )

u b

b b

a a u a

I 



f x dx



g u x u x dx



g u du

II TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Định lí . Nếu u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục

 

a b; thì: ( ) ( )'



( ) ( )



( ) ( )'

b b

a a

b

u x v x dx u x v x v x u x dx

a

 





Hay

b a

udv



uvb

a

 b

a

vdu





PHƢƠNG PHÁP CHUNG

 Bƣớc 1: Viết f x dx( ) dạng udvuv dx' cách chọn phần thích hợp ( )

f x làm u x( ) phần lại dvv x dx'( )  Bƣớc 2: Tính duu dx' v



dv 



v x dx'( )  Bƣớc 3: Tính '( )

b a

vu x dx



uvb

Cách đặt u dv phƣơng pháp tích phân phần Đặt u theo thứ tự ưu tiên:

Lốc-đa-mũ-lượng ( )

b

x a

P x e dx



( ) ln

b a

P x xdx



( ) cos

b a

P x xdx



cos

b x a

e xdx



u P(x) lnx P(x) x

e

dv x

e dx P(x)dx cosxdx cosxdx

Chú ý: Nên chọn u phần f x( ) mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dvv dx' phần ( )

f x dx vi phân hàm số biết có ngun hàm dễ tìm

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN

1 Tích phân hàm hữu tỉ

Dạng 1: I dx adx 1ln ax b

ax b a ax b a



 



 

   

 





( với a0)

Chú ý: Nếu ( ) ( )

( ) (1 )

k k

k

dx

I ax b adx ax b

ax b a a k

 

 

 

  

    

 





Dạng 2: I 2 dx



a 0



ax bx c





 

 



(

0

ax bx c  với x



 ;



) Xét  b24ac

+ Nếu  0: 1 ; 2

2

b b

x x

a a

     

 

2

1 2

1 1 1

( )( ) ( )

ax bx c a x x x x a x x x x x x

 

    

         :

1

1

1 2 2

1 1 1

ln ln ln

( ) ( ) ( )

x x

I dx x x x x

a x x x x x x a x x a x x x x



 

 



  

          





      

+ Nếu  0: 2

0

1

( )

b x

ax bx c a x x a



 

   

     2

0

1

( ) ( )

dx dx

I

ax bx c a x x a x x

 

 

 

   

   





+ Nếu  0 2

2

2

2

dx dx

I

ax bx c b

a x

a a

 

 

 

       

      

 

   

 





Đặt





2

1

tan tan

2

b

x t dx t dt

a a a

 

    

Dạng 3: I 2mx n dx,



a 0



ax bx c







 

 



(trong f x( ) 2mx n

ax bx c

 

+) Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm A B cho:

2

2 2

( ) '

mx n A ax bx c B

ax bx c ax bx c ax bx c

  

 

      2

(2 )

A ax b B

ax bx c ax bx c



 

   

+) Ta có I 2mx n dx A ax b(22 ) dx 2 B dx

ax bx c ax bx c ax bx c

  

  

 

  

     







Tích phân A ax b(22 ) dx Aln ax2 bx c

ax bx c

 

 

   

 



Tích phân 2 dx

ax bx c



  



thuộc dạng Tính tích phân ( )

( )

b a

P x

I dx

Q x





với P(x) Q(x) đa thức x

 Nếu bậc P x( ) lớn bậc Q x( ) dùng phép chia đa thức  Nếu bậc P x( ) nhỏ bậc Q x( ) xét trường hợp:

+ Khi Q x( ) có nghiệm đơn  1, 2, ,nthì đặt

1

1

( )

( )

n n

A

A A

P x

Q x  x x  x

+ Khi Q x( ) có nghiệm đơn vơ nghiệm









( ) ,

Q x  x x pxq   p  q đặt

2 ( )

( )

P x A Bx C

Q x x  x px q



 

  

+ Khi Q x( ) có nghiệm bội ( ) ( )( )

Q x  x  x với   đặt:





2 ( )

( )

A

P x B C

Q x  x  x  x

2

( ) ( ) ( )

Q x  x x với   đặt:

2 3

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P x A B C D E

x x  x  x  x  x  x

2 Tích phân hàm vơ tỉ

( , ( ))

b a

R x f x dx



R x f x( , ( ))có dạng:

+) R x, a x

a x

  

 

  

  Đặt xacos 2t, t 0;2 

    

+) R x



, a2x2



Đặt x asint x acost

+) R x, n ax b

cx d

  

 

  

  Đặt

n ax b

t

cx d

 

+)





2 , ( )

( )

R x f x

ax b x x 



  

Với









' k ax

x b

x

     Đặt

t x x t ax b

 

+)



2



,

R x a x Đặt x a tant, ; 2

t   

 

+)



2



,

R x x a Đặt

cos

a x

x

 ,

 

0; \

t    

 

+)





; ; ;ni

n n

R x x x Gọi kBSCNN n n



1; ; .; 2 ni



Đặt k

x  t

a Tích phân dạng :





2

0 ax

I dx a

bx c





 

 



Từ :

2

2

2 f(x)=ax

2

2

b

x u

b a

bx c a x du dx

a a

K a

   

    

          

  

  

 Khi ta có :

* Nếu  0,a 0 f x( )a u



2k2



 f x( ) a u2k2 (1) * Nếu :

2

0 ( )

( )

2

2

a b

f x a x b

f x a x a u

a

a

  

 

        

  

   (2)

* Nếu :  0

+ Với a0 : f x( )a x



x1



xx2



 f x( ) a



xx1



xx2



(3) + Với a0: f x( ) a x



1x



x2x



 f x( )  a



x1x



x2x



(4) Căn vào phân tích , ta có số cách giải sau :

 Phƣơng pháp :

* Trường hợp :



2



2

0,a f x( ) a u k f x( ) a u k

        

Khi đặt :

ax bx c  t a x





2

2

0

2 ;

2

2 ,

2

t c

x dx tdt

b a b a

bx c t ax

x t t x t t t c

t a x t a

b a

 

   

 

    

 

 

     

  

  

 



* Trường hợp :

2

0 ( )

( )

2

2

a b

f x a x b

f x a x a u

a

a

  

 

        

  

Khi :

1

ln :

2

1 1

1

ln :

2 2 2

b b

x x

a a

a

I dx dx

b a b b b

a x x x x

a a a a a

 

 

   

  

  

  

 



   

 

       

 







* Trường hợp :  0,a0

- Đặt :















1

1

2 ax bx c a x x x x x x t

x x t

 

      

 

* Trường hợp :  0,a0

- Đặt :















1

1

2 ax bx c a x x x x x x t

x x t

 

      

 

b Tích phân dạng :





2

ax

mx n

I dx a

bx c







 

 



 Phƣơng pháp :

+Bước 1: Phân tích





 

2

2 2

ax

( )

ax ax ax

A d bx c

mx n B

f x

bx c bx c bx c

 



  

     

+Bước 2: Quy đồng mẫu số , sau đồng hệ số hai tử số để suy hệ hai ẩn số A,B

+Bước 3: Giải hệ tìm A,B thay vào (1)

+Bước4 : Tính





2 ax

ax

I A bx c B dx

bx c

 

 

   

 



(2)

Trong





2

0 ax

dx a

bx c







 



biết cách tính c Tích phân dạng :









1

0 ax

I dx a

mx n bx c

 

 

  



 Phƣơng pháp :

+Bước 1: Phân tích :





2

1

ax n ax

mx n bx c m x bx c

m



 

       

 

(1)

+Bước 2: Đặt : 2

2

1

1

1 1

ax

n

y t dy dx

x t m x t

n x

y m

x t bx c a t b t c

y y y

      

 

    

    

   

             

    



+Bước 3: Thay tất vào (1) I có dạng : '

2 '

dy I

Ly My N

 

 

 



d Tích phân dạng : I R x y dx

 

; R x;m x dx

x

 

 

 

 

  

   



 





( Trong : R x y

 

; hàm số hữu tỷ hai biến số x y,    , , , số biết )  Phương pháp :

+Bước 1: Đặt : t m x

x

 

 

 

 (1)

+Bước 2: Tính x theo t cách nâng lũy thừa bậc m hai vế (1) ta có dạng x

 

t +Bước 3: Tính vi phân hai vế : dx'

 

t dt đổi cận

+Bước 4: Tính :



 



 

' '

;m x ; '

R x dx R t t t dt

x

 

 

   

 

  



 

  

 





3 Tích phân hàm lƣợng giác Một số cơng thức lƣợng giác a Công thức cộng:

cos(a b )cos cos sin sina b a b sin(a b ) sin cosa bsin bcosa

tan tan

( )

1 tan ta t

n

an a b

b b

a

a  

b Công thức nhân:

2

2 2

2 cos cos – sin 2cos –1 1– 2sin tan

1 tan

a a a a a a

a

 

   

2 sin 2sin cos tan

1 tan

a

a a

a a



  ; tan 2 tan2

1 tan

a a

a





3

cos34cos 3cos

; sin 3 3sin4sin3 c Công thức hạ bậc:

sin2 cos 2

a

a  ; cos2 cos 2

a

a  ; tan2 cos cos

a a

a

 



3 3sin sin sin

4

 

   ; cos3 cos 3cos

 

  

d Cơng thức tính theo t : tan

a t

2 sin

1

t a

t





2 cos

1

t a

t

 



2 tan

1

t a

t

 













1

cos cos cos( ) cos( )

2

sin sin cos( ) cos( )

2

sin cos sin( ) sin( )

2

     

     

     

   

   

   

f Cơng thức biến đổi tổng thành tích:

Một số dạng tích phân lƣợng giác  Nếu gặp



sin



.cos

b a

I 



f x xdx Đặt tsinx  Nếu gặp dạng



cos



.sin

b a

I 



f x xdx Đặt tcosx  Nếu gặp dạng



tan



2

cos

b a

dx

I f x

x





Đặt ttanx  Nếu gặp dạng



cot



2

sin

b a

dx

I f x

x





Đặt tcotx I Dạng 1: I1=



sinxndx ; I2



cosxndx

2 Phƣơng pháp

2.1. Nếu n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc

2.2. Nếu n3 sử dụng công thức hạ bậc biến đổi theo 2.3 2.3. Nếu  n lẻ (n2p1) thực biến đổi:





n





2p+1





2









1 = sin dx = sin dx sin sin cos cos

p p

I



x



x 



x xdx 



 x d x

 





 





 

0 2

cos k k cos k p p cos p cos

p p p p

C C x C x C x d x

 

 



        

   2    2

0 1 1

cos cos cos cos

3 2

k p

k p

k p

p p p p

C x C x C x C x C

k p

 

   

       

 

 





n





2p+1





2



2







= cos dx = cos dx cos pcos sin p sin

I



x



x 



x xdx



 x d x

cos cos cos cos

2

cos cos sin sin

2

sin sin sin cos

2

sin sin cos sin

2

sin( ) tan tan

cos cos sin( ) tan tan

cos cos

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 



 



 

Hệ quả:

cos sin cos sin

4

cos sin cos sin

4

 

   

 

   

   

       

   

   

        

   

Công thức thƣờng dùng:

4

6

3 cos cos sin

4 3cos cos sin

8 

 



 



 



 

 





 









 





 





0 2

2

0

sin sin sin sin

1

1

sin sin sin sin

3 2

k p

k k p p

p p p p

k p

k p

k p

p p p p

C C x C x C x d x

C x C x C x C x C

k p

 

 

         

   

      

 

 



II Dạng 2: m n

J = sin



x cos x dx Với (m n,  *) 1 Phƣơng pháp:

1.1 Trường hợp 1: m n, số nguyên

a Nếu m chẵn, n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng b Nếu m chẵn, n lẻ biến đổi:



 

m



2p+1



 



2







2







= sin cos sin m cos pcos sin m sin p sin

I



x x dx



x x xdx



x  x d x





 





 

















 





 





0 2

1 2

0

sin sin sin sin sin

sin sin sin sin

1 2

k p

k p

m k p

p p p p

m m k m p m

k k p p

p p p p

x C C x C x C x d x

x x x x

C C C C C

m m k m p m

     

 

          

 

       

 

     

 



c Nếu m chẵn,

n lẻ (n 2p 1) biến đổi:



 

2p+1



n



 



2







2







sin cos cos n sin psin cos n cos p cos

I 



x x dx



x x xdx 



x  x d x

   





 

















 





 





0 2

1 2

0

cos cos cos cos cos

cos cos cos cos

1 2

k p

n k k p p

p p p p

n n k n p n

k k p p

p p p p

x C C x C x C x d x

x x x x

C C C C C

n n k n p n

     

 

          

 

         

     

 



d Nếu

,

m n lẻ sử dụng biến đổi 1.2 1.3 cho số mũ lẻ bé 1.2 Nếu m n, số hữu tỉ biến đổi đặt usinx









21



2



21

sin cos sin cos cos

n m

m

m n m

B x xdx x x xdx u u du

 













 (*)

• Tích phân (*) tính  số 1; 1;

2 2

m n m k

nguyên

III Dạng 3: I1 =





tanx



ndx I; 2 =





cotx



ndx (n )

•









2

1 tan tan tan

cos

dx

x dx d x x C

x

    







•









2

1 cot cot cot

sin

dx

x dx d x x C

x

       







• tan sin



cos



ln cos

cos cos

d x

x

xdx dx x C

x x

     







• cot cos



sin



ln sin

sin sin

d x

x

xdx dx x C

x x

   

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

1 Diện tích hình phẳng

a) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x( ) liên tục đoạn

 

a b; , trục hoành hai đường thẳng xa, xb xác định: ( )

b a

S 



f x dx

b) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x( ), yg x( ) liên tục đoạn

 

a b; hai đường thẳng xa, xb xác định: ( ) ( )

b a

S 



f x g x dx

 Trên

 

a b; hàm số f x( ) không đổi dấu thì: ( ) ( )

b b

a a

f x dx f x dx





 Nắm vững cách tính tích phân hàm số chứa giá trị tuyệt đối  Diện tích hình phẳng giới hạn đường xg y( ),

( )

xh y hai đường thẳng yc,yd xác định: ( ) ( )

d c

S 



g y h y dy

2 Thể tích vật thể thể tích khối trịn xoay a) Thể tích vật thể:

Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; ( )

S x diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x, (a x b) Giả sử S x( ) hàm số liên tục đoạn

 

a b;

b) Thể tích khối trịn xoay:





b

a

S x dx

V ( )

x

O a b

( )

S(x)

x

 



 

     

1

2

( ) : ( )

( ) : ( )

( )

C y f x

C y f x

H

x a x b

1

( )C

2

( )C





b 

a

S f x1( ) f x dx2( )

a c1 y

O c2 b x

     

    

( ) ( )

y f x y 0 H

x a x b a c1 c2

 ( )

y f x y

O c3 b x





b

a

- Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y f x( ), trục hoành hai đường thẳng xa, xb quanh trụcOx:

- Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường xg y( ), trục hoành hai đường thẳng yc, yd quanh trục Oy:

- Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới

hạn đường y f x( ), yg x( ) hai đường thẳng xa, xb quanh trục Ox:

2

( ) ( )

b a

V 



f x g x dx

( ) : ( ) ( ) :

 

 

      

C y f x

Ox y 0

x a

x b

 2

( )

b x

a

V   f x dx a

 ( )

y f x y

O b x

c y

O d

x

( ) : ( ) ( ) :

 

 

      

C x g y Oy x 0 y c y d





2

( )

d

y c

BÀI TẬP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM

VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP

1



(7x3)dx

16.



 3 2

x x

dx

2



  dx x

x x

3

5 17.



 dx

x x

2 )

(

3



 x dx

x )

3

( 18.



 x dx x

cos

sin

4

2

x x

dx x

  



19.



 dx

x x

2

5.



  dx

x x x

2

3

20.



 5

x x

xdx

6.



 dx

x x

2 2

)

( 21.



(tanx -cotx)2dx

7.





  



  

dx x x x

3

22.







dx

x x

e

8





2 x33 x2 2



dx 23.



21



1 1



x

dx

x x



 



9



 dx x x

3

4 24.





dx

x e

10

2

3x x x dx x

 



25





  

 

  dx

x

x x

2 cos

e e

11



sin2xdx 26



23x1dx 12



sin2x.cos3xdx

27.



 x dx x

sin

cos3

13.



sin(2x1)dx 28



cos3xsinxdx

14.



xdx

2 sin

2 29



xdx

2 tan

15



 )

( x

dx

30





dx

x x

BÀI TẬP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

1



(3x2)10dx 21.



 dx

x x

3 2

3

2



53xdx

22



dx x e x

3



x2 1.xdx 23.



2014

x xdx

4



3 5x

dx

24.



 )

( x

dx

5



(x3 5)4x2dx 25.



(2x2 1)7xdx

6



x x1.dx 26.



sin2014xcosxdx

7.



x.ex21dx 27.



dx

x x

5 cos

sin

8 dx

x x



ln3 28.



cotgxdx

9.



x2 x31.dx

29.



x tgxdx

2 cos

10.



x3 x2 1.dx 30.



tgxdx

11.



3x xdx

sin cos

31.



 2 x

dx x

12.





)

( x

x dx

32.



5 2x

e dx

13.



1

x

e

dx 33.



x2 1x2.dx

14







2

x x

dx

34

( ln )

x x

xe

dx

x e x

 

15



3

x x

e dx

e 35.



x dx

sin

16



1x2.dx 36.



x dx

cos

17



 x

dx

37

tanxdx



18



 x

dx

38

cotxdx



19



dx

x etgx

2 cos

39 (s inx+ cos ) s inx cos

x dx x





20



e x xdx

sin cos

40



sin3xdx

BÀI TẬP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƢƠNG PHÁP

NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

1



x.sinxdx 21.



xlnxdx

2



xcosxdx 22.



lnxdx

3



(x1)sinxdx 23.



ln2 xdx

4



xsin2xdx 24.



x2lnxdx

5



xcos2xdx 25.



sin x dx

6



x.exdx 26.



x xdx

ln

7



xlnxdx 27.



 dx

x x

2 ) ln(

8



x2cosxdx

28.



xln(1x2)dx

10



xsin2 xdx 30.



ln(x2 1)dx

11.



x3ex2dx 31.



(2x3)lnxdx

12.



x2cos2xdx

32





dx

x x x x



  

1 ln

2

13.



(x2 2x3)cosxdx 33.





1tanxtan2 x



exdx

14.



ex.cosxdx 34.



cos

 

lnxdx

15.



dx

x x

2 cos

35.



2xln(1x)dx

16.



xtan2xdx 36. dx

x x x



ln11

17.



(2x3)exdx 37.



x2ln2xdx

18.



x2exdx 38.



cosx.ln(1cosx)dx

19.



e xdx 39.



e2xcosxdx

20 ex xdx



sin 40. dx

x x



cos ) ln(cos

CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ

CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

Ví dụ 1: Tính tích phân I=

2

(x 2x1)dx



Giải:

I =

2

(

x



2

x



1)

dx



=





4

2

1

1

1 2 1

4 4

x

x x

           

   

 

Ví dụ 2: Tính tích phân I=

1 1

x

e  dx





Giải:

I=

1 1

x

e



dx





=

1

1

1

( )

3

x

e

e e

 

 

 

 

 

Ví dụ 3: Tính tích phân

sin

sin

x cosx

I dx

x cosx







 

   

 



Giải:









2

4

sin

sin 2

ln sin ln

sin sin

4

d x cosx

x cosx

I dx x cosx

x cosx x cosx

 

 

 

 



 

       

 

 





Ví dụ 4: Tính tích phân

dx I

cosx



 



Giải:

2 2

2

0 0

2

tan

1

2

2

x d

dx dx x

I

x x

cosx

cos cos

     

   

    



TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP

1 I =



  )

( x x dx 16 I =





1 dx e x

2 I =



   1 ) 2

( x x dx 17 I =

1

(exx dx)



3 I =

2

(exx 1)dx



18 I =





02cos3 sin  dx x x

4 I =



   3 2 dx x x x x

19.I =

sin x dx





I =

1

(x x x dx)



20 I =



4 

0 4 ) cos (sin  dx x x

6 I =

2

3

-1

x - 2x - x



2 dx



21 I =





2 6 ) cos (sin  dx x x

7 I = dx

x x



       

22 I =





x x



dx

3 cot tan  

8 I=



  

e dx x x x x x

23 I =

3 sin x dx cos x 



9 I = dx

x x



    3

24 I = dx

x



2 4 sin  

10 I = dx

x x x x e



   3 11

25 I =

dx

x





cos

1

11 I =

( x1)(x x1)dx



26 I = cos2x(sin4x cos4 x)dx

0







12 I =





1

sinxdx 27 I =



4 sin   dx x

13 I =



cos



xdx 28 I =



3 2 sin   dx x

14 I =



tan



xdx 29 I =









15 I =



cot



xdx 30 I =2

0

1 cos x

dx

1 cos x









LUYỆN TẬP DÙNG VI PHÂN

1/





1

2

11

dx I

x 







6 I = 2cox xcos2xdx

0





2. I =

x

x

e

dx

e

1

 





I = x dx

  

  



sin 3

1

2 



3

3

(1 )

I 



x x dx

8 I =



xdx

2

5 sin



4 22

3

3

I 



x dx 9. I = 2

0

sin 2x(1 sin x) dx







5 I = x x 2015dx

3

2 ) ( ) (



  10. I =

e

1

sin(ln x)

dx

x



LUYỆN TẬP DÙNG VI PHÂN 2

1

3

I cos xdx









4

1

I dx

x







2 I=

dx

x

e

x



4 

0

2 tan

cos



7 I = sin x2

e

sin 2x dx







3. I= x x2 2015dx

3

) (





8 I =

2

0

1 2sin x

dx

1 sin 2x



 



4

3

0

I 



x x dx

9 I =

sin x.ln(cos x)dx 



5. I =

1

2

x

dx

4 x





10. I =

4

tgx dx x



2 PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

a Phƣơng pháp đổi biến số dạng

Định lí Nếu 1) Hàm

x



u t

( )

có đạo hàm liên tục đoạn



 

;



, 2) Hàm hợp

f u t

( ( ))

xác định



 

;



, 3)

u

( )





a u

, ( )





b

,

'

( ) ( ( )) ( )

b a

I f x dx f u t u t dt













PHƢƠNG PHÁP CHUNG

 Bƣớc 1: Đặt x = u(t)

 Bƣớc 2: Tính vi phân hai vế: xu(t)dxu'(t)dt Đổi cận:

 

    

t t a x

b x

 Bƣớc 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t

Vậy: 







 







 



dt t g dt t u t u f dx x f I

b

a

) ( )

( ' ) ( )

( ( ) () ()

 

G G

t

G  



* Các dấu hiệu đổi biến thƣờng gặp :

Dấu hiệu Cách chọn

2

a x

Đặt x = |a| sint; với ; 2

t   

 

hoặc x = |a| cost; với t

 

0; 2

x a

Đặt x = a

sint ; với t 2; \

 

 

 

  

 

hoặc x = a

cost ; với t

 

0; \ 

  

  

 

2

a x

Đặt x = |a|tant; với ; 2

t    

 

hoặc x = |a|cost; với t



0;



a x

a x





a x

a x



 Đặt x = acos2t

2

a x Đặt x = atant; với t 2;

 

 

  

 

Ví dụ 1:

2

1x dx



Giải: Đặt x=sint với : ;

2

t   

   dx=costdt

Đổi cận:

x

t

2



Do : f(x)dx= 2 1





1 sin ostdt=cos os2t

2

x dx tc tdt c dt

    

Vậy :





1

0

1 os2t 1 1

( ) sin 2

2 2 2

0

c dt

f x dx t t

 

 

     

        

   





Ví dụ 2: Tính

2

0

.I 



x 1x dx

Giải: Đặt x = sint, ;

2

t   

 . dx = costdt

Đổi cận:

x

t

2



Khi đó:

2

0

.I 



x 1x dx

2

2

0

sin t sin t costdt







 2

0

sin

4 tcos tdt







2

0

sin

4 tdt











2

1

8 cos t dt







 1sin

8

0

t t



 

   

  16





Ví dụ 3: Tính

1

x

I dx

x

 



Giải: Ta có:

 

1 3

2

8 4

0

1 1

x x

dx dx

x  x

 

Đặt x4 tant với 1





; tan

2

t     x dx  t dt

 

Đổi cận:

x 0

t

4



Khi đó:

 

1 3 4

2

8 4

0 0

1 tan 1

1 1 tan 4 16

0

x x t

I dx dx dt dt t

x x t

  





     

  









Ví dụ 4: Tính

1 2

4

1

x

I dx

x x



 

 



Giải:

Ta có:

1 5

2

2 2 2

2

2

1 1

2

1

1 1

1

1 1

1 1

x x x

dx dx dx

x x

x x

x x

    



  

    

     

 

 

 







Đặt t x dt 12 dx

x x

 

     

 

Đổi cận:

x 1

2



t

Khi đó:

2

dt I

t

 



Đặt





tan tan

t udt  u du

Đổi cận:

x

t

4



Vậy

1 4

2

0 0

1 tan

1 tan

0

dt u

I du du u

t u

  





    

 







Ví dụ 5: Tính dx x x



2 

2 sin

cos



Đặt sinx = tant với





; tan

2

t    cosxdx  t dt

 

Đổi cận:

x

2



t

4



Khi đó:

2

2 4

2

0 0

1 tan

1 sin tan

cosx t

I dx dt dt

x t

  





   

 







b Phương pháp đổi biến dạng

Định lí: Nếu hàm số

u



u x

( )

đơn điệu có đạo hàm liên tục đoạn

 

a;b cho



u x



u x dx g u du

g dx x

f( )  ( ) '( )  ( ) thì: 







) (

) (

) ( )

(

b u

a u b

a

du u g dx x f

I

PHƢƠNG PHÁP CHUNG

 Bƣớc 1: Đặt uu(x)duu'(x)dx  Bƣớc 2: Đổi cận :

) (

) (

a u u

b u u a x

b x

    

 Bƣớc 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến u

Vậy: 







 





) (

) (

) ( )

( ' ) ( )

(

b u

a u b

a b

a

du u g dx x u x u g dx x f I

Ví dụ 1: Tính

ln 2

3

3

x x x x

e e

I dx

e e

 

 



Giải: Đặt x

e

t dt exdx

Đổi cận:

x ln2

t

Khi đó:



 



ln 2 ln 2

2 2

0 1

2

1

3 3

3 3 2

2

1 27

2 ln ln 2 ln ln ln ln ln ln ln ln ln

1

1 2 16

x x x

x

x x x x

e e e t

I dx e dx dt dt

e e e e t t t t

dt dt t t

t t

    

       

         

              

 













Ví dụ 2: Tính





1 ln

x

I dx

x

 



Giải:

Đặt ln 2





2

dx

t x dt

x



   

 Đổi cận:

x 1

t ln2

Khi đó:





1 ln 2

0 ln

ln

ln ln

2 2

x t

I dx tdt tdt

x



     









BÀI TẬP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG

Luyện tập

1 I =

1

2

1

dx x





KQ:

2





  

1

1

dx x x

I KQ: 2

2 I =

2

2

1

dx

x x

 



KQ:

6 

7 dx

x x

I



 

2 /

0

2

KQ: 1

2

I   

 

3 





a

dx x a x I

0

2 2

KQ: 16

4

a



8 dx

x x

I



 

 

0 1

1

KQ: 1

4

1

2 2

1

x

I dx

x







KQ:

1 dx

x x

I



 

6

2

KQ: 36



5

4

x

I dx

x x



 



KQ: 18

3



10 dx

x x

I



  

0

1

KQ:

9



Luyện tập

1. I =





3

2 x x2

dx

KQ: 12



11 I



x dx 

 

3

2

4 KQ:  

2 I xdx

x

2

2  





KQ:  2 12



  

1

5 4x x

dx

I KQ:

3 I 



x x dx 2 KQ: 3 2 

13 x x dx

1

2 2

0

1 1 



KQ:

8 12   

4. I=

1 dx

x x 



KQ:

3 8 14 dx x a x a I a



  

 KQ: 

       a

5 I=







   4 tan tan cos sin 

 x x x

xdx KQ: 3 ln

2   15 1 I dx x x    



KQ:

18 

6 dx

x x

I 





3 2

KQ:

 

2 2 ln   

 16 dx

x x I



 

KQ: 3



7 I 



x x  dx

1 KQ: 2 

17 dx

x x dx I



    2 KQ:

8 I



x dx

   2 KQ: 3  

18 I 



x xx dx

2

2

2 KQ:



 2 2 a x a dx

I



a0



KQ:

 19/ dx

x x x I



  cos cos tan  

KQ:2

10



  a x a dx I

2



a0



KQ:

a

4 

20





1

3

1

I 



x dx KQ: 16 3

BÀI TẬP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG

Luyện tập

1

3

0

.I 



x 1x dx

KQ: 15 1 ln e x I dx x 





KQ:



2 1



3  2 1 x x I dx x    



KQ:

5 54 x I dx x x   



KQ:

15 15

2

3





1 ln e I dx x x  



KQ:-ln2

1

15

0

I 



x  x dx KQ:

270 29 dx I x x  



KQ: ln



1



  dx I x x  



KQ:

4 ln

5





1

4

1

I 



x x  dx KQ:

20 31

10 I =

3

3

3

x

dx

x x

   



KQ:

2 ln 3 

Luyện tập

1 tan cos 





x

I dx

x KQ: ln 1

 11 I x dx

x x

2

3

cos2 (cos sin 3)

 

 



KQ:

32



2

ln

ln 2

x x x e dx I e e    



KQ: 2ln3 - 12. I x x dx

1

5

0

(1 )





 KQ: 168

1

3 I dx

x x 4 sin cos  





KQ:

4

8  13.I x dx

x 3  



KQ:        

4 I = dx

x x

3

4

4 sin cos







KQ: 4



8 31



14.I x dx

x sin cos2 





KQ: ln 2 2

 

5 I xdx

x x

4

2

tan cos cos

 





KQ: 3 15

x I dx x x 1   



KQ:

5 ln 27 100

6 I dx

x x 43 1 ( 1)  



KQ: ln23

1 16.

5

ln( 1)

1      



x I dx

x x KQ:ln ln

2 

7 I x dx

x

4

2

1

 

 



KQ: 22ln2 17



x



8 I







  

4

2 1

1

dx x x

KQ:

4 ln

2  18 I x x xdx

2

6

1

2 cos sin cos





 KQ:

91 12

9 I x xdx

x

4

cos sin sin2



 





KQ:

12

 19 I x dx

x

1

 



KQ:

18 

10

x x x x

e e

I dx

e e

ln3

0

2

4

 

 



KQ:

3 ln 8

20





x

I dx

x

4

2

1

1

 

 



KQ: 2ln2

4 

3 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Định lí . Nếu u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục

 

a b

;

thì:

'





'

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b b

a a

b

u x v x dx u x v x v x u x dx

a

 





Hay



b a

udv a b uv

 



b a

vdu

PHƢƠNG PHÁP CHUNG

 Bƣớc 1: Viết f(x)dx dạng

udv



uv dx

' cách chọn phần thích hợp f(x) làm u(x) phần lại dvv'(x)dx

 Bƣớc 2: Tính duu'dx v



dv 



v'(x)dx  Bƣớc 3: Tính



b a

dx x

vu'( )

a b uv

*Cách đặt u dv phƣơng pháp tích phân phần Đặt u theo thứ tự ưu

tiên: Lốc-đa-mũ-lượng

( )

b

x a

P x e dx



( )ln

b

a

P x

xdx



( ) cos

b

a

P x

xdx



cos

b x a

e

xdx



u P(x) lnx P(x) x

e

dv x

e dx

P(x)dx cosxdx cosxdx

Chú ý: Nên chọn u phần f(x) mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn

dv



v dx

' phần f(x)dx vi phân hàm số biết có ngun hàm dễ tìm

 Dạng

sin ( )

ax

ax f x cosax dx

e





 

 

 

 

 



Đặt

( ) '( )

sin sin

cos

ax ax

u f x du f x dx

ax ax

dv ax dx v cosax dx

e e

 

 

     

 

      

     

     

 



 Dạng 2: f x( ) ln(ax dx)







Đặt ln( ) ( )

( )

dx du

u ax

x

dv f x dx

v f x dx

 



 

  

  





 Dạng 3:



















dx

bx

bx

e

ax

cos

sin

Đặt

1

cos

sin

ax

ax

du

ae dx

u

e

dv

bxdx

v

bx

b

























Hoặc

1

sin cos

ax

ax du ae dx

u e

dv bxdx v bx

b

  

 

  

 

 

Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân phần hai lần sau trở thành tích phân ban đầu Từ suy kết tích phân cần tính

Ví dụ 1: Tính

2

x

I 



xe dx

Giải

Đặt 2 1 2

2

x x

du dx

u x

v e

dv e dx

  

 



   

 

Áp dụng cơng thức tính tích phân phần:

 





1 1

2 2 2 2 2

0 0

1

1 1 1 1 1

2

0

2 2 4 4

x x x x x e

I 



xe dx xe 



e dx e 



e d x  e  e  e  e   

Ví dụ 2: Tính

2

os3xdx

x

e c





Giải: Đặt: u = e2x

, du= 2e2xdx dv = cos3xdx, v =sin 3x

3

2

2x 2x

1

0

sin 3x

2

2

sin 3x dx=

3

3

3

3

e

I

e

e

I

 

























Tính I1 Đặt

2x 2x

' 2e

ue u 

sin 3x, v'= -cos3x

2 2

2 x x x

1

0

0

os3x

sin 3x dx os3x dx

3

  

 

    

 



c



I e e e c

3 I

 

Do đó:

2

3 3 9

3e

13

e e

I I I

I

 



 

         

 

   

Ví dụ 3: Tính

sin

sin

x

I e xdx







Giải:

2

sin sin

0

sin 2 sin

x x

I e xdx e xcosxdx

 









Đặt t = sinx  dt = cosxdx

Đổi cận:

x

2



t

Khi đó:

1

sin

0

2 xsin t

I e xcosxdx te dt











Đặt:

t t

u t du dt

dv e dt v e

 

 



   

 

Áp dụng cơng thức tính tích phân phần:

1

0

1 1

1

0 0

t t t t t

te dtte  e dtte e 





Vậy I =

Ví dụ : Tính





2

ln sin

I cosx x dx









Đặt: ln sin





sin

os

sin

cosx

u x du dx

x

dv c dx

v x

 

 

 

 



  

















2

6

1

2 2

ln sin sin ln sin in ln sin sin ln

2

6 6

I cosx x dx x x cosxdx x x x

 

 

  

  





 



   

Ví dụ 5: Tính





1

4 ln

e

I 



x xdx Đặt:





ln

2

dx

u x du

x

dv x dx

v x x



 

 

   

   

Áp dụng công thức tính tích phân phần:

















1

4 ln ln 2

1

e e

e e

I 



x xdx x x x 



x dx e  e x x e 

BÀI TẬP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1





1

3

3 x

I 



x e dx

KQ: e

 16





1

2

ln

I 



x x  dx KQ:

2 ln  2 cos x

I e xdx

 



KQ: 2   e

17 I x xdx

x sin cos 





KQ:

2 



3





ln3

2

x

I





x



x e dx

KQ:ln238ln312e 18 I 



e x xdx sin sin  KQ:

ln(x 1)

I dx

x







KQ:2 ln 5ln

 19. I = x dx

x

2

ln( 1)



KQ: ln3

2 ln

3 

5 



2 sin  xdx x

I KQ: 16   20 sin xdx I x  





KQ:

2 ln 36 ) (    3

x sin x

I dx.

cos x 

 





KQ:

3 ln   

 21 I = 2





2

2x osc xdx







KQ:

8 2  



7 I x dx

3 2

1





 KQ:





ln2

4 1 ln 2

5    22 I =





2 2 x x e dx x

8

1 sin

osx

x

x

I e dx

c



 





KQ:



e

23 I





x x



dx

2

ln KQ: 2-3ln3

9 I x x dx

2

sin ln(1 sin )







 KQ:

2 

 24 I e x xdx



2

2 cos3 

KQ:

13 

  e

10 I x dx

x

8

ln 





KQ:20ln26ln34 25

2

1

1

( ) 





  x

x

I x e dx

x KQ:

2

e

11





1

2

2 x

I 



x e dx KQ:

3 5 e2

26 I 



x xdx

0

2

cos



KQ:

8 2



12. I =





4

4 sin

x x xdx



 



KQ:

8

2  

 27 I xdx

e





3

ln

KQ: 6-2e

13 I xexdx



1

3 KQ:

2

28 I



x



e x x



dx



  

1

1 KQ: 28

9 

14 I x xdx

e





2

ln KQ: 32

1 5e4 

29.I 



3x xdx

4

tan 



KQ:



1 3



ln

24

   

15 









0

2

1 ln x dx x

I

KQ:

6 ln

1  

30

e x

I x dx

x x

2

ln ln

1 ln

 

   



 



KQ:

 

3 2 3e 

BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ



   5x x dx I

KQ: ln 16 dx x x x I



    1 KQ: 1

2 2 x I dx x x    



KQ: 3ln2 ln

3 17

x I dx x 2001 1002 (1 )  



KQ: 1001 2002

3.I x dx

x 3  



KQ:





12 ln

1    18

x I dx x 2 1   



KQ:

1 2 ln 2  

4.I x dx

x x

2

2

1 12



 



KQ: 25ln2 16ln3  19 I 



x xx dx 11

KQ: ln2 dx x x I



 1 )

( KQ: ln2 3

20 dx

x x x I



   4 4

KQ: 3ln2

2 3 









  1 2 x x dx I KQ: ln 2

 21









x I dx x 99 101   



KQ: 900 2100

7 dx x x x I



    3 ) ( KQ: ln 15 22 dx x x I



   2

KQ: ln 2   



  3 x x dx I

KQ: ln 23 dx x x x I



    1

9 I x dx

x

1

2 0(1 ) 





KQ: 24



  ) (x x dx I

KQ: 117 41

135 12



 

10



   2 2x x dx

I KQ:

2  25 (2 1) x dx I x x    



KQ: ln2

8 3 

12 I x dx x 1   



KQ: 12

 27



   01 dx x x

I KQ: 11 4ln2

3 

13 dx

x x I



   KQ:   28 dx x x x I



  2 5 ) (

KQ:





165 31 33 ln ln

1  

14 I dx

x x  



KQ:

8 ln 2 ln

3  

 29.



  2 ) (x dx

I KQ:

8 1

15 I dx

x x

3

6

1 (1 )







KQ: 117 41 135 12



  30.



      0 2 3 9 dx x x x x x I KQ: ln 19 ln

33  

BÀI TẬP TÍCH PHÂN LƢỢNG GIÁC

1 4 I dx cos x  



KQ:

4 16 I =2 3

0

( cos x sin x )dx





 KQ:

2

3

0

sin

I xcos xdx







KQ:

12

1 17

2

0

3sin cos 3sin cos



 





x x

I dx

x x

KQ: ln3

6   2 sin x I dx cos x   



KQ: ln2 18

x I dx x tan( ) cos2   





KQ: 1 sin I xdx 





KQ:

19.I =

2

2

0

os cos

c x xdx





KQ:

8 

5 I =

3 2 s inxcos os x dx c x  



KQ:

2 ln 1



20 I =





4sin s inx+cosx xdx 



KQ:

6

2 2

0 sin sin xcosx I dx

a cos x b x









KQ:

b

a 

1

21 I =

3

1 s inxsin x+

6 dx         



KQ:

7.I =





2

10 10 4

0

sin x cos x sin xcos x dx



 



KQ:

64 15

22 dx

x x x I



  2 cos sin 2 sin  KQ: ln

8





2

2

sin

I xcosx cosx dx







 KQ:

12 17

23 I =

2

3

0

sin xcos xdx





KQ: 35





12 sin I dx x cosx     



KQ:

3 24 I = 11

0

sin xdx





KQ: 21 118 10 4 sin sin x I

x cos x









KQ: ln2 25. dx

x x

I



 

0 cos2 cos  KQ: 

11. I =

2

02 s inx+cosx

dx  



KQ:      

arctan 2 arctan 26 dx x x I



  /3

0 cos sin  KQ: ln 5  I

12 I = 4 os sin c x dx x  



KQ: 12 23 

 27 / cos x

0

e

sin 2xdx





KQ: 2(e - 2)

13. I = 2 sin os x dx c x  



KQ: ln 28 2 os3xdx x e c 



KQ:

13 e   14 tan dx I x   



KQ: ln   29 sin cos 





x x

I dx x KQ: 2 2 ln     15 sin x I dx cos x   



KQ:

BÀI TẬP TÍCH PHÂN LƢỢNG GIÁC tan I xdx 





KQ:



1 ln2



1 

11 I x dx

x x

4

2

tan cos cos











KQ:

3 3

2 



4 cos sin 

 x x

dx I KQ:  12 2

tg x

cot g x

2dx











KQ: ln2

3 I xdx

x 2 sin sin3  





KQ: ln



2 3



1 

13 I x dx

x x 4 sin sin cos   



KQ:2

4





x x I dx x cos2 sin2   



KQ:

16   14 6 sin os sin x dx

c x x







KQ: ln2

5 I x dx

x x 6 sin sin cos   



KQ: 15





x I dx x x sin sin cos









KQ:

6

6 I x xdx

x

2

2

sin cos cos













KQ

12

7  

16 dx

x x x I



  3 6 sin sin cos  

KQ:









ln  

7 I x x dx

2 sin sin



   

KQ:

2



 



 

 

17 I



ex xdx

1

2 ) (

sin  KQ:







4 1



     e I

8 I x e dxx

x

2

1 sin . cos



  

   

 



KQ:



e 18 dx

x x x I



  2 cos cos sin 

KQ:



1 ln2



1



9 dx

x x I



               

2sin 4 sin



 



KQ:0 19 



2 sin  xdx e I x KQ: 20  e 10 1 sin 2xdx







KQ:1 20 dx

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI

1.

1

x x

(2x 1)e





dx



(ĐH Dược_81 )

2.

Với x

0;

4







  





xác định a,b cho

1

a cos x

bcos x

cos x



1 sin x





1 sin x



3.

Tính

/

3

dx

dx

I

J

cos x

cos x









(ĐH BK TH_82)

4.

/

sin x

cos x 1

dx

sin x

2cos x

3













(Bộ Đề)

5.

3

(3x 1)dx

(x

3)







(Bộ Đề)

6.

3

xdx

(x 1)





(Bộ Đề)

7.

4

x

1

dx

x

1







(Bộ Đề)

8.

2x

0

e

sin xdx





(Bộ Đề)

9.

/

cos xdx

2

cos 2x







(Bộ Đề)

10.

2

dx

x

2x cos

1

,(0< < )



 



 



(Bộ Đề)

11.

2a

2

a

x



a dx

,(a>0)



(Bộ Đề)

12.

/

0

4sin xdx

1 cos x







(Bộ Đề)

13.

a

2

0

x



a dx



(Bộ Đề)

14.

0

1 sin xdx







(Bộ Đề)

15.

/

2

/

dx

sin x cos x







(Bộ Đề)

16.

dx

x 1

 

x 1



17.

Gpt

x

2

(u



x )du



sin x



(Bộ Đề)

18.

b

2

x ln xdx



(BK_94)

19.

/

2

x cos xdx





(BK_94)

20.

2 /

dx

x x



1



(BK_95)

21.

cos x

sin xdx





(BK_98)

22.

Cho hàm số:

f(x)



sin x.sin2x.cos5x

a.

Tìm họ nguyên hàm g(x)

b.

Tính tích phân:

2 x

f(x)

I

dx

e

1











(BK_99)

23.

ln 2x x

e

dx

e



1



(BK_00)

24.

x

1

dx

x

1







(XD_96)

25.

/

cos x

2sin x

dx

4cos x

3sin x









(XD_98)

26.

3

3dx

1 x





(XD_00)

27.

4

0

dx

x



4x



3



(ĐH Mỏ_95)

28.

/

2

/

tg x

cot g x

2dx











(ĐH Mỏ_00)

29.

/ /

dx

sin x sin(x

/ 6)







 

(ĐH Mỏ_00)

30.

6

/

x /

sin x

cos x

dx

6

1











(ĐH Mỏ_01)

31.

2

ln(x 1)

dx

x



32.

/

3

sin xdx

sin x

cos x







(ĐH GT VT_95)

33.

5

0

x x dx





(ĐH GT VT_96A)

34.

1/

3x

2

0

x

1

5

dx

4x 1

sin (2x 1)























(ĐH GT VT_97)

35.

/

3

x 1

dx

3x 1







x

4

(10

sin x)dx









(ĐH GT VT_98)

36.

1

1

x

I

dx

x.arctgxdx

5 4x













(ĐH GT VT_99)

37.

/

2 /

x

cos x

dx

4 sin x











(ĐH GT VT_00)

38.

/

3

5cosx

4sin x

dx

(cosx

sin x)









(ĐH GT VT_01)

39.

/

4

0

cos x

dx

cos x

sin x







(ĐH GTVT HCM_99)

40.

/ /

sin x

dx

cos x







(ĐH GTVT HCM_00)

41.

2

2

x

1

dx

x x

1











(HV BCVT_97)

42.

/

2

sin x cos x

dx

1 cos x







(HV BCVT_98)

43.

1

x

x

dx

1 2







(HV BCVT_99)

44.

0

x sin x cos xdx





(HV NH_98)

45.

/

2

0

I

cos x cos 2xdx







/

2

0

J

sin x cos 2xdx



46.

/

2

x

sin x

dx

cos x







1

2

x

dx

x



x



1



(HV NH HCM_00)

1

2

2

0

sin 4x

x ln(x

1)dx

dx

1 cos x









47.

0

1 sin xdx







(ĐH NThương_94)

48.

1

2

0

dx

x

3x

2

dx

x

3

(x

3x

2)















(ĐH NThương_99)

49.





/

3

cos2x

dx

sin x

cos x

2









(ĐH NThương_00A)

50.

1

2

x

2x

10x 1

dx

x

2x

9













(ĐH NThương_00)

1 2

x

3x 10

dx

x

2x

9











51.

/

6

0

sin 4x

dx

sin x

cos x







(ĐH NThương_01A)

52.

2

2

I

ln(x

1 x )

dx























(ĐH KT_95)

53.

5

0

x (1 x ) dx





(ĐH KT_97)

54.

/

4

0

dx

I

dx

cos x

x

1

1

0

x

J =











(ĐH TM_95)

55.

x xdx





(ĐH TM_96)

56.

7 ln x

x

3

0

x

1 e

I

dx

dx

1 e

1 x

J =













(ĐH TM_97)

57.

ln x

dx

e



5

58.

2

dx

x (1 x)





(ĐH TM_99)

59.

/

3

4sin x

dx

(sin x

cos x)







(ĐH TM_00)

60.

11

sin

xdx





(HV QHQT_96)

61.

/

2

0

sin x cos xdx





(ĐH NN_96)

62.

e

2 1/

ln x

dx

(1 x)





(ĐH NN_97)

63.

/

2

cos x cos 4xdx





(ĐH NN_98)

64.

/

3

x 1

dx

3x 1







(ĐH NN_99)

65.

1

2

(1 x

 

x ) dx



(ĐH NN_01D)

66.

/

x

0

e cos xdx





(ĐH Thuỷ Lợi_96)

67.

1 cos 2xdx







(ĐH Thuỷ Lợi_97)

68.

3 2

4

1

x

1

dx

I

dx

x

x

1

J =

x(x

1)















(ĐH Thuỷ Lợi_99)

69.





/

0

ln tgx dx







(ĐH Thuỷ Lợi_01A)

70.

/

2

0

3sin x

4cos x

dx

3sin x

4cos x









(ĐH Thuỷ Lợi_00)

3

3

0

x



2x



xdx



71.

/

0

sin x.cosx

dx

sin 2x

cos2x







(ĐH Văn Hóa_01D)

72.

/

2 2

0

sin x cos x

dx a, b

0

a cos x

b sin x

;







73.

2 / 2

x

dx

1 x





(HV TCKT_97)

74.

/

2

x(2cos x 1)dx







(HV TCKT_98)

75.

/

2 /

cos x

sin x

1

dx

dx

3 sin 2x

x

1

1

0

x

















(HV TCKT_99)

/

4

0

sin x

7cos x

6

dx

x cos x sin xdx

4sin x

3cos x

5

















76.

4

0

x

dx

x



x



1



(HV TCKT_00)

77.

/

2

(x

1)sin xdx







(ĐH Mở_97)

78.

/

0

4sin x

dx

1 cos x







(ĐH Y HN_95)

79.

1

2

2x x

1/

dx

1 x dx

e

e











(ĐH Y HN_98)

80.

/

dx

x

sin

2







(ĐH Y HN_99)

81.

/ 2

4

2

/

x

tg xdx

dx

x

7x 12













(ĐH Y HN_00)

82.

3 2

x



1dx



(ĐH Y HN_01B)

83.

1

x



1dx



(ĐH Y TB_97B)

84.

/

2

dx

2 cos x







(ĐH Y TB_00)

85.

2

(1 x ) dx





(ĐH Y HP_00)

86.

2 /

x /

x sin x

I

dx

1 2













(ĐH Dược_96 )

87.

/

x

1 sin x

e dx

1 cos x







88.

10

x lg xdx



(ĐH Dược_01A)

89.

x

ln

2 x

0

dx

x.e

dx

e

1









(HV QY_97)

90.

3

3

2

2

dx

sin x

dx

x x

1

4 5x











(HV QY_98)

91.

1/

0

dx

1 cos x





(HV QY_99)

92.

/

2 /

cos x ln(x

1 x )dx











(HV KT Mật Mã_99)

1 /

6

0 /

x

1

dx

dx

x

1

sin x cos x













93.

2

xtg xdx



(HV KT Mật Mã_00)

94.

2

xdx

(x 1)





(HV KTQS_95)

95.

/

4

4sin x

dx

1 cos x







(HV KTQS_96)

96.

/

3 /

sin x

sin x

cot gxdx

sin x









(HV KTQS_97)

97.

2

dx

1 x

1 x





 



(HV KTQS_98)

98.

/

cos x ln(1 cos x)dx







(HV KTQS_99)

1/

2

0

dx

(2x



1) x



1



99.





2 b

2

a

x

dx

a

x







(a, b số thực dương cho trước) (HV KTQS_01A)

100.

a

2 2

0

x

x



a dx

,

a



0



(ĐH AN_96)

101.

x sin xdx

2

2

cos x





102.

/

3

4

0

dx

(cos x

sin x)dx

cos x









(ĐH AN_98)

1

2x

0

xe dx

x sin xdx

0







103.

2

dx

x x



9



(ĐH AN_99)

104.

2

2

0

3sin xdx

x x

1dx









(ĐH TD TT_00)

105.

2

(x ln x) dx



(PV BC TT_98)

106.

3

e

1

ln 2

ln x

dx

x





(PV BC TT_98)

107.

/

2

1 sin 2x

dx

cos x







(PV BC TT_00)

108.

3

3dx

1 x





(ĐH Luật _00)

109.

2 2x

(1 x) e dx





(ĐH CĐ_98)

110.

2 / /

2 x

0 0

dx

dx

(2x 1)cos xdx

1 sin 2x

e

1

 













(ĐH CĐ_99)

111.

1

2x

0

dx

ln(x 1)

dx

e

3

x









(ĐH CĐ_00)

112.

/ x

2x

/

1 sin 2x

cos 2x

(1 e )

dx

dx

sin x

cos x

1 e



















(ĐH NN I_97)

113.

/ /

2x

0

cos xdx

e

sin 3xdx

1 cos x

 







(ĐH NN I_98B)

114.

19

x(1 x) dx





(ĐH NN I_99B)

115.

2 /

2

1

dx

xtg xdx

x(x

1)









(ĐH NN I_00)

116.

6 /

4 /

cos x

dx

sin x







117.

ln(1 x)dx





(ĐH Lâm Nghiệp_97)

118.

1

2

x

sin x

dx

x

1









(ĐH Lâm Nghiệp_98)

119.

/

dx

2 sin x

cos x









(ĐH Lâm Nghiệp_00)

120.

1

x sin xdx



(ĐH SP HN I_99D)

121.

a

2 2

0

x

a



x dx

(a



0)



(ĐH SP HN I_00)

122.

1

3

0

x

1 x dx





(ĐH SP HN I_01B)

123.

2

xdx

x

2







(ĐH THợp_93)

124.

x sin xdx





(ĐH THợp_94)

/

dx

sin x

cos x







125.

dx

1



x



(ĐH QG_96)

126.

/

2

0

sin xdx

dx

x 1

x

1 cos x



 







(ĐH QG_97A, B, D)

1

2

0

x dx

xdx

4



x

4



x





127.

1 /

3

x

0 0

dx

sin x

x

1 x dx

dx

e

1

cos x













(ĐH QG_98)

128.

Tính

2

/ /

0

sin x

cos x

I

dx; J

dx

sin x

3 cosx

sin x

3 cosx

 













Từ suy ra:

5 /

3 /

cos2x

dx

cosx

3 sin x









(ĐH QG HCM_01A)

129.

/ /

x

0

2cos xdx

5e sin 2xdx

3 2sin x

 



130.

Cho f(x) liên tục R :

f (x)

  

f ( x)

2



2cos 2x

 

x

R

Tính

/

3 /

f (x)dx



 



(ĐH SP II _98A)

131.

/

10 10 4

0

(sin

x

sin

x

cos x sin x)dx









(ĐH SP II _00)

132.

3

2

1

3x

2

dx

dx

x

4

x

2

x

1





 









(CĐ SP HN_00)

133.

1 /

2

0

(sin x

2cos x)

x

1 x dx

dx

3sin x

cos x













(CĐ SP HN_00)

134.

2

0

sin x cos xdx





(CĐ SP MGTW_00 )

135.

/

0

1 sin x

dx

ln(

)dx

1 cos x

x(1

x )













(CĐ SP KT_00)

136.

1

2

x

1

1 x

1 x arcsin xdx

dx

1 2

 











(CĐ PCCC_00)

137.

x x

1

(e

sin x

e x )dx







(ĐH TN_00)

138.

3

2

t

dt

t



2t 1





(ĐH SP Vinh_98)

139.

1

2

1/

1 x

dx

x

1dx

1 x











(ĐH SP Vinh_99)

140.

1

2

(x

x)dx

x

1







(ĐH HĐ_99)

141.

/

0

dx

sin x cos3xdx

1 tgx

 







(ĐH HĐ_00)

142.

2

ln x

dx

x



(ĐH Huế_98)

143.

/

6

0

sin x

dx

sin x

cos x







(ĐH Huế_00)

144.

dx

2

 

x

1

145.

/

2

0

cos x

cos xdx

dx

1 sin x

1 cos x

 









(ĐH ĐN_98)

146.

/

4

0

dx

x ln xdx

cos x







(ĐH ĐN_99)

147.

/ /

/

sin x

cos x

sin xdx

dx

sin x

cos x

1 2cos x

 













(ĐH ĐN_00)

148.

2

x

x

arctgx

dx

1 x

 





(ĐH Tnguyên_00)

149.

2

2 10

0

x 1

dx

(1 3x)(1 2x

3x ) dx

3x

2















(ĐH Quy Nhơn)

150.

2

e e

1 1

2

ln x

ln x

dx

sin xdx

dx

2x

x











(ĐH Đà Lạt)

151.

2

2

0

x

1

x

x

1dx

dx

x 1











(ĐH

Cần

Thơ)

/ / /

4

0 0

cos x

sin x

sin 4x

dx

dx

dx

sin x

cos x

sin x

cos x

sin x

cos x

  













2

e 1

3 x

1 0

ln xdx

x

x e dx

dx

1

x

x(ln x 1)











152.

/ /

2

0

sin 2x(1 sin x) dx

sin x cos x(1 cos x) dx

 









2

/

2

x

0

x

2x

(x

1)sin xdx

dx













(ĐH Thuỷ sản NT)

153.

/ /

2

0

sin xdx

dx

x cos xdx

cos x

3

 







(ĐH

BK

HCM)

/

4

3

0

xdx

cos 2xdx

(2x 1)









154.

1

0

x sin x

dx

x xdx

9

4cos x











(ĐH Y Dược HCM)

155.

2 x

-sin xdx

1 sin xdx

1 3

 

 









(ĐH Ngoại thương)

e

2

1

x ln xdx

x

1 x dx



156.

2

0

x sin xdx

arctg(cos x)dx

1 cos x

 







(ĐH SP HCM)

/

4

0 0

sin xdx

4x 11

dx

cos xdx

sin x

cos x

x

5x

6



















157.

1 x

3 x

0 0

e

dx

x sin xdx

x sin xdx

1 e

 

 









(ĐH QG HCM)

1/ /

2

0

x

sin 2xdx

dx

x

1

1 sin x











/ /

4

0 0

sin 2x

xdx

dx

sin xdx

2x 1

1 cos x

 











/

2 x

0

sin x cos xdx

e sin ( x)dx









158.

1

x 2x

2

0

1

e

dx

(x 1)e dx

1 x























(ĐHDL NN Tin Học)

2

x

0

x dx



e

dx





159.

1 x

2 20

x

0

(1 e )

1 x dx

x(x

4) dx

dx

e













(DL)

e ln 2x x

2x x

1

1 ln x

e

3e

dx

dx

x

e

3e

2













160.

3

2

x

dx

x



1



(Dự bị_02)

161.





x ln

3 x

e

dx

e



1



(Dự bị_02)

162.





0

2x

1

x e

x dx









(Dự bị_02)

163.

/

6

0

1 cos x.sin x.cos xdx







(Dự bị_02)

164.

2

dx

x x



4



(Đề chung_03A )

165.

/

0

xdx

1 cos2x





166.

1

3

0

x

1 x dx





(Dự bị_03)

167.

2 /

0

1 2sin x

dx

1 sin 2x









(Đề chung_03B)

168.

2x ln

x ln

e

dx

e



1



(Dự bị_03)

169.

Cho hàm số:

f(x)

a

3

bxe

x

(x 1)







, tìm a, b biết rằng:

f '(0)

 

22

1

0

f(x)dx



5



(Dự bị_03)

170.

2

x



x dx



(Đề chung_03D)

171.

1 x

x e dx



(Dự bị_03)

172.

2 e

1

x

1

ln xdx

x





(Dự bị_03)

173.

2

1

x

dx

1



x 1





(Đề chung_04A)

174.

e

1

1 3ln x.ln x

dx

x





(Đề chung_04B)

175.





3 2

ln x



x dx



(Đề chung_04D)

176.

/

0

sin 2x

sin x

dx

1 3cosx









(Đề chung_05A)

177.

/

0

sin 2x.cos x

dx

1 cos x







(Đề chung_05B)

178.





/ sin x

e

cosx cosxdx







(Đề chung_05D)

179.

7

x

2

dx

x 1







(Dự bị_05)

180.

/ 2

sin xtgxdx





(Dự bị_05)

181.

/ cos x

e

sin 2xdx



182.

4

2

x

x

1

dx

x

4









(Dự bị_05)

183.





/

sin x

tgx

e

cosx dx







(Dự bị_05)

184.

e

x ln xdx



(Dự bị_05)

185.

/

2

0

sin 2x

dx

cos x

4sin x







(Dự bị_05)

186.

6

2

dx

2x 1

 

4x 1





(Dự bị_06)

187.





1

2x

x



2 e dx



(Đề chung_06D)

188.

/

0

(x 1)sin 2xdx







(Dự bị_06)

189.





2

1

x



2 ln xdx



(Dự bị_06)

190.

ln

x x

ln

dx

dx

e



2e





3



(Dự bị_06)

191.

10

5

dx

x



2 x 1





(Dự bị_06)

192.

e

1

3 ln x

dx

x ln x







(Dự bị_06)

193.

5

3

x

2x

dx

x

1







(CĐ SP_04A)

194.





3

3

x

2

x

2



  



(CĐ GTVT_04)

195.

4

5

x

dx

x



1



(CĐ KTKT_04A)

196.

3

3

dx

x



x



(Dự bị_04)

197.

ln

x 2x

ln

e



1.e dx



(Dự bị_04)

198.

2

0

x.sin xdx



199.

1

0

x xdx





(Dự bị_04)

200.

3

e

1

ln x

dx

x ln x 1





(Dự bị_05)

201.

/

2

(2x 1)cos xdx







(Dự bị_05)

THI ĐH 2005 -2008 Bài ĐH, CĐ Khối A – 2005



  

0 3cos sin sin



dx x

x x

I KQ:34

27 Bài ĐH, CĐ Khối B – 2005

dx x

x x I



 

0 cos cos sin



KQ: 2ln2 1 Bài ĐH, CĐ Khối D – 2005











sin

cos cos



xdx x

e

I x

KQ: e

4 

 

Bài Tham khảo 2005 dx x x I



  

0

3 1

KQ: 141 10 23,1

Bài Tham khảo 2005





2 sin



xtgxdx

I KQ: ln2

8



Bài Tham khảo 2005







 

0

sin cos



dx x e

tgx

I x

KQ:

1

ln e 1 Bài Tham khảo 2005



 ex xdx I

1

ln KQ: 2e3

dx x

x

I



1 

2

3

KQ: 6

5



Bài CĐ Xây Dựng Số – 2005



   

 

13

3 dx

x x

x

I KQ: 6ln3 8

Bài 10 CĐ GTVT – 2005 dx x x

I



1 

2

1 KQ:

105 Bài 11 CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005





3 sin



xdx e

I x

KQ:

3

3.e 34





Bài 12 CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005 dx

x x

I

3

3





 KQ: 848

105 Bài 13 CĐ Truyền Hình Khối A – 2005







2

2 sin

sin



dx x

x

I KQ: 1 ln2

2 Bài 14 CĐSP Tp.HCM – 2005



  



0

2

4 2x x

dx

I KQ:

18  Bài 15 CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005



 e

dx x

x I

1 ln

KQ: 1

e



Bài 16 CĐSP Vĩnh Long – 2005

dx x x I



  

7

1

1

KQ: 46 15 Bài 17 CĐ Bến Tre – 2005







0sin cos



dx x

x

Bài 18 CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005







 

3

2 2

0 2

cos sin

sin

2 cos cos sin

sin

 

x x

xdx x

J

x x

x

xdx I

KQ:

I ln2 J

3



  

Bài 19 CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005



 ex xdx I

1

ln KQ:

2

e



Bài 20 CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005

dx x x

I sin

4

2







KQ:

2

4  

Bài 21 CĐSP Hà Nội – 2005 dx x

x x x I



    

0

2

4

KQ: 6 



Bài 22 CĐ Tài Chính – 2005







 1

0

3 x

xdx

I KQ: 1

8 Bài 23 CĐSP Vĩnh Phúc – 2005





 e

x x

dx I

1 ln2

KQ: 

Bài 24 CĐSP Hà Nội – 2005







2004 2004

2004 cos sin

sin



dx x x

x

I KQ:

4 

Bài 25 CĐSP KonTum – 2005



 

0 cos

sin



dx x x

NĂM 2006

Bài ĐH, CĐ Khối A – 2006

2

2

0

sin2x

I dx

cos x 4sin x 







KQ: 2

3 Bài Tham khảo 2006

6

2

dx I

2x 4x



  



KQ: ln3

2 12 Bài ĐH, CĐ Khối D – 2006





1

2x

I



x e dx KQ:

2

5 3e



Bài Tham khảo 2006





2

0

I x sin2x dx 





 KQ:

4   Bài Tham khảo 2006





2

1

I



x ln x dx KQ: 5 ln4 4 Bài ĐH, CĐ Khối B – 2006

ln5

x x

ln3

dx I

e 2e



 



KQ: ln3

2 Bài Tham khảo 2006

10

5

dx I

x x



 



KQ: 2ln2 1

Bài Tham khảo 2006

e

1

3 2ln x

I dx

x 2ln x  





KQ: 10 11

3  Bài CĐ KTKT Công Nghiệp II – 2006





1

2

I



x ln x dx KQ: ln2







2

ln x

I dx

x







KQ: 3ln2 3ln3

2



Bài 11 CĐ Nông Lâm – 2006

1

I



x x 1dx KQ: 2



Bài 12 ĐH Hải Phòng – 2006

1

x

I dx

1 x

 



KQ: 1 ln2

2 Bài 13 CĐ Y Tế – 2006

2

4

sin x cosx

I dx

1 sin2x





 





KQ: ln

Bài 14 CĐ Tài Chính Kế Tốn – 2006





3

2

I



x ln x 5 dx KQ: 1 14ln14 5ln5 9





2  

Bài 15 CĐ Sƣ Phạm Hải Dƣơng – 2006





2

3

cos2x

I dx

sin x cosx 



 



KQ:

32 Bài 16 Hệ CĐ – ĐH Hùng Vƣơng – 2006





4

0

I x cosx dx 





 KQ:

8

 

Bài 17 CĐ KTKT Đông Du – 2006

4

0

cos2x

I dx

1 2sin2x 

 



KQ: 1 ln3

4 Bài 18 CĐ Sƣ Phạm Quảng Bình – 2006

ln2 2x x

e

I dx

e







KQ: 2

3



3

0

4sin x

I dx

1 cosx 

 



KQ:

Bài 20 CĐ Sƣ Phạm Trà Vinh – 2006

4

x

I dx

cos x 





KQ: ln

4

  Bài 21 CĐ Bán Công – Công Nghệ - Tp.HCM – 2006

3

1

x

I dx

3 x x 

 

  



KQ: 6ln3 8

Bài 22 CĐ Sƣ Phạm Tiền Giang – 2006

9

I



x x dx KQ: 468



Bài 23 CĐ Bến Tre – 2006

e

1

x

I ln x dx

x   

  

 



KQ:

3

2e 11 18 Bài 24

1

2

0

I



x x dx KQ: 2 3 2





9 

Bài 25







 

0

2 cos



xdx x

I KQ:

2

1 1

2  

 

 

 

 

Bài 26







 

1

3

1dx x e

x

I x

KQ:

2

e

4 14

Bài 27 CĐ KT-KT Công Nghiệp I – 2006

2

0

sin3x

I dx

2cos3x









KQ: Không tồn





1

2

I



xln x dx KQ: ln2

2



Bài 29 CĐ Xây dựng số – 2006

2

1

x x

I dx

x  





KQ: 32 10ln3

3  Bài 30 CĐ Xây dựng số – 2006





1

3

I



x cos x sin x dx KQ: 5 Bài 31 CĐ GTVT III – 2006

2

0

cosx

I dx

5 2sinx



 



KQ: 1 5ln

2



 



2

0

J



2x ln x dx  KQ: 24ln3 14 Bài 32 CĐ Kinh tế đối ngoại – 2006





4

8

I tg x dx







 KQ: 76

105 Bài 33 CĐSP Hƣng Yên - Khối A– 2006

4

4x

I dx

x 3x  

 



KQ: 18ln2 7ln3

Bài 34 CĐSP Hƣng Yên - Khối B– 2006

3

0

sin3x sin 3x

I dx

1 cos3x



 





KQ: 1 ln2

6

 

Bài 35 CĐSP Hƣng Yên - Khối D1 , M– 2006

e

1

ln x ln x

I dx

x 





KQ: 3 3 2





8 

Bài 36 CĐ Bán công Hoa Sen – Khối A – 2006





4

4

0

I cos x sin x dx







 KQ: 1

Bài 37 CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006

4

0

cos2x

I dx

1 2sin2x



 



KQ: 1 ln3

4 Bài 38 CĐSP Trung Ƣơng – 2006

2

0

I sin xsin2xdx 





KQ: 2

3 Bài 39 CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006





1

2

x

I dx

x

 



KQ : ln4

3 4 Bài 40 CĐSP Hà Nam – Khối M – 2006

2

I x cosxdx







KQ:

2

2 



Bài 41 CĐSP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006





e

2

dx I

x ln x







KQ:

4 

Bài 42 CĐKT Y Tế I – 2006

2

4

sin x cosx

I dx

1 sin2x





 





KQ: ln

Bài 43 CĐ Tài Chính Hải Quan – 2006

 

3

4

ln tgx

I dx

sin2x









KQ: ln 32

16 Bài 44 CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006





2 3

2

I sin2x sin x dx 





 KQ: 15

4 Bài 45 CĐKT Tp.HCM Khóa II - 2006

e

0

ln x

I dx

x

Bài 46 CĐCN Thực phẩm Tp.HCM – 2006

1

1

I dx

x 2x



 



KQ:

4  Bài 47 CĐ Điện lực Tp.HCM – 2006

7 3

x

I dx

3x

 





KQ: 46

15

Bài 48 CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A– 2006

4

x

I dx

cos x 





KQ: ln

4





Bài 49 CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D1 – 2006





2

1

I



4x lnxdx KQ: 6ln2 2

Bài 50 CĐSP Hà Nội Khối D1 – 2006

3

6

dx I

sin x.sin x



 



  

 

 



KQ: ln2

3

NĂM 2007

Bài ĐH, CĐ khối A – 2007

Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng: y



e x, y



 



1 e xx



KQ:

2

e

Bài ĐH, CĐ khối B – 2007

Cho hình phẳng H giới hạn đƣờng y xlnx , y 0, y e  Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox

KQ:





3

5e 27

 

Bài ĐH, CĐ khối D – 2007

Tính tích phân

e

KQ:

4

5e 32



Bài Tham khảo khối A – 2007

4

2x dx 2x



 



KQ: 2 ln2

Bài Tham khảo khối B – 2007

Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng



12





 



x x

y v y

x KQ:

1ln2

  

Bài Tham khảo khối B – 2007

Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng yx v y2  2x2 KQ:

1

 

Bài Tham khảo khối D – 2007





1

x x dx x

 



KQ: 1 ln2 3ln3

2

 

Bài Tham khảo khối D – 2007

2

x cosxdx





KQ:

2

2

 

Bài CĐSPTW – 2007

Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng có phƣơng trình y x 2;

y x; x  1; x 0

KQ: 7

6

Bài 10 CĐ GTVT – 2007

3

0

4cos x dx sin x

 



KQ:

Bài 11 CĐDL Công nghệ thông tin Tp.HCM – 2007

7

x dx x

 



KQ: 231

Bài 12 CĐ Khối A – 2007

2007

2

1 1 dx

x x

  

 

 



KQ:

2008 2008

3 2008



Bài 13 CĐ Cơ khí luyện kim – 2007





e

2

xln x dx



KQ: 5e 2





27 

Bài 14 CĐSP Vĩnh Phúc – 2007





4

2

x sin x dx





KQ:

3 1

384 32

 

 

Bài 15 CĐ Khối B – 2007

Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng y x , y x cos x  , x 0 , x   KQ:

2



Bài 16 CĐ Khối D – 2007

0

2

x dx







KQ:

Bài 17 CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007





3

2

1

dx x x 1



KQ: 1

3 12



 

Bài 18 CĐ Hàng hải – 2007

3

x x 1dx



KQ: 14

5

Bài 19 CĐ Kinh tế kĩ thuật Thái Bình – 2007





0 2x

x e x dx



 



KQ: 3e 31

4 60

 

Bài 20 CĐ Công nghiệp Phúc Yên – 2007

1 x

xe dx

NĂM 2008

Bài 1) Tính I =

4

6

tan cos

x dx x





- ĐH, CĐ Khối A – 2008 KQ: 1ln 2



3



10

2  9

Bài 2) Tính I =





4

sin

sin 2 sin cos

x dx

x x x

   

 

 

  



- ĐH, CĐ Khối B – 2008 KQ: 4

4



Bài 3) Tính I =

3

lnx dx x



- ĐH, CĐ Khối D – 2008 KQ: 3 ln

16



Bài 4) Tính I =

3 2

xdx x



- Dự bị - khối A-2008 KQ: 3 12

5 36

  

 

 

Bài 5) Tính /

sin

3 4sin os2

xdx I

x c x





 



- Dự bị - khối A-2008 KQ: ln

2

 

Bài 6) Tính

( 1)

4

x dx

I

x

 





- Dự bị - khối B-2008

Bài 7) Tính

1

x dx I

x







- Dự bị - khối B-2008

Bài 8) Tính

2

2

4

x x

I x e dx

x

 

   



 



- Dự bị - khối D-2008

Bài 9) CĐ Khối A, B, D – 2008 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol

 

:

P y  x x đƣờng thẳng d y: x KQ: 9

NĂM 2009

Bài 1) Tính I =

2

3

0

(cos x 1) cos xdx







- ĐHKA-2009 KQ:

4 



Bài 2) Tính I =







3 

1

2 ln

dx x

x

- ĐHKB-2009 KQ: )

16 27 ln (



Bài 3) Tính I =





3

1

1

dx

ex - ĐHKD-2009 KQ: ln(e

2+e+1) –

NĂM 2010

Bài 1) Tính I =

1 2

0

2

x x

x

x e x e

dx e

  



- ĐHKA-2010 KQ: 1 1ln

3

e



 

  

 

Bài 2) Tính I = 2

1 ln (2 ln )

e

xdx

x  x



- ĐHKB-2010 KQ: ln3

3

 

Bài 3) Tính I =

3

2 ln

e

I x xdx

x

 

   

 



- ĐHKD-2010 KQ:

2

e



NĂM 2011

Bài 1) Tính I =

sin ( 1) cos sin cos

x x x x

dx

x x x



  



- ĐHKA-2011 KQ: ln

4

   

    

 

 

Bài 2) Tính I =

2

1 sin os

x x

dx

c x







- ĐHKB-2011 KQ: ln(2 3)

3 

  

Bài 3) Tính I =

4

2

x

dx x

  



- ĐHKD-2011 KQ:

34

3

10 ln

3



5

NĂM 2012

Bài 1) Tính tích phân

3

2

1 ln(x 1)

I dx

x

 





- KA-2012 KQ:

2

2

ln ln 3

3

3







Bài 2) Tính tích phân

1

4

0

3

x

I dx

x x



 



- ĐHKB-2012 KQ:





1

2ln 3ln 2

Bài 3) Tính tích phân /

I x(1 sin 2x)dx







 - ĐHKD-2012 KQ:

2

1

32

4





NĂM 2013

Bài 1) Tính tích phân

2 2

1 ln

x

I xdx

x







- ĐHKA-2013 KQ: 5ln

2 2

Bài 2) Tính tích phân

1

2

2

I 



x x dx - ĐHKB-2013 KQ: 2

3



Bài 3) Tính tích phân

1

2

( 1)

1

x

I dx

x

 





- ĐHKD-2013 KQ: 1 ln 2

NĂM 2014

Bài 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng cong

yx  x 3

đƣờng thẳng y2x 1 - ĐHKA-2014 KQ: 1

6

Bài 2) Tính tích phân 2

2

3

  



x x dx

x x - ĐHKB-2014 KQ: 1 ln3

Bài 3) Tính tích phân I =

(x 1) sin 2xdx







.- ĐHKD-2014 KQ: 3

4

NĂM 2015

Bài 1) THPTQG 2015 Tính tích phân x

x e d

1 0

I = ( - )



x KQ: 4 3 e

Bài 2) Dự bị THPTQG 2015 Tính tích phân

0

x

I dx

x

 



KQ: 8

3

NĂM 2016

THPTQG 2016 Tính tích phân





3

2

3 16