Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng

Chun đề ngun hàm – tích phân Học tốn miễn phí: http://thayhuy.net A Tóm tắt lí thuyết Nội dung 1: Nguyên hàm Bảng tính nguyên hàm Bảng Hàm số f(x) a ( số) x   1  x ax Họ nguyên hàm F(x)+C ax + C x 1 C  1 ln x  C Bảng Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C (ax  b) (ax  b) 1 C a  1 ln ax  b  C a Aax b C A ln a ax  b e C a  cos(ax  b)  C a sin(ax  b)  C a tan(ax  b)  C a  cot(ax  b )  C a xa ln C 2a x  a ax  b A ax  b ex ax C ln a ex  C sinx -cosx + C sin(ax+b) cosx sinx + C cos(ax+b) tanx + C cos (ax  b) sin (ax  b ) x  a2 cos x sin2 x eax  b -cotx + C u' ( x ) u( x ) tanx  ln cos x  C cotx ln sin x  C ln u( x )  C Các phương pháp tìm nguyên hàm hàm số Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa tính chất kết hợp với bảng tính nguyên hàm  Phân tích hàm số cho thành tổng, hiệu hàm số đơn giản có cơng thức bảng nguyên hàm  Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số mũ, lũy thừa, đẳng thức biến đổi lượng giác công thức lượng giác Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số Định lí bản: Nếu  f u  du  F u   C u  u  x hàm số có đạo hàm liên tục  f u  xu ' x dx  F u  x   C 1|Trang Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Cách thực hiện: Tính Học tốn miễn phí: http://thayhuy.net  f  u(x) u '(x)dx pp đổi biến số Bước 1: Đặt u  u(x)  du  u'(x)dx (tính vi phân u) Bước 2: Tính  f  u(x) u '(x)dx   f(u)du  F(u)  C  F u(x)  C Phương pháp 3: Phương pháp tính nguyên hàm phần Định lí bản: Nếu hai hàm số u  u  x v  v  x có đạo hàm liên tục K  u  xv ' x dx  u  x v  x  u ' x v  x dx Cách thực hiện: Bước 1: Đặt u  u ( x) du  u ' ( x)dx  dv  v' ( x)dx v  v( x) Bước 2: Thay vào công thức nguyên hàm phần : Bước 3: Tính  udv  u.v   vdu  vdu B Bài tập Bài 1: Tính 1) I   x2 dx x2 x  3x dx x2 2) I   3 x  dx x 1 3) I   2) I   dx x  x  1 3) I   2) I   ln x dx x 3) I   x ln xdx Bài 2: Tính 1) 3x  x   x dx x dx x  3x  2 Bài 3: Tính 1) I   x ln xdx Bài 4: Tính 1) I   ln  x  x  dx 2) I    x   e x dx 3) I   x s in2xdx Bài 5: Tính 1) I   x sin x dx cos x 2|Trang 2) I   ex dx  2e x 3) I   cos5 xdx Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Học tốn miễn phí: http://thayhuy.net Nội dung 2: Tính tích phân A Tóm tắt lí thuyết I CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN a Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục K a, b  K Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K : b b  f ( x )dx   F ( x )a  F (b)  F (a) ( Công thức NewTon - Leipniz) a b Các tính chất tích phân b  a  f ( x)dx    f ( x )dx Tính chất 1: a  b Tính chất 2: Nếu hai hàm số f(x) g(x) liên tục  a; b b b b   f ( x )  g( x ) dx   f ( x)dx   g( x )dx a  a a Tính chất 3: Nếu hàm số f(x) liên tục  a; b k số b b  k f ( x )dx  k. f ( x)dx a  a Tính chất 4: Nếu hàm số f(x) liên tục  a; b c số b  a  c b f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx a c Tính chất 5: Tích phân hàm số  a; b cho trước không phụ thuộc vào biến số , b nghĩa :  a b b f ( x )dx   f (t )dt   f (u )du  a a PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ b a) DẠNG 1: Tính I = '  f[u(x)].u (x)dx cách đặt t = u(x) a Công thức đổi biến số dạng 1: b u (b ) a u(a)  f u ( x).u' ( x)dx   f (t )dt Cách thực hiện: t  u ( x)  dt  u ' ( x) dx xb t  u (b) Bước 2: Đổi cận :  xa t  u (a) Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta Bước 1: Đặt b u (b ) a u (a) I   f u ( x).u ' ( x)dx   f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) 3|Trang Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề ngun hàm – tích phân Học tốn miễn phí: http://thayhuy.net b b) DẠNG 2: Tính I =  f(x)dx cách đặt x = (t) a b  a  I   f ( x)dx   f  (t ) ' (t )dt Công thức đổi biến số dạng Cách thực x   (t )  dx   ' (t )dt xb t Bước 2: Đổi cận :  xa t  Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta Bước 1: Đặt b  a  I   f ( x)dx   f  (t ) ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Cơng thức tích phân phần b b  u ( x).v' ( x)dx  u ( x).v( x)a   v( x).u ' ( x)dx b a a b b  udv  u.va   vdu hay: b a a Cách thực Bước 1: Đặt u  u ( x) du  u ' ( x)dx  dv  v' ( x)dx v  v( x) b b Bước 2: Thay vào cơng thức tích phân từng phần :  udv  u.va   vdu a Bước 3: Tính u.v ba b a b  vdu a II CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tính tích phân I   x  3x 1 dx x2  x (Phân tích & dùng định nghĩa) Bài giải ♥ Biến đổi hàm số thành dạng Khi đó: I   4|Trang x  3x 1 x 1  1 2 x x x x 2 x  3x 1 x 1 dx   dx   dx x x x x 1 Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Học tốn miễn phí: http://thayhuy.net   dx  x 1   2 x 1 dx  ln x  x  ln x2  x ♥ Vậy I   ln  Ví dụ 2: Tính tích phân I    x 1 dx x 1 (Phân tích & dùng định nghĩa) Bài giải  x  1 ♥ Biến đổi hàm số thành dạng  x 1 Khi đó: I   x 1 x 1 1 dx   dx   x  x 1 2x  1 2 x 1 x 1  2x dx x 1   dx  x 1   2x dx  ln x   ln x 1 ♥ Vậy I   ln  ln Ví dụ 3: Tính tích phân I   e x 1 e x dx (Đổi biến số dạng 1) Bài giải ♥ Đặt t  e x 1  dt  e x dx  x  ln t  Đổi cận:    x  t  Suy ra: I   t3 t dt   30 ♥ Vậy I   Ví dụ 4: Tính tích phân I   x  x dx (Đổi biến số dạng 1) Bài giải 5|Trang Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Học tốn miễn phí: http://thayhuy.net ♥ Đặt t   x  t   x  2tdt  2 xdx  tdt  xdx  x  t  Đổi cận:    x  t   Suy ra: I   ♥ Vậy I  t3 t dt  2 1  2 1  e  5ln x dx x Ví dụ 5: Tính tích phân I   (Đổi biến số dạng 1) Bài giải ♥ Đặt t   5ln x  t   5ln x  2tdt  dx x  x  e t  Đổi cận:    x  t  Suy ra: I  ♥ Vậy I  2 38 t dt  t  33  23    15 15 15 38  15  Ví dụ 6: Tính tích phân I    x  1 sin xdx (Tích phân phần) Bài giải du  dx u  x  ♥ Đặt    dv  sin xdx v   cos x    4 1 Suy ra: I    x  1 cos x  sin x 0   4 1    x  1 cos x  sin x  4 0 ♥ Vậy I   6|Trang Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Học tốn miễn phí: http://thayhuy.net  Ví dụ 7: Tính tích phân I   x 1  sin x dx (Tích phân phần)   0 ♥ Ta có: I   xdx    x2 x sin xdx    0  2 x sin xdx   x sin xdx 32 du  dx u  x Đặt    dv  sin xdx v   cos x   Suy ra:  ♥ Vậy I      1 1 x sin xdx  x cos x   cos xdx   cos xdx  sin x  2 4 0 2   32 Ví dụ 8: Tính tích phân I   x  ln x dx x (Phân tích + đổi biến số dạng 1) Bài giải 2 ♥ Ta có: I   xdx  2   ♥ Tính  1 ln x dx x x2 xdx   2 ln x dx x Đặt t  ln x  dt  dx x  x  t  ln Đổi cận:    x  t  Suy ra:  ln ln x t2 dx   tdt  x ln  ln 2 ♥ Vậy I   ln 2  7|Trang Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Học tốn miễn phí: http://thayhuy.net x 1 ln xdx x2 Ví dụ 9: Tính tích phân I   (Tích phân phần)  u  ln x du  dx  x ♥ Đặt    dv  x 1 dx   v  x  x2 x    1 1 Suy ra: I   x   ln x    x   dx    x x x 1 2   1 1   x   ln x   x      x x 1  ln  2 ♥ Vậy I  ln   2 Ví dụ 10: Tính tích phân I = 0 (2e x2  e x )xdx (Phân tích + đổi biến dạng 1+ tích phân phần) Bài giải ♥ Ta có: I =  I1 =  I2 = 0 2xe x2 dx   xex dx 1 x2 x2 e x2  = e – = 2xe dx  e d ( x ) 0 0   x 0 xe dx Đặt u = x  du = exdx x dv = e dx  v = ex 1 Suy ra: I2 =  xe x    ex dx = e  e x  = 0 ♥ Vậy I = e – + = e  B Bài tập Bài 1: Tính tích phân sau 1) I    x  x 4  2) I   dx sin x 1  cos x  dx Bài 2: Tính tích phân sau e3 e ln x  1) I   dx x 2) I   ln x  dx x Bài 3: Tính tích phân sau 8|Trang Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Học tốn miễn phí: http://thayhuy.net   2) I   sin 2x(1  sin x)3dx 1) I   sin x cos xdx 0 Bài 4: Tính tích phân sau 2 1) I   x x  3dx x2 2) I   x3  1 dx Bài 5: Tính tích phân sau  e  ln x  2) I   x 1   dx x    1) I   x x  e x dx Bài 6: Tính tích phân sau e  3ln x ln x dx x 1) I   ln 2) I   ex e x  1 dx Bài 7: Tính tích phân sau   1) I   2) I   s in2x cos x dx  cos x 0 tan x dx cos x Bài 8: Tính tích phân sau   s in2x  sin x 1) I   dx  3cos x 2) I   sin 2x cos2 x  sin x dx Bài 9: Tính tích phân sau     1) I   cos3 x  cos xdx s in2x dx  4sin x  cos x 2) I   Bài 10: Tính tích phân sau  1) I   dx cos x tan x   2) I    cot x  dx sin x Bài 11: Tính tích phân sau e 1) I  x  dx 2) I    ln x  cot x dx sin x  Bài 12: Tính tích phân sau  1) I    ln5 tan x cos x  cos x dx 2) I   ln e2x ex 1 dx Bài 13: Tính tích phân sau 9|Trang Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Học tốn miễn phí: http://thayhuy.net   1) I    cos3 x sin x cos5 xdx 2) I   sin 2x(1  sin x)3dx 0 Bài 14: Tính tích phân sau ln 1) I   x 2) I  x  3dx   x  ex dx x ln e e 1 Bài 15: Tính tích phân sau     2) I   ecos x  x sin xdx 1) I   x cos xdx 0 Bài 16: Tính tích phân sau ln x dx x2 1) I     2) I   x ln  x dx Bài 17: Tính tích phân sau e 1) I   1  x  ln xdx 2) I   x ln  x  1 dx Bài 18: Tính tích phân sau e e x2  ln xdx x 1) I   2) I   x3 ln xdx Bài 19: Tính tích phân sau 2) I   ln  x  x  dx 1) I    x   e x dx Bài 20: Tính tích phân sau     1) I   ecos x  cos3 x sin xdx 2) I    dx sin x.(2  cot x) Bài 21: Tính tích phân sau 2x 1 1) I   dx  2x 1 2) I  dx  x (x 2  1) Bài 22: Tính tích phân sau  1) I   cos x  sin x  cos x  3 dx 2) I   x3  x  x  dx x2  Bài 23: Tính tích phân sau 10 | T r a n g Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chun đề ngun hàm – tích phân Học tốn miễn phí: http://thayhuy.net   1) I   x sin xdx cot x dx   sin x I  2) Bài 24: Tính tích phân sau 1) I    sin x  cos x dx  sin x dx 2x 1  4x  2) I   Bài 25: Tính tích phân sau  1) I   x2 dx ( x  1) x  sin x dx  4sin x  cos x 2) I   Nội dung 3: Ứng dụng tích phân A Tóm tắt lí thuyết I CƠNG THỨC Cơng thức tính diện tích hình phẳng y y x b (C1 ) : y  f ( x) xa (C1 ) : y  f ( x ) (C ) : y  g ( x )  (H ) :   : x  a  : x  b (H ) (C ) : x  g ( y ) y b b (C ) : y  g ( x) (H ) ya a O (C1 ) : x  f ( y ) (C ) : x  g ( y )  (H ) :   : y  a   : y  b x x a b O (C1 ) : x  f ( y) b b S   f ( x)  g ( x) dx S   f ( y )  g ( y ) dy a a Cơng thức tính thể tích vật thể trịn xoay y xa O 11 | T r a n g a xb (C ) : y  f ( x) y0 x b y b x0 a O y b (C ) : x  f ( y ) ya x Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chuyên đề nguyên hàm – tích phân Học tốn miễn phí: http://thayhuy.net b b V     f ( y ) dy V     f ( x)  dx a a II CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  x  x  đường thẳng y  x 1 Bài giải ♥ Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường x 1 x  x   x   x  3x      x  ♥ Diện tích hình phẳng cần tìm S   x  3x  dx  x 3x     x  x  2     x      1 2 Ví dụ 2: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y , y  0, x  x  xung quanh trục hoành   3x Bài giải ♥ Thể tích khối tròn xoay V    dx 1   3x  ♥ Đặt t   3x , ta có x  t  2, x  t  x   t2 2t nên dx   dt 3 2 2t 2 t 2  1  d t  d t     dt 2   (1  t ) 3 (t  1)  t  (t  1)2  Khi ta có V     12 | T r a n g 2  2       ln | t  1|      ln     6ln  1  t    1    Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net Chun đề ngun hàm – tích phân Học tốn miễn phí: http://thayhuy.net B Bài tập  y  x2  4x   y  Bài 1: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích hình phẳng (H):  x   x   y  x Oxy Bài 2: Trong mặt phẳng   , tính diện tích hình phẳng (H):   y   x 3x   y  x   Bài 3: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích hình phẳng (H):  y  x     y  x Bài 4: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích hình phẳng (H):   x  y  y  x  2x Bài 5: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích hình phẳng (H) :   y  x  4x (C ) : y  x  Bài 6: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích hình phẳng (H): (d ) : y   x (Ox)  (C ) : y  e x  Bài 7: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích hình phẳng (H): ( d ) : y  (  ) : x   Bài 8: Trong mặt phẳng  Oxy  cho hình phẳng (H) giới hạn cc đường y  x y  x Tính thể tích vật thể trịn xoay quay (H) quanh trục Ox Bài 9: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho miền D giới hạn hai đường : y = x2 + x - ; x + y - = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 10: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho miền D giới hạn đường : y  x; y   x; y  Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 11: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho miền D giới hạn hai đường : y   x ; y  x  Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Hết -13 | T r a n g Fanpage:http://facebook.com/thayhuy.net