Chuyên đề đặt ẩn phụ giải phương trình và bất phương trình chứa căn - Nguyễn Tiến Chinh - Công thức nguyên hàm

Chú ý bài toán này sử dụng phương pháp hệ số bất định ở ví dụ tổng quát để tìm pt đẹp nhé Nói Tóm lại : Ẩn phụ là phương pháp làm cho bài toán trở nên nhẹ nhàng hơn,những dạng phương trì[r]

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CÔNG PHÁ MÔN TOÁN CÔNG PHÁ MÔN TOÁN THPT NGUYỄN TIẾN CHINH KỸ THUẬT ĐẶT MỘT ẨN PHỤ KỸ THUẬT ĐẶT HAI ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PT ĐẲNG CẤP ĐẶT HAI ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PT ĐỐI XỨNG ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN 46 VÍ DỤ PHÂN TÍCH CHI TIẾT TỪ DỄ ĐẾN KHÓ TÀI LIỆU SẮP PHÁT HÀNH - TUYỂN TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC SẮC NHIỀU CÁCH GIẢI - MỜI CÁC EM ĐÓN Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CÔNG PHÁ MÔN TOÁN II- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐẶT ẨN SỐ PHỤ  KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Đặt ẩn phụ Tìm mối liên hệ các biến để đặt ẩn phụ thích hợp Một số dạng thường gặp:   t  f x , t    a.f  x   b f x   c   at  bt  c   PP Xin nhắc lại,hầu hết các đề bài không cho mối quan hệ để nhìn thấy cách đặt ẩn phụ đó ta cần biết phán đoán hướng bài toán dựa trên sở phân tích hợp lý CÁC VÍ DỤ ĐẶT MỘT ẨN PHỤ BT Mẫu :Giải Phương trình ĐK: x  x   x  3x   (*) Đặt t = x  1; t   x  t2 1 (1) thay vào phương trình (*) ta có: 2  t2 1   t 1  t         t  4t  4t        t   2   t  1 t  1  t  4t  1   t  1 t  nên t = 1, t =   t   +) t = thay vào (1) ta có x = +) Khi t = 2 13  ta có x = 2 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = x = 13  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CÔNG PHÁ MÔN TOÁN BT Mẫu :Giải Phương trình x  x  14  x  x  10 (*) Bài Giải : Đặt t = x  x  10  x  3x  t  10 thay vào phương trình (*) ta có t  (*)  t  2t     t    t  2t      t  2t   0(VN ) Với t = ta có x  x  18   x  3  17 (TM) BT Mẫu : Giải phương trình : x  x   x  x      Nhận xét : Thoạt đầu nhìn thấy ta thường nghĩ đặt t đó,tuy nhiên bình tĩnh phân tích ta thấy có điều gì đó bất ổn ta đặt vậy,vì việc theo t là khó khăn chút,ta hóa giải điều này cách chia hai vế cho x xem ??? Lời giải : ĐK : x  Xét thấy x = không là nghiệm phương trình,ta chia hai vế cho x > thì pt sau : x2  x2  2  1 đúng hướng !!! x x Đặt t = x2  , t  thay vào pt ta có t  t   Vô nghiệm x Thấy cần quan sát điểm bất thường bài toán va động tác ta đã hóa giải pt BT Mẫu : Giải phương trình x  x   4 x   3(*) (Đề thi thử Sở GD Vĩnh Phúc) x Lời Giải x    ĐK :  x     x  1 Để thuận tiện cho lời giải ta chia bài toán làm trường hợp sau đây TH1 : x > chia hai vế cho x ta có pt :   Đặt t   1   4   1 x x x x 3  (t  0)    t  x x x x thay vào (1) ta có t  t   t  t    t  2( L)  t  3(TM ) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CÔNG PHÁ MÔN TOÁN 3  37  37 Với t =      x  x    x  (tm)  x  ( L) x x 14 14 1     2 x x x x TH2 : Khi x < chia hai vế cho x ta có :   Đặt t   3  (t  0)    t  x x x x thay vào (1) ta có t   t  t  t    t  2(N)  t  3(L) Với t =   3  17  17    x2  3x    x  (L)  x  (N) x x 4 Kết hợp Đk bài toán ta có hai nghiêm là : x   37  17 x 14 BT Mẫu : Giải phương trình : x  x  11  14  (Chuyên Hùng Vương) x2 ĐK :  x  Viết lại pt sau :  x    x   Vì x > nên chia hai vế cho 2t + > 7/t  14 7x   x  2  x  x2 x2 x ta được: x2 x x2 5  Đặt t = thay vào pt có : x2 x x 2t  5t  7     t  0 t 1 t TH1 : Khi t >  x2   x  x   0(do x  0)  x  x x2     x 2 x  x    x  4  x  TH2 :   t       12  x   x 2  x    x  0  x Vậy tập nghiệm BPT là S = (1/2 ;2) v (4 ;+  ) BT Mẫu : Giải BPT sau 3x 1 x 1     x2 ĐK : -1 < x < Viết lại pt sau : 3x  x2 1   x  x2 x2 3x   20 2 1 x 1 x  x2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN x Đặt t = ta có : t  3t    t   t  2 1 x x TH1 : t <  1 x CÔNG PHÁ MÔN TOÁN   x   x ( a) +) Khi -1 < x < thì (a) luôn đúng +)  x  1, (a)  x   x   TH2: Khi t >  1 x Kết hợp ĐK ta có  x  2 x    x   x2   x 2 1 x  x  4(1  x ) x     Vậy tập nghiệm BPT là S   1; ;    2    x 1  x  (*) x 1   x BT Mẫu7 : Giải BPT Nhận xét : Nhìn vào phương trình ta thấy có dấu hiệu « Nhân lượng liên hợp « nhé thì ta thử tiếp xem : Lời giải ĐK : x   1;3 \ 1    x 1  x 1   x 2( x  1)   x   x 1 x2  2x   x  1 2( x  1) Để bài toán đơn giản ta chia trường hợp quy đồng bỏ mẫu nhé TH1 : 1  x  (a) ta có ( 1)  x    x  x   x  x     x  x  3   x  x    0(2) Đăt t =  x  x  3, t   t   x  x  lúc đó (2) trở thành 2t  t    2  t  t  nên   x2  x   2 2  0t    1  x    x3 2 2   x  2x    Kết hợp ĐK (a) ta có 1  x  2 TH : 1< x  1  x    x  x   x  3x     x  x  3   x  x    Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN Đăt t = CÔNG PHÁ MÔN TOÁN  x  x  3, t   t   x  x  lúc đó (2) trở thành 2t  t    t  2 2 2  x kết hợp với (b) ta có  x  2 2 Vậy tập nghiệm BPT là 1  x  BT Mẫu : Giải BPT 2 2  1 x  2 x2 2  x2  x     x  2   (Thi thử THPT Quốc Gia Lý Tự Trọng) Nhận Xét : + Ta thấy BPT có chút gì đó mang ý tưởng Nhân liên hợp - liên hợp thì BT cồng kềnh,phức tạp quá,vì ta ko vội theo ý tưởng này + Nhận thấy  x  x  4   x    2x2  4x   x  2x  4   x  2  0x  2 Với điều này bài toán dễ dàng chút - làm thôi các em ĐK : x  2 Viết lại (*) 2 x     x  x     x    x    x      x     x       Đặt t = x + ,(ĐK x  ) phương trình trở thành 2t  t   t  2t   1 Tới đây có hai hướng + Hướng : Bình phương vế đưa bài toán bậc 4( bình phương lần) bạn đọc tự giải + Hướng : xét thấy t = không là nghiệm phương trình,chia vế cho t ta có     (1)   t      t  t     tới đây các em đã nhìn ý tưởng đúng ko ??? t    Đặt u = t  2u    u  t   4;    2u    u     2 t t 4u  8u   6u  12 u  1  u2 t    t  t    t   3( N )  t   3( L) t 2  u    Với t    t    x   3(TM ) Vậy BPT đã cho có nghiệm   BT Mẫu 9: Giải BPT sau : x  x   x  x  x   (THPT Chuyên ĐH Vinh) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN Nhận Xét CÔNG PHÁ MÔN TOÁN Thoạt nhìn ta chưa thấy dấu hiệu đặt ẩn phụ,nếu tiến hành đặt theo thường lệ thấy bài toán vào ngõ cụt biểu thức là bậc 3,ngoài là bậc ta nhận định có thể mối quan hệ xuất chúng ta phân tích biểu thức ??? 2  x  x  x  x  x  x   Phân tích :  2  x  x   x  x  x  ta thấy đầu mối bài toán đã xuất hiện,có vẻ nhận định trên hoàn toàn đúng đắn,giải thử nhé !!! ĐK : x  x  x   1   x   x  1  Khi đó (*)  x  x  x    x  x   x  x  x    x  x  x  4(1) TH1 : x  1  đó chia hai vế (1) cho x ta có 1  x2  2x  x2  2x   3 x x Đặt t = x2  x  , t  0,    t  4t     t  x Vậy  x2  x  x2  x  1  17  65  x  x    1 9  x x x 2  x  x   TH2 : 1   x   x  x   đó (1) luôn đúng  1  17  65  Vậy tập nghiệm BPT : S =  1  5; 0   ;  2   BT Mẫu 10 :Giải phương trình x2  x   x     ĐK : x     x  1    x  ; Đặt t = x  1, t  tao có : t  Pt  t    t   4 t     t   t  t  4t  t  t t3  t  4    t  t   BT Mẫu 11: Giải phương trình:  x Đk:     2 x   x x ( x  ) x  x2 đó phương trình  x   2 x  x  0 x x  x  2 +) Với x > Phương trình  x2  x  2( x2  x)  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CÔNG PHÁ MÔN TOÁN t  Đặt: t  x  x ta có 2t  t     t   (L)   x  1  (L) t   x2  x   x  x     x  1  (Tm) 2 +) Với x  2 có Phương trình   x2  x  2( x  x)  t  1 (L) Đặt t  x  x phương trình trở thành 2t  t     t    4  52 x  3 t   x  x   4( x  x )   x  x     2  4  52 (L) x   4  52 ; x  1  Kết luận: Phương trình có nghiệm x  2 BT Mẫu13: Giải Phương trình sau TXĐ x  x   x  x   3x  3x  19 (ĐH DL Tôn Đức Thắng) D=R Đặt t =    x  x  2, t  lúc đó viết lại pt sau t   t  3t  13  2t   2t t   3t  13  4t  t     t    3t  4t  64   t   t   16 ( L) Với t   x  x    x   x  2(TM ) BT Mẫu 14 Giải phương trình sau : x  x   x   x    Nhận xét : Bài toán này có tới bậc 2, câu hỏi đặt lúc này là đặt t = ? có hai ý tưởng sau Đặt t = x   x  t  ,các em giải phương trình bậc Biến đổi chút để tìm lời giải đẹp ??? đây ta theo cách vì cách đã trình bày nhiều bài trước nhé :    x  1   x  1   x  1  x    x  1 x 1   2 x 1 7 x 1 2x 1 thay vào ta có x 1 t    t   2   t   t     t  2   2  2 t    2t   3t  28t  44  Đặt t = Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN x  2x 1  Với t = -2 ta có  2  x    x   x 1 4  x  1  1  x  CÔNG PHÁ MÔN TOÁN  x   x 4 x  x   Qua ví dụ này ta thấy chịu khó quan sát và biến đổi cho ta lời giải khá đẹp mắt,ở bài toán này sức mạnh hệ số lại phát huy tác dụng  PP f x   g  x   f  x  g x   h x    t  f  x   g x  Thông thường với dạng toán này ta quan sát thấy có hai nhỏ và lớn,khi đó cách tự nhiên ta suy nghĩ tới việc phân tích biểu thức lớn xem có mối quan hệ gì với hai nhỏ trên hay không?Nếu có thì việc đã dự tính ta giải theo phương pháp,nếu không có mối quan hệ này ta thử biến đổi tư bài toán theo hướng khác nhé x    x  3x  23  2 x  x  12  BT Mẫu 15 : Giải phương trình Nhận thấy biểu thức lớn chính là tích hai biểu thức nhỏ,vì ta giải theo phương pháp trên:ĐK Đk Đặt t = 3  x4 2x    x, t   t2  x    x    x   3t  3x  21  2 x  x  12 11 ( L) Với t = ta có : x  x    x   x  2 x  x  12   3x    2 8 x  20 x  48  81  54 x  x 17 x  74 x  33  37  202 X= (TM ) 17   3t  t  44   t  4( N ), t   MT Mẫu 16 : Giải Phương trình sau : x    x  4  x  10  3x  (ĐH 2010) Lời giải : ĐK : 2  x   Đặt t = x    x  t   x    36   x   36  x  10  3x  4  x   t  9t   t   t  Khi t = ta có  x   x    x   x   x    36   x   x  Khi t = ta có  x   x    x    x  x  15  12  x 1 Kết hợp ĐK 2  x  thấy 5x - 15 < pt (1) vô nghiệm Vậy bài toán đã cho có đúng nghiệm x = 6/5 BT Mẫu 17 : Giải phương trình sau : x   x  2 x  x  x  26   Lời Gải ĐK : x   Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN Đặt t = CÔNG PHÁ MÔN TOÁN x   x  t  0  t  3x   2 x2  x     Viết Lại pt đã cho ta có : x   2 x  x  x   x  28  lúc đó pt (*) trở thành : 2t  t  28   t   t   ( L) 15  x  Khi t =  x   x   2 x  x  15  3x   2 4  x  x   15  3x  x    x  47  31 (TMĐK)  x  94 x  225  BT Mẫu 18: Giải phương trình 20 x  11  12 x  x     x   x   (*) Lời giải : ĐK : x  1 Đặt t = x   x   t    t  10 x  37   Viết lại phương trình (*) ta có 10 x  37   x  1 x    x  1 x       x   x   63  1 Với t =  x   x     x  1 x    12  10 x  1  2t  5t  63   t  7( N )  t    L   x  1 x     x  6  x  x    x  (TM)   2 9  x  x      x  16 x  105 x   BT Mẫu 19 Giải phương trình sau 1  x   3 x  14 x   x    x   Lời Giải ĐK : 5  x  Đặt t =  x  x  5,  t    t   x  3 x  14 x     Viết lại pt đã cho ta có :  x  3x  14 x     x  x   24  t  2t  24   t   t  6( L) Với t = ta có  x  x    t   x  3 x  14 x   3x  14 x    x  x  5  x  5    x  1  x  5 (TMĐK)  2 4 x  24 x  20  3x  14 x     x  BT Mẫu 20 : Giải phương trình : 24  x  22 x   33  x  14 x  8(*) Lời giải ĐK : 2  x  Đặt t = x    x , t   t  44  14 x  24  x   Viết lại phương trình (*) ta có : 5(44  14 x  24  x )  11 x    x  36  5t  11t  36   t  4( N )  t   ( L) 14 x  28  Với t = ta có :  x    x  24  x  14 x  28   2 576(8  x )  14 x  28  10 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN  x  12 /   478  x  (TMĐK) 1348 x  784 x  3824   x   x    337 CÔNG PHÁ MÔN TOÁN Vậy phương trình có nghiệm là x = BT Mẫu 21: Giải phương trình:  2x   x   3x  2x  5x   16 Đại học Mỏ – Địa Chất năm 1999 Lời giải 2x    x   ● Điều kiện:   x  1  2x  5x   x  12x  3   ● Đặt t  2x   x  1,  t  0  t2  3x   2x  5x    t  t   16  t2  t  20   t  N  t  4 L  ● Với t   25  3x   2x  5x   2x2  5x   21  3x x  21  3x  x        x   x  4 2x  5x   21  3x  x  146x  429      x  143    ● So với điều kiện, phương trình có nghiệm x  BT Mẫu 22: Giải phương trình    x  x (Đề thi thử ĐH trường THPT Lương Ngọc x 1   x Quyến) t2  Đặt t  x    x , t    x  x  Thay vào pt ta có: 2 t  2t    t   x    x   x  1  x  3(TM ) BT Mẫu 23 : Giải phương trình: 9 x  x   x3  x  x   Nhận Xét: Trước hết ta phân tích thử biểu thức xem đã nhé,dùng casio thấy có nghiệm là x = -1,sử dụng sơ đồ hoocner ta có biểu thức  x  1  x  x  1 Trong đó 9 x  x   7( x  1)  9( x  x  1) Vì phân tích trên đây tôi đã mượn sức mạnh đồng hệ số,cụ thể sau: Cho 9 x  x     x  1    x  x  1   x      x     đồng với VT ta có 11 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CÔNG PHÁ MÔN TOÁN   9    9 nhé,bài sau các em làm nhé       2   Bài Giải ĐK: x  1 Viết lại pt (*) ta có  x  1   x  x  1  1   x  1  x  x  1 1 chia hai vế cho x 1 x 1 9 2    Đặt t = x  x 1 x  x 1 x  x   ta có x 1 ,t  x  x 1 (2)  7t  2t    t  1( L)  t  ( N ) Với t = 9/7 ta có : x 1   49 x  49  81x  81x  81  81x  32 x  32  0(VN ) x  x 1 Vậy pt đã cho vô nghiệm BT Mẫu 25: Giải phương trình 5 x  x   x  x  x   Lời Giải : Đk x   ,phân tích bài toán giống vd trên ta có pt sau 2x   2x 1   1 3 2 x 1  x 1     x  1   x  1   x  1  x2  1    Đặt t = 2x 1 ; t  0, 1  2t  3t    t  1( L)  t  (TM ) x 1 Với t = 5/2  2x 1   x   25 x  25  25 x  x  21  0(VN ) x 1 Vậy pt đã cho vô nghiệm BT Mẫu 26 :Giải bất phương trình: 7x   7x   49x  7x  42  181  14x 1 Đại học An Ninh khối A năm 2000 Bài giải tham khảo 7x    7x   x ● Điều kiện:   49x  7x  42   12 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 1  7x   7x   7x  7x  6  7x    7x  6  182     CÔNG PHÁ MÔN TOÁN  7x    7x   7x   7x  7x  6     2 7x    7x   7x   182    7x   7x   182  2 ● Đặt t  7x   7x  Do x  6 6  t  t        13  t  13 7     t  13 t  13     t2  t  182  14  t  13  13  t  13     7x   7x   13, x     14x   7x  7x  6  169  7x   7x   13   84  7x    7x  77x  6  84  7x  7x  7x  6   7x  7x  6  84  7x 2  x  12  6    x  1  x   x  ; 1   ; 6    x   6  ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x   ; 6   BT Mẫu 27:Giải phương trình sau 2x 12x   2x  3x   x   Nhận xét: Thoạt nhìn ta thấy phương trình không có mối liên hệ nào hết,tuy nhiên để ý các bạn thấy vế trái xuất “anh bạn thứ ba” theo kinh nghiệm nào có xuất này ta chia hai vế cho “anh bạn”.Ý tưởng nhé,thực thôi ĐK: x  Xét thấy x = không là nghiệm phương trình,chia hai vế cho x > ta có pt sau: x   12  x    1 Đặt t = 2x  ta có x x x 1  t  12  t    2t    t  12  t  3  64   t  12  t  3  55  2t 13 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 55  55  3169 3  t  3  t    t 256   t  12  t  3   55  2t  256t  3169   2x  CÔNG PHÁ MÔN TOÁN 3169 3169  7421121   512 x  3169 x  1280   x  (™) x 256 1024 BT Mẫu 28: Giải bất phương trình: x  x  2x  7 2x 1 Đại học Thái Nguyên khối A – B năm 2000 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x        1    1  x  4x   ● Đặt t  x  x x Ta có: t  x      x   t2  x  x 1 1  x   t2  4x 4x Cauchy  2 x x  t t  t  t         t3 2   2 t   3t   2t  3t   t    t        x  3 x     2  x   2x  x         x  x x         ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm hệ là x  0;    4  7;   2    BT Mẫu 29:Giải bất phương trình: x   x  4x   x  Tài liệu thầy LÊ VĂN ĐOÀN - Đề thi Đại học khối B năm 2012 Bài giải tham khảo x  ● Điều kiện:    x  4x     0  x    x    14 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CÔNG PHÁ MÔN TOÁN ● Với x    :   x  : là nghiệm bất phương trình ● Với x  : chia hai vế  cho   x x  x ● Đặt t  x  x 4 3 x x, ta được: 1 Cauchy   t2  x  2 x 2 1  3  t    t    t  3  t   t  2 t   3  t  2  x x   x 2  x 1 0x  x 4  1 ● Vậy tập nghiệm bất phương trình là x  0;    4;     4 BT Mẫu30: Giải phương trình sau: 3x    x   (ĐH 2009A) Nhận xét: đây là bài toán khá phổ biến và nhiều cách giải,trong phạm vi bài viết này tôi xin đề cập tới phương pháp đặt ẩn phụ theo hai cách sau đây: ĐK: x  Cách 1: Đặt t = 3x   x  t3  thay vào phương trình ta có t  t3   5t  pt  2t   8     2t     5t  3 9      2t     t  t     t  2  x  2 (TMĐK)  2 15t  4t  32t  40   t   15t  26t  20   Cách 2: Đặt t = 3  5x  x  t2 , t  pt đã cho tương đương   3t  t2 3   3t         3t   135t  1104t  2880t  2496  5   t   135t  564t  624  0(VN ) với t = thì x = -2(TMĐK) 15 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CÔNG PHÁ MÔN TOÁN 2/ Đặt hai ẩn phụ Thông thường, ta tìm mối liên hệ biến để đặt ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp (đồng bậc) hệ phương trình đối xứng loại 2, đẳng cấp,… Ta thường gặp số dạng sau:  u  n a  f  x  n m   a  f x   b  f x  c   đặt  v  m b  f x    n n n a A  b AB  c B   PP  a.A  x  b.B  x  c A x .B x    đặt u, v  PT : u2  uv  v2   2 .A  .B  mA  nB  PP PP  y  n bx  a  x n  a  b n bx  a  đưa hệ đối xứng loại II: x n  by  a    n y  bx  a     ax  b  cx  dx  e PP     đặt a  0, c  0, a   c ax  b  2cy  d đưa hệ đối xứng loại II n 5.Nếu pt có dạng  ax  b   p n a / x  b /  qx  r  n a / x  b /  ay  b (thuật đặt ẩn phụ đối xứng)  Cần lưu ý số khai triễn và biến đổi sau: ● x    x  1 x  x  1 hay tổng quát hơn: x  a   x  a  x  ax  b        ● x  x   x  2x   x  x   x  x  x  x  x     ● x   x  2.x  x  2.x  ● 4x   2x  2x  12x  2x  1 ● u  v   uv  u  1v  1  Các bài tập mẫu minh họa: BT Mẫu 31 : Giải phương trình sau 56  x  x  41  (Học viện Bưu chính Viễn Thông) Nhận Xét: Đây là kiểu bài toán khá đặc trưng cho phương pháp đặt hai ẩn phụ để đưa hpt ( bài toán có bậc lớn) ta có lời giải sau: ĐK: 41  x  56 16 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CÔNG PHÁ MÔN TOÁN 4 Đặt u  56  x , u  0; v  x  41  1  u  v  5(a ) còn phương trình lấy đâu ra??? Pt đó lấy từ việc các em nâng lũy thừa các phép đặt ẩn phu rôi sau đó ta tìm phép toán phù hợp để làm x ( cộng - trừ) sau u  v  97(b) Kết hợp (a) và (b) ta có hpt u  v  u  v   u  v     4  2 2 2  uv   100uv  528   uv   uv  44 u  v  97   u  v   2uv   2u v  97 u  v  u  u  lúc đó u , v là nghiệm pt X  X    X   X    TH1 :   uv  v   v  u  56  x  16  56  x  +    x  40(TM ) v   x  41  81  x  41  u   56  x  56  x  81 +    x  25(TM ) v   x  41  16  x  41  u  v  TH : :  lúc đó u , v là nghiệm pt X  X  44  0(VN ) uv  44 Vậy pt đã cho có hai nghiệm là x = 40 x = -25 BT Mẫu 32 : Giải phương trình sau x  3x   x     x    x  1  x  x  1  Phân tích :  2  x  3x     x  1    x  x  1   x      x         1,   Viết lại pt đã cho  x  1   x  x  1  Đặt u =  x  1  x  x  1 1 x  1, v  x  x  1; u  0, v  lúc đó ta có pt : u u 2u  v  uv  2u  v  uv          0(vn) v v 2 2 BT Mẫu 33 : Giải phương trình sau  x   x   (ĐH Tài Chính kế toán ) ĐK : x  Đặt u   x , v  x  1, v  lúc đó phương trình (*) viết lại sau :u + v =1,cần tìm thêm phương trình ta có u  v  v   u u  v  v   u u  u  u  2 Vậy ta có hpt       2 v   v  v  u  v  u  1  u   u  u  2u  17 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN   x  u  TH1 :    x  2(n) v   x   CÔNG PHÁ MÔN TOÁN   x  u  TH2 :    x  1(n) v   x     x  2 u  2   x  10 TH3 :  v   x   BT Mẫu 34 : Giải phương trình  x   x   Đây là kiểu bài khá quen thuộc,có nhiều cách giải khác phạm vi bài này tôi cách đặt hai ẩn phụ Đặt u   x , u  0; v   x đó ta có hpt u   v u   v u  v      2 3 3   v   2v  19 3u  2v  19 2v  3v  18v    v   v  4  v  ĐK : x  1  3 v    3x  13 (™) TH1:   x u    2x    2   3x  4 v   TH2:    x  23 u    x    3x  v  TH3:    x  1(tm) u    x  Vậy pt đã cho có nghiệm BT Mẫu 35: Giải phương trình x  3x    x   x   1   Đặt u  x  1; v  x  ta có v  u  thay vào (*) ta có : u  v uv(u  v )  v  u  uv  u  v    u  v   u  uv  v     u  v  u  v     u  v  x 1  x  x 3  x    x  BT Mẫu 36 : Giải phương trình x   x   x  x    18 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN ĐK : x  CÔNG PHÁ MÔN TOÁN Nhận xét : Bằng kinh nghiệm ta nghĩ tới việc phân tích biểu thức lớn và kết sau    x   3x    x  1   x   1 Đặt u = 2x - u  0; v  3x  2; v  thay vào (1) ta có u  v  2u  2v  u  2uv  v  2u  2v   u  v    u  v  x   3x   x  x   3x   x  x    x  1(n)  x  (n) BT Mẫu 37 : Giải BPT x   x  x   x  x    Xin nhắc lại với kiểu bài toán đặt ẩn phụ thì điều quan trọng là tìm mối quan hệ các hàm số cóa mặt bài,từ đó đưa giải pháp gọn - đẹp Ở bài này ta viết lại phương trình sau : Từ đay cho ta ý tưởng : Đặt u = x   x  x    x  x  3  ( x  1)  x  1; u  0; v  x  x  3; v  Thay vào pt ta có : u  2v  2v  u  10u  4uv  14v    u  v 10u  14v    u  v Vì 10u + 14v > với moi u,v > + với u > v  x   x  x   x  1 tập nghiệm BPT là S = (; 1] BT Mẫu 38: Giải phương trình sau : x x    15  x  x  15  15 x  x3  x   ĐK  x  15 Viết lại pt : 15  x   x 15  x  x    15  x  x  1 Đặt u  15  x , v  x (u , v  0) thay vào (1) ta có : u  3uv  4v  2(v  u )  cho v = 100 ta có U = 200 = 2v, u = 98 = v - Vậy u  2v  15  x  x  x  x  15   x  2  19(n)  x  2  19(l ) Với u = v -  15  x  x  2(2) với  x  15 thì  15  x  x   15   16   0(vn) BT Mẫu 39 : Giải Phương trình sau : x   x  x    x  x   1 (HSG Vĩnh Phúc) ĐK :  x  19 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN   x    x  x     x  x  1 (1) Đặt u = CÔNG PHÁ MÔN TOÁN  x , v  x  1, u; v  thay vào (1) ta có : v  2u  2v  uv   u  v  v     u  v  v  TH1 : u  v   x  x   x  4(Tm) TH2 : v   x    x  (Tm) n 5.Nếu pt có dạng  ax  b   p n a / x  b /  qx  r  n a / x  b /  ay  b (thuật đặt ẩn phụ đối xứng) BT Mẫu 40 : Giải phương trình 2x 1  27x  27x 13x  (HSG - Hải Phòng) Nhận xét : Nhìn qua ta thấy bài toán có thể theo các hướng quen thuộc là Hàm số nhân liên hợp,tuy nhiên đây ta bàn tới làm nào để đặt ẩn phụ cách các mối quan hệ Viết lại phương trình : 2x 1   3x 1  4x 1 , bài toán có dạng số (5) ta đặt 2x 1  3y 1 2  y  1   3x  13  x  1(1) Ta có hệ phương trình :  2 x    y  1 (2) Lấy (1) - (2) ta có 3 2  y  1   x  1   3x  1   y  1  x    x  y  6   3x  1   3x  1 y  1   y  1       x  y   2       x  1   x  1 y  1   y  1    x  1   y  1    y  1  0(VN )      Với x = y thay vào (2) ta có 2x 1   3x 1  27x  27x  7x   x  27x  27x     x  BT Mẫu 41: Giải phương trình x  3x  3 3x   1 3x  (Đề thi olympic) Viết lại pt sau : x  3x  3x 1  3 3x    x 1   3 3x  Đặt 3 3x   y 1  3x    y 1 ta có hpt :  x  13   3( y  1)(1) 3 2   x  1   y  1   y  x    x  y   x  1   x  1 y  1   y  1  3      y  1  3x  5(2) x  y     2  x   x  y   y    x   y   y    0x, y                          Với x = y ta có 3x   y   3x    x  1  x3  x    x   x  2 20 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN Thử lại pt thấy thỏa mãn,đó là các nghiệm cần tìm BT Mẫu 42 : Giải phương trình sau : Viết lại pt : 3 CÔNG PHÁ MÔN TOÁN 3x   x  3x  x    3x   x   ( x  1)3 Đặt 3x   y   x    y  1 3 x    y  13 (1) 2 (1)  (2) Ta có hpt :     x  y   x  1   x  1 y  1   y  1  1     y  x    x  1 (2)  x  y  x   3 x   ( x  1)3  3x    x  1 x     x   x  2        x  1   y  1    y  1  1  0x, y (vn)     Thử lại thấy thỏa mãn,do đó nghiệm pt là x = x = -2(các em nhớ phải thử lại nhé vì nâng lũy thừa không có đk là pt hệ mà thôi) Chú ý : ta có thể tìm phép đăt 3x   y 1  3x    y 1 cách sau Xét y = x  3x  x   y '  3x  6x 1  y ''  6(x 1) nhiên không phải lúc nào dùng cách này nhé các em !!! 3/ Đặt ẩn phụ không hoàn toàn Đặt ẩn số phụ không hoàn toàn là hình thức phân tích thành nhân tử Khi đặt ẩn phụ t thì biến x tồn và ta xem x là tham số Thông thường thì đó là phương trình bậc hai theo t (tham số x) và giải cách lập Δ BT Mẫu 43 : giải phương trình sau x  3x    x  3 x    Nhận xét : Nhìn vào phương trình ta nghĩ tới việc đặt t = x  nhiên khó chỗ sau đặt ẩn phụ xong thì bài toán không rút theo ẩn t triệt để mà chứa ẩn x,làm nào bây ??? Đừng vội lo quá - đây chính là nội dung phương pháp mà tôi muốn trình bày cho các bạn ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN Lời Giải Đặt t = x   x  t  1, t  (bài không có tham số ko cần tìm chính xác điều kiện nhé các em) Ta phương trình t   x  3 t  3x  ta có hai cách sau giải phương trình tính    x  3 (thầy ít dùng) Liệt kê các hạng tử chứa x : -xt + 3x = t = phân tích theo sơ đồ hoocner casio Dễ dàng có hai nghiệm t = và t = x 21 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN Với t = ta có x = 2 ,t = x vô nghiệm CÔNG PHÁ MÔN TOÁN Thật dễ dàng đúng không các em ???tuy nhiên thực tế không giống đâu,có phương trình không khéo léo ta không có lời giải đẹp,hãy xét ví dụ sau và coi bài tổng quát nhé BT Mẫu 44: Giải phương trình  x  1 x   x  ĐK x   Đặt t = x  (*) 1 x 2 x  1, t   x  t 1 Viết lại phương trình ta có : x    x  1 x   x  3 x    2t   x  1 t  x  x   2 Có    x  3  t  x   t  x   x  + t = 2x -1  x   x     x  1(tm) 2  x  2x     x  2 + t = x +  2x2 1  x     x  1  x   x  4x   Điều gì làm bạn cảm thấy băn khoăn lời giải trên ??? có lẽ là việc lại không bình thường mà mà lại phải tách x  x  x và làm nào để biết phải tách ??? Thật đơn giản,khi làm toán phương pháp này ta luôn hi vọng dellta là số chính phương dó đó cần tìm hệ sô a thật là đẹp,Tổng quát ta tìm m thỏa mãn pt sau : mt   x  1 t    2m  x  m       8m  20m   x    6m  x  12m  4m  Lưu ý : đây tôi đã xếp lại dellta phương trình ẩn x nhé Để dellta chính phương ta cho  x    6m    8m  20m   4m2  12m  1   m  Việc tìm m = nhanh là dùng mode casio các em nhé( không nên ngồi giải pt này) Thế là xong phương pháp tổng quát nhé,các ví dụ sau tôi ko nhắc lại thêm nhé !!!! BT Mẫu 45 : Giải phương trình sau x  12 x x   27  x  1  ĐK : x  1 Đặt t = x   x  t  1   27t  12 xt  x  PT đồng bậc cho x = 100 ta có t = 200/3 = 2x/3 và t = -200/9 = -2x/9 22 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN x  2  + t  x  x 1  x    x3 3 x   x  CÔNG PHÁ MÔN TOÁN x  81  97  +t=  x x  x   81 x BT Mẫu 46 : Giải phương trình x  x  10   x   x   Đặt t = x 1 ta có    6t   x   t  x  4x      25  x   tới đây dễ nhé Chú ý bài toán này sử dụng phương pháp hệ số bất định ví dụ tổng quát để tìm pt đẹp nhé Nói Tóm lại : Ẩn phụ là phương pháp làm cho bài toán trở nên nhẹ nhàng hơn,những dạng phương trình đặc biệt kể trên mang tính chất giới thiệu ta không nên phụ thuộc quá nhiều vào các dạng đó mà xin nhớ muốn phương pháp đạt hiệu cao thì điều quan trọng là phân tích và tìm mối quan hệ tồn phương trình để từ đó đặt ẩn phụ cách hợp lý và sáng tạo 23