1. Trang chủ
  2. » Kinh Doanh - Tiếp Thị

Chuyên đề: Một số phương pháp giải hệ phương trình - Chuyên đề Toán 9

90 9 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 90
Dung lượng 1,51 MB

Nội dung

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Để ý rằng phương trình thứ hai của hệ là phương trình đẳng cấp đối với x y ,.. Bình phương hai vế phương trình:.. Phương tr[r]

(1)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ CHỦ ĐỀ 7: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

HỆ PHƯƠNG TRÌNH I HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1:

a) Một hệ phương trình ẩn x, y gọi hệ phương trình đối xứng loại phương trình ta đổi vai trị x, y cho phương trình khơng đổi b) Tính chất

Nếu x y0, 0 nghiệm hệ y x0, 0 nghiệm c) Cách giải: Đặt

.

S x y

P x y

 

 

 

điều kiện S2 4P quy hệ phương trình ẩn

,

S P

Chú ý: Trong số hệ phương trình đơi tính đối xứng thể phương trình Ta cần dựa vào phương trình để tìm quan hệ S P, từ suy qua hệ x y,

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

a) 3 32 2

8

x y xy

x y

  

 

 

b)

  

3

19

8

x y

x y xy

  

 

  

 

c)    

2

3

3

2

6

x y x y xy

x y

   

 

  

d) 3

1 1 4

x y xy

x y

   

 

   

 

Giải: a) Đặt

.

S x y

P x y

 

 

 

điều kiện S2 4P hệ phương trình cho trở thành:

 

2

2

2 2

6

3

8

S P

S P

S

S S P

S S

 

 

 

 

 

   

 

   

  

  

3 2

2S 3S 6S 16 S 2S 7S S P

             

(2)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

0 2

2 0

x x

y y

 

 

 

 

 

b) Đặt

.

S x y

P x y

 

 

 

điều kiện S2 4P hệ phương trình cho trở thành:

 

   

2

3

8

3 19 8 1

6

3 8 19 24 25 0

8 2

SP S

S S P SP S S

P

S S S S

S P

          

 

  

   

 

     

    

 

Suy x y, hai nghiệm phương trình:

2

1

6 3;

XX    XX  

Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm x y;   2;3 , 3; 2   

c) Đặt ax b, 3 y hệ cho trở thành:    

3 2

2 3

6

a b a b b a

a b

   

 

   

Đặt S a b P ab

 

 

 

điều kiện S2 4P hệ cho trở thành

   

2 3 3 2 36 3 3 6

8 6

6

S SP SP P P S

P S

S

       

 

 

  

 

 

 

Suy a b, nghiệm phương trình:

2

1

2 8 4 64

6 8 0 2; 4

4 64 2 8

a x a x

X X X X

b y b y

     

 

       

     

 

Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm x y;   8;64 , 64;8   d) Điều kiện: 0

, 1

xy x y

  

  

Đặt

.

S x y

P x y

 

 

 

(3)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/           2 2 2 3; 3 3

2 2 1 16 2 3 1 14

3 14; 3 3 14; 3

30 52 0

4 8 10 196 28

S P S

S P

S S P S S S

S P S S P S

S S

S S S S

                                                    6 9 3 S

P x y

   

   

Vậy hệ cho có nghiệm x y;   3;3 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:

a)

2

2

4

x y xy

x y           c) 2 2 1 xy x y x y

x y x y

            b)  

 2

2 1 1 x y xy x y x y                         

d)    

 

3 2

2

1 2 30 0

1 11 0

x y y x y y xy

x y x y y y

                 Giải:

a) Đặt xa, yb điều kiện a b, 0 Hệ phương trình trở thành:

4

2

4

a b ab

a b          

Ta viết lại hệ phương

trình thành:

4 2

( ) 4 ( ) 2 2 8 2

4

a b ab a b a b ab

a b             

Đặt S a b P ab       điều kiện 4 , 0 S P S P     

hệ cho trở thành

2

256 64

4

4

P P P

S P a b x y

S                   

(4)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

 

 

2

2 2

2 16

2 16

2 ( ) 4

x y xy

x y xy

x y x y x y x y x x

   

 

   

            

Vậy hệ có cặp nghiệm x y;   4; 4 b) Điều kiện: xy0

Biến đổi phương trình (1):  2

2 2 2

1 1 2 0

xy xy

x y x y xy

x y x y

        

 

Đặt xyS xy, P ta có phương trình: S2 2P 2P

S

   

3 2

2 2 0 ( 1) ( 1) 0 ( 1)( 2 ) 0

S P SP S S S P S S S S P

              

S2 4 ,P S 0 suy S2S2P0 Do S1

Với xy1 thay vào (2) ta được: 11y2 yy0,y3

Xétx y 1 2xy x y 1 1 x2 y2 x2 y2 x y 0 x y

             

 (không

thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ cho có nghiệm x y;   1; , 2;3 c) Điều kiện: xy0

Hệ cho tương đương:

2

2

2

2

1 1

1 1 5

5

1 1 1 1

9 9

x y

x y

x y

x y

x y x y

x y x y

   

    

       

    

 

 

 

 

     

    

 

 

    

Đặt

1

1

x y S

x y

x y P

x y

   

   

   

 

  

 

 

   

 

 

   

(5)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Hệ trở thành:

2 2 9 5, 6 5 S P S P S          1 2; 1 3; x y x y x y x y                1; ; x y x y             

Vậy hệ cho có nghiệm:

 ;  1;3 , 5;1

2

x y         

   

d) Hệ tương đương với :   

 

30 11 xy x y x y xy xy x y x y xy

             

Đặt xy x ya xy;  x yb Ta thu hệ:

 

 

5 6

30 5; 6

11 6; 5 6

5 xy x y xy x y

ab a b

a b a b xy x y

xy x y

                                  

TH1:  

2

6 2;

1; ( ) xy x y

xy x y x y

x y

xy xy x y

L x y                                  

TH2:  

5 5 21 5 21

( ) ;

1

5 2 2

1

6 5 21 5 21

;

5 2

xy

L x y

x y xy x y

xy xy x y

x y x y                                          

Vậy hệ có nghiệm:  ;  1; , 2;1 ,   21 5; 21

2

x y    

 

(6)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ II) HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI

Một hệ phương trình ẩn x y, gọi đối xứng loại hệ phương trình ta đổi vai trị x y, cho phương trình trở thành phương trình + Tính chất.: Nếu x y0; 0 nghiệm hệ y x0; 0 nghiệm + Phương pháp giải:

Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta phương trình có dạng

   

 

0

;

;

x y x y f x y

f x y

 

   

 

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: a)

2

2 2

x x y

y y x

  

 

 

 

b)

    

    

2

2

1 6 1

1 6 1

x y y x

y x x y

    

 

   

 

c)

3

3 1 2 1

3 1 2 1

x x x y

y y y x

     

 

    

 

d) Giải:

a) Điều kiện: x y, 0 Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được:

   

      

2

2

1

x x y y y x

x y x y x y x y

    

 

       

 

Vì  xyxy 1 2 xy0 nên phương trình cho tương đương với: xy Hay

  

2

0

2 1

3

2

x

x x x x x x x x x x x

x

   

            

    

Vậy hệ có cặp nghiệm:  ;  0; , 1;1 ,   3;

2

x y     

(7)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ b) Hệ cho

2 2

2 2

6

6

xy x y yx y

yx y x xy x

     

  

    

 

Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta được:

         

2 7

2

xy y x x y x y x y x y x y xy

x y x y xy

            

 

     

+ Nếu xy thay vào hệ ta có: 5 6 0 2 3 x y

x x

x y

 

    

 

+ Nếu xy2xy 7 01 2 x1 2 y15 Mặt khác cộng hai phương trình hệ cho ta được:

 2  2

2

5 12 5

xyxx   x  y  Đặt

2 5,

axby

Ta có:

  

 

 

2

2

0

2 2

4 15

31

a b ab

a b a b ab

a b ab a b a b

ab

    

  

     

  

 

  

          

 

 

   

Trường hợp 1: 0  ;  3; , 2;3   1

a b

x y ab

  

 

   

Trường hợp 2: 8 31 a b ab

   

  

vô nghiệm

Vậy nghiệm hệ cho là: x y;   2; , 3;3 , 2;3 , 3; 2       c) Điều kiện: 1;

2

x  y 

Để ý

2

xy  nghiệm Ta xét trường hợp xy 1

(8)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

 

3

3 1 2 1 3 1 2 1

xx  x  yy  y yx

 

2 2

( ) 4( )

2

x y

x y x xy y x y

x y

 

        

  

2 2

( )

2

x y x xy y x y

x y

 

         

  

 

 

Khi xy xét phương trình:

3

2 1 2 1 0 2 2 1 1 0

xx  x  xxx  

2 2 2

( 1) 0 1 0 0

2 1 1 2 1 1

x

x x x x x

x x

 

         

     

Tóm lại hệ phương trình có nghiệm nhất: xy0

HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP ĐẲNG CẤP + Là hệ chứa phương trình đẳng cấp

+ Hoặc phương trình hệ nhân chia cho tạo phương trình đẳng cấp

Ta thường gặp dạng hệ hình thức như: +

2

2

ax ex

bxy cy d gxy hy k

   

 

  

 

,

+

2

2

ax

, gx

bxy cy dx ey hxy ky lx my

    

 

   

 

+

2

3 2

ax gx

bxy cy d

hx y kxy ly mx ny

   

 

    

 

Một số hệ phương trình tính đẳng cấp giấu biểu thức chứa đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát hiện:

Phương pháp chung để giải hệ dạng là: Từ phương trình hệ ta nhân chia cho để tạo phương trình đẳng cấp bậc n:

1

n n k k n

k n

a xa xya y

Từ ta xét hai trường hợp: y0 thay vào để tìm x

+ y0 ta đặt xty thu phương trình: 1 n n k

k n

a t a ta

(9)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ + Giải phương trình tìm t sau vào hệ ban đầu để tìm x y,

Chú ý: ( Ta đặt ytx) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: a)

 

3

2

8 2

3 3 1

x x y y

x y

   

 

  

 

b)  

     

2

2

2

5

,

x y xy y x y

x y

xy x y x y

     

 

   

 

Giải:

a) Ta biến đổi hệ:

3

2

8

3

x y x y

x y

   

 

 

 

Để ý nhân chéo phương trình hệ ta có:

3 2

6(xy )(8x2 )(y x 3y ) phương trình đẳng cấp bậc 3: Từ ta có lời giải sau:

x0 không nghiệm hệ nên ta đặt ytx Khi hệ thành:

 

 

 

2

3 3 3

2

2 2 2 2

1 2 8

8 2 1 4

1 3 3

3 3 1 1 3 6

x t t

x x t x tx t t

t

x t x x t

   

     

 

  

 

    

 

 

 3   2

1 3

3 1 4 3 12 1 0

1 4 t

t t t t t

t

  

          

   

*

 

2

1 3 6

3 1

1 3

3

x t

x

t x

y y

  

   

  

   

 

*

4 78

1 13

4 78

13

x t

y

    

   

  

 

(10)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

( ; )x y  3,1 ;  3, ; 78, 78 ; 78, 78

13 13 13 13

   

       

   

b) Phương trình (2) hệ có dạng:

      

  

2 2 2

2

2 2

1

xy x y x y xy x y xy xy

xy x y

          

    

2

1 2 xy

x y

   

 

TH1:  

2

1

5

1

x

x y xy y x y

y xy

       

 

 

 

1

1 x y

   

  

TH2:    

2 2

2 2

5 4 3 2 0 5 4 3 2

2 2

x y xy y x y x y xy y x y

x y x y

          

 

 

   

 

 

(*)

Nếu ta thay x2y2 2 vào phương trình (*) thu phương trình đẳng cấp bậc 3: 5x y2 4xy23y3 x2y2xy

Từ ta có lời giải sau:

Ta thấy y0 không nghiệm hệ

Xét y0 đặt xty thay vào hệ ta có:  

2 3

2 2

5 4 3 2

2

t y ty y ty y

t y y

    

 

 

 

Chia hai phương trình hệ ta được:

2

3

2

5 4 3 1

4 5 2 0

1 1

t t t

t t t

t

  

     

2 2 2 2

1

1 1 5 5

1 1

1 1 2 2

2 2

5 5

x x

t x y

x x

y y

t x y

y y

 

  

   

 

  

   

 

     

          

    

 

 

(11)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ a)

     

2

2

3

2 3 2 3 0

2 2 3 1 6 1 2 0

x y y

y x y x x x

     

 

      

 

b)

 

2

1

3

2 2

x y

x

x y x y

x y x y

 

 

 

 

   

 

Giải:

a) Điều kiện: x22y 3 0 Phương trình (2) tương đương:

 3  2  3  2

2 2yx 3y x1 6x 6x 2 02 x1 3y x1 4y 0 Đây phương trình đẳng cấp y x1

+ Xét y0 hệ vô nghiệm

+ Xét y0 Đặt x 1 ty ta thu phương trình: 2t33t240

Suy t  2 x  1 2y Thay vào phương trình (1) ta được:

2 14

2

9 18

x  x   x x   y Vậy hệ có cặp nghiệm:  ;  14 5;

9 18

x y   

 

b) Dễ thấy phương trình (1) hệ phương trình đẳng cấp x y Điều kiện: y0; 3 x0

Đặt ytxyt x2 thay vào (1) ta được: 22 2 2 2 2

3

x x tx

x t x x t x

 

Rút gọn biến x ta đưa phương trình ẩn t:  2 

2 1 0 2 2 0

tt  t   tyx Thay vào (2) ta được:

2 25

4 10 6

4

(12)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2

5

2

2

x x

   

      

   

Giải ta 17 13 17

4

x   y 

Vậy nghiệm hệ  ;  17 13 17;

4

x y     

 

 

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:

a)

3

2

1 3

1

x y

x y

x y

 

 

  

b)

2

1 2 2 1

3 3 6

x y xy x

x x xy

    

 

  

 

Giải:

a) Ta viết lại hệ thành:   

3

2

3 1

1

x y x y

x y

   

 

 

 

(1)

Ta thấy vế trái phương trình (1) bậc Để tạo phương trình đẳng cấp ta thay vế phải thành (x2y2 2)

Như ta có:

 3   22 2

3xy xyxy 2x 3x y2x yxy 2y 0

2

2

( )( )(2 )

2

x y

x y x y x xy y x y

x xy y

  

        

   

+ Nếu

2

2

2 0

4

y

xxyy   x x   xy

  khơng thỏa mãn

+ Nếu xy ta có 2 2

x   x 

+ Nếu 5

5

x  yy   y 

Tóm lại hệ phương trình có cặp nghiệm:

 ;  2; , 2; , 5; , 5;

2 2 5 5

x y             

       

(13)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ b) Điều kiện y 1 Ta viết lại hệ thành:

2

1 ( 1) 1 3 ( 1) 6

x y x y

x x y

    

 

  

 

Ta thấy phương trình hệ phương trình đẳng cấp bậc

, 1

x y

Dễ thấy y 1 khơng phải nghiệm hệ phương trình Xét y 1 Đặt xt y1 thay vào hệ ta có:

 

 

3 2

3

3 3

1 2 1 0

3 6( 2 ) 0

3

1 3 6

y t t t

t t t t

t

y t t

    

 

  

     

 

      

+ Nếu t0 x0 Khơng thỏa mãn hệ

+ Nếu  3  3

3

1

3 27 1 9 1 6 1 9

9

t  y  y   y  x

Vậy hệ có cặp nghiệm

3

1

( ; ) 9; 1

9 x y   

 

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau a)

2

2 3

2

2 ( 2 3) 3

xy x y

xy x x y x

  

 

    

 

b)

 

2

2

3 0

( 1) 3( 1) 2 2 0

x xy x

x y xy x y y

    

 

      

 

Giải:

a) Điều kiện: y0 Phương trình (2) hệ có dạng:

3

3

1

2 ( 1) ( 1) 3( 1)

2 3

y

xy y x y y

xy x

  

      

 

Trường hợp y 1 không thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2xyx3 3 ta có hệ:

3

2 3

2 xy x xy x y

  

 

 

 

Vế trái phương trình hệ phương trình đẳng cấp bậc ,

(14)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

3 2

2

3

1

(2 ) 2 3

2 1

1

( )

2

t

y t t t

t t

t t

y t t

 

   

 

      

 

 

 

+ Nếu t1 xyx 1 y1 + Nếu

2

t

3

1 1 1 4

4

2 3 3 9

xyyxx  x y

Tóm lại hệ có nghiệm:    

3

1 4

; 1;1 , ;

3 9

x y   

 

b) Điều kiện: x y2 2y0 y0

Từ phương trình thứ ta có: xy x2 x 3 thay vào phương trình thứ hai ta thu được:

2 2

2

( 1) 3( 1) 2 2 6 2 ( 2) 0

2 3 2 ( 2) 0

x y x x y x

x y y x

        

     

Đây phương trình đẳng cấp bậc y x22 Đặt ytx22 ta thu được:

1

3 1

( )

t

t t

t L

  

   

   

Khi t1 ta có: yx22 thay vào phương trình thứ hệ ta thu được:

1

x   y

Tóm lại hệ phương trình có cặp nghiệm ( ; )x y (1; 3)

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau

a)

2

2

8

16

8 3

xy

x y

x y

x x x x y

y y

  

 

 

    

 

b)

2

2

3 1 3 ( 1 1)

8 3 4 4

x y x x y x

x xy y xy y

     

 

   

 

(15)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ a) Điều kiện:

3

0, 0, 0

3 4

x x

y x y

y

    

Phương trình (2) tương đương:

2 2

4 3 4 3 4 3

2 2 .

8 6 12 16 8 6 8 6 6

x x y x x x x y x x y

y y y y

   

        

 

Đây phương trình đẳng cấp

2

8 x

y

4

6

xy Ta thấy phương trình có nghiệm

2

8 x

y

4

6

xy

dấu hay

2

4 3

0, 0

8 6

x x y

y

 

Đặt

2

, 8

x a y

4

6

x y

b

 suy a2b2 2abab

2

4

2

8

3

x y

x x y

y x y

 

 

  

   

TH1: x6y thay vào (1) ta có:

2

28 168

( )

4 37 37

16 16

4 24

9

7 7

y x L

y y y

y x

    

    

    

TH2:

3

x  y thay vào (1) ta có:

2

12 ( )

16 16 13

9

12 8( )

y L

y y y

y x TM

   

   

   

Vậy hệ có nghiệm  ;  24 4; , 8;12 7

x y   

 

b) Điều kiện:

0

, 0

1

1 0

xy

x y x

x y

 

  

 

 

   

(16)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Để ý phương trình thứ hai hệ phương trình đẳng cấp x y, Ta thấy y0 từ phương trình thứ hai hệ ta suy x0, cặp nghiệm không thỏa mãn hệ

Xét y0 Ta chia phương trình thứ hai hệ cho y ta thu được:

2

8 x 3x 4 x 4

y y y

 

   

   

Đặt x t

y  ta thu phương trình

4

4 2

4 4

8 3 4 4

8 3 4 8 16 8 4 8 12 0

t t

t t t

t t t t t t t

 

 

     

        

 

4

4 4

1

2 2 3 0 ( 1)(2 2 3) 0

t t

t

t t t t t t t

 

 

   

        

 

Khi t 1 xy

Phương trình thứ hệ trở thành: x33x 1 x( 1x1)3 Điều kiện: 0x1 Ta thấy x0 khơng thỏa mãn phương trình

Ta xét 0x1 Chia bất phương trình cho x30 ta thu phương trình:

3

2

3 1 1 1

1 3 1

x x x x

 

      

 

Đặt t t

x    phương trình trở thành:

 3   3

3

3 1 3 1 3 1 1 3

tt   tt  tttt 

Xét   

3

3

( ) 3 1 1

f ttttt Dễ thấy f t  f  1 3 suy phương trình có nghiệm t 1 x1

Tóm lại hệ phương trình có nghiệm x y;    1;1

Chú ý: Ta tìm quan hệ x y, dựa vào phương trình thứ hai hệ theo cách:

Phương trình có dạng:

2

2

( )(8 ) ( )

8 0

8

x y x y x y y

x xy y y xy y

xy y

x xy y y

  

        

(17)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2

8 5 (3)

0

8 3 4 3

x y

x y y

xy y

x xy y y

 

 

   

    

x y, 0 nên ta suy xy

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Biến đổi tương đương phương pháp giải hệ dựa kỹ thuật như: Thế, biến đổi phương trình dạng tích,cộng trừ phương trình trong hệ để tạo phương trình hệ có dạng đặc biệt…

* Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau a)

2

4

1 ( 1)

3 ( )

)

(1 (2)

x y y x

x x y x y y

        

   

 

b)

3

2

12 6 16

4 6 9 0

x x y y

x y xy x y

    

     

c) 23 3 2 3 2

4 3 6 4

xy x y

x y x y

  

 

   

d)

2 3

2

7 ( 6)

2( )

y x y x

x y x y y x

     

 

      

 

Giải: a) Điều kiện

2

1 2

5 2 ( 1)

x y

y x

   

 

   

Xuất phát từ phương trình (2) ta có:

4 2

3

3 6 ( ) 0

0

3 ( 2 ) ( 2 ) 0 ( 2 )(3 1) 0

2

x x y x y y

x

x x y x x y x x y x

x y

    

 

          

 

Với x0 thay vào (1) ta có:

(18)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

 4 2 y 4 2 y22(4 2 y 4 ) 16y   4 2 y 4 2 y 4 Dấu = xảy khi: 2 y 4 2yy0

Hệ có nghiệm:(0; 0)

Với: x2y Thay vào phương trình ta

2

1 ( 1) ( 1)(4 )

x  x  x x   x  xx x

(*) Đặt

2

5

1 4 0 1 4

2 t

tx  x   x x   Thay vào phương trình ta có:

2

2 5

5

5 2 15 0

3 2

t t

t t t

t

   

       

 

Khi 1 4 2 3 0 0

3 3

t x x x x x

x

 

     

 

  

Tóm lại hệ có nghiệm  ;  0; , 3;

x y   

 

Nhận xét : Điều kiện t0 chưa phải điều kiện chặt biến t

Thật ta có: tx 1 4xt2  5 (x1)(4x)t2 5 Mặt khác theo bất đẳng thức Cơ si ta có

2

2 (x1)(4x) 5 t 10 t  5; 10 b) Hệ viết lại dạng

3

2

12 ( 2) 12( 2)

( 4) ( 3) 0

x x y y

x x y y

     

    

Đặt ty2 Ta có hệ :

3 2

2 2

12 12 ( )( 12) 0 (*)

( 2) ( 1) 0 2( ) 0 (2*)

x x t t x t x t xt

x x t t x t xt x t

         

 

          

 

Từ (*) suy

2

12 0 (3*)

x t xt

x t

    

  

(19)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Từ suy nghiệm hệ  ;  1;3 , 7;

3

x y   

 

- Với (3*) kết hợp với (2*) ta có hệ

2

13

( ) 12 0 2

( ) 121

( ) 2( ) 1 0 0

4 x t x t xt

VN

x t xt x t

xt

   

     

 

      

  

 

Do x t 2 4xt Vậy hệ phương trình cho có nghiệm:  ;  1;3 , 7;

3

x y   

 

c) Đưa hệ phương trình dạng:

3

( 1)(2 1)

1

( 1) (2 1) 3( 1) (2 1)

2

x y

x y x y

  

  

       

 

Đặt: ax 1; b 2y 1.

Khi ta thu hệ phương trình:

3

3

2

2

1

2 10

3

2

ab

ab

a b a b

a b a b

 

  

 

   

    

 

Từ hệ phương trình ban đầu ta nhẩm nghiệm làxy 1 nên ta có hệ có nghiệm khi: a2; b1

Do ta phân tích hệ dạng: ( 2) 2 2(1 ) 2 ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)

a b b

a a b b

  

 

    

Vì ta ln có:b0 nên từ phương trình ta rút a 2(1 b)

b

  

Thế xuống phương trình ta được:

2

2 2

2

2

4( 1)

( 1) ( 1) ( 2) ( 1) 4( 1) ( 2)

1

4( 1) ( 2)

b

a b b b a b b

b

b

a b b

 

          

 

    

(20)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Với 4(a1)b b2( 2) Ta lại có:

2

2 ( 1) b

ab b a b a

b

       

Thế lên phương trình ta có:

2

3

1

2 2;

4( 2)

( 2)

4 (Không TM)

b a x y

b

b b b

b

         

 

  

 

Vậy hệ cho có nghiệm là:  ;  (1;1) 2; ,

x y    

 

d) Điều kiện: 1 0 x y

   

 

Ta viết lại hệ phương trình thành:

2

2(xy) 6x2y4 yx1

2

2(x y) 6x 2y y x

        Bình phương vế ta thu được:

2

2x 4xy2y 6x2y  4 x y 1 2 y x( 1)

2

2 ( x 1) (y x 1) y  (x y) y x( 1)

          

2

2( ) ( )

1

x y

x y x y x y

x y

   

          

  

Thay vào phương trình (2) ta có:

2 3 3

7 ( 7) ( 7)

yy  y y   yy  y y  Đặt ay y( 7) ta có phương trình:

3

3

1

1

1

2

2

a a a

a a

a

a a a

a

   

  

 

    

 

  

 

  

Với 0 0 1

7 6

y x

a

y x

   

     

(21)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Với

7 5

2

1

7 5

2

y x

a y y

y x

  

  

 

      

  

  

 

Với 2 7 8 0 1 (L)

8 7

y

a y y

y x

  

      

  

Hệ phương trình cho có nghiệm :

 ;  ( 1; 0), (6; 7), 5 5; , 5 5; ; , (7;8)

2 2

x y            

   

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau a)

2

2

(2 2) 3 0

2 ( 3) 2 6 1 0

x y x y

x xy y x y y

    

      

b)

2

3 2

2 2 2 0

2 2 2 0

x xy y y

x x y y y x

    

    

c)

2 2

2

3 4 3 0

3 3 1 0

xy x y yx y x

x y y xy

     

   

Giải:

a) Cách 1: Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ theo vế ta được:2xy2(y3)x2y36y2 1 (2y2)x3y2 0

 

2 2

2xyxy2y 3y x x 2yy 2y 3y

          

(y 1)(2y 1)(x y 1)

     

+ Nếu y 1thay vào phương trình (1) ta có: x2  3 x  3 + Nếu

2

y thay vào phương trình (1) ta có:

2 3

4 12

2

xx  x 

+ Nếu y x 1thay vào phương trình (1) ta có:

2 2

2 3( 1) 0 4 6 3 0

xxx    xx  Vô nghiệm Kêt luận:  ;  ( 3;1), ( 3;1), 2 1; , 2 1;

2 2

x y         

   

(22)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ * Cách 2: Phương trình thứ hai phân tích được: (2y2x x)(  y 3) 1 0

Phương trình thứ phân tích được: (xy)22(x2y2)0 Đặt a x y b, x2y2 ta có hệ:

2

2 0

( 3) 1 0

a b

a b

  

  

b) Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất, ta được:

3 2

2 2 0,

xxx yxyx hay (x3x22 )xy x( 22 )x 0.

Do x3x22x(x1)(x22 )x nên từ trên, ta có (x22 )(x x 1 y)0.

+ Nếu 0 0

2 y x

y

      

+ Nếu

0

2 4

3

y x

y

  

 

  

+ Nếu y x thay vào phương trình (1) ta thu được: 1 2 y22y0vơ nghiệm

Kết luận:

Hệ phương trình có cặp nghiệm là:  ;  (0; 0), (0; 2), 2; , 2; 

x y    

 

c) Hệ viết lại sau:

      2

2 2

3 3 4 3 4

3 3 1 0 3 3 1 0

xy y x x y x y xy y y x x y

x y y xy x y xy

        

 

 

        

 

Xét với y0 thay vào ta thấy không nghiệm hệ Với y0ta biến đổi hệ thành :

 2

2

1

3 4

1

3 3 0

x y x x

y

x y x

y

 

  

 

 

    

 

 2

2

1

3 4

1

3 4

x y x x

y

x y x x

y

 

  

 

 

     

 

Đặt :

2

1 3 a x

y

b y x

 

     

Khi hệ trở thành hệ :

2

4 4

ab x

a b x

 

   

(23)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2 2

2

1 1

2

4 4 ( 2 ) 0 2

1

2 3

2 3

y

x x x

y

t xt x t x t x

x x

x y x

x

   

 

 

        

      

 

2

1

1

1

1 1

2 3 3 2 1 0

y

y x

x

x

y

x x x x

x

  

     

 

  

 

       

 

Vậy hệ có nghiệm x y;   1;1 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau a)

 

3

2

1

9

x y

x y y x y y

    

 

    

 

b)

3

2

2 15 6 (2 5 )

2

8 3 3 4 2

x x y x y x y

x x x x y

y y

     

 

   

 

c)

3 2

3 6 2 4 4 3 9 2

6 3 2 4 4 6

x x y y

x x y xy y x x

    

     

    

d)

3

2

8 3 4

2 2

x y y x y

xy y y

    

  

Giải:

a) Từ phương trình (2) hệ ta có:

    

2 3

3

9 9 9 0

9 0 x y

x y y x y y x y x y

x y

 

           

  

y1 31x 1y 2 nên 31x 2x7

Do xy3   9 1 0 nênxy3 9 0 vô nghiệm

Ta cần giải trường hợp xy Thế vào phương trình ban đầu ta được:31x 1x 2 Đặt a31x b;  1x b 0

 2   

3 2

3

2

2 2 4 2 0 1 2 2 0

2 a b

a a a a a a a a

a b

  

             

 

Từ suy nghiệm phương trình ban đầu

0; 11 3; 11

(24)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Vậy hệ cho có nghiệm

0; 11 3; 11

xyxy   xy  

b) Phương trình thứ hệ

  

2

(2 ) 12 15 15

12

y x

y x x y x

y

  

     

  

TH 1:

2

15 12 x

y  thay vào phương trình thứ hai hệ ta được:

 

2 2

2

3 2 4 15

3 15 4 24

2 15

x x x x x

x x

   

 

   

2

2

2

36

12 16 15 16 15 0

15 15

x x

x x x x

x x

       

 

 

2 2

2

2

2

16 15 16 15

36 16 15

6 16 15

15 15

x x x x

x x

x x

x x

x x

       

 

 

  

  

 

 

 

  

2

2 2

16 15 0

36 15 16 15 (*)

x x

x x x x

   

  

   

 

Xét phương trình (*) 36x2 x215x216x15

Vì x = khơng phải nghiệm Ta chia hai vế phương trình cho x2 ta có:

15 15

36 x x 16

x x

   

      

    Đặt

2 2

15

16 36 0

18 t

x t t t

t x

 

       

  

+ Nếu 2 15 2 2 15 0 5 5

3 x

t x x x x

x x

 

          

  

+ Nếu t = 18

15 18 18 15 0 9 6 9 6

9 6 x

x x x x

x x

   

            

   

Nghiệm hệ cho là:  ;  5;5 , 6;27 12

6

x y      

(25)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ TH 2: x2y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta có:

2 2

2 2 7 11

0

4 3 3 4 4 6 12

x x x x x x

x x

x x

         (loại) (do điều kiện

0

y )

KL: Nghiệm hệ cho là:  ;  5;5 , 6;27 12

6

x y       

   

c) Điều kiện 2 3 x y

  

 

Phương trình (2) hệ tương đương với:

2

2

2 2

(2 2 )(3 2) 0

2 3

y x

x y x y

y x

 

      

  

+ Với y2x2 vào phương trình (1) ta được:

(1)7x6 2x 4 6x15 4 (3)

Đến sử dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 6 2 4 3.2 2( 2) 3

6 2 4 4 6 15 7 4

4 6 15 2.2 3(2 5) 2(2 2)

x x x

x x x

x x x

    

     

    

 

Dấu '''' xảy khi x4

Từ (3) suy x4là nghiệm Vậy hệ có nghiệm ( ; )x y (4; 6)

- Với y 2 3x2 2 hệ vô nghiệm điều kiện y3

Vậy hệ cho có nghiệm ( ; )x y (4; 6)

d) Thế phương trình vào phương trình hệ ta phương trình :

   

3 2 3

8 2(2 ) 2

x yyx y  xyyyxyx y  x  y yy0 khơng nghiệm hệ Chia hai vế cho y ta phương trình

3 3

8 3 4 2 2 3 4 8 2 2

xyx   x  yxxxyy

Đặt : zx 1 x z Khi ta có phương trình :

    

3 2 2

8 2 2 4 2 0 4 2 0

z  z yyzy zyzy   zyzy  

 

2 2

z y x y x y

       

(26)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2

1

3 2 7

3

y x

y y

y x

  

 

     

   

Hệ phương trình cho có hai nghiệm ( ; ) (1;1); 7;

3

x y    

 

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau

a)  

 

2

3 1 2 1 4 2 1

3 3

y y x y x y

y y x y

      

 

  

 

b)  

2

2 2

2 3 2 3

2 2 7 6

x xy y

x x y x y xy

   

 

   

 

c)  

4

2

2 6 7 2 9

2 10

x xy y y x

yx x

      

 

 

 

Giải:

a) Điều kiện: x22y 1 0 Phương trình (1) tương đương:

   

2 2 2

2

2

2

4 2

2

2

2

y y x y x y x xy y

x y y x

y x y x y

x y x y

        

    

      

    

TH1: x22y 1 3yx Bình phương hai vế phương trình ta được:

2

2 2

2

3 1; 1( )

3

6 415 17

; ( )

2

51

3

y x x y TM

y x

xy y y

x y TM

x y y xy x

xy y y

   

  

     

  

    

 

  

(27)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2

2 2

2

0 1; 1

0

2 41 7

; ( )

2

21

3

x y x y

x y

xy y y

x y L

x y x xy y

xy y y

 

   

 

  

     

 

   

    

 

  

Vậy hệ có nghiệm  ;   1;1 , 415 17;

51

x y   

 

b) Từ phương trình (1) ta thấy: 2x1y33 1 y2

TH1: y1 thay vào (2) ta có: x37x 6 0x1;x3;x 2 TH2: Kết hợp với (2) ta có hệ mới:

2

2 2

2 2 3

2

x xy xy y

x x y x y xy

    

 

   

 

.(*)

(3)

Phương trình (3) tương đương với: xy2 2 xyx230 + Nếu: xy2 thay vào (*) ta có:

 

1

2 4 3

2

y

x  y  yx    yy   Phương trình vơ nghiệm nên hệ vơ nghiệm

+ Nếu 2xy 3 x2 thay vào (*) ta có:

 

2 2

2x x y x 3y y

x

        

2

2

2x x x 1;y

x

 

       

 

Vậy hệ có nghiệm x y;     1;1 , 3;1 , 2;1 c) Phương trình (1) tương đương:

      

4 2 2

7 3 3

xx   y x  x   x  x x  xy x  x

TH1:

1 13 79 13

2 36

3

1 13 79 13

2 36

x y

x x

x y

  

  

 

   

  

  

 

(28)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ TH2: 2y2 x2 x 3 thay vào (2) ta có:

 

5

5

2

3 10

5

5

2

x y

x x x x

x y

   

 

    

    

 

Vậy hệ có nghiệm

 ;  13 79; 13 , 13 79; 13 , 5;1 , 5;1

2 36 36 2

x y                    

       

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau

a) 3 2 1 3

4 12 9 6 7

xy x y

x x x y y

  

 

     

b) 3 22 4 3

4 24 45 6 20

xy x y

x x x y y

  

 

     

c)

 

3

3

2

1 3

2

1 4

2 2

x

xy y

x

xy y

x x

  

  

 

 

 

   

 

d)

2

2

3 2

4 1

1

x y x

xy

x y

x y

   

 

   

  

Giải:

a) Hệ tương đương: 3 3 3 23 3 3

4 12 9 6 7

xy x y

x x x y y

  

 

     

Trừ hai phương trình cho ta được: 4x13  y33xy3y

 3 3

4 x 4y 3y 3xy 3y

     

       

       

       

  

2 2

2 2 2

2 2 2

2

4 1 1 1 3 1

4 1 1 1 3 1 1

4 1 1 1 3 1

1 2 2 0

x y x x y y y y x

x y x x y y y y xy y

x y x x y y y x y

x y x y

 

         

 

 

           

 

 

         

 

     

(29)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Với y2x2 thay vào (1) ta được:

5 17

4

2

5 17

4

x

x x

x

 

  

   

 

  

Vậy hệ có nghiệm  ;  17 1; 17 , 17 1; 17

4

x y          

   

   

b) Hệ tương đương: 6 3 3 32 12 0 3

4 24 45 6 20

y x xy

x x x y y

   

 

     

Trừ hai phương trình cho ta được:

3

4x 24x 48x32 y 3xy12y

 

       

3 3 3

2 2 2

4 2 4 3 3 12

4 2 2 2 3 4

x y y xy y

x y x x y y y y x

     

 

         

 

Thế xxy2y4 vào VP ta được:

   2     2 

4 xy2  x2  x2 yy 3y y 2yxy 4 4 3y xy2

 

   2   2

2 4 2 4 2 0

x y x x y y

       

Với y  x thay vào (1) ta được: x25x 8 (vô nghiệm) Với y2x2 thay vào (1) ta được:

17

4

2

17

4

x

x x

x

 

  

   

 

   

Vậy hệ có nghiệm  ;  17 1; 17 , 17 1; 17

4

x y         

   

   

c) Điều kiện: x0

Phương trình (2) tương đương:

2

2

1 1

2

y xy y

x x x x

 

        

 

 

(30)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

   

3

3

2

2

1 1

1

2 t t t t

x x x x

   

          

   

   

  

2t 6t 12t 2t 4t

      

TH1:

2

t x  y  TH2: 6t412t32t24t 3

2

2

6

3

t t

 

      

  (vô lý)

Vậy nghiệm hệ  ;  2;

x y   

 

d) Điều kiện: xy1 Phương trình (2) tương đương:

 2   

4

xy xy  xy  xy

Phân tích nhân tử ta được: x2y1x22y2xyy10 TH1: x2y 1 thay vào (1) dễ dàng tìm được:

 ;  14 3; 14 , 14 3; 14

5 5

x y          

   

   

TH2: Kết hợp với (1) ta có hệ mới:

2

2

2

3

x y xy y

x y x

    

 

  

 

Giải cách:

  

2

(1) (2) 3 4 0 1 3 4 0

PTPTyxy   x yyxy  Vậy nghiệm hệ

 ;  14 3; 14 , 14 3; 14 , 10 17; , 1;1 , 1; ,     2;

5 5 11 10

x y              

     

   

Ví dụ 7) Giải hệ phương trình với nghiệm số thực: a)

2

2

2

4

x y x y

x xy y x

     

 

    

 

b)

2

2

5

x xy y

y xy x

    

 

   

 

(31)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ * Cách 1: Đặt x u a

y v b

   

  

thay vào phương trình (1) hệ ta có:

2

(ua) 2(v b ) 2(ua) 8( v b ) 6 0

 2 2

2 2( 1) 4 ( 2) 2 2 8 6 0

uvauv b abab 

Ta mong muốn số hạng bậc phương trình nên điều kiện là: 1 0

2 0 a

b

   

  

1 2 a b

    

  

Từ ta có h đặt ẩn phụ sau: Đặt 1 2 x u y v

   

  

thay vào hệ ta có:

2

2

2

2

u v

u uv

  

 

 

 

hệ đẳng cấp

Từ hệ ta suy 2 2 2 3  3 4 0

4 u v

u v u uv u uv v

u v

 

        

  

Cơng việc cịn lại đơn giản

* Cách 2:Ta cộng phương trình (1) với k lần phương trình (2)

2 2

2

xyxy k x xyyx 

2

(1 k x) (2 4k ky x) 2y 8y ky k 6 0

          

Ta có

2

(2 4k ky) 4(k 1)(2y 8y ky k 6)

         

k2 8k8y2(4k232k32)y12k212k20 Ta mong muốn  có dạng (AyB)2   0 có nghiệm kép:

 2   

4 32 32 8 12 12 20

2

k k k k k k k

           

Từ ta có cách giải sau:

Lấy lần phương trình (1) trừ lần phương trình (2) hệ ta có:

 2   

2 x 2y 2x8y6 3 xxyy4x1 0

   

2 2

3 13 13

x xy x y y x y x y y

             

(32)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Từ tính được:

3 8 (5 10)

1 2

3 8 (5 10)

4 9

2

y y

x y

y y

x y

  

   

 

  

   



Phần việc lại đơn giản

b) Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) ta thu được:

   

2 2

2x 2xyy 5 yxy5x7 02xy5 xyy120

1

2

y x

x y

 

  

   

Nhận xét: Khi gặp hệ phương trình dạng:

2

1

2

1

0

a x a xy a y a x a y a b x b xy b y b x b y b

      

 

     

 

+ Ta đặt x u a y,  v b sau tìm điều kiện để phương trình khơng có số hạng bậc khơng có số hạng tự

+ Hoặc ta cộng phương trình (1) với k lần phương trình (2) sau chọn k cho biễu diễn x theo y Để có quan hệ ta cần dựa vào tính chất Phương trình ax2 bx c biểu diễn thành dạng:

2

(AxB)   0

Đối với hệ đại số bậc 3: Ta vận dụng hướng giải

+ Biến đổi hệ để tạo thành đẳng thức

+ Nhân phương trình với biểu thức đại số sau cộng phương trình để tạo quan hệ tuyến tính

Ví dụ 8) Giải hệ phương trình với nghiệm số thực: a)

3

2

3 49

8 17

x xy

x xy y y x

   

 

   

 

c)

3

2

3 49

6 10 25

x x y xy x

x xy y y x

    

 

    

 

b)

3

2

35

2

x y

x y x y

  

 

  

 

d)  

  

3

3 4

7 11 3 1 (1)

xy x y

x x y x y

 

  

    

 

(33)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ a) Phân tích: Ta viết lại hệ sau:

3

2

3 49

8( 1) 17

x xy

y x y x x

   

 

    

 

Nhận thấy x 1 hệ trở thành:

2

3 48

4

16

y

y y

  

  

 

 

Từ ta có lời giải sau:

Lấy phương trình (1) cộng với lần phương trình (2) hệ ta có:

 

 

3 2

2

3 49 8 17

1 ( 1) 3( 4)

x xy x xy y y x

x x y

       

 

      

Từ ta dễ dàng tìm nghiệm hệ: x y;   1; ,  1; 4 b) Làm tương tự câu a

Lấy phương trình (1) cộng với lần phương trình (2) thu được:

  2

1 ( 1) 3( 5)

x  x  y  Từ dễ dàng tìm nghiệm hệ c) Lấy phương trình (1) trừ lần phương trình (2) ta thu được:

3

(x2) (y3) xy5 Thay vào phương trình (2) ta có:

2 2 3

2( 5) 3 4( 5) 9 5 25 30 0

2 y

y y y y y y

y

  

          

  

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x y;   2; , 3; 2    

d) Lấy lần phương trình (2) trừ phương trình (1) ta thu được:

  2

1 ( 3)

x yxyx  x 

Trường hợp 1: x1 hệ vô nghiệm Trường hợp 2:

2

3

( 3)

( )( 1)

y x y x x

x y x y xy

      

 

   

 

Lấy lần phương trình (2) trừ phương trình (1) ta thu được:

  2

2x1 y (x1)yx  x 20

+ Nếu 3

2

x  y 

+ Nếu y2 (x1)yx2  x 2 0 ta có hệ:

2

2

( 1)

( 3)

y x y x x

y x y x x

      

 

     

 

(34)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Trừ hai phương trình cho ta có: y 1 thay vào hệ vơ nghiệm KL: Nghiệm hệ là:  ;  3 5; , 3 5;

2 4

x y        

   

   

d)

Ta có: (1) 7x33xy3xy 1 3xyx y 1

    

3

7x 3xy 4x 2y x y 1 3 x y x y 1

         

      

3 3

8x y 6xy 2x y x y 3xy x y 3 x y 1 x y 1

            

 3  3     3

2x y x y x y x y 1 x y

           

2x y x y x

      

Vậy hệ phương trình cho tương đương với:

 

1 1

3 4

x x x

y y y y

    

 

  

    

  

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Đặt ẩn phụ việc chọn biểu thức f x y g x y( , ); ( , ) hệ phương trình để đặt thành ẩn phụ làm đơn giản cấu trúc phương trình, hệ phương trình Qua tạo thành hệ phương trình đơn giản hơn, hay quy dạng hệ quen thuộc đối xứng, đẳng cấp…

Đễ tạo ẩn phụ người giải cần xử lý linh hoạt phương trình hệ thơng qua kỹ thuật: Nhóm nhân tử chung, chia phương trình theo số hạng có sẵn, nhóm dựa vào đẳng thức, đối biến theo đặc thù phương trình…

Ta quan sát ví dụ sau:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau a)

2

3 2

2 2

2 3

x xy y

x x xy y

   

 

    

 

b)

4 2

2

4

2 22

x x y y

x y x y

     

 

   

 

Giải:

(35)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2

3

3 ( )

3 ( )

x x y

x x y x y x

   

 

     

 

2

2

3 ( )

3 ( ) ( )

x x y

x x y x y x

   

  

     

 

Đặt a3x b2,  x y ta thu hệ phương trình:

2

2

a b ab b a

  

  

   

 

Từ phương trình (1)suy ab22 vào phương trình thứ hai hệ ta thu được: b22b b 3b22  1 b22b 1 0b 1 a3

Khi

2

1

3

1 1

2

x y

a x

b x y x

y

   

  

 

 

  

     

 

   

Tóm lại hệ phương trình có cặp nghiệm: x y;   1; , 1; 2 b) Ta viết lại hệ phương trình thành:    

2

2

2

2

2 22

x y

x y x y

    

 

    

Đặt ax22;by3 Ta có hệ phương trình sau:

2 2 2

4 4 ( ) 2 4

( 2)( 3) 2 2( 3) 22 4( ) 8 4( ) 8

a b a b a b ab

a b a b ab a b ab a b

         

 

  

            

  

2

2

( ) 8( ) 20

4( ) 10

( ) 48

a b ab

a b a b

ab a b a b

L ab

    

      

 

      

   

Xét 2 2, 0

0 0, 2

a b a b

ab a b

   

 

 

  

 

+ Nếu: 0, 2

5

x

a b

y

   

   

  

+ Nếu 2, 0 2

3 x

a b

y

  

   

(36)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Tóm lại hệ có cặp nghiệm: x y;  2;5 ,  2;5 , 2;3 ,   2;3 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau

a)     

2

2

1 25 1

2 8 9

x y x y y

x xy y x y

     

 

    

 

b)

 

2

2

1 9

6 0

8

1 5

2 0

4

x y xy

x y y

x y

    

 

   

 

Giải:

a) Để ý y 1 hệ vơ nghiệm

Xét y 1 Ta viết lại hệ thành:     

     

2

2

2

1 25

1 10

x y x y y

x y x y y y

     

 

      

 

Chia hai phương trình hệ cho y1 ta thu được:

 

     

 

 

2

2

2

2

2

1 25

1 25 1

1

1 10

1 1 10 1

1

x y

x y x y

x y y

y

x y

x y

x y x y y y

y

 

     

   

  

 

     

      

  

Đặt

2

; 1

1

x y

a x y b

y

   

 Ta có:

 

2 3;

25

5 3 11

10 ;

2

x y

ab x y y

a b

a b x y x y

 

 

   

  

    

 

       

 

Vậy hệ có nghiệm  ;  3;1 , 11; 2

x y   

 

(37)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

   

 

 

 

 

2

2 2

2

1 9 1 25

2 0 2 0

8 8

1 5 1 5

0 0

4 4

x y y x x y y x

y x y x

y x x y y x x y

y x y x

  

            

   

   

 

   

 

           

   

   

 

  

Đặt x y a y; x 1 b b; 2 y x

     

 hệ thành:

2

5

13

5

2 ;

8

4

5

25

2 4 ;

8 8

1

y x

y x x y

a b a

y x

a b b x y

y x



 

 

 

     

  

     

 

  

   

  

   

         

 

 

  

    

  

Vậy hệ có nghiệm  ;  3; , 13;

8 8

x y      

   

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau a)

2

2

17 19

17 19 10

x x y y

x y x y

    

 

     

 

b)

 

 

2 2

2 3

4 1 0

1 4 0

x x y y y

xy x y x y

     

 

    

 

Giải:

a) Điều kiện: 17 17; 19 19

2 x y

     

Để ý x 17 4 x2 liên quan đến 2x 17 4 x2,y 19 9 y2 liên quan đến

(38)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2

10

5;

17 19

3;

3

4

a b

a b

a b

a b

  

 

 

     

  

 

TH1:

2

1

2 17

2

3 19

5 13

6

x

x x

x

y y

y

  

    

 

  

 

  

 

 

   

TH2:

2

2 17

3 19

x x

y y

   

 

  

 

(loại) Vậy hệ có nghiệm

 ;  5; 13 , 5; 13 , 2;5 13 , 2;5 13

2 6 6

x y                

       

       

b) Ta viết lại hệ sau:  

2 2

2 3

1 4

1 4

x x y y y

xy x y x y y

    

 

   

 

Ta thấy y0 khơng thỏa mãn hệ.Chia phương trình đầu cho y2, phương trình thứ cho y3 ta được:

 

2

3

1 4

1 4

y

x x

y

x x

x

y y

 

  

  

    

 

Viết lại hệ dạng:

2 2

2

2

1 1 1

4 2

1

1 1

2 4

xy

x x

y y y

xy

x x

y

y y

 

    

 

 

 

    

     

   

    

Đặt x2 12 a,xy 1 b

y y

   ta có hệ 4 2

4 a b

a b ab

  

  

(39)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 2 2 x y x y             1 2 1 1 x x x y y y x y x x y y                           

Vậy hệ có cặp nghiệm xy1

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau

a)  

 

 

4 2

2

4 2

6 12

5 11

x x x y y x

x x y x

                b) 2 2 5 4 5 5 5 x y

x y x y

x y x y xy                Giải

a) Nhận thấy x0 không nghiệm hệ Chia hai vế phương trình cho x2 ta có:

2

2 2

2

2 2

2 2

2

6 1

6 12

5 1

5 11

x x y y x x y y

x x x x

x x y x x y

x x x x

                                                                    

Đặt x a x

  Hệ thành:

2

2 2

6

5

a ay y

a a y

          

Chia hai vế cho a2 đặt y X,y Y

a a

   giải ta

1 1 1 17

2 4

1

1 1

, 1

2

1 1 5

1, 2 1

2 2 2 x x x y y a y

a y x x

x y y                                                

Vậy hệ có nghiệm  ;  17;1 , 5;

4

x y         

   

(40)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ b) Điều kiện: x y, 0;x y2;yx2

Phương trình (2) tương đương:

2

5

5 5 5. 5

x y x y x y

y x

y x x x

 

      

Đặt

2

,

x y x y

a b

x x

 

 

Hệ thành:

 

 

2

2

3

, 3

2

1 5 2

4 1 5 1

, 1,

2 2 2 5 2

5 5

3 3

,

2 2

x y

x y x

a b x y

a b

x y y

b a

x y

  

 

     

  

      

  

 

    

  



Vậy hệ có nghiệm  ;  3;3 , 1;1 , 3;

2 2

x y         

     

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau

a)

 2  2

2

3

1

1

xy x y

x y

x y

    

 

  

 

b)

2

2

9 2 4

2

1 9 18

y x

x y

x y

x y

y x

   

  

   

   

   

  

 

Giải

a) Triển khai phương trình (1)

(1)  x y2 26xy 9 x22xyy2  8 x y2 2x2y2  1 8xy

  

1

x y xy

    

Nhận thấy x0,y0 khơng nghiệm hệ Phương trình (1) là:

2

1 1

. 8

x y

x y

 

  Đặt 2 ; 2

1 1

x y

a b

(41)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2

2

2

2

1 1

1 2

2

1 1

1 1

2 3

1 4 4

4

1 1 1 2 3

8

4 1 4 1

1 1

2 1 2

x a

x

x y

b a b

y y

x x

a

ab x y

y b

y



  

  

  

    

        

      

   

  

 

     

 

     

 

 

 

     

 

 

 

     

 

  

 

Vậy hệ có nghiệm

x y;   1; 2 3 , 1; 2 3 , 2   3; , 2    3; 1 

b) Phương trình (2) tương đương:

 2 2 2 2 3

2xy y9x 18x y 9x y 18xy 2xy

2 3 2

9 18 18

2 9 2 4

x y x y x y

xy

xy y x

 

      

2 2 2

9x y x y y x 4 9x y y x 4

y x y x y

      

           

 

     

Đặt a 9x y ;b y 2x

x y

 

 

     

   

Hệ thành:

2

9

2

2;

2

2 1

y x

a b x x y x

a b

x

ab y y x y

y

 

 

   

  

    

  

   

    

 

 

2

2

0( )

4

1

4 9

9

x L

y x x

x y

x x x x x

 

  

 

 

   

   

 

Vậy hệ có nghiệm  ;  1;

x y   

 

(42)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

a)

2

2 2

6

3

x x y x xy

x x y y x y

    

 

     

 

b)

   

2

2

2 2

2 1 1

x y y x x

x y x

   

 

   

 

Giải Giải hệ:

Hệ phương trình tương đương với :

   

   

 

   

2

2

2

2

3 6

6 3 9 9

3 6 2

3 6 2

x x

y y

x y y y x x xy

y x

x x x y y y

x x x y y y

  

         

 

 

 

       

       

   

   

2

2

6 3

9

6 3

3 6 2

y y y x x x

x x x y y y

 

    

  

     

 

Đặt xx2 3 xa y;  y26yb Hệ thành:

1

6 3 ; 1

9 2

2 4

1 ;

3 3

a b

b a

a b a b

 

 

 

 

 

     

 

TH1:  

 

2

2

1

3

1

6 2

x

x x x

y

y y y

     

 

 

    

TH2:  

 

2

2

2

3

15

4

6 2

3 15

x

x x x

y y y y

 

   

 

 

     

 

 

Vậy nghiệm hệ  ;  1;1 , ; 2

2 15 15

x y     

(43)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC:

Điểm mấu chốt giải hệ phương pháp biến đổi theo đẳng thức:

Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau

a)  

3

3 2 2 2 1 0

2 2 2 5

x x y y

x y

     

 

   

 

b)

   

2

2

2 2

2 1 1

x y y x x

x y x

   

 

   

 

Giải

a) Điều kiện: 2,

xy Phương trình (1) tương đương: 2x 2x 2x 2y1 2y 1 2y1

Đặt a 2x b,  2y1 Ta có phương trình: a3ab3b

  2 

1

a b a ab b

      Do

2

2

1

2

b b

aab b  a    

 

suy phương trình cho ta ab 2y 1 2xx 3 2y thay vào ta có: 5 2 y2 y2 5 Đặt

35 ; 2

a  y by ta có hệ phương trình sau:

3

1; 2

2 5 3 65 23 65

;

4 8

2 9

65 3 23 65

;

4 8

a b

a b

a b

a b

a b

  

 

    

  

 

 

 

 

 



2

233 23 65 32 233 23 65

32 y

y y

   

 

 

 

 

 

Vậy hệ có nghiệm

 ;   1; , 23 65 185 233 23 65; , 23 65 185 233 23 65;

16 32 16 32

x y            

   

(44)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ta viết lại phương trình (1) thành: y3x62x2yx20

  

2

2 2

2 0

0 y x

y x y yx x x

x y

 

       

 

Dễ thấy xy0 nghiệm Khi yx2 thay vào (2) ta được:

   2  2   4 3, 3

2 1 1 2 1 1

3, 3

x y

x x x x x x

x y

  

          

  



(thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm x y;   3;3 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau

a)

5 10

2

4 5 8 6

x xy y y

x y

   

 

   

 

b)  

3

3

2 4 3 1 2 2 3 2

2 14 3 2 1

x x x x y y

x x y

      

 

    

 

Giải

a) Điều kiện:

4

x 

Ta thấy y0 không nghiệm hệ chia hai vế (1) cho y5 ta được:

5

5

x x

y y

y y

 

  

   

Đặt a x y

 ta có phương trình: a5ay5y suy

  2 

1

ay aa ya yay    yaxy

4x 5 x86x 1 y 1 Từ tính y 1

Vậy hệ cho có nghiệm x y;   1; 1  b) Điều kiện: 2;

2

x  y Ta thấy x0 hệ khơng có nghiệm Chia phương trình (1) cho x2 0:

   

4

1 2y 2y

x x x

      

 

3

3

1

1 2y 2y

x x

   

        

   

(45)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Đặt a 1,b 2y

x

    Ta có a3ab3bab 2y 1

x

   

Thay vào (2) ta được:

3

3

2 15 1 1 15 3 4 14 0

x  x   x  xxxx 

111

98

x y

    Vậy hệ có nghiệm  ;  7;111 98

x y   

 

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau

a)

2

(17 ) 5 (3 14) 4 0

2 2 5 3 3 2 11 6 13

x x y y

x y x y x x

     

      

   

 

(1)

(2)

b)    

 

3

2 3

2

5

x x y x y y y

x y x x y xy x

     

 

       

Giải

a)Điều kiện: 5 4

2 5 0

3 2 11 0

x y

x y

x y

 

 

 

 

  

Biến đổi phương trình (1) ta có: 3 5 x2 5x 3 4 y2 4y Đặt a 5x b,  4y ta có”

  

3 2

3a 2a3b 2ba b 3a 3ab3b 2 0ab

5 x 4 y y x 1

      

Thay vào (2) ta có: x26x132 3x43 5x9 (4)

Điều kiện xác định phương trình (4) là:

3

(46)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

   

   

 

2

2

2

2

2

(4) 2 2 3 4 3 3 5 9 0

2 3

0

2 3 4 3 5 9

2 3

1 0

2 3 4 3 5 9

0

2 3

1 0

2 3 4 3 5 9

x x x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x

x x x x

x x

x x x x

          

 

    

     

 

     

     

 

  

 

   

      

(*) x2 x0 0 1

1 2

x y

x y

   

     

  

Ta có 1 2 3 0

2 3 4 3 5 9

x x x x

  

      điều kiện

4

x 

Kết luận: x y;   0; ,   1; 2 b)Điều kiện: y0,xy0

Nhận thấy y0 hệ vơ nghiệm Ta xét y0

Từ phương trình (1) ta sử dụng phương pháp liên hợp:

PT(1) 2 2     

2

x y

x xy y y x y x y x y

y x y

 

         

 

Rõ ràng 2 0; 1 0

2

x y x y y

y x y

     

  , từ suy xy

Thay vào (2) ta được: x35x214x 4 63 x2  x 1 Biến đổi phương trình cho tương đương:

3

3 2

3 6 4 8 8 8 8 8 8

xxx  xx  xx

 3  

1 3 1 8 8 8 8 8 8

x x x x x x

         

Đặt a x 1,b 38x28x8suy

3

3

aabb a b a2ab b 230ab

3

1 8 8 8 1; 1

(47)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Vậy hệ có nghiệm x y;    1;1

KHI TRONG HỆ CĨ CHỨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC THEO ẨN x, HOẶC y

Khi hệ phương trình có chứa phương trình bậc hai theo ẩn x y ta nghỉ đến hướng xử lý sau:

* Nếu  chẵn, ta giải x theo y vào phương trình cịn lại hệ để giải tiếp

* Nếu  không chẵn ta thường xử lý theo cách:

+ Cộng trừ phương trình hệ để tạo phương trình bậc hai có 

chẵn tạo thành đẳng thức

+ Dùng điều kiện  0 để tìm miền giá trị biến x y, Sau đánh giá phương trình cịn lại miền giá trị x y, vừa tìm được:

Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau a)

2

2

2 1 2 2

xy x y x y

x y y x x y

    

 

   

 

(1)

(2)

b)

2

2

2 3 3 2 1 0

4 4 2 4

x y xy x y

x y x x y x y

      

 

      

 

Giải

Xét phương trình (1) hệ ta có:

2 2

2 ( 1) 2 0

xy x yxyxx y  yy Ta coi phương trình bậc x ta có:  (y1)28y24y(3y1)2 Từ suy

1 (3 1) 2 1 (3 1)

2 1

2

y y

x y

y y

x y

  

  

 

  

   



Trường hợp 1: x y Từ phương trình (2) hệ ta có điều kiện: 1 0 x y

  

 

(48)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Trường hợp 2: x2y1 thay vào phương trình thứ hai ta có:

 

(2 1) 2 2 2 2( 1)

( 1) 2

y y y y y y y y y

y y y x

       

       

Vậy hệ có cặp nghiệm: ( ; )x y (5; 2)

b) Xét phương trình (1) hệ ta có:

2 2

2xy 3xy3x2y 1 02xx(3 ) yy 2y 1 0 Coi phương trình bậc x ta có:

 

2 2

(3 )y y 2y y 2y (y 1)

          

Suy

3 3 ( 1) 1

4 2

3 3 ( 1)

1 4

y y y

x

y y

x y

   

 

 

  

   



Trường hợp 1: y x thay vào phương trình (2) ta thu được:

2

3 3

3 ( 1) ( 4)

x x x x

x x x x x x

     

          

  1 1

3 0

1 3 1 2 5 4

x x

x x x x

 

     

     

 

Do

3

x  nên

1 1

3 0

1 3 1 2 5 4

x x x x

  

     

2 0

0

1 x

x x

x

 

    

 

Trường hợp 2: y2x1 thay vào phương trình (2) ta thu được: 3 3 x 4x 1 5x4 4x 1 5x43x 3 0 Giải tương tự ta x0

Kết luận: Hệ phương trình có cặp nghiệm: ( ; )x y (0;1), (1; 2)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau a)

  

3 2 3 1

5

3 2 2 2

2

x y x y

x

y xy y

    

 

    

 

(1)

(49)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ b)

 

2

2 10 1

3

1

1

y y x y y x

y x y

x

        

 

   

 

c) 4 3 4 1

2 3 4 (5 ) (4 ) 1

x y y x

y x y x y x x y

    

 

     

 

Giải

Điều kiện: 2; 3;3

yx  yx

Phương trình (1) tương đương (x3)2 4(y1)(3yx)

2 2

6 9 12 12 4 4 2 (5 ) 12 12 9 0

x x y y xy x x x y y y

             

Coi phương trình bậc x ta có:  2

2

' (2y 5) 12y 12y 4y

       

suy 5 2 (4 4) 6 9

5 2 (4 4) 2 1

x y y y

x y y y

       

 

      

Trường hợp 1: x 6y9

Do x  3 6y   9 y 1 suy phương trình vơ nghiệm Trường hợp 2: x2y1 thay vào phương trình hệ ta có:

 

  

2 2

3 2 2

3 2

y

y y y y y y

y y

         

  

Ta có: 2 3; 2 1 7

3 3y 2 y2  2 y  Nghĩa VPVT, suy y2x1 Vậy hệ có nghiệm x y;   1; 2

b) Điều kiện:

 

2

1 0 1 0

2 7 10 3 0

x y

y y x y

   

   

    

(50)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ta viết phương trình thứ dạng:

 

2

2y 7y10x y3 x 1 y1

Để bình phương ta cần điều kiện: x 1 y 1 x2 x y Ta bình phương hai vế được:

   

2

2y 8y 8 x y3 x 2x2 x1 y1 (1)

Ta đưa phương trình (2) dạng: x1 y 1 x2 x 2xy2y3 (2) Thế (2) vào (1) ta được:

   

2 2

2y 8y 8 x y3 x 2x2 x  x 2xy2y3

2

2y 4y 2 3xy x 3x 0

      

   2   

2 1 0

3 1 2 1 0 1 2 2 0

2 2 0

x y

x x y y x y x y

x y

  

             

  

* Với xy 1 0 y 1 x, ta có thêm x2 thay vào phương trình (2) ta có: x1 2x    1 x x2 x2  x 1 x1 2x 0

Vì  1 x2, ta dễ thấy: VT 0, nên suy phương trình vơ nghiệm

* Với 2

2

x

xy   y  , thay vào phương trình (2) ta được:

4 3

2

2 1

x x

 

 Đặt ux1 ta thu phương trình:

3

3 24 18

5

2 3

2

2

u u u

u

u x y

u u

    

 

        

  

Hệ có cặp nghiệm nhất: x2;y0

c) Điều kiện

4

y y

x

 

(51)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2

4x 4 (x y2)y 4y0 Ta coi phương trình bậc x

 2

' y 4(y y) 16

      suy

2( 2) 4

4 2

2( 2) 4 4

4 2

y y

x

y y

x

 

 

 

  

  



Trường hợp 1:y2x thay vào phương trình (1) ta có: 2x  12 vơ nghiệm Trường hợp 2: y2x4 thay vào phương trình (1) ta thu được:

273 257

2 12 15 ,

8

x  xy

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm:  ;  273 257;

8

x y   

 

PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Để giải hệ phương trình phương pháp đánh giá ta cần nắm bất đẳng thức như: Cauchy, Bunhicopxki, phép biến đổi trung gian bất đẳng thức, qua để đánh giá tìm quan hệ x y,

Ngồi ta dùng hàm số để tìm GTLN, GTNN từ có hướng đánh giá, so sánh phù hợp

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau

a)

   

2

1 1 2

1 2

1 2 1 2

2

1 2 1 2

9 xy

x y

x x y y

 

 

  

 

   

 

b)

   

 

3

2 2

2 3

2

76 20 2 4 8 1

x x y x x y

x y x x

   

 

    

Giải

a) Điều kiện: ,

x y

(52)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Đặt 2 , 2 ; , 0; 1

2 ax by a b  

 

Ta có: 2 2

2

1 1 1 1

2

1 1

1 1

VT

a b

a b

 

     

 

 

 

Ta sử dụng bổ đề với a b, 0 ab1 ta có bất đẳng thức:

   

   

2

2 2

1

1 1 2

0

1 1 1 1 1 1

a b ab

a b ab ab a b

 

   

      (đúng)

Vậy 2

1

VT VP

ab

 

Đẳng thức xảy xy Thay vào(2) ta tìm nghiệm phương trình Nghiệm hệ  ;  73 9; 73 , 73 9; 73

36 36 36 36

x y           

   

b) Điều kiện: xy2 0

Phương trình (1) tương đương: x3x x y22 xy23 0 Đặt xy2 u phương trình (1) thành:

3 2

2 0

xxuu  xuy  x x

Thay vào (2) ta được: 96x220x 2 332x24x

Ta có  

2

2 3 32 4 2

96 20 2 32 4 1.1 32 4

3

x x

xx  xxxx   

   2

3 96 20 32 16

8

x x x x x x y

             

Từ ta có nghiệm hệ là: Vậy hệ có nghiệm  ;  1;

8

x y   

 

 

(53)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ a)

   

2

3

2

3

2

1

2 9

2

2

2 9

xy

x x y

x x

xy

y y x

y y

  

 

 

   

  

với x y, 0

b)  

 

3

2

2

3 10 12

6

2 3

x xy y

x y

x x y

x xy y

   

 

   

 

Giải

a) Hiển nhiên xy0 nghiệm hệ Ta xét x0 y0 Cộng theo vế hai phương trình hệ ta

   

2

2

3

1

2

1 8

xy x y

x y

 

   

     

 

Chú ý

 2  2

3

1 1

;

2

1 8

x y

 

   

Với xy0 ta có

   

2

2

3

1

2

1 8

xy xy x y

x y

 

    

     

 

Dấu đẳng thức xảy xy1 Với xy0 Khả xảy Thật vậy, khơng làm tính tổng qt giả sử x0,y0 rõ ràng đẳng thức (1) khơng thể xảy Vậy hệ có hai nghiệm x y;  0;0 , 1;1   b) Theo bất đẳng thức AMGM ta có :

12 10 5

2

x y

xy    xxyyxxyyxyxy

(54)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

 

 

3

2

2

6

2 2

x y

x x y x y

x xy y

    

 

 

 

3

2

2

6

2 ( ).

x y

x y x y

x xy y

    

  

Ta có: xy 2(x2y2) Để chứng minh ( ) ta chứng minh bất đẳng thức mạnh là:  

3

2

2

6

2 2( ) (1)

x y

x y

x xy y

 

 

Mặt khác ta có:

2

2

x y

xy  nên (1) chứng minh ta được:

3

2 3 2 2

2

2

6( )

2 2( ) 2( ) ( ) 2( )

2

x y

x y x y x y x y

x y

x y

      

 

6 3 2 2

4 3 ( ) 0 (2)

x y x y x y x y

     

Vì y > chia hai vế cho y6 đặt t x 0 y

  bất đẳng thức (2) trở thành

6

3

tttt  

Nhưng bất đẳng thức hiển nhiên do:

 

 

6 2

3

2

2

3 ( 1) ( 2 1)

6

2

t t t t t t t t

x y

x x y

x xy y

        

    

 

Kết hợp tất vấn đề vừa ta thấy có số x y, thỏa mãn điều

kiện

, 0

2 3 1

x y

x y x y

x y

  

    

   

nghiệm hệ

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau a)

2

2

41 1

9 3 40

2 2

5 6 4 9 9

x x

x y

x xy y y x

  

  

  

  

    

(55)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ b)

2 2

2 3

2 5 3 4 5 3

x y x xy y

x y

x xy x xy x

   

  

  

    

Giải

a) Phương trình (1) tương đương: 82 80

2

x x

x y

  

 

 

 

Ta có:

 

 

2 2 1

1 9 9

2 2

VT x x x x

x y x y x y x y

 

          

    

 

2

6 80 6

3 2 6 0

9 2 9

x

x x xy y

x y

      

  (*)

Lấy (*) cộng với PT(2) ta được:

 2

2

4 12 3

x xy y y x x y x y

              

Để dấu xảy xy3 Vậy hệ có nghiệm x y;   3;3 b) Ta có

 2  2  2

2 2

2 4 2

x y

x y x y x y

xy    xy

    

 2  2  2

2 2

3 12

x y

x y x y x y

xxyy    xxyy

    

Từ suy

2 2

2 3

x y x xy y

x y x y

  

    

Dấu xảy xy0

(56)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Để ý x0 khơng phải nghiệm Ta xét x0, chia phương trình cho

2

x thu được: 2 5 32 4 5 32

x x x x

 

     

  Đặt

5 3

2 0

t

x x

    ta có phương trình:

2

2

5 3

6 2

t t t x

x x x x

              

Vậy hệ phương trình có nghiệm x y;   3;3 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau

a)

2

4

32 3 0

32 6 24 0

x x y

x x y

     

 

    

 

b)  

( ) 2

( 1) (1 ) 4

xy x y xy x y y

x y xy x x

      

 

 

     

 

(1)

(2)

Giải

a) Điều kiện: 0 32 4 x y

 

 

 

Cộng hai phương trình vế theo vế ta có:

2

4

32 32 21

x xx xyy (*) Ta có:y26y21y3212 12

Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

  

  

4

32 1 32

32 1 32

x x x x

x x x x

      

       

Vậy x 32x4 x432x12 Từ suy hệ có nghiệm x y, phải thỏa mãn: 4

32

16 32

3 3 0

x x

x

x x

y y

  

  

  

 

    

 

(57)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ b) Điều kiện:

 

, 0

( ) 2 0

x y

xy x y xy

   

   

 

Chuyển vế bình phương phương trình thứ hệ ta thu được:

2

( )( 2) ( )

xyxy xy  yyx

(x y y)( xy 2) ( x y)(2y y x) 0 (3)

        

Từ phương trình (1) hệ ta có

2yyxyxy(xy)( xy2)0 Từ phương trình (2) ta có:

3

(x1)(yxy)x   x 4 (x2)(x1) 2(x1)2(x1) yxy2 Kết hợp với (3) ta suy xy

Thay vào phương trình (2) ta có:

 

(x1) 2xx(1x) 4x 2x 3x 4 0x1 Kết luận: Hệ có nghiệm xy1

Nhận xét: Việc nhìn quan hệ xy chìa khóa để giải tốn Đây kỹ đặc biệt quan trọng giải hệ phương pháp đánh chứng minh bất đẳng thức

MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1)

 

2

3

2

1 1

x y x

x y

  

 

  

 

( Trích đề tuyển sinh vịng 1- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2008)

2)

2

3

2

8

x y y x

x y

  

 

 

 

( Trích đề tuyển sinh vòng 2- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2008)

3)

2

2

1

3

x y xy

x y y

   

 

  

 

(58)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 4)

2

2

3 12 23

2

x y xy

x y

   

 

 

 

( Trích đề tuyển sinh vịng 1- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2010)

5)

  

2

5 2 26

3 11

x y xy

x x y x y

   

 

   

 

( Trích đề tuyển sinh vòng 2- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2010)

6)

  

2 2

2

2

1 4

x y x y

x y xy x y

  

 

  

 

( Trích đề tuyển sinh vịng 2- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2011)

7)

2

2 4

2 4

x y y

x y xy

   

  

( Trích đề tuyển sinh vịng 2- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2012)

8)

2

2

1

2

x y xy

x xy y

   

 

  

 

( Trích đề tuyển sinh vòng 1- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2014)

9)

2

2

2 12

6 12

x y xy

x x y y y x

   

 

   

 

( Trích đề tuyển sinh vịng 2- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2014)

10)

2 2

2 3 5

4 5

x y xy

x y xy

 

 

 

( Trích đề tuyển sinh vịng 1- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2015)

11)

  3

2

27 26 27

x y xy

x y y x x x

  

  

     

 

( Trích đề tuyển sinh vòng 2- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2015)

12)  

 

2 2

4 1 2 3

12 4 9

x y y

x x y y

   

  

  

 

(59)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 13)    

2

2

1

1

3

x y

y x

xy x y

 

 

 

  

( Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2014)

14)

3

2 4

6 2 2

x y x y

x y

    

 

  

 

( Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2014)

15)  

2

2

2 3 2 5 2 0

2 3 15 0

x xy y x y

x xy y

     

 

   

 

( Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Thái Bình 2014)

16)  

  

3

3 4

7 11 3 1

xy x y

x x y x y

 

  

    

 

17)

2 2

2

2

8

x y x y

y x y x x xy

  

 

   

 

18)

2

3

1

x xy y

y x y

   

 

  

19)   

2

4

15

x y x y

y y x

   

 

 

 

20)   

  

2

4 2

2

2 2

x y x y

x y x y x y x

   

 

    

 

21)

 

2

3

3 1

x y

x y x

  

 

 

 

22)   

2

3

1 1 15

1

xy x y y

y xy

   

 

  

23)

2

4 2

2

6 16

x y

x y x y xy

  

 

   

(60)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 24)

2

3

3

27 30

x y xy

x y x y x y

   

 

   

 

25)

2

3

4 5

15

12 40

x y

x y

xy

y x

  

 

  

 

26)

 

 2 2  3

2 8

1 1 1 2 1 1 1

16

x x y

x y x y

x y x y

 

 

   

   

   

     

27)

   

2

2

2

2

9 1

1 1

x y

x

y

xy x y

  

 

 

   

28)  4  1

12 4 2

x y y x

x y y x xy

      

 

   

 

29) 2

8 17 21

6 8 4

16 9 7

xy x y

x y xy y x

x y

  

  

  

   

 

   

30)

3 13 2 5

3 13 2 5

3 13 2 5

x y

y z

z x

    

 

   

 

   

 

31)  

2

3

2

7 7 4

3 8 4 8

x y x y x y x

x y y x

      

 

   

 

32) 3 2 3 5  , 

2 3 2 3 4 2

x y x y

x y

x y x y

     

 

     

 

33)

  

 

3

2

2 2 1 20 28

2 2

x y x y

x y y x x

     

 

   

(61)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

34)  

2

4

,

16 2 3

x y x y x y

x y

x y x

     

 

    

35)  

 

2

3 2

2

y y x y x y

x x y x y

     

 

     

36)

2

2

9 5

3 5

30 6

x x y x

x x y

x x

y y

  

 

  

 

 

37)

2

2 3

( 3) 8 20 ( 4) 6 10 0

4( 5) 6 11 2 5

x y y y x x

x y y

        

 

    

 

38)

3 2

2

2 2 4

( , )

2 2 2 4

x xy x y

x y

x xy y y

    

 

   

39)

2 2

2

2 ( 3)(2 3) 12 11 8

6 13 1

y x y x y xy y

y x y y

      

 

  

 

40)

3 2

2

2 4

2

2 2

x x y x

y xy

y

  

 

  

 

41)

3

2 2

3 3 2

1 3 2 2

x y y x

x x y y

    

 

     

 

42)  

3

3

2 4 3 1 2 2 3 2

2 14 3 2 1

x x x x y y

x x y

      

 

    

 

43)   

2

2

7

2

2

7 14

x y xy

x y xy x y

  

 

      

(62)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

44)  

3

4

16 24 14 3 2 3 2

4 2 2 4 6

x x x y y

x y

      

 

   

 

45) 13 4 2 2 5

2 2 2

x y x y

x y x y

     

 

   

 

46)

3 3

2

8 27 18

4

x y y

x y x y

  

 

 

 

47)  

3

3 2 2 2 1 0

2 2 2 5

x x y y

x y

     

 

   

 

48)

  

2

1 1 1

35 12 1

x x y y

y y

x

     

  

 

 

49)

 2  2

2

3

1

1

xy x y

x y

x y

    

 

  

 

50)

4

2 2

3

4

2

2

x x x y

x y x xy y

x y

     

   

  

 

51)

3

3

3

12 48 64 0

12 48 64 0

12 48 64 0

x z z

y x x

x y y

    

   

    

52)  

2 2

2

2 1 2 0

2 2 ( 2) 4 4 0

x y y x y y

x xy x y x

        

 

       

53)

 

3 10

1

2

3

x y x

x y

x y x y

    

 

 

   

  

 

  

(63)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 54)

3 2

2

2 ( 4) 8 4 0

1 1

2 3 4( 1) 8

2 2

y x y y x x

x

x y x y

      

 

      

 

55)  

2

3

( ) ( 1)

3 4

x y x y y x y

x x y y

     

 

    

56)

   

3 2

2

2 ( 4)

3 4( 1) ( 1)

y x y y x x

x x y x y

      

 

       

 

57)

2

2

5

8( ) 13

( )

1

2

x y xy

x y x

x y

   

 

 

  

 

58)

2

3

2 2

( ) 12( 1)( 1)

x y y x

x y x y xy

    

 

     

 

59)    

3 2

7

2

x y x y xy xy x y

y x x

     

 

    

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1) Ta viết lại hệ phương trình thành:  

 

2

3 3

1

1

x y

x y

   

 

  

 

đặt a x 1 ta có hệ

2

3

1

a y

a y

  

 

 

 

Suy  1 a y, 1 Mặt khác ta có:

  

3

1 1 0

a  y  yyy   a Tương tự ta có

2

2 3

2

0 y a a a y a y

y y

 

       

  

Dấu xảy

1,

(64)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 2) Hệ phương trình có dạng gần đối xứng từ hệ ta suy

     

3 2 2

8xy 7 2x yy x 8x 14x y7xyy 0 xy 4xy 2xy 0

2 4 y x

y x

y x

  

 

   

thay vào phương trình ta tìm nghiêm là:

 ;   1;1 , 1; 2

x y    

 

Ta giải nhanh sau: Lấy phương trình (2) trừ lần phương trình (1) thu được: 2xy3  1 2xy 1 y2x1

3) Từ hệ phương trình suy ra

2

2

2

1

1 3 ( 3)

3

x xy y

x xy x y x y x y

x y y

   

           

  

 

Đây là phương trình bậc x có   y26y 9 4 y 2  y12 từ tính x1 x 2 y thay vào ta tìm nghiệm

x y;   1; , 1;1 , 5; 3      Chú ý ta giải cách khác:

    

2

1 3 3 1 3 2 0 1 2 0

x  xyx  y y x xx   xy x4) Nhận xét: Có thể đưa hệ dạng đẳng cấp:Từ hệ ta suy

 2   2 2   

2 3x 8y 12xy 23 xy 17x 24xy7y 0 xy 17x7y 0

7 17

x y

x y

   

  

Giải hệ với trường hợp ta suy

 ;    1;1 , 1; , 17; , ; 17

13 13 13 13

x y         

(65)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Cách khác: Cộng hai phương trình hệ ta thu được:

2 3 2 25 2 3 5

2 3 5

x y

x y

x y

 

   

  

thay vào để giải

5) Ta viết lại hệ cho thành:

2

2

5 2 26

3 11

x y xy

x x xy y

   

 

   

 

Nhân hai vế phương trình: (2) với cộng với phương trình (1) ta

được:  2

2

9 48 48 8

3

x

x x x

x

  

     

   

thay vào ta tìm

1

yy 3

Cách khác: Ta viêt lại hệ thành:

   

      

2 2 2

2 26 26

11

2 2 11

x y x y a b

a b ab

x y x y x y x y

       

 

  

       

 

hệ đối xứng loại

6) Nhận xét xy0 nghiệm hệ Xét x y, 0 Ta chia phương trình cho x y2 2

2

2

1 1 1 1 2

2 2

1 1 2 1 1 2

2 8 2 8

x y x y xy

x y xy x y xy

  

     

  

  

 

       

    

  

       

    

    

Đặt

1 1 2

; 2

a b

x y xy

   

   

   

   

thu

2

8

8 2; 4

0 ab

a a b

a b

 

    

  

(66)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 7) Ta viết lại hệ phương trình thành:

 

 

2

2 1 5 2

5 5

1 1 5

x y a b

a b ab

x x y y

      

 

  

     

 

hệ đối

Xứng loại 1, ta dễ tìm a2,b1 a1,b2 Từ giải

1

xyx2;y0 Cách khác: Ta viết lại hệ thành:

     

2

2

2

2 4

2 4 12 4 12 0

4 2 2 8

x y y

x y xy x y x y x y

x y xy

   

           

  

8) Từ hệ ta suy

    

2 2 2

2

xxyyxyxyxxyy   xy xy

Giải hệ ứng với trường hợp ta có: xy1;xy 1,

2 7 7

; ; ;

7 7

xyx  y 

9) Ta viết hệ cho thành:

  

        

2 3 12

2 3 6

6 12

x y x y

x y x y x y xy

x y xy

  

 

     

  

 

xy2x3y 6 xy0xyx3y20.Giải trường hợp ta thu được: x y;   3; , 3; ,    4; 2

10)Từ hệ ta suy

  

2

2 2 2

2 2

2

2 4 2

4

xy y xy

xy y x y x xy y x y x y

x y xy

  

           

 

 

Giải trường hợp ta thu  ;  0; , 1;1 ,   2;

5

x y    

 

(67)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 11)Ta viết lại hệ cho thành:   

  3  3

2 2 9

27 8 3 1

x y

x y y x x

  

  

     

 

Chú ý rằng: 27xy3x2y2 suy

  3  3 3      3

27 xyyx  8 3x1 xy 3 x2 y2 xy  8 3x1

x y 23 3x 13 x y 3x y 2x

             thay vào ta tìm

được:  ;   1;1 , 7;

x y    

 

12)Hệ cho tương đương với:

 

 

2

2 2

4 1 2 3

12 9 4

x y y

x x y y

   

 

  

 

  

 

2

2 2

4 1 2 3 4 9

12 9 4

x y y y

x x y y

    

  

  

 

Cộng theo vế hai phương trình ta được: 2 2 

8

x xyy 

 2

2 2

7 0

2

xx y yx y

         

  (tm)

Vậy hệ có nghiệm  ;  0;3

x y   

 

Điều kiện: x 1;y 1

13)Hệ phương tình cho tương đương:    

2

2

1 2

1 1

1 .

1 1 4

x y

y x

x y

y x

 

 

  

  

(68)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Đặt ;

1 1

x y

u v

y x

 

  , hệ thành:

2 1

2 1 4

u v

uv

 

  

 

 

 

 

2

2

2 2

1

2

2 0

u v

u v uv

u v uv u v

  

   

 

 

  

  

 

Suy

2

uv

2

uv  Nếu

2

uvxy1 (tm) Nếu

1

uv 

3

xy  (tm) 14)Điều kiện 2 0

0

x y

y

 

 

 

Đặt tx2y 0 từ phương trình  1 suy ra t23t     4 0 t 1 x 2y1 thay vào phương trình (2) ta có:

38 4 y 2y 2 Đặt 2ya 0 2ya2 Thay vào phương trình ta

có: 3

0

8 2 2 8 12 0 2

6 a

a a a a a a

a

  

        

  

Từ tìm nghiệm hệ x y;   1;0 , 3; , 35;18

15)Phương trình (1) hệ viết lại sau:

2  2 5 0 2

5 2

y x

x y x y

x y

 

     

  

Thay vào phương trình (2) hệ ta tìm nghiệm x y;   1; ,  1; , 3; 4

16)Từ phương trình ( 2) ta có:

    

3

7x 3xy 3xy  1 3 xy x y 1

(69)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Hay 8x3y36xy2xyx3y33xy x y3x y 1xy1 Hay 2xy3 xy132xyxy 1 x1 Thay vào phương trình đầu tìm nghiệm hệ là: x y;     1;1 , 1; 4 

17)Dễ thấy hệ có nghiệm 0;0 

Nếu x y, 0; 0 hệ phương trình tương đương với:

2

2

1

2

1

8

x y

x xy x y

 

  

     

 

Đặt 1 u;1 v

xy  cộng hai phương trình hệ ta thu được:

2

2

2

3

u v

u uv u v

  

 

    

 

  

2

2u v 3uv 7u 5v 6 0 u v 2 2u v 3 0

             .Ta được:

2

2

2 2

2 3

2 u v

u v

u v

u v

   

 

 

  

 

  

18) Ta có:

    

3 2 3 3

2yxy 1 xy xxyyxyyxxy.Hệ

tương đương với 2 2 1

1 1

x y x y

x y

x xy y

  

 

 

  

   

(70)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 19)Hệ tương đương:

  

 

  

   

2

2

2

4

15 15

15

15 15

x y x y

x y x y

x y x y x y y

x y y

      

 

 

   

 

 

 

  2   2

4 4

15 15

2 15

x y x y x y x y

x

x y y

       

 

 

 

  

 

+)

  

3

2

2

15 15 1; 2

15

x y

y y x

x y x y

  

    

  

 

+)

  

3 3

2

2

5 15 3; 2 3

15

x y

y y x

x y x y

   

      

  

 

Vậy nghiệm hệ: x2;y1 , 3

2 3;

xy 

20)Ta có:   4 2  2 5

2xxy xyx yxy xyxyxy Ta thu hệ tương đương:

 2

1

2 1

x y x y

xy x y x y

   

 

     

 

21)Hệ cho tương đương:       

     

2

3

1

x y x y x y x y

x y x y x y

       

 

    

 

Đặt u x y v;  x y, sau giải 18 22)Nếu y0 suy 10 (loại)

(71)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2

4

1 1

15

1 1

x x

y y

x y y

   

  

   

   

  

 

Đặt 1 t

y  ta được:

  2

15

x t x t

t t x

   

 

 

 

, sau

giải 19

23)Ta có: 16x4y44xy x 2y26x y2 xy4  x y 2

+) 2 22 2 2 2 2 4 2 0 1

1 2

x y x

x x x x

y

x y

  

 

        

 

  

+) 2 2 2  22 2 2 4 2 0 1

1 2

x y x

x x x x

y

x y

    

 

        

 

 

  

Vậy nghiệm hệ có cặp nghiệm   1;1 ,  1; 1

24)Ta có: PT 3 2 3 2

27x y 27x y 9y x x y 3y x 3x y

       

3x y3 x y3 x y

      Hệ cho tương đương:

3

2

1

x y

x y x y

  

  

  

25)Ta có: PT 215x4y412x y2 40xy8xy4x2y2

 

4 2 2

16x y 8xy 4x y 12x y x

     

 4 2

2

2 3

x y x x y

x y x

x y x x y

  

 

    

   

 

+)

2 1

4 5

1 x y

x y

x y x y

 

   

    

 

(72)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ +)

2

2 2

4 5 5

4 ;3 , ;

13 13 13 13

3

x y

x x x

x y

   

  

         

    

    

26)Điều kiện: x y, 0

Ta có:

 2 2  3 2

1 1 1 2 1 1 1

x y x y x y

x y x y

   

   

   

     

Hệ cho tương đương với hệ:   2

2

2

2

16

x x y xy

x xy

x y

     

 

 

 

Xét hệ:

2

4

2 8

xy

x xy

  

 

2

4 0 xy x

  

 

Hệ vô nghiệm

Xét hệ: 2 4 16 xy x

   

 

Hệ có nghiệm 4; 1  4;1

Vậy hệ cho có hai nghiệm 4; 1  4;1

27)Ta có:

   

2

2

2

2

9 1

1 2

1

x y

x

y

xy x y

  

 

  

   

Hệ tương tự với hệ

   

2

2

2

2

9 1

1 2

1

x y

x

y

xy x y

  

 

  

  

2

2

1 1

9

, 1

y

x y

x y

  

  

  

(73)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Vì 12x y43x y  4 43xy 4 2y x22y x  2 22xy Cộng hai bất đẳng thức vế theo vế, ta được:

5xy12x y 4 4 2y x23xy2xy5xy Do dấu “=” phải xảy Khi x4,y8

Kiểm tra lại, ta thấy x4,y8 nghiệm hệ phương trình 29)Điều kiện: x16,y9

Khi đó: 8 17 21

8 4

6

x y

x y y x

y x

 

   

 

 

.Đặt t x y x y

y x y x

   

Từ đánh giá qua bất đẳng thức đây:

 

8 17 3 8 1

6 6 2 2 2.2 6

6 8 t 4 6 8 t t

t t

         

  , suy t 6 8 hay

2

t

Vậy tx16.Xét phương trình vơ tỷ x16 x9 7 với x16 Bình phương hai vế giản ước được: x16x9 37x

Từ suy x25

Kiểm tra lại, ta thấy x25,y25 nghiệm hệ phương trình 30)Điều kiện: 3x y z, , 13 Cộng ba phương trình vế theo vế, ta

được:

3 13 3 13 3 13 6 5

(74)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Tt 3 13 t 1 1 t 3 13t2 5

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dấu “=” xảy t8 Vậy hệ phương trình có nghiệm xy z 8

31) Biến đổi hệ phương trình thành:

     

 

2

2

7 4 (1)

4 3 8 (2)

x x y x y x y

x y x y

      

 

    

 

Thực phép (2) vào (1) ta có:

   2    

2 2

7

x xyxyxyxyxy

   

2

2 2 15

x x y x xy x y

      

        

2

2x 15 15

x x y x y x y x y x x

           

TH1: xy Thay vào phương trình (2) có ngay: 4x240 Phương trình vơ nghiệm

TH2:

2

2

1

3

7

2 15

5 119 0( )

y

x y y

y

x x

x y y VN

   

     

   

    

      

Vậy hệ cho có nghiệm sau: 3; , 3; 7    

32) Đặt

2 2

2 2

2 2 3

3 6 2

3

u x y x y u y u v

x y v x u v

v x y

         

  

 

  

     

 

    

 

2

2x 3y 4 u v 7

     

Khi hệ ban đầu trở thành:

2

3

2 2(*)

u v

v u v

  

 

   

 

Thế v 5 3u vào phương trình (*) giải tìm u1, từ v =

(75)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

 2  2

2 2 2 1 2 1 2 1 1 2

x y x y x x x y x x y x

               

x2y   x 2

TH1: 2 0 2

2 x

x y x

y x x

 

   

 

thay vào phương trình thứ ta

2

13x 11x300

TH2: 2 2 2 20

2 1

x

x y x

y x x

  

     

  

thay vào phương trình thứ ta bậc hai theo x

34) Điều kiện: x4;y0;x2  y; 4xy y; 3x Phương trình (1)

2

2x x y 4x y x y y 2x y 4x y

             

+ Nếu y0 không thỏa mãn điều kiện y3x12

+ Nếu y4x4thay vào phương trình (2) ta thu được:

2

16 2 4 16 3 4 1

x    x  x    x 

 

2

2

2

25 5 5 1

5 0

4 1 4 1

16 3 16 3

5 1

5 0

4 1 16 3

x x x

x

x x

x x

x x

x x

 

  

      

   

     

    

 

 

Với x 5 y16

Xét  

2

5

0 16

4

16

x

x x x x

x x

         

 

 

Dễ thấy x 2 x216 x24x4 x216 0 với x4 nên phương trình vơ nghiệm

Tóm lại hệ có nghiệm nhất: x y;   5;16 35) ĐK: x2 ,y xx2y 0

Đặt

2

a y

b x y

   

 

 

(76)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

      2 

1 1

a a  b b   a b a ab b   Do a2ab b 0a b, ab

Hệ

2

0

2

9

2

9

y

x y y

x y y

x x y x y

y y y y y y

 

   

 

   

    

 

      

 

Đặt 9 5 , 2 2 2 4

5 4 0

t

t y y pt t t t

t t

 

       

  

Do

9

y y x

Kết luận: Hệ có nghiệm nhất: ;  4;

x y   

 

36) Từ phương trình (1) ta rút được:

 

  

2

2

2 2 2

2

2 2

2

9

5

x x y x x x x y x y x

y

x x y x x y

     

  

   

(*)

Từ phương trình ta có kết quả: 9 6 1 5

x x

y

 

Thay vào (*) ta có:

2 2

2 2

2 2

0

2 2 6

1 2 2 6

3 x

x x x y y x

x x x y xy

y y x x y y

 

  

       

  



Nếu x0 vô nghiệm

Nếu xx2y2 3yx2y2 3yx

2 2

3 0

3 0 0

9 6 5

3 y x

y x y

x y y xy x

y x

  

  

  

 

   

  

 

5

y x

 

(77)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ KL: Hệ có nghiệm: ( ; )x y (5;3)

37) Biến đổi phương trình (1)

2

(x3) (y4) 4 (y4) (x3) 1 (*)

+ x  3 y 4 ta thấy không thỏa mãn

+ x  3 y 4 bình phương hai vế phương trình (*)

2

( 3)( 4) 0

4 2( 3) 2 10

( 4) 4( 3)

x y

y x y x

y x

  

        

  

Thay vào phương trình (2) rút gọn ta được:

2

4x 28x51 4 x150

 4x28x163 43 x154x130

     

     

3

2 3

3

27 4 15 4 13

4 4 0

9 4 15 3 4 13 4 15 4 13

x x

x

x x x x

  

   

     

    

     

2

2 3

3

16 4 7 4

4 4 0

9 4 15 3 4 13 4 15 4 13

x x

x

x x x x

 

   

     

   

     

2

2 3

3

4

4

9 15 13 15 13

x x

x x x x

 

 

   

       

 

 

 2  3  2

3

4 4 7

1 0

9 4 15 3 4 13 4 15 4 13

4

x

x x x x

x

 

 

     

 

  

- Với x  4 y 2

- Với  

 2  3  2

3

4 4 7

1 0 (3)

9 4 15 3 4 13 4 15 4 13

x

x x x x

 

     

Ta chứng minh phương trình vơ nghiệm sau: Dễ thấy với x 4x228x51 0

Do phương trình(**)có nghiệm 3 43 15 0 15

4

(78)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ KL: x; y   4; 2

38) Từ phương trình (2) ta thu được: 2

2

xy y  xy

Thay vào phương trình (1) ta có:

2

3 2

2 2 2 4 2 2 4

2 2

xy x y

xx x  y xyxxxy xy

 

2 2

(x2)(x 2x4)x x( 2x4)y x( 2x4)0

3 2

2x 2x 4xx y2xy 4y 8

    

            

(x3 8) (x3 2x2 4x) (x y 2xy 4y) 02 (2x y)(x2 2x 4)

2

y x

  

Thay y2x2 vào phương trình (2)và rút gọn ta

0

(6 7) 1

6

7

x y

x x

x y

  

 

 

 

 

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) (0; 2), 1;

x y    

 

39) Với điều kiện x0hệ phương trình cho tương đương với hệ:

2 2

2

8 6 12 7 8 0

13 1 6 0

x y xy xy y y

y y xy

      

   

Lấy (1) + (2) ta có phân tích sau:

2 2 2

2 6 6 9 0 [ ( 1)] 6 ( 1) 9 0

x yxyyxyy   y x  y x  

Ta y x 1  319y217y1 0

- Với 17 213; 49 213

38

y  x 

- Với 17 213; 49 213

38

y  x 

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là:

49 213 17 213 49 213 17 213

( ; ) ; , ;

2 38 38

x y           

   

(79)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Với y0 ta biến đổi hệ phương trình thành

2

2

3

4 2

2 2 2

x xy

y xy

x

xy y y

 

  

   

 

Đặt

2

; x

a b xy

y

  hệ phương trình trở thành

2

2 2

4 2

2 4 (3)

2 2 2 (4)

2 2 2

a b

ab b b

b a ab b a

a b

a

 

   

 

  

   

 

Cộng (3) (4) theo vế thu gọn ta

2

2

1 2 0

2

1: 1 2 4 0 ( VN)

a

a a

a

TH a b b

  

    

 

     

2 : 2

TH a b ta có hệ phương trình

2

3

2 4

2 2

x

x y

y xy

 

 

 

 

  

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( ; )x y 3 4; 23  41) Điều kiện:

2

1 1

0

2

x x

y y y

     

 

 

 

 

Cách 1: Đặt tx1, 0 t Lúc hệ pt thành:

3 3

2 2 2

3 2 3 2 3 3

1 3 2 2 1 3 2 2

t t y y t t y y

x x y y x x y y

         

 

 

           

 

 

Từ phương trình (1) ta suy ra: ty t tyy23(ty)0 Vì

 

2 2

3( ) 0 3 3 0

ttyyty  tytyy có

 2        

3 4 3 3 3 4 3 3 1 0

y y y y y y y y

              nên

phương trình vơ nghiệm

(80)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

  

2 2 2

2

2 1 2 1 2 1 3 0 1 1 1 3 0

1 1

0 1

1 3

x x x x x x

x

x y

x

               

  

    

   

Vậy hệ pt có nghiệm x y;   0;1

Cách 2: Phương trình (2) x2 1x2  2 3 2yy2  f x g y  Xét f x  miền 1;1 ta có   13

4

f x

 

Ta lại có:   2 

y y

g yyy     Vậy f x g y  Dấu xảy 1

1, 0 y

x x

  

  

Thay vào phương trình (1) có nghiệm x y;   0;1 (thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm x y;   0;1

42) x0 khơng phải nghiệm hệ chia phương trình (1) cho x3 ta thu được: 2x34x23x 1 2x32y 3 2 y

 

3

3

1

1 2y 2y

x x

   

        

   

Đặt a 1 1,b 3 2y y

    suy

  

3 2

1

aab  b a baab b   ab Thay vào pt thứ ta được:

   

 

3

2 3

3

7

2 15 0

2 15 2 15 4

x x

x x

x x x

 

        

     

111

98

x y

   

(81)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Với xy0 viết lại hệ dạng:

2

1

2

2

7 14

x y

x y

x y xy x y

  

  

  

 

  

     

Điều kiện để phương trình x2y2xy7x6y140 (ẩn x) có nghiệm

 2

1

7

7 24 56 1;

3

y y y y  

          

 

Điều kiện để phương trình x2y2xy7x6y140 (ẩn y) có nghiệm là: 2  62 28 56 2;10

3

x x x x  

          

 

Xét hàm số f t  2t t

  đồng biến 0; nên        2

2

f x f y f f

  

Kết hợp với phương trình thứ ta được: 2 1 x y

  

 

nghiệm hệ

“Để chứng minh hàm số f x  đồng biến miền xác định D ta làm sau: Xét hai giá trị x1x2D Chứng minh:  1  2

1

0

f x f x

x x

 ”

Ngược lại để chứng minh hàm số f x  nghịch biến miền xác định D ta làm sau: Xét hai giá trị x1 x2D Chứng minh:  1  2

1

0

f x f x

x x

 ”

44) Điều kiện xác định 1; 2

x y

Ta viết lại hệ thành:    

3

4

2 2 1 2 1 2 3 2

4 2 2 4 6

x x y y

x y

      

 

   

 

Đặt a2x1,by2 suy 2a3a2b3 b ab Từ phương trình thứ hệ ta có: 2x 1 y2

Thay vào phương trình thứ hai ta được: 4y 8 2y4 6(*)

(82)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

6

y

  Vậy hệ có nghiệm  ;  1;

x y   

 

45) Điều kiện:

4

13 4 0 13

2 0

2 y x

x y

x y y

x

   

 

 

 

 

   

 

Đặt a 13x4 ,y b 2xy Khi ta hệ phương trình:

2

5

(1)

4 5 2 4

2 5 2 5 2 5 (2)

2 2 2 2 2 2 (3)

x b

a b x a b x

a b a b a b

b x y b x y b x y

 

 

     

 

       

  

           

 

Thế (1) vào (3) ta được: 3(4)

y

x  Thế (4) vào phương trình 2xy x 2y2 ta được:

2

3

19

2

3

4 69 19

y

y y

y y

 

  

  

   

Giải 69 545

8

y  từ tính x24 545 Thử lại ta thấy  ;  24 545;69 545

8

x y    

 

 

nghiệm cần tìm 46) Ta tìm cách loại bỏ 18y3 Vì y0 khơng nghiệm phương trình (2)

nên tương đương 72x y2 2108xy18y3 Thế 18y3 từ phương trình (1) vào ta thu được:

3 2

3 21

8 72 108 27

4 21

4

xy

x y x y xy xy

xy

    

 

     

 

  

(83)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/  

   

 

   

3

3

0( )

8 27 3 1

5 3 3 5

18 2 4

8 27 3 1

3 5 3 5

18 2 4

y L

xy

y x

xy

y x

   

 

       

 

 

     



Vậy hệ cho có nghiệm

 ;  13 ; 3 3 , 13 ; 33 5

4

x y           

   

47) Điều kiện: 2,

xy Phương trình (1) tương đương:

2x 2x 2x 2y1 2y 1 2y 1 f  2x1 f  2y1 Đặt a 2x b,  2y 1 a3ab3 b ab

2x  2y 1 x 3 2y thay vào ta có:

3

3

2 5

5 2 2 2 5

2 9

a b

y y

a b

 

     

 

1; 2

3 65 23 65

;

4 8

65 3 23 65

;

4 8

a b

a b

a b

  

  

  

 

 



2

233 23 65 32 233 23 65

32 y

y y

   

 

 

 

 

Vậy hệ có nghiệm

 ;   1; , 23 65 185 233 23 65; , 23 65 185 233 23 65;

16 32 16 32

x y           

   

   

(84)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

   

2

1 1

1

x x y y y y y y

x x y y

        

      

Từ ta rút x y Thay vào (2) ta được:

2

35 12

y y

y

 

Bình phương hai vế (điều kiện y0) Khi ta có:

2

2 2

2

2

2

2 35 2 35

1 12 1 12

1 1

y y y y y y

y

y y

y y

 

   

       

     

 

Đặt

2

2 0

1 y

t y

  

Phương trình tương đương:

2 2

2

2

5 49

( )

35 12 25 4

2 0

5 25

12 1 12

3 12

y

t L

y

t t

y y

t

 

 

  

 

        

       

 

Đối chiếu điều kiện lấy giá trị dương Vậy hệ có nghiệm  ;  5; , 5;

4 3

x y      

   

49) Triển khai phương trình (1)

(1)x y2 26xy 9 x22xyy2  8 x y2 2x2y2  1 8xy

  

1

x y xy

    

Nhận thấy x0,y0 khơng nghiệm hệ Phương trình (1) là:

2

1 1

. 8

x y

x y

 

  Đặt 2 ; 2

1 1

x y

a b

(85)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2

2

2

2

1 1

1 2

2

1 1

1 1

2 3

1 4 4

4

1 1 1 2 3

8

4 1 4 1

1 1

2 1 2

x a

x

x y

b a b

y y

x x

a

ab x y

y b

y



  

  

  

    

        

      

   

  

 

     

 

     

 

 

 

     

 

 

 

     

 

  

 

Vậy hệ có nghiệm

x y;   1; 2 3 , 1; 2 3 , 2   3; , 2    3; 1  50) Ta có:

      

2 2 2

2 2 ( )

( ) 1

2 2

x y x y x y x y

xy   xy        

Mặt khác ta có:

 2  2

2

2

3 2 ( 2 ) 2

2 4

3 12 4

2

2 4

3 2

x y x y x y

x xy y

x y

x xy y

   

 

 

 

 

Từ suy

2 2

4 2 4

2 2

2 3

x y x xy y

x y x y

  

    

Dấu xảy x2y0

Thay vào phương trình cịn lại ta thu được:

  

4 3

3 1 1

2

xxxx   xxx  x y

Hệ có cặp nghiệm:  ;  1;1

x y   

 

51) Cộng theo vế pt hệ ta được: x43y43z430(*) Từ suy số hạng tổng phải có số hạng khơng âm, khơng tính tổng qt ta giả sử: z43 0 z4

(86)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/  2

3

16 12 12.2

x   z  x

Thế phương trình thứ hai hệ tương đương:  2

3

16 12 12.2

y   x   y

Do từ x43y43z43 0 * xyz4 thử lại thỏa mãn

Vậy x y z; ;   4; 4; 4 nghiệm hệ

52) Phương trình (1) hệ có dạng: x22y x2 2y210

Do x22y2 1 0 nên suy x22y0 yx22 thay vào phương trình (2) ta có: (x2) ( x2) (x2)22  x x x2 2

2

x x x y

        

Vậy hệ có nghiệm x y;   1; 3 53) Theo bất đẳng thức cô si ta có:

1 .

3 3 2 3 1 3

2 2

3

1 2 1 1 2

3 2 3 2 2 3

x x x y x x y

x y x y x y x y x y x y x

x y

x y

y y y

x y x y x y

    

  

  

       

  

  

  

 

   

   

 

   

 

Tương tự ta có: 1 3

2 2

3

x y x

x y

y x

  

   

  

Từ suy   1

3

x y

x y x y

 

   

 

 

Dấu xảy xy thay vào phương trình thứ ta được: xy4

3 2

2

2 ( 4) 8 4 0

1 1

2 3 4( 1) 8

2 2

y x y y x x

x

x y x y

      

 

      

 

54) Điều kiện: 1 0

2 3 0

x

x y

   

  

(87)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Phương trình thứ hệ viết lại thành:

 

2

2

2 2

( 4) 2 4 8 0

( 4) 4(2 4 8 ) 4 4

x y x y y y

y y y y y y

     

         

Từ ta tính được: 22

2 4

x y

x y y

  

  

xy22y 4 (y1)2 3 1 nên không thỏa mãn Thay x2y vào phương trình thứ hai ta được:

2

1 7

2 3 4 4

2 2

x

x x x

    

Ta có: 4 (2 1)2 5

2 2

xx  x   ;

 

1 1 1 5

2 3 2 2 2 3 1 2 2 2 3

2 2 4 2

x

x x x x x

  

             

 

Vậy hệ có nghiệm dấu đồng thời xảy Suy 1;

2

xy

55) Từ phương trình (2) ta suy x0

Phương trình (1) viết lại sau:

   2    2

2 2 2

1 0 1 4 1

xy  y xyy     y  yyyyy

Từ tính được:

2

0 1

x y

x y

   

 

Thay y x vào phương trình ta thu được: x x( 24) x2 4 2x Chia phương trình cho x24 ta có: 3 2 1 22

4 4

x x

x    x

Đặt 2 0

4 x t

x

 

 ta có

2

1

2 1

2

t

t t

t

  

   

  

(88)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Với

2

t x y

Vậy hệ có nghiệm x y;   2;1 56) Điều kiện: x1

Ta viết lại phương trình (1) thành: x2(y22)x2y34y24y0 Tính

 2  2

2

2

2 8 16 16 4 2

2 2 0

x y

y y y y y y

x y y

 

          

    

Thay

2

x

y vào phương trình ta thu được:

 

3 x 1 2x4 x 2x9(*) Theo bất đẳng thức Cosi ta có:

  3 

3 1.( 1) 1

2 2

x  x  x   xx

 

3 33 10

3 4.4.( 2) 4

2 2

x

x  x    x  

Từ suy 3 32 4 10

2

x

x  x  x   x

Mặt khác ta có: x22x 9 (2x5)x22 0

Từ suy phương trình (*) có nghiệm dấu đồng thời xảy

2

x

Suy hệ phương trình có nghiệm x y;   2;1 Mặt khác ta thấy x2;y3 nghiệm hệ Vậy x y;   2;3 nghiệm hệ 57) Đặt a x y 1 ,b x y

x y

     

Hệ

2

2

1

5 ( ) 3( ) 13

( )

1

( ) 1

x y x y

x y

x y x y

x y

  

    

  

  

     

 

(89)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2 2

5( 2) 3 13 5 3 23

1 1

a b a b

a b a b

      

 

   

 

Giải hệ ta tìm 4 3 a b

  

  

5 2 7 2 a b

         

Từ ta tìm nghiệm hệ:

 ;  5; , 3; 11 , 3;

2 4

x y           

     

 

58) Từ phương trình (2) ta suy xy0x y, dấu Từ phương trình (1) ta suy x y, 0

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

x y y x

xyyx        Dấu xảy x2y2 2

Bài toán trở thành: Giải hệ phương trình:

2

3

2

( ) 12( 1)( 1) 9

x y

x y x y xy

  

 

     

 

Ta có:

3

(xy) 12(x1)(y1) xy 9 (xy) 12(xy) 21 12  xyxy Đặt t x y t 2x2y22 ta thu

 2  

2 2 2 1

xyxy xyt  Ta có:

3

(xy) 12(xy) 21 12  xyxy

 2  2  

3

( ) 12( ) 21 12 12

2

x y x y x y

xyxy        ttt

(90)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 59) Từ phương trình hệ ta suy x y, 0 Xét phương trình:

   

3 2

7 8 2

xyxy xyxy xy Ta có:

        2

3 2

7 6 4

xyxy xyxy xyxyxyxyxy

 

Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: xy24xy2 xy2.4xy Suy

     2  2

3

7 4 4

xyxy xyxy xy xyxy xy Ta có

 2  2  2

2 2 .2

xyxyxyxy xy Suy x3y37xy xy 8xy 2x2y2 Dấu xảy

xy Thay vào phương trình (2) ta thu được:

   3  

2 3 6 2 2 3 2 3 2 3

2 3

x

x x x x x x x

x x

           

 

Suy x3 hoặc:

x  x  Do

2

Ngày đăng: 04/04/2021, 13:10

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w