Đang tải... (xem toàn văn)
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Để ý rằng phương trình thứ hai của hệ là phương trình đẳng cấp đối với x y ,.. Bình phương hai vế phương trình:.. Phương tr[r]
(1)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ CHỦ ĐỀ 7: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH I HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1:
a) Một hệ phương trình ẩn x, y gọi hệ phương trình đối xứng loại phương trình ta đổi vai trị x, y cho phương trình khơng đổi b) Tính chất
Nếu x y0, 0 nghiệm hệ y x0, 0 nghiệm c) Cách giải: Đặt
.
S x y
P x y
điều kiện S2 4P quy hệ phương trình ẩn
,
S P
Chú ý: Trong số hệ phương trình đơi tính đối xứng thể phương trình Ta cần dựa vào phương trình để tìm quan hệ S P, từ suy qua hệ x y,
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
a) 3 32 2
8
x y xy
x y
b)
3
19
8
x y
x y xy
c)
2
3
3
2
6
x y x y xy
x y
d) 3
1 1 4
x y xy
x y
Giải: a) Đặt
.
S x y
P x y
điều kiện S2 4P hệ phương trình cho trở thành:
2
2
2 2
6
3
8
S P
S P
S
S S P
S S
3 2
2S 3S 6S 16 S 2S 7S S P
(2)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
0 2
2 0
x x
y y
b) Đặt
.
S x y
P x y
điều kiện S2 4P hệ phương trình cho trở thành:
2
3
8
3 19 8 1
6
3 8 19 24 25 0
8 2
SP S
S S P SP S S
P
S S S S
S P
Suy x y, hai nghiệm phương trình:
2
1
6 3;
X X X X
Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm x y; 2;3 , 3; 2
c) Đặt a x b, 3 y hệ cho trở thành:
3 2
2 3
6
a b a b b a
a b
Đặt S a b P ab
điều kiện S2 4P hệ cho trở thành
2 3 3 2 36 3 3 6
8 6
6
S SP SP P P S
P S
S
Suy a b, nghiệm phương trình:
2
1
2 8 4 64
6 8 0 2; 4
4 64 2 8
a x a x
X X X X
b y b y
Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm x y; 8;64 , 64;8 d) Điều kiện: 0
, 1
xy x y
Đặt
.
S x y
P x y
(3)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 2 2 2 3; 3 3
2 2 1 16 2 3 1 14
3 14; 3 3 14; 3
30 52 0
4 8 10 196 28
S P S
S P
S S P S S S
S P S S P S
S S
S S S S
6 9 3 S
P x y
Vậy hệ cho có nghiệm x y; 3;3 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
a)
2
2
4
x y xy
x y c) 2 2 1 xy x y x y
x y x y
b)
2
2 1 1 x y xy x y x y
d)
3 2
2
1 2 30 0
1 11 0
x y y x y y xy
x y x y y y
Giải:
a) Đặt x a, y b điều kiện a b, 0 Hệ phương trình trở thành:
4
2
4
a b ab
a b
Ta viết lại hệ phương
trình thành:
4 2
( ) 4 ( ) 2 2 8 2
4
a b ab a b a b ab
a b
Đặt S a b P ab điều kiện 4 , 0 S P S P
hệ cho trở thành
2
256 64
4
4
P P P
S P a b x y
S
(4)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
2 2
2 16
2 16
2 ( ) 4
x y xy
x y xy
x y x y x y x y x x
Vậy hệ có cặp nghiệm x y; 4; 4 b) Điều kiện: xy0
Biến đổi phương trình (1): 2
2 2 2
1 1 2 0
xy xy
x y x y xy
x y x y
Đặt xyS xy, P ta có phương trình: S2 2P 2P
S
3 2
2 2 0 ( 1) ( 1) 0 ( 1)( 2 ) 0
S P SP S S S P S S S S P
Vì S2 4 ,P S 0 suy S2S2P0 Do S1
Với xy1 thay vào (2) ta được: 11y2 y y0,y3
Xétx y 1 2xy x y 1 1 x2 y2 x2 y2 x y 0 x y
(không
thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ cho có nghiệm x y; 1; , 2;3 c) Điều kiện: xy0
Hệ cho tương đương:
2
2
2
2
1 1
1 1 5
5
1 1 1 1
9 9
x y
x y
x y
x y
x y x y
x y x y
Đặt
1
1
x y S
x y
x y P
x y
(5)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Hệ trở thành:
2 2 9 5, 6 5 S P S P S 1 2; 1 3; x y x y x y x y 1; ; x y x y
Vậy hệ cho có nghiệm:
; 1;3 , 5;1
2
x y
d) Hệ tương đương với :
30 11 xy x y x y xy xy x y x y xy
Đặt xy x ya xy; x yb Ta thu hệ:
5 6
30 5; 6
11 6; 5 6
5 xy x y xy x y
ab a b
a b a b xy x y
xy x y
TH1:
2
6 2;
1; ( ) xy x y
xy x y x y
x y
xy xy x y
L x y
TH2:
5 5 21 5 21
( ) ;
1
5 2 2
1
6 5 21 5 21
;
5 2
xy
L x y
x y xy x y
xy xy x y
x y x y
Vậy hệ có nghiệm: ; 1; , 2;1 , 21 5; 21
2
x y
(6)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ II) HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI
Một hệ phương trình ẩn x y, gọi đối xứng loại hệ phương trình ta đổi vai trị x y, cho phương trình trở thành phương trình + Tính chất.: Nếu x y0; 0 nghiệm hệ y x0; 0 nghiệm + Phương pháp giải:
Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta phương trình có dạng
0
;
;
x y x y f x y
f x y
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: a)
2
2 2
x x y
y y x
b)
2
2
1 6 1
1 6 1
x y y x
y x x y
c)
3
3 1 2 1
3 1 2 1
x x x y
y y y x
d) Giải:
a) Điều kiện: x y, 0 Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được:
2
2
1
x x y y y x
x y x y x y x y
Vì x yxy 1 2 x y0 nên phương trình cho tương đương với: xy Hay
2
0
2 1
3
2
x
x x x x x x x x x x x
x
Vậy hệ có cặp nghiệm: ; 0; , 1;1 , 3;
2
x y
(7)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ b) Hệ cho
2 2
2 2
6
6
xy x y yx y
yx y x xy x
Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta được:
2 7
2
xy y x x y x y x y x y x y xy
x y x y xy
+ Nếu x y thay vào hệ ta có: 5 6 0 2 3 x y
x x
x y
+ Nếu xy2xy 7 01 2 x1 2 y15 Mặt khác cộng hai phương trình hệ cho ta được:
2 2
2
5 12 5
x y x x x y Đặt
2 5,
a x b y
Ta có:
2
2
0
2 2
4 15
31
a b ab
a b a b ab
a b ab a b a b
ab
Trường hợp 1: 0 ; 3; , 2;3 1
a b
x y ab
Trường hợp 2: 8 31 a b ab
vô nghiệm
Vậy nghiệm hệ cho là: x y; 2; , 3;3 , 2;3 , 3; 2 c) Điều kiện: 1;
2
x y
Để ý
2
x y nghiệm Ta xét trường hợp xy 1
(8)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
3
3 1 2 1 3 1 2 1
x x x y y y yx
2 2
( ) 4( )
2
x y
x y x xy y x y
x y
2 2
( )
2
x y x xy y x y
x y
Khi x y xét phương trình:
3
2 1 2 1 0 2 2 1 1 0
x x x x x x
2 2 2
( 1) 0 1 0 0
2 1 1 2 1 1
x
x x x x x
x x
Tóm lại hệ phương trình có nghiệm nhất: x y0
HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP ĐẲNG CẤP + Là hệ chứa phương trình đẳng cấp
+ Hoặc phương trình hệ nhân chia cho tạo phương trình đẳng cấp
Ta thường gặp dạng hệ hình thức như: +
2
2
ax ex
bxy cy d gxy hy k
,
+
2
2
ax
, gx
bxy cy dx ey hxy ky lx my
+
2
3 2
ax gx
bxy cy d
hx y kxy ly mx ny
…
Một số hệ phương trình tính đẳng cấp giấu biểu thức chứa đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát hiện:
Phương pháp chung để giải hệ dạng là: Từ phương trình hệ ta nhân chia cho để tạo phương trình đẳng cấp bậc n:
1
n n k k n
k n
a x a x y a y
Từ ta xét hai trường hợp: y0 thay vào để tìm x
+ y0 ta đặt xty thu phương trình: 1 n n k
k n
a t a t a
(9)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ + Giải phương trình tìm t sau vào hệ ban đầu để tìm x y,
Chú ý: ( Ta đặt ytx) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: a)
3
2
8 2
3 3 1
x x y y
x y
b)
2
2
2
5
,
x y xy y x y
x y
xy x y x y
Giải:
a) Ta biến đổi hệ:
3
2
8
3
x y x y
x y
Để ý nhân chéo phương trình hệ ta có:
3 2
6(x y )(8x2 )(y x 3y ) phương trình đẳng cấp bậc 3: Từ ta có lời giải sau:
Vì x0 không nghiệm hệ nên ta đặt ytx Khi hệ thành:
2
3 3 3
2
2 2 2 2
1 2 8
8 2 1 4
1 3 3
3 3 1 1 3 6
x t t
x x t x tx t t
t
x t x x t
3 2
1 3
3 1 4 3 12 1 0
1 4 t
t t t t t
t
*
2
1 3 6
3 1
1 3
3
x t
x
t x
y y
*
4 78
1 13
4 78
13
x t
y
(10)
hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
( ; )x y 3,1 ; 3, ; 78, 78 ; 78, 78
13 13 13 13
b) Phương trình (2) hệ có dạng:
2 2 2
2
2 2
1
xy x y x y xy x y xy xy
xy x y
2
1 2 xy
x y
TH1:
2
1
5
1
x
x y xy y x y
y xy
1
1 x y
TH2:
2 2
2 2
5 4 3 2 0 5 4 3 2
2 2
x y xy y x y x y xy y x y
x y x y
(*)
Nếu ta thay x2y2 2 vào phương trình (*) thu phương trình đẳng cấp bậc 3: 5x y2 4xy23y3 x2y2xy
Từ ta có lời giải sau:
Ta thấy y0 không nghiệm hệ
Xét y0 đặt xty thay vào hệ ta có:
2 3
2 2
5 4 3 2
2
t y ty y ty y
t y y
Chia hai phương trình hệ ta được:
2
3
2
5 4 3 1
4 5 2 0
1 1
t t t
t t t
t
2 2 2 2
1
1 1 5 5
1 1
1 1 2 2
2 2
5 5
x x
t x y
x x
y y
t x y
y y
(11)
hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ a)
2
2
3
2 3 2 3 0
2 2 3 1 6 1 2 0
x y y
y x y x x x
b)
2
1
3
2 2
x y
x
x y x y
x y x y
Giải:
a) Điều kiện: x22y 3 0 Phương trình (2) tương đương:
3 2 3 2
2 2y x 3y x1 6x 6x 2 02 x1 3y x1 4y 0 Đây phương trình đẳng cấp y x1
+ Xét y0 hệ vô nghiệm
+ Xét y0 Đặt x 1 ty ta thu phương trình: 2t33t240
Suy t 2 x 1 2y Thay vào phương trình (1) ta được:
2 14
2
9 18
x x x x y Vậy hệ có cặp nghiệm: ; 14 5;
9 18
x y
b) Dễ thấy phương trình (1) hệ phương trình đẳng cấp x y Điều kiện: y0; 3 x0
Đặt y tx yt x2 thay vào (1) ta được: 22 2 2 2 2
3
x x tx
x t x x t x
Rút gọn biến x ta đưa phương trình ẩn t: 2
2 1 0 2 2 0
t t t t y x Thay vào (2) ta được:
2 25
4 10 6
4
(12)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
5
2
2
x x
Giải ta 17 13 17
4
x y
Vậy nghiệm hệ ; 17 13 17;
4
x y
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:
a)
3
2
1 3
1
x y
x y
x y
b)
2
1 2 2 1
3 3 6
x y xy x
x x xy
Giải:
a) Ta viết lại hệ thành:
3
2
3 1
1
x y x y
x y
(1)
Ta thấy vế trái phương trình (1) bậc Để tạo phương trình đẳng cấp ta thay vế phải thành (x2y2 2)
Như ta có:
3 22 2
3x y xy x y 2x 3x y2x y xy 2y 0
2
2
( )( )(2 )
2
x y
x y x y x xy y x y
x xy y
+ Nếu
2
2
2 0
4
y
x xyy x x x y
khơng thỏa mãn
+ Nếu x y ta có 2 2
x x
+ Nếu 5
5
x y y y
Tóm lại hệ phương trình có cặp nghiệm:
; 2; , 2; , 5; , 5;
2 2 5 5
x y
(13)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ b) Điều kiện y 1 Ta viết lại hệ thành:
2
1 ( 1) 1 3 ( 1) 6
x y x y
x x y
Ta thấy phương trình hệ phương trình đẳng cấp bậc
, 1
x y
Dễ thấy y 1 khơng phải nghiệm hệ phương trình Xét y 1 Đặt xt y1 thay vào hệ ta có:
3 2
3
3 3
1 2 1 0
3 6( 2 ) 0
3
1 3 6
y t t t
t t t t
t
y t t
+ Nếu t0 x0 Khơng thỏa mãn hệ
+ Nếu 3 3
3
1
3 27 1 9 1 6 1 9
9
t y y y x
Vậy hệ có cặp nghiệm
3
1
( ; ) 9; 1
9 x y
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau a)
2
2 3
2
2 ( 2 3) 3
xy x y
xy x x y x
b)
2
2
3 0
( 1) 3( 1) 2 2 0
x xy x
x y xy x y y
Giải:
a) Điều kiện: y0 Phương trình (2) hệ có dạng:
3
3
1
2 ( 1) ( 1) 3( 1)
2 3
y
xy y x y y
xy x
Trường hợp y 1 không thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2xyx3 3 ta có hệ:
3
2 3
2 xy x xy x y
Vế trái phương trình hệ phương trình đẳng cấp bậc ,
(14)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
3 2
2
3
1
(2 ) 2 3
2 1
1
( )
2
t
y t t t
t t
t t
y t t
+ Nếu t1 x y x 1 y1 + Nếu
2
t
3
1 1 1 4
4
2 3 3 9
x y y xx x y
Tóm lại hệ có nghiệm:
3
1 4
; 1;1 , ;
3 9
x y
b) Điều kiện: x y2 2y0 y0
Từ phương trình thứ ta có: xy x2 x 3 thay vào phương trình thứ hai ta thu được:
2 2
2
( 1) 3( 1) 2 2 6 2 ( 2) 0
2 3 2 ( 2) 0
x y x x y x
x y y x
Đây phương trình đẳng cấp bậc y x22 Đặt y t x22 ta thu được:
1
3 1
( )
t
t t
t L
Khi t1 ta có: yx22 thay vào phương trình thứ hệ ta thu được:
1
x y
Tóm lại hệ phương trình có cặp nghiệm ( ; )x y (1; 3)
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau
a)
2
2
8
16
8 3
xy
x y
x y
x x x x y
y y
b)
2
2
3 1 3 ( 1 1)
8 3 4 4
x y x x y x
x xy y xy y
(15)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ a) Điều kiện:
3
0, 0, 0
3 4
x x
y x y
y
Phương trình (2) tương đương:
2 2
4 3 4 3 4 3
2 2 .
8 6 12 16 8 6 8 6 6
x x y x x x x y x x y
y y y y
Đây phương trình đẳng cấp
2
8 x
y
4
6
x y Ta thấy phương trình có nghiệm
2
8 x
y
4
6
x y
dấu hay
2
4 3
0, 0
8 6
x x y
y
Đặt
2
, 8
x a y
4
6
x y
b
suy a2b2 2abab
2
4
2
8
3
x y
x x y
y x y
TH1: x6y thay vào (1) ta có:
2
28 168
( )
4 37 37
16 16
4 24
9
7 7
y x L
y y y
y x
TH2:
3
x y thay vào (1) ta có:
2
12 ( )
16 16 13
9
12 8( )
y L
y y y
y x TM
Vậy hệ có nghiệm ; 24 4; , 8;12 7
x y
b) Điều kiện:
0
, 0
1
1 0
xy
x y x
x y
(16)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Để ý phương trình thứ hai hệ phương trình đẳng cấp x y, Ta thấy y0 từ phương trình thứ hai hệ ta suy x0, cặp nghiệm không thỏa mãn hệ
Xét y0 Ta chia phương trình thứ hai hệ cho y ta thu được:
2
8 x 3x 4 x 4
y y y
Đặt x t
y ta thu phương trình
4
4 2
4 4
8 3 4 4
8 3 4 8 16 8 4 8 12 0
t t
t t t
t t t t t t t
4
4 4
1
2 2 3 0 ( 1)(2 2 3) 0
t t
t
t t t t t t t
Khi t 1 xy
Phương trình thứ hệ trở thành: x33x 1 x( 1x1)3 Điều kiện: 0x1 Ta thấy x0 khơng thỏa mãn phương trình
Ta xét 0x1 Chia bất phương trình cho x30 ta thu phương trình:
3
2
3 1 1 1
1 3 1
x x x x
Đặt t t
x phương trình trở thành:
3 3
3
3 1 3 1 3 1 1 3
t t t t t t t t
Xét
3
3
( ) 3 1 1
f t t t t t Dễ thấy f t f 1 3 suy phương trình có nghiệm t 1 x1
Tóm lại hệ phương trình có nghiệm x y; 1;1
Chú ý: Ta tìm quan hệ x y, dựa vào phương trình thứ hai hệ theo cách:
Phương trình có dạng:
2
2
( )(8 ) ( )
8 0
8
x y x y x y y
x xy y y xy y
xy y
x xy y y
(17)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
8 5 (3)
0
8 3 4 3
x y
x y y
xy y
x xy y y
Vì x y, 0 nên ta suy x y
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Biến đổi tương đương phương pháp giải hệ dựa kỹ thuật như: Thế, biến đổi phương trình dạng tích,cộng trừ phương trình trong hệ để tạo phương trình hệ có dạng đặc biệt…
* Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau a)
2
4
1 ( 1)
3 ( )
)
(1 (2)
x y y x
x x y x y y
b)
3
2
12 6 16
4 6 9 0
x x y y
x y xy x y
c) 23 3 2 3 2
4 3 6 4
xy x y
x y x y
d)
2 3
2
7 ( 6)
2( )
y x y x
x y x y y x
Giải: a) Điều kiện
2
1 2
5 2 ( 1)
x y
y x
Xuất phát từ phương trình (2) ta có:
4 2
3
3 6 ( ) 0
0
3 ( 2 ) ( 2 ) 0 ( 2 )(3 1) 0
2
x x y x y y
x
x x y x x y x x y x
x y
Với x0 thay vào (1) ta có:
(18)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
4 2 y 4 2 y22(4 2 y 4 ) 16y 4 2 y 4 2 y 4 Dấu = xảy khi: 2 y 4 2y y0
Hệ có nghiệm:(0; 0)
Với: x2y Thay vào phương trình ta
2
1 ( 1) ( 1)(4 )
x x x x x x x x
(*) Đặt
2
5
1 4 0 1 4
2 t
t x x x x Thay vào phương trình ta có:
2
2 5
5
5 2 15 0
3 2
t t
t t t
t
Khi 1 4 2 3 0 0
3 3
t x x x x x
x
Tóm lại hệ có nghiệm ; 0; , 3;
x y
Nhận xét : Điều kiện t0 chưa phải điều kiện chặt biến t
Thật ta có: t x 1 4xt2 5 (x1)(4x)t2 5 Mặt khác theo bất đẳng thức Cơ si ta có
2
2 (x1)(4x) 5 t 10 t 5; 10 b) Hệ viết lại dạng
3
2
12 ( 2) 12( 2)
( 4) ( 3) 0
x x y y
x x y y
Đặt t y2 Ta có hệ :
3 2
2 2
12 12 ( )( 12) 0 (*)
( 2) ( 1) 0 2( ) 0 (2*)
x x t t x t x t xt
x x t t x t xt x t
Từ (*) suy
2
12 0 (3*)
x t xt
x t
(19)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Từ suy nghiệm hệ ; 1;3 , 7;
3
x y
- Với (3*) kết hợp với (2*) ta có hệ
2
13
( ) 12 0 2
( ) 121
( ) 2( ) 1 0 0
4 x t x t xt
VN
x t xt x t
xt
Do x t 2 4xt Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: ; 1;3 , 7;
3
x y
c) Đưa hệ phương trình dạng:
3
( 1)(2 1)
1
( 1) (2 1) 3( 1) (2 1)
2
x y
x y x y
Đặt: ax 1; b 2y 1.
Khi ta thu hệ phương trình:
3
3
2
2
1
2 10
3
2
ab
ab
a b a b
a b a b
Từ hệ phương trình ban đầu ta nhẩm nghiệm làxy 1 nên ta có hệ có nghiệm khi: a2; b1
Do ta phân tích hệ dạng: ( 2) 2 2(1 ) 2 ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)
a b b
a a b b
Vì ta ln có:b0 nên từ phương trình ta rút a 2(1 b)
b
Thế xuống phương trình ta được:
2
2 2
2
2
4( 1)
( 1) ( 1) ( 2) ( 1) 4( 1) ( 2)
1
4( 1) ( 2)
b
a b b b a b b
b
b
a b b
(20)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Với 4(a1)b b2( 2) Ta lại có:
2
2 ( 1) b
ab b a b a
b
Thế lên phương trình ta có:
2
3
1
2 2;
4( 2)
( 2)
4 (Không TM)
b a x y
b
b b b
b
Vậy hệ cho có nghiệm là: ; (1;1) 2; ,
x y
d) Điều kiện: 1 0 x y
Ta viết lại hệ phương trình thành:
2
2(xy) 6x2y4 y x1
2
2(x y) 6x 2y y x
Bình phương vế ta thu được:
2
2x 4xy2y 6x2y 4 x y 1 2 y x( 1)
2
2 ( x 1) (y x 1) y (x y) y x( 1)
2
2( ) ( )
1
x y
x y x y x y
x y
Thay vào phương trình (2) ta có:
2 3 3
7 ( 7) ( 7)
y y y y y y y y Đặt a y y( 7) ta có phương trình:
3
3
1
1
1
2
2
a a a
a a
a
a a a
a
Với 0 0 1
7 6
y x
a
y x
(21)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Với
7 5
2
1
7 5
2
y x
a y y
y x
Với 2 7 8 0 1 (L)
8 7
y
a y y
y x
Hệ phương trình cho có nghiệm :
; ( 1; 0), (6; 7), 5 5; , 5 5; ; , (7;8)
2 2
x y
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau a)
2
2
(2 2) 3 0
2 ( 3) 2 6 1 0
x y x y
x xy y x y y
b)
2
3 2
2 2 2 0
2 2 2 0
x xy y y
x x y y y x
c)
2 2
2
3 4 3 0
3 3 1 0
xy x y yx y x
x y y xy
Giải:
a) Cách 1: Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ theo vế ta được:2xy2(y3)x2y36y2 1 (2y2)x3y2 0
2 2
2xy xy2y 3y x x 2y y 2y 3y
(y 1)(2y 1)(x y 1)
+ Nếu y 1thay vào phương trình (1) ta có: x2 3 x 3 + Nếu
2
y thay vào phương trình (1) ta có:
2 3
4 12
2
x x x
+ Nếu y x 1thay vào phương trình (1) ta có:
2 2
2 3( 1) 0 4 6 3 0
x x x x x Vô nghiệm Kêt luận: ; ( 3;1), ( 3;1), 2 1; , 2 1;
2 2
x y
(22)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ * Cách 2: Phương trình thứ hai phân tích được: (2y2x x)( y 3) 1 0
Phương trình thứ phân tích được: (xy)22(x2y2)0 Đặt a x y b, x2y2 ta có hệ:
2
2 0
( 3) 1 0
a b
a b
b) Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất, ta được:
3 2
2 2 0,
x x x y xy x hay (x3x22 )x y x( 22 )x 0.
Do x3x22x(x1)(x22 )x nên từ trên, ta có (x22 )(x x 1 y)0.
+ Nếu 0 0
2 y x
y
+ Nếu
0
2 4
3
y x
y
+ Nếu y x thay vào phương trình (1) ta thu được: 1 2 y22y0vơ nghiệm
Kết luận:
Hệ phương trình có cặp nghiệm là: ; (0; 0), (0; 2), 2; , 2;
x y
c) Hệ viết lại sau:
2
2 2
3 3 4 3 4
3 3 1 0 3 3 1 0
xy y x x y x y xy y y x x y
x y y xy x y xy
Xét với y0 thay vào ta thấy không nghiệm hệ Với y0ta biến đổi hệ thành :
2
2
1
3 4
1
3 3 0
x y x x
y
x y x
y
2
2
1
3 4
1
3 4
x y x x
y
x y x x
y
Đặt :
2
1 3 a x
y
b y x
Khi hệ trở thành hệ :
2
4 4
ab x
a b x
(23)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 2
2
1 1
2
4 4 ( 2 ) 0 2
1
2 3
2 3
y
x x x
y
t xt x t x t x
x x
x y x
x
2
1
1
1
1 1
2 3 3 2 1 0
y
y x
x
x
y
x x x x
x
Vậy hệ có nghiệm x y; 1;1 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau a)
3
2
1
9
x y
x y y x y y
b)
3
2
2 15 6 (2 5 )
2
8 3 3 4 2
x x y x y x y
x x x x y
y y
c)
3 2
3 6 2 4 4 3 9 2
6 3 2 4 4 6
x x y y
x x y xy y x x
d)
3
2
8 3 4
2 2
x y y x y
xy y y
Giải:
a) Từ phương trình (2) hệ ta có:
2 3
3
9 9 9 0
9 0 x y
x y y x y y x y x y
x y
Vì y1 31x 1y 2 nên 31x 2x7
Do xy3 9 1 0 nênxy3 9 0 vô nghiệm
Ta cần giải trường hợp xy Thế vào phương trình ban đầu ta được:31x 1x 2 Đặt a31x b; 1x b 0
2
3 2
3
2
2 2 4 2 0 1 2 2 0
2 a b
a a a a a a a a
a b
Từ suy nghiệm phương trình ban đầu
0; 11 3; 11
(24)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Vậy hệ cho có nghiệm
0; 11 3; 11
x y x y x y
b) Phương trình thứ hệ
2
(2 ) 12 15 15
12
y x
y x x y x
y
TH 1:
2
15 12 x
y thay vào phương trình thứ hai hệ ta được:
2 2
2
3 2 4 15
3 15 4 24
2 15
x x x x x
x x
2
2
2
36
12 16 15 16 15 0
15 15
x x
x x x x
x x
2 2
2
2
2
16 15 16 15
36 16 15
6 16 15
15 15
x x x x
x x
x x
x x
x x
2
2 2
16 15 0
36 15 16 15 (*)
x x
x x x x
Xét phương trình (*) 36x2 x215x216x15
Vì x = khơng phải nghiệm Ta chia hai vế phương trình cho x2 ta có:
15 15
36 x x 16
x x
Đặt
2 2
15
16 36 0
18 t
x t t t
t x
+ Nếu 2 15 2 2 15 0 5 5
3 x
t x x x x
x x
+ Nếu t = 18
15 18 18 15 0 9 6 9 6
9 6 x
x x x x
x x
Nghiệm hệ cho là: ; 5;5 , 6;27 12
6
x y
(25)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ TH 2: x2y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta có:
2 2
2 2 7 11
0
4 3 3 4 4 6 12
x x x x x x
x x
x x
(loại) (do điều kiện
0
y )
KL: Nghiệm hệ cho là: ; 5;5 , 6;27 12
6
x y
c) Điều kiện 2 3 x y
Phương trình (2) hệ tương đương với:
2
2
2 2
(2 2 )(3 2) 0
2 3
y x
x y x y
y x
+ Với y2x2 vào phương trình (1) ta được:
(1)7x6 2x 4 6x15 4 (3)
Đến sử dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 6 2 4 3.2 2( 2) 3
6 2 4 4 6 15 7 4
4 6 15 2.2 3(2 5) 2(2 2)
x x x
x x x
x x x
Dấu '''' xảy khi x4
Từ (3) suy x4là nghiệm Vậy hệ có nghiệm ( ; )x y (4; 6)
- Với y 2 3x2 2 hệ vô nghiệm điều kiện y3
Vậy hệ cho có nghiệm ( ; )x y (4; 6)
d) Thế phương trình vào phương trình hệ ta phương trình :
3 2 3
8 2(2 ) 2
x y y x y xyyy x y x y x y y Vì y0 khơng nghiệm hệ Chia hai vế cho y ta phương trình
3 3
8 3 4 2 2 3 4 8 2 2
x y x x yx x x y y
Đặt : zx 1 x z Khi ta có phương trình :
3 2 2
8 2 2 4 2 0 4 2 0
z z y y z y z y zy z y zy
2 2
z y x y x y
(26)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
1
3 2 7
3
y x
y y
y x
Hệ phương trình cho có hai nghiệm ( ; ) (1;1); 7;
3
x y
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau
a)
2
3 1 2 1 4 2 1
3 3
y y x y x y
y y x y
b)
2
2 2
2 3 2 3
2 2 7 6
x xy y
x x y x y xy
c)
4
2
2 6 7 2 9
2 10
x xy y y x
yx x
Giải:
a) Điều kiện: x22y 1 0 Phương trình (1) tương đương:
2 2 2
2
2
2
4 2
2
2
2
y y x y x y x xy y
x y y x
y x y x y
x y x y
TH1: x22y 1 3yx Bình phương hai vế phương trình ta được:
2
2 2
2
3 1; 1( )
3
6 415 17
; ( )
2
51
3
y x x y TM
y x
xy y y
x y TM
x y y xy x
xy y y
(27)
hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
2 2
2
0 1; 1
0
2 41 7
; ( )
2
21
3
x y x y
x y
xy y y
x y L
x y x xy y
xy y y
Vậy hệ có nghiệm ; 1;1 , 415 17;
51
x y
b) Từ phương trình (1) ta thấy: 2x1y33 1 y2
TH1: y1 thay vào (2) ta có: x37x 6 0x1;x3;x 2 TH2: Kết hợp với (2) ta có hệ mới:
2
2 2
2 2 3
2
x xy xy y
x x y x y xy
.(*)
(3)
Phương trình (3) tương đương với: xy2 2 xyx230 + Nếu: xy2 thay vào (*) ta có:
1
2 4 3
2
y
x y yx y y Phương trình vơ nghiệm nên hệ vơ nghiệm
+ Nếu 2xy 3 x2 thay vào (*) ta có:
2 2
2x x y x 3y y
x
2
2
2x x x 1;y
x
Vậy hệ có nghiệm x y; 1;1 , 3;1 , 2;1 c) Phương trình (1) tương đương:
4 2 2
7 3 3
x x y x x x x x x y x x
TH1:
1 13 79 13
2 36
3
1 13 79 13
2 36
x y
x x
x y
(28)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ TH2: 2y2 x2 x 3 thay vào (2) ta có:
5
5
2
3 10
5
5
2
x y
x x x x
x y
Vậy hệ có nghiệm
; 13 79; 13 , 13 79; 13 , 5;1 , 5;1
2 36 36 2
x y
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau
a) 3 2 1 3
4 12 9 6 7
xy x y
x x x y y
b) 3 22 4 3
4 24 45 6 20
xy x y
x x x y y
c)
3
3
2
1 3
2
1 4
2 2
x
xy y
x
xy y
x x
d)
2
2
3 2
4 1
1
x y x
xy
x y
x y
Giải:
a) Hệ tương đương: 3 3 3 23 3 3
4 12 9 6 7
xy x y
x x x y y
Trừ hai phương trình cho ta được: 4x13 y33xy3y
3 3
4 x 4y 3y 3xy 3y
2 2
2 2 2
2 2 2
2
4 1 1 1 3 1
4 1 1 1 3 1 1
4 1 1 1 3 1
1 2 2 0
x y x x y y y y x
x y x x y y y y xy y
x y x x y y y x y
x y x y
(29)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Với y2x2 thay vào (1) ta được:
5 17
4
2
5 17
4
x
x x
x
Vậy hệ có nghiệm ; 17 1; 17 , 17 1; 17
4
x y
b) Hệ tương đương: 6 3 3 32 12 0 3
4 24 45 6 20
y x xy
x x x y y
Trừ hai phương trình cho ta được:
3
4x 24x 48x32 y 3xy12y
3 3 3
2 2 2
4 2 4 3 3 12
4 2 2 2 3 4
x y y xy y
x y x x y y y y x
Thế xxy2y4 vào VP ta được:
2 2
4 xy2 x2 x2 yy 3y y 2yxy 4 4 3y xy2
2 2
2 4 2 4 2 0
x y x x y y
Với y x thay vào (1) ta được: x25x 8 (vô nghiệm) Với y2x2 thay vào (1) ta được:
17
4
2
17
4
x
x x
x
Vậy hệ có nghiệm ; 17 1; 17 , 17 1; 17
4
x y
c) Điều kiện: x0
Phương trình (2) tương đương:
2
2
1 1
2
y xy y
x x x x
(30)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
3
3
2
2
1 1
1
2 t t t t
x x x x
2t 6t 12t 2t 4t
TH1:
2
t x y TH2: 6t412t32t24t 3
2
2
6
3
t t
(vô lý)
Vậy nghiệm hệ ; 2;
x y
d) Điều kiện: xy1 Phương trình (2) tương đương:
2
4
x y xy xy xy
Phân tích nhân tử ta được: x2y1x22y2xyy10 TH1: x2y 1 thay vào (1) dễ dàng tìm được:
; 14 3; 14 , 14 3; 14
5 5
x y
TH2: Kết hợp với (1) ta có hệ mới:
2
2
2
3
x y xy y
x y x
Giải cách:
2
(1) (2) 3 4 0 1 3 4 0
PT PT y xy x y y x y Vậy nghiệm hệ
; 14 3; 14 , 14 3; 14 , 10 17; , 1;1 , 1; , 2;
5 5 11 10
x y
Ví dụ 7) Giải hệ phương trình với nghiệm số thực: a)
2
2
2
4
x y x y
x xy y x
b)
2
2
5
x xy y
y xy x
(31)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ * Cách 1: Đặt x u a
y v b
thay vào phương trình (1) hệ ta có:
2
(ua) 2(v b ) 2(ua) 8( v b ) 6 0
2 2
2 2( 1) 4 ( 2) 2 2 8 6 0
u v a u v b a b a b
Ta mong muốn số hạng bậc phương trình nên điều kiện là: 1 0
2 0 a
b
1 2 a b
Từ ta có h đặt ẩn phụ sau: Đặt 1 2 x u y v
thay vào hệ ta có:
2
2
2
2
u v
u uv
hệ đẳng cấp
Từ hệ ta suy 2 2 2 3 3 4 0
4 u v
u v u uv u uv v
u v
Cơng việc cịn lại đơn giản
* Cách 2:Ta cộng phương trình (1) với k lần phương trình (2)
2 2
2
x y x y k x xyy x
2
(1 k x) (2 4k ky x) 2y 8y ky k 6 0
Ta có
2
(2 4k ky) 4(k 1)(2y 8y ky k 6)
k2 8k8y2(4k232k32)y12k212k20 Ta mong muốn có dạng (AyB)2 0 có nghiệm kép:
2
4 32 32 8 12 12 20
2
k k k k k k k
Từ ta có cách giải sau:
Lấy lần phương trình (1) trừ lần phương trình (2) hệ ta có:
2
2 x 2y 2x8y6 3 x xyy4x1 0
2 2
3 13 13
x xy x y y x y x y y
(32)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Từ tính được:
3 8 (5 10)
1 2
3 8 (5 10)
4 9
2
y y
x y
y y
x y
Phần việc lại đơn giản
b) Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) ta thu được:
2 2
2x 2xyy 5 y xy5x7 02x y5 xy y120
1
2
y x
x y
Nhận xét: Khi gặp hệ phương trình dạng:
2
1
2
1
0
a x a xy a y a x a y a b x b xy b y b x b y b
+ Ta đặt x u a y, v b sau tìm điều kiện để phương trình khơng có số hạng bậc khơng có số hạng tự
+ Hoặc ta cộng phương trình (1) với k lần phương trình (2) sau chọn k cho biễu diễn x theo y Để có quan hệ ta cần dựa vào tính chất Phương trình ax2 bx c biểu diễn thành dạng:
2
(AxB) 0
Đối với hệ đại số bậc 3: Ta vận dụng hướng giải
+ Biến đổi hệ để tạo thành đẳng thức
+ Nhân phương trình với biểu thức đại số sau cộng phương trình để tạo quan hệ tuyến tính
Ví dụ 8) Giải hệ phương trình với nghiệm số thực: a)
3
2
3 49
8 17
x xy
x xy y y x
c)
3
2
3 49
6 10 25
x x y xy x
x xy y y x
b)
3
2
35
2
x y
x y x y
d)
3
3 4
7 11 3 1 (1)
xy x y
x x y x y
(33)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ a) Phân tích: Ta viết lại hệ sau:
3
2
3 49
8( 1) 17
x xy
y x y x x
Nhận thấy x 1 hệ trở thành:
2
3 48
4
16
y
y y
Từ ta có lời giải sau:
Lấy phương trình (1) cộng với lần phương trình (2) hệ ta có:
3 2
2
3 49 8 17
1 ( 1) 3( 4)
x xy x xy y y x
x x y
Từ ta dễ dàng tìm nghiệm hệ: x y; 1; , 1; 4 b) Làm tương tự câu a
Lấy phương trình (1) cộng với lần phương trình (2) thu được:
2
1 ( 1) 3( 5)
x x y Từ dễ dàng tìm nghiệm hệ c) Lấy phương trình (1) trừ lần phương trình (2) ta thu được:
3
(x2) (y3) xy5 Thay vào phương trình (2) ta có:
2 2 3
2( 5) 3 4( 5) 9 5 25 30 0
2 y
y y y y y y
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x y; 2; , 3; 2
d) Lấy lần phương trình (2) trừ phương trình (1) ta thu được:
2
1 ( 3)
x y x yx x
Trường hợp 1: x1 hệ vô nghiệm Trường hợp 2:
2
3
( 3)
( )( 1)
y x y x x
x y x y xy
Lấy lần phương trình (2) trừ phương trình (1) ta thu được:
2
2x1 y (x1)yx x 20
+ Nếu 3
2
x y
+ Nếu y2 (x1)yx2 x 2 0 ta có hệ:
2
2
( 1)
( 3)
y x y x x
y x y x x
(34)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Trừ hai phương trình cho ta có: y 1 thay vào hệ vơ nghiệm KL: Nghiệm hệ là: ; 3 5; , 3 5;
2 4
x y
d)
Ta có: (1) 7x33xy3xy 1 3xyx y 1
3
7x 3xy 4x 2y x y 1 3 x y x y 1
3 3
8x y 6xy 2x y x y 3xy x y 3 x y 1 x y 1
3 3 3
2x y x y x y x y 1 x y
2x y x y x
Vậy hệ phương trình cho tương đương với:
1 1
3 4
x x x
y y y y
PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Đặt ẩn phụ việc chọn biểu thức f x y g x y( , ); ( , ) hệ phương trình để đặt thành ẩn phụ làm đơn giản cấu trúc phương trình, hệ phương trình Qua tạo thành hệ phương trình đơn giản hơn, hay quy dạng hệ quen thuộc đối xứng, đẳng cấp…
Đễ tạo ẩn phụ người giải cần xử lý linh hoạt phương trình hệ thơng qua kỹ thuật: Nhóm nhân tử chung, chia phương trình theo số hạng có sẵn, nhóm dựa vào đẳng thức, đối biến theo đặc thù phương trình…
Ta quan sát ví dụ sau:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau a)
2
3 2
2 2
2 3
x xy y
x x xy y
b)
4 2
2
4
2 22
x x y y
x y x y
Giải:
(35)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
3
3 ( )
3 ( )
x x y
x x y x y x
2
2
3 ( )
3 ( ) ( )
x x y
x x y x y x
Đặt a3x b2, x y ta thu hệ phương trình:
2
2
a b ab b a
Từ phương trình (1)suy ab22 vào phương trình thứ hai hệ ta thu được: b22b b 3b22 1 b22b 1 0b 1 a3
Khi
2
1
3
1 1
2
x y
a x
b x y x
y
Tóm lại hệ phương trình có cặp nghiệm: x y; 1; , 1; 2 b) Ta viết lại hệ phương trình thành:
2
2
2
2
2 22
x y
x y x y
Đặt ax22;b y3 Ta có hệ phương trình sau:
2 2 2
4 4 ( ) 2 4
( 2)( 3) 2 2( 3) 22 4( ) 8 4( ) 8
a b a b a b ab
a b a b ab a b ab a b
2
2
( ) 8( ) 20
4( ) 10
( ) 48
a b ab
a b a b
ab a b a b
L ab
Xét 2 2, 0
0 0, 2
a b a b
ab a b
+ Nếu: 0, 2
5
x
a b
y
+ Nếu 2, 0 2
3 x
a b
y
(36)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Tóm lại hệ có cặp nghiệm: x y; 2;5 , 2;5 , 2;3 , 2;3 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau
a)
2
2
1 25 1
2 8 9
x y x y y
x xy y x y
b)
2
2
1 9
6 0
8
1 5
2 0
4
x y xy
x y y
x y
Giải:
a) Để ý y 1 hệ vơ nghiệm
Xét y 1 Ta viết lại hệ thành:
2
2
2
1 25
1 10
x y x y y
x y x y y y
Chia hai phương trình hệ cho y1 ta thu được:
2
2
2
2
2
1 25
1 25 1
1
1 10
1 1 10 1
1
x y
x y x y
x y y
y
x y
x y
x y x y y y
y
Đặt
2
; 1
1
x y
a x y b
y
Ta có:
2 3;
25
5 3 11
10 ;
2
x y
ab x y y
a b
a b x y x y
Vậy hệ có nghiệm ; 3;1 , 11; 2
x y
(37)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
2 2
2
1 9 1 25
2 0 2 0
8 8
1 5 1 5
0 0
4 4
x y y x x y y x
y x y x
y x x y y x x y
y x y x
Đặt x y a y; x 1 b b; 2 y x
hệ thành:
2
5
13
5
2 ;
8
4
5
25
2 4 ;
8 8
1
y x
y x x y
a b a
y x
a b b x y
y x
Vậy hệ có nghiệm ; 3; , 13;
8 8
x y
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau a)
2
2
17 19
17 19 10
x x y y
x y x y
b)
2 2
2 3
4 1 0
1 4 0
x x y y y
xy x y x y
Giải:
a) Điều kiện: 17 17; 19 19
2 x y
Để ý x 17 4 x2 liên quan đến 2x 17 4 x2,y 19 9 y2 liên quan đến
(38)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
10
5;
17 19
3;
3
4
a b
a b
a b
a b
TH1:
2
1
2 17
2
3 19
5 13
6
x
x x
x
y y
y
TH2:
2
2 17
3 19
x x
y y
(loại) Vậy hệ có nghiệm
; 5; 13 , 5; 13 , 2;5 13 , 2;5 13
2 6 6
x y
b) Ta viết lại hệ sau:
2 2
2 3
1 4
1 4
x x y y y
xy x y x y y
Ta thấy y0 khơng thỏa mãn hệ.Chia phương trình đầu cho y2, phương trình thứ cho y3 ta được:
2
3
1 4
1 4
y
x x
y
x x
x
y y
Viết lại hệ dạng:
2 2
2
2
1 1 1
4 2
1
1 1
2 4
xy
x x
y y y
xy
x x
y
y y
Đặt x2 12 a,xy 1 b
y y
ta có hệ 4 2
4 a b
a b ab
(39)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 2 2 x y x y 1 2 1 1 x x x y y y x y x x y y
Vậy hệ có cặp nghiệm x y1
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau
a)
4 2
2
4 2
6 12
5 11
x x x y y x
x x y x
b) 2 2 5 4 5 5 5 x y
x y x y
x y x y xy Giải
a) Nhận thấy x0 không nghiệm hệ Chia hai vế phương trình cho x2 ta có:
2
2 2
2
2 2
2 2
2
6 1
6 12
5 1
5 11
x x y y x x y y
x x x x
x x y x x y
x x x x
Đặt x a x
Hệ thành:
2
2 2
6
5
a ay y
a a y
Chia hai vế cho a2 đặt y X,y Y
a a
giải ta
1 1 1 17
2 4
1
1 1
, 1
2
1 1 5
1, 2 1
2 2 2 x x x y y a y
a y x x
x y y
Vậy hệ có nghiệm ; 17;1 , 5;
4
x y
(40)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ b) Điều kiện: x y, 0;x y2;y x2
Phương trình (2) tương đương:
2
5
5 5 5. 5
x y x y x y
y x
y x x x
Đặt
2
,
x y x y
a b
x x
Hệ thành:
2
2
3
, 3
2
1 5 2
4 1 5 1
, 1,
2 2 2 5 2
5 5
3 3
,
2 2
x y
x y x
a b x y
a b
x y y
b a
x y
Vậy hệ có nghiệm ; 3;3 , 1;1 , 3;
2 2
x y
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau
a)
2 2
2
3
1
1
xy x y
x y
x y
b)
2
2
9 2 4
2
1 9 18
y x
x y
x y
x y
y x
Giải
a) Triển khai phương trình (1)
(1) x y2 26xy 9 x22xyy2 8 x y2 2x2y2 1 8xy
1
x y xy
Nhận thấy x0,y0 khơng nghiệm hệ Phương trình (1) là:
2
1 1
. 8
x y
x y
Đặt 2 ; 2
1 1
x y
a b
(41)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
2
2
2
1 1
1 2
2
1 1
1 1
2 3
1 4 4
4
1 1 1 2 3
8
4 1 4 1
1 1
2 1 2
x a
x
x y
b a b
y y
x x
a
ab x y
y b
y
Vậy hệ có nghiệm
x y; 1; 2 3 , 1; 2 3 , 2 3; , 2 3; 1
b) Phương trình (2) tương đương:
2 2 2 2 3
2xy y9x 18x y 9x y 18x y 2xy
2 3 2
9 18 18
2 9 2 4
x y x y x y
xy
xy y x
2 2 2
9x y x y y x 4 9x y y x 4
y x y x y
Đặt a 9x y ;b y 2x
x y
Hệ thành:
2
9
2
2;
2
2 1
y x
a b x x y x
a b
x
ab y y x y
y
2
2
0( )
4
1
4 9
9
x L
y x x
x y
x x x x x
Vậy hệ có nghiệm ; 1;
x y
(42)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
a)
2
2 2
6
3
x x y x xy
x x y y x y
b)
2
2
2 2
2 1 1
x y y x x
x y x
Giải Giải hệ:
Hệ phương trình tương đương với :
2
2
2
2
3 6
6 3 9 9
3 6 2
3 6 2
x x
y y
x y y y x x xy
y x
x x x y y y
x x x y y y
2
2
6 3
9
6 3
3 6 2
y y y x x x
x x x y y y
Đặt x x2 3 xa y; y26yb Hệ thành:
1
6 3 ; 1
9 2
2 4
1 ;
3 3
a b
b a
a b a b
TH1:
2
2
1
3
1
6 2
x
x x x
y
y y y
TH2:
2
2
2
3
15
4
6 2
3 15
x
x x x
y y y y
Vậy nghiệm hệ ; 1;1 , ; 2
2 15 15
x y
(43)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC:
Điểm mấu chốt giải hệ phương pháp biến đổi theo đẳng thức:
Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau
a)
3
3 2 2 2 1 0
2 2 2 5
x x y y
x y
b)
2
2
2 2
2 1 1
x y y x x
x y x
Giải
a) Điều kiện: 2,
x y Phương trình (1) tương đương: 2x 2x 2x 2y1 2y 1 2y1
Đặt a 2x b, 2y1 Ta có phương trình: a3ab3b
2
1
a b a ab b
Do
2
2
1
2
b b
a ab b a
suy phương trình cho ta ab 2y 1 2x x 3 2y thay vào ta có: 5 2 y2 y2 5 Đặt
35 ; 2
a y b y ta có hệ phương trình sau:
3
1; 2
2 5 3 65 23 65
;
4 8
2 9
65 3 23 65
;
4 8
a b
a b
a b
a b
a b
2
233 23 65 32 233 23 65
32 y
y y
Vậy hệ có nghiệm
; 1; , 23 65 185 233 23 65; , 23 65 185 233 23 65;
16 32 16 32
x y
(44)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ta viết lại phương trình (1) thành: y3x62x2yx20
2
2 2
2 0
0 y x
y x y yx x x
x y
Dễ thấy xy0 nghiệm Khi yx2 thay vào (2) ta được:
2 2 4 3, 3
2 1 1 2 1 1
3, 3
x y
x x x x x x
x y
(thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm x y; 3;3 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau
a)
5 10
2
4 5 8 6
x xy y y
x y
b)
3
3
2 4 3 1 2 2 3 2
2 14 3 2 1
x x x x y y
x x y
Giải
a) Điều kiện:
4
x
Ta thấy y0 không nghiệm hệ chia hai vế (1) cho y5 ta được:
5
5
x x
y y
y y
Đặt a x y
ta có phương trình: a5ay5y suy
2
1
ay a a ya y ay yaxy
4x 5 x86x 1 y 1 Từ tính y 1
Vậy hệ cho có nghiệm x y; 1; 1 b) Điều kiện: 2;
2
x y Ta thấy x0 hệ khơng có nghiệm Chia phương trình (1) cho x2 0:
4
1 2y 2y
x x x
3
3
1
1 2y 2y
x x
(45)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Đặt a 1,b 2y
x
Ta có a3ab3b ab 2y 1
x
Thay vào (2) ta được:
3
3
2 15 1 1 15 3 4 14 0
x x x x x x x
111
98
x y
Vậy hệ có nghiệm ; 7;111 98
x y
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau
a)
2
(17 ) 5 (3 14) 4 0
2 2 5 3 3 2 11 6 13
x x y y
x y x y x x
(1)
(2)
b)
3
2 3
2
5
x x y x y y y
x y x x y xy x
Giải
a)Điều kiện: 5 4
2 5 0
3 2 11 0
x y
x y
x y
Biến đổi phương trình (1) ta có: 3 5 x2 5x 3 4 y2 4y Đặt a 5x b, 4y ta có”
3 2
3a 2a3b 2b a b 3a 3ab3b 2 0ab
5 x 4 y y x 1
Thay vào (2) ta có: x26x132 3x43 5x9 (4)
Điều kiện xác định phương trình (4) là:
3
(46)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
2
2
2
2
(4) 2 2 3 4 3 3 5 9 0
2 3
0
2 3 4 3 5 9
2 3
1 0
2 3 4 3 5 9
0
2 3
1 0
2 3 4 3 5 9
x x x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x x
(*) x2 x0 0 1
1 2
x y
x y
Ta có 1 2 3 0
2 3 4 3 5 9
x x x x
điều kiện
4
x
Kết luận: x y; 0; , 1; 2 b)Điều kiện: y0,xy0
Nhận thấy y0 hệ vơ nghiệm Ta xét y0
Từ phương trình (1) ta sử dụng phương pháp liên hợp:
PT(1) 2 2
2
x y
x xy y y x y x y x y
y x y
Rõ ràng 2 0; 1 0
2
x y x y y
y x y
, từ suy xy
Thay vào (2) ta được: x35x214x 4 63 x2 x 1 Biến đổi phương trình cho tương đương:
3
3 2
3 6 4 8 8 8 8 8 8
x x x x x x x
3
1 3 1 8 8 8 8 8 8
x x x x x x
Đặt a x 1,b 38x28x8suy
3
3
a ab b a b a2ab b 230ab
3
1 8 8 8 1; 1
(47)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Vậy hệ có nghiệm x y; 1;1
KHI TRONG HỆ CĨ CHỨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC THEO ẨN x, HOẶC y
Khi hệ phương trình có chứa phương trình bậc hai theo ẩn x y ta nghỉ đến hướng xử lý sau:
* Nếu chẵn, ta giải x theo y vào phương trình cịn lại hệ để giải tiếp
* Nếu không chẵn ta thường xử lý theo cách:
+ Cộng trừ phương trình hệ để tạo phương trình bậc hai có
chẵn tạo thành đẳng thức
+ Dùng điều kiện 0 để tìm miền giá trị biến x y, Sau đánh giá phương trình cịn lại miền giá trị x y, vừa tìm được:
Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau a)
2
2
2 1 2 2
xy x y x y
x y y x x y
(1)
(2)
b)
2
2
2 3 3 2 1 0
4 4 2 4
x y xy x y
x y x x y x y
Giải
Xét phương trình (1) hệ ta có:
2 2
2 ( 1) 2 0
xy x yx y x x y y y Ta coi phương trình bậc x ta có: (y1)28y24y(3y1)2 Từ suy
1 (3 1) 2 1 (3 1)
2 1
2
y y
x y
y y
x y
Trường hợp 1: x y Từ phương trình (2) hệ ta có điều kiện: 1 0 x y
(48)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Trường hợp 2: x2y1 thay vào phương trình thứ hai ta có:
(2 1) 2 2 2 2( 1)
( 1) 2
y y y y y y y y y
y y y x
Vậy hệ có cặp nghiệm: ( ; )x y (5; 2)
b) Xét phương trình (1) hệ ta có:
2 2
2x y 3xy3x2y 1 02x x(3 ) y y 2y 1 0 Coi phương trình bậc x ta có:
2 2
(3 )y y 2y y 2y (y 1)
Suy
3 3 ( 1) 1
4 2
3 3 ( 1)
1 4
y y y
x
y y
x y
Trường hợp 1: y x thay vào phương trình (2) ta thu được:
2
3 3
3 ( 1) ( 4)
x x x x
x x x x x x
1 1
3 0
1 3 1 2 5 4
x x
x x x x
Do
3
x nên
1 1
3 0
1 3 1 2 5 4
x x x x
2 0
0
1 x
x x
x
Trường hợp 2: y2x1 thay vào phương trình (2) ta thu được: 3 3 x 4x 1 5x4 4x 1 5x43x 3 0 Giải tương tự ta x0
Kết luận: Hệ phương trình có cặp nghiệm: ( ; )x y (0;1), (1; 2)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau a)
3 2 3 1
5
3 2 2 2
2
x y x y
x
y xy y
(1)
(49)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ b)
2
2 10 1
3
1
1
y y x y y x
y x y
x
c) 4 3 4 1
2 3 4 (5 ) (4 ) 1
x y y x
y x y x y x x y
Giải
Điều kiện: 2; 3;3
y x yx
Phương trình (1) tương đương (x3)2 4(y1)(3yx)
2 2
6 9 12 12 4 4 2 (5 ) 12 12 9 0
x x y y xy x x x y y y
Coi phương trình bậc x ta có: 2
2
' (2y 5) 12y 12y 4y
suy 5 2 (4 4) 6 9
5 2 (4 4) 2 1
x y y y
x y y y
Trường hợp 1: x 6y9
Do x 3 6y 9 y 1 suy phương trình vơ nghiệm Trường hợp 2: x2y1 thay vào phương trình hệ ta có:
2 2
3 2 2
3 2
y
y y y y y y
y y
Ta có: 2 3; 2 1 7
3 3y 2 y2 2 y Nghĩa VPVT, suy y2x1 Vậy hệ có nghiệm x y; 1; 2
b) Điều kiện:
2
1 0 1 0
2 7 10 3 0
x y
y y x y
(50)
hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ta viết phương trình thứ dạng:
2
2y 7y10x y3 x 1 y1
Để bình phương ta cần điều kiện: x 1 y 1 x2 x y Ta bình phương hai vế được:
2
2y 8y 8 x y3 x 2x2 x1 y1 (1)
Ta đưa phương trình (2) dạng: x1 y 1 x2 x 2xy2y3 (2) Thế (2) vào (1) ta được:
2 2
2y 8y 8 x y3 x 2x2 x x 2xy2y3
2
2y 4y 2 3xy x 3x 0
2
2 1 0
3 1 2 1 0 1 2 2 0
2 2 0
x y
x x y y x y x y
x y
* Với xy 1 0 y 1 x, ta có thêm x2 thay vào phương trình (2) ta có: x1 2x 1 x x2 x2 x 1 x1 2x 0
Vì 1 x2, ta dễ thấy: VT 0, nên suy phương trình vơ nghiệm
* Với 2
2
x
x y y , thay vào phương trình (2) ta được:
4 3
2
2 1
x x
Đặt ux1 ta thu phương trình:
3
3 24 18
5
2 3
2
2
u u u
u
u x y
u u
Hệ có cặp nghiệm nhất: x2;y0
c) Điều kiện
4
y y
x
(51)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
4x 4 (x y2)y 4y0 Ta coi phương trình bậc x
2
' y 4(y y) 16
suy
2( 2) 4
4 2
2( 2) 4 4
4 2
y y
x
y y
x
Trường hợp 1:y2x thay vào phương trình (1) ta có: 2x 12 vơ nghiệm Trường hợp 2: y2x4 thay vào phương trình (1) ta thu được:
273 257
2 12 15 ,
8
x x y
Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: ; 273 257;
8
x y
PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Để giải hệ phương trình phương pháp đánh giá ta cần nắm bất đẳng thức như: Cauchy, Bunhicopxki, phép biến đổi trung gian bất đẳng thức, qua để đánh giá tìm quan hệ x y,
Ngồi ta dùng hàm số để tìm GTLN, GTNN từ có hướng đánh giá, so sánh phù hợp
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau
a)
2
1 1 2
1 2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
9 xy
x y
x x y y
b)
3
2 2
2 3
2
76 20 2 4 8 1
x x y x x y
x y x x
Giải
a) Điều kiện: ,
x y
(52)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Đặt 2 , 2 ; , 0; 1
2 a x b y a b
Ta có: 2 2
2
1 1 1 1
2
1 1
1 1
VT
a b
a b
Ta sử dụng bổ đề với a b, 0 ab1 ta có bất đẳng thức:
2
2 2
1
1 1 2
0
1 1 1 1 1 1
a b ab
a b ab ab a b
(đúng)
Vậy 2
1
VT VP
ab
Đẳng thức xảy xy Thay vào(2) ta tìm nghiệm phương trình Nghiệm hệ ; 73 9; 73 , 73 9; 73
36 36 36 36
x y
b) Điều kiện: x y2 0
Phương trình (1) tương đương: x3x x y22 xy23 0 Đặt xy2 u phương trình (1) thành:
3 2
2 0
x xu u xu y x x
Thay vào (2) ta được: 96x220x 2 332x24x
Ta có
2
2 3 32 4 2
96 20 2 32 4 1.1 32 4
3
x x
x x x x x x
2
3 96 20 32 16
8
x x x x x x y
Từ ta có nghiệm hệ là: Vậy hệ có nghiệm ; 1;
8
x y
(53)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ a)
2
3
2
3
2
1
2 9
2
2
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y
với x y, 0
b)
3
2
2
3 10 12
6
2 3
x xy y
x y
x x y
x xy y
Giải
a) Hiển nhiên xy0 nghiệm hệ Ta xét x0 y0 Cộng theo vế hai phương trình hệ ta
2
2
3
1
2
1 8
xy x y
x y
Chú ý
2 2
3
1 1
;
2
1 8
x y
Với xy0 ta có
2
2
3
1
2
1 8
xy xy x y
x y
Dấu đẳng thức xảy x y1 Với xy0 Khả xảy Thật vậy, khơng làm tính tổng qt giả sử x0,y0 rõ ràng đẳng thức (1) khơng thể xảy Vậy hệ có hai nghiệm x y; 0;0 , 1;1 b) Theo bất đẳng thức AM GM ta có :
12 10 5
2
x y
xy x xyy x x yy x y xy
(54)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
3
2
2
6
2 2
x y
x x y x y
x xy y
3
2
2
6
2 ( ).
x y
x y x y
x xy y
Ta có: xy 2(x2y2) Để chứng minh ( ) ta chứng minh bất đẳng thức mạnh là:
3
2
2
6
2 2( ) (1)
x y
x y
x xy y
Mặt khác ta có:
2
2
x y
xy nên (1) chứng minh ta được:
3
2 3 2 2
2
2
6( )
2 2( ) 2( ) ( ) 2( )
2
x y
x y x y x y x y
x y
x y
6 3 2 2
4 3 ( ) 0 (2)
x y x y x y x y
Vì y > chia hai vế cho y6 đặt t x 0 y
bất đẳng thức (2) trở thành
6
3
t t t t
Nhưng bất đẳng thức hiển nhiên do:
6 2
3
2
2
3 ( 1) ( 2 1)
6
2
t t t t t t t t
x y
x x y
x xy y
Kết hợp tất vấn đề vừa ta thấy có số x y, thỏa mãn điều
kiện
, 0
2 3 1
x y
x y x y
x y
nghiệm hệ
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau a)
2
2
41 1
9 3 40
2 2
5 6 4 9 9
x x
x y
x xy y y x
(55)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ b)
2 2
2 3
2 5 3 4 5 3
x y x xy y
x y
x xy x xy x
Giải
a) Phương trình (1) tương đương: 82 80
2
x x
x y
Ta có:
2 2 1
1 9 9
2 2
VT x x x x
x y x y x y x y
2
6 80 6
3 2 6 0
9 2 9
x
x x xy y
x y
(*)
Lấy (*) cộng với PT(2) ta được:
2
2
4 12 3
x xy y y x x y x y
Để dấu xảy x y3 Vậy hệ có nghiệm x y; 3;3 b) Ta có
2 2 2
2 2
2 4 2
x y
x y x y x y
x y x y
2 2 2
2 2
3 12
x y
x y x y x y
x xyy x xyy
Từ suy
2 2
2 3
x y x xy y
x y x y
Dấu xảy x y0
(56)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Để ý x0 khơng phải nghiệm Ta xét x0, chia phương trình cho
2
x thu được: 2 5 32 4 5 32
x x x x
Đặt
5 3
2 0
t
x x
ta có phương trình:
2
2
5 3
6 2
t t t x
x x x x
Vậy hệ phương trình có nghiệm x y; 3;3 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau
a)
2
4
32 3 0
32 6 24 0
x x y
x x y
b)
( ) 2
( 1) (1 ) 4
xy x y xy x y y
x y xy x x
(1)
(2)
Giải
a) Điều kiện: 0 32 4 x y
Cộng hai phương trình vế theo vế ta có:
2
4
32 32 21
x x x x y y (*) Ta có:y26y21y3212 12
Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
4
32 1 32
32 1 32
x x x x
x x x x
Vậy x 32x4 x432x12 Từ suy hệ có nghiệm x y, phải thỏa mãn: 4
32
16 32
3 3 0
x x
x
x x
y y
(57)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ b) Điều kiện:
, 0
( ) 2 0
x y
xy x y xy
Chuyển vế bình phương phương trình thứ hệ ta thu được:
2
( )( 2) ( )
xy xy xy y y x
(x y y)( xy 2) ( x y)(2y y x) 0 (3)
Từ phương trình (1) hệ ta có
2y y x y xy(xy)( xy2)0 Từ phương trình (2) ta có:
3
(x1)(y xy)x x 4 (x2)(x1) 2(x1)2(x1) y xy2 Kết hợp với (3) ta suy xy
Thay vào phương trình (2) ta có:
(x1) 2xx(1x) 4x 2x 3x 4 0x1 Kết luận: Hệ có nghiệm xy1
Nhận xét: Việc nhìn quan hệ x y chìa khóa để giải tốn Đây kỹ đặc biệt quan trọng giải hệ phương pháp đánh chứng minh bất đẳng thức
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1)
2
3
2
1 1
x y x
x y
( Trích đề tuyển sinh vịng 1- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2008)
2)
2
3
2
8
x y y x
x y
( Trích đề tuyển sinh vòng 2- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2008)
3)
2
2
1
3
x y xy
x y y
(58)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 4)
2
2
3 12 23
2
x y xy
x y
( Trích đề tuyển sinh vịng 1- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2010)
5)
2
5 2 26
3 11
x y xy
x x y x y
( Trích đề tuyển sinh vòng 2- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2010)
6)
2 2
2
2
1 4
x y x y
x y xy x y
( Trích đề tuyển sinh vịng 2- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2011)
7)
2
2 4
2 4
x y y
x y xy
( Trích đề tuyển sinh vịng 2- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2012)
8)
2
2
1
2
x y xy
x xy y
( Trích đề tuyển sinh vòng 1- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2014)
9)
2
2
2 12
6 12
x y xy
x x y y y x
( Trích đề tuyển sinh vịng 2- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2014)
10)
2 2
2 3 5
4 5
x y xy
x y xy
( Trích đề tuyển sinh vịng 1- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2015)
11)
3
2
27 26 27
x y xy
x y y x x x
( Trích đề tuyển sinh vòng 2- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2015)
12)
2 2
4 1 2 3
12 4 9
x y y
x x y y
(59)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 13)
2
2
1
1
3
x y
y x
xy x y
( Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2014)
14)
3
2 4
6 2 2
x y x y
x y
( Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2014)
15)
2
2
2 3 2 5 2 0
2 3 15 0
x xy y x y
x xy y
( Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Thái Bình 2014)
16)
3
3 4
7 11 3 1
xy x y
x x y x y
17)
2 2
2
2
8
x y x y
y x y x x xy
18)
2
3
1
x xy y
y x y
19)
2
4
15
x y x y
y y x
20)
2
4 2
2
2 2
x y x y
x y x y x y x
21)
2
3
3 1
x y
x y x
22)
2
3
1 1 15
1
xy x y y
y xy
23)
2
4 2
2
6 16
x y
x y x y xy
(60)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 24)
2
3
3
27 30
x y xy
x y x y x y
25)
2
3
4 5
15
12 40
x y
x y
xy
y x
26)
2 2 3
2 8
1 1 1 2 1 1 1
16
x x y
x y x y
x y x y
27)
2
2
2
2
9 1
1 1
x y
x
y
xy x y
28) 4 1
12 4 2
x y y x
x y y x xy
29) 2
8 17 21
6 8 4
16 9 7
xy x y
x y xy y x
x y
30)
3 13 2 5
3 13 2 5
3 13 2 5
x y
y z
z x
31)
2
3
2
7 7 4
3 8 4 8
x y x y x y x
x y y x
32) 3 2 3 5 ,
2 3 2 3 4 2
x y x y
x y
x y x y
33)
3
2
2 2 1 20 28
2 2
x y x y
x y y x x
(61)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
34)
2
4
,
16 2 3
x y x y x y
x y
x y x
35)
2
3 2
2
y y x y x y
x x y x y
36)
2
2
9 5
3 5
30 6
x x y x
x x y
x x
y y
37)
2
2 3
( 3) 8 20 ( 4) 6 10 0
4( 5) 6 11 2 5
x y y y x x
x y y
38)
3 2
2
2 2 4
( , )
2 2 2 4
x xy x y
x y
x xy y y
39)
2 2
2
2 ( 3)(2 3) 12 11 8
6 13 1
y x y x y xy y
y x y y
40)
3 2
2
2 4
2
2 2
x x y x
y xy
y
41)
3
2 2
3 3 2
1 3 2 2
x y y x
x x y y
42)
3
3
2 4 3 1 2 2 3 2
2 14 3 2 1
x x x x y y
x x y
43)
2
2
7
2
2
7 14
x y xy
x y xy x y
(62)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
44)
3
4
16 24 14 3 2 3 2
4 2 2 4 6
x x x y y
x y
45) 13 4 2 2 5
2 2 2
x y x y
x y x y
46)
3 3
2
8 27 18
4
x y y
x y x y
47)
3
3 2 2 2 1 0
2 2 2 5
x x y y
x y
48)
2
1 1 1
35 12 1
x x y y
y y
x
49)
2 2
2
3
1
1
xy x y
x y
x y
50)
4
2 2
3
4
2
2
x x x y
x y x xy y
x y
51)
3
3
3
12 48 64 0
12 48 64 0
12 48 64 0
x z z
y x x
x y y
52)
2 2
2
2 1 2 0
2 2 ( 2) 4 4 0
x y y x y y
x xy x y x
53)
3 10
1
2
3
x y x
x y
x y x y
(63)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 54)
3 2
2
2 ( 4) 8 4 0
1 1
2 3 4( 1) 8
2 2
y x y y x x
x
x y x y
55)
2
3
( ) ( 1)
3 4
x y x y y x y
x x y y
56)
3 2
2
2 ( 4)
3 4( 1) ( 1)
y x y y x x
x x y x y
57)
2
2
5
8( ) 13
( )
1
2
x y xy
x y x
x y
58)
2
3
2 2
( ) 12( 1)( 1)
x y y x
x y x y xy
59)
3 2
7
2
x y x y xy xy x y
y x x
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1) Ta viết lại hệ phương trình thành:
2
3 3
1
1
x y
x y
đặt a x 1 ta có hệ
2
3
1
a y
a y
Suy 1 a y, 1 Mặt khác ta có:
3
1 1 0
a y y yy a Tương tự ta có
2
2 3
2
0 y a a a y a y
y y
Dấu xảy
1,
(64)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 2) Hệ phương trình có dạng gần đối xứng từ hệ ta suy
3 2 2
8x y 7 2x yy x 8x 14x y7xy y 0 xy 4xy 2xy 0
2 4 y x
y x
y x
thay vào phương trình ta tìm nghiêm là:
; 1;1 , 1; 2
x y
Ta giải nhanh sau: Lấy phương trình (2) trừ lần phương trình (1) thu được: 2xy3 1 2xy 1 y2x1
3) Từ hệ phương trình suy ra
2
2
2
1
1 3 ( 3)
3
x xy y
x xy x y x y x y
x y y
Đây là phương trình bậc x có y26y 9 4 y 2 y12 từ tính x1 x 2 y thay vào ta tìm nghiệm
x y; 1; , 1;1 , 5; 3 Chú ý ta giải cách khác:
2
1 3 3 1 3 2 0 1 2 0
x xy x y y x x x x y x 4) Nhận xét: Có thể đưa hệ dạng đẳng cấp:Từ hệ ta suy
2 2 2
2 3x 8y 12xy 23 x y 17x 24xy7y 0 xy 17x7y 0
7 17
x y
x y
Giải hệ với trường hợp ta suy
; 1;1 , 1; , 17; , ; 17
13 13 13 13
x y
(65)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Cách khác: Cộng hai phương trình hệ ta thu được:
2 3 2 25 2 3 5
2 3 5
x y
x y
x y
thay vào để giải
5) Ta viết lại hệ cho thành:
2
2
5 2 26
3 11
x y xy
x x xy y
Nhân hai vế phương trình: (2) với cộng với phương trình (1) ta
được: 2
2
9 48 48 8
3
x
x x x
x
thay vào ta tìm
1
y y 3
Cách khác: Ta viêt lại hệ thành:
2 2 2
2 26 26
11
2 2 11
x y x y a b
a b ab
x y x y x y x y
hệ đối xứng loại
6) Nhận xét x y0 nghiệm hệ Xét x y, 0 Ta chia phương trình cho x y2 2
2
2
1 1 1 1 2
2 2
1 1 2 1 1 2
2 8 2 8
x y x y xy
x y xy x y xy
Đặt
1 1 2
; 2
a b
x y xy
thu
2
8
8 2; 4
0 ab
a a b
a b
(66)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 7) Ta viết lại hệ phương trình thành:
2
2 1 5 2
5 5
1 1 5
x y a b
a b ab
x x y y
hệ đối
Xứng loại 1, ta dễ tìm a2,b1 a1,b2 Từ giải
1
xy x2;y0 Cách khác: Ta viết lại hệ thành:
2
2
2
2 4
2 4 12 4 12 0
4 2 2 8
x y y
x y xy x y x y x y
x y xy
8) Từ hệ ta suy
2 2 2
2
x xy y x y xy x xy y xy x y
Giải hệ ứng với trường hợp ta có: x y1;x y 1,
2 7 7
; ; ;
7 7
x y x y
9) Ta viết hệ cho thành:
2 3 12
2 3 6
6 12
x y x y
x y x y x y xy
x y xy
xy2x3y 6 xy0xyx3y20.Giải trường hợp ta thu được: x y; 3; , 3; , 4; 2
10)Từ hệ ta suy
2
2 2 2
2 2
2
2 4 2
4
xy y xy
xy y x y x xy y x y x y
x y xy
Giải trường hợp ta thu ; 0; , 1;1 , 2;
5
x y
(67)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 11)Ta viết lại hệ cho thành:
3 3
2 2 9
27 8 3 1
x y
x y y x x
Chú ý rằng: 27xy3x2y2 suy
3 3 3 3
27 xy y x 8 3x1 x y 3 x2 y2 xy 8 3x1
x y 23 3x 13 x y 3x y 2x
thay vào ta tìm
được: ; 1;1 , 7;
x y
12)Hệ cho tương đương với:
2
2 2
4 1 2 3
12 9 4
x y y
x x y y
2
2 2
4 1 2 3 4 9
12 9 4
x y y y
x x y y
Cộng theo vế hai phương trình ta được: 2 2
8
x x y y
2
2 2
7 0
2
x x y y x y
(tm)
Vậy hệ có nghiệm ; 0;3
x y
Điều kiện: x 1;y 1
13)Hệ phương tình cho tương đương:
2
2
1 2
1 1
1 .
1 1 4
x y
y x
x y
y x
(68)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Đặt ;
1 1
x y
u v
y x
, hệ thành:
2 1
2 1 4
u v
uv
2
2
2 2
1
2
2 0
u v
u v uv
u v uv u v
Suy
2
uv
2
uv Nếu
2
uv x y1 (tm) Nếu
1
uv
3
x y (tm) 14)Điều kiện 2 0
0
x y
y
Đặt t x2y 0 từ phương trình 1 suy ra t23t 4 0 t 1 x 2y1 thay vào phương trình (2) ta có:
38 4 y 2y 2 Đặt 2y a 0 2ya2 Thay vào phương trình ta
có: 3
0
8 2 2 8 12 0 2
6 a
a a a a a a
a
Từ tìm nghiệm hệ x y; 1;0 , 3; , 35;18
15)Phương trình (1) hệ viết lại sau:
2 2 5 0 2
5 2
y x
x y x y
x y
Thay vào phương trình (2) hệ ta tìm nghiệm x y; 1; , 1; , 3; 4
16)Từ phương trình ( 2) ta có:
3
7x 3xy 3xy 1 3 xy x y 1
(69)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Hay 8x3y36xy2xyx3y33xy x y3x y 1xy1 Hay 2xy3 xy132xyxy 1 x1 Thay vào phương trình đầu tìm nghiệm hệ là: x y; 1;1 , 1; 4
17)Dễ thấy hệ có nghiệm 0;0
Nếu x y, 0; 0 hệ phương trình tương đương với:
2
2
1
2
1
8
x y
x xy x y
Đặt 1 u;1 v
x y cộng hai phương trình hệ ta thu được:
2
2
2
3
u v
u uv u v
2
2u v 3uv 7u 5v 6 0 u v 2 2u v 3 0
.Ta được:
2
2
2 2
2 3
2 u v
u v
u v
u v
18) Ta có:
3 2 3 3
2y xy 1 xy x xyy x y y x xy.Hệ
tương đương với 2 2 1
1 1
x y x y
x y
x xy y
(70)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 19)Hệ tương đương:
2
2
2
4
15 15
15
15 15
x y x y
x y x y
x y x y x y y
x y y
2 2
4 4
15 15
2 15
x y x y x y x y
x
x y y
+)
3
2
2
15 15 1; 2
15
x y
y y x
x y x y
+)
3 3
2
2
5 15 3; 2 3
15
x y
y y x
x y x y
Vậy nghiệm hệ: x2;y1 , 3
2 3;
x y
20)Ta có: 4 2 2 5
2x xy x y x y xy x y x y x y Ta thu hệ tương đương:
2
1
2 1
x y x y
xy x y x y
21)Hệ cho tương đương:
2
3
1
x y x y x y x y
x y x y x y
Đặt u x y v; x y, sau giải 18 22)Nếu y0 suy 10 (loại)
(71)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
4
1 1
15
1 1
x x
y y
x y y
Đặt 1 t
y ta được:
2
15
x t x t
t t x
, sau
giải 19
23)Ta có: 16x4y44xy x 2y26x y2 xy4 x y 2
+) 2 22 2 2 2 2 4 2 0 1
1 2
x y x
x x x x
y
x y
+) 2 2 2 22 2 2 4 2 0 1
1 2
x y x
x x x x
y
x y
Vậy nghiệm hệ có cặp nghiệm 1;1 , 1; 1
24)Ta có: PT 3 2 3 2
27x y 27x y 9y x x y 3y x 3x y
3x y3 x y3 x y
Hệ cho tương đương:
3
2
1
x y
x y x y
25)Ta có: PT 215x4y412x y2 40xy8xy4x2y2
4 2 2
16x y 8xy 4x y 12x y x
4 2
2
2 3
x y x x y
x y x
x y x x y
+)
2 1
4 5
1 x y
x y
x y x y
(72)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ +)
2
2 2
4 5 5
4 ;3 , ;
13 13 13 13
3
x y
x x x
x y
26)Điều kiện: x y, 0
Ta có:
2 2 3 2
1 1 1 2 1 1 1
x y x y x y
x y x y
Hệ cho tương đương với hệ: 2
2
2
2
16
x x y xy
x xy
x y
Xét hệ:
2
4
2 8
xy
x xy
2
4 0 xy x
Hệ vô nghiệm
Xét hệ: 2 4 16 xy x
Hệ có nghiệm 4; 1 4;1
Vậy hệ cho có hai nghiệm 4; 1 4;1
27)Ta có:
2
2
2
2
9 1
1 2
1
x y
x
y
xy x y
Hệ tương tự với hệ
2
2
2
2
9 1
1 2
1
x y
x
y
xy x y
2
2
1 1
9
, 1
y
x y
x y
(73)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Vì 12x y43x y 4 43xy 4 2y x22y x 2 22xy Cộng hai bất đẳng thức vế theo vế, ta được:
5xy12x y 4 4 2y x23xy2xy5xy Do dấu “=” phải xảy Khi x4,y8
Kiểm tra lại, ta thấy x4,y8 nghiệm hệ phương trình 29)Điều kiện: x16,y9
Khi đó: 8 17 21
8 4
6
x y
x y y x
y x
.Đặt t x y x y
y x y x
Từ đánh giá qua bất đẳng thức đây:
8 17 3 8 1
6 6 2 2 2.2 6
6 8 t 4 6 8 t t
t t
, suy t 6 8 hay
2
t
Vậy t x16.Xét phương trình vơ tỷ x16 x9 7 với x16 Bình phương hai vế giản ước được: x16x9 37x
Từ suy x25
Kiểm tra lại, ta thấy x25,y25 nghiệm hệ phương trình 30)Điều kiện: 3x y z, , 13 Cộng ba phương trình vế theo vế, ta
được:
3 13 3 13 3 13 6 5
(74)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Vì T t 3 13 t 1 1 t 3 13t2 5
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dấu “=” xảy t8 Vậy hệ phương trình có nghiệm x y z 8
31) Biến đổi hệ phương trình thành:
2
2
7 4 (1)
4 3 8 (2)
x x y x y x y
x y x y
Thực phép (2) vào (1) ta có:
2
2 2
7
x xy xy xy x y xy
2
2 2 15
x x y x xy x y
2
2x 15 15
x x y x y x y x y x x
TH1: x y Thay vào phương trình (2) có ngay: 4x240 Phương trình vơ nghiệm
TH2:
2
2
1
3
7
2 15
5 119 0( )
y
x y y
y
x x
x y y VN
Vậy hệ cho có nghiệm sau: 3; , 3; 7
32) Đặt
2 2
2 2
2 2 3
3 6 2
3
u x y x y u y u v
x y v x u v
v x y
2
2x 3y 4 u v 7
Khi hệ ban đầu trở thành:
2
3
2 2(*)
u v
v u v
Thế v 5 3u vào phương trình (*) giải tìm u1, từ v =
(75)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 2
2 2 2 1 2 1 2 1 1 2
x y x y x x x y x x y x
x2y x 2
TH1: 2 0 2
2 x
x y x
y x x
thay vào phương trình thứ ta
2
13x 11x300
TH2: 2 2 2 20
2 1
x
x y x
y x x
thay vào phương trình thứ ta bậc hai theo x
34) Điều kiện: x4;y0;x2 y; 4xy y; 3x Phương trình (1)
2
2x x y 4x y x y y 2x y 4x y
+ Nếu y0 không thỏa mãn điều kiện y3x12
+ Nếu y4x4thay vào phương trình (2) ta thu được:
2
16 2 4 16 3 4 1
x x x x
2
2
2
25 5 5 1
5 0
4 1 4 1
16 3 16 3
5 1
5 0
4 1 16 3
x x x
x
x x
x x
x x
x x
Với x 5 y16
Xét
2
5
0 16
4
16
x
x x x x
x x
Dễ thấy x 2 x216 x24x4 x216 0 với x4 nên phương trình vơ nghiệm
Tóm lại hệ có nghiệm nhất: x y; 5;16 35) ĐK: x2 ,y x x2y 0
Đặt
2
a y
b x y
(76)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
1 1
a a b b a b a ab b Do a2ab b 0a b, ab
Hệ
2
0
2
9
2
9
y
x y y
x y y
x x y x y
y y y y y y
Đặt 9 5 , 2 2 2 4
5 4 0
t
t y y pt t t t
t t
Do
9
y y x
Kết luận: Hệ có nghiệm nhất: ; 4;
x y
36) Từ phương trình (1) ta rút được:
2
2
2 2 2
2
2 2
2
9
5
x x y x x x x y x y x
y
x x y x x y
(*)
Từ phương trình ta có kết quả: 9 6 1 5
x x
y
Thay vào (*) ta có:
2 2
2 2
2 2
0
2 2 6
1 2 2 6
3 x
x x x y y x
x x x y xy
y y x x y y
Nếu x0 vô nghiệm
Nếu x x2y2 3y x2y2 3yx
2 2
3 0
3 0 0
9 6 5
3 y x
y x y
x y y xy x
y x
5
y x
(77)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ KL: Hệ có nghiệm: ( ; )x y (5;3)
37) Biến đổi phương trình (1)
2
(x3) (y4) 4 (y4) (x3) 1 (*)
+ x 3 y 4 ta thấy không thỏa mãn
+ x 3 y 4 bình phương hai vế phương trình (*)
2
( 3)( 4) 0
4 2( 3) 2 10
( 4) 4( 3)
x y
y x y x
y x
Thay vào phương trình (2) rút gọn ta được:
2
4x 28x51 4 x150
4x28x163 43 x154x130
3
2 3
3
27 4 15 4 13
4 4 0
9 4 15 3 4 13 4 15 4 13
x x
x
x x x x
2
2 3
3
16 4 7 4
4 4 0
9 4 15 3 4 13 4 15 4 13
x x
x
x x x x
2
2 3
3
4
4
9 15 13 15 13
x x
x x x x
2 3 2
3
4 4 7
1 0
9 4 15 3 4 13 4 15 4 13
4
x
x x x x
x
- Với x 4 y 2
- Với
2 3 2
3
4 4 7
1 0 (3)
9 4 15 3 4 13 4 15 4 13
x
x x x x
Ta chứng minh phương trình vơ nghiệm sau: Dễ thấy với x 4x228x51 0
Do phương trình(**)có nghiệm 3 43 15 0 15
4
(78)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ KL: x; y 4; 2
38) Từ phương trình (2) ta thu được: 2
2
xy y x y
Thay vào phương trình (1) ta có:
2
3 2
2 2 2 4 2 2 4
2 2
xy x y
x x x y x y x xxy x y
2 2
(x2)(x 2x4)x x( 2x4)y x( 2x4)0
3 2
2x 2x 4xx y2xy 4y 8
(x3 8) (x3 2x2 4x) (x y 2xy 4y) 02 (2x y)(x2 2x 4)
2
y x
Thay y2x2 vào phương trình (2)và rút gọn ta
0
(6 7) 1
6
7
x y
x x
x y
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) (0; 2), 1;
x y
39) Với điều kiện x0hệ phương trình cho tương đương với hệ:
2 2
2
8 6 12 7 8 0
13 1 6 0
x y xy xy y y
y y xy
Lấy (1) + (2) ta có phân tích sau:
2 2 2
2 6 6 9 0 [ ( 1)] 6 ( 1) 9 0
x y xy y xy y y x y x
Ta y x 1 319y217y1 0
- Với 17 213; 49 213
38
y x
- Với 17 213; 49 213
38
y x
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là:
49 213 17 213 49 213 17 213
( ; ) ; , ;
2 38 38
x y
(79)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Với y0 ta biến đổi hệ phương trình thành
2
2
3
4 2
2 2 2
x xy
y xy
x
xy y y
Đặt
2
; x
a b xy
y
hệ phương trình trở thành
2
2 2
4 2
2 4 (3)
2 2 2 (4)
2 2 2
a b
ab b b
b a ab b a
a b
a
Cộng (3) (4) theo vế thu gọn ta
2
2
1 2 0
2
1: 1 2 4 0 ( VN)
a
a a
a
TH a b b
2 : 2
TH a b ta có hệ phương trình
2
3
2 4
2 2
x
x y
y xy
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( ; )x y 3 4; 23 41) Điều kiện:
2
1 1
0
2
x x
y y y
Cách 1: Đặt tx1, 0 t Lúc hệ pt thành:
3 3
2 2 2
3 2 3 2 3 3
1 3 2 2 1 3 2 2
t t y y t t y y
x x y y x x y y
Từ phương trình (1) ta suy ra: ty t tyy23(ty)0 Vì
2 2
3( ) 0 3 3 0
t tyy ty t y ty y có
2
3 4 3 3 3 4 3 3 1 0
y y y y y y y y
nên
phương trình vơ nghiệm
(80)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 2 2
2
2 1 2 1 2 1 3 0 1 1 1 3 0
1 1
0 1
1 3
x x x x x x
x
x y
x
Vậy hệ pt có nghiệm x y; 0;1
Cách 2: Phương trình (2) x2 1x2 2 3 2yy2 f x g y Xét f x miền 1;1 ta có 13
4
f x
Ta lại có: 2
y y
g y y y Vậy f x g y Dấu xảy 1
1, 0 y
x x
Thay vào phương trình (1) có nghiệm x y; 0;1 (thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm x y; 0;1
42) Vì x0 khơng phải nghiệm hệ chia phương trình (1) cho x3 ta thu được: 2x34x23x 1 2x32y 3 2 y
3
3
1
1 2y 2y
x x
Đặt a 1 1,b 3 2y y
suy
3 2
1
a ab b a b a ab b ab Thay vào pt thứ ta được:
3
2 3
3
7
2 15 0
2 15 2 15 4
x x
x x
x x x
111
98
x y
(81)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Với xy0 viết lại hệ dạng:
2
1
2
2
7 14
x y
x y
x y xy x y
Điều kiện để phương trình x2y2xy7x6y140 (ẩn x) có nghiệm
2
1
7
7 24 56 1;
3
y y y y
Điều kiện để phương trình x2y2xy7x6y140 (ẩn y) có nghiệm là: 2 62 28 56 2;10
3
x x x x
Xét hàm số f t 2t t
đồng biến 0; nên 2
2
f x f y f f
Kết hợp với phương trình thứ ta được: 2 1 x y
nghiệm hệ
“Để chứng minh hàm số f x đồng biến miền xác định D ta làm sau: Xét hai giá trị x1x2D Chứng minh: 1 2
1
0
f x f x
x x
”
Ngược lại để chứng minh hàm số f x nghịch biến miền xác định D ta làm sau: Xét hai giá trị x1 x2D Chứng minh: 1 2
1
0
f x f x
x x
”
44) Điều kiện xác định 1; 2
x y
Ta viết lại hệ thành:
3
4
2 2 1 2 1 2 3 2
4 2 2 4 6
x x y y
x y
Đặt a2x1,b y2 suy 2a3a2b3 b ab Từ phương trình thứ hệ ta có: 2x 1 y2
Thay vào phương trình thứ hai ta được: 4y 8 2y4 6(*)
(82)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
6
y
Vậy hệ có nghiệm ; 1;
x y
45) Điều kiện:
4
13 4 0 13
2 0
2 y x
x y
x y y
x
Đặt a 13x4 ,y b 2xy Khi ta hệ phương trình:
2
5
(1)
4 5 2 4
2 5 2 5 2 5 (2)
2 2 2 2 2 2 (3)
x b
a b x a b x
a b a b a b
b x y b x y b x y
Thế (1) vào (3) ta được: 3(4)
y
x Thế (4) vào phương trình 2xy x 2y2 ta được:
2
3
19
2
3
4 69 19
y
y y
y y
Giải 69 545
8
y từ tính x24 545 Thử lại ta thấy ; 24 545;69 545
8
x y
nghiệm cần tìm 46) Ta tìm cách loại bỏ 18y3 Vì y0 khơng nghiệm phương trình (2)
nên tương đương 72x y2 2108xy18y3 Thế 18y3 từ phương trình (1) vào ta thu được:
3 2
3 21
8 72 108 27
4 21
4
xy
x y x y xy xy
xy
(83)
hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
3
3
0( )
8 27 3 1
5 3 3 5
18 2 4
8 27 3 1
3 5 3 5
18 2 4
y L
xy
y x
xy
y x
Vậy hệ cho có nghiệm
; 13 ; 3 3 , 13 ; 33 5
4
x y
47) Điều kiện: 2,
x y Phương trình (1) tương đương:
2x 2x 2x 2y1 2y 1 2y 1 f 2x1 f 2y1 Đặt a 2x b, 2y 1 a3ab3 b ab
2x 2y 1 x 3 2y thay vào ta có:
3
3
2 5
5 2 2 2 5
2 9
a b
y y
a b
1; 2
3 65 23 65
;
4 8
65 3 23 65
;
4 8
a b
a b
a b
2
233 23 65 32 233 23 65
32 y
y y
Vậy hệ có nghiệm
; 1; , 23 65 185 233 23 65; , 23 65 185 233 23 65;
16 32 16 32
x y
(84)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
1 1
1
x x y y y y y y
x x y y
Từ ta rút x y Thay vào (2) ta được:
2
35 12
y y
y
Bình phương hai vế (điều kiện y0) Khi ta có:
2
2 2
2
2
2
2 35 2 35
1 12 1 12
1 1
y y y y y y
y
y y
y y
Đặt
2
2 0
1 y
t y
Phương trình tương đương:
2 2
2
2
5 49
( )
35 12 25 4
2 0
5 25
12 1 12
3 12
y
t L
y
t t
y y
t
Đối chiếu điều kiện lấy giá trị dương Vậy hệ có nghiệm ; 5; , 5;
4 3
x y
49) Triển khai phương trình (1)
(1)x y2 26xy 9 x22xyy2 8 x y2 2x2y2 1 8xy
1
x y xy
Nhận thấy x0,y0 khơng nghiệm hệ Phương trình (1) là:
2
1 1
. 8
x y
x y
Đặt 2 ; 2
1 1
x y
a b
(85)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
2
2
2
1 1
1 2
2
1 1
1 1
2 3
1 4 4
4
1 1 1 2 3
8
4 1 4 1
1 1
2 1 2
x a
x
x y
b a b
y y
x x
a
ab x y
y b
y
Vậy hệ có nghiệm
x y; 1; 2 3 , 1; 2 3 , 2 3; , 2 3; 1 50) Ta có:
2 2 2
2 2 ( )
( ) 1
2 2
x y x y x y x y
x y x y
Mặt khác ta có:
2 2
2
2
3 2 ( 2 ) 2
2 4
3 12 4
2
2 4
3 2
x y x y x y
x xy y
x y
x xy y
Từ suy
2 2
4 2 4
2 2
2 3
x y x xy y
x y x y
Dấu xảy x2y0
Thay vào phương trình cịn lại ta thu được:
4 3
3 1 1
2
x x x x x x x x y
Hệ có cặp nghiệm: ; 1;1
x y
51) Cộng theo vế pt hệ ta được: x43y43z430(*) Từ suy số hạng tổng phải có số hạng khơng âm, khơng tính tổng qt ta giả sử: z43 0 z4
(86)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 2
3
16 12 12.2
x z x
Thế phương trình thứ hai hệ tương đương: 2
3
16 12 12.2
y x y
Do từ x43y43z43 0 * x yz4 thử lại thỏa mãn
Vậy x y z; ; 4; 4; 4 nghiệm hệ
52) Phương trình (1) hệ có dạng: x22y x2 2y210
Do x22y2 1 0 nên suy x22y0 y x22 thay vào phương trình (2) ta có: (x2) ( x2) (x2)22 x x x2 2
2
x x x y
Vậy hệ có nghiệm x y; 1; 3 53) Theo bất đẳng thức cô si ta có:
1 .
3 3 2 3 1 3
2 2
3
1 2 1 1 2
3 2 3 2 2 3
x x x y x x y
x y x y x y x y x y x y x
x y
x y
y y y
x y x y x y
Tương tự ta có: 1 3
2 2
3
x y x
x y
y x
Từ suy 1
3
x y
x y x y
Dấu xảy x y thay vào phương trình thứ ta được: x y4
3 2
2
2 ( 4) 8 4 0
1 1
2 3 4( 1) 8
2 2
y x y y x x
x
x y x y
54) Điều kiện: 1 0
2 3 0
x
x y
(87)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Phương trình thứ hệ viết lại thành:
2
2
2 2
( 4) 2 4 8 0
( 4) 4(2 4 8 ) 4 4
x y x y y y
y y y y y y
Từ ta tính được: 22
2 4
x y
x y y
Vì x y22y 4 (y1)2 3 1 nên không thỏa mãn Thay x2y vào phương trình thứ hai ta được:
2
1 7
2 3 4 4
2 2
x
x x x
Ta có: 4 (2 1)2 5
2 2
x x x ;
1 1 1 5
2 3 2 2 2 3 1 2 2 2 3
2 2 4 2
x
x x x x x
Vậy hệ có nghiệm dấu đồng thời xảy Suy 1;
2
x y
55) Từ phương trình (2) ta suy x0
Phương trình (1) viết lại sau:
2 2
2 2 2
1 0 1 4 1
x y y xy y y y y y y y
Từ tính được:
2
0 1
x y
x y
Thay y x vào phương trình ta thu được: x x( 24) x2 4 2x Chia phương trình cho x24 ta có: 3 2 1 22
4 4
x x
x x
Đặt 2 0
4 x t
x
ta có
2
1
2 1
2
t
t t
t
(88)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Với
2
t x y
Vậy hệ có nghiệm x y; 2;1 56) Điều kiện: x1
Ta viết lại phương trình (1) thành: x2(y22)x2y34y24y0 Tính
2 2
2
2
2 8 16 16 4 2
2 2 0
x y
y y y y y y
x y y
Thay
2
x
y vào phương trình ta thu được:
3 x 1 2x4 x 2x9(*) Theo bất đẳng thức Cosi ta có:
3
3 1.( 1) 1
2 2
x x x x x
3 33 10
3 4.4.( 2) 4
2 2
x
x x x
Từ suy 3 32 4 10
2
x
x x x x
Mặt khác ta có: x22x 9 (2x5)x22 0
Từ suy phương trình (*) có nghiệm dấu đồng thời xảy
2
x
Suy hệ phương trình có nghiệm x y; 2;1 Mặt khác ta thấy x2;y3 nghiệm hệ Vậy x y; 2;3 nghiệm hệ 57) Đặt a x y 1 ,b x y
x y
Hệ
2
2
1
5 ( ) 3( ) 13
( )
1
( ) 1
x y x y
x y
x y x y
x y
(89)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 2
5( 2) 3 13 5 3 23
1 1
a b a b
a b a b
Giải hệ ta tìm 4 3 a b
5 2 7 2 a b
Từ ta tìm nghiệm hệ:
; 5; , 3; 11 , 3;
2 4
x y
58) Từ phương trình (2) ta suy xy0x y, dấu Từ phương trình (1) ta suy x y, 0
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
x y y x
x y y x Dấu xảy x2y2 2
Bài toán trở thành: Giải hệ phương trình:
2
3
2
( ) 12( 1)( 1) 9
x y
x y x y xy
Ta có:
3
(xy) 12(x1)(y1) xy 9 (xy) 12(xy) 21 12 xy xy Đặt t x y t 2x2y22 ta thu
2
2 2 2 1
xy xy xy t Ta có:
3
(xy) 12(xy) 21 12 xy xy
2 2
3
( ) 12( ) 21 12 12
2
x y x y x y
xy xy t t t
(90)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 59) Từ phương trình hệ ta suy x y, 0 Xét phương trình:
3 2
7 8 2
x y xy xy xy x y Ta có:
2
3 2
7 6 4
x y xy xy xy x y xy xy xy xy
Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: xy24xy2 xy2.4xy Suy
2 2
3
7 4 4
x y xy xy xy xy xy xy xy Ta có
2 2 2
2 2 .2
xy x y xy x y xy Suy x3y37xy xy 8xy 2x2y2 Dấu xảy
xy Thay vào phương trình (2) ta thu được:
3
2 3 6 2 2 3 2 3 2 3
2 3
x
x x x x x x x
x x
Suy x3 hoặc:
x x Do
2